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Un testo di fisica (termodinamica) con esperienze di laboratorio del prof. Germano Grasso

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  • 1. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICAProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LE LEGGI DEI GAS PERFETTI 1
  • 2. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIL GAS PERFETTOAlcuni elementi chimici come l’Idrogeno, l’Elio, l’Azoto, l’Ossigeno, il Fluoro, il Neon, l’Argon, ilCloro, il Kripton, lo Xeno e il Radon, sono presenti in natura - se non combinati con altri -solitamente allo stato gassoso.Altri, come ad esempio il carbonio e lo zolfo - pur trovandosi più comunemente allo stato solido -se opportunamente combinati, possono dar luogo a composti gassosi quali l’Ossido di carbonio,l’Anidride carbonica, l’Ammoniaca, l’Acetilene, il Metano, il Protossido d’azoto, l’Anidridesolforosa.Inoltre, composti ed elementi chimici liquidi, se sottoposti a valori particolari di pressione e/otemperatura, passano allo stato aeriforme.Notevole è il caso dell’acqua la cui molecola, formata da due atomi di idrogeno ed uno d’ossigeno,è quasi sempre reperibile sottoforma liquida o solida, tuttavia, non di rado, passa allo statoaeriforme di vapor d’acqua comportandosi più o meno come un gas.La “fase gassosa”, com’è definita la particolare condizione di alcuni elementi chimici o molecolecomposite, è caratterizzata da una scarsissima coesione molecolare, dalla conseguente mancanza diforze di attrazione o repulsione (coesione interna) e dal fatto che le molecole presenti possonoessere immaginate a distanze reciproche enormemente grandi rispetto alle loro dimensioni reali.Non potendo però immaginare completamente nullo il volume occupato dalle molecole gassose edescludere completamente la possibilità di urti o interazioni molecolari, specialmente nel caso di gaspoco rarefatti, è abitudine definire “GAS REALE” un qualsiasi elemento o composto chimico che ènormalmente in fase gassosa.D’altra parte se un “gas reale” qualsiasi è caratterizzato da valori di pressione, temperatura evolume superiori a quelli definiti rispettivamente: PC Pressione critica VC Volume critico TC Temperatura criticaesso si comporta seguendo in modo piuttosto regolare alcune semplici leggi sperimentali quali leLeggi di Gay-Lussac, la Legge di Boyle e la Legge di Stato.I parametri che caratterizzano le condizioni in cui si trova il gas – pressione, volume e temperatura– sono appunto definite “VARIABILI DI STATO”.In questo caso è possibile affermare che:Un qualsiasi “gas reale” caratterizzato da valori delle variabili di stato superiori ai corrispondentivalori critici per il gas considerato, segue fedelmente le leggi sperimentali citate ed è definito, inquesto caso, un “GAS PERFETTO”.Per il gas perfetto diventa teoricamente possibile considerare nulle le interazioni e nullo sia ilvolume molecolare che il valore dell’energia potenziale posseduta dalle molecole.La teoria dei gas perfetti è particolarmente utile per lo studio delle trasformazioni di stato deisistemi termodinamici ed è una solida base dalla quale partire per lo studio dei “gas reali”. 2
  • 3. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLe Leggi sperimentali prima accennate sono relazioni di collegamento tra le tre variabili di stato chepermettono di stabilire, in determinate condizioni, il valore di una delle tre variabili in funzionedelle altre due supponendo di essere a conoscenza di alcuni parametri caratteristici.Ad esempio, utilizzando la Legge di stato dei gas perfetti, risulta possibile determinare in modounivoco il valore della temperatura alla quale si trova un gas se si conoscono i valori di pressione evolume oltre che il numero di moli e la costante di stato R . pV T  n RIL SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE A GAS PERFETTOUn qualsiasi dispositivo in grado di trasferire ai o dai sistemi esterni l’energia sottoforma di“CALORE” e/o “LAVORO” trattenendone per sé una parte oppure cedendone una parte che già gliapparteneva, è definito “SISTEMA TERMODINAMICO”.Il termine “termodinamico” è, di per sé, significativo in quanto chiarisce immediatamente che ildispositivo (o sistema) può essere sottoposto a differenti livelli termici (differenti temperature) equindi costretto a cedere o acquisire calore e, nel contempo, essendo in grado di subiremodificazioni dinamiche a carico del suo aspetto esterno, ha la capacità di compiere o subire unadeterminata quantità di lavoro.Conviene subito anticipare che la presenza di un sistema termodinamico – assunto quale attoreprincipale di un evento di scambio energetico – presuppone la contemporanea presenza di almenoun altro sistema in grado di interagire con il primo.Un corpo caldo è in grado di raffreddarsi, cedendo calore, solo se esiste un altro sistema in grado diassorbirlo.Gli altri sistemi – anch’essi per un certo verso da considerarsi termodinamici – sono essenzialmentecostituiti dal mondo esterno che circonda il sistema principale e possono essere pensatirispettivamente alla stessa stregua di serbatoi nei quali il sistema principale, alternativamente, siprocura o cede calore oppure riversa o preleva energia sottoforma di lavoro meccanico.Senza la presenza dei sistemi esterni, il sistema principale, come si vedrà più avanti, non puòoperare alcuno scambio ed è quindi inutile.Con il termine “termodinamico” si può inoltre pensare ad un dispositivo in grado di modificare incontinuazione, in un senso o nell’altro, il proprio livello termico o temperatura e i parametri ad essacollegati.E’ un sistema termodinamico, anche se non in senso strettamente legato alla definizione, unaresistenza elettrica quando è utilizzata dai forni per riscaldare o cuocere le vivande, per inviare ariacalda quando è inserita in un asciugacapelli, per innalzare la temperatura dell’acqua se è inserita inun boiler oppure per produrre vapore se inserita in un ferro da stiro.Il funzionamento di una resistenza elettrica è piuttosto semplice e comprensibile: Inizialmente la resistenza e l’ambiente esterno in cui è immersa sono alla stessa temperatura. Se pensiamo alla resistenza come al sistema termodinamico principale, allora l’ambiente esterno sarà il secondo sistema. Ad un certo istante e da un altro sistema esterno – da considerare di capacità illimitata – è trasferita al sistema principale una certa quantità di energia sottoforma di corrente elettrica che comincia ad attraversare la resistenza. Il terzo sistema – quello che fornisce energia dall’esterno - è immediatamente individuato nel fornitore di energia elettrica ed è chiaro che si tratta di un secondo serbatoio di capacità limitata solo dal contratto di fornitura. 3
  • 4. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl sistema principale comincia quindi ad utilizzare l’energia fornita dall’esterno per variare ipropri parametri termici caratteristici dell’istante iniziale. Ciò significa che la temperaturadel sistema aumenta velocemente. Dal momento stesso in cui la temperatura del sistemaprincipale supera la temperatura del sistema esterno, la resistenza comincia a trasmetterecalore cercando di ripristinare lo stato d’equilibrio iniziale.Lo stato transitorio iniziale è solitamente di breve durata e può essere descritto nel modoseguente:  Mentre la temperatura del sistema principale aumenta, una parte di energia elettrica fornita è direttamente scambiata con l’ambiente esterno sottoforma di calore in quanto i sistemi cercano di riportarsi in equilibrio termico, mentre, una parte è utilizzata dallo stesso sistema principale per innalzare ancor di più il proprio livello termico. Come si vedrà più avanti, la quota di energia assorbita dal sistema principale è utilizzata a livello microscopico per innalzare l’energia cinetica molecolare e, di conseguenza, una funzione di stato che sarà definita “Energia interna”. Volendo interpretare meccanicamente le modalità con le quali aumenta l’energia interna si potrebbero descrivere così:  La corrente elettrica reale in un conduttore è provocata dall’applicazione, ai capi del conduttore stesso, di una differenza di potenziale che costringe le cariche elettriche di conduzioni negative (elettroni) a muoversi da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.  Il loro movimento è reso difficoltoso dal fatto che in un materiale solido le molecole sono a stretto contatto e gli spazi sono limitati.  Per questo motivo il movimento degli elettroni può essere assimilato a quello di un autoveicolo con il freno a mano tirato; l’auto si muove comunque, ma l’attrito provocato dallo sfregamento delle pastiglie sui dischi è causa di considerevoli aumenti di temperatura degli apparati frenanti e degli organi meccanici collegati. Il processo così descritto sembra essere desiderato dal sistema termodinamico principale che, però in effetti, lo subisce.  L’aumento di temperatura a carico del sistema principale provoca un incremento della quota di energia totale ceduta all’ambiente per irraggiamento, convezione e conduzione.  Il termine della fase transitoria si ottiene nell’istante in cui la temperatura del sistema principale è così elevata rispetto a quella del sistema esterno che la quota di energia termica scambiata istantaneamente pareggia l’energia elettrica prelevata dal terzo sistema. La temperatura del sistema principale risulta stazionaria e il sistema trasforma di continuo l’energia elettrica in energia termica.  Anche la temperatura del secondo sistema, nel frattempo, è aumentata.  Durante la fase transitoria lo stato termico del sistema principale subisce una modificazione definita, in special modo, dalla differenza di temperatura iniziale e finale della resistenza, mentre lo stato termico del secondo si modifica anch’esso passando dalla temperatura iniziale – quella dell’ambiente che lo contiene – a quella finale, ottimale per la cottura.Per la precisione, oltre al sistema principale (resistenza) che esegue materialmente latrasformazione energetica utilizzando l’energia del terzo sistema e trasmettendola alsecondo, specialmente se si considera una resistenza inserita in un forno, dovremoconsiderare l’esistenza di un quarto sistema che contiene sia quello principale sia il secondo.Il quarto sistema, termicamente isolato dal secondo, non risente delle trasformazioni a caricodel primo e del secondo e non ha nessun contatto con il terzo. 4
  • 5. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Il quarto sistema è l’ambiente “cucina” ove è inserito il forno e, almeno teoricamente, non dovrebbe modificare i propri parametri termici iniziali. Il quarto sistema è dunque, contrariamente a quanto detto inizialmente, il serbatoio termico illimitato. Inoltre il secondo sistema – o forno – contiene, a sua volta, un quinto sistema in grado di prelevare calore dal secondo ed operare un’ulteriore trasformazione. Esso subisce la trasformazione che più è desiderabile da chi materialmente dà inizio alla stessa: la cottura. Il sistema principale torna poi in tempi brevi alla situazione termica iniziale allorché cessa l’afflusso energetico di corrente elettrica. La resistenza si raffredda rapidamente cedendo ancora calore al secondo sistema che provvede poi anche al suo personale raffreddamento cedendo calore al quarto sistema. Il quarto sistema – l’ambiente cucina – risente in modo minino delle trasformazioni dei sistemi in esso contenuti in quanto dotato di elevata inerzia termica. Figura 1 – SCHEMA DI SISTEMI TERMODINAMICIIl sistema descritto, pur essendo in grado di soddisfare pienamente le nostre necessità del momento– cioè provvedere a cuocere i cibi – trasformando quasi integralmente l’energia elettrica in calore,non risponde del tutto alle caratteristiche richieste dalla definizione di sistema termodinamico.Non è in grado, infatti, così come concepito e costruito, di provvedere alla trasformazione di energiatermica in energia meccanica mentre, le maggiori esigenze dell’umanità sono proprio legata allapossibilità di costruire macchine in grado di fornire energia meccanica cioè lavoro direttamenteutilizzabile. 5
  • 6. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoA questo scopo è possibile la realizzazione di un dispositivo in grado di soddisfare tali esigenze erispondente quindi alla definizione di “Sistema termodinamico ideale”.Il Sistema termodinamico di cui si parla è costituito, essenzialmente e in linea di principio, da:  Un cilindro con pareti realizzate utilizzando materiali e modalità tali, da impedire l’afflusso di calore sia in uscita che in ingresso. Devono inoltre essere molto limitati o comunque determinati gli scambi di calore tra il contenuto e il cilindro stesso. Se il dispositivo fosse assimilato ad un calorimetro ad acqua, allora “l’equivalente in acqua”, sarebbe analogo quantità di calore scambiato dal contenuto con le pareti.  Da un pistone scorrevole e a tenuta stagna anch’esso costruito in modo da evitare la trasmissione di calore da e verso l’esterno e in modo da assorbire e/o trasmettere calore, dal o verso il contenuto, in termini infinitesimi. Dovrà inoltre essere considerato nullo l’attrito tra pistone e cilindro mentre lo stesso è in movimento.  Una serie di pesi o masse note da disporre sulla parte superiore del pistone – quella a contatto con l’ambiente esterno – in modo da garantire l’equilibrio statico dello stesso quando sottoposto alla pressione esercitata dal contenuto del cilindro.  Da una parete di fondo che, secondo le esigenze nei confronti del calore, può avere le caratteristiche di un perfetto isolante o di perfetto conduttore. Attraverso il fondo del cilindro sono permessi o impediti gli scambi di calore con i sistemi esterni.  Una sorgente termica esterna di capacità termica illimitata se rapportata alla capacità termica del cilindro e caratterizzata da temperatura superiore a quella del dispositivo e del suo contenuto.  Una sorgente termica esterna di capacità illimitata se rapportata alla capacità termica del cilindro e caratterizzat da una temperatura inferiore a quello del dispositivo e del suo contenuto.  Un sistema autonomo in grado di modificare, aumentando o diminuendo, i livelli termici delle sorgenti esterne descritte. Si tratta semplicemente di un generatore di calore, a gas o elettrico, e di un gruppo frigorifero.  Un sistema esterno di capacità termica illimitata ed in grado di contenere tutti i sistemi. Tale sistema è l’ambiente esterno definito dalla temperatura e dalla pressione esistenti durante la sperimentazione.  Un rubinetto a tenuta collocato sul fondo del recipiente cilindrico allo scopo di permettere l’uscita e l’ingresso di gas nel recipiente.  Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori di temperatura del contenuto del cilindro (termometro)  Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori di pressione del contenuto del cilindro (misuratore di pressione – manometro) 6
  • 7. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino  Un apparecchio in grado di misurare la pressione e la temperatura dell’ambiente esterno  Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori dello spostamento del pistone rapportandoli alla superficie del cilindro e ricavando di conseguenza il volume del contenuto.  Una certa quantità di moli di un gas con caratteristiche tali da poterlo definire “GAS PERFETTO”. Tale gas sarà contenuto nel cilindro e trattenuto dal pistone a tenuta stagna.Con un tale dispositivo – o macchina termodinamica - è possibile condurre esperienze relative alladilatazione dei gas, agli scambi di energia termica tra il dispositivo e i sistemi termici confinanti,alle variazioni di energia interna della macchina e agli scambi di energia meccanica ora possibili invirtù della possibilità che ha il sistema termodinamico di variare in continuazione la propriageometria strutturale attraverso la modificazione della posizione del pistone mobile.Figura 2 – SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE 7
  • 8. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LA DILATAZIONE DEI GASLE LEGGI SPERIMENTALI DI GAY-LUSSACTRASFORMAZIONI ISOCORE E ISOBAREUtilizzando il dispositivo illustrato è possibile, ad esempio, studiare il comportamento di un gassimile al gas perfetto, nei confronti dei parametri caratteristici quali il volume, la pressione e latemperatura.Considerando che la fase aeriforme non possiede volume proprio, ma, contrariamente alla faseliquida, occupa sempre tutto il recipiente che lo contiene, è definito come “volume di gas” quellodel recipiente che lo contiene e lo confina dall’ambiente esterno.Se si immagina di riempire di gas il cilindro del sistema termodinamico e, successivamente,impedire, con un dispositivo di blocco, i movimenti del pistone stesso, è facile comprendere che si èrealizzato un recipiente il cui volume è costante nel tempo.In questo caso, qualora il gas subisca trasformazioni di stato variando le sue condizioni rispetto aquelle iniziali, si dirà che le trasformazioni avvengono comunque senza variazione di volume cioè “a volume costante”.Una trasformazione a volume costante sarà definita “ISOCORA”.Il risultato di una trasformazione “ISOCORA” è la variazione della pressione e della temperatura edè, per analogia, assimilabile a ciò che succede ad un materiale solido quando la sua dilatazione pereffetto termico è impedita da vincoli rigidi esterni.Essendo impedita la dilatazione, compaiono, sui vincoli esterni e sul corpo stesso, forze di pressionedi elevata intensità sovente responsabili del cedimento e rottura dei vincoli e/o della struttura.Al gas contenuto nel recipiente, essendo impedita la dilatazione, esercita, con l’aumento dellatemperatura, pressioni sempre crescenti sulle pareti del recipiente.Considerato che durante la trasformazione a volume costante è impedito il movimento del pistone siconclude che il sistema termodinamico non può scambiare energia meccanica con l’ambienteesterno ma solo energia termica.Lo scambio termico risulta solo a carico della variazione di energia interna del sistematermodinamico.Se, al contrario, dopo avere riempito il cilindro di gas, si comincia a variarne la temperaturalasciando libertà di movimento al pistone e controllando che la pressione rimanga costante durantela trasformazione, si noterà una variazione di volume accompagnata anche dalla variazione dellageometria strutturale del recipiente.Il gas è libero di dilatarsi e la trasformazione è definita “a pressione costante” o “ISOBARA”.La trasformazione “ISOBARA” permette lo scambio di energia termica, meccanica e la variazionedell’energia interna propria del sistema. TRASFORMAZIONE A VOLUME COSTANTE ISOCORA Legge di Gay-Lussac  Scambi energetici consentiti:  SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA  Scambi energetici NON consentiti:  SCAMBIO DI ENERGIA MECCANICA CON L’AMBIENTE ESTERNO 8
  • 9. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino TRASFORMAZIONE A PRESSIONE COSTANTE ISOBARA: Legge di Gay-Lussac  Scambi energetici consentiti:  SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA LA LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE LA TRASFORMAZIONE ISOTERMICA O ISOTERMAQualora al gas contenuto nel recipiente sia concessa la possibilità di variare contemporaneamente ilvolume e la pressione e, nel contempo, mantenga costante il proprio livello termico, si dirà che essoha subito una trasformazione “ISOTERMA” a temperatura costante.La trasformazione “ISOTERMA” - a temperatura costante – di un gas perfetto, segue piuttostofedelmente la legge sperimentale di Boyle-Mariotte.Al sistema termodinamico sono consentiti gli scambi termici, energetici e la variazione di energiainterna. TRASFORMAZIONE A TEMPERATURA COSTANTE ISOTERMA Legge di Boyle.Mariotte  Scambi energetici consentiti:  SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO.  SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO  VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC TRASFORMAZIONE ISOCORA A VOLUME COSTANTEE’ una legge sperimentale che descrive la trasformazione del sistema termodinamico al quale èimpedita la possibilità di variare la propria geometria strutturale.In altre parole:  Il gas è confinato in un recipiente il cui pistone mobile è bloccato in posizione fissa e sono quindi impediti gli scambi di energia meccanica da e verso l’ambiente esterno. La pressione del gas è direttamente proporzionale alla temperatura.La legge sperimentale di Gay-Lussac è la seguente:p  p 0  1    t   p 0  p 0    tSupponiamo di utilizzare il sistema termodinamico ideale descritto precedentemente con l’ipotesi diprocedere sperimentalmente in un luogo ove la pressione atmosferica sia inferiore a quella che,normalmente, si ha a livello del mare ed avere a disposizione una certa quantità di gas ad un solocomponente contenuto in un recipiente a pressione. 9
  • 10. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoPensiamo di utilizzare il seguente procedimento: 1. FASE 1 - Eliminazione dell’aria contenuta nel cilindro del sistema termodinamico. Eliminiamo facilmente l’aria contenuta inizialmente nel cilindro spingendo verso il basso il pistone, mentre la valvola di scarico è aperta. Quando il pistone è a contatto con il fondo del cilindro provvediamo a chiudere la valvola di scarico impedendo così l’afflusso di altra aria. Il dispositivo è completamente vuoto e, sulla superficie del pistone rivolta verso l’ambiente esterno, agisce sicuramente la sola pressione atmosferica p * che, per ipotesi, manteniamo ad un valore più basso della pressione atmosferica normale a livello del mare p a . Figura 3 – FASE 1- ELIMINAZIONE ARIA (PISTONE A CONTATTO CON IL FONDO CILINDRO) 2. FASE 2 - Caricamento del pistone. Disponiamo sul pistone una certa quantità di piccole masse m note sino al raggiungimento di una massa complessiva M . Il valore totale della massa M può essere ottenuto pensando di applicare infinite masse m di valore infinitamente piccolo. Alla fine, sulla superficie superiore del pistone, sarà applicato il seguente sistema di forze:  Forza dovuta alla pressione atmosferica in ambiente: 2 Fa  p * S    r  p * N  In cui si indica con r il raggio interno del cilindro. Le unità di misura sono: 2 S  m r  m 10
  • 11. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino N p*  2 m  Forza dovuta alla presenza delle masse note: i N Fg   m g  M g N  i1 Sulla superficie inferiore del pistone non sono presenti forze in quanto, con l’eliminazione dell’aria, è stato generato il vuoto assoluto. Il sistema di forze è dunque costituito da una forza che, complessivamente, mantiene il pistone a contatto con il fondo del cilindro ed il cui valore è: F t  Fa  F g  M  g    r  p * 2 In realtà, almeno sino a quando pistone e fondo del cilindro sono a contatto, la forza totale esterna è controbilanciata dalla reazione vincolare di uguale valore e segno contrario applicata al pistone dal fondo del recipiente.Figura 4 – FASE 2 – CARICAMENTO DEL PISTONE3. FASE 3 - Immissione del gas. Collegando la valvola di scarico ad un serbatoio di gas in pressione mediante un tubo a tenuta e aprendo successivamente la valvola, si regola l’afflusso gas dal serbatoio a pressione al cilindro del sistema termodinamico. Il pistone comincia a sollevarsi, quando la pressione del gas all’interno del cilindro supera il valore: Ft M g p1   2  p* S r 11
  • 12. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Continuando ad immettere gas e a regolare la pressione d’immissione agendo sulla valvola del serbatoio si provocherà la risalita del pistone sino ad una quota desiderata e il raggiungimento di un volume V 1 . La risalita del pistone si blocca nel momento in cui la pressione del gas all’interno del cilindro è esattamente pari al valore precedente. E’ ovvio che il valore della pressione interna può essere modificato agendo in modo opportuno sulla quantità di massa disposta sul pistone. Alla fine dell’operazione si richiude la valvola di scarico e si scollega il recipiente contenente gas compresso. Il cilindro è ora pieno di un gas con caratteristiche tali da poterlo assimilare a gas perfetto e i cui parametri sono i seguenti: M g  p1  2  p* r  V1  t1  0  C Si suppone di effettuare le operazioni ad una temperatura superiore a 0°C  Durante tutte le operazioni di immissione gas, il fondo mobile e termo-isolante del cilindro è rimasto posizionato in modo da impedire lo scambio termico con l’ambiente esterno.Figura 5 – FASE 3 – IMMISSIONE GAS 12
  • 13. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino4. FASE 4 - Scambio termico a volume costante con un sistema termodinamico esterno alla temperatura t  0  C . Ora il pistone è bloccato in modo tale da impedirne il movimento verso il basso e, nello stesso tempo, mantenere costante il volume di gas nel cilindro. E’ poi rimosso il fondo termo-isolante - scoprendo così il fondo conduttore del cilindro - al quale si pone a contatto un sistema di capacità termica infinita ad un livello termico di t 0  0  C  . Il sistema termodinamico contenente gas comincia a scambiare energia termica con il sistema esterno più freddo sino al raggiungimento della temperatura caratteristica della sorgente esterna. Il sistema esterno costituisce, per il sistema termodinamico in esame, una sorgente entro cui riversare energia termica in eccesso cioè raffreddarsi. Per definizione, la capacità di ricevere calore senza modificare il proprio livello termico, è tipica di una sorgente avente capacità infinita. Ad esempio il mare ha le caratteristiche di sorgente a capacità termica infinita nei riguardi di un qualsiasi oggetto ad un livello termico diverso che gli è posto a contatto. Durante la cessione di calore alla sorgente esterna – tramite il fondo conduttore – il gas del sistema termodinamico non modifica il proprio volume, ma comincia a diminuire la pressione esercitata sulle pareti del cilindro, cosicché se il pistone non fosse bloccato tenderebbe a scendere. La trasformazione del gas a contatto con il sistema esterno, che avviene in tempi considerevoli, ha, come risultato finale, la variazione dei parametri caratteristici dai valori iniziali precedenti ai seguenti valori finali: M g da: p1  2  p* r V1 t1  0  C a: p2  p1 V 2  V1 t 2  0  C  Da manometro a mercurio installato su una delle pareti o sul fondo del recipiente sarà possibile, a questo punto ed utilizzando la Legge di Stevin, la misurazione della pressione p 2 corrispondente al livello termico finale t 2  0   C  : p 2  p *   Hg   h In cui:  N   Hg Peso specifico mercurio  3 m  h Dislivello manometro m  13
  • 14. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Dalla lettura o calcolo della pressione p 2 che il gas esercita sulle pareti del cilindro – compresi fondo e superficie interna pistone – è poi possibile determinare la massa M 1 da disporre sul pistone in modo tale da poterlo sbloccare senza che si abbia movimento. Dalla relazione: M1 g p2  2  p* r E dal confronto con la precedente, si ottiene: M1 g p2  2  p *  p *   Hg   h r Ed infine il valore della nuova massa: 2   r  Hg   h M 1  g Rispetto alla massa M collocata in precedenza, la massa M 1 ha un valore minore quindi occorre procedere con l’eliminazione di una quantità di massa  m : m  M  M 1 Dopo aver tolto dal pistone la quantità  m è possibile sbloccarlo senza che si abbiano spostamenti dello stesso. Il sistema termodinamico può ora scambiare energia meccanica e termica con l’ambiente esterno mentre, il sistema di capacità infinita e livello termico t  0   C  continua ad essere in contatto con il fondo conduttore del cilindro.Figura 6 – FASE 4 – SCAMBIO TERMICO A VOLUME COSTANTE CON SORGENTE A t=0° C 14
