INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA                                                   “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”         ...
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Ejercicios propuestos

  1. 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas Guía #I I Parte: Derivar y Simplificar las siguientes expresiones.  ⎛1⎞ Sec x1) f ( x) = Sen3 x 2) y = tg (4 x 2 ) 3) y = x5 Sec ⎜ ⎟ 4) f ( x) = ⎝ x⎠ tg ( x 2 ) 1 + Cos x 2 8) f ( x) = ⎡1 + Sen3 ( x5 ) ⎤ Sen x 6) f ( x) = Cos ( Cos x ) 3 5) y = 7) f ( x) = ⎣ ⎦ Sec ( 3x + 1) 1 − Ctg x 2 ⎡π ⎤ 9) y = Sec3 ⎢ − x ⎥ 10) f ( w) = a Cos 2 (π w) + b Sen2 (π w) 11) y = 1 + Cos 2 x ⎣2 ⎦12) y = ⎡ Sec ( x −2/ 3 + 1) ⎦ 14) y = Ln ( Sen x ) 4/ 5 ⎤ 13) f ( x) = Sec 2 x − tg 2 x ⎣ 1 − Cos (π x)15) y = Ln ( tgx ) 16) y = Cos ( Lnx ) 17) y = Ln 1 + Cos (π x) ⎡ x 3 x +1 ⎤ ( Senx)(Cosx)(tg 3 x) e x − e− x18) y = Ln ⎢ ⎥ 19) y = 20) y = ⎢ (Sen x) ( Sec x) ⎥ ⎣ ⎦ x e x + e− x ( 2) x Ln x21) y = e xtgx 22) y = π Senx 23) y = 24) k (t ) = k0 e2t ln( sen(t ) ⎡ ⎛x−μ⎞ 2⎤ ⎢ −1/ 2⎜ ⎥ 1 ⎢ ⎝ α ⎟ ⎠ ⎥25) f ( x) = e⎣ ⎦ 26) y = etan x e4 Lnx 27) y = Ln x + x2 + a2 2π α28) y = Ln tg 3x + Sec 3x 29) = y = π x xπ 30) y = arc tg ( x + csc x)31) y = arccos ( cosx ) 32) y = Ln [ arccos x ] 33) y = arcctg x ⎡1 − x ⎤34) y = x 2 ( arcsenx ) 35) y = arctg ⎢ 36) y = arc sec x + arccscx 3 ⎥ ⎣1 + x ⎦ ⎡ 2x ⎤ ⎛ 2x ⎞37) y = arcsen(e x ) + 2arctg (3x) 38) y = arc tg ⎢ 2⎥ 39) y = arc tg ⎜ 2 ⎟ ⎣1 − x ⎦ ⎝ x − 1⎠ arc tgx40) y = e Arc Sec x 41) y = 42) y = π Arc Senx 43) y = e x arcsenx Lnx 3 arcsec( x) (arcsen x) (arcsen( x 2 ))44) y = 45) y = 46) y = tgx − ctg x Ln x ex −1 1 147) x = csc 2t + sec 2t 48) f ( x) = 49) y = − 6 (1 − 3 cos x ) 2 3cos3 x cosx 3senx − 2cos x 150) y = 51) y = 3 sen2 x + 52) y = 1 + arcsenx 5 cos3 x     www.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  2. 2. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas53) y = arctgx − ( arcsen x ) 54) y = 2 e x − 2 x + 1 + Ln5 x 3 3 ⎛a⎞55) y = sen ( x 2 − 5 x + 1) + tg ⎜ ⎟ 56) f (t ) = ( sent )( sen ( t + φ )) ⎝x⎠ 1 + cos (2 x) ⎛1+x ⎞57) f ( x) = 58) y = arctg ⎜ ⎟ 1 − cos (2 x) ⎝1 − x ⎠59) y = x 2 102 x 60) y = Ln ( e x + 5 senx − 4arcsenx )61) y = arctg ( Lnx ) + Ln ( arctg x ) 62) y = Lnx + 1 + Ln ( x +1 ) ⎛ a + bx n ⎞63) y = ⎜ n ⎟ ⎝ a − bx ⎠ 64) Z = 3 y+ y 65) y = Ln ( ) 1 + e x + 1 − Ln ( 1 + ex + 1 )66) y = 1 (cos 3 x) ( 3 cos 2 x − 5 ) 67) y = ( tg 2 x − 1) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1) 15 3 tg 3 x cosx 468) y = (3senx) (cos 2 x) + sen3 x 69) y = − 3 + ctg x 3 sen x 3 arc cos x70) y = α sen 2 x + β cos 2 x 71) y = 1 − x2 1 ⎛ x 2 −1 ⎞72) y = ( arcsen x ) (arccosx) 73) y = arcsen ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ x ⎠ ⎡ x ⎤ 1 ⎛ b⎞74) y = arcsen ⎢ ⎥ 75) y = arcsen ⎜ x ⎜ ⎟ ⎢ 1 + x2 ⎥ b ⎝ a⎟ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛x⎞ ⎛ 1 1 ⎞76) y = x a 2 − x 2 + a 2 (arcsen ⎜ ⎟) 77) y = ⎜ x − arcsen x + x − x2 ⎟ ⎝a⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ x sen α ⎞ ⎡ x ⎤78) y = arctg ⎜ 79) y = 3b 2 arctg ⎢ ⎥ − ( 3b + 2 x ) bx − x 2 ⎟ ⎝ 1 − x cos α ⎠ ⎣ b − x⎦ ⎛ tgx ⎞80) y = − 2arcctg ⎜ 81) f ( x) = ( 2ma nx + bx ) p 82 ) y = (α sen ( β x) − β cos ( β x )) ⎟ α2 + β2 ⎝ x⎠ ( ) ⎛1⎞ Ctg ⎜ ⎟ x a283) y = 3 ⎝x⎠ 84) y = cosx a Cosx 85) y = x2 − a2 − Ln x + x2 − a2 2 2 ⎡ x2 + a2 + x ⎤ ⎛x − a⎞ ⎛ ctgx ⎞ Ln ( x 2 − a 2 ) + m n 1 86) y = Ln ⎢ ⎥ 87) y = Ln ⎜ ⎟ 88) y = Ln ⎜ ⎟ ⎢ x2 + a2 − x ⎥ ⎣ ⎦ 2 2a ⎝x + a⎠ 2 ⎝ 3x ⎠   www.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  3. 3. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas  1+ x2 + 189) y = x + 1 − Ln 90) y = 2arcsen (3 x ) + (1 − arc cos(3 x) ) 2 2 x sen ( ax ) 1 sen3 (ax) 191) y = 3 cos( bx ) + 92) y = Ln (arcsen x) + Ln 2 x + arsen(ln x) 3 cos 3 (bx) 2 2 x 1 ⎛ x −1 ⎞ 1 + sen x93) y = arctg ( ) + Ln ⎜ ⎟ 94) y = + 2 arctg ( sen x ) 3 12 6 ⎝ x +1 ⎠ 1 − sen x ⎛ x2 +1 ⎞ 1 ⎡ 2 x − 1⎤ 96) y = Ln (1 + x ) − Ln ( x 2 − x + 1) + 3 1 1 195) y = Ln ⎜ 2 ⎟ + arcctg x arctg ⎢ ⎥ 4 ⎝ x −1 ⎠ 2 2 6 3 ⎣ 3 ⎦ ( x −1) ( x − 2 ) ( x − 2) 3 2 x (arcsenx)97) y = Ln 98) y = 99) y = 100) y = x x ( x − 3) 1 − x2 ( x −1) ( x − 3) 3 4 x ( x − 1) x2 x −1101) y = 102) y = x 2 3 103) y = 104) y x = x y ( x − 2) x +1 3 ( x + 2) 2 ( x + 3) 3105) y = ( cos x ) 106) y = ( arctgx ) tgx x  x ⎛ 1⎞107) y = ⎜ 1 + ⎟ 108) y = x ( senx )(cos x ) 109 ) y = x x y ⎝ x⎠ ⎛ x −1 ⎞ x110) y = 3tgx ( arc cos x ) 111) y = Ln(cos ⎜ 112) y = Ln ( Ln ( 3 − 2 x3 ) x ⎟x ) ⎝ x ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ( ) b 2 ⎢ x ⎥113) y = a − 3 e2 − x 2 114) y = cos x ⎢ ⎛ x ⎞⎥   ⎢ x − cos ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ x + cos x ⎠ ⎦ x2 y2 −y x− y115) 2 + 2 =1 116) ln( xy ) = e x 117) cos( x − y ) = sen( y + x) 118) y 3 = a b x+ y119) a cos 2 ( x + y ) = btg ( x − y ) 120) csc( x y ) = tgy 121) e y = Ln( x + y ) ⎛x⎞ ⎛ y⎞ 1122) xy + arctg ⎜ ⎟ 123)arctg ( x + y ) = y + senx 124) artgctg ⎜ ⎟ = Ln ( x 2 + y 2 ) ⎝ y⎠ ⎝x⎠ 2www.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  4. 4. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas ⎛ y⎞125) x 2 + y 2 = artg ⎜ ⎟ 126) x y cos x = y xseny 127) ( x + y ) ( 2 x + y ) =1 2 3 ⎝x⎠ sen (ln y ) ⎛ x2 + k ⎞128) e = Ln ( x + 3 y ) x 3 129) − e cos x + e seny = 0 y x 130) y = ⎜ 2 ⎟ ⎝ x ⎠ ⎛ 1+ x ⎞ ( ) ay ⎛x⎞131) y = ⎜ ⎟ 132) y = ⎜ ⎟ 133) y = x y Ln arc cos 1 − y 2 ⎝a⎠ ⎝ 1− y ⎠134) x x y y x = e x + y + 2 x 135) csc ( x + y ) + ctg ( x − y ) = 1 136) x − y = e x + y 137) cos xy − sen xy = 0 138) sen (cos y ) − cos ( senx) = 0 x x2 + y 2139)arcsen( ) = e 14 0) xy = 3 x 2 − 3 141) y e2 x + x e2 y =1 y x2142) x 2 x + xy 2 = 6 ( x 2 + y 2 ) 1 143) arctg ( )= 144) x( Lny ) = x arc csc y 3y xy e x − e− x145) y = x x arcseny 146) y = arctg ( ) 2 −3 x 2 − 1 1 ⎡ a −b x ⎤147) y = + ln x 2 −1 + arctgx 148) y = arctg ⎢ ctg )( ) ⎥ 3x3 a 2 − b2 ⎣ a+b 2 ⎦ II Parte: Encontrar  una  ecuación  para  cada  recta  tangente  y  para  cada  recta  normal      a  la  curva dada en el punto indicado. 