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  • 1. ELETTROSTATICA - ELETTRODINAMICA Prof. Germano GrassoELETTROLOGIAELETTROSTATICAELETTRODINAMICA 5
  • 2. ELETTROSTATICAINDICE:Carica elettricaDurata delle proprietà di elettrizzazioneTipi di elettrizzazioneProtoni ed elettroniCorpi carichi o neutri – Squilibrio della carica elettricaIsolanti e conduttoriElettrizzazione per contatto – conservazione della caricaElettrizzazione per induzioneInduzione elettrostatica e separazione permanente della carica – Messa a terraStrumenti di indagine qualitativa – Elettroscopio a foglieUso dell’elettroscopioLA FORZA ELETTRICA LA LEGGE DI COULOMB Definizione operativa della grandezza fisica “carica elettrica” Unità di misura della carica elettrica Numero di cariche elementari nell’unità di misura della carica Analisi dimensionale della legge di Coulomb e della costante elettrica K La legge di Coulomb e la costante dielettrica Alcuni valori della costante dielettrica relativa ESERCIZI – LA LEGGE DI COULOMB Le forze di induzione elettrostatica Elettroforo di VoltaIL CAMPO ELETTRICO Introduzione Analisi della legge di Coulomb La legge di Coulomb dal punto di vista tridimensionale L’attrazione o repulsione Coulombiana – Curvatura dello spazio L’azione a distanza e il movimento delle cariche IL CAMPO ELETTRICO La definizione di campo elettrico Analisi dimensionale della grandezza “campo elettrico” Campo elettrico e gravitazionale – analogia Linee di flusso – linee o superfici di livello o equipotenziali Linea di flusso – linea di forza Linee di flusso passanti per un segmento del piano Tubi di flusso Linee e tubi di flusso – analogia con il campo gravitazionale Linee o superfici di livello (equipotenziali) Principali tipologie di campo elettrico Campo radiale Campo bipolare Campo uniforme – condensatore Rappresentazione grafica dell’intensità di campo – principio di Faraday Analogia con un tubo di flusso di una corrente d’acqua Campo elettrico generato da un dipolo 6
  • 3. Campo elettrico generato da una carica distribuita su un filamento rettilineo di Lunghezza infinita Campo elettrico generato da una carica distribuita su anello di raggio R Campo elettrico generato da una carica distribuita su un disco circolare o lastra piana. ESERCIZI – CAMPO ELETTRICODerivata di una grandezza scalare rispetto ad una direzione – Gradiente di uno scalareDerivata direzionale della funzione U rispetto alla normaleFLUSSO DL CAMPO ELETTRICO Flusso di un campo elettrico variabile su superficie estesa – Integrale di superficie LEGGE DI GAUSS Campo radiale e sfera Gaussiana con centri coincidenti Campo radiale e sfera Gaussiana con centri non coincidenti Legge di Gauss – Caso di simmetria cilindrica – Densità lineare di carica Legge di Gauss – Caso di simmetria piana – densità superficiale Una sola lamina piana, sottile ed isolante Due lastre piane, sottili e conduttrici Legge di Gauss – Caso di simmetria sferica – Strato sferico di carica Legge di Gauss – Caso di simmetria sferica – Volume sferico di carica Teorema di Coulomb – Densità superficiale e campo elettrico Teorema di Coulomb Flusso uscente da una superficie chiusa – Divergenza del campo elettrico Legge di Gauss in forma differenziale ESERCIZI – FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO E LEGGE DI GAUSSL’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA – POTENZIALE ELETTRICO L’energia potenziale di un campo radiale Differenza di energia potenziale elettrostatica del campo radiale L’energia potenziale infinitesima e le regole d’integrazione Campo di forze conservativo Energia potenziale elettrostatica per uno spostamento qualsiasi Energia potenziale per un percorso chiuso Energia potenziale in un campo generato da più cariche IL POTENZIALE ELETTROSTATICO IL POTENZIALE DIFFERENZA DI POTENZIALE Il movimento delle cariche elettriche per effetto del potenziale Unità di misura del potenziale – il Volt Potenziale in un punto di un campo, prodotto da più cariche Linee e superfici equipotenziali Caso generale Superfici equipotenziali del campo radiale Superfici equipotenziali in un campo uniforme RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE ESERCIZI – ENERGIA POTENZIALE E POTENZIALE ELETTROSTATICO 7
  • 4. CAPACITA’ ELETTRICA Introduzione – Analogia con il potenziale del campo gravitazionale Capacità elettrica di una sfera conduttrice Capacità elettrica Unità di misura della capacità Determinazione del raggio di una sfera avente capacità di 1 Farad Determinazione della capacità di un sfera di raggio 1 metro Sottomultipli del Farad Condensatore – Conduttore isolato dall’ambiente esterno Condensatore – Conduttore non isolato dall’ambiente esterno Condensatore – Principio di funzionamento – Condensatore piano Definizione di nuove unità di misura per la costante dielettrica Condensatore cilindrico Condensatore sferico L’energia elettrostatica del condensatore ESERCIZI – CAPACITA’ ELETTRICA – CONDENSATORI Condensatori impiegati nella tecnica Simbologia adottata per la rappresentazione dei condensatori Leggi di collegamento dei condensatori Condensatori in parallelo Condensatori in serie ESERCIZI – LEGGI DI COLLEGAMENTO IN SERIE E PARALLELO Condensatore in presenza di un dielettrico Tensione massima nel dielettrico – Potenziale disruptivo L’aspetto atomico dei dielettrici Momento torcente su un dipolo e polarizzazione dei dielettrici ELETTRODINAMICALa corrente elettricaGeneratore di tensioneSimbologia grafica per i generatoriL’equilibrio elettrostatico del generatore di tensioneDIFFERENZA DI POTENZIALE – FORZA ELETTROMOTRICE Definizione e unità di misura della corrente reale Unità di misura dell’intensità di corrente elettrica Nuova definizione delle unità di misura dell’elettrostatica Verso convenzionale della corrente Corrente elettrica convenzionale Densità di corrente La velocità delle cariche elettriche – velocità di derivaESERCIZI – CORRENTE ELETTRICARESISTENZA ELETTRICA – LEGGE DI OHM PER I CONDUTTORI Unità di misura della resistenza Simbologia per la rappresentazione delle resistenze ohmiche La legge di Ohm estesa ai vari tratti di circuito 8
  • 5. EsempioESERCIZI – PRIMA LEGGE DI OHMLA SECONDA LEGGE DI OHM – CONDUTTIVITA’ E RESISTIVITA’ Resistenza totale – resistenza specifica o resistività TABELLE RESISTIVITA’ – CONDUCIBILITA’ – COEFFICIENTE TEMPERATURAESERCIZI – RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORIInfluenza della temperatura sulla resistenza e resistivitàConduttori metalliciConduttori non metalliciSoluzioni conduttrici o elettrolitiESERCIZI – RESISTENZA E TEMPERATURAEstensione della legge di Ohm all’intero circuito – Resistenza interna generatoriESERCIZI – ESTENSIONE DELLA LEGGE DI OHM ALL’INTERO CIRCUITOENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE ELETTRICA – LEGGE DI JOULE Energia e legge di Ohm – Circuito esterno Energia e legge di Ohm – Estensione all’intero circuito Potenza della correnteESERCIZI – ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTEEFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE – LEGGE O EFFETTO JOULE Analogia con l’esperimento di Joule – Equivalente meccanico della caloria Legge di Joule –Effetto termico della corrente Fattori di conversioneESERCIZI – LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO 9
  • 6. ELETTROSTATICACARICA ELETTRICA:La definizione della grandezza fisica  “carica  elettrica”  parte  dalla  scoperta,  già  in  essere  sin  dai tempi  antecedenti  l’impero  romano,  che  alcuni  materiali,  opportunamente  trattati,  acquistano  la proprietà di attrarre a sé oggetti di massa estremamente piccola.Pezzi minuscoli di carta, crine, piume ecc. ecc, sono attirati sia da materiali resinosi quanto damateriali vetrosi nel caso in cui questi, siano stati, in precedenza, opportunamente strofinati conpanni di lana o materiali similari.Il vetro e la resina fossile (ambra) costituiscono i principali rappresentanti rispettivamente dellafamiglia di materiali vetrosi e di quella dei resinosi.Il  fenomeno  di  attrazione  dei  corpuscoli  da  parte  di  detti  materiali  prende  il  nome  di  “attrazione elettrostatica”;  i corpi vetrosi o resinosi, responsabili  di  tale  attrazione,  si  dicono  “elettrizzati”  o dotati  di  “carica  elettrica;  il  trattamento  che  tali  materiali  devono  subire  per  assumere  le caratteristiche  descritte  è  definito  “elettrizzazione  per  strofinio”  proprio  in  virtù  dell’azione necessaria per generare una carica elettrica, cioè lo sfregamento con un panno di lana o materialisimilari.Oltre al vetro e alla resina fossile, le proprietà di elettrizzazione per strofinio sono comuni anche amateriali tipici del nostro uso quotidiano come la plastica ed in generale i polimeri (polistirolo,materiali sintetici ecc. ecc.). Figura 1 – FENOMENO D’ATTRAZIONE ELETTROSTATICADURATA DELLE PROPRIETA’ DI ELETRIZZAZIONE:Le proprietà di elettrizzazione dei materiali vetrosi o resinosi non sono permanenti, essi hanno,infatti, una spiccata tendenza a perdere tale caratteristica dopo intervalli di tempo piuttosto brevi.E’ quindi consuetudine affermare che stato di elettrizzazione rappresenta un fenomeno transitorio,mentre, il fenomeno di perdita d’elettrizzazione rappresenta il cammino inverso che conduce ad una completa “scarica” o, in altre parole, allo stato naturale o elettricamente neutro. 10
  • 7. La durata del periodo di elettrizzazione per strofinio, generalmente breve, dipende soprattutto daimateriali posti a contatto con il corpo elettrizzato ed, in particolare da alcune loro caratteristicheelettriche.In  ogni  caso  l’elettrizzazione per sfregamento, come si vedrà più avanti, non comportageneralmente una diminuzione o un aumento delle particelle interne ai corpi ma, piuttosto, unamodificazione geometrica della forma molecolare ed una conseguente diversa distribuzione delleproprietà elettrostatiche dei materiali.Si dirà più avanti che materiali amorfi come il vetro e la resina fossile subiscono il fenomenod’elettrizzazione per effetto di “polarizzazione molecolare”.Un corpo che non presenta fenomeni dovuti all’elettrizzazione è definito “elettricamente neutro” o più semplicemente “neutro”.TIPI DI ELETTRIZZAZIONE:La  scoperta  del  fenomeno  d’attrazione  elettrostatica  e  di  carica  per  strofinio,  tipica  dei  materiali anzidetti, è stata subito seguita dalla constatazione che i materiali vetrosi e resinosi si comportanoelettricamente in modo opposto. Sia  il  vetro  che  l’ambra  hanno  la  capacità  di esercitare forzeattrattive a distanza su piccoli corpuscoli ma, mentre tra due oggetti elettrizzati di tipo diverso(vetro-ambra) continua a manifestarsi una forza attrattiva, tra due oggetti elettrizzati dello stessotipo si manifesta una forza repulsiva.Risulta così evidente che le caratteristiche elettriche dei due materiali sono uguali masostanzialmente di tipo opposto.Due bacchette di vetro, elettricamente cariche per strofinio, hanno una tendenza a respingersi che ètanto più evidente quanto più esse sono ravvicinate.Lo stesso succede, quando sono due bacchette d’ambra ad essere vicine.Al  contrario,  avvicinando  una  bacchetta  di  vetro  ad  una  d’ambra,  si  osserva  un  fenomeno d’attrazione reciproca.Per  contraddistinguere  i  due  tipi  d’azione,  tra  loro  opposti,  si  utilizzano  comunemente  i  segni algebrici “positivo” e “negativo”.La carica elettrostatica caratteristica del vetro e di tutti i materiali vetrosi è definita,convenzionalmente,  di  tipo  “positivo”  mentre  quella  caratteristica  dell’ambra  e  dei  materiali resinosi di tipo “negativo”.Sarà carico negativamente quel materiale che si comporta da materiale resinoso, positivo quando sicomporta da materiale vetroso. Figura 2 – CARICHE POSITIVE E NEGATIVE – FORZE D’ATTRAZIONE E REPULSIONE 11
  • 8. PROTONI ED ELETTRONI:Una volta definita la convenzione di segno che si utilizzerà normalmente per contraddistinguere latipologia di carica elettrica, risulta relativamente agevole riconoscere in due componenti atomici dibase, le caratteristiche elettriche simili ora ai materiali vetrosi, ora ai materiali resinosi.L’elettrone  possiede  una  carica  elettrica  permanente  del  tutto  simile  a  quella  posseduta  per definizione dai materiali resinosi.La  carica  elettrica  dell’elettrone  è  dunque  negativa  in  quanto  esso  si  comporta  elettricamente  in modo analogo alla resina fossile.Il protone possiede al contrario una carica positiva e si comporta quindi come un materiale vetroso.Il neutrone, come indicato dallo stesso nome, è elettricamente neutro e, di conseguenza, nonsoggetto a forze attrattive o repulsive di tipo elettrico.Malgrado la grandezza dell’elettrone e del protone e le quantità di massa che li contraddistinguonosiano completamente diverse (la massa del protone è riconosciuta circa duemila volte maggiore diquella dell’elettrone), essi posseggono lo stesso valore di carica elettrica cioè di elettrizzazione.Il valore numerico che contraddistingue la carica elettrica  dell’elettrone  e  del  protone,  a  parte  la diversità di segno, è convenzionalmente riconosciuto come la più piccola carica elettrica esistente.Convenzionalmente si indica: e Carica negativa elementare dell’elettrone p Carica positiva elementare del protoneIl valore numerico delle due cariche è uguale ma di segno opposto.Considerato che, comunque, il segno algebrico della carica complessiva resta stabilita dal numero dielettroni in eccesso o in difetto, è opportuno fare sempre riferimento alla carica elettricadell’elettrone.CORPI CARICHI O NEUTRI - SQUILIBRIO DI CARICHE ELEMENTARIConsiderato che ogni corpo, di qualsiasi tipo e specie, è essenzialmente composto da particelleatomiche dotate di carica elettrica elementare permanente, e che ognuna di esse, a seconda che siaun elettrone o un protone, possiede una uguale carica elettrica di segno positivo o negativo, si puòragionevolmente definire come un corpo “NEUTRO” quello che possiede in ugual misura i due tipidi carica o, più semplicemente, quello che possiede lo stesso numero di protoni e di elettroni.In  questo  caso  la  “neutralità  elettrica”  si  manifestata  dall’assenza  di  forze  elettrostatiche  generate dal corpo stesso.In generale ed in condizioni normali ogni atomo possiede un ugual numero di protoni ed elettroni edè  quindi  evidente  che  la  normalità  estesa  a  tutti  gli  atomi  ci  permette  di  associare  l’idea dellaneutralità.Se, per qualche motivo, si genera uno squilibrio tra il numero di protoni ed elettroni è, diconseguenza, alterato lo stato di neutralità.Il corpo presenta una deviazione dalla normalità elettrica ed è quindi “carico”.Le  molecole  composite  nelle  quali  si  manifesta  la  mancanza  o  l’eccesso  di  elettroni  rispetto  alle condizioni normali, sono comunemente definite “ioni”.Se lo squilibrio è a favore del numero d’elettroni, la carica elettrica sarà negativa, viceversa, se losquilibrio è a favore del numero di protoni, sarà positiva.Alcune osservazioni importanti: Le nostre conoscenze attuali ed il livello della sperimentazione ci permettono di stabilire che le particelle atomiche contenute nel nucleo non possono essere rimosse dallo stesso se non in condizioni molto particolari (reazione di fissione nucleare generata dal bombardamento del nucleo con neutroni provenienti dall’esterno). 12
  • 9. Da questa constatazione si può trarre la conclusione che un eventuale squilibrio di caricheelettriche non può essere ottenuto mediante la riduzione dei protoni positivi ma solovariando il numero di elettroni.Se il numero di elettroni aumenta saremo in presenza di un corpo complessivamentenegativo, se diminuisce, di un corpo complessivamente positivo.Dopo  aver  stabilito  che  il  valore  numerico  della  carica  elettrica  posseduta  dall’elettrone èquello più piccolo in assoluto e che la carica elettrica è generata dallo squilibrio di elettronirispetto al numero costante dei protoni, è evidente che il valore numerico della caricaelettrica complessiva posseduta dal corpo dipende unicamente dal numero  d’elettroni mancanti o in eccesso rispetto alle condizioni di neutralità per quel corpo.Anticipando la simbologia che si adotterà in seguito: Q n e Con: Q Valore numerico del grado d’elettrizzazione o CARICA ELETTRICA n Numero d’elettroni in eccesso o in difetto  e Valore elementare della carica elettrica dell’elettroneLa grandezza del valore numerico della carica elettrica posseduta da un corpo è quindiindipendente dalle dimensioni dello stesso.Corpi di piccole dimensioni posseggono una grande carica elettrica se lo squilibrio dielettroni rispetto ai protoni è grande.Naturalmente deve valere anche il contrario.Ogni condizione di squilibrio rappresenta una deviazione dallo stato naturale ed è quindiovvio, già come avviene per i fenomeni meccanici e termici, che anche la carica elettricaabbia la tendenza ad annullarsi riportando il corpo alla stato neutro. Figura 3 – CORPO NEUTRO – CORPI POSITIVI E NEGATIVI 13
  • 10. MATERIALI ISOLANTI E CONDUTTORI:Stabilire che la carica elettrica dipende dal numero di elettroni in difetto o in eccesso significaammettere la possibilità di poter variare a piacere il loro numero all’interno della struttura atomica della materia che costituisce i corpi.La possibilità di poter estrarre o inserire elettroni dipende essenzialmente dal tipo di legamemolecolare e dalla posizione occupata dalle particelle negative all’interno dell’atomo.Sostanzialmente è possibile interagire con gli elettroni dotati di elevata energia cinetica e costretti,per questo motivo, a rimanere distanti dal proprio nucleo risentendo, di conseguenza, di una scarsaattrazione.Questi elettroni sono debolmente legati e posseggono una relativa libertà di spostamento all’interno della struttura molecolare.Essi sono definiti “elettroni di conduzione”.Solitamente gli elettroni di conduzione sono numerosissimi nel caso in cui il corpo sia costituito daelementi chimici ad elevato numero atomico.Tutti i metalli posseggono un elevato numero atomico e una grande quantità di elettroni liberi, cioèelettroni di conduzione, per i quali è relativamente semplice l’estrazione o l’inserimento.Al contrario, nelle sostanze vetrose e resinose, anche in virtù del tipo di legame molecolare che lecaratterizza, tutti gli elettroni sono fortemente legati alla struttura atomica.Per questo motivo in tali sostanze non compaiono elettroni di conduzione e non è quindi possibilemodificare lo stato di neutralità elettrica modificando il numero di elettroni.L’elevato numero di elettroni di conduzioni rende agevole sia la possibilità di generare una carica elettrica statica sia il passaggio dinamico di cariche elementari da un punto ad un altro.Le sostanze dotate di elevato numero di elettroni di conduzione sono definite “CONDUTTORI”.Rappresentanti fondamentali della famiglia dei conduttori sono tutti i metalli.Le sostanze amorfe, vetrose, resinose e tutte quelle scarsamente dotate di elettroni liberi, sonodefinite “ISOLANTI ” o “dielettrici”.Il vetro, la resina, i materiali sintetici sono quindi ottimi “isolanti elettrici”Per  quanto  riguarda  il  fenomeno  d’elettrizzazione  per  strofinio,  tipico  delle  sostanze  vetrose  e resinose, quindi fortemente isolanti, si può dire che esso non può essere causato dalla modifica delnumero  d’elettroni  – in quanto fortemente legati ai loro atomi o molecole – ma ad un fenomenodefinito di “POLARIZZAZIONE MOLECOLARE”.Sostanzialmente lo strofinio provoca  la  modifica  dell’orientamento  molecolare sino alladeformazione “dell’edificio atomico” – inizialmente caotico – per ricondurlo in ununica direzione.Ciò provoca la formazione di due poli elettrici di segno contrario e una conseguente “carica elettricaapparente” di spostamento, senza squilibrio del numero di cariche.La famiglia dei “CONDUTTORI” elettrici è poi classificata in funzione del grado di efficienza, nel modo seguente: Conduttori metallici o di prima classe. Sono i metalli e molte leghe metalliche. Danno luogo a conduzione metallica; il flusso di carica elettrica (corrente elettrica) è dovuto al moto degli elettroni di conduzione, capaci di passare  dall’uno  all’altro  atomo  metallico.  Gli  atomi  privi  di  uno  o  più  di  questi  elettroni  costituiscono degli ioni positivi, che restano fermi o quasi durante la conduzione elettrica metallica. Conduttori elettrolitici o di seconda classe. Sono particolarmente le soluzioni e i Sali fusi. Danno luogo a conduzione elettrolitica; il flusso di cariche elettriche (elettricità) è dovuto al moto di porzioni di molecole cariche positivamente (ioni positivi o cationi) e cariche negativamente (ioni negativi o anioni). 14
  • 11. Il movimento degli ioni elettrolitici è assoluto in quanto entrambi i tipi si muovono nella stessa direzione ed in verso apposto attirati da poli elettrici contrari. Conduttori gassosi. Negli aeriformi sa ha conduzione gassosa. Il flusso di cariche elettriche è dovuto, di regola, al moto di ioni gassosi, talvolta anche al moto di elettroni liberi. Uno ione gassoso è costituito da una molecola che ha perso o acquistato uno o più elettroni. Semiconduttori. Sono sostanze solide, cristalline, nelle quali è presente una lieve conduzione elettrica, il cui carattere, in definitiva, è ancora elettronico ma accompagnato da alcune proprietà specifiche tra cui, di particolare importanza, l’asimmetria direzionale del flusso elettronico. In pratica, nei semiconduttori, il flusso elettronico direzionale è permesso in un solo verso. Nel verso opposto i semiconduttori si comportano come un perfetto isolante.ELETTRIZZAZIONE PER CONTATTO – PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICAE’ un fenomeno molto evidente specialmente nel caso di conduttori metallici ed è riconducibile ed assimilabile al principio di conservazione dell’energia e al secondo principio della termodinamicaove è affermato che il calore si propaga e si trasmette da un corpo più caldo ad un corpo freddo.Il fenomeno di elettrizzazione per contatto è meglio interpretabile se paragonato a tutti i fenomenifisici durante i quali è ricercato l’equilibrio.L’elettrizzazione per contatto è il risultato della ricerca, da parte dei corpi interessati ed interagenti, dell’equilibrio elettrostatico.In altre parole: Quando un corpo elettricamente squilibrato (carico) è posto a contatto con un corpo neutro, avviene spontaneamente un passaggio di cariche tale da permettere il raggiungimento di una nuova situazione in cui è diminuito lo squilibrio nel corpo carico ed è aumentato nel corpo neutro. Il risultato finale è una nuova situazione in cui la differenza di carica elettrica tra i due corpi si è ridotta. Il fenomeno avviene spontaneamente ed è valido il principio di conservazione della carica elettrica. La quantità di carica posseduta complessivamente dai due corpi si mantiene costante e pari alla carica posseduta prima del contatto.Così, ad esempio, se un corpo dotato di una quantità di carica positiva (difetto di elettroni) è posto acontatto con uno o più corpi elettricamente neutri, si verifica un trasferimento di elettroni che tendea riportare allo stato neutro il corpo positivo.Gli  elettroni  sono  estratti  dal  corpo  neutro  dall’azione  elettrostatica  attrattiva  esercitata  dal  corpo carico.L’estrazione  ed  il  passaggio  di  elettroni  determina  la  riduzione  della carica elettrica positivaoriginale (diminuisce lo squilibrio), ma, nel contempo, genera un nuovo squilibrio nel corpo che inorigine era neutro.Alla fine, dopo il contatto, entrambi i corpi posseggono una carica elettrica positiva ed il fenomenoè quindi assimilato ad un trasferimento di carica con mantenimento del valore originale.Al contrario, ponendo a contatto un corpo negativo (eccesso di elettroni) con uno o più corpi neutri,si ha una passaggio di elettroni dal corpo carico ai corpi neutri.I corpi, in origine neutri, assumono una carica negativa tanto più grande quanto più elevato è ilnumero di elettroni trasferito, mentre, il corpo in origine negativo, riduce il valore della caricaoriginale.Si ha in questo caso un trasferimento permanente di cariche negative. 15