  • 15. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino5. FASE 5 – Variazione della pressione e del volume a temperatura costante. Continuando il contatto del sistema termodinamico con il sistema esterno a 0° si procede variando la pressione p 2 aggiungendo o togliendo gradatamente piccole masse m dal pistone sino ad un valore di pressione esattamente pari alla pressione atmosferica normale a livello del mare, alla temperatura di 0° C:  N  p 0  101 . 325  2  m  La trasformazione del gas sarà talmente lenta da essere definita “Quasi-statica” e, oltre alla variazione di pressione, sarà accompagnata dalla variazione di volume e da scambi di energia termica in un senso o nell’altro tra il sistema termodinamico e il sistema a capacità infinita tali da mantenere inalterata la temperatura al valore t 2  0   C  . Alla fine della trasformazione “isoterma” i nuovi parametri caratteristici del gas saranno:  N  p3  p 0  101 . 325  2  m  V3 t 3  0  C  Sarebbe adesso possibile, conoscendo l’equazione generale di stato dei gas perfetti, determinare la quantità di gas – sottoforma di numero di moli – immessa nel cilindro all’inizio della sperimentazione, ma si tralascia il calcolo per riprenderlo successivamente. La fase 5 è conclusa con l’eliminazione del sistema esterno a temperatura 0° C, il ripristino della parete di fondo termo-isolante e con il bloccaggio del pistone nella posizione finale alla quale corrisponde la pressione del gas p 0 .Figura 7 – FASE 5 – VARIAZIONE PRESSIONE E VOLUME A TEMPERATURA COSTANTE 15
  • 16. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino6. FASE 6 – Variazione della temperatura a volume costante. E’ la fase conclusiva che permette di ricavare i dati necessari alla dimostrazione della Legge di Gay-Lussac relativa alla dilatazione di un gas a volume costante. Il pistone è bloccato quindi non si avranno scambi di energia meccanica con l’ambiente esterno. Le condizioni iniziali del gas sono le precedenti:  N  p3  p 0  101 . 325  2  m  V3 t 3  0  C  A questo punto è rimossa la parete di fondo termo-isolante ed il sistema termodinamico è posto a contatto con una nuova sorgente a capacità termica infinita e livello termico t 4  0  C  . La temperatura del gas comincerà gradatamente ad aumentare portandosi, alla fine, alla stessa temperatura della sorgente. Nel contempo la pressione subirà un aumento sino alla pressione p 4 , superiore p 0 , ed il volume rimarrà naturalmente invariato. La dilazione del gas è impedita e, di conseguenza, sale la pressione. I risultati concernenti la pressione e la temperatura saranno annotati con precisione. Il valore della pressione si potrà ricavare utilizzando il solito manometro oppure aumentando le masse per mantenere fisso il pistone. Il procedimento è reiterato ponendo a contatto con il gas sorgenti termiche a temperatura sempre maggiore ed annotando sia le temperature che le pressioni caratteristiche dell’equilibrio termico. E’ comunque possibile utilizzare anche sorgenti con temperatura inferiore a 0° C. In questo caso si noterà un abbassamento della pressione che sarà annotata.Figura 8 – FASE 6 – VARIAZIONE DELLA PRESSIONE A VOLUME COSTANTE. 16
  • 17. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino7. FASE 7 – Costruzione del diagramma pressione-temperatura e verifica della Legge sperimentale di Gay-Lussac per trasformazioni a volume costante. Utilizzando i risultati ottenuti dalla FASE 6 è realizzato un diagramma cartesiano che riporta sulle ascisse i valori delle temperature delle sorgenti utilizzate per riscaldare o raffreddare il gas contenuto nel cilindro e, in corrispondenza, i valori calcolati o misurati della pressione esercitata dal gas sulle pareti. I parametri iniziali saranno costituiti dal punto di coordinate t  t 0  0   C  e  N  p 0  1  atm   101 . 325  2  , rappresentativo dei valori tipici della FASE 5, mentre, m  tutti i punti successivi sono ricavati misurando le temperature delle diverse sorgenti e il corrispettivo valore della pressione del gas. Il diagramma ottenuto rappresenta graficamente la funzione analitica che, utilizzando come variabile indipendente il valore della temperatura in gradi Celsius, restituisce un corrispondente valore della pressione del gas. La funzione risulta di tipo direttamente proporzionale rispetto al semplice valore della variabile ed è quindi rappresentata da una retta inclinata rispetto all’asse orizzontale delle temperature. La retta deve intersecare l’asse verticale delle pressioni per il valore nullo della temperatura  N  ove la pressione risulta uguale alla pressione atmosferica normale p 0  101 . 325  2  . m  Analiticamente la funzione p  t  sarà del tipo: p  t   p 0   p  p 0  tg      t  t 0  p t   p 0  m  t  t 0  In cui il coefficiente angolare m è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni: p1  p 0 p2  p0 pn  p0 m    .......... ..  t1  t 0 t2  t0 tn  t0 In cui:  N  p 0  101 . 325  2  m  t0  0 C  Sperimentalmente il coefficiente m ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati: m    p 0  0 , 003661 p0 Considerando che l’equazione della retta: p t   p 0  m  t  t 0  è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m è anche dato da: p0  p m  t0  t 17
  • 18. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCon il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’assedelle temperature:p  0Si ottiene: p0m   p0  tDa cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gascontenuto nel cilindro teoricamente si annulla: 1 1t       273 ,16  C   0 , 003661Il valore teorico di temperatura, espressa in gradi Celsius, alla quale si annulla la pressionedel gas, corrisponde alla minima temperatura raggiungibile ed è definito “ZEROASSOLUTO” in quanto ad essa corrisponde il valore nullo della temperatura misurata con lascala Kelvin:t   273 ,16  C   T  0 K Il valore del coefficiente  , pressoché costante quando un gas può essere considerato“perfetto”, si ottiene dunque da:  C  1  1  0 , 003661  273 ,16E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportata alla pressioneatmosferica normale, per ogni aumento (diminuzione) di temperatura di un grado.L’equazione rappresentativa delle trasformazioni ISOCORE – a volume costante – di un gasperfetto contenuto in un sistema termodinamico ideale, detta anche LEGGE DI GAY-LUSSAC, può quindi essere scritta nella forma:p t   p 0  m  t  t 0   p 0    p 0  t  t 0 Sinteticamente: p0 p  p0  t ISOCORA (VOLUME COSTANTE) 273 ,16 p  p 0  1    t   C  1 1 Con:   273 ,16 18
  • 19. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 9 – DIAGRAMMA TRASFORMAZIONE ISOCORA – SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC 19
  • 20. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLA TRASFORMAZIONE ISOCORA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.La Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isocore – a volume costante – è più facilmenterappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando la scalaassoluta o scala Kelvin.Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti ivalori di temperatura rapportandoli ai Kelvin: Figura 10 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTAL’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:p T   m  TIn cui in coefficiente angolare m è dato da: p0 p0m   T0 273 ,16Per cui: p0 p  T ISOCORA (VOLUME COSTANTE) T0Oppure: p  T0  p 0  T (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI) p T  (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI) p0 T0 20
  • 21. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoINTERPRETAZIONE DELLA LEGGE DI GAY-LUSSAC ESPRESSA IN KELVINLa Legge di Gay-Lussac relativa alla trasformazione isocora e con l’utilizzo della scala assoluta ditemperatura è interpretata facilmente se si considera il diagramma cartesiano che la rappresenta. Figura 11 – ISOCORA ESPRESSA CON LA SCALA ASSOLUTAAREE UGUALI DI RETTANGOLI:Il significato fisico della relazione: p  T0  p 0  Tcomporta, sul diagramma cartesiano p ; T , l’uguaglianza delle due aree rettangolari aventi basirispettivamente uguali l’una alla temperatura assoluta T 0 l’altra alla temperatura T corrispondentealla pressione p , ed altezze rispettivamente l’una uguale alla pressione p l’altra alla pressione p 0 . Figura 12 – UGUAGLIANZA DELLE AREE 21
  • 22. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoConsiderato che tale uguaglianza deve valere per qualsiasi altra coppia di punti comunque dispostinel piano cartesiano a condizione che essi siano posizionati sulla retta di proporzionalità p  T  , adesempio due punti che definiremo 1 e 2 ognuno caratterizzato da condizioni di pressione etemperatura:Punto 1  p 1 ; T1Punto 2  p 2 ; T2Si ottiene: p 1  T 2  p 2  T1In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione etemperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K.SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI:Anche la relazione: p T  p0 T0ha un particolare significato geometrico relativamente al diagramma caratteristico dellatrasformazione isocora in quanto generata dalla semplice regola di similitudine tra triangoli simili: Figura 13 – REGOLA DI SIMILITUDINEAnche in questo caso si possono svincolare i punti considerando l’altra relazione equivalente:p2 T2 p1 T1Ovviamente le due interpretazioni sono coincidenti. 22
  • 23. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTRASFORMAZIONE ISOCORA.PRECISAZIONI CIRCA LA PRESSIONE p 0 DEL GAS A TEMPERATURA NULLA.La trasformazione di un gas contenuto in un sistema termodinamico ideale, da uno stato iniziale Aa uno stato finale B , se avviene a volume costate – ISOCORA -, è descritto dalla Seconda Legge diGay-Lussac ricavata in modo sperimentale utilizzando il dispositivo descritto precedentemente.La Legge di Gay-Lussac può essere scritta tenendo conto della temperatura assoluta utilizzando lascala Kelvin oppure della temperatura espressa in gradi centigradi o Celsius: p  p 0  1     t  Scala Celsius - ISOCORA p0 p  T Scala assoluta o Kelvin - ISOCORA T0In entrambi i casi, per determinare la pressione del gas ad una determinata temperatura, occorreconoscere il valore della pressione che lo stesso gas eserciterebbe nel recipiente di volume Vqualora la temperatura del sistema sia nulla (Celsius) oppure abbia un valore di 273,16 (Kelvin).Nell’utilizzare il dispositivo termodinamico ideale si è considerato, durante la FASE 5, di portare ilgas ad una temperatura t 0  0   C  ed ad una pressione p 0 pari alla pressione atmosfericanormale alla stessa temperatura  p 0  101 . 325 Pascal  .Ci si potrebbe domandare se la Legge di Gay-Lussac mantiene comunque la sua validità anche nelcaso in cui, a temperatura nulla, la pressione fosse diversa dal valore scelto prima in modoarbitrario.Potremmo ad esempio domandarci cosa succede, relativamente alla pressione, ad una certa quantitàdi gas compresso contenuto in una ruota d’automobile qualora la temperatura dovesse aumentarepassando da zero ad un determinato valore.Certamente la pressione iniziale alla temperatura nulla, dell’aria contenuta in una ruota, non è parialla pressione atmosferica normale ma sicuramente di parecchio superiore e non sono rari i casi incui, specialmente alle alte velocità, il riscaldamento della ruota è notevolissimo.La dilatazione a volume costante (il contenitore dell’aria o pneumatico non cambia in modoapprezzabile il suo volume, anche se la temperatura aumenta) ha sicuramente come risultato unaumento della pressione ma, tale aumento sarà ancora proporzionale alla pressione a temperaturanulla e, se la risposta è positiva, a quale pressione: quella reale iniziale o alla pressione  N p 0  101 . 325  2  dell’esperienza precedente?  m Per rispondere a questo quesito si può ancora ricorrere al sistema termodinamico ideale partendoperò, in questo caso, dalla FASE 5.Al termine della FASE 5 il gas aveva assunto la temperatura caratteristica della sorgente fredda,cioè 0   C  , e la pressione p 0 pari alla pressione atmosferica normale.Per far ciò si erano variate le masse appoggiate al pistone sino al raggiungimento dei valoririchiesti.Ora, mantenendo sempre a contatto il sistema termodinamico con la sorgente fredda a 0° C,aumentiamo nuovamente il numero di masse sul pistone in modo “Quasi-statico” aspettando ognivolta che il sistema raggiunga la temperatura d’equilibrio con la sorgente fredda. 23
  • 24. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoSe sufficientemente lenta, la trasformazione del gas sarà di tipo “ISOTERMICO” a temperaturacostante.Il pistone tenderà verso il fondo del cilindro riducendo progressivamente il volume a disposizionedel gas e, di conseguenza, aumenterà la pressione dello stesso sulle pareti, pistone e fondo delcilindro.Possiamo aumentare la pressione in modo arbitrario esattamente come succede durante la fase digonfiaggio di una ruota, anche se il procedimento risulta completamente diverso.Infatti, durante la fase di gonfiaggio, si ottiene un aumento di pressione a volume costanteimmettendo una quantità d’aria sempre maggiore, mentre, nel nostro caso, l’aumento di pressione ècausato da una diminuzione di volume e non alla variazione della quantità di gas nel cilindro che,evidentemente, rimane la stessa. 1In ogni caso la FASE 5 si conclude, quando la pressione ha raggiunto un valore arbitrario p odiverso dal precedente p 0 .A semplice titolo d’esempio si potrebbe decidere di portare la pressione ad un valore pari a 3 volteil valore della pressione atmosferica normale, cioè:  N  1p 0  3  p 0  3  101 . 325  2   303 . 975  Pascal  m A detta pressione il volume del gas sarà nettamente inferiore al volume determinato nellaprecedente FASE 5.Anche in questo caso, supponendo di essere già a conoscenza della Legge di Boyle-Mariotte odell’equazione generale di stato, saremmo in grado di determinare il volume finale del gas, ma,come in precedenza si preferisce posticipare il calcolo.Iniziamo adesso una nuova FASE 6 che si svolgerà esattamente con le stesse modalità precedenti: Dopo aver eliminato la sorgente fredda alla temperatura di 0° C sostituendola con una sorgente più calda (ad esempio 50° C) e bloccato il pistone per mantenere costante il volume, aspettiamo che il gas raggiunga lo stato d’equilibrio termico con la sorgente e annotiamo la nuova pressione raggiunta p 50  . Reiteriamo l’operazione sostituendo le sorgenti, utilizzando sorgenti sempre più calde (si potrebbe ad esempio incrementare di 50° C la temperatura di ogni sorgente) ed annotando le relative pressioni d’equilibrio p 100  , p 150  , p 200  ,........ p 400  . Potremmo reiterare l’operazione utilizzando sorgenti a temperatura inferiore t  50  , t  100  ottenendo le relative pressioni.Anche in questo caso la parte sperimentale si conclude ed inizia la trascrizione dei risultati sulgrafico cartesiano pressione e temperatura.Rispetto al precedente si è modificato il punto caratteristico iniziale in quanto la pressionecorrispondente alla temperatura t 0  0   C  è stata arbitrariamente innalzata ad un valore 1  N p 0  303 . 975  2  , ma, nel contempo, si nota un aumento dell’inclinazione della retta m rappresentativa della funzione p  t  e il mantenimento di un punto fisso in corrispondenza del valorenullo della pressione e della temperatura corrispondente allo zero assoluto.In altre parole:La retta p  t  è più inclinata rispetto alla precedente e l’aumento d’inclinazione è causato da unarotazione in senso antiorario attorno al punto di coordinata p  0 . 24
  • 25. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 14 – TRASFORMAZIONE ISOCORA – PRESSIONO INIZIALI DIVERSE – CONFRONTO.Analiticamente la nuova funzione p  t  sarà analoga alla precedente, cioè:p  t   p 0   p  p 0  tg   1    t  t 0  1 1p t   p 0  m 1  t  t 0  1In cui il coefficiente angolare m 1 è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni: 1 2 1 p1  p 0 p2  p0 pn  p0m    .......... ..  t1  t 0 t2  t0 tn  t0In cui: 1  N p 0  303 . 975  2  m t0  0 C Sperimentalmente il coefficiente m 1 ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati: 1 1m 1    p 0  0 , 003661  p 0Si nota che, pur modificando il valore di pressione iniziale, il valore del coefficienteangolare m 1 , diverso dal precedente, continua ad avere un valore pari alla stessa frazionedella pressione iniziale.In pratica il valore  continua ad essere pari a 0,003661. 25
  • 26. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoConsiderando che l’equazione della retta:p t   p 0  m 1  t  t 0  1è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m 1 èanche dato da: 1 p0  pm1  t0  tCon il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’assedelle temperature:p  0Si ottiene: 1 1 p0m1    p0  tDa cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gascontenuto nel cilindro teoricamente si annulla: 1 1t       273 ,16  C   0 , 003661Il valore del coefficiente  , pressoché costante quando un gas può essere considerato“perfetto”, si ottiene dunque da:  C  1  1  0 , 003661  273 ,16E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportato, questa voltaal valore della pressione iniziale del gas alla temperatura di 0° C, per ogni aumento(diminuzione) di temperatura di un grado.Rispetto all’equazione precedente la differenza di pressione per ogni aumento o diminuzione 1della temperatura del gas di un grado è maggiore in quanto maggiore è il prodotto   p 0 .L’equazione caratteristica di una trasformazione isocora segue dunque ancora la Legge diGay-Lussac anche se la pressione iniziale è diversa dalla precedente.Sinteticamente: 1 1 p0 p  p0  t ISOCORA (VOLUME COSTANTE) 273 ,16 p  p 0  1    t  1  C  1 1 Con:   273 ,16 26
  • 27. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoUtilizzando la scala delle temperature assolute si ottiene: Figura 15 – ISOCORA – SCALA ASSOLUTA DELLE TEMPERATURE 1 p0 p  T ISOCORA (VOLUME COSTANTE) T0 Oppure: p  T0  p 0  T 1 p T 1  p0 T0 27
  • 28. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino2° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOCORA – ESERCIZI.ESERCIZIO 1:Un pneumatico d’automobile è gonfiato alla pressione di 3 atmosfere e l’aria, da ritenersi in primaapprossimazione un gas perfetto, si porta alla temperatura ambiente t a  20   C  .Supponendo che, durante il moto dell’autoveicolo, l’aria subisca un innalzamento di temperaturapari a  t  70   C  e che il volume della ruota non subisca apprezzabili cambiamenti, determinarela pressione dell’aria alla nuova temperatura.Soluzione:La trasformazione del gas contenuto nella ruota è evidentemente ISOCORA in quanto non èmodificato il volume iniziale.Il gas assorbe calore dall’ambiente a causa degli inevitabili attriti, di conseguenza, non potendoscambiare energia meccanica, aumenta la propria energia interna che causa l’aumento di pressione.Si può quindi applicare la Legge di Gay-Lussac relativamente al tipo di trasformazione.Utilizzando la legge ricavata utilizzando la scala di temperatura assoluta si ha:p2 T2 p1 T1In cui:p2  x Pressione finale alla temperatura t 2  t a  70  90   C   N p 1  3 atm  3  101 . 325    303 . 975  Pascal  Pressione iniziale alla temperatura t a  20  m T 2  temperatur a assoluta finale  363 ,16 K T 1  temperatur a assoluta iniziale  293 ,16  K Otteniamo quindi: T2 363 ,16 Kp2   p1   303 . 975  Pa   376 . 557  Pa   3 , 716  atm  T1 293 ,16 KESERCIZIO 2:L’idrogeno contenuto in un serbatoio avente volume V  30 m 3  , alla pressione inizialep i  2 atm , è riscaldato da una temperatura iniziale t i  20  ad una finale t f  450  .Determinare la pressione finale p 2 .Soluzione:Si utilizza la legge:p2 T2 p1 T1Da cui: T2 723 ,16 Kp2   p1   2  atm  4 , 93  atm   499 . 532  Pa  T1 293 ,16 K 28
  • 29. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 3:Determinare la pressione di un gas perfetto alla temperatura di 100° C, sapendo che allatemperatura di 30° C e allo stesso volume la pressione risultava 1, 4  10 5  Pa  .Soluzione:Si utilizza la legge:p2 T2 p1 T1Da cui: T2 373 ,16 Kp2   p1   1 , 4  10 5  Pa   1 , 72  10 5  Pa  T1 303 ,16 KESERCIZIO 4:Qual è la temperatura t 2 dell’aria, contenuta in un recipiente sigillato, alla pressionep 2  1 , 05  bar  se alla pressione p 1  1 , 27  bar  la temperatura è t 1  40   C  ?Soluzione:Si utilizza la legge:p2 T2 p1 T1Da cui: p2 1 , 05  bar T2   T1   313 ,16  258 , 91 K  p1 1 , 27  bar Otteniamo quindi:t 2  258 , 91  273 ,16   14 , 25   C E’ possibile pervenire ad un risultato analogo utilizzando la legge di Gay-Lussac scritta per letemperature espresse in gradi centigradi: p  p 0  1     t Occorre prima calcolare la pressione p 0 che il gas eserciterebbe alla temperatura t 0  0  C  , poicon tale pressione e la pressione finale determinare temperatura finale corrispondente:p 1  p 0  1     t Da cui: p1 1 , 27  bar p0    1 ,1078  bar   t   40   C   1   1      273 ,16   273 ,16   C  E poi:p 2  p 0  1     t  p2 1 p2 p01    t   t  p0 Ottenendo: 29
  • 30. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino 1 , 05  bar  1 1 ,1078  bar t    14 , 25   C  1 273 ,16 La temperatura corrispondente alla pressione di 1,05 bar è quindi t 2   14 , 25   C ESERCIZIO 5:Un gas alla temperatura t 0  0  C  è contenuto in un recipiente cilindrico chiuso da un pistone cheha una superficie S  3 cm 2  .Il pistone è in equilibrio ed esercita sul gas una pressione pari a p 0  3 kPa .Determinare il valore della nuova massa da appoggiare sul pistone quando la temperatura del gas èinnalzata di un valore pari a  t  50   C  in modo tale che il pistone non cambi posizione.Soluzione:Si tratta di una trasformazione a volume costante in quanto il pistone non deve cambiare posizione.Occorre quindi calcolare il valore della pressione che eserciterà il gas alla nuova temperatura sullasuperficie interna del pistone.La pressione p 50  è data:p2 T2 T2 323 ,16  N    p 50    p0   3  kPa  3 , 546  kPa   3546  Pa   3546   2p0 T0 T0 273 ,16  m La differenza di pressione tra quella finale e quella iniziale deve essere bilanciata dalposizionamento di una nuova massa sulla superficie esterna del pistone, tale per cui: M gp  SQuindi:  3 . 546  3 . 000   N     3  10 4 m 2  p S 2 m M    0 , 01669  kg   16 , 69 g  g  m  9 , 81   2 s Lo stesso calcolo utilizzando la legge con le temperature in gradi Celsius:Calcolo della pressione alla temperatura di 50° C:  50   C    N p 50   p 0   1     t   3  kPa    1     3 , 549  kPa   3 . 549     273 ,16   C   m 2 Determino poi la massa seguendo lo stesso calcolo precedente:  N  549    3  10 4 m 2  p S 2 m M    0 , 01679  kg   16 , 79 g  g  m  9 , 81   2 s I risultati sono leggermente diversi per la diversa approssimazione. 30
  • 31. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTEAnche la prima legge di Gay-Lussac è di tipo sperimentale ed è nuovamente utilizzato il sistematermodinamico ideale a gas perfetto.Contrariamente alla precedente è ora la pressione a rimanere costante durante tutta la fase finale diriscaldamento e/o raffreddamento del gas, mentre, il volume da esso occupato nel cilindro risultavariabile in dipendenza della temperatura.La legge analitica di una trasformazione ideale “ISOBARA” è nella forma della precedente isocora:V  V 0  1     t In cui si intendono:V Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura finaleV0 Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura di riferimento t 0  0   C  t Differenza di temperatura tra le fasi iniziali e finali del sistema Coefficiente sperimentale il cui valore è sensibilmente uguale a quello di  per l’isocoraAnche in questo caso, come si vedrà, è possibile utilizzare una forma semplificata della Leggequalora si decida di utilizzare la scala assoluta delle temperature: V0V  T T0La sperimentazione utilizza lo stesso dispositivo ideale a gas perfetto già descritto per latrasformazione a volume costante in una condizione iniziale preparatoria corrispondente all’iniziodella FASE 6.Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti. FASE 6 – Variazione continua della temperatura del sistema con mantenimento della pressione iniziale. Contrariamente alla sperimentazione precedente, relativa alla trasformazione isocora, si tiene conto, annotandolo, del volume occupato dal gas alla temperatura iniziale del sistema termodinamico. Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura t 0  0   C  e considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la temperatura del sistema è pari a quello della sorgente. Facendo inoltre riferimento a quanto illustrato a proposito del valore iniziale di pressione circa la corrispondenza o meno alla pressione atmosferica normale è già possibile anticipare che, anche a proposito del volume, vale la stessa regola:  La variazione di volume a pressione costante dipenderà unicamente dal valore iniziale dello stesso alla temperatura nulla e sarà costituita sempre dalla stessa frazione. In buona sostanza si ribadisce l’esistenza di un coefficiente moltiplicatore costante avente le stesse caratteristiche di  . Non occorre quindi riportare il volume iniziale, come si fatto inizialmente per la pressione, al valore che normalmente occuperebbe una mole di gas alla pressione atmosferica normale e alla temperatura nulla. Detto questo, occorre ora variare la temperatura del gas mantenendo costante la pressione che lo stesso esercita sulle pareti del cilindro. 31
  • 32. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl pistone, essendo sbloccato, è libero di muoversi per effetto della dilazione del gas che nonè quindi più impedita.Durante la trasformazione la massa M applicata al pistone non sarà variata in modo tale dagarantire la costanza della pressione interna pari al valore iniziale: M g  p*p0  2 rIl sistema termodinamico è ora in grado di modificare la propria geometria strutturalecedendo o assorbendo dai sistemi ad esso collegati anche lavoro meccanico per effetto dellospostamento del pistone il quale incrementa, oltre tutto, la sua energia potenziale.La temperatura del gas è variata applicando di volta in volta, come al solito, sorgenti atemperatura crescente ed aspettando il tempo necessario per permettere ai sistemi diriportare l’equilibrio termico.Le quantità di calore cedute, di volta in volta, dai sistemi esterni al sistema termodinamicoattraverso la parete conduttrice di fondo serviranno sia per la dilatazione del gas siaall’incremento dell’energia interna dello stesso.Si ricorda che l’unico risultato di una trasformazione isocora era l’incremento o ildecremento dell’energia interna in quanto al sistema termodinamico non era concessa lapossibilità di scambiare energia meccanica.Possiamo già quindi immaginare che per ottenere la stessa variazione di energia interna delgas, nel caso di trasformazione isobara, sia necessario scambiare una maggiore quantità dicalore con il sistema esterno.Procedendo ad esempio con sorgenti caratterizzate da un variazione di temperatura di 50°una dall’altra, occorrerà prendere nota con misurazioni accurate del volume occupato dal gasper ogni condizione d’equilibrio semplicemente misurando il volume tra il fondo delcilindro e la parte interna del pistone.Figura 16 – FASE 6 – TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTE 32