11) y = . 3 2 ( 3 − x ) en ( 5 , − 3 4) 1.2 ) y = 16 + x 2 en el origen1.3) y 2 + x 2 = r 2 en ( x1 , y1 ) 1.4 ) 16 x 4 + y 4 = 32 en (1, 2 )    15) 4 x 3 − 3 xy 2 + 6 x 2 − 5 xy − 8 y 2 + 9 x + 14 = 0 en ( − 2 , 3) . 21.6) y = en ( 3 , 2 ) 1.7 ) y = x 3 − 3 x 2 − x + 5 (x 2 − 2 x − 4) 2  www.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  5. 5. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas2)  Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva       x2  +  y2  +  2x  ‐  9  =  0  en el punto cuya ordenada es igual a 3. 3) Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los puntos que se indican  1 − x2a ) y = tg 2 x en el origen b) y = e en los puntos de int er sec cion   con la recta y = 14)  Encontrar  las  ecuaciones  de  las  tangentes  y  normales  a  la  curva y = ( x − 1)( x − 2)( X − 3)   en sus puntos de intersección con el eje de  abscisas. 5) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas que pasan por el punto (‐ 1, 2)  y son  x −1tangentes a la curva  y =   x +36) Determine las ecuaciones de las tangentes y la normal a la curva  y − x = x 2 + y    en el punto (3, 7). 7)  Determinar  los  valores  de  las  constantes  a,  b,  y  c  en  la  ecuación  de  la  curva y = ax 2 + bx + c , Sabiendo que pasa por (1, 0) y además  la recta  y  = ‐4x ‐ 8  es tangente a ella en (‐1, ‐4). 8)  Determinar  los  valores  de  las  constantes  a,  b,  y  c  tales  que  la  curva  de  ecuacióny = ax 3 + bx 2 + cx − 2  , pase por el punto (‐1, ‐6) y la recta  4x ‐  y ‐ 6  =  0  sea tangente a ella en el punto (1, ‐2). 9)  Determine  los  valores  de  las  constantes  en  la  curva  de  ecuación     − x + 65 − x + 25y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,  sabiendo  que  las  rectas  y = ; y=     son  9 9normales a ella en (2, 7)  y (‐2, 3) respectivamente  3ax 2 + b10) Determine los valores de las constantes a, b en la curva  y =  sabiendo que la  x+1 3x + 2recta  y =   es normal a la curva en el punto (1, 1).  211) Hay dos rectas que pasan a través del punto (‐1, 3) y son tangentes a  la curva  x4  +  4y2  ‐  8y  +  3  =  0. Encontrar una ecuación de cada una de estas rectas. 12)  Hallar  las  ecuaciones  de  las  tangentes  a  la  hipérbola  4 x 2 − 9 x 2 = 36                    perpendiculares a la recta  2y  +  5x  =  0 .  y13.) Probar que si xn ym  =  (x  +  y)n + m  entonces  y =   xwww.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  6. 6. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas14) Determine el valor de la constante c en la ecuación  ln e y − 1 ( ) ( c − x,)  sabiendo que la  1recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene pendiente  m = − .   