  • 12. La quantità di carica trasferita da un corpo carico ad uno neutro o diversamente carico dipendeessenzialmente dalla forma dei corpi.Teoricamente, nel caso di corpi dimensionalmente uguali, le carica è dimezzata. e e e e e Figura 4 – ELETTRIZZAZIONE PER CONTATTOELETTRIZZAZIONE PER INDUZIONEUn altro modo per elettrizzare un corpo conduttore è quello di provocare la separazione dellecariche positive e negative già possedute inizialmente.Si tratta di una separazione transitoria determinata essenzialmente dallo spostamento delle carichenegative mobili (gli elettroni di conduzione) solitamente attratte o respinte rispettivamente dapolarità positiva o negativa esterna.Il risultato di tale attrazione o repulsione è la concentrazione delle cariche negative ad un’estremità del conduttore e la conseguente concentrazione – per difetto d’elettroni – delle cariche positive dallaparte opposta.Il corpo è quindi “polarizzato” dalla presenza di un “polo positivo” e di un “polo negativo” ma, il numero di cariche elettriche originali non è modificato.L’induzione  è  quindi  una  forzatura  transitoria  che  modifica  lo  stato  delle  cariche  ed  è  provocata dall’attrazione elettrica dovuta alla presenza ravvicinata di un altro corpo elettricamente squilibrato.Il  responsabile  dell’induzione  è  definito  “induttore  o  inducente”  mentre  il  corpo  che  la  subisce  è definito “indotto”.L’induzione o polarizzazione della materia scompare – ritorno allo stato neutro - se cessa l’azione dell’induttore oppure, in generale, se l’indotto e l’induttore sono allontanati l’uno dall’altro.L’effetto  d’induzione  su  di  un  conduttore neutro (ad esempio un metallo) si manifesta ogniqualvolta gli è avvicinato un corpo (conduttore o isolante polarizzato) carico. Corpo induttore positivo: Avvicinando ad  un’estremità del corpo neutro un induttore positivo (corpo conduttore caricato positivamente, estremità positiva di un isolante polarizzato oppure estremità positiva di un conduttore polarizzato), gli elettroni di conduzione contenuti nel corpo neutro si spostano, per attrazione elettrica, verso la parte positiva dell’induttore. Il corpo inizialmente neutro è quindi polarizzato con il polo negativo verso l’induttore. La polarizzazione indotta scompare se i due corpi sono allontanati, ovvero se cessa l’azione  elettrostatica dell’induttore. 16
  • 13. IN D U T T O R E P O S IT IV O IN D U T T O R E P O S IT IV O P O L A R IZ Z A T O IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O e e e e e e POLO NEGAT. POLO NEGAT. P O L O P O S IT . P O L O P O S IT . S O S T E G N O IS O L A N T E S O S T E G N O IS O L A N T E Figura 5 – INDUTTORE POSITIVO (PERMANENTE O POLARIZZATO TRANSITORIO) Corpo induttore negativo: Il fenomeno è analogo al precedente con la differenza che gli elettroni si allontanano dall’induttore trasferendosi all’estremità più distante dell’indotto. IN D U T T O R E N E G A T IV O IN D U T T O R E N E G A T IV O P O L A R IZ Z A T O IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O e e e e e e e e e e POLO NEGAT. P O L O P O S IT . POLO NEGAT. P O L O P O S IT . S O S T E G N O IS O L A N T E S O S T E G N O IS O L A N T E Figura 6 - INDUTTORE POSITIVO (PERMANENTE O POLARIZZATO TRANSITORIO)La formazione di poli d’induzione contrapposti sul corpo inizialmente neutro è chiaramente visibile dal movimento del pendolino elettrico (piccola sferetta caricata positivamente o negativamente eappesa ad un filo leggero) posto nelle vicinanze delle estremità del corpo. 17
  • 14. IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O e e e e e e e e e e POLO NEGAT. P O L O P O S IT . POLO NEGAT. P O L O P O S IT . IN D U T T O R E N E G A T IV O IN D U T T O R E P O S IT IV O S O S T E G N O IS O L A N T E S O S T E G N O IS O L A N T E Figura 7 – AZIONI ELETTROSTATICHE SU UN PENDOLINO POSITIVOINDUZIONE ELETTROSTATICA E SEPARAZIONE PERMANENTE DELLE CARICHE.MESSA A TERRASfruttando il solo fenomeno d’induzione risulta impossibile, secondo quanto visto prima, caricare inmodo permanente un corpo conduttore (indotto).Per far ciò occorre associare l’induzione elettrostatica all’artificio della messa a terra.Si tratta, in pratica, di collegare il corpo indotto al terreno per mezzo di un filo conduttore (messa aterra) e procedere poi secondo il seguente procedimento: Il collegamento del corpo neutro (da caricare) al terreno ci permette di considerare come indotto l’insieme terra-filo-corpo Avvicinando  l’induttore  all’indotto  si  ottiene, per induzione, il trasferimento delle cariche negative e la polarizzazione elettrica dell’insieme terreno-filo-corpo. Le cariche elettriche utilizzano il filo come ponte tra il corpo ed il terreno. Il corpo è quindi sede di una polarità positiva o negativa in funzione della carica dell’induttore. Se l’induttore è negativo il corpo posto all’estremità dell’insieme si carica positivamente, se  l’induttore è positivo si carica negativamente Il filo è poi eliminato separando così il terreno dal corpo ed impedendo alle cariche negative la possibilità di riequilibrare l’insieme L’induttore è poi allontanato dall’indotto L’eccesso o il difetto di cariche negative nel corpo risulta in questo modo permanente. 18
  • 15. C O R P O IN IZ IA L M . N E U T R O C O R P O P O S IT IV O e e e e IN D U T T O R E N E G A T IV O S O S T E G N O IS O L A N T E S O S T E G N O IS O L A N T E e F IL O C O N D . e F IL O C O N D . e TERRENO TERRENO Figura 8 – CARICA PERMANENTE PER INDUZIONE E MESSA A TERRA C O R P O IN IZ IA L M . N E U T R O C O R P O N E G A T IV O e e e IN D U T T O R E P O S IT IV O e S O S T E G N O IS O L A N T E S O S T E G N O IS O L A N T E e e F IL O C O N D . e F IL O C O N D . TERRENO TERRENO Figura 9 – CARICA PERMANENTE PER INDUZIONE E MESSA A TERRAL’induzione elettrostatica unita alla messa a terra permette teoricamente di generare, utilizzando lacarica elettrica di un solo induttore, una quantità di carica elettrica infinitamente grandeprelevandola direttamente dalla terra che si comporta, in questo caso, come una sorgente dielettricità infinitamente grande.Se ci si limita a considerare la sola carica elettrica generata sui conduttori in esame, non ha piùvalidità il principio di conservazione così come illustrato per il caso di elettrizzazione per contatto.Il principio di conservazione della carica è però in realtà soddisfatto se prendiamo in esame l’intero sistema terra-filo-corpo. 19
  • 16. STRUMENTI DI INDAGINE QUALITATIVAELETTROSCOPIO A FOGLIE – ELETTROMETRO AD AGOConsiderando che la carica elettrica è una grandezza fisica definita dalla somma delle caricheelettriche elementari possedute dagli elettroni in eccesso o in difetto e che risulterebbe, per ovvimotivi, assurda ed impossibile una misurazione diretta mediante conteggio di tali particelle, risultanecessario stabilire: Le modalità per la valutazione delle condizioni elettrostatiche che caratterizzano il conduttore Il sistema di misura e la relativa unità di misura della carica elettrica Le modalità per la valutazione numerica dell’intensità di caricaPer quanto riguarda il sistema di misura e le modalità di valutazione numerica, occorre riprenderel’argomento, in prima battuta, durante la trattazione delle forze elettriche e successivamente durantelo studio dei flussi di carica nei conduttori (corrente elettrica).Per il primo punto - la valutazione qualitativa delle condizioni elettrostatiche - è sufficientericollegarsi alla condizione iniziale che ha permesso la scoperta dell’elettricità cioè l’esistenza delle azioni elettrostatiche repulsive e attrattive a distanza.Il primo strumento d’indagine qualitativa è “l’elettroscopio a foglie”.Esso ci permette sostanzialmente di determinare, sfruttando il fenomeno di attrazione elettrostatica,se  un  corpo  è  carico  o  neutro,  se  l’eventuale  carica  è  positiva  o negativa e, se opportunamentetarato, una prima valutazione dell’intensità o grandezza numerica della carica.Può  essere  utilizzato  sia  tramite  contatto  che  induzione  ed  è  sostanzialmente  costituito  da  un’asta metallica inserita in un recipiente di vetro per mezzo di un tappo di materiale isolante.L’estremità interna al recipiente è dotata di due sottili lamine metalliche incollate all’asta con una sostanza conduttrice, l’altra estremità, esterna, è dotata di un terminale sferico metallico.Esistono poi diverse  altre  modalità  costruttive  come,  ad  esempio,  l’elettroscopio  ad  ago  mobile comunemente  definito  “elettrometro”  nel  quale  l’azione  delle  lamine  metalliche  è  sostituita  dal movimento rotatorio di una sbarretta metallica sottile (ago) rispetto ad un’asta metallica fissa. S F E R A M E T A L L IC A S F E R A M E T A L L IC A T A P P O IS O L A N T E T A P P O IS O L A N T E A STA M ET. A STA M ET. F IS S A REC. VETRO AGO REC. VETRO L A M IN E SCA LA Figura 10 – ELETTROSCOPIO A LAMINE METALLICHE – ELETTROMETRO AD AGO 20
  • 17. USO DELL’ELETTROSCOPIO: Per determinare se un corpo è neutro o carico: L’elettroscopio è utilizzato sia per contatto che per induzione. Ponendo  a  contatto  la  sfera  esterna  dell’elettroscopio  con  il  corpo  in  esame  (si  desidera  determinare se il corpo è carico o no), parte dell’eventuale carica elettrica si trasferisce dal  corpo alla sfera e, attraverso l’asta metallica, si distribuisce anche sulle lamine. L’apertura delle lamine metalliche è indice della presenza della forza elettrostatica repulsiva  agente sulle due lamine per effetto di cariche elettriche dello stesso segno. Naturalmente nulla accade se il corpo in esame è neutro. Nel caso di apertura delle lamine non ci è permesso di determinare il segno algebrico della carica. - +++ -- + --- - ++ + - - -- + ++ + + - - - + + + --- - - -- + + - +++ - --- + + -- -- + + + --- -- + + -- - -- - Figura 11 – PER CONTATTO Avvicinando  il  corpo  alla  sfera  dell’elettroscopio il corpo, si ottiene, per effetto dell’induzione elettrostatica, la separazione delle cariche sull’asta, le lamine e la sfera stessa.  L’elettroscopio si polarizza assumendo sulla sfera esterna la polarità opposta al segno della  carica del corpo e, sulle lamine, la stessa polarità. Le lamine, ancora per effetto di forze elettrostatiche repulsive, si allontanano confermando così che il corpo induttore è carico. Nulla succede nel caso di corpo neutro. Allontanando il corpo dalla sfera cessa la polarizzazione  dell’elettroscopio  e  le  lamine  assumono la posiziona naturale di verticalità, chiudendosi. Anche in questo caso, pur riuscendo a determinare se il corpo è carico o neutro, non ci è permesso di conoscere il segno algebrico della carica. Dalla maggiore o minore apertura delle lamine ci è invece consentito di paragonare l’intensità di carica di due diversi corpi posti a contatto in tempi diversi. 21
  • 18. ++ + ---- + ++ + - -- + - - - --- - - -- + ++ - + - -- + + + + + - - + + - -- -- + + -- -- + -- -- Figura 12 – PER INDUZIONEPer determinare il segno algebrico della carica:Qualora  l’utilizzo  dell’elettroscopio  abbia  segnalato  la  presenza  di  una  carica  elettrica  e  si desideri determinarne il segno algebrico, la procedura che si descrive è solo un piùcomplicata.Inizialmente si procede a caricare per contatto  l’asta  e  le  lamine  dell’elettroscopio scegliendo a priori il segno della carica elettrica. Se si decide di precaricare positivamente l’elettroscopio: Utilizzando una bacchetta di plastica strofinata e un conduttore metallico collegato a terra, per mezzo dell’induzione, si procede a caricare in modo positivo il conduttore  stesso, come illustrato nello schema seguente: C O R P O IN IZ IA L M . N E U T R O C O R P O S IC U R A M E N T E P O S IT IV O CONDUTTORE CONDUTTORE A A e e S O S T A N Z A R E S IN O S A e e S O S T E G N O IS O L A N T E S O S T E G N O IS O L A N T E e F IL O C O N D . e F IL O C O N D . e TERRENO TERRENO Figura 13 – COME SI GENERA UN CORPO CONDUTTORE POSITIVO 22
  • 19. Usando il corpo conduttore positivo generato e un manico isolante per evitare che siscarichi a terra, si carica per contatto l’asta, le sfera e le lamine dell’elettroscopio. ++ + A ++ + + A + + + + + + +++ + + + + + + +Figura 14 – CARICARE POSITIVAMENTE L’ELETTROSCOPIOSi avvicina ora alla sfera dell’elettroscopio precaricato positivamente il corpo per il quale si desidera determinare il segno algebrico della carica.Si potranno verificare due diversi casi in funzione dei quali sarà determinato il segnodella carica del corpo induttore: Le lamine tendono ad allontanarsi anor più Le lamine tendono a richiudersiCaso 1:Il corpo possiede un’ipotetica carica positiva, l’elettroscopio è già positivo.Avvicinando il corpo, che si ipotizza positivo, alla sfera sicuramente positiva etenendo conto del fenomeno d’induzione elettrostatica, si conclude quanto segue:La presenza della carica positiva costringe elettroni di conduzione dell’elettroscopio  ad allontanarsi dalle lamine e trasferirsi all’estremità superiore ove è presente la sferagià caricata positivamente.L’afflusso sulla sfera di nuovi elettroni di conduzione, negativi, riduce il difettod’elettroni in prossimità del corpo carico positivamente.Nel contempo gli elettroni trasferiti dalle lamine aumentano ancor di più la caricapositiva sulle lamine.Di  conseguenza,  avendo  precaricato  positivamente  l’elettroscopio  e  constatando l’ulteriore  allargamento  delle  lamine,  si  conclude  che  la  carica  del  corpo  induttore deve essere sicuramente positiva come ipotizzata.Caso 2:Il corpo possiede un’ipotetica carica negativa, l’elettroscopio è già positivo.Avvicinando il corpo, che si ipotizza negativo, alla sfera sicuramente positiva etenendo conto del fenomeno d’induzione elettrostatica, si conclude quanto segue:La presenza della carica negativa ipotetica costringe elettroni di conduzione sullasfera dell’elettroscopio ad allontanarsi dalla stessa e trasferirsi all’altra estremità ove sono presenti le lamine già caricate positivamente. 23
  • 20. L’afflusso di nuovi elettroni di conduzione, negativi, riduce il difetto d’elettroni sulle lamine e, di conseguenza, le forze elettriche repulsive diminuiscono permettendocosì alle lamine di richiudersi.Di  conseguenza,  avendo  precaricato  positivamente  l’elettroscopio  e  constatando  lachiusura delle lamine, si conclude che la carica del corpo induttore deve esseresicuramente negativa come ipotizzato. ++ + + ++ + + + + + + +++ + + e -- e + ++ +++ + + + ++++ ++ + + + + Figura 15 – CASO 1 - - -- - - - - - -- + + + + ++ ++ + + + + + +++ +++++ e- e- + + + + + + + + + Figura 16 – CASO 2 24
  • 21. LA FORZA ELETTRICAL’interazione  elettrica  o  forza  elettrica  è  una  forza  fondamentale  causata  da  una  caratteristica, intrinseca delle particelle atomiche costituenti la materia, che si materializza esternamente sottoforma di carica elettrica complessiva.Le forze elettriche o elettrostatiche, molto più intense delle forze gravitazionali e di tipo siaattrattivo che repulsivo, sono azioni “a distanza” per le quali non occorre, come d’altra parte anche per le forze gravitazionali, l’effettivo contatto tra i corpi.Il termine “forza elettrostatica” è tipico dei casi in cui le particelle che si attraggono o respingono non modificano, nel tempo la loro posizione, mentre il termine “forza elettrica” è più generico ed include quindi anche il caso di corpi o particelle in movimento le une rispetto alle altre.Com’è  risaputo,  la  materia  è  costituita  da  un  insieme  di  particelle  di  dimensioni  ridottissime,  che definiamo  comunemente  “atomi”,  quasi  sempre  riunite  in  agglomerati  definiti  a  loro volta“molecole”. In base alla loro massa ed ad altre caratteristiche morfologiche, quali ad esempio la densità o lostato,  gli  atomi  sono  riuniti  e  classificati  nella  “Tavola  Periodica  degli  elementi”  o  “Tavola periodica di Mendeleev” basata sul Carbonio 12 e aggiornata con gli elementi di sintesi.La classificazione prevede un numero di elementi atomici elementari suddivisi in metalli, nonmetalli, liquidi e gas nobili e elementi atomici di sintesi.Indipendentemente dal tipo di elemento, ogni atomo è poi costituito da particelle - protoni eneutroni – contenute nel nucleo – e da altre particelle, gli elettroni, in rotazione attorno al nucleostesso.Le caratteristiche intrinseche di cui si accennava all’inizio, sono proprie dei protoni e degli elettroniche, pur avendo masse completamente diverse (la massa del protone equivale a quella di circa 2.000elettroni), ne posseggono un’uguale quantità.La quantità di cui si parla è comunemente definita “carica elettrica”.L’elettrone e il protone posseggono lo stesso valore di “carica elettrica” anche se di segno opposto; l’elettrone di segno negativo, il protone di segno positivo.La definizione di “carica elettrica di segno positivo” e “carica elettrica di segno negativo” è basata sul presupposto che, in natura, esistono due tipi di materiale – l’ambra, o resina fossile, e il vetro –che per sfregamento con un panno di lana assumono la proprietà di attirarsi vicendevolmente.Per definizione, i materiali che hanno caratteristiche elettriche uguali a quelle del vetro sono definiti“POSITIVI”, mentre i materiali elettricamente uguali all’ambra sono definiti “NEGATIVI”.Due corpi, elettricamente carichi entrambi o di segno positivo o di segno negativo, si respingonovicendevolmente; due corpi, carichi di segno contrario, si attirano vicendevolmente.La  forza  con  la  quale  si  respingono  o  si  attraggono  è  la  “FORZA  ELETTRICA  O ELETTROSTATICA”.L’intensità  delle  “FORZE  ELETTRICHE”  è  direttamente  proporzionale  al  prodotto  dei  valori numerici delle cariche elettriche possedute dai due corpi, inversamente proporzionale al quadratodella loro distanza e dipendono, inoltre, dal materiale nel quale sono immersi i corpi.Inoltre, essendo reciprocamente applicate ai corpi carichi, le forze elettriche sono dirette secondo laretta direttrice che congiunge i due baricentri ed hanno sempre verso opposto.La legge sperimentale che permette di determinare il valore della FORZA ELETTRICA è statascoperta  dallo  scienziato  francese  COULOMB  ed  è  quindi  conosciuta  come  “LEGGE  DI COULOMB”: 25
  • 22. Q q FE k 2 LEGGE DI COULOMB rCon il seguente significato della simbologia:FE FORZA ELETTRICA O ELETTROSTATICA DI ATTRAZIONE O REPULSIONEk COSTANTE ELETTRICA DEL MATERIALE IN CUI SONO IMMERSE LE CARICHE ELETTRICHE Q E q.Q CARICA ELETTRICA MAGGIOREq CARICA ELETTRICA MINOREr DISTANZA TRA I BARICENTRI DELLE CARICHE Figura 17 - FORZE ELETTRICHE ATTRATTIVE TRA DUE CARICHE DI SEGNO CONTRARIO 26
  • 23. Figura 18 – FORZE ELETTRICHE REPULSIVE TRA DUE CORPI DI UGUAL SEGNO.1.     DEFINIZIONE OPERATIVA DELLA GRANDEZZA FISICA “CARICA ELETTRICA”:Come già anticipato la carica elettrica è una proprietà specifica dei protoni e degli elettronicontenuti nell’atomo. Il protone si comporta, elettricamente, allo stesso modo del vetro ed è quindi positivo mentrel’elettrone si comporta come l’ambra ed è quindi negativo.La carica elettrica dell’elettrone e del protone, pur essendo di segno contrario, hanno però lo stessovalore numerico.Il segno positivo e negativo non indicano, come in matematica, un numero rispettivamentemaggiore o minore di zero ma, come si vedrà più avanti, sono indicatori simbolici del senso dellacorrente elettrica i o, meglio, del senso del potenziale elettrico V .Nel caso di applicazione della LEGGE DI COULOMB per il calcolo della forza elettrica il segnopositivo o negativo ci indicherà il verso delle forze.Ogni atomo, qualsiasi sia il suo numero atomico, possiede un ugual numero di protoni ed elettronicosicché la quantità di carica elettrica, pensata sia positiva che negativa, per un osservatore postoall’esterno, è nulla.In queste condizioni l’atomo è elettricamente neutro e non si manifestano interazioni elettriche conl’ambiente circostante.C’è però da considerare il fatto che, in determinate circostanze, è possibile generare uno squilibrio elettrico  all’interno  dell’atomo  aggiungendo  o  togliendo  elettroni  negativi  senza alterazione delnumero di protoni, che all’interno del nucleo, sono inamovibili.Lo squilibrio elettrico è tanto più elevato quanto è maggiore il numero di elettroni aggiunti o tolti;se sono aggiunti elettroni la carica elettrica complessiva sarà negativa per eccesso di elettronimentre, se si estraggono elettroni, la carica elettrica complessiva sarà positiva per eccesso diprotoni.Il  valore  complessivo  della  carica  potrà  essere  determinato,  per  l’atomo  singolo,  dal  numero  di elettroni in più o in meno. 27
  • 24. Supponendo di definire con e la carica elettrica del singolo elettrone, con n E il numero dielettroni estratti o aggiunti e con N A il numero di atomi contenuti in un corpo, sarà possibiledeterminare lo squilibrio di cariche elettriche, ovvero la carica elettrica complessiva, ricorrendo allasemplice relazione: q nE e N ALa carica complessiva q sarà positiva se gli elettroni sono estratti, negativa se aggiunti: q Numero di elettroni minore del numero di elettroni. q Numero di elettroni maggiore del numero di protoni.E’ quindi chiaro  che l’intensità di  carica elettrica dipende unicamente dal numero complessivo dielettroni mancanti o in eccesso.La carica elettrica dell’elettroneLa carica elettrica e posseduta dall’elettrone è quindi la più piccola che si conosca e il suo valore numerico è stato determinato in base alla definizione dell’unità  di  misura  della  grandezza  fisica “carica elettrica”: 19 e 1, 602 10 CoulombNaturalmente essa è uguale, a parte il segno, alla carica elettrica del protone: 19 p 1, 602 10 Coulomb2.     UNITA’ DI MISURA DELLA CARICA ELETTRICA:L’unità  di  misura da  utilizzarsi  per  la  grandezza  fisica  “carica  elettrica”  è  il  COULOMB  la  cui abbreviazione simbolica è C .La quantità di carica elettrica il cui valore è di 1 C è definita nel modo seguente: Date due sfere metalliche di dimensioni puntiformi, poste alla distanza di 1 m una dall’altra, nel vuoto, e collegate ognuna ad una molla dinamometrica in grado di contrastare  i loro spostamenti e, nello stesso tempo, di misurare le forze applicate: 28
  • 25. Figura 19 – SFERE METALLICHE NEL VUOTO E MOLLE DINAMOMETRICHEData una macchina, di tipo qualsiasi, collegata ad entrambe le sfere e in grado di trasferireelettroni da una sfera all’altra:Figura 20 – MACCHINA DI TRASFERIMENTO ELETTRONIConsiderando che, a causa del trasferimento di elettroni, le due sfere si caricanoelettricamente di segno opposto, che la quantità di carica aumenta durante il funzionamentodella macchina in funzione del tempo e della portata elettrica della macchina, cioè delnumero di elettroni al secondo trasferiti, che le sfere – caricandosi elettricamente di segnoopposto – si attirano vicendevolmente con due forze elettriche uguali e contrarie e che detteforze aumentano gradatamente in funzione dell’aumento della carica elettrica: 29