  • 33. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFASE 7 – Costruzione del diagramma e della legge analitica della trasformazione isobara.I risultati ottenuti annotando, per ogni variazione di temperatura, il relativo valore delvolume V saranno utilizzati per la costruzione di un diagramma cartesiano di assi V ; t .Il diagramma sarà rappresentato abbastanza fedelmente da una retta inclinata passante per ilpunto, sull’asse del volume, di coordinate:  V0    t0  0 C E, come si vedrà, per il punto sull’asse delle temperature, caratterizzato dalle coordinate: V  0     t   273 ,16  C La retta sarà caratterizzata dall’equazione:V t   V0   V  V0  m  t  t 0 In cui il coefficiente angolare m ha un valore:m  .  V0Il coefficiente angolare m rappresenta, questa volta, l’incremento di volume subito dal gasper una variazione di temperatura di 1 grado e, come nel caso della trasformazione isocora, èuna frazione, di valore  , del volume iniziale alla temperatura nulla.Tale frazione è ancora uguale a: 1   0 , 003661 273 ,16   C Quindi, alla fine, la prima Legge di Gay-Lussac, relativa alla trasformazione isobara, risultanelle seguenti forme:V t   V 0    V 0   t  t 0   V 0  1     t  t 0    t  t0   t V t   V0  1    V0  1   LEGGE GAY-LUSSAC  273 ,16   273 ,16  TRASFORM. ISOBARA 33
  • 34. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Figura 17 – PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOBARA.LA TRASFORMAZIONE ISOBARA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.La Prima Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isobare – a pressione costante – è piùfacilmente rappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando lascala assoluta o scala Kelvin.Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti ivalori di temperatura rapportandoli ai Kelvin: Figura 18 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTA 34
  • 35. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoL’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:V T   m  TIn cui in coefficiente angolare m è dato da: V0 V0m   T0 273 ,16Per cui: V0 V  T ISOBARA (PRESSIONE COSTANTE) T0Oppure: V  T0  V0  T (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI) V T  (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI) V0 T0Svincolando anche in questo caso il punto origine si ottengono le due relazioni equivalenti: V 1  T 2  V 2  T1 V2 T2  V1 T1In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione etemperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K. 35
  • 36. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino1° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOBARA – ESERCIZI.ESERCIZIO 1:Supponendo di scaldare un volume di gas pari a V1  100 dm  con pressione costante, da una 3temperatura t 1  25   C  ad una temperatura t 2  100   C  , determinare il volume finale occupatodal gas.Soluzione:La trasformazione è isobara, si può quindi applicare la prima Legge di Gay-Lussac nella forma:V2 T2  V1 T1Da cui si ottiene: K   100 dm   125 ,16 dm  T2 373 ,16 3 3V2   V1  T1 298 ,16  K Allo stesso risultato si perviene utilizzando la formula con la temperatura in Celsius ove, peròoccorre prima determinare il volume occupato dal gas alla temperatura nulla:V 1  V 0  1     t 1  t 0 V0  V1  100 dm 3   91 , 61 dm  3  1    t1 1  0 , 003661 C  1   25 C Ed infine:V 2  V 0  1     t 2  t 0   91 , 61 dm  3   1  0 ,003661 C  1   100 C    125 ,15 dm 3 ESERCIZIO 2:Calcolare la temperatura alla quale bisogna portare una massa di idrogeno affinché il suo volume, di20 litri alla temperatura di 20° C, salga a 30 litri, supponendo che la pressione rimanga costantedurante la trasformazione.Soluzione:La trasformazione è isobara, per cui:V2 T2  V1 T1 V2 30  l T2   T1   293 ,16 K   439 , 74 K   166 , 58   C  V1 20  l Utilizzando la scala Celsius:V 20   V 0   1     t 20   t 0  V 20  20 l V0     18 , 63 l  1  0 , 003661  20  1  0 , 003661  20V t  x  V 0   1     t  t 0  36
  • 37. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDa cui: 30  l 1    t  t 0   18 , 63  l  1 , 61  1 0 , 61t  t0    166 , 62  C   0 , 003661t  166 , 62   C Risultato analogo al precedente. ESERCIZIO 3:Una certa quantità di gas, inizialmente alla temperatura t 0  0   C  , subisce una trasformazione incui è triplicato il suo volume mantenendo costante la pressione.Qual è la temperatura del gas al termine della trasformazione?Soluzione:La trasformazione è isobara e, definendo V 0 il volume occupato alla temperatura iniziale, siottiene:Vf Tf V0 T0Da cui si ottiene: Vf 3  V0Tf   T0   T 0  3  T 0  3  273 ,16 K   819 , 48 K   546 , 32   C  V0 V0Oppure:V f  V 0  1    t f  3  V01    tf   3 V0 31 2tf    2  273 ,16  546 , 32   C   0 , 003661 37
  • 38. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 4:In un cilindro di raggio r  30  cm  ed altezza indefinita è contenuta una quantità di gas cheoccupa inizialmente un volume V i  5 m  alla temperatura t i  50   C  . Il pistone di massa 3M  30  kg  è in equilibrio e la pressione dell’ambiente esterno è una frazione pari all’ 85 % dellapressione atmosferica normale.Determinare, supponendo che il gas subisca una trasformazione isobara, l’aumento di energiapotenziale del pistone, quando la temperatura è incrementata di  t  800   C  .Soluzione:La pressione del gas contenuto nel cilindro è pari a: 2 2 2pi    r  M  g  p *   r  M  g  0 ,85  p a    r  m  30  kg   9 , 81  2  M g s   N   N pi   0 , 85  p a   0 , 85  101 . 325  2   87 . 168  2   r 2   0 ,3 2 m 2 m  m  87 . 168pi   0 , 86  atm  101 . 325Considerato che la trasformazione è isobara, tale pressione si manterrà costante con l’aumento ditemperatura.Il volume occupato dal gas dopo l’incremento di temperatura sarà:V 850  T 850   V 50  T 50 Da cui: 1 . 123 ,16  K V 850    5 m 3   17 , 38 m  3 323 ,16  K Ad un incremento di volume pari a:V 850   V 50   17 , 38  5  12 , 38 m   3Corrisponde un incremento di quota del pistone pari a: 2  r   h   V  12 , 38 m   3Da cui si ricava: 12 , 38 m  3 h   43 , 81  m  3 ,14  0 , 3 2 m  2E il relativo incremento di energia potenziale:  N  E P  M  g   h  30  kg   9 , 81    43 , 81  m   12 . 893 N  m   12 . 893  J   kg  38
  • 39. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE TRASFORMAZIONE ISOTERMA A TEMPERATURA COSTANTE.Come si è visto, le due Leggi di Gay-Lussac descrivono il comportamento di un gas dal punto divista della variabilità della pressione e del volume in funzione del solo parametro di stato“temperatura”.La trasformazione è definita ISOBARA se, con la variazione di temperatura, è il solo volume amodificarsi, mentre la pressione rimane costante; è definita ISOCORA se, con la temperatura, simodifica la pressione ed il volume rimane inalterato.Se, al contrario, è la temperatura a rimanere costante durante la trasformazione, gli altri dueparametri – pressione e volume – subiranno delle variazioni.La trasformazione a temperatura costante è definita “ISOTERMICA” o “ISOTERMA” ed èdescritta dalla Legge sperimentale di Boyle-Mariotte.La Legge di Boyle-Mariotte (ISOTERMA) e le due Leggi di Gay-Lussac (ISOBARA e ISOCORA),unitamente, saranno poi utilizzate quali basi di partenza per lo studio della “Legge Generale di Statodei gas perfetti” ove compariranno la “Costante Generale di stato” e la quantità molecolare effettivadi gas.Anche la Legge di Boyle-Mariotte è di tipo sperimentale ed anche in questo caso, per studiarla,conviene utilizzare il sistema termodinamico ideale contenente gas perfetto.Prima di iniziare l’utilizzo teorico del sistema ideale occorre, però, anticipare alcune informazioniche sono emerse in modo sufficientemente chiaro dallo studio delle trasformazioni isocore edisobare. La più o meno rapida compressione di un gas, contenuto nel sistema termodinamico in equilibrio termico con una sorgente esterna, provoca un brusco aumento di temperatura e di pressione e una conseguente variazione dello stato di equilibrio termico precedente. Il gas soggetto ad una compressione si riscalda e, per mantenersi in equilibrio termico con la sorgente a capacità infinita, deve poter cedere energia termica alla stessa. La rapidità e l’entità della compressione determinano, in prima approssimazione, il valore della variazione termica. Una pompa per bicicletta si riscalda durante le compressioni dello stantuffo. Se la compressione è effettuata in modo “Quasi-statico”, ad esempio appoggiando al pistone piccoli pesi in aggiunta a quelli già presenti, il riscaldamento del gas è minimo e uniforme in tutto il cilindro ma la temperatura del sistema è comunque sempre superiore a quella della sorgente esterna e lo scambio termico per riportare l’equilibrio è inevitabile anche se di durata ridotta. La più o meno rapida espansione determina, al contrario, una diminuzione di temperatura e il conseguente prelievo, dalla sorgente, di una certa quantità di energia termica. La brusca espansione del liquido frigorifero in pressione all’interno dell’evaporatore provoca l’immediata trasformazione da fase liquida a fase gassosa e il conseguente raffreddamento del sistema ad esso collegato. E’ questo il principio di funzionamento dei frigoriferi e dei condizionatori estivi. Sia la compressione che l’espansione del gas, essendo esso inizialmente in equilibrio con la sorgente a capacità termica infinita, devono essere necessariamente provocate dall’azione di forze esterne e dal conseguente flusso, in entrata o uscita, di energia meccanica. 39
  • 40. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino In altre parole:  Ogni compressione è accompagnata dall’aumento di temperatura e da lavoro meccanico che, dall’esterno, affluisce nel sistema termodinamico. Dal punto di vista del sistema tale lavoro è positivo, mentre, dal punto di vista dell’ambiente esterno esso è negativo.  Ogni espansione è accompagnata dalla diminuzione di temperatura e da lavoro meccanico che, dal sistema, affluisce all’ambiente esterno. Dal punto di vista del sistema tale lavoro è negativo, mentre, dal punto di vista dell’ambiente esterno esso è positivo. Considerando che l’ambiente esterno è, per noi, particolarmente importante in quanto rappresenta il mondo in cui viviamo, possiamo cominciare a notare la particolare importanza dell’espansione del gas.  Da quanto si affermato, si può anche concludere che le sorgenti collegate al sistema termodinamico sono due: L’una alternativamente cede o acquisisce calore (la sorgente a capacità termica infinita), l’altra (il mondo esterno), di solito, alternativamente acquisisce o cede lavoro meccanico. Il sistema termodinamico agisce pertanto come tramite ai trasferimenti di energia termica e meccanica. Come si vedrà più avanti, i cicli chiusi seguiti dai sistemi termodinamici per il trasferimento di energia meccanica verso il mondo esterno, richiedono la presenza contemporanea di due sorgenti a differente temperatura.Tornando alla trasformazione “ISOTERMA”, la sperimentazione utilizza lo stesso dispositivoideale a gas perfetto già descritto per la trasformazione a volume costante e a pressione costante inuna condizione iniziale preparatoria corrispondente all’inizio della FASE 6.Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti. FASE 6 – Variazione continua della pressione e del volume mantenendo costante la temperatura del sistema termodinamico. La trasformazione è di tipo “QUASI-STATICO”. Contrariamente alle sperimentazioni precedenti, relative alle trasformazioni isocora ed isobara, si tiene conto, annotandoli, dei valori di pressione e volume del gas alla temperatura iniziale. Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura t 0  0   C  e considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la temperatura del sistema è pari a quello della sorgente. I parametri di stato che caratterizzano il gas nelle condizioni iniziali sono dunque: p0 ; V0 ; t0 Il pistone è quindi sbloccato e libero di muoversi. Aggiungendo, di volta in volta, piccole masse si noterà l’abbassamento del pistone, la contemporanea diminuzione di volume e un piccolo incremento della temperatura del sistema che in poco tempo si riporterà in equilibrio con sorgente esterna collegata. Durante la reiterazione delle operazioni la temperatura continua a rimanere costante ed uguale a quella della sorgente mentre ad ogni aumento di pressione corrisponderà una diminuzione di volume. 40
  • 41. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl procedimento può essere reiterato un numero di volte indefinito – dipendendo unicamentedal valore dell’incremento della massa – e anche in senso contrario cioè diminuendo lamassa.Ad ogni diminuzione di massa corrisponderà una diminuzione di pressione, un aumento divolume, una diminuzione temporanea diminuzione di temperatura ed un nuovo statod’equilibrio termico con la sorgente.Al termine delle operazioni saremo in possesso delle terne di parametri di statocaratteristiche di ogni reiterazione:p1 ; V1 ; t0p2 ; V2 ; t0p 3 ; V3 ; t 0……………….……………….p n ; Vn ; t 0Avendo indicato con n il numero di prove.FASE 7 – Variazione della temperatura del sistema e ripetizione della FASE 6.Il sistema è riportato nelle condizioni iniziali procedendo in senso inverso a quello utilizzatonella fase precedente cioè diminuendo lentamente la quantità di massa sul pistone; altermine i valori dei parametri di stato saranno nuovamente: p 0 ; V0 ; t 0Occorre ora variare la temperatura del sistema mediante l’eliminazione della sorgente allatemperatura t 0 e il collegamento con una sorgente a temperatura t 1 superiore o inferiore.Si supponga di utilizzare una sorgente ad una temperatura superiore e di attendere il temponecessario allo scambio di calore con il sistema sino al raggiungimento della stessatemperatura.Durante la variazione di temperatura da t 0 a t 1 varierà anche il volume se si decide per unatrasformazione ISOBARA oppure la pressione se la trasformazione è ISOCORA.Alla fine i parametri di stato caratteristici saranno: 1 1p0 ; V0 ; t1Con V 1  V 0 se la trasformazione è isocora oppure p 1  p 0 se è isobara.Si ripete ora nuovamente una FASE 6 mantenendo collegata la sorgente t 1 , variandolentamente la pressione ed annotando i corrispondenti volumi ai nuovi stati d’equilibrio.Al termine delle operazioni saremo in possesso di altre terne di parametri di statocaratteristiche di ogni reiterazione: 1 1p1 ; V1 ; t1 1 1p2 ; V2 ; t1 1 1p 3 ; V3 ; t1……………….………………. 1 1pn ; Vn ; t1Avendo ancora indicato con n il numero di prove. 41
  • 42. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 19 – TRASFORMAZIONE ISOTERMA ALLA TEMPERATURA T0FASE 8 – Costruzione di diagramma pressione-volume.Con i dati ricavati dalla prima e dalla seconda FASE 6 – a due temperature differenti -, sicostruisce, per punti, il diagramma cartesiano p , V riportando sull’asse orizzontale ilvolume e la pressione sull’asse verticale.Resta inteso che le due trasformazioni a differenti temperature saranno raffigurate da duedistinti diagrammi e dalle relative funzioni.Relativamente ai dati ottenuti durante la trasformazione a temperatura t 0 si potrà notare chei prodotti ottenuti moltiplicando il valore della pressione per il relativo valore di volumesono sensibilmente uguali tra loro ed uguali ad una costante K 0 :p 0  V 0  p 1  V1  p 2  V 2  .......... .  p n  V n  K 0Da cui: p  V t 0  K 0Lo stesso vale per la trasformazione a temperatura t 1 salvo il fatto che il valore dellacostante K 1 è diverso dalla precedente, cioè:p 0  V 0  p 1  V 1  p 2  V 2  .......... .  p n  V n  K 1 1 1 1 1 1 1 1 1 42
  • 43. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDa cui: p  V t1  K1Con: K 0  K 1E, nel caso che la temperatura t 1 sia maggiore della temperatura t 0 si avrà:K1  K0Le relazioni intercorrenti, a temperatura costante, tra la pressione esercitata e il volumeoccupato, chiaramente di tipo inversamente proporzionale, sono rappresentate graficamenteda iperboli equilatere di funzione analitica rispettivamente: K0p V   ISOTERMA ALLA TEMPERATURA t 0 V K1p V   ISOTERMA ALLA TEMPERATURA t 1 VIn cui i valori delle costanti K sono, rispettivamente:K 0  p 0  V0K 1  p 0  V0 1 1Figura 20 – DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME - TRASFORMAZIONI ISOTERME 43
  • 44. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLEGGE DI BOYLE-MARIOTTEIn conclusione si è ottenuta la relazione sperimentale di Boyle-Mariotte riguardante letrasformazioni “ISOTERME” – a temperatura costante - dei gas perfetti contenuti nei sistemitermodinamici.p  V  p 0  V0  K 0 Valida per isoterma alla temperatura T 0Oppure:p 2  V 2  p 1  V1 Valida per isoterma ad una temperatura qualsiasiDa cui: V1 p2   p1 ISOTERMA ALLA TEMPERATURA T V2 p1 V2   V1 ISOTERMA ALLA TEMPERATURA T p2Dalla prima relazione si determina la pressione p 2 di un gas che, ad una certa temperatura, occupaun volume noto V 2 se si conoscono la pressione p 1 e il volume V 1 caratteristici alla stessatemperatura di un altro punto della stessa trasformazione.La stessa cosa dicasi a proposito del calcolo del volume V 2LE TRASFORMAZIONI ISOCORE ED ISOBARE SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUMEIl diagramma  p ; V  caratteristico delle trasformazioni ISOTERME – regolate dalla Legge diBoyle – può essere utilizzato per una diversa e, allo stesso tempo più completa, rappresentazionedelle trasformazioni ISOCORE ed ISOBARE, regolate invece dalle due LEGGI DI Gay-Lussac.L’isobara – trasformazione caratterizzata dalla variazione di temperatura e dalla pressione costante– sarà rappresentata dal segmento orizzontale che collega un punto caratteristico dell’isotermarappresentativa della temperatura iniziale T i ad un altro punto sull’isoterma rappresentativa dellatemperatura finale T f .L’isocora – trasformazione caratterizzata dalla variazione di temperatura e dal volume che simantiene costante – sarà rappresentata dal segmento verticale che collega le due isotermerispettivamente alla temperatura iniziale T i e alla temperatura T f . 44
  • 45. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 21 – TRASFORMAZIONE ISOBARA SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUMEFigura 22 – TRASFORMAZIONE ISOCORA SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME 45
  • 46. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoSERIE DI TRASFORMAZIONI A CICLO CHIUSOParticolare importanza per le trasformazioni successive che riportano il sistema termodinamicoideale ed il gas in esso contenuto alle condizioni iniziali di partenza.E’ ovvio che il gas segue un ciclo chiuso composto da un numero indefinito di trasformazioni il cuirisultato è quello di riportare i parametri di stato pressione, volume e temperatura agli stessi valoriiniziali.Non è invece affatto ovvio che tutte le sorgenti ad esso collegate durante le svariate fasi delletrasformazioni siano riportate, alla fine del ciclo chiuso, alle stesse ed identiche condizioni iniziali.La serie di trasformazioni – ISOTERMA, ISOCORA ed ISOBARA – che costituiscono, in unordine qualsiasi, un ciclo chiuso, possono essere rappresentate su un diagramma pressione-volumeseguendo il criterio precedentemente illustrato. Figura 23 – CICLO CHIUSO DI TRASFORMAZIONI ISOBARE, ISOCORE, ISOTERME 46
  • 47. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino INTERPRETAZIONE E SIGNIFICATO DEL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME1 - COSTANTE DI STATO – INTRODUZIONE ALL’EQUAZIONE GENERALE DI STATOL’iperbole equilatera che rappresenta, sul diagramma pressione-volume, una trasformazioneisoterma alla temperatura T qualsiasi – si preferisce qui utilizzare la definizione di temperaturaassoluta – è costituita di una serie continua di punti ognuno dei quali è caratterizzato da una coppiadiversa di parametri di stato – pressione e volume – e ha in comune il valore costante dellatemperatura.Per tutti gli stati d’equilibrio appartenenti ad un’isoterma alla temperatura T 1 , in virtù della Leggedi Boyle, è costante il prodotto della pressione per il volume.Per tutti gli stati d’equilibrio appartenenti ad un’isoterma a temperatura T 2 è ancora costante ilprodotto pressione-volume ma il suo valore è diverso dal valore caratteristico dell’isotermaprecedente.Inoltre, come si vedrà, è possibile ed utile riferire il valore costante p  V , relativamente adun’isoterma qualsiasi, al valore costante p 0  V 0 caratteristico dell’isoterma alla temperatura di0°C.Tale riferimento conduce immediatamente alla Equazione Generale di Stato dei gas perfetti.Quindi, prese due isoterme qualsiasi alle temperature T 1 e T 2 oltre all’isoterma di riferimentocaratteristica della temperatura T 0  273 ,16  K  e definendo A , B e 0 tre punti appartenentirispettivamente all’isoterma T 1 , all’isoterma T 2 e all’isoterma T 0 ognuno dei quali definisce lostesso volume o la stessa pressione, si avrà: 1 1 p 0  V0  p 0  V0  K 0 Per il punto 0 e per tutti i punti sull’isoterma T 0 1 1 p A  VA  p A  VA  K 1 Per il punto A e per tutti i punti sull’isoterma T A 1 1 p B  VB  p B  VB  K 2 Per il punto B e per tutti i punti sull’isoterma T 0Con:  V0  VA  VB Se la trasformazione da 0 a B è a volume costante (isocora)  p0  pA  pB Se la trasformazione da 0 a B è a pressione costante (isobara)  K0  K1  K2  K 2  K1  K0  K i  C  f T  47
  • 48. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Figura 24 – CALCOLO DEI VALORI DI K CON TRASFORMAZIONE ISOCORAConsiderando che i punti 0 , A , B sono posizionati su un’isocora – volume costante – e che letemperature sono variabili dal valore T 0  273 ,16  K  al valore qualsiasi T 2 , per essi ha validitàla seconda Legge di Gay-Lussac, ed è quindi possibile riferire le pressioni alla pressione iniziale ealla temperatura iniziale.Si ha quindi: p0pA   T1 T0 p0pB   T2 T0Considerando poi che il volume V 0 rappresenta la base di tutti e tre i rettangoli caratteristici dellerispettive isoterme, si ottengono i valori delle costanti K 0 , K 1 e K 2 : p 0  V0K 0  p 0  V0   T0 T0 p0 p 0  V0K 1  p A  VA  p A  V0   T1  V 0   T1 T0 T0 p0 p 0  VoK 2  p B  VB  p B  V0   T2  V0   T2 T0 T0 48
  • 49. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoL’area dei rettangoli caratteristici di ogni isoterma è quindi direttamente proporzionale allarispettiva temperatura assoluta e ad un coefficiente generale di stato il cui valore è dato da: p 0  V0C  T0I valori di pressione e volume relativi all’isoterma alla temperatura di 273,16 (K), data la costanzadel prodotto p  V , possono essere riferiti, ad esempio, a quelli che eserciterebbe una mole o unachilomole di gas perfetto alla temperatura normale t  0   C  .In conclusione la Legge di Boyle-Mariotte applicata alle tre isoterme considerate, assume la forma: p 0  V0pV   T0  C  T0 Isoterma T 0 T0 p 0  V0pV   T1  C  T1 Isoterma T 1 T0 p 0  V0pV   T2  C  T2 Isoterma T 2 T0Si sarebbe giunti alla stessa conclusione utilizzando, per il calcolo dell’area dei rettangoli p  V ,una trasformazione isobara in grado di, mantenendo costante il valore della pressione – altezza delrettangolo -, modificarne i volumi cioè la basi. Figura 25 – CALCOLO DEI VALORI DI K CON TRASFORMAZIONE ISOBARA 49
  • 50. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino2 – LAVORO MECCANICO ED ENERGIA TERMICAUnitamente al diagramma pressione-volume relativo ad una trasformazione isoterma è utilericordare che il sistema termodinamico agisce da tramite per i trasferimenti di energia meccanica etermica da e verso le sorgenti collegate.A questo scopo è possibile schematizzare il sistema, le sorgenti e i trasferimenti energetici nel modoseguente: Figura 26 – FLUSSI ENERGETICI TRA SISTEMA E SORGENTI.Dal punto di vista del sistema termodinamico, il lavoro entrante L 1 e il calore entrante Q 2risultano positivi in quanto a carico delle rispettive sorgenti, viceversa il lavoro L 2 e il calore Q 1sono negativi in quanto uscenti.Naturalmente le definizioni s’invertono qualora il punto di vista sia la sorgente di energiameccanica o la sorgente di calore.Particolarmente importante è il punto di vista della sorgente E in quanto costituisce il nostroambiente di vita quotidiana e nostro obiettivo principale è produrre e utilizzare il lavoro.A questo riguardo sarà per noi positivo il lavoro L 2 che ci fornisce il sistema termodinamico,mentre negativo sarà L 1 che lo stesso ci sottrae.Potendo scegliere tra due sistemi – o macchine termodinamiche – opteremo per quella che è ingrado di fornirci la maggiore energia L 2 o, ancora meglio, la maggiore differenza – in terminipositivi -  L  L 2  L 1 .Si supponga ora di agire sul gas del sistema producendo in esso una trasformazione tale damodificare il suo stato facendolo passare da “1” a “2” entrambi caratterizzati dall’equilibriotermico. 50
  • 51. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLo stato 1 sarà caratterizzato dai seguenti parametri:p1   V1 T  Lo stato 2 dai seguenti:p2  V2 T  Supponiamo inoltre che, per passare da 1 a 2, sia necessario aumentare la forza applicata al pistonead esempio incrementando la massa appoggiata, in modo tale che risulti una forza F1 a definire lostato 1 e una forza F2 per lo stato 2 .Alla forza F1 corrisponde la pressione iniziale p 1 , alla forza F2 la pressione finale p 2 .A causa dell’improvviso incremento della forza, lo stato d’equilibrio iniziale non può esseremantenuto e il pistone accelera verso il basso riducendo il volume di gas ed incrementando lapressione nel cilindro.Il movimento del pistone, ipotizzando nullo l’attrito con le pareti, sarà analogo a quello di unoscillatore smorzato all’intorno della nuova posizione d’equilibrio 2 .Durante il moto oscillatorio e transitorio del pistone, la temperatura e la pressione sarannocomunque sempre superiori ai valori iniziali e, a riguardo della pressione, potremo ammettere cheessa si manterrà, mediamente, pari al valore della pressione p 2 .Ciò significa che, mentre il pistone ha raggiunto la posizione 2 discendendo, l’energia cineticaacquistata ha un valore tale da costringerlo ad abbassarsi ancora comprimendo il gas ad unapressione maggiore di quella che caratterizzerà, alla fine, il secondo stato d’equilibrio.La temperatura sarà sempre superiore a quella di partenza cosicché, per tale periodo transitorio, nonè possibile ritenere isoterma la trasformazione del gas.E’ durante questa fase transitoria che il sistema cede, alla sorgente termica a temperaturaleggermente inferiore, la quantità di calore Q 1 indicata nello schema.E’ ancora durante questa fase transitoria che il sistema riceve, dalla sorgente di energia meccanica,la quantità di lavoro L 1 il cui valore è calcolato tenendo conto dello spostamento della forza F2applicata:L 1  F2   hCon:h Abbassamento del pistone dalla posizione iniziale a quella finale. 51
  • 52. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoD’altra parte, per i motivi prima esposti, la forza F2 è compensata dal valore della pressione p 2 cheagisce sulla superficie del pistone:F2  p 2  SPer cui il lavoro è espresso anche:L1  p2  S  hE, considerando che:S   h   V  V1  V 2L 1  p 2   V  p 2   V1  V 2 Sul diagramma pressione-volume dell’isoterma caratteristica della trasformazione tale lavoro –evidentemente negativo dal punto di vista della sorgente E - è rappresentato dall’area delrettangolo evidenziato. Figura 27 – LAVORO FORNITO AL SISTEMA DALLA SORGENTE E.Se ora si elimina la forza F2 , tornando cosi alla forza F1 , si può ripetere il ragionamentoprecedente con la seguente conclusione:Il gas si espande e spinge la forza F1 verso l’alto restituendo così alla sorgente esterna E una certaquantità di lavoro L 2 ; nello stesso tempo si raffredda prelevando così dalla sorgente termica unacerta quantità di calore Q 2 . 52