R: c=3  215) Determine los valores de las constantes a, b, c, y de si la curva  y = ax 3 + bx 2 + cx + d  pasa por los puntos (1,2) y “2,2); además la recta  3 x − y − 4 = 0  es tangente a ella en el punto (0, ‐4).R: a=1, b= ‐2, c=3, d=‐4 16) Determine el valor de la constante c en la ecuación  y = x + xcsen x + cos x  si se sabe que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1. R: c=1 17) Calcule el valor de k en la ecuación  y = 5 x 2 − 8 x + k  sabiendo que la recta  y = 2 x − 1  es tangente a ella. R: k=4.  ( )18) Determine el valor de la constante k en la ecuación  x 2 ln x 2 − 1 + 4 y (ln y − 1) = k  si  ela recta tangente a dicha curva en x = e tiene pendiente  m = − .   219)  Determine  el  valor  de  la  constante  a  en  la  ecuación  de  la  curva  y = a − x2 − a  sabiendo  que  la  recta  3 x + 5 − 4 5 − 4 = 0   es  tangente  a  ella  en  el  punto  de  abscisa x = 3.   R: a = 4. 20)  La  recta  x + y − 2 = 0   es  tangente  en  el  punto  (1,  1)  a  la  curva  de  ecuación x 5 + ay 5 − bxy = 0.  Determine los valores de las constantes a y b. R: a=1, b=2.  π21)  La  recta  y = − 1   es  tangente  a  la  curva  y = x + a sen x + b cos x   en  el  punto  2⎛π π ⎞⎜ , − 1⎟.  Determine los valores de las constantes a y b. R: a=‐1, b=1. ⎝2 2 ⎠ 5x − 922) Calcule el valor de k en la ecuación  y = x 2 − k ,  si sabe que la recta  y =  es  4tangente a ella. R: k =9. 23) Determine los valores de a, b, y c en la ecuación  y = ax 3 + bx 2 + c  usando los hechos de que la recta y = 2x es tangente a ella en el punto (1, 2) y la curva pasa por (‐1, 6).  R: a =‐2, b=4, c= 0.  y ( x − 1) 1 y+24) Pruebe que si  y = cxe x , entonces y´ = .  x 2 (1− y )25) Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva  3 x + 3 y = 3 k  en el punto (k, 0). R: Ec. Tg  y = 0, Ec. normal : x = k .  www.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  7. 7. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas26) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  y = e − x sen x + x  en el  1origen.                         R:  Ec. tg .: y = 2 x, Ec. normal : y = − x.   227) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  x + y = 5  en el punto (0,5).                  R:  Ec. tg .: x = 0, Ec. normal : y = 5.  28)  Determine  la  ecuación  de  la  recta  tangente  a  la  curva  cos( xy ) = x   en  el  punto ⎛1 2 ⎞ (⎜ , π ⎟.                      R:  y = − 4 ) 3 + π + 2 ( 3 + 2π .   )⎝2 3 ⎠ 3 3 n ⎛b⎞ n ⎛a⎞29) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2,  en  ⎜ y⎟ ⎝n⎠ ⎝ ⎠ a⎛ b − a2 ⎞ 2el punto (a, b).          R:  Ec. tg.: y = − ( x − 2a ), Ec. normal : y = ⎜ x + b ⎟.   a b⎜⎝ a ⎟ ⎠Nota:  Ejercicios  recopilados  de  guías  y  textos    utilizadas  en  el  IUTJAA.  Muchos  de  ellos resueltos en la página indicada en el pie de letra.    Dámaso Rojas.  Octubre 2007  www.galeon.com/damasorojas/damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,

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