  • 26. Figura 21 – CARICA ELETTRICA E FORZE ELETTRICHE ATTRATTIVE Si definisce Carica elettrica di 1 (Coulomb) - Q 1 C - la carica elettrica assunta singolarmente da ogni sfera nel momento in cui le forze elettriche F E raggiungono il valore 9 di 9 10 Newton Figura 22 – CARICA ELETTRICA DI 1 (Coulomb)3.     NUMERO DI CARICHE ELEMENTARI NELL’UNITA’ DI MISURA DELLA CARICA:Considerando  che  la  carica  elementare  è  quella  dell’elettrone  q e e il suo valore numerico, 19espresso in Coulomb e 1, 602 10 C , si può determinare il numero di cariche elementarioccorrenti per formare una carica di valore pari all’unità di misura, con la semplice relazione: ne e Q 1 C 30
  • 27. Da cui: Q 1 C 19 18 elettroni ne 0 , 62422 10 6 , 24 10 19 e 1 , 602 10 C C4. ANALISI DIMENSIONALE DELLA LEGGE DI COULOMB E DELLA COSTANTE K:Dall’analisi  dimensionale  della  legge  e  tenendo  conto  che  la  Forza  non  è  una  grandezza fondamentale ma derivata ed è definita dal 2° Principio della Dinamica o “Legge del moto” come il prodotto della massa per l’accelerazione: F m asi possono determinare le dimensioni fisiche della COSTANTE ELETTRICA k : Q q FE k 2 FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI r L 2 2 M 2 L 2 FE r m a r t k k Q q Q q Q q 3 M L k 2 t Q qNell’analisi dimensionale compare la grandezza “carica elettrica” come definita ai punti precedenti ma,  più  avanti,  con  la  definizione  di  un’ulteriore  grandezza  fondamentale  quale  l’intensità  di  corrente elettrica i - la cui  unità di  misura sarà l’AMPERE  A - anche la carica elettrica dovràessere riferita al valore dell’intensità di corrente secondo la relazione: Q i t A sCosicché le dimensioni della costante elettrica saranno: 3 3 L M L k 2 2 2 2 M t Q q t A sLa stessa Costante elettrica espressa invece in termini di unità di misura, tenendo conto del fatto cheè stato definito il NEWTON (N) come unità di misura della forza, si ottiene: 2 FE r k Q qDa cui: 2 2 2 2 N m N m N m N m k 2 0ppure k 2 2 C C C A s A s A sIl valore numerico della Costante Elettrica k dipende dal materiale in cui sono immerse le cariche.Se le cariche sono nel vuoto la Costante è definita “Costante elettrica del vuoto” e il suo valore si ricava tenendo conto della definizione dell’unità di misura della carica elettrica.La legge di COULOMB assume la forma: Q q FE k 2 FORZA ELETTRICA TRA CARICHE NEL VUOTO r 31
  • 28. In cui k è la “Costante elettrica del vuoto”. 2 9 2 2 2 FE r 9 10 N 1 m 9 N m k 9 10 2 Q q 1 C 1 C CIl valore numerico della costante elettrica del vuoto è quello massimo tra tutti i valori possibiliovvero, in altre parole, le forze elettriche che si sviluppano se le cariche sono nel vuoto sono semprele più intense.5. LA LEGGE DI COULOMB E LA COSTANTE DIELETTRICA ASSOLUTA :Oltre alla formulazione classica della LEGGE DI COULOMB nella quale compare la costanteelettrica k relativa al materiale - k per il vuoto – si utilizza praticamente una secondaformulazione, tipica per le distribuzioni di carica di forma sferica, in cui compare una secondacostante, con dimensioni invertite rispetto alla classica k ,  che  è  definita  “COSTANTE DIELETTRICA ASSOLUTA” e il cui simbolo è  .La Legge di Coulomb, riscritta con l’utilizzo della costante dielettrica assoluta, è la seguente: 1 Q q FE 2 FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI 4 r 1 Q q FE 2 FORZA ELETTRICA NEL VUOTO 4 rE il legame tra la “costante elettrica” e la “costante dielettrica assoluta” è ottenuto paragonando le due espressioni della legge: 1 k 4Da cui: 1 4 kRelativamente al caso in cui le cariche siano disposte nel vuoto, si utilizzerà la “costante dielettrica del vuoto”  il cui valore numerico si ottiene: 2 2 1 1 9 C 12 C 0 , 0088464 10 8 , 8464 10 2 2 2 4 k 9 N m N m N m 4 9 10 2 C6. LA COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA R :Come si è detto, per il calcolo delle forze elettriche, oltre all’intensità delle cariche  Q e q e allaloro distanza r , occorre essere a conoscenza anche della costante dielettrica assolutacaratteristica del materiale in cui sono immerse le cariche.E’, a questo scopo, definita un ulteriore costante, i cui valori sono reperibili su apposite tabelle, cheè la “Costante Dielettrica relativa”  R dipendente dalla costante dielettrica assoluta del materiale edalla costante dielettrica del vuoto, secondo la seguente relazione: RE’ così possibile determinare il valore numerico della costante dielettrica assoluta: 32
  • 29. RE la formulazione finale della Legge di COULOMB: 1 Q q FE 2 FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI 4 R rI valori della “COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA” per i materiali in cui, più sovente sonoimmerse le cariche elettriche, sono i seguenti: Per materiali liquidi: Acqua distillata R 81 , 07 Alcool etilico R 28 Nitrobenzene R 36 Olio minerale R 2 ,5 Olio di paraffina R 3 Olio per trasformatori R 2 2 ,5 Petrolio R 2 ,1 Silicone R 2 ,8 Vaselina R 2 ,5 Per materiali aeriformi: Anidride carbonica R 1 , 000946 Aria secca R 1 , 000590 Elio R 1 , 000074 Idrogeno R 1 , 000264 Vapore acqueo R 1 , 007 Per materiali solidi: Ambra R 2 ,8 Bakelite R 6 ,7 Carta compressa R 1, 7 2 , 3 Celluloide R 3,0 Ceralacca R 4 ,3 Cloruro polivinile R 3,3 Ebanite R 2 ,5 Gomma R 4 ,0 Marmo R 6 8 Mica R 5 6 Paraffina R 2 ,1 Plexiglass R 3,0 Polistirolo R 2 ,5 Porcellana R 5 ,3 Vetro R 5 ,0 Per il vuoto: R 1, 0 33
  • 30. ESERCIZIESERCIZIO 1:Due sfere elettricamente cariche di elettricità di segno contrario, poste alla distanza di 50 cm l’una dall’altra, si attraggono con una forza di 5 N. Se sono portate alla distanza di 15 cm, con quale forza si attrarranno?Soluzione: La  forza  elettrica  d’attrazione  tra  le  due  sfere,  per  le  quali  non  si  conosce  né  il  valore  numerico delle cariche elettriche né il tipo di materiale che le contiene, è data dalla Legge di Coulomb in una qualsiasi delle sue formulazioni: Ad esempio: 1 Q q FE 2 4 R r Dai dati del problema e considerando che alcuni dei valori non cambiano, anche se le sfere si avvicinano, possiamo calcolare il valore dei termini incogniti: Q q 2 2 2 2 FE r 5 N 0 ,5 m 1 , 25 N m 4 R Con il risultato ottenuto e applicando la Legge di Coulomb, determiniamo ora il valore della forza elettrica, quando le sfere si avvicinano a 15 cm: Q q 1 2 1 FE 1 , 25 N m 55 , 55 N 2 2 2 4 R r 0 ,15 mESERCIZIO 2: 4Due cariche elettriche, supposte puntiformi, una di 5 10 2 C e l’altra di  8 10 C , si trovanonel vuoto ad una distanza di 50 cm.Determinare la forza con la quale si attraggono.Quale sarebbe la forza d’attrazione se le cariche fossero immerse in vaselina?Soluzione: Per cariche nel vuoto: Vale la Legge di Coulomb per cariche immerse nel vuoto: 2 4 1 Q q 1 5 10 C 8 10 C FE 4 2 2 2 2 R r 12 C 0 ,5 m 4 1 8 ,85 10 2 N m 2 4 2 2 5 8 10 10 2 4 12 6 C N m 6 FE 1, 44 10 1, 44 10 1, 44 10 N 4 1 8 ,85 0 , 25 12 2 2 10 C m Per cariche nella vaselina R VAS 2 ,5 : 2 4 1 Q q 1 5 10 C 8 10 C F E VASELINA 4 2 2 2 2 R VAS r 12 C 0 ,5 m 4 2 . 5 8 , 85 10 2 N m 2 4 2 2 5 8 10 10 2 4 12 6 C N m 5 FE VAS 0 , 57 10 0 , 57 10 5 , 7 10 N 4 2 , 5 8 , 85 0 , 25 12 2 2 10 C m 34
  • 31. ESERCIZIO 3:Determinare a quale distanza si devono mettere, in acqua, due corpi puntiformi con cariche ugualidi 2 10 4 C , affinché la forza F E ACQUA con cui si respingono sia di 2 , 5 10 3 N .Soluzione: E’ ancora applicabile la Legge di Coulomb: 1 Q q FE ACQUA 2 4 R ACQUA r Dalla quale, invertendo la formula, si ricava il valore incognito della distanza r : 4 4 Q q 2 10 2 10 r 12 3 4 R ACQUA FE ACQUA 4 81 , 07 8 , 85 10 2 , 5 10 8 8 4 10 4 10 8 4 9 3 r 1 , 777 10 1 , 777 10 0 , 042 m 9 4 9 22 . 528 10 2 , 25 10 10 r 0 , 042 m 4 ,2 cmESERCIZIO 4:Determinare la carica che, posta nel vuoto alla distanza di 1 metro da una seconda carica di 3 C ,l’attrae con la forza  F E 10 kg FSoluzione: Dalla Legge di Coulomb: 1 Q q FE 2 4 R r Invertendo la formula e considerando che una forza d’attrazione è negativa, si ottiene: 2 N 12 C 2 2 2 10 kg f 9 , 81 4 3 . 14 1 8 , 85 10 1 m 2 FE 4 R r kg f N m Q q 3 C 2 N 12 C 2 2 10 kg f 9 , 81 4 3 . 14 1 8 , 85 10 1 m 2 kg f N m 12 9 Q 3 . 634 , 8 10 C 3 , 63 10 C 3 CESERCIZIO 5:Tre cariche q 1 5 10 3 C ; q 2 5 10 4 C ; q 3 3 10 4 C sono poste nel vuoto ai vertici di untriangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 10 cm e 15 cm . Calcolare l’intensità della forza elettrica agente su q 2 .Soluzione: Su ogni carica si manifestano due forze elettriche dovute alla presenza delle altre due cariche. Essendo posizionate ai vertici di un triangolo rettangolo su una delle tre cariche devono agire delle forze perpendicolari tra loro. La carica sulla quale agiscono forze perpendicolari è proprio la q 2 in base al seguente schema: 35
  • 32. Figura 23 La forza risultante, sulla carica q2 , è data, per il Teorema di Pitagora, da: 2 2 F2 F 1 .2 F 3 .2 In cui: 3 4 1 q1 q 2 5 10 5 10 3 4 12 5 F1 . 2 22 , 49 10 22 , 49 10 N 2 12 2 4 R r 1 .2 4 1 8 , 85 10 0 ,1 4 4 1 q3 q2 3 10 5 10 4 4 12 4 F 3 .2 22 , 49 10 5 , 99 10 N 2 12 2 4 R r 1 .2 4 1 8 , 85 10 0 ,1 Si ottiene quindi: 5 2 4 2 6 F2 22 , 49 10 5 , 99 10 2 , 249 10 NESERCIZIO 6: 3 4Due sfere uguali, una con carica q 1 5 10 C e l’altra q 2 4 10 C , sono poste acontatto e poi allontanate di 50 cm.Determinare la forza che esercita su di esse, supponendo che l’esperienza si svolga in olio minerale.Soluzione:La carica q 1 è negativa in quanto presenta un eccesso di elettroni rispetto alla neutralità.Il numero di elettroni in eccesso è determinato dalla seguente relazione: q1 n1 eDa cui si può determinare il numero con: 3 q1 5 10 16 n1 3 ,12 10 el 19 e 1 , 602 10Per l’altra carica c’è un difetto d’elettroni (o meglio un eccesso di protoni) pari a: 36
  • 33. 4 q2 4 10 15 n2 2 , 49 10 el 19 e 1 , 602 10Dato che le due sfere hanno uguale geometria e avviene il contatto, dovendo inoltre valere ilprincipio di conservazione della carica, e supponendo inalterato il numero di carichecomplessivamente presenti dopo il contato, pari alla somma dei protoni in eccesso e degli elettroniin difetto, alla fine la somma d: 16 15 n1 n2 3 ,12 10 2 , 49 10 16 1 , 68 10 2 2 * 16 16 16 n1 n1 nM 3 ,12 10 1 , 68 10 1 , 44 10 * 15 16 16 n2 n2 nM 2 , 49 10 1 , 68 10 1 , 44 10L’eccesso di elettroni nella prima sfera si è ridotto, mentre nella seconda sfera l’eccesso protoni è stato annullato ed è comparso un eccesso di elettroni pari a quello finale sulla prima.Le due sfere sono ora negative e posseggono un uguale carica elettrica negativa di valore pari a: * * 16 19 C 3 q1 q2 1 , 44 10 el ( 1 , 602 10 ) 2 ,3 10 C elESERCIZIO 7:Una carica q 1 2 10 3 C è posta, nel vuoto, sulla retta congiungente due cariche 4q2 4 10 e q 3 3 10 C che distano tra loro 2 (m). Determinare la forza a cui è C 5assoggettata la carica q 1 , sapendo che essa è distante 80 cm dalla carica q 3 .Soluzione:La forza che la carica 2 esercita sulla carica 1 è attrattiva, quindi, secondo il disegno, rivolta versosinistra e negativa nel sistema normale d’assi cartesiani. Il suo valore è dato da: 37
  • 34. 2 9 N m 3 4 9 10 2 10 C 4 10 C 2 k q1 q 2 C 3 F2 1 5 10 N 2 2 2 r2 1 1, 2 mLa forza che la carica 3 esercita sulla carica 1 è ancora attrattiva, quindi, secondo il disegno, rivoltaverso destra e positiva nel sistema normale d’assi cartesiani. Il suo valore è dato da: 2 9 N m 3 5 9 10 2 10 C 3 10 C 2 k q1 q 3 C 2 F3 1 8 , 44 10 N 2 2 2 r3 1 0 ,8 mComplessivamente la carica 2 è dunque sottoposta ad una forza rivolta verso sinistra, dalla partenegativa dell’asse orizzontale del sistema cartesiano, il cui valore è pari alla differenza:FT 5 . 000 N 844 N 4 . 156 NESERCIZIO 8:Due sferette aventi ciascuna una massa di 10 grammi sono sospese per mezzo di due fili lunghi 1,3m.  Dopo  che  sono  state  elettrizzate  si  distanziano  di  10  cm  una  dall’altra.  Determinare  la  carica elettrica di ogni sferetta.Soluzione:La repulsione elettrica produce un allontanamento delle sferette che sono costrette a muoversi su diun arco di circonferenza la cui corda è pari alla distanza finale tra le sferette, cioè 10 cm.La rotazione angolare dei fili è dunque data da: 5 cm sen 0 , 03856 130 cm 2 ,2Complessivamente,  l’angolo  formato,  nella  posizione  di  equilibrio  elettrostatico  e  meccanico, risulta di circa 4,4 °.La componente parallela al filo, della forza peso di ciascuna sferetta, nella posizione di equilibrio, èdata da: pN p cos 10 g cos 2 ,2 9 , 9926 gLa componente perpendicolare al filo, quindi tangente alla circonferenza, è invece data da: pT p sen 10 g sen 2 ,2 0 , 38 gConsiderato che la rotazione angolare è sufficientemente piccola, è possibile confondere l’arco di circonferenza con la corda.Ritenendo valida tale approssimazione, risulta che la forza elettrica equilibrante deve essere ugualee di segno opposto alla forza tangenziale.Per cui si ricava il valore delle cariche: 2 k q FE pT 2 r 38
  • 35. 4 N 2 2 2 3 ,8 10 kg 9 , 81 0 ,1 m pT r kg 8 q 6 , 44 10 C 2 k 9 N m 9 10 2 CESERCIZIO 9:Determinare il rapporto esistente tra la forza elettrica e la forza gravitazionale che si esercita tra dueelettroni, sapendo che la massa dell’elettrone è pari a  9 ,11 10 31 kg .Soluzione:Dalle relazioni che esprimono la forza gravitazionale ed elettrica si ottiene: e e FE k 2 r m e m e FG G 2 r 2 9 19 2 FE k e 9 10 1 , 602 10 42 4 ,172 10 2 2 FG G m e 6 , 67 10 11 9 ,11 10 31ESERCIZIO 10:Un corpo elettrizzato è sospeso con un filo isolante ad un piattello di una bilancia. Si pone, al disotto di questo, alla distanza di 10 cm, un corpo con una carica di 5 10 3 C e, per equilibrare labilancia occorre aggiungere sull’altro piattello un peso di 10 grammi. Calcolare la carica possedutadal corpo sospeso al piattello con l’ipotesi che il peso del corpo elettrizzato sia trascurabile.Soluzione:La forza elettrica tra il corpo elettrizzato e quello sottostante, deve essere pari al peso necessario perriequilibrare la bilancia e diretta verso il basso.Quindi il segno della carica elettrica del corpo elettrizzato deve essere sicuramente positivo.Il valore della carica sarà data da: qX Q FE p k 2 r 2 N 2 2 1 10 kg 9 , 81 0 ,1 m 2 p r kg 11 qX 2 ,18 10 C 2 k Q 9 N m 3 9 10 5 10 C 2 CESERCIZIO 11:Calcolare la velocità di rotazione di un elettrone attorno ad un protone (atomo di idrogeno) sapendoche  l’orbita  è  circolare  con  raggio  r 5 10 11 m e  la  massa  dell’elettrone  è  31me 9 ,11 10 kg .Soluzione:Potendo  trascurare  la  forza  d’attrazione  gravitazionale  tra  il  protone  e  l’elettrone  in  quanto notevolmente più piccola rispetto all’attrazione elettrica, si può impostare la relazione seguente: 39
  • 36. 2 vT FC m e FE rCioè: la forza centripeta, responsabile della rotazione dell’elettrone sulla circonferenza con centro ilprotone,  deve  essere  uguale  alla  forza  d’attrazione  elettrostatica  che  il  protone  e  l’elettrone  si scambiano vicendevolmente.Si ricava quindi: 2 e 2 9 N m 19 2 2 k r 9 10 1 , 602 10 C 2 FE r r 2 C 6 m vT 2 , 25 10 31 11 m e m e 9 ,11 10 kg 5 10 m s 40
  • 37. LE FORZE DI INDUZIONE ELETTROSTATICADalla legge sperimentale di Coulomb si può desumere che le forze elettriche sono esercitate tra duecorpi ravvicinati solo se questi sono entrambi dotati di carica elettrica.Si  può  quindi  concludere  che  l’attrazione  o  repulsione  elettrostatica  risulterebbe  nulla  se  uno  dei due corpi fosse neutro.In effetti la realtà pratica sperimentale sembra in contrasto con quanto afferma la legge di Coulomb;si può infatti dimostrare che, avvicinando un corpo elettrizzato (per strofinio o per contatto) ad uncorpo conduttore neutro, si nota  l’immediata  comparsa  di  un’azione  attrattiva  a  distanza  dovuta, evidentemente, all’esistenza di una forza elettrica.Tale fenomeno, che come si vedrà non è affatto in contrasto con quanto affermato dalla legge diCoulomb permettendo anzi di ampliarne i concetti anche a livello delle particelle subatomiche, èdefinito “Induzione Elettrostatica”.Le  forze  elettriche  d’attrazione  dovute  all’induzione  elettrostatica  sono da interpretare nel modoseguente: La carica elettrica, presente sul corpo non neutro, esercita forze di segno contrario sulle cariche elementari positive e negative contenute in uguale numero nel corpo neutro. Agli elettroni di conduzione sono quindi applicate forze elettriche che ne provocano lo spostamento nel verso concorde con il verso delle forze. Se il corpo carico è positivo, gli elettroni di conduzione nel corpo neutro sono attirati e si spostano, all’interno del materiale, sino alla superficie più prossima alla superficie del corpo  carico. Sulla superficie opposta, più distante dal corpo carico, è dislocata la zona con la maggior concentrazione di atomi privi dei relativi elettroni di conduzione. Il conduttore, inizialmente neutro, si è quindi polarizzato per effetto d’induzione. Sulle cariche di segno contrario dislocate ai poli del conduttore sono ora esercitate, dal corpo carico induttore, due forze elettriche di segno contrario: una forza attrattiva è esercitata sul polo negativo più prossimo, una forza repulsiva sul polo positivo più distante. Essendo le due forze elettriche inversamente proporzionali alla distanza al quadrato si può concludere che la forza attrattiva è maggiore della forza repulsiva e, di conseguenza, il corpo neutro, ora polarizzato, si avvicina macroscopicamente al corpo carico positivamente. -- + -- + + + + - - + - -- + -- + Figura 24 – RISULTANTE ATTRATTIVA DI INDUZIONE ELETTROSTATICA 41
  • 38. -- - + - + -- - + - + - -- + -- + N e u tro P o la riz z a to Figura 25 - RISULTANTE ATTRATTIVA DI INDUZIONE ELETTROSTATICASe il corpo carico che è avvicinato è  negativo  la  forza  d’induzione  elettrostatica  è  comunque attrattiva in quanto la polarizzazione è opposta alla precedente (gli elettroni sono sospinti sullasuperficie più distante).Un’altra dimostrazione della comparsa di forze di induzione elettrostatiche attrattive, del fenomenodi  polarizzazione  e  di  carica  per  induzione,  è  quella  che  si  ottiene  con  un’esperienza  simile  alla precedente, ma ove si utilizzano due sfere, inizialmente neutre, collegate tra loro con un filoconduttore (oppure semplicemente in intimo contatto) e un corpo conduttore carico con funzionid’induttore.Il corpo conduttore carico è avvicinato ad una delle due sfere neutre ed esercita forze elettrostatichesulle cariche elementari negative (elettroni) che si spostano così liberamente nei materialiapprofittando del punto o punti contatto tra i due corpi conduttori.In questo modo la sfera più vicina all’induttore si polarizza con segno contrario all’induttore stesso, mentre, quella più distante di segno uguale all’induttore.Nel contempo  la  risultante  delle  forze  elettrostatiche  indotte,  come  nell’esempio  precedente, provoca l’avvicinamento dell’insieme “sfere a contatto” all’induttore.Se le due sfere sono separate oppure è eliminato il filo di collegamento, mentre l’induttore è ancorapresente, la polarizzazione risulta irreversibile ed ognuna mantiene quindi permanentemente lapolarità acquisita durante l’induzione.Eliminando l’induttore, le due sfere scollegate si attraggono vicendevolmente.L’esperienza  descritta  è  utilizzata come principio di funzionamento di  un’apparecchiatura  che  è utilizzata per generare, separare, movimentare ed accumulare quantità discrezionali di caricaelettrica sia di tipo positivo che negativo.Si tratta di un’apparecchiatura definita “Elettroforo di Volta”.  42
  • 39. 1 2 3 -- - + - + - + -- + + + SFERE N EUTRE A T T R A Z . IN D O T T A A TTRA Z. PERM ANENTEL’ELETTROFORO DI VOLTA:L’elettroforo  di  Volta  è  costituito  essenzialmente  da  un  piatto  conduttore  metallico  collegato rigidamente  ad  un  supporto  di  materiale  isolante  che  permette  all’operatore  di  utilizzare l’apparecchiatura senza contatto elettrico.Il piatto metallico è appoggiato su di una superficie resinosa o vetrosa preventivamente elettrizzataper strofinio con un panno di lana o similari.Si prestano solitamente a tale uso molti materiali sintetici come, ad esempio, il polistirolo espansoche, strofinato, si elettrizza negativamente.Il materiale sintetico assume quindi il ruolo di corpo induttore, mentre il piatto metallicodell’elettroforo  svolge  il  ruolo  dell’indotto  similmente  alla  sfera  vicina  al  corpo carico delleesperienze precedenti.Il  piatto  metallico,  così  appoggiato  all’induttore elettrizzato, isolato  dall’esterno  dal manicoisolante, risentendo dell’azione  elettrostatica  dell’induttore, polarizza le cariche interne sulle duesuperfici rispettivamente più prossime e più distanti dall’induttore.Così  la  superficie  appoggiata  all’induttore  si  elettrizza  di  carica  contraria  alla  carica  inducente, mentre, la superficie opposta, più distante, si carica dello stesso segno.La polarizzazione permane ma modificata se l’operatore tocca con un dito, mantenendo appoggiato il piatto sull’induttore, la superficie superiore del piatto.In questo caso la polarizzazione riguarda l’insieme  “piatto-corpo  dell’operatore-terreno” ove ilcorpo dell’operatore svolge il ruolo di filo conduttore.Il risultato è la separazione delle cariche alle estremità dell’insieme.Sul  piatto  si  concentrata  una  carica  contraria  a  quella  dell’induttore  sintetico  strofinato,  mentre  il terreno si carica dello stesso segno dell’induttore.Eliminando il contatto diretto tra l’operatore e il piatto, la polarizzazione risulta irreversibile ed il piatto stesso è elettrizzato in modo permanente. 43
  • 40. IL CAMPO ELETTRICOINTRODUZIONE:Come è dimostrato dalla legge di Coulomb, le interazioni tra due cariche elettriche q 1 e q 2collocate ad una distanza r una  dall’altra, sono direttamente proporzionali al prodotto dei valorinumerici delle due cariche, direttamente proporzionali ad un coefficiente K ed inversamenteproporzionali alla distanza al quadrato.Proprio dallo studio della legge di Coulomb relativa alle caratteristiche elettriche della materia, sipossono dedurre alcune importanti osservazioni e deduzioni che, unitamente a quelle tratte dallostudio delle leggi analoghe per la gravitazione universale e il magnetismo, contribuiscono allaformulazione del nuovo concetto unificatore di CAMPO VETTORIALE.La legge di Coulomb relativa alle interazioni elettriche, la legge di Newton relativa alle interazionigravitazionali e, come si vedrà, la seconda legge di Coulomb relativa alle interazioni magnetiche,pur prendendo in esame grandezze fisiche completamente dissimili quali la massa, la carica elettricae la carica magnetica, sono espresse da relazioni formalmente analoghe nella sostanza e derivate daanaloghi principi di base.Da ciò nasce l’idea che tali proprietà della materia e non, così dissimili tra loro, siano, in qualchemodo,  tanto  confondibili  l’una con le altre, da poter pensare ad un’unica provenienza originalecome, effettivamente confermato, dagli studi sull’elettromagnetismo e dalla teoria della relatività.Il generico concetto di CAMPO DI FORZA VETTORIALE rappresenta un primo piccolopassaggio per la costruzione di una teoria generale unificatrice il cui scopo dovrebbe essere quellodi raffigurare l’ipotetica origine comune delle interazioni fondamentali e di tutte le altre leggi della fisica.Le conoscenze scientifiche attuali ci permettono di formulare l’ipotesi che tutte le sostanze esistenti,da noi conosciute o no, pur così diverse per caratteristiche e proprietà, siano il risultato finale diprocessi di aggregazione nei quali è intervenuto un unico componente originale.Risulta più complessa la formulazione e la verifica di ipotesi relative alle motivazioni che hannoprovocato  i  diversi  processi  di  aggregazione;  ancora  più  complessa  l’ipotesi  del  componente originale a sua volta costituito da ulteriori elementi semplici, ma, occorre sicuramente una mentalitàcompletamente diversa per poter affrontare l’ipotesi che, alla fine, supponendo di aver finalmente scoperto la vera ed unica essenza della materia, questa possa presentarsi in forme completamentediverse secondo le condizioni in cui si trova. 44