  • 53. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl lavoro L 2 sarà definito, come in precedenza, da:L 2  p 1   V  p 1   V1  V 2 E rappresentato dall’area del rettangolo evidenziato sul diagramma pressione-volume: Figura 28 – LAVORO FORNITO DAL SISTEMA ALLA SORGENTE E.Il gas del sistema ha quindi subito due trasformazioni consecutive che hanno riportato i parametriagli stessi valori dello stato iniziale, ma, per quanto riguarda la sorgente di energia meccanica, lostato iniziale e quello finale non sono coincidenti.La sorgente E ha, infatti, ceduto al sistema più energia di quanta ricevuta e ha, perciò, persocapacità di svolgere lavoro.D’altra parte, dopo le due trasformazioni e secondo dati sperimentali, anche la sorgente termica nonè nelle stesse condizioni iniziali in quanto ha ricevuto dal sistema una quantità di calore superiore aquella ceduta.La sua capacità di ricevere altro calore è così diminuita.Le due trasformazioni, come descritte, avvengono secondo modalità tanto più dinamiche quanto piùgrande è la differenza tra la forze agenti.Pensando di incrementare in termini infinitesimi la forza agente si può pensare di raggiungere lostato d’equilibrio successivo seguendo modalità statiche.In altre parole: Per raggiungere, partendo dallo stato 1 , il nuovo stato d’equilibrio 2 è necessario il passaggio attraverso infiniti altri stati d’equilibrio intermedi. Gli infiniti stati d’equilibrio intermedi costituiscono un’isoterma.In questi termini il lavoro complessivo L 1 , ceduto dalla sorgente E al sistema, è rappresentatodall’area confinata superiormente dall’iperbole tipica dell’isoterma e lateralmente dal volumeiniziale e finale. 53
  • 54. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLa trasformazione inversa restituisce alla sorgente E la stessa quantità di lavoro.Le quantità di calore cedute e prelevate dal sistema alla sorgente termica sono le stesse.Le trasformazioni di questo tipo sono dette “QUASI-STATICHE” e si definiscono“REVERSIBILI” in quanto possono essere percorse nei due sensi. Figura 29 – LAVORO DI UNA TRASFORMAZIONE “QUASI-STATICA” REVERSIBILE. Figura 30 – TRASFORMAZIONI REVERSIBILI 54
  • 55. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE – TRASFORMAZIONI ISOTERME. ESERCIZI.ESERCIZIO 1:Un gas occupa, alla temperatura t 1  0   C  , un volume V1  30 dm  . Mantenendo costante la 3temperatura lo si comprime 55
  • 56. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino L’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTIUtilizzando le Leggi di Gay-Lussac unitamente alla Legge di Boyle-Mariotte è ora possibilericavare una legge più generale in cui sono presenti contemporaneamente le tre variabili di stato“pressione, volume, temperatura” e la quantità di gas, costante o variabile durante le trasformazioni.Tale legge sarà definita “EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI” e permetterà dideterminare i parametri caratteristici di un qualsiasi stato d’equilibrio senza dover necessariamentepreoccuparci del tipo di trasformazione avvenuto all’interno del sistema termodinamico.Supponiamo quindi che il gas passi da uno stato d’equilibrio 1 definito dal valore dei parametri p 1  V 1  T 1  ad un nuovo stato d’equilibrio generico  p  V  T  .Dal punto di vista del gas non sono assolutamente rilevanti né il tipo né la quantità di trasformazioniche deve subire per modificare i suoi parametri in quanto gli stati d’equilibrio sono univoci edipendono sono dai valori assunti dalla terna di parametri di stato.E’ quindi possibile immaginare una serie qualsiasi di trasformazioni semplici alla sola condizioneche esse, alla fine, conducano, partendo dalla terna di parametri iniziali, alla terna finale.Decidiamo quindi di utilizzare una serie di trasformazioni costituita da un’isocora, da un’isoterma eda un’isobara e, visto che ci è consentito, decidiamo anche di costringere il gas, prima di giungereallo stato finale, ad assumere una temperatura pari allo zero centigrado cioè T 0  273 ,16  K  .Utilizziamo il diagramma pressione-volume e le tre isoterme caratteristiche delle temperatureiniziale, finale e dello zero centigrado, riportando sulle prime due i punti di coordinate iniziali efinali: Stato d’equilibrio iniziale  1   p 1  V 1  T1  Stato d’equilibrio finale  2  p  V  T Indichiamo poi, con un tratto verticale, la trasformazione isocora dal punto 1 al punto Asull’isoterma T 0  273 ,16  K  .Seguendo l’isoterma T 0 - con una trasformazione a temperatura costante – proseguiamo latrasformazione sino ad un punto B al quale corrisponde una pressione del gas uguale alla pressione p caratteristica del punto 2 finale.Concludiamo infine con una trasformazione isobara dallo stato d’equilibrio B allo statod’equilibrio finale 2 .Risulta chiaro che, se non si cambiano i parametri dello stato iniziale e finale, caratteristici delsistema termodinamico, il risultato non dipende né dal numero né dal tipo di trasformazioniintermedie in quanto lo stato d’equilibrio finale può comunque essere raggiunto con una serie ditrasformazioni qualsiasi.Da quanto esposto precedentemente a proposito dell’interpretazione della legge di Boyle dovrebbeessere chiaro che, se nulla cambia circa le condizioni del sistema termodinamico alla fine delletrasformazioni scelte, ciò non è altrettanto vero dal punto di vista delle sorgenti collegate al sistema. 56
  • 57. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 31 -Applicazione della seconda Legge di Gay-Lussac alla trasformazione isocora 1  A :Il sistema termodinamico, nello stato iniziale di parametri p 1  V1  T1 , è collegato ad unasorgente termica alla temperatura T 0  273 ,16  K  alla quale inizia a cedere calore. Ilpistone è bloccato perciò la trasformazione è isocora e lo stato finale d’equilibrio saràcaratterizzato dai nuovi parametri:  p1  p   T0  A T1  p1 pA    Stato A     V A  V1  T1 T0 T  T   A 0     Applicazione della Legge di Boyle alla trasformazione isoterma A  B :Il pistone è sbloccato e la sorgente alla temperatura T 0 continua ad essere collegata alsistema. Si variano la pressione e il volume in modo lento e graduale in modo da realizzareuna trasformazione isoterma sino a raggiungere il nuovo stato d’equilibrio B caratterizzatodai seguenti parametri: pB  p     p A  VA Stato B  p A  VA  p B  VB VB   PB   T  T   B 0  57
  • 58. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Applicazione della prima Legge di Gay-Lussac alla trasformazione isobara B  2 : Con il pistone sbloccato e utilizzando il collegamento ad una sorgente alla temperatura T 2 si realizza una trasformazione isobara sino a raggiungere il nuovo stato d’equilibrio finale. Esso sarà caratterizzato dai parametri: p2  pB  p    V VB  VB  Stato 2    V2  V   T2  T2 T0 T0   T  T  2  In conclusione:Per il punto 2 situato sull’isoterma T 2 vale quindi: V  p  VBp 2  V2  p  V  p B   B  T2    B   T2  T0  T0D’altra parte essendo i due punti A e B sulla stessa isoterma T 0 , vale la Legge di Boyle, quindi:p B  VB p A  VA n  p 0  V0    T0 T0 T0p B  VB  p A  VA  n  p 0  V0In cui lo stato d’equilibrio 0 è caratterizzato dal fatto che la pressione è equivalente alla pressioneesercitata normalmente alla temperatura di zero gradi centigradi da una quantità di gas pari ad unamole (il peso del gas equivale al suo peso molecolare) e che il volume è equivalente al volumenormalmente occupato, alla temperatura di zero gradi centigradi e alla pressione normale, sempreda una mole di gas:  N p 0  101 . 325  2   101 . 325  Pa  m V 0  22 , 414 dm   2 22 , 414  litri   0 , 022414 m  3Il prodotto p A  V A  p B  V B è quindi direttamente proporzionale alla quantità di gas contenutanel sistema cioè al numero di moli o chilomoli n con p 0  V 0 costante di proporzionalità.In definitiva lo stato d’equilibrio finale relativo ad un punto qualsiasi di una qualsiasi isoterma allatemperatura T è rappresentato dall’equazione generale di stato dei gas perfetti:  p  V0 p V  n  0  T  EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI  T0  58
  • 59. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDove il termine entro la parentesi è costante ed ha un valore pari a: Se n è misurato in moli:  N   m3  101 . 325    0 , 022414   2  mole  p 0  V0 m     N m   J    8 , 314    8 , 314   T0 273 ,16 K   mole  K   mole  K  Se n è misurato in chilomoli:  N   m 3  101 . 325    22 , 414   2  chilomole  p 0  V0  m     N m   J    8 . 314    8 . 314   T0 273 ,16 K   chilomole K   chilomole K La costante è denominata “ COSTANTE DI STATO DEI GAS PERFETTI ” ed è indicata con R : p 0  V0  J R   8 , 314   T0  mole  K L’equazione generale di STATO DEI GAS PERFETTI assume quindi la forma: p V  n R T 59
  • 60. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI ESERCIZI.ESERCIZIO 1:In un recipiente di volume V  35 m 3  è riempito, alla temperatura t 1  50   C  , con un gascompresso sino al raggiungimento di una pressione p  20  atm  . Determinare la temperatura allaquale occorre riscaldare il gas, senza modificarne la quantità, per aumentarne la pressione del 25 %pensando di aumentare, nel contempo, il volume del recipiente del 12 % .Soluzione:Il gas compresso nel recipiente alla temperatura T 1  323 ,16  K  assume la pressione iniziale datase la quantità è:p V  n R T 20  atm   101  N  . 325   3   35 m pV 2 m n    26 , 39  chimol  R T  J  8 . 314    323 ,16  K   chimol K La temperatura necessaria per aumentare la pressione del 25% quando il volume aumenta del 12%è: pV 20  101 . 325  1 , 25  35  1 ,12T    452 , 57 K   179 , 42   C  n R 26 , 39  8 . 314ESERCIZIO 2:Supponendo di scaldare un volume di gas pari a V1  100 dm  con pressione costante, da una 3temperatura t 1  25   C  ad una temperatura t 2  100   C  , determinare il volume finale occupatodal gas.Soluzione:La pressione e la quantità di gas rimangono costanti durante la trasformazione isobara.Si può applicare l’equazione di stato per il gas nelle due distinte condizioni:p 1  V 1  n  R  T1p 2  V2  p1  V2  n  R  T2Dividendo membro a membro si ottiene:p 1  V1 n  R  T1 p1  V2 n  R  T2Da cui:V1 T1  Cioè si è ottenuta la prima legge di Gay-Lussac per l’isobaraV2 T2Quindi:V2  T2  V1  373 ,16  100  125 ,15 dm 3  T1 298 ,16 60
  • 61. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 3:Un gas alla temperatura t  0  C e alla pressione di 1 atmosfera occupa un volume di 30 litri. Lo sicomprime a 3 atmosfere e durante la compressione lo si riscalda a 75° C. Determinare il volumefinale.Soluzione:Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti ai due stati d’equilibrio, si ottiene:p 1  V 1  n  R  T1p 2  V2  n  R  T2Da cui: p 1  V1 p 2  V2n R   T1 T2Cioè: p 1  V1 T2 1  atm   30  l   348 ,16  K V2     12 , 74  litri  p2 T1 3  atm   273 ,16  K ESERCIZIO 4:In una bombola di capacità 50 litri, contenente gas compresso a 25 atmosfere, è fatto fuoriuscire delgas in modo da riempire un recipiente di 200 litri a pressione atmosferica. Determinare la pressionefinale del gas restante nella bombola.Soluzione:Lo stato d’equilibrio del gas in pressione contenuto nella bombola piena è: 1) p 1  V1  n  R  TLo stato d’equilibrio del gas in pressione nella bombola dopo il travaso, sarà: 2) p 2  V1   n  n 1   R  TLo stato d’equilibrio del gas nel recipiente di 200 litri, sarà: 3) p 3  V3  n1  R  TRicavando R  T dalle tre equazioni si ottiene: p 1  V1R T  n p 2  V1R T  n  n1  p 3  V3R T  n1Ricavando n 1 dalla terza equazione: p 3  V3n1  R T 61
  • 62. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoE sostituendo tale valore nella seconda:  p  V3 p 2  V1   n  3   R  T  n  R  T  p 3  V3  R T Tenendo poi conto della prima:p 2  V1  p 1  V1  p 3  V 3Si ricava il valore della pressione p 2 : p 1  V1  p 3  V 3 25  atm   50  l   1  atm   200  l p2    21  atm  V1 50  l La risoluzione dell’esercizio poteva essere svolta nel modo seguente:Il gas compresso nel primo recipiente possiede un’energia data dal prodotto della pressione per ilvolume:  N      2 1  p 1  V 1  25  atm   101 . 325  N  J  m  3E1  50 dm  126 . 656 m 126 . 656  atm   dm 3    1 . 000      3   m Parte del gas compresso è travasato e fatto espandere, si ritiene a pressione iniziale nulla, in un altrorecipiente sino a raggiungere una pressione pari alla pressione atmosferica normale.Il gas contenuto, alla fine, nel secondo recipiente possiede un’energia data da:  N E 3  p 3  V 3  101 . 325  2   200 dm  3  1  20 . 265 J  m   dm 3  1 . 000    3   m Per cui, nel primo recipiente, il gas rimasto deve possedere un’energia pari alla differenza tral’energia iniziale e l’energia trasferita: E 2  E 1  E 3  126 . 656  20 . 265  106 . 360  J Tale energia, considerato che il volume non è cambiato, è ancora data dal prodotto della pressionefinale per il volume:p 2  V 1  106 . 360Da cui:  N  106 . 369   2 m   N  2 . 127 . 380p2   2 . 127 . 380     21  atm   m3  2 m    1 101 . 325 50 dm 3    1 . 000  dm 3    62
  • 63. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 5:Si collegano tra loro due bombole: una di volume V 1  10  litri  e contenente gas ad una pressionep 1  20  atm  e l’altra di volume V 2  0 , 3  litri  con gas a pressione p 2  80  atm  . Determinare lapressione finale del gas.Soluzione:Applicando l’equazione di stato alle due bombole:1) p 1  V1  n 1  R  T2) p 2  V2  n 2  R  TE al recipiente che si ottiene con il collegamento delle due bombole:3) p 3  V1  V 2   n 1  n 2   R  TPer cui, sostituendo nelle 3) i valori della 1) e 2):p 3   V1  V 2  p 1  V1  p 2  V 2Da cui: 20  10  80  0 , 3p3   21 , 75  atm  10 , 3ESERCIZIO 6:Una bombola di volume V  20 l  contiene 4,0 grammi di Idrogeno alla pressioneP  2 , 5  10 5  Pa  . Determinare la temperatura del gas.Soluzione:Si utilizza l’equazione di stato:p V  n R TDa cui si ricava la temperatura: pVT  n RTenendo conto che una mole di idrogeno biatomico ha un peso di 2 grammi, il numero di molicontenute nella bombola è: Peso 4 g n    2  moli  Peso molare  g  2    mole Per cui: 20 dm 3   1  2 , 5  10 5  N     dm 3  2  m  1 . 000    3   m T   300 , 69 K   27 , 53   C   J  2  moli   8 , 314    mole  K  63
  • 64. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 7:Calcolare il volume occupato da 7,2 moli di gas perfetto alla pressione di 75 kPa e alla temperaturadi -12° C.Soluzione:Il volume occupato dal gas si ricava dall’equazione di stato: n R TV  pIn cui:n  7 ,2  moli   J R  8 , 314    mole  K T  273 ,16  12  261 ,16 K   N p  75  kPa   75 . 000  Pa   75 . 000  2   m Per cui:  J  7 , 2  moli   8 , 314    261 ,16  K V   mole  K   0 , 208 m 3   208  litri   N  75 . 000   2 m ESERCIZIO 8:Determinare la pressione alla quale due moli di gas perfetto occupano un volume di 10 litri allatemperatura di 25° C.Soluzione:Con l’equazione di stato: n R Tp  VE sostituendo i valori dati:  J  2  mol   8 , 314    298 ,16  K   mol  K   J   N p   495 . 780    495 . 780    4 , 95  10 2  kPa    1 3 2 10 dm 3  m  m   dm 3  1 . 000    3   m  64
  • 65. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 9:Un recipiente contiene 4  10 26 molecole di gas perfetto alla pressione di 10 5  Pa  e allatemperatura di 0° C. Determinare il volume del recipiente.Soluzione:Considerando il numero d’Avogadro e il numero di molecole presenti, si ottiene il numero di moli: 26 4  10n  23  664  moli  6 , 022  10Applicando quindi l’equazione di stato:  J  664  mol   8 , 314    273 ,16  K V  n R T   mol  K   15 , 08 m 3  p 5  N  10  2  m ESERCIZIO 10:In un recipiente di volume V  1 dm  3  è stato creato quasi il vuoto con una pressione residua di 910  Pa  . Determinare il numero di molecole di gas ancora presenti se la temperatura è di 0° C.Soluzione:Con l’equazione di stato si determina il numero di moli e poi, con il numero d’Avogadro, il numerodi molecole: 10 9  N   2   1 dm  3  1 m   dm 3  1 . 000    3  pV  m   16n    4 , 40  10  moli  R T  J  8 , 314    273 ,16 K   mol  K Da cui:  16N  nN A  4 ,4  6 , 022  10 23  2 , 65  10 8  molecole ESERCIZIO 11:Un recipiente della capacità di V  0 ,5 m 3  contiene dell’ossigeno alla pressione p  250  kPa  ealla temperatura t  9   C  . Determinare la massa del gas contenuta nel recipiente.Soluzione:Dall’equazione di stato:  N  250 . 000    0 ,5 m  3 pV 2 m n    53 , 28  moli  R T  N m  8 , 314    282 ,16  K   mol  K Per cui:  gr M  n  P M  53 , 28  moli   32    1 . 705  gr   1 , 705  kg   mol  65
  • 66. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 12:Una certa quantità di gas perfetto si trova alla temperatura t  30   C  e alla pressionep  100  kPa  . Determinare la densità molecolare (cioè il numero di molecole per unità di volume)del gas.Soluzione: nDall’equazione di stato si ricava il rapporto : Vp V  n R T  N  100 . 000   n p 2 m   mol     39 , 67   V R T  N m  3  m  8 , 314    303 ,16  K   mol  K Da cui, moltiplicando per il numero d’Avogadro:n N A  mol   39 , 67  3   6 , 022  10 23 mol 1   2 , 39  10 25  molecole  3   V  m   m ESERCIZIO 13:Un cilindro, lungo 92 cm e chiuso alle estremità, è diviso in due parti da un pistone termicamenteisolante. Una stessa quantità di gas perfetto, alla stessa temperatura di 330 K e alla stessa pressionedi 10 5  Pa  , si trova in ciascuna delle due parti. Il gas che si trova da una parte è riscaldato di 30 K.Determinare di quanto si sposta il pistone e quanto vale la pressione del gas in ciascuna delle dueparti.Soluzione:Il pistone è inizialmente in equilibrio in quanto la pressione dalle due parti è uguale. Ilriscaldamento di una delle due parti di gas modifica il prodotto p  V . La variazione può esserecalcolata con l’equazione di stato:p 1  V 1  n  R  T1 a 330 Kp 2  V2  n  R  T2 a 360 KCon:p 1  10 5  Pa V 1  0 , 46  S Volume iniziale pari a metà del volume totaleV 2  V1   V Volume finale dopo il riscaldamentoDa cui si ottiene:p 2  V2 T2 p 1  V1 T1D’altra parte, il gas contenuto nella seconda zona, essendo il pistone termicamente isolante, subisceuna trasformazione isotermica regolata dalla Legge di Boyle-Mariotte. Per esso il prodotto p  Vdeve rimanere costante ed uguale a quello iniziale: 66
  • 67. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino  m   S m 2  5  N p 3  V 3  p 10    0 , 46 2  m p 3  V 3  p 1  V 1  10 5  N   2   0 , 46  m   S m  2 m p 4  V4  p 3  V3 p 3  V3 p 1  V1p4   V4 V1   VMa, considerato che dopo il riscaldamento, il pistone è ancora in equilibrio, risulta che le pressionifinali nelle due parti del cilindro devono ancora essere uguali.Per cui:p2  p4 V1 T2p2   p1  V2 T1 5 p 1  V1 10  0 , 46  Sp4   V4 V1   VUguagliando le espressioni della pressione: 5 V1 T2 10  0 , 46  Sp2   p1   V2 T1 V1   VDa cui: 5 V1 T2 10  0 , 46  S 0 , 46  S T2 0 , 46  S  p1     V1   V T1 V1   V V1   V T1 V1   V 1 T2 1 V1   V T1 V1   V      V1   V T1 V1   V 1 T2 1  T1   T1  V    1   V1  1        T2   T2   T   T   330  1  1  1  1  1       V  T2  S  h h  T2   360        0 , 04348 V1  T1  0 , 46  S 0 , 46  T1   330    1   1   1      T2   T2   360   h  0 , 46  0 , 04348  0 , 02  m  2  cm Si può ora determinare la pressione finale p2 utilizzando, ad esempio, la relazione: V1 T2p2   p1  V2 T1In cui:V1 0 , 46  S 0 , 46  V2  0 , 46  0 , 02 S 0 , 48Così: 0 , 46 360p2   10 5   1 , 045  10 5  Pa  0 , 48 330 67
  • 68. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 14:Due recipienti cilindrici collegati tra loro sono riempiti in parte con acqua. Il rapporto tra le sezioniorizzontali dei cilindri è pari a 3/2. L’altezza della colonna d’aria nei due recipienti è,rispettivamente, h 1  1 , 00  m  e h 2  0 , 40  m  e la pressione nel serbatoio di destra vale  Pa  .p 1  8 , 5  10 4Il serbatoio di sinistra è chiuso all’estremità, mentre, quello di destra, è munito di rubinetto di sfiato.In un secondo momento è aperto il rubinetto di sfiato e il recipiente di destra è messo incomunicazione con l’atmosfera sino al raggiungimento delle condizioni d’equilibrio.Determinare le altezze delle colonne d’aria nei due recipienti e la pressione nel recipiente di sinistradopo che si è raggiunto l’equilibrio.Soluzione: Figura 32La pressione iniziale nel recipiente di destra è inferiore alla pressione atmosferica normale e, perquesto motivo, aprendo il rubinetto di sfiato, entra aria dall’esterno e la pressione finale pareggia,alla fine, la pressione atmosferica.Evidentemente, per effetto dell’aumento di pressione, l’altezza subisce un incremento.Inizialmente l’aria contenuta nel recipiente di sinistra si troverà ad una pressione inferiore allapressione nel recipiente di destra.La pressione iniziale nel recipiente di sinistra può essere calcolata utilizzando la Legge di Stevin: p 1  p 2   H 20   h 1  h 2 Durante l’apertura del rubinetto l’aria contenuta nel recipiente di sinistra subisce una trasformazioneisoterma per cui deve valere la Legge di Boyle-Mariotte:p 2  V2  p 3  V3Alla fine la pressione p 3 potrà ancora essere calcolata utilizzando la Legge di Stevin e tenendoconto che, nel recipiente di destra il valore della pressione è pari alla pressione atmosferica normale.p atm  p 3   H 2 O   h 1p 3  p atm   H 2 O   h 1 68
  • 69. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCalcolo di p2 iniziale:  N   dm 3 p 2  p 1   H 2 O   h  8 , 5  10 4  Pa   9 ,81    1 . 000    1  0 , 40  m   79 . 114  Pa  3  3   dm   m Applicazione della Legge di Boyle-Mariotte:p 2  V2  p 3  V3p2  h2 S2  p3  h3 S2p2  h2  p3  h3 p2  h2p3  h3Determinazione della pressione incognita p3 caratteristica dello stato d’equilibrio finale con nuovoutilizzo della Legge di Stevin:p 3  p a    h 4  h 3 Per cui, uguagliando le relazioni relative alla pressione finale p3, si ottiene:p2  h2  p a    h 4  h 3  h3L’equazione, così com’è, non può essere risolta in quanto sono presenti due incognite - h 3 e h 4 -che caratterizzano i livelli delle superfici di separazione aria-acqua nei due cilindri allo statod’equilibrio finale.Si può però ovviare al problema considerando che, mentre l’aumento di pressione nel recipiente didestra dovuto all’apertura del rubinetto verso l’ambiente a pressione atmosferica produce unabbassamento del livello dal valore h 1 al valore h 4 , nel cilindro di sinistra il livello diminuisce dalvalore h 2 al valore h 3 .Il processo coinvolge evidentemente una stessa quantità d’acqua che si trasferisce quindi dalcilindro di destra a quello di sinistra.Tale quantità può essere espressa da: V1   h 4  S 1 V2   h 3  S 2In cui si sono indicati con  V 1 e  V 2 rispettivamente l’abbassamento di volume d’acqua nelcilindro di destra e l’aumento di volume d’acqua in quello di destra.D’altra parte si ha: V1   V 2Da cui risulta: h 4  S1   h 3  S 2h4 S2 S1 3  dove: h3 S1 S2 2 S1 h3   h4 S2 3 h3   h 4 2 69
  • 70. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoUtilizzando quest’ultima relazione è ora possibile modificare l’equazione a due incogniteriducendone il numero all’unità:p2  h2  p a    h 4  h 3  h3Dove: 3h3  h 2  h3  h 2   h 4 2h 4  h1  h 4Per cui si ottiene: p2  h2  3   pa     h1  h 4  h 2   h4  3   2 h2   h4  2 E’ un’equazione di secondo grado contenente una sola incognita cioè l’abbassamento di quotadell’acqua contenuta nel cilindro di destra oppure l’aumento di volume dell’aria per effettodell’incremento della pressione dal valore p 1 al valore p a .Dall’equazione si ottiene:  3    5 p2  h2  h2   h 4   pa     h1  h 2   h 4   2    2   5  3 3  5 p2  h 2  h 2  pa  h 2     h1  h 2   h4    h4  pa   h 4     h1  h 2   h4   2  2 2  2  5 3 3 15p 2  h 2  h 2  p a  h 2    h 1  h 2     h 4    h 1  h 2   2  h 2    h 4   h 4  pa     h 4 2 2 2 4Sostituendo i valori numerici in nostro possesso si ottiene:  N p 2  79 . 114   2 m h 2  0 , 40  m h 1  1 , 00  m   N   dm 3   N   9 , 81    1 . 000    9 . 810   3  3  3  dm   m  m   N p a  101 . 325   2  m   N   N   N 79 . 114  2   0 , 40  m  0 , 40  m   101 . 325  2   0 , 40  m   9 . 810  3   0 , 6  m  m  m  m  5  N  3  N  3  N   0 , 4  m   9 . 810    h 4   101 . 325    h 4   9 . 810    0 ,6 m    h 4 3 2 3 2 m  2 m  2 m  15  N  2  9 . 810    h 4 3 4 m  70
  • 71. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino  N   N   N   N   N 31 . 645    40 . 530    2 . 354    9 . 810  2    h 4  151 . 987  2   h 4 m  m  m  m  m   N   N  2 8 . 829     h 4  36 . 787    h 4 2 3 m  m Da cui:  N  2  N   N 36 . 787  3    h 4  152 . 968  2    h 4  6 . 531    0  m  m  m Cioè: 2 h 4  4 ,158   h 4  0 ,17754  0E’ questa l’equazione di secondo grado la cui risoluzione è: 4 ,158   4 ,158 2  4  0 ,17754 4 ,158  4 , 072h 4    4 ,115 ; 0 , 043 2 2I risultati sono espressi in metri.La prima soluzione è fisicamente inaccettabile in quanto l’abbassamento è eccessivo e impossibileper quanto riguarda il cilindro di sinistra.Quindi la soluzione reale è: h 4  0 , 043 m   4 , 3  cm Con questo risultato è possibile calcolare il valore finale delle quote:h 4  1 , 00  0 , 043  1 , 043 m  3 3h3  h 2  h3  h 2    h 4  0 ,4   0 , 043  0 , 3355 m  2 2 h F  1 , 043  0 , 3355  0 , 7075 m E il valore della pressione nel cilindro di sinistra:  N  79 . 114    0 , 40  m  p2  h2 2 m   N p3    94 . 323   h3 0 , 3355 m  2 m Verifica con la Legge di Stevin:  N   N   N p 3  p a     h 4  h 3   101 . 325    9 . 810    1 , 043  0 , 3355  m   94 . 384   2 3 2  m   m   m  71
  • 72. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoESERCIZIO 15:Dopo aver gonfiato lentamente una ruota di bicicletta si è determinato che il numero di moli èaumentato del 2%, la temperatura assoluta dell’1% e il volume della camera d’aria dello 0,2%.Determinare l’aumento in percentuale della pressione.Soluzione:Con l’equazione di stato, definiti:n Numero di moli inizialiT Temperatura inizialeV Volume inizialeP Pressione inizialen  1, 02 Numero di moli finaliT  1, 01 Temperatura finaleV  1, 002 Volume finalepx Pressione finaleSi ottiene:p V  n R T Equilibrio inizialep  x   V  1 , 002   n  1 , 02   R   T  1 , 01  Equilibrio finalePer cui: pV n R T p  x  V  1 , 002 n  1 , 02  R  T  1 , 01 1 1 x  1 , 002 1 , 02  1 , 01Da cui si ottiene x: 1 , 02  1 , 01x   1 , 02814 1 , 002L’aumento di pressione è del 2,814%. 72
  • 73. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICAProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino GAS PERFETTI E GAS REALI 73