  • 41. D’altra  parte  è  ormai  confermato  dall’esperienza, il fatto che una certa quantità di materia, inparticolari condizioni, perde le caratteristiche tipiche, per assumerne altre, esclusive dei fenomeniondulatori quali la frequenza, la lunghezza d’onda e l’energia trasportata.Il dualismo materia-onda elettromagnetica e il relativo fenomeno di trasformazione è confermatodalle numerose esperienze, mentre, rimane da stabilire se, come avviene sovente nei processinaturali, sia necessario pensare ad in processo irreversibile o ad uno reversibile.Cioè,  risulta  forse  possibile  che  l’energia  posseduta  da  un  fenomeno  ondulatorio  in  assenza  di propagazione  di  materia  subisca  un’inversione  riconvertendo  tutta  l’energia  o  una  parte  in  nuova materia?E se la risposta fosse affermativa, quale tipo di materia prenderebbe origine dalla riconversioneparziale o totale dell’energia?Forse la materia essenziale o una sua forma di aggregazione successiva?D’altra parte, come avviene per molti processi naturali quali il trasferimento di calore, la semplicecaduta  di  un  grave,  l’espansione  improvvisa  di  un  gas,  è  pur  vero  che  essi  avvengono spontaneamente in un solo verso, ma, nessuno nega la possibilità inversa se si ammette unaforzatura con intervento di azioni artificiali esterne.Nel  contempo,  se  si  dovesse  ammettere  irreversibile  anche  con  l’intervento  di  azioni  esterne  il processo di trasformazione massa-energia, sorgerebbe spontaneo domandarsi da dove provenga lamateria e quale sarà il termine della trasformazione.Se,  alla  fine,  si  ammette  l’originalità  della  materia  e  il  dualismo  materia-onda elettromagnetica siperviene  dunque  all’ipotesi  di  partenza,  per  altro  confermata  dall’analogia  delle  leggi  fisiche,  che tutti i fenomeni - ed in particolare quelli riguardanti le interazioni fondamentali gravitazionali,elettriche e magnetiche – pur rappresentati da relazioni diverse siano, in realtà, governati daun’unica legge fisica generale.ANALISI DELLA LEGGE DI COULOMB:Occorre innanzi tutto far presente che tutte le considerazioni svolte nei passaggi successivi eriguardanti l’analisi della legge di Coulomb per l’elettrostatica e volte all’introduzione del concetto di Campo Elettrico, sono valide anche nei confronti della legge di Coulomb per il magnetismo (ovesarà introdotto il concetto di Campo Magnetico) e della legge di Newton per la gravitazioneuniversale (ove è stato introdotto il concetto di Campo Gravitazionale).L’unica sostanziale differenza e fragile barriera di separazione tra le due leggi di Coulomb da unaparte, e la legge di gravitazione universale dall’altra, è rappresentata dalla constatazione che, mentrela teoria fisica sviluppata dalla legge di gravitazione prevede la presenza di sole forze attrattive traquantità di materia, quella che segue le leggi  di  Coulomb  per  l’elettrostatica  e  il  magnetismo ammette forze sia di tipo attrattivo che repulsivo.Il problema è facilmente superato sia dal punto di vista matematico (relazioni fondamentali delleforze e del campo) che da quello geometrico (raffigurazione delle forze e del campo).Le relazioni matematiche utilizzano segni positivi e negativi per definire versi concordi e discordidelle forze, mentre, le grandezze vettoriali sono utilizzate per le rappresentazioni geometriche.E’ naturale ed evidente che la simbologia vettoriale e matematica sono compenetrate una nell’altra secondo una metodologia affinata che permette, secondo le necessità ed in ogni momento, leconversioni e/o l’utilizzo contemporaneo. LA LEGGE DI COULOMB DAL PUNTO DI VISTA TRIDIMENSIONALE Quanto visto sino ad ora relativamente alla forza elettrica coulombiana generata dalla presenza contemporanea di due o più cariche elettriche, ci permette di stabilirne il valore numerico (modulo o intensità del vettore associato), la direzione (retta direttrice) e il segno algebrico (verso del vettore associato). I due vettori rappresentativi delle forze di attrazione o repulsione reciproche non sono però determinati in senso stretto sino a quando non si provvede a definire la posizione spaziale delle cariche elettriche. 45
  • 42. Il più delle volte la posizione è stabilita con l’utilizzo di un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (oppure un sistema polare, cilindrico, ecc. ecc) ove il punto origine èsolitamente rappresentato dall’operatore stesso.La determinazione della posizione iniziale delle due o più cariche elettriche generatrici, puressendo esaustiva per il calcolo delle forze elettrostatiche istantanee, non è, però sufficiente,qualora si debba prendere in considerazione gli accadimenti successivi all’istante per il qualeè stato eseguito il calcolo.Occorre  tenere  presente  che  la  definizione  di  “forza  elettrostatica”  si  riferisce esclusivamente al caso in cui non è previsto il movimento reciproco delle cariche sottopostealle azioni delle rispettive forze elettriche né il caso in cui almeno una delle due cariche siadotata di movimento indipendentemente dall’azione esercita dall’altra.Lo studio delle azioni elettrostatiche è quindi semplicemente riferito ad un ben determinatoistante, mentre, se è imposto il calcolo relativo ad un’estensione temporale, le azioni saranno definite “elettrodinamiche”.Nel primo caso le posizioni assunte dalle cariche nel sistema tridimensionale di riferimentorisultano indipendenti dal tempo assumendo la funzionalità  di  “parametri  di  stato  fisico” bastevoli alla determinazione di grandezze elettrostatiche associate.Nel secondo occorrerà l’introduzione di funzioni temporali di posizione.Nel caso più semplice, fissando la posizione di una delle due cariche nell’origine del sistema di riferimento cartesiano e congiungendo con un segmento il centro delle due cariche(supposte sferiche e puntiformi) si ottiene il  “VETTORE  POSIZIONE”, di moduloevidentemente uguale ad r (distanza tra le cariche) ed indicatore della direzione delle forzeelettrostatiche.E’  importante  sottolineare,  a  riguardo  della  futura  definizione  della  grandezza  “Campo Elettrico”,  che  la  decisione  di  porre  una  delle  due  cariche  nell’origine  del  sistema  di riferimento, equivale, in pratica, a porre in evidenza tale carica facendo assume all’altra un ruolo di secondaria importanza.Ciò è sicuramente ammissibile specialmente nel caso in cui la differenza quantitativa tra ivalori numerici delle due cariche è talmente elevata da far ritenere che le forze elettrichereciproche possano significativamente influenzare il solo movimento della carica minore.L’analogia  con  il  campo  gravitazionale  terrestre  è  evidente:  la  massa  del  pianeta  è estremamente più rilevante rispetto alle masse che comunemente gravitano libere attorno alpianeta stesso.Le forze gravitazionali che sono scambiate reciprocamente influenzano in modo notevole, invirtù del secondo principio della dinamica, le masse infinitamente più piccole ed in mododel tutto trascurabile il movimento del pianeta.Tornando alla rappresentazione spaziale si decide quindi di porre la carica Q nel centro delsistema e la carica q in un punto qualsiasi.Potendo scegliere a piacimento il segno delle cariche si decide di assegnare ad entrambe lapolarità positiva.Le cariche Q e q si comporteranno quindi entrambe come sostanze vetrose.La simbologia adottata non ha, per il momento, nessuna connessione con il valore numericodelle cariche, ma, successivamente sarà da intendersi proprio con questo scopo.Il vettore Qp indicato in figura è definito “vettore posizione” per l’evidente motivo che è da solo bastevole a definire in modo completo la  “posizione  spaziale” ove è collocata lacarica q .Sono, infatti, infiniti i punti dello spazio caratterizzati dalla uguale distanza r (tuttievidentemente collocati sulla stessa sfera di raggio r ), ma uno solo di essi, congiunto alcentro Q , forma un segmento parallelo a Qp . 46
  • 43. Il modulo del vettore posizione Qp è quindi rappresentativo della distanza r tra le duecariche e da esso dipende in modo inversamente proporzionale anche il modulo della forzaelettrostatica come definita dalla legge di Coulomb. Z q+ z r + Q x y X xy Y Figura 26 – VETTORE POSIZIONEIl vettore posizione Qp r è il risultato della somma vettoriale dei suoi componentix , y , z diretti rispettivamente secondo gli assi principali X , Y , Z .Utilizzando la goniometria: xy r cos x xy cos y xy sen z r sen 2 2 2 2 2 r xy z x y zDeterminata in questo modo la posizione della carica q ed applicando la legge di Coulomballe due cariche, il modulo della forza elettrica risultante è dato da: Q q Q q 1 Q q FE k k 2 2 2 2 2 2 2 r x y z 4 R x y z Con: k costante elettrica del materiale in cui some immerse le cariche Costante dielettrica del vuoto R Costante dielettrica del vuotoNaturalmente il vettore forza sarà orientato secondo la direzione del vettore posizione Qp e,nel caso di cariche entrambe positive, avrà verso concorde al vettore posizione stesso,opposto nel caso in cui una delle due, supponiamo q , sia negativa. 47
  • 44. Le componenti del vettore forza elettrica sono ricavate dunque tenendo conto delle stesseinclinazioni del vettore posizione rispetto agli assi principali: F xy F cos FX F XY cos FY F XY sen FZ F sen Z Fz F q+ Fx Fy Fxy z r + Q x y X xy Y Figura 27 – VETTORE FORZA ELETTRICA E SUOI COMPONENTI – CARICHE POSITIVE Z Fx Fxy Fy q- z F Fz r + Q x y X xy Y Figura 28 – VETTORE FORZA ELETTRICA E COMPONENTI – CARICA NEGATIVA 48
  • 45. L’ATTRAZIONE O REPULSIONE COULOMBIANA – CURVATURA DELLO SPAZIOUtilizzando gli schemi tridimensionali raffigurati, unitamente  all’ipotesi  di poter ritenereimmobile  la  carica  Q  posta  nell’origine  – ipotesi plausibile se la massa di Q è tale darisentire in modo trascurabile della forza elettrica che la carica q gli applica –, supponendoche un osservatore sia in grado di visualizzare gli accadimenti da un punto di vistaparticolare, che la carica q non sia ostacolata nei movimenti provocati dalla forza elettrica ein assenza di forze gravitazionali, proviamo ad immaginare cosa potrebbe vedere e pensareun osservatore sdraiato su un piano parallelo a xy ,  dalla  parte  positiva  dell’asse  z,  con  lo sguardo rivolto verso il basso.A tale scopo immaginiamo che possa vedere contemporaneamente l’accadimento anche un osservatore con lo sguardo rivolto perpendicolarmente al piano verticale nel quale ècontenuta la forza elettrica. Z X Y Fx Fxy Fy q- z F Fz r + Q x y xy Figura 29 – OSSERVATORE DALL’ALTO 49
  • 46. Z Fx q- Fz F + X Q Figura 30 – OSSERVATORE LATERALEL’osservatore  laterale,  avendo  la  possibilità  di  rendersi  conto  del  movimento  verticale  e potendo osservare istantaneamente ed in modo reale le variazioni del vettore forza elettrica,vedrà il movimento della carica lungo la traiettoria rettilinea costituita dalla retta checongiunge i baricentri della carica.Disponendo di un cronometro e verificando gli spazi percorsi, esso si renderà sicuramenteconto che il moto della carica lungo tale traiettoria è sicuramente accelerato, chel’accelerazione è sovrapposta alla traiettoria e che aumenta sempre di più mano a mano che la carica negativa si avvicina alla carica positiva.Esso  dovrebbe  sicuramente  concludere  che  l’aumento  di  accelerazione, mentre la massasulla quale è disposta la carica q non varia, non può essere spiegata in altro modo se nonquello che la forza traente aumenta mano a mano che il corpo si avvicina al centro ove ècollocata la carica Q.Tale conclusione è adeguata alla realtà del fenomeno in quanto questo osservatore conosceperfettamente la legge di Coulomb.La  conclusione  sarebbe  comunque  corretta,  anche  se  l’osservatore  intendesse  studiare  il moto della carica scomponendolo secondo le due direzioni principali del moto.In questo caso egli vedrebbe il moto lungo la traiettoria reale come se fosse composto da unmoto rettilineo orizzontale (carica in movimento verso sinistra) ed un moto rettilineoverticale (carica in movimento verso il basso).Anche in questo caso i due movimenti risulterebbero di tipo accelerato con accelerazionicrescenti  sia  sull’orizzontale  che  sulla  verticale  mano  a  mano  che  la  carica  si  avvicina rispettivamente all’asse Z e all’asse X.L’osservatore  non  tarderebbe  sicuramente  a  concludere  che  la  forza  orizzontale  e  quella verticale, responsabili dei rispettivi moti accelerati, altro non sono che le componenti delvettore forza elettrica e che aumentano mano a mano la carica si avvicina al centro delsistema.Diverso è il discorso per l’osservatore con lo sguardo parallelo all’asse Z. 50
  • 47. Esso non si rende conto, infatti, che il movimento della carica avviene in realtà anche inverticale.A tale osservatore il fenomeno appare come se si verificasse su un piano XY parallelo alpiano sul quale è sdraiato.Esso, di conseguenza, vedrebbe la carica q muoversi verso il centro di una circonferenzavirtuale su un’unica direttrice parallela all’asse X.Misurando tempi e distanze sarebbe anch’esso in condizioni tali da concludere che il moto èaccelerato e che l’accelerazione aumenta mano a mano che la carica si avvicina al centro del piano che sta osservando.Considerando la possibilità che tale osservatore, non potendo osservare il movimentoverticale e non essendo a conoscenza dalla presenza della carica Q posta al centro di unpiano  molto  distante  da  quello  che  sta  osservando,  potremo  così  dare  un’interpretazione della sua possibile conclusione: Il corpo q si muove di moto accelerato su una retta passante per il punto centrale di una circonferenza. L’accelerazione non è costante, ma aumenta mano a mano che il  corpo si avvicina al punto centrale. E’ quindi necessario che tale moto sia prodotto  da una forza di intensità crescente. Dal punto di vista dell’osservatore  tale  forza  sarebbe rappresentata dal vettore che il primo osservatore ha individuato e definito come F X . Considerando che egli probabilmente non si rende conto della presenza della forza elettrica, potrebbe essere tentato di spiegare il fenomeno come se il moto del corpo fosse  provocato  dal  rotolamento  su  un  piano  inclinato  sotto  l’azione  di  una  forza gravitazionale attrattiva esercitata da una massa ancora sottostante. Chiaramente  l’osservatore  deve  essere  a  conoscenza  del moto di un corpo su un piano inclinato se l’azione è di tipo gravitazionale. Questa prima conclusione, pur spiegando il moto verso il punto centrale, non è però coerente con la reale variazione dell’accelerazione. L’osservatore è perfettamente a conoscenza del fatto che il moto di un corpo lungo un  piano  inclinato  a  pendenza  costante  è  sì  accelerato,  ma  l’accelerazione  non  subisce variazioni. Quindi la presenza del piano inclinato non è sufficientemente esaustiva per lo scopo. Alla fine, unendo la prima idea  di  piano  inclinato  e  la  realtà  dell’accelerazione  crescente,  l’osservatore  sarebbe  costretto  a  concludere  affermando  che  il  moto  del  corpo avviene su un piano inclinato la cui inclinazione, rispetto ad una retta orizzontale di riferimento, deve aumentare mano a mano il corpo si avvicina al centro. Questo piano inclinato dovrà essere sagomato come una linea continua a curvatura variabile i cui centri di curvatura sono situati nella parte di spazio sottostante la linea stessa e i raggi di curvatura sono decrescenti mano a mano che ci si avvicina al punto centrale. L’osservatore sarebbe quindi indotto a trarre la seguente conclusione finale: La presenza di un corpo posto al centro dello spazio che egli vede causerebbe una modificazione geometrica dei piani, simile a quella provocata dalla presenza di una massa disposta sulla superficie perfettamente orizzontale di un telo elastico. La modificazione geometrica deve essere permanente, provocata dalla presenza di un corpo al centro dello spazio e tanto più rilevante  quanto  più  potente  è  l’azione  del  corpo centrale. Tale spiegazione, tratta essenzialmente dallo studio delle forze gravitazionali per spiegare il moto ellittico dei pianeti attorno al Sole, è perfettamente adattabile anche 51
  • 48. al caso della forza elettrica e costituisce un altro passo verso la definizione di CAMPO ELETTRICO. Z X Y X Y Figura 31 – DEFORMAZIONE SPAZIALE PROVOCATA DALLA CARICA QL’AZIONE A DISTANZA E IL MOVIMENTO DELLE CARICHE Sempre dall’analisi della legge sperimentale di Coulomb risulta sufficientemente chiaro che il valore numerico delle forze elettriche tra due cariche dipende anche dal materiale in cuisono inserite.Tenendo  presente  che  l’azione  elettrostatica  ha  il  massimo  valore nel vuoto si concludeimmediatamente  che  si  deve  trattare  di  un’azione  a  distanza, senza intervento di alcunmateriale di collegamento.Propria tale constatazione,  considerata  inaccettabile  per  gli  studiosi  dell’epoca,  ha contribuito non poco a sviluppare la teoria del CAMPO ELETTRICO VETTORIALE.Si  è  pensato  di  sostituire  all’azione  diretta  a  distanza,  esercitata  reciprocamente  dalle  due cariche, un’azione indiretta cui sarebbe sottoposta una delle due cariche per effetto di unamodificazione dello spazio circostante generato dall’altra.Lo spazio modificato assume così il ruolo di mediatore tra una delle due cariche, consideratapreponderante, e l’altra o le altre.Le azioni elettrostatiche dipendono quindi dallo spazio circostante modificato ed attivo e iltipo e la potenza della modifica è una diretta conseguenza dalla grandezza e dalladisposizione della carica preponderante.Lo spazio così modificato è definito CAMPO ELETTROSTATICO O CAMPOELETTRICO.La definizione e l’utilizzo del concetto di campo elettrico permette di rendere meno evidentela difficoltà di pensare all’azione diretta a distanza.Si immagini, per esempio, che in due punti ben distinti dello spazio, magari anche a distanzanotevole uno dall’altro, compaiano improvvisamente e contemporaneamente (il concetto dicontemporaneità rappresenta un altro grosso problema) due cariche elettriche. 52
  • 49. La legge di Coulomb ci permette di calcolare, conosciuta la distanza e il tipo di materiale in cui sono immerse le cariche, le due forze reciproche che esse si scambiano. La stessa legge non dà alcuna informazione circa il tempo intercorrente tra la comparsa delle cariche e il manifestarsi delle forze. E’ un gravissimo problema. Potremmo ipotizzare, in modo generico e incappando comunque in un errore, che l’intervallo  di  tempo  sia  funzione  della  distanza,  ma  ciò  significherebbe  aver  in  qualche  modo quantificato una velocità di propagazione dell’azione a distanza. Dunque l’azione a distanza è una specie di  onda che si  propaga nel  vuoto  ad una velocità  forse uguale a quella della luce? O forse superiore? E’ forse lecito assimilare l’azione a distanza ad un onda elettromagnetica? Ribaltando  il  problema  ed  utilizzando  l’analogia  con  le  forze  gravitazionali  e  la  velocità  della luce potremmo porci la seguente domanda: Se, ad un certo istante, scomparisse improvvisamente la massa solare, noi, dalla Terra, ci accorgeremmo prima della mancanza della luce o della forza gravitazionale? Sappiamo che la luce impiega circa otto minuti a percorrere la distanza Sole-Terra e siamo in grado di immaginare i fronti d’onda; si pensa di riuscire ad immaginare allo stesso modo  la velocità di spostamento di qualcosa d’immateriale come l’azione a distanza? Tra le altre cose, che cos’è l’azione a distanza? Se, allo stesso modo, scomparisse  una  delle  cariche,  l’altra  risentirebbe  subito  della  mancanza della forza elettrica oppure no? Per non parlare poi della possibilità di movimento di una o entrambe le cariche. Ad esempio, se una delle due cariche, prima ferma, inizia ad oscillare con una frequenza elevatissima attorno al punto ove era collocata inizialmente, l’altra risente immediatamente  dell’oscillazione oppure no? E se le oscillazioni della prima sono forzate lo saranno allo stesso modo anche quelle della seconda? Tanto vale, per uscire da questo corto circuito mentale, sostituire la propagazione immateriale  dell’azione  a  distanza  con  un’altra  propagazione,  questa  volta  di  tipo  geometrico, ma pur sempre immateriale, di un elemento per il quale abbiamo una raffigurazione almeno dal punto vista della geometria: lo spazio. Ora, finalmente, potremmo almeno ragionare sul fatto che, per trasmettersi da un punto all’altro,  la  modifica  dello  spazio  deve  necessariamente  iniziare  nel  punto  ove  compare  la  causa e coinvolgere, uno dopo l’atro, tutti i punti successivi. Certamente si tratta di nuovo di un ragionamento analogo a quello che facciamo, quando discutiamo delle dimensioni fisiche del punto geometrico, ma, almeno possiamo esprime opinioni.IL CAMPO ELETTRICO:La presenza di una o più cariche elettriche è quindi in grado di generare, in una regione di spazioteoricamente infinita, ma praticamente limitata ai punti di solo nostro interesse, la modificazione dicui si è parlato.Tale modificazione è rappresentata da una nuova grandezza fisica, di tipo vettoriale, che prende ilnome di CAMPO ELETTRICO.Per  la  definizione  operativa  di  “campo  elettrico”  è  necessario  far  riferimento  allo  schema tridimensionale utilizzato per illustrare le proprietà dei vettori posizione e forza elettrica. 53
  • 50. Rinunciando a visualizzare una delle tre dimensioni, per esempio la profondità, indicata nelloschema dall’asse Y, la rappresentazione grafica si semplifica notevolmente rendendo più agevole la comprensione del concetto specifico.Supponiamo quindi di poterci immedesimare con un osservatore il cui interesse è limitato a quelloche succede nel solo piano XZ.Lo sguardo di tale osservatore deve quindi essere diretto verso superfici piane orientateperpendicolarmente all’asse Y.Potendo scegliere una qualsiasi di tali superfici, decidiamo di prendere in esame il piano diriferimento formato dall’intersezione dei due assi principali X e Z.Tale piano ha anche il vantaggio, tra tutti i piani perpendicolari a Y, di essere l’unico che contiene l’origine del sistema di riferimento cartesiano.Proprio  nell’origine  si  era  deciso  di  collocare  una carica elettrica positiva Q , affermando, nellostesso tempo, che la scelta della simbologia non era da considerarsi determinate relativamente alvalore numerico della carica.Ora però, contrariamente a quanto si era detto, occorre immaginare che l’ordine di grandezza di tale carica positiva sia notevolmente maggiore a quello di tutte le altre possibili cariche presenti nelpiano XZ del sistema e che saranno indicate con il simbolo q .Questo concetto è espresso dalla seguente relazione matematica: Q q 1 ,q 2 ,........, q nLimitiamoci, per ora, a considerare la presenza di una sola carica Q notevolmente più grande ditutte le altre.In un punto qualsiasi del piano XZ immaginiamo ora di collocare una carica positiva q il cuivalore,  per  l’ipotesi  precedente,  è  trascurabile  rispetto  a  quello  della  carica  centrale,  anch’essa positiva.Detta carica non ha alcuna possibilità di influire, se non in modo del tutto trascurabile, sullamodificazione  dello  spazio  generata  dalla  carica  centrale  e,  per  questo  motivo,  è  definita  “Carica Esploratrice”, mentre, all’opposto, è definita “Generatrice di campo elettrico” la carica  Q . 54