  • 74. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoI GAS PERFETTI O IDEALI E I GAS REALISi è detto che un gas è considerato “perfetto” se è possibile immaginare nullo il volume occupatodalle molecole e distanze infinitamente grandi tra le stesse in modo da rendere impossibile lecollisioni o urti molecolari.In queste condizioni è possibile considerare pari a zero l’energia potenziale del gas in quanto risultanullo il lavoro che bisognerebbe eseguire per eliminare completamente le interazioni molecolari.L’energia posseduta dal gas è solamente quella cinetica dovuta alla velocità media con la quale lemolecole si muovono entro il volume occupato.Un gas con queste caratteristiche è definito “perfetto” o “ideale” ed è applicabile la Legge Generaledi stato o equazione di stato:p V  n R TSi ricorda che l’equazione di stato riassume le due Leggi di Gay-Lussac (isobara ed isocora –dilatazione del gas a pressione e/o volume costanti) e la Legge di Boyle-Mariotte (isoterma –dilatazione del gas a temperatura costante).In pratica l’equazione di stato è valida, quando la densità del gas è tale da consentire l’uso deltermine “rarefatto” per descriverne la caratteristica principale.Se, al contrario, le molecole del gas non sono sufficientemente distanti, ovvero se la densità èsuperiore a quella tipica di un gas ideale – per adesso non sono definiti termini di paragone – alloranon sarà difficile pensare che le molecole, adesso piuttosto vicine tra loro, possano scontrarsi ocomunque trovarsi le une nelle sfere d’azione delle altre.In questo caso non sarà più possibile considerare nulle l’energia potenziale e le forze di coesionemolecolari.Il gas sarà allora considerato “reale” ed il suo comportamento nei confronti delle trasformazioni edegli stati d’equilibrio non potrà essere descritto dall’equazione di stato così come prevista per i gasperfetti. 74
  • 75. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICAProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino TEORIA CINETICA DEI GAS 75
  • 76. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLA TEORIA CINETICA DEI GAS PERFETTICALCOLO DELLA PRESSIONE ESERCITATA DA UN GAS PERFETTO CONTENUTO INUN RECIPIENTE.Supponiamo di considerare una certa quantità di moli di un gas perfetto contenute in un recipientecubico di lato L .Il numero complessivo N è direttamente proporzionale al numero di moli n e si può otteneretenendo conto che ogni mole di gas contiene un numero di molecole pari al Numero di Avogadro,cosicché:N  n N A N = numero di molecole contenute nel recipiente. n = numero di moli N A = Numero d’Avogadro N A  6 , 0221  10 23  1     6 , 0221  10 23 mole 1   mole Per il gas contenuto nel recipiente cubico di spigolo L , trattandosi di gas perfetto o comunque difluido aeriforme con temperatura superiore alla temperatura critica caratteristica T C , sonoapplicabili le relazioni seguenti: la Legge Generale di Stato dei Gas Perfetti P  V  n  R  T  le due leggi di Gay-Lussac (trasformazione isocora a volume costante, isobara a pressione costante) la Legge di Boyle (trasformazione isotermica a temperatura costante)  P  V  k  :Leggi di Gay.Lussac:  Trasformazione isobara Pressione costante V  V 0  1     t  m 3  V0 V1 V  T  V2   T2 T0 T1  Trasformazione isocora Volume costante  N  P  P 0  1     t      Pascal  2  m  P0 P1 P  T  P2   T2 T0 T1 76
  • 77. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLegge di Boyle:  Trasformazione isotermica o isoterma (temperatura costante) P  V  P0  V 0  k  N   2  m  3    N  m   J  m  P1  V 1  P 2  V 2  k P2 V1 P1  V 1   P2  P1 V2 V2Legge generale di Stato dei gas perfetti: P V  n R T  N   2  m  3    N  m   J  m In cui:  1 K  1  273 ,16 P0  V 0 5  J R   8 , 31451  7  10   Costante universale dei gas perfetti T0  mole  K  Costante molare dei gas perfettiT  t  273 ,16 K  Temperatura assolutat  T  273 ,16  C  Temperatura in gradi CelsiusP 0  Pr essione atmosferic a normale a 273 ,16 K   m3 V 0  Volume molare gas perfetti  0 , 0224141    mole   T 0  Temperatur a assoluta equivalent e a 0   C   273 ,16 K P 0   Hg  h Hg Legge di Stevin  kg   dN  Hg  13 , 59    13 , 59   3 3  dm   dm h Hg  760  mm   kg   N   dm 2   N P 0  1  atm   7 , 6 dm Hg   13 , 59  3   9 , 81     100    2   101 . 325   2   1 , 01325  10 5  Pa   dm   kg   m  m   N   m3  1 , 01325  10 5    0 , 0224141   2  mole  P0  V 0  m     N m   J R    8 , 314    8 , 314   T0 273 ,16 K   mole  K   mole  K  77
  • 78. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTornando alle N molecole e immaginando di riuscire a visualizzarne una sola per un solo istante –come si vedrà più avanti la velocità teorica media di una molecola di Idrogeno alla temperatura  m   km T  273 K   t  0  C  è valutata v  1 . 850    6 . 660   - e, nel contempo di poterne  s   h misurare la massa m , ci accorgeremmo che è animata da una velocità v i con direzione e versoqualsiasi.La molecola è quindi paragonabile ad un proiettile di massa infinitesima che, nel suo cammino,continua a urtare necessariamente contro ogni ostacolo incontrato.Considerando che il fluido nel recipiente si comporta da gas perfetto solo se le molecole sonoinfinitamente distanti tra loro in modo tale da poter considerare nulla l’energia potenziale posseduta,potemmo pensare come ipotesi molto improbabili gli eventi classificabili come urti molecolari edinvece inevitabili gli urti delle molecole stesse contro le pareti del recipiente.Dato che, come si vedrà più avanti, il modulo della velocità molecolare ha un valore molto elevato eche il recipiente ha necessariamente dimensioni ridotte, seremo indotti a pensare che il numero diurti, nell’unità di tempo, della molecola-proiettile contro una delle qualsiasi pareti sia elevatissimoe, dato che anche il numero di molecole è enormemente grande, quella particolare parete siasottoposta ad un numero di urti infinitamente grande.Il risultato macroscopico dei continui urti microscopici delle molecole contro le pareti saràassimilabile alla presenza di una forza applicata alla parete in modo oscillatorio con frequenza tipicatalmente elevata da farla risultare continua.In virtù del Terzo Principio della Dinamica (Legge d’azione e reazione) potremo altresì immaginareche le pareti del recipiente, sottoposte dalle molecole del gas a forze continue, reagiscano sullemolecole stesse applicando loro forze uguali e contrarie.Ipotizzando quindi di riuscire in qualche modo a determinare il valore delle forze applicate allepareti e dalla conoscenza delle superfici coinvolte, sarà poi semplice procedura il calcolo della forzasull’unità di superficie cioè della PRESSIONE.Ma torniamo a parlare della velocità molecolare incognita.La velocità molecolare v i può quindi essere scomposta secondo le tre direzioni principali,parallele, ognuna, ad uno degli spigoli del recipiente cubico.Otteniamo:v i  v ix  v iy  v izO anche:v i  xy   v ix  v iy 2 2v i  xy   v ix  v iyv i  v i  xy   v iz 2 2 2 2 2vi  v i  xy   v iz  v ix  v iy  v izPer cui, tralasciando il simbolo del modulo: 2 2 2 2v i  v ix  v iy  v iz 78
  • 79. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoSupponendo di poter trattare una singola molecola allo stesso modo con cui si è trattato un corporigido nei riguardi delle caratteristiche dinamiche proprie, come l’energia, la quantità di moto,l’impulso e le regole di conservazione dell’energia e della quantità di moto, e di poter poi utilizzarele semplici regole di somma algebrica alle N molecole di gas contenute nel recipiente, si ottieneuna semplificazione in grado di permetterci di descrivere le grandezze microscopiche caratteristichedelle molecole per mezzo di grandezze macroscopiche facilmente rilevabili all’osservatore esterno.A questo scopo è però necessario nuovamente ipotizzare che il fluido contenuto nel recipiente abbiacaratteristiche tali da poterci permettere di definirlo “gas perfetto”.  Forze di coesione molecolare nulle o comunque trascurabili  Energia potenziale molecolare nulla  Molecole estremamente distanti tra loro rispetto ai raggi d’azione delle forze di coesione e/o repulsione molecolare  Assenza di urti tra le molecole  Temperatura superiore alla temperatura critica  Volume molecolare nullo  Urti perfettamente elastici delle molecole contro le pareti del recipiente in modo da poter considerare validi il principio di conservazione dell’energia, di conservazione della quantità di moto del sistema gas-parete e il teorema dell’impulso.Figura 33 – RECIPIENTE CUBICO, ASSI PRINCIPALI E COMPONENTI DELLA VELOCITA’ MOLECOLARE. 79
  • 80. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLa quantità di moto Q i posseduta dalla molecola i-esima dipende quindi dalla massa molecolare edalla velocità v i secondo la relazione:Qi  m viOppure, scomponendo anche la quantità di moto secondo gli assi principali:Q i  q ix  q iy  q iz  m  v ix  m  v iy  m  v izConsiderando che, prima o poi, la molecola urta una delle facce del recipiente, che l’urto può essereconsiderato perfettamente elastico e che la quantità di moto del sistema gas-pareti rimane costanteprima e dopo l’urto, si può ammettere che la velocità della molecola stessa, pur cambiandodirezione e verso, rimanga costante in modulo, cosicché l’energia cinetica, grandezza scalare, noncambi nel tempo.Allo stesso tempo si può immaginare che nell’urto contro una parete, la sola componente dellavelocità v i perpendicolare alla parete stessa cambi il proprio verso mantenendo costante il modulo.Le direzioni e i moduli delle altre due componenti, essendo esse parallele alla parete considerata,non subiscono variazioni e, di conseguenza, rimane costante anche il modulo della quantità di motodopo l’urto.Dato che possiamo considerare un urto contro una qualsiasi delle pareti decidiamo di prendere inesame in particolare l’urto contro la parete perpendicolare all’asse X (contenuta cioè nel pianoYZ ).E’ evidente che i risultati potranno poi essere ripetuti allo stesso modo anche per le altre duecomponenti della velocità non coinvolte nell’urto considerato ma coinvolte quando l’urto siverifichi contro le pareti ad esse perpendicolari.L’urto perfettamente elastico contro la parete perpendicolare a X produce l’inversione dellacomponente della velocità v ix che, mantenendo quindi il suo valore in modulo, assume il segnonegativo dopo l’urto.Supponendo di definire  v ix  I la componente prima dell’urto e  v ix  F la stessa dopo l’urto e diconsiderare positiva la prima essendo diretta verso la parte positiva dell’asse X , si potrà scrivere: v ix  F    v ix IOvviamente anche le quantità di moto, rispettivamente prima e dopo l’urto, dovranno esserecalcolate utilizzando la convenzione adottata per le velocità, ottenendo il seguente risultato: q ix  I  m   v ix  I  m  v ix q ix  F  m   v ix F   m   v ix I   m  v ix 80
  • 81. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 34 – COMPONENTE ORIZZONTALE DELLA VELOCITA’ MOLECOLARE PRIMA E DOPO L’URTO.Durante l’urto - che deve necessariamente avvenire in un tempo infinitamente piccolo – lamolecola-proiettile e la parete-bersaglio si scambiano forze reciproche secondo una modalità chepotremmo pensare come il seguente schema modello:  L’energia cinetica E C posseduta dalla molecola in virtù della sua massa m e della velocità v ix prima dell’urto, si annulla completamente nel momento in cui la velocità è ridotta a zero dalla forza elastica di deformazione della parete nel punto in cui essa è colpita. In altre parole potremo dire che la presenza della parete deformabile è un freno nei confronti del proiettile.  Possiamo ammettere che, a causa di ciò, sia la parete sia la molecola si deformino in modo perfettamente elastico senza disperdere energia di alcun tipo.  E quindi ammissibile dedurre che l’energia cinetica molecolare sia trasmessa integralmente, 1 2 sottoforma di energia potenziale elastica di deformazione E EL .  k x , alla parete 2 colpita. Il comportamento della parete è quindi assimilabile a quello di una molla ideale.  L’energia elastica è poi restituita dalla parete che riprende elasticamente la sua forma originale applicando alla massa molecolare una forza di intensità variabile il cui risultato è la comparsa di un’accelerazione altrettanto variabile e il ripristino della velocità v ix diretta però nel verso opposto.  Tale modello è simile al modello di un oscillatore armonico elastico  Concentrando l’attenzione sulla forza F che la parete applica alla molecola e pensando ai due tempi del modello di oscillatore armonico, potremo immaginare quanto segue: La velocità molecolare iniziale diretta verso destra è necessariamente rallentata sino al completo annullamento, da una forza F  x  variabile da zero al valore massimo ma comunque sempre di verso contrario al verso della velocità. 81
  • 82. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Tale forza, applicata alla massa costante della molecola, causa la comparsa di una decelerazione altrettanto variabile a  x  che, alla fine del primo periodo di oscillazione, raggiunge il valore massimo. Al termine del primo periodo la deformazione della parete è massima e la velocità molecolare è nulla. Ora la parete-molla ideale riprende elasticamente la sua forma originale applicando ancora alla molecola una forza elastica di intensità variabile dal valore massimo al valore nullo F  x  con verso costantemente opposto al verso della velocità iniziale. La massa molecolare è quindi sottoposta ad un’accelerazione variabile che provoca un aumento di velocità nel verso opposto al precedente. Al termine del secondo periodo, considerando la restituzione integrale dell’energia potenziale elastica – quindi senza perdita d’energia -, la massa molecolare avrà acquistato la stessa velocità caratteristica posseduta prima dell’urto ma di segno ovviamente contrario.Durante l’urto deve necessariamente essere valido il Secondo Principio della Dinamica in quantosono coinvolte le grandezze tipiche caratteristiche anche se variabili nel tempo o:F  m a  k xOve si indica con k  x la reazione elastica della parete assimilata a molla ideale.Oppure, tendendo conto della definizione canonica dell’accelerazione:  vf  vi F  m    t Da cui si ricava il Teorema dell’Impulso:F  t  m  vf  m  vi  q F  qi  qLa forza che compare nell’equazione deve essere interpretata come reazione vincolare media che laparete applica alla massa molecolare durante l’intervallo di tempo che caratterizza il passaggio dallavelocità iniziale massima (prima dell’urto) alla velocità finale massima (dopo l’urto).Naturalmente, in virtù del Terzo Principio della Dinamica, essa è di pari valore ma opposta allaforza esercitata dalla molecola alla parete.La durata dell’urto – quindi  t - è invece pari alla metà del periodo caratteristico dell’oscillatorearmonico modello ed è, evidentemente, di tipo infinitesimo.Il prodotto F   t è l’Impulso della forza mentre le grandezze m  v F e m  v i sonorispettivamente la quantità di moto finale q F e iniziale q i .Applicando il Teorema dell’impulso alla particella molecolare si ottiene quindi:Fix   t   q ix  m   v ix f  m   v ix i  m    v ix   m   v ix    2  m  v ixF ix   t   q ix   2  m  v ixPossiamo evitare di domandarci cosa succede alla componente v ix qualora la molecola, essendodotata di altre due componenti parallele al piano YZ e rispettivamente l’una perpendicolare alpiano XY e l’altra perpendicolare al piano XZ , urti uno degli altri due piani, prima di urtare dinuovo il piano parallelo e contrapposto alla parete precedente.La componente v ix , non essendo coinvolta negli urti contro i due (quattro) piani ad essa paralleli,avrà sempre lo stesso valore e, di conseguenza, la molecola impiegherà sempre lo stesso tempo per 82
  • 83. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentinopercorrere la distanza L che separa le due pareti del recipiente perpendicolari alla sua direzioneanche se, nel frattempo, subisce un numero imprecisato di urti contro le altre quattro pareti.In altre parole: Non è di nessuna importanza il numero di urti molecolari contro pareti perpendicolari a quella considerata, relativamente al tempo impiegato per percorrere la distanza L , a condizione di considerare perfettamente elastici gli urti stessi. Se tale ipotesi è soddisfatta la componente considerata mantiene inalterato il suo modulo e lo spostamento della molecola nella direzione prefissata è assimilabile al moto rettilineo uniforme in cui gli spazi percorsi sono proporzionali ai tempi impiegati.Figura 35 – URTI IN DUE DIREZIONI CON MANTENIMENTO DEL MODULO DELLE COMPONENTI v ix -v iyConsideriamo ora il fatto che la singola molecola è dotata, prima dell’urto contro la parete YZ , diuna velocità globale v i di componenti v ix , v iy , v iz e che, nell’urto, la sola componentev ix mantiene inalterato il modulo cambiando però verso.In questo modo possiamo immaginare che, dopo aver colpito la parete YZ di destra, rimbalzi versoun’altra parete qualsiasi urtandola e invertendo il segno della velocità ad essa perpendicolare.Tuttavia, in base a quanto descritto prima, il tempo impiegato dalla molecola per percorrere lospazio che separa le due pareti parallele YZ dipende esclusivamente dal modulo della velocità v ix -da ritenersi uniforme - e dalla misura dello spigolo L .Se indichiamo con  t 1 un tempo arbitrariamente piccolo, lo spazio percorso dalla molecola nelladirezione X sarà calcolato con:S x  v ix   t 1 83
  • 84. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoMentre il numero di urti contro la stessa parete YZ sarà dato da:n 2 L  SxDa cui: Sx v ix   t 1nx   2L 2LE’ ovvio che tale risultato deve valere anche nei confronti del numero di collisioni che la stessamolecola ha con le altre due pareti principali dove, però sono coinvolte le componenti v iy e v iz : Sy v iy   t 1ny   2L 2L Sz v iz   t 1nz   2L 2LQuindi, nel tempo  t 1 la differenza di quantità di moto che, complessivamente, la molecola subiscein n x collisioni contro la parete YZ di destra, è data da:  v   t1   t1  q ix   ti   q ix  n x   2  m  v ix   ix 2    m  v ix   2L  LDa notare che la durata del tempo  t 1 , pur essendo presa arbitrariamente piccola a piacere, noncoincidere con il tempo teorico d’impulso  t durante il quale avviene lo scambio reale di forze trala parete e la molecola.Essendo però talmente elevato il numero di molecole che, nello stesso istante colpisce la parete, sipuò ritenere che le collisioni avvengano in continuazione.Se ora consideriamo che nel recipiente sono contenute N molecole, ognuna animata da velocità v iqualsiasi e di relativa componente v ix , e se applichiamo ad esse il risultato ottenuto per la molecolasingola considerata, otteniamo, relativamente alla differenza di quantità di moto e al tempo  t 1 , ilseguente risultato: i N   t1   2 Q ix    m  v ix   i1  L In cui: Q ix Componente in direzione X della differenza di quantità di moto relativa alle N molecole. t1 Tempo medio impiegato dalla molecola per invertire due volte sulla stessa parete la propria quantità di moto oppure tempo impiegato per percorrere uno spazio uguale al doppio della distanza tra le pareti.Considerando poi che la massa molecolare m , il tempo  t 1 e il valore di L , sono costantiall’interno della sommatoria, si ottiene: i N  t1  2 Q ix   m   v ix L i1 84
  • 85. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoD’altra parte, la differenza di quantità di moto complessiva è pari all’impulso nel tempo  t 1 dellaforza media F ix che la parete destra YZ applica alle molecole per invertirne le loro componenti divelocità:F ix   t 1   Q ixSi ricava dunque il valore medio della forza complessiva: i N  t1  2F ix   t 1   m   v ix L i1 i N m  2F ix    v ix L i1Mentre, in virtù del Terzo Principio della Dinamica o legge d’azione e reazione, la forza che lemolecole applicano mediamente alla parete è di verso opposto: i N m  2F ix   v ix L i1Ora, tenendo presente che, la media delle velocità caratteristiche di un numero di corpi pari a N èdefinita velocità media (in questo caso la velocità media si identifica con la media delle velocità) eche la media delle velocità al quadrato è pari alla velocità quadratica media: i N  vi v 1  v 2  v 3  .......... ...  v N i1vm   Velocità media N N i n  2 2 2 2 2 vi 2 v1  v  v  .......... .  v i1vm  2 3 N  Velocità quadratica media N NSi può interpretare e sviluppare la relazione precedente: i N  2 v ix 2 i1v  x m  NDa cui:i N 2 2 v ix  N  v  x  mi1Inserendo il risultato nella relazione precedente si ottiene: m 2Fx   N  v  x m Forza media esercitata delle N molecole su YZ LE’ questa la relazione che permette di calcolare la forza media esercitata dalle molecole contenutenel recipiente cubico sulla parete YZ . 85
  • 86. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoEstendendo il risultato alle altre pareti si avrà: m 2Fy   N  v  y m Forza media esercitata delle N molecole su XZ L m 2Fz   N  v z m Forza media esercitata delle N molecole su XY LCALCOLO DELLA PRESSIONEE’ ora possibile riferire la forza media esercita dal gas sulle pareti all’unità di superficie delle paretistesse ottenendo in questo modo la pressione media.Per la parete YZ : Fx Fx N m 2 p  x m   2  3  v  x m S L LPer le altre due pareti: Fy Fy N m 2 p  y m   2  3  v  y m S L L Fz Fz N m 2 p z m   2  3  v z m S L LRicordando poi la Legge di Pascal, applicabile e valida per i fluidi generici quali liquidi e gas, in cuisi dimostra che la pressione esercitata su una parete di un recipiente è uguale alla pressione sullealtre pareti comunque orientate e che la stessa è sempre perpendicolare alle superfici interessate, siottiene:p  x m  p  y m  p z mDa cui: p  x m  p  y m  p z mpm  3 N mpm  3  2 2  v  x m  v  y m  v z m 2  3LE, ricordando che:v  2 x m 2  v  y m  v z m  v m 2  2 N m 2 pm  3 vm 3L 3Tenendo conto che con L s’identifica il volume del recipiente cubico e, allo stesso tempo, ilvolume di gas e uguagliando la pressione media p m all’effettiva pressione che il gas esercita sullepareti, si ottiene: N m 2p  vm 3V 86
  • 87. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoL’equazione finale permette di mettere in relazione una grandezza microscopica come la velocitàmedia delle molecole con grandezze macroscopiche facilmente misurabili come la pressione e ilvolume.Inoltre è di fondamentale importanza la relazione che, ricavata dalla precedente e dalla legge distato dei gas perfetti, consente di determinare la grandezza fisica “ENERGIA INTERNA” e dicomprendere come quest’ultima sia dipendente solo dallo stato iniziale o finale di unatrasformazione e non da come avviene la trasformazione.Infatti, partendo dall’equazione ricavata precedentemente, si ottiene: N m 2 p  vm 3V N 2  pV  m vm 3 2N 1 2   pV   m vm  3 2  1 2 3 pV  m vm   2 2 N Ricordando la Legge di Stato dei gas perfetti: p V  n R T p 0  V0  J  R   8 , 314   T0  mole  K  1 2 3 n R T  m vm   2 2 N N  nN A 1 2 3 n R T  m vm   2 2 nNA 1 2 3 R  m vm   T 2 2 N A 1 2 3  m vm  K B T 2 2 In cui il rapporto tra le due costanti R e N A , indicato con k B è la costante universale di BOLTZMANN il cui valore è:  J  8 , 314   R  mole  K   23  J  K B    1 , 3807  10   N 23  1  K  A 6 , 0221  10    mole La costante di Boltzmann rappresenta fisicamente l’incremento di energia cinetica (oppure dienergia interna) di una singola molecola per effetto della variazione di un grado Kelvin. 87
  • 88. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDalla relazione: 1 3 m vm  K B T 2 2 2Si evince inoltre che la temperatura di un gas perfetto – variabile di stato – dipende dalla velocitàmedia di traslazione molecolare e, se si suppone nulla la temperatura (zero assoluto corrispondentea – 273,16°C), che la velocità molecolare è nulla.Inoltre la velocità molecolare dipende anche in modo inversamente proporzionale dalla massamolecolare cosicché gas leggeri alla stessa temperatura si muovono più velocemente.VELOCITA’ MOLECOLARI- COLLISIONI – ENERGIA CINETICA MOLECOLARECon la relazione fondamentale descritta è possibile il calcolo della velocità quadratica media o, piùsemplicemente, della velocità media caratteristica molecolare partendo dal presupposto diconoscere il tipo di gas e la variabile di stato “temperatura”: 2 32 K T 3K T 3N K T 3N K T 3R Tvm  B  B  A B  A B  2m m N A m M mole M mole 3R Tvm  M moleIn cui:N A Numero d’Avogadro – numero di molecole contenute in una mole di gasm Massa molecolare gasM Massa mole gasT Temperatura assolutaPrendendo ad esempio le caratteristiche dei principali gas assimilabili a gas perfetti e supponendo dipoter applicare la Legge di Stato integralmente tenendo conto del valore della costante R ideale: Massa molecolare  kg / Kmole Ossigeno O 2 32,00Idrogeno H 2 2,016Azoto N 2 28,016Ossido di carbonio CO 28,00Anidride carbonica CO 2 44,00Ammoniaca NH 3 17,032Acetilene C2H 2 26,016Metano CH 4 16,032Protossido d’azoto N 2O 44,016Elio He 4Anidride solforosa SO 2 64,07 88
  • 89. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Per l’idrogeno alla temperatura T 0  273 K  :  J  6  N m  3  8 . 314    273  K  6 , 809  10   3R T  Kmole K   Kmole   m   km  vm     1 . 837    6 . 600   M mole  kg   kg   s   h  2 , 016   2 , 016    Kmole   Kmole  Supponendo uguali le componenti di velocità secondo assi principali e il gas contenuto in un recipiente di lato L  1  m  , si potrà calcolare un numero di collisioni al secondo pari a: 2 2 2 2 vm  vx  vy  vz  3vx 2 2 3vx  vm 2 vm m  vx   1 . 060   3  s  vx t 1 . 060 m   urti  nx    530   2L 2 m   s  E, per una gmole di gas: 23 N  N A  6 , 022  10 26  urti  n x  3 ,19  10    s  Mentre l’energia cinetica media molecolare: 1 3 3  J  E C  molecolare   m vm  2 K B  T0   1 , 3807  10  23    273 K   5 , 65  10  21 J  2 2 2 k Per l’azoto alla temperatura T 0  273 K   J  6  N m  3  8 . 314    273  K  6 , 809  10   3R T  Kmole K   Kmole   m   km  vm     492    1 . 771   M mole  kg   kg   s   h  28 , 016   28 , 016    Kmole   Kmole  2 vm m  vx   284   3  s  vx t 284 m   urti  nx    142   2L 2 m   s  E, per una gmole di gas: 23 N  N A  6 , 022  10 25  urti  n x  8 , 55  10    s   kg  0 , 028016   1 1  gmole  m2  E C  molecolare   m v 2 m    492 2   2   5 , 64  10   21 J  2 2 23  1   s  6 , 0221  10    gmole  89
  • 90. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Per l’ossigeno alla temperatura T 0  273 K   J  6  N m  3  8 . 314    273  K  6 , 809  10   3R T  Kmole K   Kmole   m   km  vm     461    1 . 659   M mole  kg   kg   s   h  32   32    Kmole   Kmole  2 vm m  vx   266   3  s  vx t 266 m   urti  nx    133   2L 2 m   s  E, per una gmole di gas: 23 N  N A  6 , 022  10 25  urti  n x  8 , 00  10    s  E C  molecolare   5 , 64  10  21 J  Per l’anidride carbonica alla temperatura T 0  273 K   J  6  N m  3  8 . 314    273  K  6 , 809  10   3R T  Kmole K   Kmole   m   km  vm     394    1 . 418   M mole  kg   kg   s   h  44   44    Kmole   Kmole  2 vm m  vx   227   3  s  vx t 227 m   urti  nx    114   2L 2 m   s  E, per una gmole di gas: 23 N  N A  6 , 022  10 25  urti  n x  6 , 86  10    s  E C  molecolare   5 , 64  10  21 J  Per l’elio alla temperatura T 0  273 K   J  6  N m  3  8 . 314    273  K  6 , 809  10   3R T  Kmole K   Kmole   m   km  vm     1 . 304    4 . 696   M mole  kg   kg   s   h  4   4   Kmole   Kmole  2 vm m  vx   752   3  s  vx t 752 m   urti  nx    376   2L 2 m   s  90
  • 91. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino E, per una gmole di gas: 23 N  N A  6 , 022  10 26  urti  n x  2 , 26  10    s  E C  molecolare   5 , 64  10  21 J L’ENERGIA INTERNA DEL GAS PERFETTOEstendendo il concetto di energia cinetica molecolare prima definito, a tutte le molecole contenutein un certo volume di gas perfetto, ricordando che l’energia interna di un fluido gassoso moltorarefatto è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale (il concetto di energia interna èquindi molto simile al concetto di energia meccanica) e tenendo conto che l’energia potenziale ènulla proprio nel caso di gas perfetti o comunque fluidi a temperature superiori alle proprietemperature critiche T C , si può concludere che l’energia interna di una massa gassosa è pari allasomma algebrica dell’energia cinetica posseduta mediamente da ogni molecola.Per una quantità di moli pari a n di un gas in equilibrio alla temperatura T e per un conseguentenumero di molecole N , si avrà dunque:N  nN A i N i N i N 1 2  1   E C i    m vi   m   vi 2U  E C .m  i1 i1  2  2 i1Ricordando che:i N  2 vi i1 2  vm Definizione di velocità quadratica media NSi ottiene:i N 2 2 2 vi  N vm  n N A vmi1Per cui, sostituendo: i N 1 2 U  1 m   2 vi  1 m  n N  A 2  vm  n N A  m vm  2 i1 2 2 Tenendo poi presente il calcolo dell’energia cinetica media molecolare effettuato precedentemente: N m 2 p  vm 3V 91