  • 51. Z * * Fz Fe Fe S f e r a e q u ip o t e n z ia le 1 L in e a d i f lu s s o Fz Fe * Fx F o r z a e le t t r ic a z q Fx * q+ r C a r ic a e s p lo r a t r ic e r * Fe + Q xq X L in e e d i f lu s s o C a r ic a g e n e r a t r ic e S f e r a e q u ip o t e n z ia le 2 Fe Fe * Fe Figura 32 – FORZE ELETTRICHE NEL PIANO XZ – CERCHI (SFERE) EQUIPOTENZIALI.Le coordinate x , z del punto ove è situata la carica ci permettono di determinare tutte lecaratteristiche (modulo, direzione e verso) del vettore posizione Qq r dal quale poi, applicandola  legge  di  Coulomb,  è possibile  ottenere  le  proprietà  del  vettore  “forza  elettrica”  F e e delle duecomponenti F x e F z .Si presuppone la conoscenza della costante dielettrica relativa del materiale in cui sono immerse lecariche. 2 2 r x z z tg x 1 Q q Fe 4 2 R r Fx Fe cos Fy Fe sen 55
  • 52. Modificare la posizione della carica esploratrice significa determinare, per ogni punto del piano odello spazio, nuovi vettori “forza elettrica” sicuramente diversi uno dall’altro (si tenga conto che per essere definiti uguali due o più vettori debbono possedere le stesse quattro proprietà).Perciò ad ogni singolarità dello spazio sarà associato un solo ed unico vettore forza elettrica.Ciò significa, nel comune linguaggio matematico, che, fissata una coppia qualsiasi di coordinatepiane x , z (oppure una terna di coordinate spaziali convergenti), esiste un solo vettore F e le cuicaratteristiche soddisfano le relazioni sopra indicate.Naturalmente ciò è valido se per tutti i punti non sono modificate le altre grandezze cheintervengono nel calcolo, cioè, le costanti dielettriche, la grandezza della carica generatrice e quelladella carica esploratrice.Dallo schema raffigurante il piano di riferimento e le forze elettriche è possibile trarre almeno dueimmediate ed importanti constatazioni: Sui cerchi (nel piano) o sulle sfere (spazio) concentriche  con  centro  nell’origine  e  raggio  pari al modulo del vettore posizione, i vettori “forza elettrica”, pur diversi tra loro, sono però caratterizzati dallo stesso modulo o valore numerico. Ciò è subito evidenziato dalla stessa legge di Coulomb. I cerchi o le sfere concentriche saranno definiti rispettivamente, linee o superfici equipotenziali. Su ogni punto di un cerchio o sfera equipotenziale insisterà una forza elettrica di modulo costante, definito esclusivamente dal valore del raggio del cerchio o della sfera. I cerchi o le sfere con raggio minore saranno caratterizzate da forze elettriche più intense. Per i tratti infinitesimi di circonferenza o i tratti infinitesimi di superficie sferica le rispettive tangenti saranno sempre perpendicolari al vettore forza elettrica nel punto di tangenza. Le cariche elettriche esploratrici, potendo essere pensate puntiformi anche per quanto riguarda  la  massa,  risentiranno  in  modo  molto  evidente  l’azione  delle  forze  elettriche  subendo accelerazioni proporzionali alle forze stesse ed inversamente proporzionali alla massa. In ogni caso, per il solo schema considerato, gli spostamenti saranno sempre diretti secondo la congiungente del punto considerato con il centro del sistema ove è collocata la carica generatrice. Non è quindi difficile concludere che ogni punto del piano o dello spazio sarà caratterizzato da una sola traiettoria possibile e che tutte le traiettorie avranno un solo punto in comune, cioè il centro del sistema. Ognuna  delle  traiettorie  possibili  è  definita  “LINEA  DI  FLUSSO”  ed è costituita dalla semiretta che inizia nell’origine e termina all’infinito, in quanto solo all’infinito si annulla il valore della forza responsabile dello spostamento. Le linee di flusso saranno quindi percorse dalle cariche esploratrici in un verso o nell’altro in  funzione del segno algebrico della carica generatrice ed esploratrice. Nel caso particolare sono da intendersi percorse dall’interno verso l’esterno.LA DEFINIZIONE DI CAMPO ELETTRICOPer quanto riguarda il concetto e la definizione di CAMPO ELETTRICO è necessario utilizzare ilseguente semplice ragionamento: Come stabilito precedentemente, ad ogni punto dello spazio, è associato un solo ed unico vettore forza elettrica Tale vettore dipende dalla posizione, dalla carica generatrice, dalla carica esploratrice e dalle proprietà elettriche dei materiali. Dato per assodato che il nostro vero interesse è costituito dalla modifica dello spazio causata dalla carica generatrice, possiamo pensare di mantenerne costante il valore e la posizione e 56
  • 53. verificarne gli effetti su una carica di valore variabile da mantenere in posizione fissarispetto alla prima.A questo scopo si potrebbe determinare la forza elettrica agente su una carica estremamentepiccola (per non perturbare lo spazio circostante) e confrontarne il valore che risulterebbenel caso in cui si decidesse di raddoppiare, triplicare ecc. ecc. il valore numerico dellapiccola carica.Usiamo quindi, come carica esploratrice, una piccola massa di materiale conduttore caricataelettricamente dalla mancanza di un solo elettrone. Il valore numerico della carica è quindipari alla carica elementare di un elettrone pensato positivo: 19 q1 1, 602 10 CDi conseguenza, il modulo della forza elettrica in quel punto, sarà dato da: Q q1 Fe 1 k 2 rMantenendo inalterata la posizione decidiamo ora di raddoppiare la carica esploratrice: 19 q2 2 ( 1, 602 10 ) C 2 q1Il nuovo valore della forza elettrica in quel punto e per effetto della stessa carica generatricesarà: Q q2 Q 2 q1 Fe 2 k k 2 Fe 1 2 2 r rSe la carica è triplicata: Q q3 Q 3 q1 Fe 3 k k 3 Fe 1 2 2 r rVerifichiamo ora i rapporti tra le forze elettriche e i rispettivi valori delle cariche esploraticiusando la stessa legge di Coulomb: Fe 1 k Q q1 2 r Fe 2 2 Fe 1 Fe 1 Q k q2 2 q1 q1 2 r Fe 3 3 Fe 1 Fe 1 Q k q3 3 q1 q1 2 r Fe Q Cioè: k K q 2 rIn conclusione:Le variazioni del valore della carica esploratrice, in un punto fisso dello spazio, causano lavariazione della forza elettrica, ma, il rapporto tra la forza elettrica risultante e la relativacarica esploratrice si mantiene costante ed indipendente dal valore di quest’ultima.Il valore del rapporto, caratteristico di ogni punto dello spazio, da ritenersi dipendentesoltanto dalla grandezza della carica generatrice,  è  definito  “CAMPO  ELETTRICO” generato da quella particolare carica generatrice Q in quel particolare punto dello spazio ed èsinteticamente rappresentato dalle seguenti relazioni: Fe E CAMPO ELETTRICO q Q E k CAMPO ELETTRICO 2 r 57
  • 54. Si tratta naturalmente di una grandezza fisica vettoriale che ha la stessa direzione, verso e punto d’applicazione della forza elettrica e il cui modulo è uguale al rapporto tra la forza e la carica esploratrice. Il Campo Elettrico è quindi anche un “CAMPO DI FORZA VETTORIALE”.Ora dovrebbe essere più chiaro il concetto di modifica dello spazio: Un campo elettrico, presente in una data regione dello spazio, presuppone sicuramente l’intervento di una o più cariche generatrici. La conoscenza dei valori numerici del campo elettrico in ogni punto ci permette di determinare le forze elettriche anche senza alcun dato relativo alla carica che l’ha generato. Resta  così  superato  il  grave  problema  dell’azione a distanza in quanto sostituito da un’azione locale. Il valore della forza elettrica agente su una carica q, in un punto qualsiasi dello spazio ove è presente un campo elettrostatico di valore E, indipendentemente da come è stato generato, è dato da: Fe E q * E Z E * z S f e r a e q u ip o t e n z ia le 1 L in e a d i f lu s s o E E z E E *x C A M P O E L E T T R IC O z q E q+ x * r C a r ic a e s p lo r a t r ic e r * E + Q xq X L in e e d i f lu s s o C a r ic a g e n e r a t r ic e S f e r a e q u ip o t e n z ia le 2 E E * E Figura 33 – VETTORI CAMPO ELETTRICO 58
  • 55. ANALISI DIMENSIONALE DELLA GRANDEZZA “CAMPO ELETTRICO”Il valore numerico del campo elettrico E è espresso dimensionalmente dalle unità di misuracaratteristiche del rapporto tra la forza e la carica elettrica.Sarà introdotta in seguito la nuova unità di misura del Sistema Internazione,  l’Ampere, poiutilizzata, in  modo  definitivo,  per esprimere univocamente le  grandezze tipiche dell’elettrostatica,quindi anche la carica elettrica, dell’elettrodinamica e dell’elettromagnetismo.Dall’espressione del campo elettrico, rinunciando alla notazione vettoriale, si ottiene: Fe N E E q C N Fe E q Fe C CQuindi il campo elettrico E rappresenta numericamente l’intensità della forza elettrica, espressa  inNewton, agente su una carica di valore q, espresso in Coulomb, in un determinato punto dellospazio.Se  è  utilizzato  il  Sistema  Internazionale  in  cui  si  prevede  l’Ampere  quale  unità  di  misura  della corrente elettrica, allora il campo elettrico sarà misurato in: Fe Fe N E E q i t A s Con: i Intensità di corrente elettrica A t Tempo s q i t Relazione tra carica elettrica, tempo ed intensità di correnteCAMPO ELETTRICO E CAMPO GRAVITAZIONALE – ANALOGIAL’interazione  elettrica  tra  due  o  più  cariche,  operata localmente tramite la funzione CampoElettrico, è fondamentalmente analoga a quella di gravità applicata dal Campo Gravitazionale a dueo più quantità di materia.L’analogia è ancora più evidente nel caso in cui sono confrontati campi elettrici e gravitazionali ditipo “radiale”, generati cioè da una sola carica elettrica o da una sola massa.Il campo gravitazionale terrestre rappresenta quindi un termine di paragone fondamentale, anche se,contrariamente a quanto succede con il campo elettrico, esso esercita solo azioni attrattive.La forza gravitazionale esercitata dal pianeta su una massa m posta ad una distanza r dalbaricentro del pianeta stesso, è determinata dalla legge di Newton o legge di gravitazioneuniversale: M T m Fg G 2 rLa distanza r è da considerarsi come un “vettore posizione” in grado di individuare, per mezzo delmodulo e della direzione, il punto esatto ove è collocata la massa m, rispetto ad un sistema diriferimento tridimensionale con il centro di gravità del pianeta nell’origine.La latitudine e longitudine sono appunto gli angoli formati del vettore posizione con il pianoequatoriale ed un piano longitudinale di riferimento.Nel caso della forza gravitazionale occorre poi ricordare che, in base al secondo principio delladinamica o legge del moto, è possibile stabilire la seguente relazione: 59
  • 56. Fg m aOve con a s’intende l’accelerazione provocata dall’azione della forza gravitazionale terrestre sulla massa m posta alla distanza r.Tale accelerazione è ancora da considerarsi un vettore con direzione stabilita dalla congiungente icentri di gravità e modulo variabile proprio in funzione della distanza r.Nei casi più interessanti ove la massa m è posizionata non troppo distante dalla superficie terrestre, mil modulo del vettore a ha un valore pressoché costante pari a 9 ,81 2 ed è comunemente sindicato con il simbolo g (accelerazione di gravità terrestre).Quindi la forza gravitazionale – detta  comunemente  “peso”  – applicata ad un corpo non troppodistante dalla superficie terrestre, è data da: MT m Fg m g G rT raggio terrestre 2 rTSe ora, alla forza (azione  a  distanza),  si  sostituisce  l’azione locale del Campo gravitazionale,ottenuta ancora con il ragionamento fatto per introdurre il concetto di Campo elettrico, si ottiene: Fg H Campo gravitazionale m m g MT H g G m r 2Quindi il campo gravitazionale in prossimità della superficie terrestre è un vettore di modulocostante, pari  all’accelerazione  g, e direzione perpendicolare alla superficie stessa consideratasferica.Come il campo elettrico dipende unicamente dalla grandezza della carica generatrice, allo stessomodo il campo gravitazionale terrestre dipende unicamente dalla grandezza del nostro pianeta.LINEE DI FLUSSO – LINEE O SUPERFICI DI LIVELLO O EQUIPOTENZIALILINEA DI FLUSSO:Si consideri ora di disporre una piccola carica esploratrice, ad esempio positiva, in un punto Aqualsiasi di una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico generico (diverso dal tipo“radiale” o dal tipo “uniforme” che saranno presi in considerazione successivamente).Per semplicità supponiamo che il punto sia contenuto in un piano X-Z e che la retta direttrice delvettore campo elettrico in ogni punto sia sempre contenuta in tale piano pur potendo cambiareinclinazione rispetto, ad esempio, all’asse X.Ciò significa che il modulo del vettore campo elettrico è definito in modo univoco dalle coordinate x A ; z A del punto  d’applicazione  e  da  quelle  del  punto  terminale  x A 1 ; z B 1 ove è da intendersicollocato il verso.Supponiamo inoltre che il campo sia stato generato dalla presenza, in qualche parte dello spaziocircostante, da cariche elettriche positive la cui posizione e numero non è precisata in quanto non èper noi interessante considerato che conosciamo il campo.La carica q , posta nel punto A del campo in modo tale da ritenere nulla la velocità iniziale, risenteimmediatamente della forza elettrica il cui valore è dato da: Fe A EA q Con: N EA Vettore campo elettrico nel punto A C 60
  • 57. q Carica elettrica CLa forza elettrica Fe A , necessariamente diretta secondo la direzione del campo E A in quelpunto e applicata alla massa m caratteristica della carica q, provoca la comparsa dell’accelerazione a e un conseguente spostamento S della carica sempre in direzione del campo elettrico. Fe A E A q E q a m 1 2 1 E q 2 S a t t 2 2 mLa carica elettrica raggiunge quindi una posizione B ove è generalmente presente un vettore campoelettrico diverso E B sia in modulo che in direzione da quello esistente nel punto A.La  direzione  e  il  modulo  della  forza,  dell’accelerazione  e  dello  spostamento,  costringeranno lacarica verso una nuova posizione C.E’  chiaro  quindi che, ragionando in termini finiti anche piccolissimi, le continue variazioni delcampo provocano il movimento della carica su una successione di traiettorie rettilinee costituenti,nell’insieme, una linea spezzata.Ora, se si immagina continua la variazione del campo, sarà continua anche la variazione dellatraiettoria che, alla fine, sarà sicuramente rappresentata da una linea continua curva.Tale traiettoria, caratterizzata dal fatto che in ogni suo punto il vettore campo elettrico è sempretangente, è definita “linea di flusso”.Per come è stata definita, esiste una e una sola linea di flusso per ogni punto del campo, conesclusione dei soli punti che rappresentano una singolarità come, ad esempio, i punti sorgente ovesono collocate le cariche generatrici.In detti punti passano infinite linee di flusso.L’infittirsi  delle  linee  di  flusso  in  determinate  regioni  dello  spazio  è  indicativo  della  presenza ravvicinata di un punto singolare. Z Z L IN E A D I F L U S S O D* D D C EC C E C B EB EB B L IN E A D I F L U S S O A* A EA E A A X X Figura 34 – COSTRUZIONE DI UNA LINEA DI FLUSSO 61
  • 58. LINEE DI FLUSSO PASSANTI PER UN SEGMENTO DEL PIANO:Con i medesimi criteri seguiti precedentemente è possibile determinare, per ogni punto di unsegmento qualsiasi contenuto nel piano, la relativa linea di flusso.Risulterà una successione di linee la cui distanza dipende unicamente dalla distanza dei punti sceltisul segmento. Z D* D* D* SEGM EN TO E D C C E B B L IN E E D I F L U S S O A* E A A X Figura 35 – LINEE DI FLUSSO PASSANTI PER IL SEGMENTO DD*TUBO DI FLUSSO:Estendendo il concetto allo spazio tridimensionale, il segmento di cui prima, è sostituito da unalinea chiusa che racchiude una superficie S . Tracciando una linea di flusso per ogni puntoappartenente alla linea e alla superficie S , si ottiene un condotto virtuale, solitamente a sezionevariabile definito “tubo di flusso” il cui asse principale contiene i baricentri della sezione iniziale e terminale. Z D* S E E D E TU BO D I FLU SSO A * A X Y Figura 36 – TUBO DI FLUSSO 62
  • 59. LINEE E TUBI DI FLUSSO – ANALOGIA CON IL CAMPO GRAVITAZIONALE:Anche in questo caso si sfrutta l’analogia tra il campo gravitazionale terrestre ed il campo elettrico generato da una sola carica centrale, ad esempio positiva, nello spazio circostante laddove sonopresenti solo cariche negative.In questo caso si tratta di campi vettoriali radiali entrambi di tipo attrattivo.Le linee di flusso caratteristiche del campo gravitazionale rappresentano la traiettoria seguita da unamassa libera di muoversi per effetto della presenza del campo.La linea di flusso caratteristica di un punto sulla superficie terrestre è quindi indicata dalla direzionedel filo a piombo e, per punti non troppo distanti tra loro, le relative linee di flusso risultanopraticamente parallele per l’impossibilità di misurarne la reale convergenza. Figura 37 – LINEE E TUBO DI FLUSSO DEL CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTREDal punto di vista di un comune osservatore e per una porzione limitata di superficie terrestreracchiusa entro una linea circolare, il tubo di flusso deve apparire come un cilindro, mentre, chigode di un punto d’osservazione abbastanza distante dalla terra, si rende conto che esso ha, in realtà una forma conica.Il punto singolare del campo gravitazionale terrestre è unico, in esso convergono tutte le linee diflusso ed è evidentemente rappresentato dal centro di gravità terrestre.LINEE O SUPERFICI DI LIVELLO (SUPERFICI EQUIPOTENZIALI):Anche in  questo  caso  conviene  rifarsi  all’analogia  con  il  campo  gravitazione  la  cui  azione  e proprietà sono forse più famigliari.Supponiamo quindi di esaminare lo spostamento di una massa collocata inizialmente in un punto Adel campo gravitazionale ove, come detto prima, passa una sola linea di flusso L A diretta verso ilcentro gravitazionale terrestre.Sia B un altro punto del campo e L B la relativa linea di flusso.Per quanto detto precedentemente, un osservatore non privilegiato potrà visualizzare tutte le linee diflusso che, virtualmente, caratterizzano i punti appartenenti al segmento AB.Esse risulteranno fondamentalmente parallele.Sfruttando la definizione di linea di flusso e supponendo che i due punti non siano troppo distantitra loro, si giungerà facilmente alla conclusione che tutti i vettori “campo elettrico”  E in ogni punto 63
  • 60. del segmento AB, pur diversi tra loro, sono caratterizzati dallo stesso modulo e dalla stessadirezione parallela alle linee di flusso.Quindi anche le forze gravitazionali F g m g godranno delle stesse caratteristiche.Durante il possibile movimento dal punto A al punto B, sul corpo sarà quindi applicata una forzaF g di intensità e direzione costanti.La posizione del punto B sulla linea di flusso LB si permette di determinare l’angolo  formatodal segmento AB con la direzione delle linee. h AB cos h cos AB h ar cos AB L A L B m a A m m h Fg = m g m m B Fg = m gDato che la forza è costante nell’intorno del punto A, si potrà calcolarne il lavoro compiuto per lo spostamento AB, con la formula: L Fg AB cos Fg hD’altra  parte lo spostamento verso il basso (nel caso della figura), risultando a carico del campogravitazionale, riduce l’energia potenziale  E P iniziale di un valore pari a E P m g h .Se lo spostamento è perpendicolare alla direzione della forza, o, in altri termini, del campo, l’angolo  vale 90°, il coseno è nullo ed automaticamente è nullo il lavoro eseguito dalla forzagravitazionale.Di conseguenza ha valore nullo anche la variazione di energia potenziale per cui, alla fine, il puntoB è caratterizzato dalla stessa energia potenziale del punto A.Il segmento che congiunge i due punti è perpendicolare alle linee di flusso.Si conclude quindi che, in un campo gravitazionale, fissata la posizione di un punto A sulla relativalinea di flusso esiste una e una sola linea i cui punti godono della caratteristica di restituireun’uguale energia potenziale.Tale linea deve necessariamente essere perpendicolare alla linea di flusso nel punto A e, diconseguenza, a tutte le altre linee di flusso. 64
  • 61. Un osservatore privilegiato si accorgerebbe che tale linea è in realtà una circonferenza nel piano euna sfera nello spazio e affermerebbe che, su tale linea o superficie, tutti i punti hanno la stessaenergia potenziale. Si tratta appunto di linee o superfici “Equipotenziali” o curve di “livello”.Per il campo elettrico generato da una sola carica puntiforme le osservazioni sono formalmenteidentiche a quelle valide per il campo gravitazionale: Le linee di flusso sono radiali a partire dalla posizione della carica elettrica. Sono percorse dall’interno verso l’esterno nel caso di campo generato da una carica positiva e  cariche esploratrici positive, dall’esterno verso l’interno nel caso o casi opposti Le linee equipotenziali o linee di livello sono circonferenze concentriche con centro comune nel punto centrale. Le tangenti alla circonferenza nei punti in cui essa interseca le varie linee di flusso sono perpendicolari alle linee di flusso (proprietà del raggio e della circonferenza) Le superfici equipotenziali sono superfici sferiche per le quali valgono le stesse proprietà descritte.Anche nel caso di campo elettrico diverso da quello radiale, sono valide queste osservazioni:In un punto qualsiasi di una qualsiasi linea di flusso passa una sola linea equipotenziale. La linea diflusso e la linea equipotenziale sono perpendicolari.Nei casi diversi dal campo radiale le linee e superfici equipotenziali non sono circonferenze o sferee la loro forma dipende esclusivamente dalla conformazione del campo elettrico.PRINCIPALI TIPOLOGIE DI CAMPO ELETTRICOCAMPO RADIALE:Il campo elettrico radiale è generato da una sola carica Q positiva o negativa.Per convenzione la carica esploratrice è sempre considerata positiva.Le linee di flusso o linee di forza del campo sono da considerarsi uscenti od entranti rispettivamentenella carica generatrice positiva o negativa.Il verso di percorrenza delle linee di flusso è stabilito dalla punta di un vettore.Le linee equipotenziali sono circonferenze concentriche, mentre, le superfici equipotenziali sonosfere concentriche.Si tratta di un campo caratterizzato da vettori di modulo variabile in funzione della distanza dalcentro.Il campo radiale è quindi un campo variabile ed è rappresentato da: 65
  • 62. L IN E E D I F L U S S O + - S U P E R F IC I E Q U IP O T E N Z IA L I Figura 38 – CAMPO RADIALE PRODOTTO DA CARICA POSITIVA E NEGATIVACAMPO BIPOLARE PRODOTTO DA DUE CARICHE UGUALI E OPPOSTE:Il campo elettrico bipolare è il risultato della somma vettoriale, eseguita punto per punto, di duecampi elettrici radiali prodotti da cariche aventi lo stesso valore ma segno opposto.I criteri da utilizzare per il calcolo e la rappresentazione sono dettati dalla legge di Coulomb e dalleclassiche regole di somma vettoriale.Si pensa di posizionare una carica esploratrice positiva in un punto qualsiasi del campo.Sono quindi determinati il modulo, la direzione e il verso, dei due vettori campo elettrico relativialle rispettive cariche.Poi, con il metodo del parallelogramma, è determinato la direzione, il verso ed il modulo del campoelettrico risultante.Quindi procedendo per incrementi finiti di spostamento si determina la linea di flusso e i relativivettori campo per ogni punto di essa.Infine la linea spezzata risultante è approssimata con una line curva. E L IN E E D I F L U S S O E E + - E S U P E R F IC I E Q U IP O T E N Z IA L I Figura 39 – CAMPO ELETTRICO DI UN “DIPOLO ELETTRICO” 66
  • 63. Le linee e superfici equipotenziali godono sempre di essere perpendicolari alle linee di flusso e delfatto che per un punto di una linea di flusso passa una e una sola superficie equipotenziale.Le superfici equipotenziali sono dunque, in questo caso, molto più complesse che nel caso di camporadiale.CAMPO ELETTRICO UNIFORME:Due lastre metalliche  piane,  parallele,  poste  ad  una  certa  distanza  una  dall’altra, elettrizzate concariche di segno opposto, producono un campo elettrico uniforme contenuto esclusivamente nellaregione di spazio compreso tra le lastre stesse.Si intende che nei vari punti di detto spazio, il vettore campo elettrico è costante in modulo,direzione e verso.La direzione è quella perpendicolare ai piani delle lastre, il modulo dipende dalla quantità di caricao meglio, dalla densità superficiale di carica, dalla distanza tra le lastre e dal materiale interpostoalle lastre stesse.Il campo elettrico uniforme è tipico di apparecchiature definite “condensatori”.Il procedimento da seguire per determinare il valore del campo è simile a quello adottato per ilcampo elettrico bipolare.Le azioni elettrostatiche repulsive generate sulla carica esploratrice positiva devono essere sommatealle azioni attrattive applicate dalla lastra negativa.Considerato che, mano a mano, la carica si allontana dalla lastra positiva perché respinta da essa edattratta dall’altra, diminuisce l’effetto repulsivo ma, nel contempo aumenta l’effetto attrattivo.Risulta quindi una forza elettrica e un campo elettrico di valore costante.Inoltre  l’effetto  repulsivo  generato  verso  le  superfici  laterali  dalla piastra positiva – chetenderebbero ad espellere le cariche positive lungo il perimetro – sono  compensate  dall’effetto attrattivo della lastra negativa che, invece tende ad attirare eventuali cariche esterne al perimetro.Risulta perciò un campo elettrico delimitato dalla regione di spazio compreso tra le lastre eperimetro esterno.Questa regione di spazio è dunque assimilata ad un parallelepipedo avente come base la superficiedelle lastre e come altezza la loro distanza. L IN E E D I F L U S S O + - - + + - E + - + - + E - - + - + - + E - + - + E - + - E + - E + - + - + - E + - + - S U P E R F IC I E Q U IP O T E N Z IA L I Figura 40 – CAMPO ELETTRICO UNIFORME – CONDENSATORE PIANO 67
  • 64. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELL’INTENSITA’ DEL CAMPO ELETTRICO Ad ogni punto di un campo elettrico, dovuto ad una o più cariche puntiformi o distribuite, si puòassociare, come visto, un vettore E campo elettrico, il quale rappresenta la risultante delle forze delcampo sulla carica esploratrice q , diviso la carica stessa (o, ed è la stessa cosa, la risultante delleforze del campo su di una carica positiva unitaria, posta nel punto considerato).La direzione del vettore E , in ogni punto del campo, risulta tangente a quelle linee ideali definitelinee di flusso o linee di forza del campo elettrico.Per ogni punto del campo passa una ed una sola linea di forza la quale individua sostanzialmente latraiettoria che verrebbe descritta dalla carica esploratrice posta in quel punto con velocità inizialenulla ed abbandonata a se stessa, cioè lasciata libera di muoversi sotto l’azione del campo.Le linee di forza sono linee orientate, cioè su di esse è fissato un verso di percorrenza checonvenzionalmente, ed in accordo con la definizione di campo elettrico, è assunto come quellodescritto da una carica positiva.In tal modo, relativamente ad ogni punto del campo, la linea di forza che passa per quel puntostabilisce non solo la direzione, ma anche il verso del vettore E .La costruzione delle linee di flusso o linee di forza è eseguita secondo i criteri e le modalitàdescritte.La rappresentazione grafica di un campo elettrico è eseguita secondo il criterio proposto daFaraday.Si è convenuto di rappresentare graficamente un campo elettrico tracciando, per ogni piccola area disuperficie perpendicolare alla direzione delle linee di forza, un numero di linee di flusso N uguale alprodotto tra l’intensità del campo al centro della superficie e l’estensione della superficie stessa  S : N E SUna rappresentazione del campo elettrico effettuata con la suddetta convenzione ha il vantaggio divisualizzare  graficamente  l’intensità  del  campo  in  ogni  punto:  infatti  l’intensità  sarà  tanto  più grande quanto più fitte saranno le linee di forza nell’intorno del punto considerato e viceversa saràtanto più piccola quanto più rade saranno tali linee di forza. E S N=E S Figura 41 – CRITERIO DI FARADAY PER LA RAPPRESENTAZIONE DEL CAMPO 68
  • 65. ANALOGIA CON UN TUBO DI FLUSSO DI UNA CORRENTE D’ACQUA:Il tubo di flusso relativo ad una superficie di area S contenuta all’interno di un campo elettrico E può  sicuramente  essere  paragonato  in  modo  analogico  alla  corrente  d’acqua  uscente  da  un  foro praticato, ad esempio, su una parete laterale del recipiente che la contiene.Il movimento del liquido è infatti relativo a tutte le molecole contenute nel recipiente che sonoconvogliate dalla forza gravitazionale verso la superficie del foro d’uscita.Ne  risulta  una  corrente  d’acqua che scorre in condotto virtuale le cui sezioni iniziale e finalecorrispondono rispettivamente alla superficie libera del recipiente e alla superficie libera del forod’uscita.Se il movimento è sufficientemente lento, i filetti fluidi scorrono su linee curve senza modificare ladirezione.Tali  linee  sono  l’analogo  alle  linee  di  flusso  del  campo  e  il  condotto  virtuale  che  le  contiene rappresenta il tubo di flusso.Mano a mano che il liquido, partendo dalla superficie libera, si avvicina alla superficie d’uscita, evidentemente molto più piccola della superficie libera, i filetti fluidi tendono ad avvicinarsi e adinfittirsi.Nel contempo potremmo porre in evidenza il fatto che in detto tubo si manifesta un campovettoriale delle velocità costituito da vettori velocità sempre tangenti alle linee di flusso e il cuimodulo aumenta mano a mano che le sezioni virtuali del tubo diminuiscono.Evidentemente il massimo valore del campo di velocità è localizzato nel baricentro del forod’uscita. L IN E E D I F L U S S O T U B O D I F L U S S O L IQ U ID O v v C A M P O D E L L E V E L O C IT A v v Figura 42 – FLUSSO VIRTUALE DI UNA CORRENTE D’ACQUACAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIPOLO ELETTRICOLa presenza di due cariche elettriche Q 1 e Q 2 della stessa intensità ma di segno contrario, separateda una distanza d , costituisce una configurazione di “dipolo elettrico”.La distanza d tra i baricentri delle due cariche è da considerare come modulo di un vettore d la cuidirezione  è  definita  “asse  del  dipolo”  ed  il  verso  è  orientato  dalla  carica  negativa  alla  carica positiva. dIl punto mediano del vettore d è il “centro del dipolo”, è posizionato sull’asse del dipolo e dista  2da entrambe le cariche. 69
  • 66. Il campo elettrico E A , provocato dal dipolo in un punto A ad una distanza z dal centro e collocatosulla direzione individuata dall’asse del dipolo stesso, risulta la sommatoria algebrica dei moduli deicampi elettrici E 1 ed E 2 prodotti rispettivamente dalla carica positiva e dalla carica negativa suuna carica esploratrice.I due campi elettrici hanno la stessa direzione, verso contrario e moduli inversamente proporzionalial quadrato della distanza del punto considerato dalle cariche del dipolo. F1 1 Q E 1 2 q 4 r1 F2 1 Q E 2 2 q 4 r2 Con: d r1 z 2 d r2 z 2 Per cui: Q 1 1 EA E1 E2 2 2 4 d d z z 2 2 Q 1 1 EA E1 E2 2 2 4 d d z 1 z 1 2 z 2 z Q 1 1 1 EA E1 E2 2 2 2 4 z d d 1 1 2 z 2 z 2 2 Q 1 d d E A E1 E2 1 1 2 4 z 2 z 2 z 70
  • 67. E 1 q+ A q+ A E 2 C A R IC A E S P L O R . r1 A S S E D E L D IP O L O A S S E D E L D IP O L O z r1 D IP O L O E L E T T R IC O D IP O L O E L E T T R IC O + + Q Q d/2 p = Q d M O M E N T O D E L D IP O L O d d/2 - - Q Q Figura 43 – MOMENTO DEL DIPOLO ELETTRICOConsiderando che, solitamente, la distanza z del punto considerato è notevolmente più grande delle ddimensioni geometriche del dipolo, il rapporto ha un valore molto minore dell’unità: 2 z Per ipotesi: z d Di conseguenza: d 1 2 zI binomi con esponente negativo possono essere quindi approssimati con le seguenti serie: n n n 1 2 n n 1 n 2 3 1 x 1 n x x x .......... . 2! 3! n n n 1 2 n n 1 n 2 3 1 x 1 n x x x .......... . 2! 3!Per cui, ponendo: d x 2 z n 2Si ottiene: Q 1 d d EA E1 E2 1 2 ....... 1 2 .... 2 4 z 2 z 2 z Dove i termini mancanti sono trascurabili per effetto dell’elevazione a potenza superiore a  uno di un rapporto già piccolo in partenza. Si ottiene quindi: 71
  • 68. Q 1 d d EA E1 E2 2 4 z z z Q 1 2 d E A E1 E2 2 4 z z 1 Q d 1 p E A E1 E2 3 3 2 z 2 zIl prodotto Q d , contenente le grandezze caratteristiche intrinseche del dipolo – valore numericodelle  cariche  elettriche  e  distanza  tra  le  cariche,  è  definito  “MOMENTO  DI  DIPOLO ELETTRICO”  e  deve  essere  considerato  come  un  vettore  con  direzione  sovrapposta  all’asse  del dipolo e orientato dalla carica negativa a quella positiva.Il campo elettrico prodotto da un dipolo di momento p Q d in un punto , anche non posizionato 1sull’asse, distante r da centro del dipolo, è variabile in funzione di  3 . rCAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA DISTRIBUITA SU UN FILAMENTORETTILINEO DI LUNGHEZZA L (SUPPOSTA INFINITA).Si suppone ora di disporre di un filamento rettilineo lungo e sottile sul quale è distribuita,complessivamente, una certa quantità di carica elettrica Q , ad esempio positiva.Conoscendo la lunghezza L del filo e il valore complessivo della carica, è possibile determinare lacarica  lineare  specifica  o  “densità  di  carica  lineare”,  cioè  la  quantità  di  carica  distribuita  su  ogni metro di lunghezza: Q C C A s Densità lineare di carica L m m mSe, al contrario, è determinata la densità di carica lineare , risulta possibile immaginare unfilamento di lunghezza infinitamente grande.Il campo elettrico generato dal filamento rettilineo, in un punto A posto ad una distanza r, misurataperpendicolarmente all’asse del filamento, può essere considerato come la sommatoria vettoriale ditutti i campi elettrici generati, nello stesso punto, dai tratti infinitesimi in cui può pensarsi suddivisoil filamento.Se la lunghezza del filamento è sufficientemente grande, per ogni tratto di filo posto ad una distanzas sopra al punto A, ne corrisponde un altro posto alla medesima distanza sotto A.Pertanto, quando si sommano vettorialmente i campi elettrici prodotti da tutti gli elementi, lecomponenti parallele alla direzione del filamento si annullano reciprocamente.Sono quindi da considerare le sole componenti perpendicolari all’asse del filamento.Il campo elettrico complessivo sarà quindi orientato secondo la direzione perpendicolare al filo econ verso da stabilirsi in funzione del segno della carica distribuita e da quello della caricaesploratrice da collocare nel punto A. 72
  • 69. + s Q r s E 2y F IL O C A R IC O + R q E 1x A E E 1y 1 s r s + Q Figura 44 – CAMPO ELETTRICO PRODOTTO DA UN FILAMENTO CARICOPensando di suddividere il filamento, supposto di lunghezza infinita, in tratti di lunghezza s , lacomponente orizzontale E x del campo elettrico prodotto nel punto A da ogni tratto recante la carica Q s risulta determinata da: s 1 E 1x E 1 cos 1 cos 1 2 4 r1 F1 Q q s 1 E 1x E 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 2 2 q q 4 r1 4 r1 Con: r1 cos 1 R R cos 1 r1 Per cui: s 1 R E 1x E 1 cos 1 2 4 r1 r1 D’altra  parte  la  distanza  r 1 di ogni tratto s dal punto A è variabile in funzione della distanza s del  tratto  considerato  dall’intersezione  tra il filamento e la perpendicolare al filamento condotta dal punto A. Applicando il teorema di Pitagora: 2 2 r1 R s1 Per cui, sostituendo, si ottiene: 73
  • 70. s 1 RE 1x E 1 cos 1 2 2 4 R s1 R 2 2 s1 s RE 1x 3 4 2 2 R s1 2 3 s R 2 2E 1x R s1 2 4Il campo elettrico complessivamente prodotto da tutti i tratti di filamento, nel punto A, postoalla distanza R dal baricentro del filo, risulta quindi determinato dal doppio dallasommatoria di tutti i contributi (tratti posti sopra e sotto l’orizzontale condotta dal punto): 3 i n s R 2 2E X 2 E 1x E 2x .......... ... E nx 2 R si 2 i 1 4Passando agli incrementi infinitesimi, la sommatoria è sostituita dall’integrale: 3 ds R 2 2 2E X 2 R s 0 4 3 R 2 2 2EX 2 R s ds 4 0L’integrale è risolto ponendo: 1 2 2T R s 2Da cui: R 1EX 2 ds 3 4 0 2 2 R s 2 R 1E X 2 ds 3 4 0 TIntegrando (utilizzando le tavole di DWIGHT) si ottiene R 1 sEX 2 2 R R 2 s 2 0 sEX 2 R R 2 s 2 0Tra i limiti d’integrazione: 0E X 2 R R 2 2 R 2 0 2 0 74
  • 71. EX 1 0 2 R 2 RCAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA DISTRIBUITA UNIFORMEMENTE SUUN ANELLO DI RAGGIO R IN PUNTI APPARTENENTI ALL’ASSE DI SIMMETRIA.Si considera ora una carica elettrica Q , ad esempio positiva, distribuita uniformemente su un anellocircolare di raggio R.La densità lineare di carica risulta uguale a: Q C A s 2 R m m E 1 E 1 z= E 2z E 2 E 1r E 2r r r z + Q s R C R s + Q F IL O C A R IC O Figura 45 – CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA DISTRIBUZIONE AD ANELLOAnche in questo caso, trattandosi di carica distribuita, è possibile suddividere la circonferenza intratti di lunghezza piccola a piacere s recanti, ognuno, una quantità di carica data da: Q sIl campo elettrico complessivamente prodotto dalle cariche, in un punto A appartenente all’asse disimmetria passante nel centro della circonferenza e alla distanza z dal piano della circonferenzastessa,  sarà  pari  alla  somma  di  tutte  le  componenti  parallele  all’asse  di  simmetria  E iz e prodotte,ognuna, dal singolo tratto s .La somma delle componenti perpendicolari E iR all’asse di simmetria, quindi parallele al piano della circonferenza, sarà evidentemente nulla per il fatto che coppie di carica diametralmente opposteproduce componenti orizzontali ( E 1 R E 2 R ) uguali e contrarie.Occorre  quindi  considerare  le  sole  componenti  parallele  all’asse  di  simmetria  i  cui  valori  sono espressi dalla seguente relazione: E 1Z E 1 cos 75
  • 72. Con: F1 Q q 1 sE1 2 2 q 4 r q 4 rQuindi: sE 1Z cos 2 4 rD’altra parte la simmetria del problema ci consente di affermare che, per tutti i tratti carichi appartenenti alla circonferenza, è costante sia la distanza r del punto A sia il valoredell’angolo e del relativo coseno: 2 2r R z z zcos 1 r 2 2 2 R zSi ottiene quindi: s zE 1Z 1 1 2 2 1 2 2 2 4 R z R zIn cui i termini z e R sono costanti rispettivamente per aver fissato la distanza del punto Asull’asse e per aver fissato il raggio della circonferenza.Il campo elettrico complessivo è quindi la sommatoria delle singole componenti:EZ E 1Z E 2Z E 3Z .......... ..... E nZ zEZ s1 s2 s3 ......... sn 3 2 2 2 4 R zMa la somma di tutti i tratti s altro non è che la lunghezza totale della circonferenza: s1 s2 s3 ......... sn 2 RQuindi: zEZ 2 R 3 2 2 2 4 R zDa notare poi che il prodotto della densità lineare di carica per la lunghezza complessivadella circonferenza 2 R è la carica Q complessivamente presente.Quindi, in conclusione: 76
  • 73. Q z EZ 3 2 2 2 4 R zInoltre il valore del campo è nullo, per simmetria rispetto alla distribuzione circolare, quando ilpunto è collocato nel centro dell’anello, cioè per z uguale a zero: EZ 0 0 Fe 0Il campo elettrico è ancora nullo ad una distanza infinitamente grande dal centro, infatti: Per: z z z 1 2 2 z R z 1 1 z 0 2 2 2 z R R Quindi: q 1 z E Z 0 2 2 4 z R z 2 R 2Il  valore  massimo  del  campo  elettrico  si  ottiene  imponendo  l’annullamento  della  derivata  prima della funzione: 3 d z d 2 2 z z R 2 0 3 dz 2 2 dz z R 2 Ottenendo: 3 3 2 2 d d 2 2 f z z R 2 z z z R 2 dz dz 3 3 2 2 3 2 2 1 f z z R 2 1 z z R 2 2 z 2 3 3 2 2 3 2 2 1 2 f z z R 2 z R 2 2 z 2 3 5 2 2 2 2 2 f z z R 2 3 z R 2 z Per cui: 3 5 2 2 2 2 2 f z z R 2 3 z R 2 z 0 3 5 2 2 2 2 2 z R 2 3 z z R 2 2 1 3 z 2 2 2 3 2 2 2 5 z R z R 77
  • 74. 2 1 3 z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z R z R z R z R 2 2 2 2 2 z R z R 2 3 z 2 2 2 2 z R z R 2 2 2 z R 3 z 2 2 2 z 3 z R 0 2 2 2 z R 0 Equazione di secondo grado che ammette il seguente risultato: R z 2 Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica q su un anello di raggio R R sull’asse dell’anello, è dunque massimo in un punto distante  z dal centro della 2 circonferenza. Il suo valore è: q R q R E Z ( MAX ) 2 3 3 2 R 2 3 2 4 2 R 2 4 R 2 2 1 q R q 3 R 2 E Z ( MAX ) 3 3 6 2 2 2 4 R R 2 2CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DISCO CARICOIn questo caso la carica complessiva Q, ad esempio positiva, è distribuita uniformemente su di unasuperficie circolare (disco) e si vuole determinare il campo elettrico prodotto in un punto Aposizionato ad una  distanza  z  dalla  superficie  del  disco  e  sull’asse  di  simmetria  passante  per  il centro del disco.Si tratta ora di determinare la densità superficiale di carica tenendo conto del raggio R del disco.La densità superficiale di carica è data da: Q Q C A s 2 2 2 A R m mIl problema non è molto dissimile da quello precedente se si immagina di suddividere la superficiecomplessiva del disco in un numero sufficientemente elevato di anelli concentrici di larghezza rcostante e di diametro variabile da un valore massimo pari al diametro del disco al valore nullo.Su ogni anello, definito propriamente dal raggio e dalla larghezza, sarà distribuita una caricaelettrica determinabile in base alla seguente relazione: Qi 2 ri r 78
  • 75. E 1 E 1 z= E 2z E 2 E 1r A E 2r r r z s + Q R C R s + Q D IS C O C A R IC O Figura 46 – CAMPO ELETTRICO PRODOTTO DA UN DISCO CARICOTenendo quindi presente il risultato ottenuto precedentemente per la distribuzione ad anello, ognisingolo anello produce, nel punto A considerato, un campo elettrico parallelo all’asse di simmetria del disco il cui valore è stabilito dalla relazione: Q1 z E 1Z 3 2 2 2 4 r1 z 2 r1 r z E 1Z 3 2 2 2 4 r1 z Il campo elettrico complessivo nel punto A è quindi la somma di tutti i contributi relativi ai singoli anelli che, nell’insieme, costituiscono il disco. Da notare che la densità superficiale di carica e la distanza z del punto A dal piano del disco hanno valore costante per tutti gli anelli che si considerano. Per cui si ottiene: z 2 r1 r 2 r2 r 2 rn r EZ .......... .. 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 r1 z 2 r2 z 2 rn z 2 Passando alla forma integrale si ottiene: R 2 z r EZ dr 3 4 0 2 2 2 r z L’integrale si risolve ponendo: 1 2 2 2 T r z Ottenendo quindi: 79
  • 76. R 2 z rE Z dr 3 4 0 TIntegrando (sono utilizzate le tavole di DWIGHT) si ottiene: R 2 z 1EZ 4 T 0 R 2 z 1EZ 1 4 2 2 2 r z 0 R 2 z 1EZ 1 4 2 2 2 r z 0 R 2 z 1 1EZ 1 4 z 2 2 2 R z 0 2 z 1 zE Z 1 1 4 z 2 2 2 R zInfine: z EZ 1 2 R 2 z 2Da notare che, per un disco con raggio infinitamente grande, il secondo termine nellaparentesi tende ad annullarsi ed il campo elettrico è quello prodotto da una superficie pianacarica di dimensioni infinite. EZ 2 80
  • 77. ESERCIZI – CAMPO ELETTRICOEsercizio 1:Su una carica q 3 10 5 C , posta in un punto di un campo elettrico, agisce una forzaF 3 10 2 . NDeterminare l’intensità del campo in quel punto.Soluzione:Dalla relazione che definisce il campo elettrico si ottiene: F E q Sostituendo i valori numerici noti: J 2 F 3 10 N 3 N m J Volt E 10 5 q 3 10 C C C C m m Con: J J N m N m J V Definizione di potenziale espresso in Volt V C Si è qui anticipata, con le unità di misura, la definizione di potenziale elettrico – da misurarsi in Volt – ed espresso dal rapporto tra l’energia potenziale elettrostatica (Joule) e la carica  elettrica (Coulomb).Esercizio 2:Determinare la forza elettrostatica a cui è soggetto un protone quanto, nel vuoto, si trova in un N Voltcampo elettrico la cui intensità è pari a E 15 15 . C mLa carica elettrica del protone è positiva ed ha un valore numerico pari a quella dell’elettrone, cioè  C . 19p 1 , 602 10Soluzione:Dall’espressione del campo elettrico si ricava la formula inversa: F E F E q q Tenendo presente il valore dell’intensità del campo elettrico a cui è sottoposta la carica  elettrica del protone, si ricava, sostituendo: V 19 18 V C J C N m C F E p 15 1 , 602 10 C 2 ,4 10 N m m C m C m 81
  • 78. Esercizio 3:Una massa puntiforme, elettricamente carica, si trova in un punto di un campo elettrico la cui N Vl’intensità è pari a  E 50 50 ed è soggetta ad una forza F 15 kg p . C mDeterminare il valore della carica elettrica.Soluzione:Dall’espressione del campo elettrico si ricava la relazione inversa: F E q F q E Sostituendo i valori numerici e tenendo presente che le forze devono essere espresse in Newton, si ottiene: N 15 kg p 9 , 81 kg p N m J q 147 ,15 147 ,15 C V V V 50 m N 15 kg p 9 , 81 kg p N C q 147 ,15 147 ,15 C N N 50 CEsercizio 4:Una carica elettrica Q 1 , 2 10 5 C è immersa in un dielettrico con costante dielettrica relativapari a R 2 , 5 .Determinare l’intensità del campo elettrico da essa generato ad una distanza di 6 m.Soluzione:Si utilizza l’espressione del campo elettrico unitamente alla legge di Coulomb: Fe E q Q q Q q Fe 2 2 4 r 4 R r Da cui si ottiene: Q q 1 Q E 2 2 4 R r q 4 R r Con: Costante dielettrica assoluta del materiale R Costante dielettrica relativa del materiale 2 12 C Costante dielettrica del vuoto 8 , 85 10 2 N m 82
  • 79. Il valore e le unità di misura della costante dielettrica del vuoto sono ricavate dalla legge di Coulomb tenendo presente la definizione di carica unitaria: Q1 Q 2 1 Q1 Q 2 Fe k 2 2 r 4 r 2 9 2 2 2 Fe r 9 10 N 1 m 9 N m k 9 10 2 Q1 Q 2 1 C 1 C C 2 1 1 12 C 8 , 846 10 2 2 4 k 9 N m N m 4 9 10 2 C Sostituendo i valori nell’espressione del campo, si ottiene: 5 Q 1, 2 10 C N E 1 . 199 , 5 2 2 4 R r 12 C 2 2 C 4 2 , 5 8 , 85 10 6 m 2 N m N J V E 1 . 199 , 5 1 . 199 , 5 1 . 199 , 5 C C m mEsercizio 5:Determinare la forza che agisce su una carica q2 3 10 5 C posta alla distanza di 30 cm, nelvuoto, da una carica q1 5 10 4 C .Soluzione:Si possono utilizzare, indifferentemente, sia direttamente la legge di Coulomb sia la relazione delcampo elettrico.Nel primo caso si ottiene: 4 5 q1 q 2 5 10 C 3 10 C Fe 1 . 500 N 2 2 4 r 12 C 2 2 4 8 , 85 10 0 ,3 m 2 N mNel secondo caso occorre determinare il campo elettrico generato dalla carica q 1 nel punto in cui ècollocata la carica q 2 , poi, con il valore del campo determinare la forza sulla seconda carica: 4 q1 5 10 C 7 N 7 V E 5 10 5 10 2 2 4 r 12 C 2 2 C m 4 8 , 85 10 0 ,3 m 2 N m 7 N 5 Fe E q2 5 10 3 10 C 1 . 500 N CI due risultati sono naturalmente uguali.Esercizio 6:Determinare  l’intensità  del  campo  elettrico  risultante  nel  punto  di  mezzo  tra  due  cariche  di  ugual segno q 1 3 10 6 C e q 2 4 10 8 C che distano tra loro 20 cm.Determinare inoltre la forza che agisce su una carica q 5 10 6 C situata nel suddetto punto.Si consideri che il mezzo nel quale sono immerse le cariche ha una costante dielettrica relativa paria R 2 ,7 .Soluzione: 83