  • 92. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino N 2  pV  m vm 3 2N 1 2   pV   m vm  3 2  1 2 3 pV  m vm   2 2 NE la Legge di stato dei gas perfetti:p V  n R TSostituendo nella precedente si ottiene:1 2 3 pV 3 n R T 3 n R T 3 R T m vm        2 2 N 2 N 2 nN A 2 N AQuindi l’energia interna U si ottiene: 1 2   3 R T U  nN A  m vm   n N A      2  2 NA  3 U  n R T ENERGIA INTERNA DI UN GAS PERFETTO 2 3   J U   n  moli  R  T K  2  mole  K Si può quindi concludere osservando che: L’energia interna dipende dal numero di moli di gas contenuto nel sistema termodinamico. L’energia interna, a parità di quantità di gas o numero di moli, dipende unicamente dalla temperatura assoluta del gas. L’energia interna di un gas alla temperatura corrispondente allo zero assoluto, qualunque sia il numero di moli, è nulla.CONSIDERAZIONI IMPORTANTI: Trasformazioni isotermiche – ISOTERME 1. Per trasformazioni di tipo “QUASI-STATICHE” caratterizzate da temperatura costante, regolate dalla Legge di Boyle-Mariotte e rappresentate sul diagramma pressione-volume da iperboli equilatere, l’energia interna è costante per tutti i punti – o stati d’equilibrio – caratteristici della stessa iperbole. 92
  • 93. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 36 – ENERGIA INTERNA COSTANTE SULLA STESSA ISOTERMA 2. Ciò è ovvio in quanto per essi la temperatura non varia. 3. Per una stessa isoterma alla temperatura T l’energia interna del gas è indipendente dai valori assunti dalla pressione e dal volume. 4. La differenza di energia interna tra stati d’equilibrio su due isoterme a temperature T 1 e T 2 dipende qundi esclusivamente dalla differenza di temperatura: 3 U1   n  R  T1 Energia interna caratteristica dell’iperbole T1 2 3 U 2   n  R  T2 Energia interna caratteristica dell’iperbole T2 2 3 U   n  R   T 2  T1  2 Figura 37 - 93
  • 94. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino5. Fissati due stati d’equilibrio qualsiasi A e B - valori qualsiasi delle coppie di parametri di stato pressione e volume - rispettivamente sull’isoterma T 1 e T 2 , si può quindi concludere che la differenza di energia interna  U A . B è indipendente dai punti scelti a condizione che si mantengano comunque sulle stesse isoterme: U A .B  U C .D  U E .FFigura 38 – DIFFERENZA COSTANTE DI ENERGIA INTERNA TRA PUNTI DI DUE ISOTERME6. La variazione di energia interna  U tra due isoterme alle temperature T 1 e T 2 è quindi anche indipendente dal tipo di trasformazione che il gas contenuto nel sistema effettua per passare da un’isoterma all’altra. Quindi, ad esempio, un’isocora e un’isobara o qualsiasi altra trasformazione o successioni di trasformazioni, il cui risultato sia il passaggio da un’isoterma all’altra, producono la stessa differenza di energia interna, anche se i parametri di stato sono, alla fine, diversi tra loro.Figura 39 – DIFFERENZA DI ENERGIA INTERNA INDIPENDENTE DALLA TRASFORMAZIONE 94
  • 95. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino7. Una trasformazione isoterma non modifica l’energia interna.8. Qualsiasi serie o successione di trasformazioni il cui risultato sia quello di ripristinare, dopo averle modificate, le stesse condizioni di pressione, volume e temperatura iniziali del gas, oltre a mantenere immutato il valore dell’energia interna iniziale, mantiene anche immutate le condizioni delle sorgenti di calore ed energia meccanica collegate al sistema termodinamico. Un sistema che subisce una serie di trasformazioni di questo tipo percorre un “CICLO CHIUSO”.Figura 40 – SERIE DI TRASFORMAZIONI A CICLO CHIUSO – N.2 ISOCORE + N. 2 ISOTERME9. Se il ciclo chiuso è formato da trasformazioni reversibili o quasi-statiche è anch’esso reversibile e può essere percorso in un senso o nell’altro.10. Durante una trasformazione reversibile o quasi-statica il gas contenuto nel sistema termodinamico, agendo da tramite con le sorgenti esterne di calore ed energia meccanica, preleva o cede una certa quantità di calore e, nel contempo, fornisce o assorbe una certa quantità di lavoro. Se la serie di trasformazioni costituisce un ciclo chiuso e se si utilizzano unità di misura unificate per la grandezza lavoro e calore, allora l’energia interna finale è uguale a quella iniziale e il bilancio energetico che tiene conto del calore assorbito e ceduto e del lavoro meccanico prelevato e fornito alle sorgenti esterne è nullo. Ad esempio, nel caso della trasformazione ciclica illustrata in fig. 40 – costituita da due isocore e due isoterme – in cui si prevede di iniziare le trasformazioni partendo dallo stato caratteristico del punto “A” e percorrendo il ciclo in senso orario, si potrà dire quanto segue. 95
  • 96. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino CICLO “1” N.2 ISOCORE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE) Dal punto “A” al punto “B”. PRIMA Trasformazione isocora dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 La trasformazione è isocora quindi senza variazione di volume. Il gas è confinato all’interno del cilindro con il pistone bloccato. Per innalzare la temperatura dal valore T 1 al valore T 2 occorre fornire calore al sistema in quanto è esclusa la possibilità di incrementare la temperatura per compressione e diminuzione di volume. Il gas non può né fornire né prelevare lavoro meccanico dall’esterno perciò tutto il calore è utilizzato per incrementere l’energia interna. Il calore potrà essere ceduto al gas da una sorgente esterna a temperatura superiore a quella iniziale del sistema. Definiamo Q 1 il calore ceduto dalla sorgente al sistema. Per la sorgente tale calore è negativo, per il sistema esso è positivo. Dal punto B al punto C. PRIMA Trasformazione isoterma alla temperatura T 2 . La trasformazione è isoterma quindi deve avvenire senza che si possa modificare la temperatura. Il pistone è sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario verso il punto C, si deduce che la pressione deve diminuire, mentre il volume aumenta. Ciò può essere ottenuto, per esempio, riducendo i pesi poggiati al pistone. Il gas, espandendosi, fornisce lavoro all’ambiente esterno e, nel contempo tende a diminuire di temperatura. La sorgente termica, tuttavia, continua a cedere calore al sistema mantenendo la temperatura e l’energia interna al livello dell’isoterma T 2 . Qundi, durante la prima trasformazione isoterma, il sistema fornisce lavoro meccanico ed assorbe ancora calore. Il lavoro fornito dal sistema termodinamico è rappresentato graficamente dall’area della superficie posta sotto l’iperbole equilatera e delimitata a destra e sinistra dai valori del volume iniziale e finale. Definiamo Q 2 il calore fornito dalla sorgente al sistema e L 1 il lavoro meccanico fornito all’ambiente dal sistema. Per la sorgente Q 2 è negativo, per il sistema Q 2 è positivo. Per il mondo esterno il lavoro L 1 è positivo, per il sistema esso è negativo. Dal punto C al punto D. SECONDA Trasformazione isocora dalla temperatura T 2 alla temperatura T 1 . Il pistone è nuovamente bloccato e confina il gas all’interno del volume caratteristico del punto C. Per abbassare la temperatura occorre ora porre a contatto il sistema termodinamico con una sorgente fredda ad una temperatura inferiore. Non è possibile abbassare la temperatura espandendo il gas in quanto la trasformazione è isocora. Durante la trasformazione è il sistema a cedere calore alla sorgente fredda. 96
  • 97. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Definiamo Q 3 il calore ceduto dal sistema alla sorgente. Per la sorgente Q 3 è positivo, per il sistema Q 3 è negativo. Non si hanno scambi di energia meccanica quindi il lavoro è nullo. Dal punto D al punto A. SECONDA Trasformazione isoterma alla temperatura T 1 . Il pistone è sloccato e la trasformazione avviene a temperatura costante. La pressione è incrementata, ad esempio aumentando i pesi sul pistone, mentre, il volume torna a ridursi e la temperatura tende ad aumentare per compressione. Quindi, essendo ancora a contatto con la sorgente fredda, il sistema continua a cedere calore, mentre, nel contempo, dall’esterno è fornito lavoro meccanico mediante l’aggiunta dei pesi. Il lavoro è nuovamente rappresentato dall’area della superficie delimitata superiormente dall’iperbole equilatera dell’isoterma T 1 e, ai fianchi, dal volume iniziale e finale. Tale area ha un valore inferiore a quella precedente per cui il lavoro assorbito da sistema durante la seconda trasformazione isoterma è minore di quello ceduto durante la prima trasformazione isoterma. Q 4 sarà il calore ceduto dal sistema alla sorgente fredda, L 2 il lavoro che l’ambiente esterno fornisce al sistema. Q 4 positivo dal punto di vista della sorgente, negativo da quello del sistema. L 2 positivo per il sistema, negativo per l’ambiente esterno. La seconda trasformazione isoterma riporta qundi il sistema alle stesse condizioni iniziali caratteristiche del punto A , la trasformazione è ciclica e, se avviene in tempi sufficientemente lunghi, è anche reversibile. Da notare che, per chiudere il ciclo, servono due sorgenti termiche a temperature differenti tra loro. Il bilancio energetico può essere riassunto con la seguente schematizzazione. Figura 41 – FLUSSI ENERGETICI DI CALORE E LAVORO VISTI DAL SISTEMA. 97
  • 98. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoIl lavoro meccanico che, complessivamente, è ceduto dal sistema termodinamicoall’ambiente esterno, è rappresentato dall’area racchiusa superiormente dall’isoterma T 2 ,inferiormente dall’isoterma T 1 , a sinistra dalla linea verticale che caratterizza l’isocora V 1 ea destra dalla linea verticale dell’isocora V 2 .Esso è ottenuto dalla sottrazione tra il lavoro fatto dal sistema sull’ambiente e quello chel’ambiente esterno applica al sistema. Figura 42 – LAVORO MECCANICO COMPLESSIVO CEDUTO ALL’AMBIENTE. Figura 43 - LAVORO POSITIVO E NEGATIVO 98
  • 99. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino CICLO “2” N.2 ISOBARE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)Qualora il ciclo sia formato da due trasformazioni isobare e due trasformazioni isoterme sipotrà ragionare come segue:Figura 44 – CICLO DI TRASFORMAZIONI A CICLO CHIUSO – N. 2 ISOBARE + N. 2 ISOTERME  Dal punto “A” al punto “B”. PRIMA trasformazione isobara dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 . La trasformazione è isobara con aumento della temperatura e dell’energia interna dall’isoterma T 1 all’isoterma T 2 . I pesi sul pistone non sono modificati durante la trasformazione cosicché la pressione rimane costante, mentre il pistone, causa la dilazione del gas, si solleva fornendo lavoro meccanico all’ambiente esterno. Occorre perciò che una sorgente termica a temperatura superiore T 1 fornisca il calore necessario. Q 1 sarà il calore fornito dalla sorgente termica mentre L 1 sarà il lavoro meccanico applicato all’ambiente esterno dal sistema. Per il sistema Q 1 è positivo mentre L 1 è negativo. Contrariamente ad una trasformazione isocora, ove il calore fornito era completamente utilizzato dal sistema per incrementare la propria energia interna da U A ad U B , durante la trasformazione isobara parte del calore è utilizzato per l’espansione – quindi per generare lavoro meccanico – e parte per l’incremento dell’energia interna. 99
  • 100. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Il lavoro L 1 è rappresentato, sul diagramma pressione-volume, dall’area del rettangolo che ha per base la differenza tra il volume finale e quello iniziale  V e per altezza il valore, costante, della pressione iniziale p A . Dal punto “B” al punto “C”. PRIMA trasformazione isoterma alla temperatura T 2 . La trasformazione è isotermica quindi deve avvenire senza modificazione della temperatura che si mantiene perciò al valore T 2 . Il pistone è ancora sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario verso il punto C , si deduce che la pressione deve diminuire, mentre il volume aumenta ancora. Ciò può avvenire se si diminuisce il valore del peso poggiato sul pistone. Mentre il gas si espande per effetto della decompressione il pistone fornisce all’ambiente esterno altro lavoro meccanico, nel contempo, la temperatura tende a diminuire. La pressione diminuisce dal valore p B al valore p C Per l’equilibrio termico con la sorgente a temperatura T 2 , ancora a contatto con il sistema, il gas assorbe altro calore dalla sorgente. L’energia interna è costante ed uguale a quella caratteristica dell’isoterma T 2 . Q 2 sarà il calore assorbito dal sistema, L 2 il lavoro fornito all’ambiente esterno. Dal punto “C” al punto “D”. SECONDA Trasformazione isobara alla pressione p C . Il pistone è ancora sbloccato, il sistema è posto a contatto con una sorgente a temperatura minore di T 2 ed i pesi non sono modificati. La pressione rimane costante, mentre il gas, raffreddandosi, diminuisce di volume e passa nuovamente sull’isoterma T 1 . Il sistema cede calore Q 3 alla sorgente e riceve lavoro meccanico L 3 dal pistone che si abbassa. L’energia interna passa dal valore caratteristico dell’isoterma T 2 a quello caratteristico dell’isoterma T 1 . Dal punto “D” al punto “A”. SECONDA trasformazione isoterma alla temperatura T 1 . La trasformazione è isotermica quindi deve avvenire senza modificazione della temperatura che si mantiene perciò al valore T 1 . Il pistone è ancora sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario verso il punto A , si deduce che la pressione deve aumentare, mentre il volume diminuisce ancora. Ciò può avvenire se si aumenta il valore del peso poggiato sul pistone. Mentre il gas è compresso per effetto dell’aumento dei pesi, il pistone fornisce al sistema altro lavoro meccanico, nel contempo, la temperatura tende ad aumentare. La pressione aumenta dal valore p D al valore p A 100
  • 101. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Per l’equilibrio termico con la sorgente a temperatura T 2 , ancora a contatto con il sistema, il gas cede altro calore dalla sorgente. L’energia interna è costante ed uguale a quella caratteristica dell’isoterma T 2 . Q 4 sarà il calore ceduto dal sistema, L 2 il lavoro prelevato all’ambiente esterno. La seconda trasformazione isoterma riporta qundi il sistema alle stesse condizioni iniziali caratteristiche del punto A , la trasformazione è ciclica e, se avviene in tempi sufficientemente lunghi, è anche reversibile. Da notare che, per chiudere il ciclo, anche in questo caso, servono due sorgenti termiche a temperature differenti tra loro. Il bilancio energetico può essere riassunto con la seguente schematizzazione. Figura 45 – FLUSSI ENERGETICI DI CALORE E LAVORO VISTI DAL SISTEMAIl lavoro meccanico che, complessivamente, è ceduto dal sistema termodinamicoall’ambiente esterno, è rappresentato dall’area racchiusa superiormente dalla lineaorizzontale dell’isobara e dall’isoterma T 2 , inferiormente dalla linea orizzontale dellaseconda isobara e dall’isoterma T 1 .Dal raffronto con il lavoro ceduto all’ambiente durante il ciclo precedentemente descritto, sipuò notare che si tratta di una quantità sicuramente minore.Esso è ottenuto dalla sottrazione tra il lavoro fatto dal sistema sull’ambiente e quello chel’ambiente esterno applica al sistema. 101
  • 102. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoFigura 46 – LAVORO MECCANICO COMPLESSIVO CEDUTO ALL’AMBIENTE.Figura 47 – LAVORO POSITIVO E NEGATIVO. 102
  • 103. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTRASFORMAZIONI ADIABATICHE – SENZA SCAMBI DI CALOREOltre alle trasformazioni isoterme (temperatura costante) regolate dalla Legge di Boyle-Mariotte,alle trasformazioni isocore (volume costante) ed isobare (pressione costante) entrambe regolatedalle due Leggi di Gay-Lussac e ai cicli chiusi od aperti costituiti da una serie in successionepossibile di tali trasformazioni, il gas contenuto nel sistema termodinamico può subire unatrasformazione senza avere la possibilità di scambi termici con le sorgenti esterne.Si ricorda che:  Durante la trasformazione isotermica è necessario lo scambio termico con una sorgente più calda o più fredda del gas (se il gas si espande aumentando di volume raffreddandosi è necessaria una sorgente più calda – se il gas è compresso diminuendo di volume e riscaldandosi è necessaria una sorgente più fredda)  Durante la trasformazione isocora e/o isobara è ancora necessario lo scambio termico con la sorgente esterna (più calda se si vuole aumentare l’energia interna e la pressione o il volume, più fredda se si vuole diminuire)Per tali tipologie di trasformazioni è quindi indispensabile mantenere il collegamento termico tra ilsistema termodinamico e la sorgente.Se il gas confinato all’interno del sistema termodinamico ideale è isolato termicamentedall’ambiente esterno, gli scambi di calore non sono evidentemente possibili e, di conseguenza, letrasformazioni considerate sino ad ora non possono avvenire.Le Leggi di Boyle-Mariotte e le Leggi di Gay-Lussac non sono quindi applicabili ad un sistematermicamente isolato.E’ però possibile modificare i parametri di stato del gas (pressione, volume e temperatura) agendomeccanicamente dall’esterno o permettendo al gas di agire sull’ambiente esterno in quanto alsistema, pur isolato termicamente, sono permessi gli scambi di energia meccanica.Il gas può quindi fornire e ricevere lavoro meccanico dall’ambiente esterno.A un sistema termodinamico di questo tipo si possono variare i parametri di stato costringendolo edeseguire una trasformazione senza scambi di calore che è definita “ADIABATICA”.In altre parole:  Il gas è contenuto in un cilindro dotato di pareti, pistone e fondo con caratteristiche tali da rendere impossibile ogni scambio termico con l’esterno (termoisolanti). Al pistone sono permessi tutti i movimenti che hanno come scopo la variazione dei parametri di stato.  La compressione è l’azione esterna del pistone che, fornendo al gas lavoro meccanico, causa l’aumento di pressione, l’aumento di temperatura e la diminuzione di volume.  Di conseguenza, considerato che l’aumento di temperatura non può essere smaltito per equilibrio termico con una sorgente esterna fredda causa l’isolamento, ogni compressione produce l’incremento di energia interna del gas.  L’espansione del gas, causata dal pistone in movimento contrario a quello di compressione, produce la diminuzione della pressione e della temperatura e l’aumento del volume.  Durante l’espansione il gas fornisce energia meccanica all’ambiente esterno e, nel contempo, la sua energia interna diminuisce. 103
  • 104. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoRisulta quindi abbastanza evidente che ad ogni compressione adiabatica corrisponde un aumentod’energia interna ed ad ogni espansione adiabatica un decremento d’energia interna.Il gas contenuto nel sistema si comporta in modo analogo ad una molla ideale che incrementa lapropria energia elastica ogni qual volta riceve lavoro di compressione e la cede ritrasformandola inenergia meccanica tutte le volte che torna elasticamente alla forma originale.In questo senso l’energia interna del gas è paragonabile all’energia elastica di una molla. Figura 48 – VARIAZIONE DEI PARAMETRI DI STATO IN UNA TRASFORMAZIONE ADIABATICA.EQUAZIONE DELLE TRASFORMAZIONI ADIABATICHE DEI GAS PERFETTI LEGGE DI POISSONRispetto ad un’espansione isotermica, in cui la pressione diminuisce solo in funzione dell’aumentodi volume  V in quanto la temperatura rimane costante per scambio termico con la sorgente calda,durante l’espansione adiabatica la diminuzione di pressione è provocata, oltre che dall’aumento divolume, anche dalla diminuzione di temperatura  T e, di conseguenza, dell’energia interna  U .Per un’espansione adiabatica, a parità di decremento di volume  V si ha quindi una diminuzionedi pressione  p maggiore rispetto ad una trasformazione isoterma .Al contrario la compressione adiabatica produce un incremento di pressione  p maggioredell’incremento di pressione che subirebbe lo stesso gas per effetto della stessa diminuzione divolume  V durante una trasformazione isotermica.Anche in questo caso il maggior incremento è dovuto al fatto che, durante la compressioneadiabatica, la temperatura del gas aumenta.L’incremento di pressione è quindi funzione della variazione di volume e dell’aumento ditemperatura. 104
  • 105. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoConsiderando che, anche per le trasformazioni adiabatiche continua a valere una legge diproporzionalità inversa tra i parametri di stato pressione e volume e, tenendo conto dell’aumento ditemperatura per compressione e della diminuzione per espansione, si conclude che il diagrammarappresentativo di tali trasformazioni deve essere simile a quello già utilizzato per le isoterme cioèdi tipo iperbolico.Sul diagramma pressione-volume ogni trasformazione adiabatica sarà rappresentata da un’iperboleche interseca necessariamente le iperboli equilatere tipiche delle trasformazioni isoterme.L’iperbole dell’adiabatica, da sola e sul diagramma pressione-volume, non può essererappresentativa degli effettivi e completi stati d’equilibrio in quanto la linea che la contraddistinguenon è caratterizzata da temperatura costante.Per cui, se si intende utilizzate il diagramma pressione-volume occorre corredare ognitrasformazione adiabatica con il fuso delle iperboli equilatere rappresentative delle varietemperature intersecate dall’adiabatica stessa.Così, ad esempio, l’adiabatica rappresentata in figura sul diagramma p  V , interseca le soleisoterme alla temperatura T 1 e T 2 mentre, in realtà, essa converge con un numero infinitod’isoterme. Figura 49 – DIAGRAMMA TRASFORMAZIONE ADIABATICA E RAFFRONTO CON ISOTERMEL’equazione che descrive le trasformazioni adiabatiche è sempre di tipo sperimentale e si puòottenere con l’utilizzo del sistema termodinamico ideale eliminando i collegamenti con le sorgentitermiche esterne ed inserendo una parete di fondo termoisolante. 105
  • 106. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTale equazione è nota come “EQUAZIONE DI POISSON” o Legge delle trasformazioniadiabatiche:1   p 1  V 1  p 2  V 2  cos tan te  LEGGE DI POISSON PER LE ADIABATICHEDall’equazione di Poisson – tenendo conto del fatto che la curva adiabatica incrocia le isoterme eche nei punti di convergenza deve essere valida anche l’equazione generale di stato per l’isotermaconsiderata – si rivano le seguenti:TEMPERATURA-VOLUME  p 1  V1  p 2  V 2 Stati d’equilibrio sull’adiabaticap 1  V 1  n  R  T1 Stato d’equilibrio comune all’adiabatica e all’isoterma T 1 1 p 2  V2  n  R  T2 Stato d’equilibrio comune all’adiabatica e all’isoterma T 2 2 Ricavando le pressioni dalle due equazioni di stato 1   2  e sostituendo nell’equazione di Poisson: n  R  T1 p1  V1 n  R  T2 p2  V2  n  R  T1    n  R  T2      V1     V2      V1   V2 Da cui, eliminando i termini simili ed utilizzando le proprietà dalla divisione tra potenze con lastessa base:2  T1  V 1  1  T2  V2  1 1 T1  T1    1 V 2  V1   1  V1      T2  T2 TEMPERATURA-PRESSIONERicavando i volumi dalle due equazioni di stato e sostituendo nell’equazione di Poisson: n  R  T1V1  p1 n  R  T2V2  p2    n  R  T1   n  R  T2  p1     p2        p1   p2  n  R    T1 n  R    T2 p1   p2    p1 p2 106
  • 107. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDa cui, eliminando i termini simili ed utilizzando le proprietà della divisione tra potenze con lastessa base:   T1 T2 p1    p2   p1 p2 1     1     p1  T1  p 2  T2 Ed infine, estraendo la riduce gamma-esima, si ottiene:  1      1     p1  T1  p2  T2  1    1      3           T1  p1  T2  p 2   T1  1   p2  p1       T2 In cui il termine  è ottenuto dal rapporto tra il calore specifico del gas a pressione costante c p - (ocapacità termica molare a pressione costante C p ) - e il calore specifico a volume costante c V - (ocapacità termica molare a volume costante C V ).Per cui: Cp  CVCome si vedrà in seguito, le capacità termiche a volume costante e a pressione costante – oppure icalori specifici a volume costante e a pressione costante, dipendono dalla costante di stato dei gasperfetti R per mezzo della relazione di Mayer:CP  CV  RVolendo esprimere le capacità termiche molari in funzione del coefficiente  : Per la capacità C V : C P  CV  R C P  CV R   CV CV R   1  CV R  CV   1 Per la capacità C P : C P  CV  R C P  C V R   C P C P 1 R  1   C P 107
  • 108. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino  1 R    C P  R  C P   1Utilizzando la Teoria cinetica dei gas perfetti si ottengono le seguenti espressioni per le capacitàmolari a volume e pressione costante e, di conseguenza, i corrispondenti valori di  : Per i gas monoatomici (esempio Elio ed Argon): 3 CV  R 2 5 CP  R 2 5     1 , 67 3 Per i gas biatomici (esempio Idrogeno, Azoto, Ossigeno): 5 CV  R 2 7 CP  R 2 7     1 , 40 5 Per i gas triatomici (esempio CO 2 ): 7 CV  R 2 9 CP  R 2 9     1 , 30 7L’equazione di Poisson per le adiabatiche può quindi essere scritta nelle seguenti forme: Per i gas monoatomici: 1 , 67 1 , 67 p 2  V2  p 1  V1  cos tan te 0 , 67 0 , 67 T1  V 1  T2  V2  0 , 40  0 , 40 T1  p 1  T2  p 2 Per i gas biatomici: 1 , 40 1 , 40 p 2  V2  p 1  V1  cos tan te 0 , 40 0 , 40 T1  V 1  T2  V2  0 , 28  0 , 28 T1  p 1  T2  p 2 108
  • 109. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Per i gas triatomici: 1 , 30 1 , 30 p 2  V2  p 1  V1  cos tan te 0 , 30 0 , 30 T1  V 1  T2  V2  0 , 23  0 , 23 T1  p 1  T2  p 2Quanto detto al punto 10, relativamente alle trasformazioni reversibili a ciclo chiuso, continua adessere valido anche nel caso in cui il ciclo chiuso sia formato da due trasformazioni adiabatiche e dadue trasformazioni isotermiche.Tale esempio è di FONDAMENTALE IMPORTANZA in quanto descrive il ciclo difunzionamento delle principali macchine termiche o motori termici.Il ciclo chiuso che ora si descrive, prevede lo scambio termico con sole due sorgenti, ed è definito“CICLO DI CARNOT”. LE TRASFORMAZIONI POLITROPICHETra le infinite trasformazioni reversibili che può subire una certa quantità o un certo numero di molidi gas perfetto, contenuto in un sistema termodinamico, a partire dallo stato iniziale di parametrip  V  T , si sono sino ad ora esaminate le quattro più caratteristiche e fondamentali: ISOCORA Trasformazione a volume costante ISOBARA Trasformazione a pressione costante ISOTERMA - ISODINAMICA Trasformazione a temperatura costante ADIABATICA – ISOENTROPICA Trasformazione senza scambi di caloreISOCORA – VOLUME COSTANTE – CON VARIAZIONE D’ENERGIA INTERNA p2 T2  GAY-LUSSAC p1 T1Se un gas opera una trasformazione in assenza di variazioni di volume la quantità di calore assorbitoo ceduto dal sistema dipende dalla capacità termica molare a volume costante C V , dal numero dimoli e dalla differenza di temperatura tra lo stato iniziale e finale. Q V  n  C V  TLa capacità termica si mantiene costante durante tutta la trasformazione ed il suo valore è anchecalcolato con la formula inversa: Q CV  n  TIl gas non scambia lavoro con l’ambiente esterno.ISOBARA – PRESSIONE COSTANTE – CON VARIAZIONE D’ENERGIA INTERNA V2 T2  GAY-LUSSAC V1 T1Se la trasformazione è isobara, cioè a pressione costante, la quantità di calore assorbito o ceduto dalsistema dipende dalla capacità termica molare a pressione costante C P , dal numero di moli o massadi gas, dalla differenza di temperatura e dalla quantità di lavoro scambiato con l’esterno: Q P  n  C P  T 109