  • 80. Le due cariche di ugual segno producono, nel punto mediano, due campi elettrici di segno contrario.Il campo elettrico risultante sarà quindi dato dalla sottrazione algebrica dei due vettori.Il verso del campo elettrico risultante sarà orientato dalla carica più grande a quella più piccola.Quindi da q 1 a q 2 . 6 q1 3 10 C 6 N E1 10 2 2 4 R r 12 C 2 2 C 4 2 , 7 8 , 85 10 0 ,1 m 2 N m 8 q2 4 10 C N E2 13 . 300 2 2 4 R r 12 C 2 2 C 4 2 , 7 8 , 85 10 0 ,1 m 2 N mI segni algebrici dei due campi elettrici sono stabiliti pensando di posizionare la carica q 1 a sinistra.Di conseguenza il campo elettrico da essa prodotto nel punto ove si immagina di collocare unacarica esploratrice positiva, è orientato verso la parte destra, quindi positiva.Il campo elettrico risultante ha quindi un’intensità pari a: 6 4 N V E E1 E2 10 1 , 33 10 986 . 700 986 . 700 C mDi conseguenza la forza elettrica esercitata sulla carica q di valore noto sarà: N 6 Fe E q 986 . 700 5 10 C 4 , 93 N CEsercizio 7: 5Un corpo pesante 1 gp , avente una carica q 5 10 C , parte da fermo da un punto A di un Ncampo elettrico uniforme di intensità pari a E 1 . 000 . CTale corpo raggiunge un punto B dopo un tempo di 1 s.Determinare la distanza tra i due punti.Soluzione:La  forza  esercitata  sulla  massa  del  corpo  carico  dall’azione  del  campo  elettrostatico  uniforme  è determinata da: N 5 2 Fe E q 1 . 000 5 10 C 5 10 N C Tale forza si mantiene costante durante il movimento in quanto il valore del campo non varia da punto a punto ed è causa di un’accelerazione di valore pari a: 2 Fe 5 10 N m a 50 3 2 m 10 kg m s Lo spazio percorso dalla carica in un tempo di 1 s, per effetto dell’accelerazione costante, è dato da: 1 2 1 m 2 2 S a t 50 1 s 25 m 2 2 2 sANTICIPAZIONE DEI CONCETTI DI ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA EDIFFERENZA DI POTENZIALE 84
  • 81. Si sfrutta l’esercizio per anticipare la definizione ed il calcolo dell’energia potenziale elettrostatica e della differenza di potenziale elettrostatico tra il punto A ed il punto B nel campo elettricouniforme.L’energia potenziale elettrostatica tra il punto A e B nel campo elettrico uniforme è pari al lavoro prodotto dal campo stesso sulla carica per consentirne lo spostamento: W AB L AB F e S cos Con: 0 cos 1 Quindi: 2 W AB L AB Fe S cos Fe S 5 10 N 25 m 1, 25 JLa  differenza  di  potenziale  tra  i  due  punti  è  definita  dal  rapporto  tra  l’energia  potenziale  W  e  lacarica q caratteristica del corpo in movimento: W AB 1 , 25 J V AB 25 . 000 Volt 5 q 5 10 CEsercizio 8:Determinare il tempo necessario affinché una pallina, pesante 3 g e con una carica q 3 10 3 Cpercorra uno spazio di 1 m, se si trova all’interno di un campo elettrico uniforme di intensità pari a VE 10 . mSi suppone nulla la velocità iniziale.Soluzione:La forza esercitata dal campo elettrico sulla pallina carica è data da: N 3 2 Fe E q 10 3 10 C 3 10 N C L’accelerazione subita dalla pallina per effetto della forza: 2 Fe 3 10 N m a 10 3 2 m 3 10 kg s Il tempo impiegato per percorrere uno spazio di 1 m con l’accelerazione calcolata: 1 2 S a t 2 2 S 2 1 m t 0 , 447 s a m 10 2 sLo stesso esercizio svolto con i teoremi relativi all’energia  potenziale  elettrostatica  e  alla definizione di differenza di potenziale:W AB V AB q 1 2W AB Fe S E q S m vf 2Fe t m vf 85
  • 82. 2 E q S m m vf m vf m 2 E q S m 1 2 E q S mt 2 E q S 2 2 Fe E q E q E q E q E q 3 2 E q S m 2 S m 2 1 m 3 10 kg m kgt 0 ,2 0 , 447 s 2 2 E q E q N 3 N 10 3 10 C CEsercizio 9: mUn elettrone è proiettato orizzontalmente con velocità vX 600 entro un campo elettrico s Nuniforme con direzione verticale ed intensità pari a E Y 5 . CDeterminare  le  componenti  orizzontali  e  verticali  dell’accelerazione,  la  traiettoria  percorsa  in orizzontale e verticale dall’elettrone in un tempo  t 10 6 sSi consideri la massa dell’elettrone pari a  m e 9 ,11 10 31 kgSoluzione:La direzione verticale del campo elettrostatico permette di affermare che deve essere nulla lacomponente orizzontale dell’accelerazione cui è sottoposto l’elettrone.La componente verticale dell’accelerazione ha un’intensità di: N 19 5 1 , 602 10 C F eY EY qe C 11 m aY 8 , 79 10 31 2 m m e 9 ,11 10 kg s Lo spazio percorso in  verticale  dall’elettrone, in moto uniformemente accelerato, risulta dunque: 1 2 1 11 m 12 2 SY v iY t a t 0 t 8 , 79 10 10 s 0 , 44 m 2 2 2 s Lo spazio percorso in orizzontale, in moto uniforme, è invece dato da: m 6 4 SX v iX t 600 10 s 6 10 m s La traiettoria è rappresentata dalla funzione ottenuta risolvendo rispetto al tempo il seguente sistema di equazioni: x v iX t 1 2 y a t 2 x x t t v iX v iX 1 E qe Y 2 y x 2 2 1 2 1 x 2 m e v iX y a t y a 2 2 2 v iXEsercizio 10:Tre cariche uguali q 1 q 2 q 3 3 10 8 C sono poste nei vertici di un triangolo equilatero di lato10 cm. Determinare il campo elettrico nel baricentro del triangolo e nel punto mediano di uno deilati. 86
  • 83. Le cariche sono immerse nel vuoto.Soluzione:Il  baricentro del  triangolo è  collocato  nel  punto  d’incontro delle tre bisettrici che, per il triangolo equilatero, corrispondono anche alle perpendicolari ai rispettivi lati condotte nel punto mediano diciascun lato.Le distanze tra i vertici, ove sono collocate le cariche, e il baricentro è dunque ricavato tenendoconto della seguente relazione: L r cos 30 2 Da cui si ottiene: L 0 ,1 m r 0 , 058 m 2 cos 30 2 0 , 866 I campi elettrici prodotti dalle tre cariche nel baricentro hanno modulo uguale di intensità pari a: 8 q1 3 10 C 4 N E1 E2 E3 8 10 2 2 4 r 12 C 2 2 C 4 8 , 85 10 0 , 058 m 2 N m Se si considera che i tre vettori hanno lo stesso modulo e sono inclinati tra loro di 120° si riconosce che la loro somma vettoriale deve essere nulla per simmetria. Il campo elettrico nel baricentro è dunque nullo.Nel punto mediano di uno dei lati si annullano i campi elettrici prodotti dalle due cariche dispostesui vertici appartenenti al lato, mentre il campo elettrico complessivo risulta perpendicolare al latoconsiderato ed è prodotto dalla carica disposta sul vertice opposto al lato.L’intensità del campo è data da: q E 2 4 r Con: r L cos 30 0 ,1 m 0 , 866 0 , 0866 m 8 q1 3 10 C 4 N E M 3,6 10 2 2 4 r 12 C 2 2 C 4 8 , 85 10 0 , 0866 m 2 N mEsercizio 11: 5Determinare a quale distanza da una carica q 8 10 C si ha un campo elettrico 5 VE 5 10 . mSoluzione:Dall’espressione del campo elettrico si ricava la formula inversa che permette di determinare la distanza: q E 2 4 r q r 4 E 87
  • 84. Sostituendo nella relazione i valori noti, si ottiene la distanza: 5 8 10 C 2 r 1 , 44 m 1, 2 m 2 12 C 5 N 4 8 , 85 10 5 10 2 N m CEsercizio 12:Una carica puntiforme produce, nel vuoto e in un punto distante 40 cm, un campo elettrico pari a NE 2 10 4 . Determinare il valore della carica. CSoluzione: Q E 2 4 r Da cui si ottiene: 2 2 12 C 2 2 4 N 7 Q 4 r E 4 8 ,85 10 0 ,4 m 2 10 3 , 56 10 C 2 N m CEsercizio 13:Determinare il campo elettrico complessivo nel punto di mezzo di un segmento lungo 30 cm, agliestremi del quale sono collocate due cariche elettriche Q 1 1 10 6 C e Q2 3 10 6 C .Soluzione:Supponendo di disporre orizzontalmente il segmento con la carica positiva posizionatasull’estremità sinistra e una carica esploratrice positiva nel punto mediano del segmento, il campoelettrico totale sarà la somma di un campo elettrico positivo (rivolto verso destra e causato dallacarica positiva) e di uno ancora positivo (rivolto verso destra causato dalla carica negativa).I valori dei campi saranno: 6 Q1 3 10 C 6 N E1 1, 2 10 2 2 4 r 12 C 2 2 C 4 8 , 85 10 0 ,15 m 2 N m 6 Q 2 1 10 C 5 N E1 4 10 2 2 4 r 12 C 2 2 C 4 8 , 85 10 0 ,15 m 2 N m Il campo elettrico risultante: 6 5 6 N E 1, 2 10 4 10 1, 6 10 C Diretto dalla carica positiva a quella negativa.Esercizio 14:Quattro cariche puntiformi sono disposte, nel vuoto ai vertici di un quadrato di lato 50 cm, comemostrato nella figura. Determinare il campo elettrico nel baricentro del quadrato. 88
  • 85. Soluzione:I campi elettrici prodotti dalle cariche nei vertici B e D si annullano in quanto uguali e contrari pereffetto dell’uguaglianza delle cariche e delle distanze.I campi elettrici prodotti dalle cariche nei vertici A e C si sommano in quanto sulla stessa direzione(la diagonale del quadrato) e con eguale verso (dalla carica positiva a quella negativa).Per cui: 6 6 3 10 C 3 10 C 5 N EC 2 ,16 10 2 2 4 r 0 ,5 C 2 12 C 2 2 4 8 , 85 10 m 2 N m cos 45 6 6 2 10 C 2 10 C 5 N EA 1 , 44 10 2 2 4 r 0 ,5 C 2 12 C 2 2 4 8 , 85 10 m 2 N m cos 45 Il campo elettrico risultante è quindi: 5 5 5 N E 2 ,16 10 1 , 44 10 3,6 10 C -6 -6 -2 x 10 (C ) + 5 x 10 (C ) A B E r L/2 D C -6 -6 + 5 x 10 (C ) + 3 x 10 (C )Esercizio 15:Due cariche puntiformi q 1 1 , 5 10 7 C e q 2 3 , 5 10 7 C . Sono poste agli estremi di unsegmento lungo 70 cm. Determinare in quale punto del segmento si annulla il campo elettrico.Soluzione: 89
  • 86. -7 -7 q 1 = + 1 ,5 x 1 0 (C ) q 2 = + 3 ,5 x 1 0 (C ) x L -x A B COccorre imporre che i campi elettrici prodotti dalle singole cariche siano di uguale intensità.Per cui: q1 q2 E A E B 2 2 4 x 4 L x Da cui si ottiene, semplificando i termini uguali: q1 q2 2 2 x L x 2 2 q1 L x q2 x 2 2 2 q1 L 2 L x x q2 x 0 2 2 x q1 q2 x 2 L q1 q1 L 0 Equazione di secondo grado risolvendo la quale si ottiene la distanza richiesta: 2 2 2 2 L q1 4 L q1 4 q1 q2 q1 L x 2 q1 q2 7 2 7 2 7 7 2 2 0 , 7 1,5 10 4 0 ,7 1,5 10 4 2 10 1,5 10 0 .7 x 7 4 10 7 7 2 ,1 10 3 , 21 10 x 0 , 278 m ; 1 , 33 m 7 4 10 Tra le due soluzioni è accettabile solo la prima, perciò il punto in cui il campo elettrico è nullo è posizionato a circa 28 cm dalla carica q 1 di sinistra.Esercizio 16:Una carica è distribuita uniformemente lungo un filamento rettilineo di lunghezza infinita. La 4 Cdensità lineare di carica è pari a 3 10 . mDeterminare il campo elettrico generato dal filamento in un punto situato ad una distanza di 5 metrimisurata perpendicolarmente al filamento. 90
  • 87. Il filamento è immerso nel vuoto.Soluzione:Occorre utilizzare la relazione determinata con le regole d’integrazione: E X 2 R Con: EX Vettore campo elettrico diretto perpendicolarmente al filamento R Distanza tra il punto ed il filamento misurata sulla perpendicolare al filo passante per il punto Per cui: 4 C 3 10 m 6 N EX 1 , 08 10 2 12 C C 2 8 , 85 10 5 m 2 N mE’ anche possibile, anticipando la relazione contenuta nel Teorema di Gauss, determinare il valoredel campo elettrico per mezzo del calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa qualsiasiall’interno della quale sono contenute una o più cariche.Si tratta di un caso di simmetria nel quale si considera una superficie chiusa cilindrica con il raggiodelle basi circolari pari alla distanza dal centro al punto che si è considerato, quindi R 5 m , euna  carica  Q,  distribuita  sull’asse  del  cilindro,  di  valore  pari  al  prodotto  della  densità  lineare  di carica per l’altezza H del cilindro.Il caso di simmetria consente di affermare che il campo elettrico generato dal filamento è sempreperpendicolare all’asse del cilindro ed è quindi nullo il flusso attraverso le due superfici circolari del cilindro.Il flusso uscente dal cilindro è quindi dato da: EX S EX 2 R HMentre, con il teorema di Gauss si ha: Q i H Uguagliando le due relazioni: H E X 2 R H Da cui si ottiene il valore del campo nel punto considerato: E X 2 R Pervenendo allo stesso risultato ottenuto applicando le regole d’integrazione al filamento. 91
  • 88. + s Q r s E 2y F IL O C A R IC O + R q E 1x A E E 1y 1 s r s + Q Y R R R R E x + Q H F IL O C A R IC O q + E x H A R E x S U P E R F IC IE C IL IN D R IC A D I G A U S SEsercizio 17:Una carica positiva è distribuita uniformemente nel volume di una regione cilindrica di raggio CR 15 cm e lunghezza infinita. La densità di carica volumica è pari a 3 10 . 3 cmDeterminare il campo elettrico ad una distanza r 3 m dall’asse del cilindro.Soluzione:Anche in questo caso si tratta di simmetria rispetto all’asse del cilindro. Ancora il campo elettrico è contenuto è radiale e contenuto nei piani perpendicolari all’asse e il flusso del campo è nullo dalle superfici circolari del cilindro Gaussiano di raggio pari alla distanza del punto ed altezza Hqualsiasi.Il flusso è uscente solo dalla superficie laterale del cilindro. 92
  • 89. Quindi, utilizzando il teorema di Gauss e la definizione di flusso del campo, si ottiene: Q Flusso uscente in base al teorema di Gauss EX S Combinando le due relazioni: Q E X S Da cui si ottiene il valore del campo: Q E X S Con: 2 Q V R H S 2 r H Per cui: 2 2 R H R EX 2 r H 2 r Sostituendo i valori noti: 3 10 C 6 cm 2 2 3 10 10 0 ,15 m 2 3 3 R cm m 5 N EX 1 , 27 10 2 2 r 12 C C 2 3 m 8 , 85 10 2 N m Y r= 3 m + Q H S U P E R F IC IE C IL IN D R IC A D I G A U S S 93
  • 90. Esercizio 18:Una carica è distribuita uniformemente nel volume di un cilindro di raggio R 30 cm . La densità Cvolumica di carica è pari a 3 10 10 3 . Determinare il campo elettrico ad una distanza di cm15 cm dall’asse del cilindro.Soluzione:Il cilindro Gaussiano è interno alla distribuzione volumica cilindrica di raggio R.Occorre tenere conto della sola carica contenuta all’interno della superficie di Gauss. Q Flusso uscente in base al teorema di Gauss EX S Combinando le due relazioni: Q E X S Da cui si ottiene il valore del campo: Q E X S Con: 2 Q V r H S 2 r H Per cui: 2 r H r E X 2 r H 2 Y R = 30 cm + Q H S U P E R F IC IE C IL IN D R IC A D I G A U S S 94
  • 91. Esercizio 19:Una sferetta di massa m 5 ,0 g è sospesa con un filo di massa trascurabile lungo 50 cm, di fronte Cad un piano verticale su cui è distribuita una carica con densità superficiale 7 ,5 10 8 2 . mSe, in posizione di equilibrio, la sferetta risulta spostata di 4,2 cm dalla verticale, verso il piano,determinare in modulo e segno la carica presente sulla sferetta.Soluzione:Il campo elettrico prodotto dal piano carico è paragonabile a quello generato da un disco di raggioinfinito.  Dato  che  sferetta  è  attratta  dal  piano  risulta  immediata  l’affermazione  che  la  carica posseduta dalla sferetta è di segno contrario alla carica distribuita sul piano.Il campo elettrico prodotto dalla distribuzione superficiale di carica è ricavato tenendo conto dellarelazione relativa al campo prodotto da un disco di raggio R: z E 1 2 R 2 z 2Se si pensa ad un disco di raggio infinitamente grande R , il secondo termine contenuto inparentesi tende ad annullarsi:Per: z R 0 2 2 R z Di conseguenza: E 1 0 2 2La sferetta, nella posizione d’equilibrio indicata dal problema, è quindi sottoposta all’azione di tre forze: La forza peso P m g diretta verticalmente verso il basso La forza elettrica attrattiva esercitata sulla carica incognita dal campo elettrico orizzontale E prodotto dalla distribuzione piana verticale La reazione del filo R inclinata rispetto alla verticale. 95
  • 92. a + Q h R y R R - x Fe q- P = m g C A R IC A S U P E R F IC IA L ELa reazione del filo è la somma di una componente orizzontale, uguale e contraria alla forzaelettrica esercitata dal piano, e di una componente verticale orientata verso l’alto uguale e contraria alla forza peso.La configurazione d’equilibrio permette di determinare le componenti: R Y R cos m g R X R sen a Fe Con: a L sen a sen L m g R cos m g m g a R X sen cos cos L 2 2 h L a cos L L m g a R X 2 2 L a Da cui si ottiene, sostituendo i valori: N 0 , 005 kg 9 , 81 0 , 042 m m g a kg 3 R X 4 10 N 2 2 2 2 L a 0 ,5 0 , 042 m La carica elettrica della sferetta è quindi determinata dalla conoscenza della forza attrattiva e del campo elettrico generato dalla distribuzione superficiale di carica: R X Fe E q 96
  • 93. R X R X 2 q E Quindi: 2 3 12 C 4 10 N 2 8 , 85 10 2 R X R X 2 N m 7 q 9 , 44 10 C E 8 C 7 ,5 10 2 m Il segno della carica q è negativo per il motivo sopra esposto.Esercizio 20:Due anelli di raggio R sono tra loro paralleli e normali ad un asse sul quale sono centrati. L’anello 1 ha una carica uniforme q 1 e  l’anello  2  ha  una  carica  uniforme  q 2 . La distanza tra gli anelli èd 3 R .Sapendo  che  il  campo  elettrico  è  nullo  in  un  punto  dell’asse  posto  a  distanza  R  dall’anello  1,  qdeterminare il rapporto 1 tra le cariche. q 2Soluzione:Il campo elettrico prodotto da un anello circolare di raggio R sul quale è distribuita uniformementeun carica q, in un punto a distanza z sull’asse di simmetria passante per il centro dell’anello, è dato dalla relazione: q z EZ 3 2 2 2 4 R z L’annullamento  del  campo  elettrico  nel  punto  indicato  dall’esercizio,  presuppone  che  le  cariche distribuite sui due anelli abbiano ugual segno. Il campo prodotto dall’anello 1 ha quindi modulo uguale al campo prodotto dall’anello 2. La relazione è così espressa: q 1 z1 E 1 2 2 4 R z 1 q 2 z2 E 2 2 2 4 R z 2 q 1 z1 q 2 z2 2 2 2 2 4 R z 1 4 R z 2 q 1 R q 2 2 R 2 2 2 2 R R R 4 R q 1 q 2 2 2 2 2 2 R R R 4 R 2 q 1 4 R 4 2 q 2 5 R 5 97
  • 94. 3R q 1 q 2 R P R 2REsercizio 21:In un punto, distante z dal centro, sull’asse centrale di un anello carico recante una carica distribuita positiva q , è posizionato un elettrone e .La velocità iniziale dell’elettrone è nulla.L’elettrone è quindi abbandonato nel campo elettrico prodotto dall’anello.Dimostrare che le forze elettrostatiche prodotte dal campo provocano un’oscillazione dell’elettrone attorno al centro dell’anello, caratterizzata da una frequenza angolare: e q 3 4 m RSoluzione:L’anello  carico  positivamente  produce  un  campo  elettrico  attrattivo  nei  confronti  dell’elettrone negativo.Tale  forza  è  il  risultato  del  prodotto  dell’intensità  del  campo  per  la  carica  elettrica  dell’elettrone, ove  il  campo  elettrico,  relativamente  all’asse  dell’anello,  è comunque sempre sovrapposto alladirezione dell’asse.D’altra  parte,  sia  analizzando  l’espressione  del  campo  elettrico  sia  prendendo  in  esame  le  basi  di partenza  per  la  determinazione  dell’espressione  stessa,  ci  si  rende  conto  che  la  forza  elettrica  è variabile  in  funzione  della  distanza  del  punto  dal  centro  dell’anello  secondo  il  valore  del  coseno dell’angolo. q z q 1 z q EZ cos 3 2 2 2 2 4 R z R 2 z 2 4 R z 2 2 2 4 R z FX Fe cosInoltre il valore del campo è nullo, per simmetria rispetto alla distribuzione circolare, quando ilpunto è collocato nel centro dell’anello, cioè per z uguale a zero: EZ 0 0 Fe 0 98
  • 95. Il campo elettrico è ancora nullo ad una distanza infinitamente grande dal centro, infatti: Per: z z z 1 2 2 z R z 1 1 z 0 2 2 2 z R R Quindi: q 1 z E Z 0 2 2 4 z R z 2 R 2Il  valore  massimo  del  campo  elettrico  si  ottiene  imponendo  l’annullamento  della  derivata  primadella funzione: 3 d z d 2 2 z z R 2 0 3 dx 2 2 dx z R 2 Ottenendo: 3 3 2 2 d d 2 2 f z z R 2 z z z R 2 dz dz 3 3 2 2 3 2 2 1 f z z R 2 1 z z R 2 2 z 2 3 3 2 2 3 2 2 1 2 f z z R 2 z R 2 2 z 2 3 5 2 2 2 2 2 f z z R 2 3 z R 2 z Per cui: 3 5 2 2 2 2 2 f z z R 2 3 z R 2 z 0 3 5 2 2 2 2 2 z R 2 3 z z R 2 2 1 3 z 2 2 2 3 2 2 2 5 z R z R 2 1 3 z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z R z R z R z R 2 2 2 2 2 z R z R 2 3 z 2 2 2 2 z R z R 2 2 2 z R 3 z 2 2 2 z 3 z R 0 2 2 2 z R 0 Equazione di secondo grado che ammette il seguente risultato: 99
  • 96. R z 2 Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica q su un anello di raggio R R sull’asse dell’anello, è dunque massimo in un punto distante z dal centro della 2 circonferenza. Il suo valore è: q R q R E Z ( MAX ) 2 3 3 2 R 2 3 2 2 4 2 R 2 4 R 2 2 1 2 2 q R q 3 R E Z ( MAX ) 3 2 3 2 6 2 R 2 2 4 R R 2 2 q R 2 q E Z ( MAX ) 3 2 2 3 2 4 R 3 R 6 3 R 2Il  campo  elettrico  e,  di  conseguenza  la  forza  elettrica  attrattiva  agente  sull’elettrone,  è  quindi Rvariabile da un valore massimo nel punto z ad un valore nullo nel punto centrale in funzione 2del coseno dell’angolo (oppure della distanza dal centro).Immaginiamo dunque di porre l’elettrone nel punto in cui il campo è massimo ed è massima anchela forza d’attrazione verso il centro.Naturalmente  si  ha  un’inversione  dei  segni  algebrici,  quando  l’elettrone,  per  effetto  dell’energia cinetica acquistata nella prima parte del movimento – ad esempio da destra verso sinistra –oltrepassa il centro.Esistono  quindi  i  presupposti  per  affermare  che  il  movimento  dell’elettrone  sottoposto  al  campo generato dall’anello non può che essere un moto armonico lungo la direzione dell’asse z.L’accelerazione  del  moto  armonico  sarà  massima  nei  punti estremi della traiettoria e potrà essereparagonata all’accelerazione costante di un moto circolare virtuale: 2 2 2 vt z 2 2 R a MAX z 2 f z z 2 Con: velocità angolare R z raggio della circonferenza virtuale e ampiezza massima del moto armonico 2 1 f Frequenza oscillazione s D’altra parte l’accelerazione variabile del moto armonico, la massa dell’elettrone e la forza  elettrica, sono legati dal secondo principio della dinamica: 2 R F e ( MAX ) m e a X ( MAX ) m e EX MAX qe 2 Per cui si ottiene: 100
  • 97. R rE M AX F M AX z = R/ 2 F M AX e E M AX q+ z z 101
  • 98. DERIVATA DI UNA GRANDEZZA SCALARE RISPETTO AD UNA DIREZIONEGRADIENTE DI UNO SCALARESi consideri ora la presenza di un campo scalare costituito da una funzione f delle coordinatex , y , z del punto che sia in grado di restituire, per ogni terna di coordinate, un particolare valoredel campo.Individuando con il simbolo U il valore numerico del campo in quel determinato punto, si potrebbeadottare la seguente simbologia: U f x, y, zNel caso in cui, per terne diverse di coordinate, la funzione f restituisse valori uguali del campo U,potremmo affermare che, l’insieme dei punti dello spazio individuati ognuno da una terna diversapotrebbe costituire una superficie di livello o equipotenziale.D’altra  parte,  come  visto  precedentemente,  una  superficie  di  livello  di  un  campo  è  proprio caratterizzata dal fatto che in tutti i punti ad essa appartenenti il valore del campo è costante.Ad esempio la superficie di una sfera di raggio r è una superficie di livello di un campo elettricoradiale caratterizzato da una funzione f: Fe 1 1 U E k Q k Q q 2 2 2 2 r x y zSupponiamo che, per una terna di coordinate ( x1 , y1 , z1 ) relative ad un punto 1, la funzione siain grado di restituire il valore U 1 del campo: U1 f x1; y1; z1E, tanto per fare un esempio, supponiamo che la funzione f sia definita dalla seguente relazione: 2 2 4 2 f x; y; z 4 x 7 y z 3E’ un tipo di funzione a tre variabili che restituisce sempre valori positivi.Per cui: 2 2 4 2 U 4 x 7 y z 3Ora, avendo anticipato che le tre variabili contenute nella funzione rappresentano le coordinate diun punto nello  spazio,  occorrerà  supporre  l’esistenza di un legame tra le coordinate in grado diindicare in modo univoco la posizione del punto.Ad esempio, per una sfera con centro nell’origine degli assi, ogni sezione con un piano parallelo al piano X-Y individuato in altezza dalla coordinata Z, è un cerchio di raggio decrescente mano amano il valore della coordinata Z si avvicina al valore del raggio r.Tutti i punti appartenenti al piano di una qualsiasi delle sezioni circolari così ottenute sono quindicaratterizzati dallo stesso valore z, ma, solo quelli situati sul perimetro del cerchio appartengonocontemporaneamente al piano e alla sfera.Potremo dire quindi che per un determinato valore di z cui corrisponde una sezione circolare diraggio R le altre coordinate X e Y dovranno soddisfare alla seguente relazione: 2 2 2 x y R 102
  • 99. Per cui le terne di coordinate che individuano punti sulla sfera saranno sicuramente del tipo: 2 2 x; y R x ;z Figura 47Tornando alla funzione supponiamo ora spostare di un breve tratto la posizione del punto 1individuando così una nuova posizione 2.Per detta nuova posizione il valore della funzione sarà U 2 non troppo dissimile da U 1 .Il piccolo spostamento potrebbe essere indicato da incrementi piccolissimi delle coordinate che,proprio in virtù del fatto di essere unidirezionali, possono esser considerati vettori paralleli agli assiprincipali.Per cui si avrà: x2 x1 i x y2 y1 j y z2 z1 k z Con: i Vettore unitario diretto secondo l’asse principale X j Vettore unitario diretto secondo l’asse principale Y z Vettore unitario diretto secondo l’asse principale Z x, y, z Incrementi numericiIl nuovo valore restituito dalla funzione f secondo le nuove variabili, sarà indicato con: U 2 f x1 x ; y1 y ; z1 zUtilizzando la funzione presa a titolo di puro esempio: 2 2 4 2 U2 4 x1 x 7 y1 y z1 z 3 103