  • 110. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Q P  n  C V  T  p  VAnche in questo caso, se si esamina la prima relazione, risulta che la capacità termica C P simantiene costante durante la trasformazione ed il suo valore è superiore al valore della capacitàtermica a volume costante.Utilizzando la relazione di Mayer è possibile affermare che la capacità termica molare a pressionecostante supera quella a volume costante di una quantità pari alla costante generale di stato: C P  CV  R Q P CP  n  TInoltre il rapporto tra le due capacità dipende esclusivamente dalla tipologia di gas impiegato: C P monoat .   1 , 67 CV C P biat .   1 , 40 C V C P triat .   1 , 30 CVISOTERMICA –ISODINAMICA – SENZA VARIAZIONE D’ENERGIA INTERNA. P1  V 1  P 2  V 2 BOYLE-MARIOTTENel caso di trasformazione isotermica tutto il calore assorbito o ceduto da o verso l’ambienteesterno è completamente convertito in lavoro meccanico, mentre la temperatura rimane costante.In tal caso siamo in presenza di un gas che si comporta come se fosse dotato di una capacità termicamolare infinitamente grande.Supponendo, infatti, di poter riutilizzare la relazione fondamentale per il calcolo della capacitàtermica: Q ISOTC ISOt .  n  Te, con l’ipotesi di considerare nulla la variazione di temperatura  T (isotermica), risulterebbeinfinitamente grande, sia in senso positivo che negativo, il valore della capacità: Q ISOTC ISOt     n   0  .ADIABATICA – ISOENTROPICA – SENZA SCAMBI DI CALORE   P1  V1  P 2  V 2 POISSONLa trasformazione adiabatica o isoentropica avviene senza scambi di calore con l’ambiente esterno.La temperatura del gas aumenta nel caso in cui è fornito dall’esterno lavoro meccanico(compressione adiabatica), diminuisce nel caso in cui è il gas a fornire lavoro all’esterno a spesedella sua energia interna (espansione adiabatica).La capacità termica molare C adiab . è fittizia ed ha valore nullo.Infatti: Q ADIAB .  0C ADIAB .    0 n  T n  T 110
  • 111. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLe quattro trasformazioni reversibili sono rappresentate sul diagramma di Clapeyron o pressione-volume da linee diritte o curve nel modo seguente: p A d ia b a tic a C=C V Is o c o ra Is o b a ra p , V ,T C=C P Is o te rm a C is o t. = C = 0 a d ia b . V D IA G R A M M A D I C L A P E Y R O N P R E S S IO N E - V O L U M ETRASFORMAZIONE POLITROPICASe la trasformazione avviene con variazione di pressione, di volume e di temperatura ed in presenzadi scambi di calore e di lavoro non nulli, mentre la capacità termica C si mantiene costante el’energia interna subisce variazioni, allora la il tipo di trasformazione sarà necessariamente diversadalle trasformazioni fondamentali studiate.Si dirà che la trasformazione è POLITROPICA.Per una trasformazione POLITROPICA reversibile da uno stato iniziale d’equilibrio A ad uno statod’equilibrio finale B dovrà essere valida la relazione che esprime il bilancio energetico e che, comesi vedrà, è anche l’espressione del Primo Principio della Termodinamica:  Q  dU   LCon: Q Calore scambiato dU Variazione d’energia interna L Lavoro scambiatoCon l’ipotesi che lo stato A e lo stato B siano prossimi tra loro e collocati, il primo sull’isoterma atemperatura T A  T ed il secondo sull’isoterma a temperatura T B  T   T , che la capacitàtermica del gas durante la trasformazione sia costante ed uguale a C , la relazione di bilancioenergetico assume la forma:  Q  dU   L  n  C  T B  T A  n  C V  T B  T A  p  V  n  C  T   T  T   n  C V  T   T  T   p   V  n  C  T  n  C V  T  p  V  n  C  C V    T  p   V 1  111
  • 112. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoD’altra parte, applicando la legge generale di stato ai parametri del punto iniziale e finale, si ottienela seguente relazione:  PA  V A  n  R  T A  n  R  T p A  VA T  nR  P B  V B  n  R  T B  n  R  T   T  p B  VB T  T  n R Dato che i due stati d’equilibrio non sono, per ipotesi, troppo distanti tra loro, la pressione ed il volume dello stato B saranno prossimi a quelli dello stato A, cioè: pB  pA  P VB  VA  V E, allo scopo di semplificare, definiti con: pA  p VA  V Si ottiene: pB  p  P VB  V  V La differenza di temperatura tra i due stati d’equilibrio è quindi: p B  VB p A  VA T B  T A  T   T   T   T   nR nR 1  T   p B  V B  p A  V A  n R Sul diagramma pressione-volume tale differenza di temperatura è rappresentata dalla differenza tra le aree dei rettangoli caratteristici delle due isoterme moltiplicata per il 1 coefficiente . n R Sostituendo si ottiene: 1 T    p   P    V   V   p  V  n R 1  T   p  V  p   V  V   V   p   V  p  V  nR 1  T   p   V  V   V   p   V  nR Con l’ipotesi che  p e  V siano sufficientemente piccoli, si deduce che il loro prodotto sia ancora più piccolo, quindi trascurabile, per cui: 1  T   p   V  V   p  nRSostituendo nella 1  il risultato ottenuto: n  C  C V    T  p   V 1  n  C  C V    p   V  V   p   p   V nR 1  C  C V   p   V  V   p   p   V R 112
  • 113. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoRicordando poi la relazione di Mayer: 1  C  C V   p   V  V   p   p   V C P  CV   C  C V    p   V  V   p   p   V  C P  C v   C  p  V  C  V  p  C V  p  V  C V  V  p  C P  p  V  C V  p  V  C  p  V  C  V  p  C V  V  p  C P  p  V  C  p  V  C P  p  V  C  V  p  C V  V  p  0  C  C P  p  V  C  C V   V   p  0  C  C P  p  V   C  C V   V   p C  Cp   p  V  V  p C  CV C  Cp  p  V  V  p  0 C  CV Ponendo: C  C P C P  C    C  CV CV  C Si ottiene l’equazione della trasformazione POLITROPICA:   pV  p1  V 1 KIl valore della capacità termica C , da ritenersi costante durante la politropica, può essere posto inrelazione sia alla capacità termica C V sia C P : C  C P   C  CV  C  C V    C  C P  C   CV   C  CP  C   C  CV   CP  C    1   C V    C P CV   CP  C   1  CP  CV       CV              C   CV  CV  CV  1  1  1    1      C  CV 1     C P     C    C   1    P 1   113
  • 114. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoI punti caratteristici che rappresentano, sul digramma pressione-volume, gli stati d’equilibrioappartenenti ad una trasformazione politropica d’equazione:   pV  p1  V 1 Ksono ottenenti, come per l’adiabatica, dalla intersezione con le isoterme e considerando l’equazionedi stato, nel modo seguente: VOLUME-TEMPERATURA   p1  V 1  p 2  V 2 POLITROPICA n  R  T1 p1  V1 n  R  T2 p2  V2 n  R  T1  n  R  T2    V1   V2 V1 V2  1  1  T1  V 1  T2  V2 1  T1   1  V 2  V1       T2  PRESSIONE-TEMPERATURA   p1  V 1  p 2  V 2 POLITROPICA n  R  T1 V1  p1 n  R  T2 V2  p2    n  R  T1   n  R  T2   p1     p2        p1   p2     T1   T2   p1     p2        p1   p2  1   1    p1  T1  p 2  T2  1   T1   p2             T2   p1     T1   T1  1    p 2  p1  1     p1         T2   T2  114
  • 115. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoRAPPRESENTAZIONE DELLA POLITROPICA SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUMELe quattro trasformazioni fondamentali possono essere definite ora, in modo assolutamentegenerale, delle trasformazioni politropiche con esponenti  caratteristici:ISOCORA: 1  T1    1 V2  V1       T2 Risulta con: V 2  V1 1 V2  T1   1      1   V1  T2  1  T1    1     1    T2  1   0  1            C  CV  C  CV  1CV  CV 1  1 La politropica senza variazione di volume risulta evidentemente un’isocora per la quale l’esponente deve essere infinitamente grande.La capacità termica del gas sottoposto ad una simile politropica deve necessariamente essere ugualealla capacità termica C V .La curva della politropica risulta, sul diagramma pressione-volume, una retta verticale.ISOBARA:   T1  1   p 2  p1       T2 Risulta con: P 2  P1  p2  T1  1        1   p1  T2     0 1     0     C P  C  CV  CV  CV  C P 1  1 CV 115
  • 116. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLa politropica senza variazione di pressione (pressione costante) risulta evidentemente un’isobaraper la quale l’esponente  è nullo e, di conseguenza, la capacità termica è pari alla capacità termicaa pressione costante C PLa curva della politropica risulta, sul diagramma pressione-volume, una retta orizzontale.ISOTERMA:   p1  V 1 p2  V 2 POLITROPICA p1  V 1 p2  V 2 ISOTERMA Da cui deve risultare:  1     C  CV 1   1  C  CV   11La curva della politropica caratteristica, con esponente  1 e capacità termica infinitamentegrande, è dunque l’iperbole equilatera dell’isoterma.ADIABATICA:   p1  V 1 p2  V 2 POLITROPICA   p1  V 1  p2  V 2 ADIABATICA Da cui deve risultare:        C  CV  0 1 La politropica con esponente    è dunque l’equazione di una semplice trasformazione adiabaticaed è rappresentata da una curva di tipo iperbolico che interseca le isoterme.CONCLUSIONI CIRCA IL VALORE DELLA CAPACITA’ TERMICA MOLAREL’equazione di una trasformazione politropica può essere definita come espressione generalizzata diuna qualsiasi trasformazione reversibile.Il valore dell’esponente  ci permette poi di stabilire quale tipo di trasformazione fondamentale (trale quattro esaminate) sia effettivamente rappresentata dalla politropica e, nello stesso tempo, cipermette di conoscere il valore della capacità termica reale o fittizia ad essa associata.Così, per valori crescenti di  a partire dal valore nullo ad un valore infinitamente grande, èpossibile individuare le quattro condizioni rappresentative delle trasformazioni fondamentali: 116
  • 117. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCASO 1° - ISOBARA:Ipotesi:   0 C  C PConseguenze:    0  C  CP  0 C  CP C  C V La capacità termica è pari alla capacità termica molare a pressione costante. L’equazione della politropica con esponente nullo rappresenta quindi una trasformazione isobara:   p1  V 1  p 2  V 2 Politropica generalizzata 0 0 p1  V 1 p2  V 2  p1  p 2  K ISOBARACASO 2° - ISOTERMA:Ipotesi:  1 C  C PConseguenze:    1  C  CP  C  CV C   C  C V La capacità termica è infinitamente grande sia con valore positivo che negativo. L’equazione della politropica con esponente pari ad uno rappresenta quindi una trasformazione isoterma:   p1  V 1  p 2  V 2 Politropica generalizzata 1 1 p1  V 1 p 2  V 2  p 1  V1  p 2  V 2  K ISOTERMACASO 3° - ADIABATICA:Ipotesi:    C  C    C  C  PConseguenze:      C  C P v C  C V C C  1     C P P  CV CV 0 C   0 C  0 1  La capacità termica è nulla. L’equazione della politropica con esponente pari a  rappresenta quindi una trasformazione adiabatica:   p1  V 1 p2  V 2 Politropica generalizzata   p1  V 1  p2  V 2 ADIABATICACASO 4° - ISOCORA:Ipotesi:    C  C PConseguenze:      C  C v  0  C  C v C  CV La capacità termica è pari alla capacità termica molare a volume costante. L’equazione della politropica con esponente pari a  rappresenta quindi una trasformazione isocora:   p1  V 1  p 2  V 2 Politropica generalizzata   p1  V 1  p2  V 2  V1  V 2 ISOCORA 117
  • 118. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino C=0 A d ia b a tic a  p  C=C v C=C V Is o c o r a Is o te r m a Is o b a r a p , V ,T  C=C P  C= V D IA G R A M M A D I C L A P E Y R O N P R E S S IO N E -V O L U M ETRACCIAMENTO DELLA POLITROPICA ESEMPLIFICATIVA.A titolo d’esempio si ricava ora il tracciato di una politropica esemplificativa da confrontarsi con iltracciato dell’adiabatica che è esaminato più avanti (Termodinamica).La politropica in esame parte da uno stato d’equilibrio collocato sull’isoterma n. 9 e caratterizzato,come per l’adiabatica, dai seguenti parametri di stato: V9  6 m  3 5  N  p 9  16 , 65  10   2  m  T 9  1 . 202 K La politropica passante per il punto 9 dell’isoterma alla temperatura di 1.202 K è regolatadall’equazione:   p 9  V 9  p 8  V8Si ipotizza di utilizzare un gas biatomico caratterizzato da un coefficiente:   1 , 40E si utilizza un coefficiente  lievemente inferiore a  :   1 . 30Per cui la politropica: 1 , 30 1 , 30p 9  V9  p 8  V8 118
  • 119. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoLa politropica dovrà quindi intersecare l’isoterma sottostante - n . 8 - nel punto 8 i cui parametri,tranne la temperatura, sono incogniti.D’altra parte, per il punto 9 e per il punto 8 , collocati sulle rispettive isoterme, devono valereanche le equazione di stato: n  R  T9 p9  V9 n  R  T8 p8  V8Sostituendo le espressioni delle pressioni nell’equazione della politropica si ottiene:  n  R  T9    n  R  T8      V9     V8      V9   V8  Cioè:  1  1 T9  V9  T8  V8 Da cui si ricava il valore incognito di V8 :  1  1 T9 V8  V9  T8 1  1 T9  T9   1 V8   1 V9   V9      T8  T8  Sostituendo i valori noti, si ottiene: 10 V8  6 m   3  1 . 202    3  8 , 57 m  3  1 . 080 Ricavando invece il volume dall’equazione generale di stato e sostituendo nell’equazione dellapolitropica, si ha: n  R  T9 V9  p9 n  R  T8 V8  p8    n  R  T9   n  R  T8  p9    p8        p9   p8  Da cui si ottiene ancora: 1   1  1  p9  T9  p 8  T8 Ed il valore della pressione p8 :  1  1   T9  p8  p9      T8     T9   T9  1  p 8  p 9  1     p9        T8   T8  119
  • 120. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Sostituendo i valori dati: 1, 3 5  N   1 . 202   0 , 3 5  N  p 8  16 , 65  10  2    10 , 47  10  2   m   1 . 080  m Reiterando il procedimento utilizzato per i punti 9 e 8 a tutti gli altri punti su ciascunaisoterma si ottengono i seguenti risultati: 1 1  T8    17) V7   1 V8  1  T8  V8       1 . 080    1  8 , 57     12 . 69 m 3  T7  T7   960   1,3    T8   T8  1   5  1 . 080  0 ,3 5  N  p 7  p 8  1     p8    10 , 47  10    6 , 28  10       2  T7   T7   960  m  1 1  T7   16) V6   1 V7  1  T7  V7      960    1  12 , 69     19 , 80 m 3  T6  T6   840   1,3    T7   T7  1  5  960  0 ,3 5  N  p 6  p 7  1     p7    6 , 28  10    3 , 52  10       2  T6   T6   840  m  1  T6   15) V5   1 V6  1  T6  V6       33 , 09 m 3  T5  T5     T6   T6  1  5  N  p 5  p 6  1     p6     1 , 80  10       2  T5   T5  m  N 5 p ( 2 ) x 10 m 20 p 9 9 15 IS O T E R M A A D I A B A T IC A      8 10 P O L IT R O P IC A           7 T9 5 T8 1 .2 0 2 K T7 1 .0 8 0 K 960 K T6 840 K 720 K 600 K 480 K 360 K 240 K 3 V (m ) V 5 9 10 15 20 120
  • 121. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino CICLO DI CARNOT N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE) ESPANSIONE ISOTERMICA + ESPANSIONE ADIABATICA COMPRESSIONE ISOTERMICA + COMPRESSIONE ADIABATICAAnche in questo caso si immagina di percorrere il ciclo in senso orario partendo dal punto “A” i cuiparametri di stato sono comuni sia all’isoterma alla temperatura T 1 sia all’adiabatica che intersecal’isoterma T 1 .  Dal punto “A” al punto “B”. PRIMA Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 . La trasformazione è ADIABATICA ed avviene quindi senza scambi di calore con l’ambiente esterno. Il pistone è sbloccato e sul fondo del cilindro è posizionato il setto termoisolante. Le pareti e lo stesso pistone sono già realizzati – per costruzione del sistema termodinamico – con materiali perfettamente termoisolanti. L’aumento di temperatura, per passare dal valore tipico dell’isoterma T 1 a quello tipico dell’isoterma T 2 , non può che essere provocato da una compressione del gas per mezzo dell’abbassamento del pistone. La compressione provoca la diminuzione di volume V e l’aumento di pressione p . Se, per esempio, nel cilindro è contenuto un gas biatomico come ossigeno o azoto, la variazione dei parametri di stato pressione e volume segue la Legge di Poisson: 1 , 40 1 , 40 pV  p 1  V1 Ove con p 1 e V 1 s’intendono la pressione e il volume iniziali posizionati sull’isoterma T 1 . Per cui se si considera come variabile indipendente il volume si potrà calcolare, di conseguenza, la relativa pressione durante la trasformazione adiabatica: 1 , 40 p 1  V1 p  1 , 40 V La compressione e la conseguente trasformazione adiabatica sono ultimate quanto la temperatura del gas assume il valore tipico dell’isoterma T 2 e i parametri di stato sono quelli caratteristici del punto “B”. A livello energetico occorre fornire lavoro esterno di compressione e tutto il lavoro serve per incrementare la sola energia interna del gas dal valore U 1 al valore U 2 . Il lavoro è positivo per il sistema e negativo per l’ambiente esterno che lo fornisce al sistema ed è inoltre rappresentato dall’area sottostante la curva dell’adiabatica e delimitata, a destra e sinistra, rispettivamente dal valore del volume iniziale e finale. Definiamo L 1 tale lavoro per noi negativo in quanto “noi” siamo “l’ambiente esterno”.  Dal punto “B” al punto “C”. PRIMA Trasformazione isoterma alla temperatura T 2 . La trasformazione è isoterma quindi deve avvenire senza che si possa modificare la temperatura. 121
  • 122. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Occorre quindi eliminare il fondo termoisolante del cilindro e permettere lo scambio termico con una sorgente termica di capacità infinita alla temperatura T 2 . Il pistone è sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario verso il punto C, si deduce che la pressione deve diminuire, mentre il volume aumenta. Ciò può essere ottenuto, per esempio, riducendo i pesi poggiati al pistone o diminuendo la forza utilizzata per la compressione adiabatica. Il gas, espandendosi, fornisce lavoro all’ambiente esterno e, nel contempo tende a diminuire di temperatura. La sorgente termica, tuttavia, cede calore al sistema mantenendo la temperatura e l’energia interna al livello dell’isoterma T 2 . Quindi, durante la prima trasformazione isoterma, il sistema fornisce lavoro meccanico ed assorbe calore dalla sorgente. Il lavoro fornito dal sistema termodinamico è rappresentato graficamente dall’area della superficie posta sotto l’iperbole equilatera e delimitata a destra e sinistra dai valori del volume iniziale e finale rispettivamente del punto “B” e del punto “C”. Definiamo Q 1 il calore fornito dalla sorgente al sistema e L 2 il lavoro meccanico fornito all’ambiente dal sistema. Per la sorgente Q 1 è negativo, per il sistema Q 1 è positivo. Per il mondo esterno, cioè per ”noi”, il lavoro L 2 è positivo, per il sistema è negativo. Il lavoro L 2 è rappresentato dall’area della figura delimitata superiormente dall’isoterma T 2 e, a sinistra e destra, rispettivamente dai valori di volume, iniziale e finale, corrispondenti al punto “B” e al punto “C”. Dal punto “C” al punto “D”. SECONDA Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura T 2 alla temperatura T 1 . Il pistone è ancora sbloccato e confina il gas all’interno del volume caratteristico del punto C. Si dovrà scollegare il sistema dalla sorgente termica e ripristinare il fondo termoisolante al cilindro allo scopo di impedire nuovamente gli scambi termici. La temperatura diminuisce dal valore T 2 al valore T 1 solo a causa di un’espansione adiabatica che si ottiene riducendo ancora la quantità di pesi sul pistone. Il gas, espandendosi, fornisce altro lavoro all’ambiente esterno e diminuisce contemporaneamente la propria energia interna. Si può dire che il lavoro è eseguito dal gas a spese della propria energia interna. Definiamo L 3 il lavoro fornito ancora positivo per l’ambiente esterno. Anche in questo caso è possibile applicare la Legge di Poisson relativa alle trasformazioni adiabatiche tenendo conto dei parametri caratteristici iniziali tipici del punto “C”. Il lavoro L 3 è rappresentato dall’area della superficie delimitata superiormente dalla linea dell’adiabatica e. a destra e sinistra, dai valori del volume iniziale e finale. Dal punto “D” al punto “A”. SECONDA Trasformazione isotermica alla temperatura T 1 . E’ la trasformazione che conclude e chiude il ciclo reversibile. Il pistone è sbloccato, il fondo termoisolante è rimosso ed il gas è collegato ad una sorgente termica alla temperatura T 1 . 122
  • 123. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoInizia una nuova compressione, con incremento del valore dei pesi sul pistone, il cui scopo èriportare il gas ai valori di pressione e volume caratteristici del punto “A”.Durante la trasformazione è il sistema a Durante la trasformazione è il sistema a cederecalore alla sorgente termica, mentre, dall’esterno, è applicato lavoro di compressione alsistema.Definiamo Q 2 il calore ceduto alla sorgente e L 4 il lavoro fornito dall’esterno.Per l’ambiente esterno il lavoro L 4 è negativo ed è rappresentato dall’area della superficiedelimitata dall’isoterma e dai valori di volume iniziale e finali caratteristici del punto “D” edel punto “A”. Figura 50 – FLUSSI ENERGETICI DI CALORE E LAVORO VISTI DAL SISTEMA.Il lavoro meccanico che, complessivamente, è ceduto dal sistema termodinamicoall’ambiente esterno, è rappresentato dall’area racchiusa superiormente dall’isoterma T 2 ,inferiormente dall’isoterma T 1 , a sinistra dalla linea curva che caratterizza la primaadiabatica e a destra dalla linea curva della seconda adiabatica.Esso è ottenuto dalla sottrazione tra il lavoro fatto dal sistema sull’ambiente e quello chel’ambiente esterno applica al sistema. 123
  • 124. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Figura 51 – LAVORO MECCANICO COMPLESSIVO CEDUTO ALL’AMBIENTE. Figura 52 – LAVORO MECCANICO POSITIVO E NEGATIVOLe due trasformazioni adiabatiche, unite alle due trasformazioni isotermiche, costituiscono il“CICLO DI CARNOT”. 124
  • 125. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino CICLO “OTTO” N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOCORE MOTORE A CARBURAZIONE Figura 53 – CICLO “OTTO” – N. 2 ADIABATICHE + N. 2 ISOCOREIl ciclo è percorso in senso orario partendo dal punto “A” i cui parametri di stato sono comuniall’isoterma a temperatura minore T 1 , all’adiabatica di compressione che interseca l’isoterma stessae all’isocora D-A nel punto terminale.  Dal punto “A” al punto “B”. COMPRESSIONE ADIABATICA PRIMA Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 . La trasformazione è ADIABATICA ed avviene quindi senza scambi di calore con l’ambiente esterno. Il ciclo ideale prevede che il pistone sia sbloccato e che sul fondo del cilindro sia posizionato il setto termoisolante. Le pareti e lo stesso pistone sono già realizzati – per costruzione del sistema termodinamico – con materiali perfettamente termoisolanti. L’aumento di temperatura, per passare dal valore tipico dell’isoterma T 1 a quello tipico dell’isoterma T 2 , non può che essere provocato da una compressione del gas per mezzo dell’abbassamento del pistone. La compressione provoca la diminuzione di volume V e l’aumento di pressione p . 125
  • 126. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino La variazione dei parametri di stato segue le Leggi di Poisson: 1  p A  VA    p B  V B  cos tan te 2   1 TA  VA  1  TB  VB  1    1       2        TA  p A   TB  p B  Il valore della costante  dipende, come al solito, dal tipo di gas contenuto nel sistema. La compressione e la conseguente trasformazione adiabatica sono ultimate quanto la temperatura del gas assume il valore tipico dell’isoterma T 2 e i parametri di stato sono quelli caratteristici del punto “B”. A livello energetico occorre fornire lavoro esterno di compressione e tutto il lavoro serve per incrementare la sola energia interna del gas dal valore U A al valore U B . L1  U AB Q1  0 Considerando che la compressione adiabatica avviene senza scambi di calore è subito evidente che il lavoro di compressione – per noi negativo – è uguale all’incremento d’energia interna  U . Il lavoro è positivo per il sistema e negativo per l’ambiente esterno che lo fornisce al sistema ed è inoltre rappresentato dall’area sottostante la curva dell’adiabatica e delimitata, a destra e sinistra, rispettivamente dal valore del volume iniziale e finale. Definiamo L 1 tale lavoro per noi negativo in quanto “noi” siamo “l’ambiente esterno”. Dal punto “B” al punto “C”. TRASFORMAZIONE ISOCORA – ACQUISIZIONE DI CALORE A VOLUME COSTANTE La trasformazione B-C prevede che il pistone sia bloccato in una posizione tale da mantenere costante il volume al valore raggiunto al termine della compressione adiabatica A-B. Il fondo termoisolante non è presente ed il sistema è a contatto con una sorgente termica ad alta temperatura che, cedendo calore al sistema, provoca l’aumento di temperatura sino al valore dell’isoterma T 4 e l’incremento di pressione p sino al valore caratteristico dello stato “C”. Nella realtà tecnologica tale trasformazione corrisponde all’incremento quasi istantaneo della pressione causato dall’esplosione della miscela combustibile nello spazio compreso tra la parte superiore del pistone e la parte inferiore della testata (camera di scoppio). Data la rapidità dell’esplosione e il tempo tecnico occorrente per lo spostamento del pistone verso il basso, è possibile ritenere nullo l’incremento di volume ed assumere quindi la trasformazione come “isocora”. La quantità di calore fornita dall’esplosione della miscela combustibile è totalmente trasformata in energia interna  U BC e la temperatura aumenta sino al valore caratteristico dell’isoterma ad alta temperatura T 4 . Q 2  U BC 126
  • 127. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Dal punto “C” al punto “D”. ESPANSIONE ADIABATICA Il pistone è sloccato ed è riposizionato il fondo termoisolante per impedire lo scambio di calore con l’esterno. Il gas alla temperatura T 4 e alla pressione p C si espande adiabaticamente aumentando rapidamente di volume, calando di pressione e di temperatura sino a raggiungere il nuovo stato d’equilibrio caratteristico del punto “D” ove la temperatura T 3 è minore di T 4 ma maggiore di T 1 e T 2 . E’ questa la fase in cui il sistema fornisce lavoro all’ambiente esterno in quantità pari al decremento d’energia interna  U CD . L3  U CD Q 3  0 Alla fine della trasformazione adiabatica i parametri caratteristici dello stato d’equilibrio saranno quelli tipici del punto “D” cioè p C , T 3 e V C Dal punto “D” al punto “A”. TRASFORMAZIONE ISOCORA – CESSIONE DI CALORE A VOLUME COSTANTE - RAFFREDDAMENTO La trasformazione finale teorica avviene a volume costante e prevede che, con pistone bloccato, sia ceduto all’ambiente esterno una quantità di calore tale da riportare la temperatura del sistema a quella iniziale corrispondente all’inizio delle fase di compressione adiabatica. Tale operazione corrisponde, nel ciclo tecnologico reale, alla fase di scarico dei gas combusti (fumi di scarico) e alla relativa perdita energetica. La quantità di calore ceduto all’ambiente corrisponde alla variazione d’energia interna  U DA in quanto la trasformazione è isocora. Q 4  U DA L4  0 127
  • 128. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino CICLO “DIESEL” N.2 ADIABATICHE + N. 1 ISOCORA + N. 1 ISOBARA MOTORE DIESEL AD INIEZIONE Figura 54 – CICLO “DIESEL” – N. 2 ADIABATICHE + N. 1 ISOCORA + N. I ISOBARAIl ciclo è percorso in senso orario partendo dal punto “A” i cui parametri di stato sono comuniall’isoterma a temperatura minore T 1 , all’adiabatica di compressione che interseca l’isoterma stessae all’isocora D-A, nel suo punto terminale.  Dal punto “A” al punto “B”. COMPRESSIONE ADIABATICA PRIMA Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 . La trasformazione è ADIABATICA ed avviene quindi senza scambi di calore con l’ambiente esterno. Il ciclo ideale prevede che il pistone sia sbloccato e che sul fondo del cilindro sia posizionato il setto termoisolante. Le pareti e lo stesso pistone sono già realizzati – per costruzione del sistema termodinamico – con materiali perfettamente termoisolanti. L’aumento di temperatura, per passare dal valore tipico dell’isoterma T 1 a quello tipico dell’isoterma T 2 , non può che essere provocato da una compressione del gas per mezzo dell’abbassamento del pistone. La compressione provoca la diminuzione di volume V e l’aumento di pressione p e di temperatura T . 128
  • 129. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino La variazione dei parametri di stato segue le Leggi di Poisson: 1  p A  VA    p B  V B  cos tan te 2   1 TA  VA  1  TB  VB  1    1       2        TA  p A   TB  p B  Il valore della costante  dipende, come al solito, dal tipo di gas contenuto nel sistema. La compressione e la conseguente trasformazione adiabatica sono ultimate quanto la temperatura del gas assume il valore tipico dell’isoterma T 2 e i parametri di stato sono quelli caratteristici del punto “B”. A livello energetico occorre fornire lavoro esterno di compressione e tutto il lavoro serve per incrementare la sola energia interna del gas dal valore U A al valore U B . L1  U AB Q1  0 Considerando che la compressione adiabatica avviene senza scambi di calore è subito evidente che il lavoro di compressione – per noi negativo – è uguale all’incremento d’energia interna  U AB . Il lavoro è positivo per il sistema e negativo per l’ambiente esterno che lo fornisce al sistema ed è inoltre rappresentato dall’area sottostante la curva dell’adiabatica e delimitata, a destra e sinistra, rispettivamente dal valore del volume iniziale e finale. Nel ciclo reale il punto terminale della compressione adiabatica corrisponde alla massima compressione che il pistone provoca nella camera alla quale, inoltre, corrisponde la massima temperatura. A quel punto interviene la pompa d’inezione che, operando ad una pressione superiore, inietta il combustibile liquido finemente polverizzato nella camera di combustione. Il combustibile, venendosi a trovare in un ambiente a temperatura superiore alla temperatura d’ignizione propria, brucia formando gas di combustione e si espande. Dal punto “B” al punto “C”. ESPANSIONE ISOBARA È la fase in cui il combustibile cede calore al sistema provocando, nel contempo, un’espansione che si ritiene isobara e un ulteriore aumento dell’energia interna. La temperatura aumenta dal valore T 2 - punto B – al valore T 4 per il punto C. L’energia interna aumenta di conseguenza, mentre il sistema fornisce lavoro all’esterno in quantità pari all’area del rettangolo di altezza p B  p c e di base V C  V B . La quantità di calore fornito durante l’espansione isobara è quindi data da: Q 2  C p  n   T 4  T 2   C V  n   T 4  T 2   p   V BC L 2  p B  V C  V B  129
  • 130. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Dal punto “C” al punto “D”. ESPANSIONE ADIABATICA Seconda Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura T 4 alla temperatura T 3 . E’ la fase in cui il sistema fornisce la maggior quantità di lavoro all’ambiente esterno diminuendo l’energia interna dal valore U C al valore U D senza che possibilità di scambi termici con l’esterno. La temperatura passa da T 4 a T 3 . Valgono ancora le equazioni di Poisson: 1  p A  VA    p B  V B  cos tan te 2   1 TA  VA  1  TB  VB  1    1       2          TA  p A  TB  p B Il lavoro è rappresentato dall’area della superficie sottostante la curva d’espansione adiabatica. L3  U CD Q 3  0 Dal punto “D” al punto “A”. TRASFORMAZIONE ISOCORA E’ la fase conclusiva del ciclo durante la quale sono scaricati i gas di combustione con conseguente perdita del calore residuo in essi contenuti. E’ assimilabile ad una trasformazione isocora con decremento della temperatura che passa dal valore T 3 al valore iniziale T 1 . L’energia interna torna al valore iniziale U A . Il lavoro è nullo mentre la quantità di calore ceduto è pari ad decremento d’energia interna: L4  0 Q 4  U DA  n  C V  T 3  T1  In realtà ocoorrerà nenere conto del fatto che, nel ciclo reale, il gas contenuto nel sistema deve essere continuamente rinnovato ad ogni ciclo per il fatto che la combustione provoca dei mutamenti radicali alle sue caratteristiche. 130
  • 131. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino CICLO “JOULE” O “BRAYTON” N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOBARE TURBINE A GAS Figura 55 – CICLO “JOULE” O DI “BRAYTON” – CICLO TURBINE A GASIl ciclo di “Joule” o “Brayton” è costituito da una serie di trasformazioni teoriche ed ideali che sonoalla base del funzionamento reale delle turbine a gas.Le turbine a gas, o turbo reattori, sono largamente utilizzate per la produzione di energia elettrica seabbinate ad alternatori, per la propulsione aero-spaziale se installate su vettori di linea o militari.Il funzionamento è assimilabile, almeno per quanto riguarda il continuo ricambio dei gas, aiprincipali cicli reversibili teorici aperti e si distinguono le seguenti trasformazioni:  Dal punto “A” al punto “B”. COMPRESSIONE ADIABATICA Una certa portata d’aria, prelevata direttamente dall’atmosfera circostante, è immessa in un apparecchio rotante ad alta velocità detto “compressore rotativo” o “turbo-compressore” – di tipo centrifugo o a funzionamento assiale – che provvede ad incrementarne in modo adiabatico sia la temperatura – dal valore T A al valore T B - che la pressione (da p A a p B ). In questa fase il compressore cede energia al gas che si riscalda, diminuisce di volume ed incrementa la temperatura e, di conseguenza, la propria energia interna. L1  U AB Q1  0 La trasformazione adiabatica segue teoricamente le leggi di Poisson: 1  p A  VA    p B  V B  cos tan te 2   1 TA  VA  1  TB  VB  1    1       2          TA  p A  TB  p B 131
  • 132. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino Il lavoro risulta negativo per l’ambiente esterno ed è rappresentato, come al solito, dall’area della superficie sottostante l’adiabatica A_B. Dal punto “B” al punto “C”. ESPANSIONE ISOBARA L’aria, già fortemente compressa e riscaldata dalla compressione adiabatica A_B, passa dal turbo-compressore alla camera di combustione ove subisce l’iniezione di un combustibile liquido polverizzato che fornisce il calore per un ulteriore aumento di temperatura che s’innalza al valore T 4 . La cessione di calore alla miscela gassosa è assimilata ad una trasformazione isobara regolata dalla seguente legge: Q 2  n  C p   T C  T B   n  C V   T C  T B   p B   V BC L 2  p B   V BC Dal punto “C” al punto “D”. ESPANSIONE ADIABATICA – PASSAGGIO NELLA TURBINA La miscela gassosa composta da aria e prodotti di combustione – ad alta pressione e temperatura – è immessa nella turbina ove segue una forte decompressione che si suppone avvenire secondo un’adiabatica. L’espansione adiabatica è causa di un repentino aumento di volume, di un decremento notevole di pressione e un conseguente raffreddamento dalla temperatura T 4 alla temperatura T 3 . La perdita di energia interna  U CD è trasformata, senza scambi di calore, intermente in energia meccanica di rotazione dell’albero della turbina. L3  U CD Q 3  0 Dal punto “D” al punto “A”. COMPRESSIONE ISOBARA – SCARICO DEI GAS E’ la fase terminale del ciclo durante la quale sono scaricati all’esterno i gas di combustione. Tale fase è assimilata ad una trasformazione ideale isobara, anche se, in realtà, si tratta della fase in cui è rinnovato in ciclo con aspirazione di altra aria. La perdita energetica è regolata da: Q 4  n  C p   T A  T D   n  C V   T A  T D   p D   V DA   U DA Il ciclo di “Joule” ideale seguito dai gas nel compressore, nella camera di combustione, nella turbina e nello scarico in atmosfera è una notevole semplificazione di ciò che accade realmente. Di conseguenza lo studio della tecnologia delle turbine a gas è notevolmente complicato dal fatto che le quantità in massa della fase gassosa è variabile durante le varie trasformazioni come, d’altra parte, lo sono anche le capacità termiche ed altre variabili di stato. Inoltre, come già anticipato, il ciclo è di tipo aperto con rinnovo continuo dei gas. Si rimanda quindi alle nozioni di termodinamica dei reattori e delle turbine a gas contenuti nei corsi di macchine e costruzioni meccaniche. 132
  • 133. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCALCOLO DEL CALORE SCAMBIATO DAL SISTEMA TERMODINAMICOSi sono presi sino ad ora in considerazione alcuni esempi di trasformazioni cicliche reversibili allequali può essere sottoposto un sistema termodinamico contenente gas perfetto.Essenzialmente: Ciclo 1: N. 2 trasformazioni isocore + N. 2 trasformazioni isoterme Ciclo 2: N. 2 trasformazioni isobare + N. 2 trasformazioni isoterme Ciclo 3: N. 2 trasformazioni adiabatiche + N. 2 trasformazioni isotermeDi fondamentale importanza il “ciclo 3” – detto CICLO DI CARNOT – in base al quale può esseredescritto il funzionamento delle macchine termiche principali come, ad esempio, il motore ascoppio.Una macchina termica che utilizza il ciclo di Carnot, è in grado di fornire lavoro utile all’ambienteesterno utilizzando il contatto con due sole sorgenti termiche a temperature tra loro differenti.La caratteristica principale di una successione possibile di trasformazioni reversibili a ciclo chiuso èquella di mantenere inalterato il valore dell’energia interna e dei parametri di stato posseduti dalsistema termodinamico nel punto iniziale e terminale del ciclo.Durante un ciclo chiuso qualsiasi, che riporta al valore iniziale l’energia interna, il sistema assorbe ecede quantità di calore e lavoro meccanico i cui valori dipendono essenzialmente dalla tipologia ditrasformazioni eseguite.L’energia interna, il calore e il lavoro meccanico sono però definizioni diverse della stessagrandezza fisica – L’ENERGIA – ed è quindi possibile e consigliabile – allo scopo di esprimerne ilvalore numerico – utilizzare l’unità di misura generale che, nel Sistema Internazionale, è il" JOULE " o " N  m " .Anticipando i concetti e, soprattutto, i risultati dell’Esperienza di Joule, che costituiscel’applicazione pratica del PRINCIPIO D’EQUIVALENZA tra le grandezze energetiche Calore eLavoro meccanico relativamente proprio ad un ciclo chiuso, si giunge alla seguente conclusione:DEFINIZIONE DELL’UNITA’ DI MISURA DEL CALORE - (SISTEMA TECNICO):  La quantità di calore, o energia termica, necessaria ad incrementare di 1° Centigrado, da 14°C A 15°C, (o 1 Kelvin), la temperatura di una quantità d’acqua distillata pari a 1 chilogrammo-massa – o un volume di 1 dm3 – e alla pressione atmosferica normale, può essere assunta come unità di misura del calore ed è definita comunemente GRANDE CALORIA (Kcal).  E’ opportuno essere a conoscenza e ricordare tale definizione anche se la Kcal non è compresa tra le unità di misura del Sistema Internazionale ma del Sistema Tecnico ormai in disuso.  Solitamente il calore è indicato dalla lettera Q Q  Calore 133
  • 134. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDEFINIZIONE DELL’UNITA’ DI MISURA DEL CALORE - (SISTEMA INTERNAZIONALE):In base al Principio d’Equivalenza e all’Esperienza di Joule, la quantità di calore, essendo unagrandezza energetica, è quindi esprimibile con l’unità di misura generale dell’energia nel SISTEMAINTERNAZIONALE.La corrispondenza tra l’unità di misura del Sistema Tecnico e del Sistema Internazionale è statastabilita da Joule con la determinazione del valore della costante J data dal rapporto tra il lavoroeseguito e il calore sviluppato durante un ciclo chiuso: L  Joule   J con  J  4 . 186   Q  Kcal Quindi l’equivalenza tra unità di misura tecniche ed internazionali del calore è la seguente: 1  Kcal   4 . 186  Joule   4 . 186  N  m  QUANTITA’ DI CALORE SCAMBIATA DA UN CORPO SOLIDO O LIQUIDO CALORE SPECIFICO E CAPACITA’ TERMICAIl calore scambiato con l’esterno da un corpo solido o liquido, per diminuire o aumentare il propriolivello termico o temperatura, dipende essenzialmente dai seguenti parametri:  T  T 2  T1 Differenza di temperatura K  m Massa del corpo  kg   Kcal   J  cs Calore specifico del materiale           kg  K   kg  K Il “Calore Specifico” è, per definizione, la quantità di calore – esprimibile il Kcal o Joule –necessaria per incrementare di 1  K  la temperatura di 1  kg  della sostanza considerata.Solitamente, salvo diverse indicazioni, il valore del calore specifico del materiale è da ritenersicostante per intervalli di temperatura compresi tra 273° K e 373° K.La quantità di calore scambiata da un corpo è quindi data dalla seguente relazione: Q  c s  m   T 2  T1   Q  cs  m  T J E con le seguenti unità di misura:  J Q  cs     m  kg    T 2  T 1   K    kg  K Ovviamente il calore è misurato, in virtù del Principio d’Equivalenza, in “Joule” se si utilizza ilSistema Internazionale oppure in “Kcal” se è utilizzato il Sistema Tecnico.Considerando che la quantità di calore, per una certa sostanza di calore specifico c s e per uno stessointervallo di temperatura, dipende esclusivamente dalla massa, risulta definita la “CapacitàTermica” come il calore necessario per incrementare di 1 (K) la temperatura di una certa quantità dimassa: 134
  • 135. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino  J C  cs  m    K Con unità di misura:  J   J C  cs    m  kg      kg  K  K Il calore può quindi essere calcolato anche con la seguente: Q  C   T 2  T1   Q  C  T J Alcuni valori del calore specifico c s relativo a materiali di uso comune:SOSTANZA Calore specifico Calore specifico  J   Kcal           kg  K   kg  K  LIQUIDIAcqua 4.186 1Acetone 2.177 0,52Acido acetico 2.135 0,51Acido nitrico 2.763 0,66Acido solforico 1.381 0,33Alcool etilico a 20° 2.398 0,573Alcol etilico a – 20° 2.114 0,505Ammoniaca liquefatta 3.935 0,94Anilina 2.051 0,49Azoto liquido 1.800 0,43Benzolo e benzina 1.758 0,42Trementina 1.758 0,42Etere etilico 2.260 0,54Glicerina 2.428 0,58Olio d’oliva 1.674/1.884 0,40/0,45Olio minerale lubrificante 1.674 0,40Ossigeno liquido 1.453 0,347Petrolio 2.093 0,5 SOLIDIAcciaio 502 0,12Alluminio da 18° a 100° 908 0,217Alluminio da 18° a 500° 992 0,237Alluminio fuso 1.636 0,391Amianto 816 0,195Antimonio 209 0,050Arenaria 753/837 0,18/0,2Argentana 398 0,095Argento da 18° a 100° 234 0,056Argento da 18 a 500° 251 0,060Argento fuso 314 0,075Asfalto 933 0,223 135
  • 136. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoBismuto 126 0,03Bronzo e ottone 377 0,09Calcestruzzo 879 0,21Caolino 938 0,224Carbone di legna; coke 837 0,20Carbone fossile 1.298 0,31Carta 1.339 0,32Cemento Portland 741 0,177Cenere 837 0,20Costantana 410 0,098Cotone e lana 1.339 0,32Ebanite 1.423 0,34Farina fossile 887 0,212Ferro da 0° a 100° 494 0,118Ferro da 0° a 500° 561 0,134Ferro da 0° a 1000° 686 0,164Gesso 837 0,20Ghiaccio da -40° a 0° 1.925 0,46Ghiaccio a 0° 2.114 0,505Ghisa 544 0,13Grafite 837 0,20Legno rovere 2.386 0,57Legno abete 2.720 0,65Magnesio 1.046 0,25Manganina 406 0,097Mattoni 753/921 0,18/0,22Mercurio 138 0,033Nichel 452 0,108Oro 130 0,031Pietra 879 0,21Piombo 130 0,031Piombo fuso 142 0,034Platino da 0° a 100° 134 0,032Porcellana 1.072 0,256Rame da 18° a 100° 389 0,093Rame da 18° a 300° 402 0,096Rame fuso 653 0,156Sabbia 837 0,20Seta 134 0,32Stagno 231 0,057Sughero 2.051 0,49Terra 1.255/1.674 0,30/0,40Tufo 138 0,33Vetro 837 0,20Zinco 393 0,094Zinco fuso 506 0,121 136
  • 137. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCALORE LATENTE DI FUSIONE O SOLIDIFICAZIONE:La legge di variazione della temperatura in funzione del calore assorbito o ceduto: QTf  Ti  cs  m QTf  Ti  cs  mderivata da quella generale per il calcolo del calore:Q  c s  m  T f  T i Può ritenersi valida ed utilizzabile ha condizione che lo scambio di calore Q si verifichi tra corpisolidi o liquidi con temperature diverse dalle rispettive temperature di fusione o solidificazione.Durante il passaggio di stato solido-liquido, il calore fornito non è causa di incremento ditemperatura, ma è utilizzato per la rottura dei legami molecolari che caratterizzano lo stato solido.Durante il cambiamento di stato la temperatura si mantiene costantemente uguale alla temperaturadi fusione o solidificazione tipica del determinato materiale.Il calore scambiato per la fusione o solidificazione completa di una certa massa di materiale,dipende da una grandezza caratteristica definita “Calore Latente di fusione o solidificazione” L F :Q F  LF mIl “Calore Latente di Fusione o Solidificazione” è una costante, tipica di ogni materiale, cherappresenta la quantità di calore assorbita (fusione) o ceduta (solidificazione) da una quantità pariad 1  kg  di una determinata sostanza.Le unità di misura del Calore Latente sono:  J L F      Sistema Internazionale  kg   Kcal L F      Sistema tecnico  kg Il passaggio dal Sistema Tecnico al Sistema Internazionale si avvale del coefficiente d’equivalenza:1  Kcal  4 . 186 J  137
  • 138. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTabella temperature di fusione o solidificazione e calore latente fusione alla pressione ordinaria:SOSTANZA Temperatura fusione Calore latente fusione o  C  solidificazione  Kcal   KJ           kg   kg Acciaio 1300/1400Acqua 0 79,6 333,2Acqua di mare -2,5Allumina 2050Alluminio 658 90 376,7Alcool etilico a 20° 2.398Alcol etilico a – 20° 2.114Anidride carbonica -56,5 45 188Argento 960 25 105Antimonio 630 40 167Azoto -210Benzina -150Benzolo 5,7Berillio 1280Bismuto 271 12 50Bronzo 900/960Cadmio 321Calcio 830Carbonio 3600Caucciù 125Cera 64Ceralacca 150Cloro -101Cloroformio -63Cloruro di sodio 800Cloruro di calcio 774Cloruro di piombo 500Cloruro di rame 425Cloruro di ferro 300Cloruro di bismuto 232Cloruro di alluminio 190Cobalto 1490Etere etilico -118Ferro puro 1530 55 230Fluoruro di calcio 1378Fluoruro di sodio 992Fosforo 44Ghisa bianca 1130 23/33 96/138Ghisa grigia 1200 23/33 96/138Glicerina 18Iridio 2350Magnesio 651 138
  • 139. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoManganese 1245Mercurio -38,9 2,8 12Metano -184Naftalina 80Nichelio 1450 60 251Nitrato potassico 308Olio d’oliva 3Olio di lino -20Olio di colza 1Oro 1063Ossido di calcio 2570Ossido di magnesio 2800Ossigeno -219Ottone 900/1000Palladio 1557Paraffina 54Pentano -131Piombo 327 6,3 26Platino 1776 27 113Porcellana 1600Potassio 64Quarzo 1470Rame 1083 42 176Silicio 1430Smalto 960Soda caustica 322Stagno 232 14 59Tungsteno 3370Zinco 419 27 113Zolfo rombico 112 9,4 39Zolfo monoclino 119 11 46Ghiaccio 79,6 333.2Idrogeno -259 14,09 59Alcool etilico -114 25 105Dati ricavati dal Manuale G. ColomboIn mancanza di dati, si può valutare il calore latente di fusione mediante la seguente regolaapprossimata: ALF   2  4 T Fus .Con:A Peso atomicoT Fus . Temperatura assoluta di fusione 139
  • 140. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCALORE LATENTE DI VAPORIZZAZIONE O CONDENSAZIONE:La legge di variazione della temperatura in funzione del calore assorbito o ceduto: QTf  Ti  cs  m QTf  Ti  cs  mderivata da quella generale per il calcolo del calore:Q  c s  m  T f  T i Può ritenersi valida ed utilizzabile ha condizione che lo scambio di calore Q si verifichi tra corpisolidi o liquidi con temperature diverse dalle rispettive temperature di vaporizzazione ocondensazione.Durante il passaggio di stato liquido-aeriforme il calore fornito non è causa di incremento ditemperatura, ma è utilizzato per la rottura dei legami molecolari che caratterizzano lo stato liquido.Durante il cambiamento di stato la temperatura si mantiene costantemente uguale alla temperaturadi ebollizione-condensazione tipica del determinato materiale.Il calore scambiato per la vaporizzazione o condensazione completa di una certa massa di materiale,dipende da una grandezza caratteristica definita “Calore Latente di vaporizzazione ocondensazione” L v :Q V  LV mIl “Calore Latente di vaporizzazione o condensazione” è una costante, tipica di ogni materiale, cherappresenta la quantità di calore assorbita (vaporizzazione) o ceduta (condensazione) da unaquantità pari ad 1  kg  di una determinata sostanza.Le unità di misura del Calore Latente sono:  J L V      Sistema Internazionale  kg   Kcal L V      Sistema tecnico  kg Il passaggio dal Sistema Tecnico al Sistema Internazionale si avvale del coefficiente d’equivalenza:1  Kcal  4 . 186 J  140
  • 141. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoTabella temperature di ebollizione e calore latente vaporizzazione alla pressione ordinaria:SOSTANZA Temperatura fusione Calore latente fusione o  C  solidificazione  Kcal   KJ           kg   kg Acetilene liquefatto -84Acido nitrico 86Acido solforico 332 122Acqua 100 539 2.256Alcool 78,3 220Alluminio 1800Ammoniaca liquefatta -33 326Anidride solforosa liquida -10 96Anilina 184 108Argon liquefatto -186Azoto liquefatto -196 48Benzolo 84 95Cloro liquefatto -34 62Cloroformio 61 60Cloruro di metile liquido -24Elio liquefatto -269Essenza di trementina 160 70Etere etilico 35 89Ferro 2450Fosforo 285Glicerina 290Idrogeno liquefatto -253 111Mercurio 357 69Metano liquefatto -162Naftalina 218 75Nichel 3075Olio di lino 316Ossido di carbonio liquido -191Ossigeno liquefatto -183 51Paraffina 300Rame 2340Solfuro di carbonio 46 85Toluolo 110 85Zinco 912 55Zolfo 444 362 141
  • 142. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino QUANTITA’ DI CALORE SCAMBIATA DA UNA SOSTANZA GASSOSA: CALORE SPECIFICO A PRESSIONE COSTANTE CALORE SPECIFICO A VOLUME COSTANTEPer quanto riguarda il calore scambiato da un gas perfetto o un fluido con parametri caratteristicisuperiori a quelli critici, occorrerà far riferimento alle due trasformazioni tipo: Scambio termico per trasformazione a volume costante – ISOCORA Scambio termico per trasformazione a pressione costante - ISOBARAIl calore necessario per incrementare la temperatura del gas di un valore  T - quindi per passare daun’isoterma o isodinamica all’altra – è pari alla differenza di energia interna  U e dipende dal tipodi trasformazione e dalla quantità di gas.Per una trasformazione ISOCORA – a volume costante – tutto il calore scambiato è utilizzato dalgas per la sola variazione di energia interna (essendo nullo il lavoro scambiato con l’ambienteesterno, mentre, per una trasformazione ISOBARA – pressione costante – è utilizzato in parte per lavariazione dell’energia interna ed in parte per prelevare o fornire lavoro meccanico.CALORE - TRASFORMAZIONE ISOCORAPer una trasformazione isocora dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 e per una quantità m digas perfetto, il calore Q scambiato dipende dal valore di un coefficiente c V definito “CALORESPECIFICO A VOLUME COSTANTE” oppure, se si considera una certa quantità di moli, da uncoefficiente C V definito “CAPACITA’ TERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTE”.Risultano le seguenti espressioni: Q  c v  m   T 2  T1  J Con:Q Calore scambiato dal gas per trasformazione a volume costante J   J cV Calore specifico del gas a volume costante    kg  K m Massa gas  kg T 2  T1  Differenza di temperatura K Oppure: Q  C v  n   T 2  T1  J Con:  J CV Capacita termica molare a volume costante    mole  K n Numero moli 142
  • 143. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoCALORE - TRASFORMAZIONE ISOBARAPer una trasformazione isobara dalla temperatura T 1 alla temperatura T 2 e per una quantità m digas perfetto, il calore Q scambiato dipende dal valore di un coefficiente c P definito “CALORESPECIFICO A PRESSIONE COSTANTE” oppure, se si considera una certa quantità di moli, da uncoefficiente C P definito “CAPACITA’ TERMICA MOLARE A PRESSIONE COSTANTE”.Risultano le seguenti espressioni: Q  c P  m   T 2  T1  J Con:Q Calore scambiato dal gas per trasformazione a volume costante J   J cP Calore specifico del gas a pressione costante      kg  K m Massa gas  kg T 2  T1  Differenza di temperatura K Oppure: Q  C P  n   T 2  T1  J Con:  J C P Capacità termica molare a pressione costante    mole  K n Numero moliRELAZIONE TRA I CALORI MOLARI A VOLUME E PRESSIONE COSTANTEE’ una relazione fondamentale tra i valori della capacità termica molare a volume costante e il suoequivalente a pressione costante.Per la dimostrazione della relazione – definita “relazione di Mayer” – conviene utilizzare ildiagramma pressione-volume con indicate le due isoterme o isodinamiche rappresentative dellatemperatura iniziale e finale.Supponendo di partire da uno stato d’equilibrio del gas sull’isoterma T 1 indicato con “A”, èpossibile raggiungere un punto " B " sull’isoterma T 2 facendo subire al gas una trasformazione.E’ importante notare che la differenza di energia interna dipende esclusivamente dalla differenza trai valori delle temperature finale ed iniziale e non dalla posizione dei punti “A” e “B” sulle rispettiveisoterme.La differenza di energia interna non è quindi dipendente dal tipo di trasformazione che esegue ilgas. U A _ B  U B  U A 143
  • 144. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoSe immaginiamo una trasformazione isocora dallo stato “A” allo stato “B” essa sarà rappresentatadal segmento verticale – parallelo all’asse delle pressioni – i cui punti terminali corrispondonorispettivamente allo stato “A” e allo stato “B”.Il calore scambiato dal gas con la sorgente termica – positivo o negativo secondo il senso dipercorrenza – è completamente utilizzato per la variazione di energia interna e si calcola utilizzandoil coefficiente C V con la seguente formula: 1. Q 1  n  C V   T 2  T 1 D’altra parte, utilizzando la definizione di trasformazione isocora e le definizioni di energia internainiziale e finale, e ricordando inoltre che il tipo di trasformazione non permette scambi di energiameccanica con l’esterno: 2. U A  Q 1  U BCombinando le due relazioni:Q 1  n  C V   T 2  T1 U B  U A  Q1Si ottiene:n  C V   T 2  T1   U B  U A  U ABSe invece immaginiamo una trasformazione isobara dallo stato “A” allo stato “B* ” essa saràrappresentata dal segmento orizzontale – parallelo all’asse dei volumi – i cui punti terminalicorrispondono rispettivamente allo stato “A” e allo stato “B* ”.La posizione del nuovo stato “B* ” è naturalmente diversa da quella precedente, ma giacecomunque sull’isoterma T 2 .Per questo motivo la differenza di energia interna tra gli stati “A” e “B” presi sull’isocora esull’isobara è comunque uguale. U AB _ ISOCORA   U AB * _ ISOBARAIl calore scambiato dal gas con la sorgente durante la trasformazione isobara è utilizzato sia per lavariazione di energia interna sia per scambio di energia meccanica (lavoro) e si calcola utilizzandoil coefficiente C P con la seguente: 3. Q 2  n  C P   T 2  T 1 D’altra parte, utilizzando la definizione di trasformazione isobara e le definizioni di energia internainiziale e finale, ricordando inoltre che il tipo di trasformazione permette scambi di energiameccanica con l’esterno e che la quantità di lavoro scambiato è rappresentato dall’area delrettangolo avente come base la differenza tra il volume finale ed iniziale e, come altezza, il valorecostante della pressione, si ottiene: 4. U A  Q 2  L  U B * 144
  • 145. APPUNTI DI FISICA TERMODINAMICA Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – CrescentinoDalla combinazione delle due relazioni: Q 2  n  C P   T 2  T1  U B*  U A