  • 100. 2 2 2 2 4 2 2 U2 4 x1 2 x1 x x 7 y1 2 y1 y y z1 2 z1 z z 3La differenza tra il nuovo valore U2 ed il precedente valore U1 è quindi data da: 2 2 2 2 4 2 2 U2 U1 4 x1 2 x1 x x 7 y1 2 y1 y y z1 2 z1 z z 3 2 2 4 2 4 x1 7 y1 z1 3 Da cui si ottiene: 2 2 8 4 2 U 8 x1 x 4 x 14 y1 y 7 y z1 z z 3 3Se si considera poi che, per ipotesi, gli incrementi sono piccoli, allora è possibile pensaretrascurabili i rispettivi quadrati (infinitesimi di ordine superiore) e riscrivere dunque la variazione U nel modo seguente: 8 U 8 x1 x 14 y1 y z1 z 3 8D’altra  parte  i  termini  8 x 1 , 14 y1 , z1 altro non sono che le derivate prime parziali della 3funzione U f x; y; z rispetto alle relative variabili, cioè: 2 2 4 2 4 x 7 y z f 3 2 1 2 4 x 8 x1 nel punto x1 x x 2 2 4 2 4 x 7 y z f 3 2 1 2 7 y 14 y1 nel punto y1 y y 2 2 4 2 4 x 7 y z f 3 4 2 1 8 2 z y1 nel punto z1 z z 3 3Mentre gli incrementi x , y , z possono essere intesi come le componenti di un vettorespostamento indicato dalla distanza orientata la posizione del punto 1 e del punto 2: r x i y j z kLa variazione della funzione U potrà essere riscritta nel modo seguente: U U U U x y z x y z U U U U r x y zLe derivate parziali della funzione sono le componenti secondo gli assi principali di un vettoredefinito “GRADIENTE DI U” che indichiamo con “grad U”.Quindi la variazione U di una grandezza scalare U può pensarsi ottenuto come risultato di unprodotto scalare tra due vettori.Come è risaputo la caratteristica essenziale di un prodotto scalare tra vettori comunque diretti è cheil risultato non è più un vettore ma uno scalare.Quindi: 104
  • 101. U grad U rIL GRADIENTE DELLA FUNZIONE E LA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALEOra vediamo il significato del nuovo vettore “grad U”.Supponendo che il punto 1 e il punto 2 siano posizionati su una superficie del livello saràovviamente nulla la variazione della funzione U.Si avrà dunque: U 0A titolo d’esempio possiamo utilizzare la definizione di superficie di livello per un campo radiale equella di campo elettrico radiale: La superficie di livello di un campo elettrico radiale è una sfera. Su tutti i punti della sfera il campo elettrico è un vettore di modulo costante e direzione secondo la congiungente del punto al centro ove è situata la carica generatrice. La superficie della sfera e il vettore campo elettrico sono sempre perpendicolari. Considerando un piccolo spostamento sulla superficie della sfera, l’inclinazione del vettore  campo elettrico subisce una variazione trascurabile per cui la differenza vettoriale tra il campo elettrico dei due punti è anch’essa trascurabile cioè circa zero:Ma il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi di modulo diverso da zero, è nullo solo nel caso incui l’angolo formato tra i vettori sia di 90°.Ricordiamo a questo proposito la definizione di lavoro meccanico: L F S F S cos Prodotto scalare Il lavoro meccanico è nullo se la forza e lo spostamento sono perpendicolari cioè se l’angolo  formato dalle direzioni dei vettori F e S vale 90° rad . 2Ma,  d’altra  parte,  se  lo  spostamento  infinitesimo  è  stato  tale  da  mantenere  il  nuovo  punto  sulla superficie di livello, allora sicuramente il vettore r deve essere parallelo alla superficie stessa.Si giunge così alla conclusione che, relativamente alla superficie di livello o equipotenziale, ilvettore definito “gradiente di U” è sicuramente perpendicolare alla superficie di livello o, il che è lostesso, che le linee di flusso del vettore “grad U” devono essere ortogonali alla superficie di livello del campo scalare U. 105
  • 102. grad U U1 U1 r P2 P1 U1 U1 U1 U1 S u p e r f ic ie d i liv e llo U1 Figura 48 – GRADIENTE PERPENDICOLARE ALLA SUPERFICIE DI LIVELLODERIVATA DIREZIONALE DELLA FUNZIONE U RISPETTO ALLA NORMALE:Consideriamo ora il caso in cui lo spostamento tra il punto 1 e il punto 2 avviene in direzioneperpendicolare alla superficie di livello, ovvero, parallelamente alle linee di flusso del campo.In questo caso il vettore spostamento infinitesimo è perpendicolare alla superficie e può essereindicato con: r nLa conseguente variazione della funzione U è quindi data da: U grad U nAvendo stabilito precedentemente che, nel caso di una superficie di livello, il vettore grad U èparallelo  alla  normale  alla  superficie,  è  ora  evidente  che  i  due  vettori  sono  paralleli,  l’angolo formato è nullo e, di conseguenza, valore del coseno è pari all’unità.In questo caso il prodotto scalare è uguale alla semplice moltiplicazione algebrica dell’intensità dei vettori, quindi: U grad U n Da cui si ottiene: U grad U nCioè il modulo del vettore grad U rappresenta fisicamente la variazione della funzione U per unospostamento unitario nella direzione perpendicolare alla superficie di livello, ovvero, per unospostamento unitario in direzione della linea di flusso passante in quel punto. 106
  • 103. L IN E A D I F L U S S O grad U P2 n U1 U1 P1 U1 U1 U1 U1 S u p e r f ic ie d i liv e llo U1 Figura 49 – SPOSTAMENTO PARALLELO ALLA LINE DI FLUSSOIL FLUSSO DEL VETTORE CAMPO ELETTRICOSupponiamo ora di inserire nel campo elettrico, presente nella regione di spazio che ci interessa,una superficie S qualsiasi, di area infinitamente piccola A racchiusa  all’interno  di  una  linea chiusa.Potendo scegliere sia il tipo di campo elettrico che la forma della superficie decidiamo di disporreuna  superficie  piana  racchiusa  all’interno  di  un  quadrato di lato l ,  all’interno  di  un  campo elettrico E uniforme generato da due lastre cariche di segno contrario (condensatore elettrostatico).Nello spazio compreso tra le due lastre il vettore campo elettrico E , indipendentemente dal puntopreso in esame, è costante sia in modulo che in direzione.La direzione è quella perpendicolare al piano delle lastre ed il verso del vettore E è orientato dallalastra positiva a quella negativa.Pur non essendo indispensabile, possiamo immaginare che i lati della linea chiusa di forma quadratasiano costituiti da un filo sottile e rigido convenientemente piegato.Sulla mezzeria di due lati contrapposti si potrebbe immaginare la presenza di due perni sporgenti,anch’essi di filo rigido, da utilizzare dall’esterno per provocare la rotazione della superficie attornoall’asse dei perni.Considerando che la superficie quadrata di cui si parla può essere intesa solo virtualmente presente,la sua raffigurazione materiale rappresenta solo un artificio da utilizzarsi per visualizzareconcretamente le procedure che seguiranno.Supponiamo inoltre che tale superficie quadrata sia caratterizzata da uno spessore infinitesimo inmodo da poter individuare materialmente la presenza di due facce diametralmente opposte.Per esempio si potrebbe pensare, come spessore, lo stesso diametro del filo.Inoltre, su una delle due facce quadrate, dobbiamo pensare alla presenza di un vettore n , solidalecon la superficie stessa, applicato nel baricentro e ad essa perpendicolare.Il modulo del vettore n sarà  rappresentato  numericamente  dall’area  A della superficie e siintenderà, come verso positivo, quello rivolto all’esterno.Dopo aver scelto il verso positivo del vettore n è da intendersi fissato in modo univoco anche ilverso di rotazione positivo lungo il perimetro della superficie (si intende, con il termine rotazione, ilmodo di percorrere i lati del quadrato). 107
  • 104. A questo scopo è da ritenersi applicata seguente la regola “dell’uomo di AMPERE”: Con la superficie disposta su un piano orizzontale ed il vettore n rivolto in verticale verso l’alto,  un  osservatore si colloca con i piedi nel baricentro in modo da farsi idealmente attraversare, dai piedi verso la testa, dal vettore n . Per tale osservatore il verso positivo di percorrenza del perimetro della superficie è da intendersi quello antiorario. E E E E E E E E E E E E E E + - E E + - Figura 50 – CAMPO ELETTRICO UNIFORME TRA LE LASTRE L in e e d i f lu s s o E E F a c c ia n e g a t iv a P ern o E A E n= A E P ern o S ne S e n s o p o s . a n t io r . a z io r ot di se E As F a c c ia p o s it iv a E C a m p o e le t t r ic o + - Figura 51 – ELEMENTO S DI SUPERFICIE A CON NORMALE n 108
  • 105. La rotazione attorno all’asse del perno dispone l’elemento di superficie  S e il vettore normale nad esso collegato rigidamente in modo da formare un angolo con la direzione costante del campoelettrico E .Il  valore  dell’angolo  è evidentemente una funzione della velocità angolare con la qualel’elemento ruota e del tempo  t . 2 t t 2 f t rad T Con: T Periodo s 1 f Frequenza s HzDa notare che il valore dell’angolo  è quindi da intendersi espresso in radianti.Partendo da una posizione iniziale di riferimento alla quale corrisponde un valore nullo dell’angolo  con la normale n e la direzione del campo E tra loro paralleli e concordi (e  l’area  Aattraversata perpendicolarmente dal massimo numero di linee di flusso del campo) e supponendoche  l’elemento  inizi  a  ruotare  attorno  all’asse  del  perno  con  velocità  angolare  costante,  risulta evidente che  la  proiezione  dell’area  nella  direzione  perpendicolare  al  campo  subisce  variazioni rispetto alla situazione iniziale.Da  notare  che,  agli  effetti  pratici,  la  rotazione  dell’elemento  di  superficie  può  benissimo  essere sostituito con una corrispondente rotazione del dispositivo (condensatore) che genera il campoelettrico.In questo caso è il campo elettrico che ruota, mentre l’elemento di superficie è immobile.Oppure  si  potrebbe  pensare  a  mantenere  fermi  sia  l’elemento  di  superficie  sia  il  condensatore,variando, nel contempo, la quantità di carica sulle lastre e la polarizzazione.Si tratterebbe, in questo caso, di un campo elettrico a direzione costante ma, di modulo e versovariabili nel tempo.In particolar modo sono evidenti e notevoli le seguenti condizioni: L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è nullo: 0 rad La superficie è perpendicolare al campo elettrico che, quindi, l’attraversa nel verso concorde  alla normale (entra cioè nella faccia negativa ed esce dalla faccia positiva) L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 90° ( rad ): 2 rad 2 Il vettore campo elettrico è perpendicolare al vettore normale, la superficie è quindi parallela o tangente alle line di flusso. La proiezione dell’area  A nel piano perpendicolare al campo è nulla. Il numero di linee di flusso passanti attraverso la superficie è nullo. La superficie laterale di un tubo di flusso ne è l’esempio tipico, il vettore campo è sempre tangente. L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 180° ( rad ): rad Ora la superficie è nuovamente perpendicolare alla direzione del campo, ma, la normale n ha verso discorde con il vettore campo. 109
  • 106. Il numero di linee di flusso passanti attraverso la superficie è nuovamente massimo, ma le linee entrano attraverso la superficie positiva ed escono dalla superficie negativa. L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 270° ( rad ): 3 rad 2 E’ una situazione corrispondente a quella con angolo  90 . La proiezione dell’area nel piano perpendicolare al campo è nulla. Il campo non attraversa la superficie. L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 360° (2 rad ): E’ la situazione che ripete quella di partenza. L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è un angolo qualsiasi di valore compreso tra 0° e 360°, funzione della velocità angolare e del tempo: t La proiezione dell’area sul piano perpendicolare al campo dipende dall’angolo ed è definita  dalla seguente relazione: A A cos A cos t n cos E Il numero di linee che attraversano la proiezione della superficie diminuisce od aumenta in funzione dell’angolo. Inoltre dal valore dell’angolo dipende anche il tipo di faccia attraverso cui il campo entra ed  esce. E E E E n= A E E 90° A A n= A E E E E E E E E E E+ - + - F lu s s o m a s s im o p o s it iv o F lu s s o n u llo Figura 52 – VARIAZIONE DELL’ANGOLO PER ROTAZIONE DELLA SUPERFICIE 110
  • 107. E E E E n= A E E 18 0 ° 90° A n= A E A E E n= A E E E E E+ - + - F lu s s o n u llo F lu s s o m a s s im o p o s it iv o Figura 53 – VARIAZIONE DELL’ANGOLO PER ROTAZIONE DELLA SUPERFICIE ) ( s co E = n E E E n = E se n( ) n= A t E A A cos ( ) t - + F lu s s o v a r ia b ile Figura 54 – ANGOLO QUALSIASI PER ROTAZIONE DI SIn base alle considerazioni fatte, è definita una nuova grandezza fisica, di tipo scalare, ottenuta dallamoltiplicazione scalare (prodotto scalare) del vettore campo elettrico E e del vettore normale nrappresentativo sia del valore dell’area  A sia della sua inclinazione rispetto al campo. E n E A cos E A cos t 111
  • 108. Tale  grandezza  è  definita  “FLUSSO  DEL  CAMPO  ELETTRICO”  attraverso  la  superficie elementare S .Si noti come la relazione che permette di determinare il flusso del campo elettrico, potendo esserescritta in modi diversi, si presta a interpretazioni diverse: E A cos Con: A cos Area apparente della superficie S proiettata sul piano della lastra E cos A Con: E cos Componente del vettore campo perpendicolare alla superficie S oppure parallela al vettore nLe unità di misura della grandezza Flusso del campo elettrico si ricavano dalla relazione: 2 N 2 N m E A m cos C COppure,  anticipando  la  definizione  dell’unità  di  misura  della  corrente  elettrica  (Sistema Internazionale): 2 N 2 N m J m E A m cos A s A s A sMentre, con la definizione di Potenziale elettrostatico (vedere oltre), il flusso è misurato con: W J V Volt V Potenziale elettrostatico q C 2 N 2 N m J m E A m cos V m C C CStabilito che sia il valore della velocità angolare e quello del campo elettrico (suppostouniforme), allora la variazione del flusso del campo deve seguire una legge sinusoidale in funzionedella  variazione  del  coseno  dell’angolo  tenendo  comunque  conto  del  fatto  che,  in  corrispondenza dei  valori  dell’angolo  pari  a  0°  e  180°,  si  ha  il  massimo  flusso  positivo  ed  il  massimo  flussonegativo. 112
  • 109. 2 2 N m N m C C M ax M ax t (s) (ra d ) M ax M ax Figura 55 – RAPPRESENTAZIONE SINUSOIDALE DEL FLUSSOFLUSSO DI UN CAMPO ELETTRICO VARIABILE SU SUPERFICIE ESTESAINTEGRALE DI SUPERFICIESe il campo elettrico è variabile, sia in modulo che direzione, nella regione di spazio ove è collocatauna superficie S, non infinitesima, allora il flusso del campo è complessivamente dato dalla somma,estesa a tutta la superficie, dei valori assunti dal vettore campo elettrico nei baricentri delle areeinfinitesime in cui è possibile suddividere la superficie totale, moltiplicati scalarmene per i relativivettori normali alla superficie infinitesima di competenza. n n 2 1 E 2 E 1 2 1 S 2 S 1 n 3 E 4 S 3 E 3 4 n 4 S 3 S 4 Figura 56 – CAMPO E VETTORE n VARIABILI – INTEGRALE DI SUPERFICIECioè in altri termini: TOT 1 2 3 .......... ... n 113
  • 110. Con: 1 E1 n1 E1 S 1 cos 1 Per cui il flusso totale attraverso la superficie S sarà dato dalla sommatoria ovvero dall’integrale del prodotto scalare esteso a tutta la superficie S: i n TOT Ei ni E n dA i 1 SD’altra parte, supponendo di essere a conoscenza delle componenti rispetto agli assi principali di un sistema cartesiano, sia dei vari vettori campo elettrico sia dei vettori normali alle superficiinfinitesime, si potrà anche adottare la seguente forma di relazione: Ex y z Ey x z Ez x y Ex nx Ey ny Ez nz Con il seguente significato dei termini: Ex;Ey;Ez Componenti del vettore E nel punto considerato rispetto a X,Y,Z y z nx Componente n x del vettore normale, corrispondente alla proiezione della superficie elementare interessata sul piano YZ x z ny Componente n y del vettore normale, corrispondente alla proiezione della superficie elementare interessata sul piano XZ x y nz Componente n z del vettore normale, corrispondente alla proiezione della superficie elementare interessata sul piano XYPer cui il flusso totale: TOT E 1x y z 1 E 1y x z 1 E 1z x y1 .......... . Oppure con l’integrale: TOT Ex dS yz Ey dS xz Ez dS xy S yz Sxz S xy 114
  • 111. LEGGE DI GAUSSE’  una  legge  di  carattere  generale con cui è possibile determinare il flusso del vettore campoelettrico attraverso ad una superficie chiusa di forma qualsiasi contente una carica elettrica di valorenoto.La carica elettrica può essere costituita da una o più cariche puntiformi oppure da una distribuzionelineare, superficiale o volumica, uniforme o non uniforme.La superficie che si prende  in  esame  è  detta  “Superficie  GAUSSIANA” ed è, praticamentecostituita dall’area delle pareti laterali del solido virtuale contenuto al suo interno.Il solido avrà una forma qualsiasi, anche se, solitamente, si preferisce utilizzare volumi sempliciquali la sfera, il cubo, il  cilindro,  caratterizzati  dalla  possibilità  di  determinare  facilmente  l’area delle pareti laterali che li racchiudono e dalla presenza di assi di simmetria.Se, ad esempio, si prendesse in esame il volume di una patata, allora la “superficie  Gaussiana” sarebbe rappresentata dal sottile strato esterno che la riveste.Allo scopo di semplificare al massimo le argomentazioni che conducono alla Legge di Gauss,occorre prendere inizialmente in esame il caso più semplice di campo elettrico e superficieGaussiana  e  cioè  il  campo  elettrico  radiale  generato  da  un’unica  carica  puntiforme,  ad  esempio positiva, unitamente ad una superficie sferica di raggio R il cui centro è collocato esattamente nelbaricentro della carica puntiforme.CAMPO RADIALE E SFERA GAUSSIANA CON CENTRI COINCIDENTIIn ogni punto appartenente alla superficie sferica, il modulo del vettore campo elettrico generatodalla carica puntiforme ha lo stesso valore.Esso è determinato dal rapporto tra la forza elettrica F e generata dal campo radiale su una caricaesploratrice q posizionata in un punto della superficie sferica ed il valore dalla stessa caricaesploratrice: Q q Fe 4 R 2 E q q Q 1 N V E 2 4 R C mSupponendo di suddividere la superficie sferica in un numero elevatissimo di elementi superficialidi area S , nel baricentro di ognuno dei quali passa la retta direttrice del campo elettrico, risultaabbastanza evidente (per definizione di campo radiale e superficie sferica) affermare che il vettorecampo elettrico E e la perpendicolare n alla  superficie  dell’elemento  S , sono paralleli, anzisovrapposti.Inoltre, dato che il campo è generato da una carica puntiforme positiva, i vettori E ed n hanno lostesso verso. 115
  • 112. y S E E S Q x n z Figura 57 – FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO RADIALE ATTRAVERSO UNA SFERACon questi presupposti, il flusso del campo elettrico E attraverso la superficie sferica di riferimentodi raggio R è quindi un integrale di superficie esteso a tutti gli elementi infinitesimi costituentisuperficie della sfera.Ragionando in termini di sommatoria di elementi piccolissimi ma finiti si ottiene, per il flusso totaleuscente dalla superficie sferica, la seguente relazione: 1 2 3 .......... ..... n Con: 1 ........ n Ei ni E S i cos E S i Con: N E Modulo costante del vettore campo elettrico per tutti gli elementi C n Normale ad ogni elemento sempre parallela al vettore E in quel punto n S Modulo del vettore n pari al valore della superficie dell’elemento m 2 0 Per vettori paralleli e concordi cos 1 Per cui: E S1 E S2 ....... E Sn E S1 S2 ....... Sn Q S1 S2 ....... Sn 2 4 R 116
  • 113. D’altra  parte,  la  sommatoria  di tutti gli elementi finiti di superficie deve essere necessariamente uguale alla superficie complessiva della sfera, che, come risaputo, dipende dal raggio R in base alla relazione: S1 S2 ....... Sn 4 R 2 Superficie totale sfera di raggio R Quindi, alla fine, indipendentemente dalla grandezza della sfera considerata, il flusso uscente del campo elettrico è uguale a: Q 2 Q 4 R 2 4 R Q LEGGE DI GAUSS Con: Q Valore della sola carica interna alla superficie gaussiana La relazione tra il flusso uscente, il valore della carica interna e la costante dielettrica assoluta del materiale in cui si manifesta il campo rappresenta la “LEGGE DI GAUSS”. J C N 2 m 2 J m m m V m 2 C C C C 2 N m Da notare che: Il valore numerico del flusso uscente è quindi indipendente dalle dimensioni della superficie sferica presa come riferimento in quanto per superfici di raggio maggiore corrisponde un decremento del campo (e viceversa). Come si vedrà di seguito, il valore del flusso uscente è anche indipendente dalla forma della superficie gaussiana che si considera e dalla posizione della carica generatrice del campo. Se si pensa alla proprietà additiva del flusso elettrico in quanto grandezza scalare e se le cariche contenute nella  superficie  sono  più  d’una,  si  ottiene  la  generalizzazione  della  LEGGE DI GAUSS: Q1 Q2 Q N Q T 1 2 ... N .....CAMPO RADIALE E SFERA GAUSSIANA CON CENTRI NON COINCIDENTISi intende ora dimostrare che, anche nel caso di un campo radiale generato da una sola carica e diuna superficie gaussiana sferica con centro non coincidente con la posizione della carica, continuaad essere valida la LEGGE DI GAUSS come prima esposta. 117
  • 114. y r E2 S 2 cos ( 1) r x 1 n2 Q S2 1 r 1 S1 S 1 cos ( 1) E1 1 n1 R2 R1 Figura 58 – SUPERFICIE GAUSSIANA SFERICA SCENTRATALa carica Q generatrice è interna alla superficie gaussiana di raggio r ma spostata rispetto al centrodella sfera.Allo scopo di semplificare la dimostrazione si riduce la sfera ad una circonferenza nel piano x-y.I tratti di circonferenza contrassegnati con S 1 e S 2 sono in realtà delle superfici inclinaterispetto alle direzioni dei tre assi principali.I vettori n 1 ed n 2 , perpendicolari alle rispettive superfici, sono ovviamente paralleli al raggio dellacirconferenza passante per i baricentri delle superfici stesse.Anche in questo caso si immagina si suddividere la sfera in un numero elevatissimo di elementisuperficiali di area S attraverso i cui baricentri passano sia la retta direttrice del vettore campoelettrico sia la direzione della semiretta condotta dal centro della circonferenza.Considerando il fatto che la carica non è posta nel centro, si conclude immediatamente che, per ognielemento superficiale di sfera, il vettore E ed il relativo vettore n sono ora inclinati, l’uno rispettoall’altro, di angoli sempre diversi dall’angolo nullo. 118
  • 115. 1 r 1 S1 S 1 cos ( 1) E1 1 n1 Figura 59 – PARTICOLARE DEL VETTORE CAMPO E DEL VETTORE NORMALEIl flusso complessivamente uscente dalla superficie sferica gaussiana è ancora dato dallasommatoria, estesa a tutti gli elementi superficiali di area S , dei flussi relativi ad ogni singoloelemento.Occorre però, diversamente dal caso precedente, tenere conto delle diverse inclinazioni.Per cui: 1 2 3 .......... ..... n Con: 1 E1 n1 E1 S 1 cos 1 E 1 S R1 Con: E 1 Modulo (sempre variabile) del vettore campo elettrico per tutti gli elementi n 1 Normale ad ogni elemento. Sempre parallela alla direzione del raggio della sfera e orientata verso l’eterno. S 1 Area dell’elemento superficiale di sfera 1 Angolo formato dal vettore campo col vettore normale n S R1 S 1 cos 1 Area della superficie proiettata sul piano perpendicolare alla direzione della distanza r Per cui: E 1 S 1 cos 1 E2 S2 cos 2 ........ En Sn cos n 119
  • 116. Q Q S 1 cos 1 ........ Sn cos n 2 2 4 r1 4 rn Q S 1 cos 1 S2 cos 2 S2 cos n .......... 2 2 2 4 r1 r2 rnOccorre adesso definire il concetto di angolo solido .Si intende, per “angolo solido”, la parte di spazio contenuta in un cono che, con vertice nel centro di una sfera di raggio r, intercetta sulla sfera stessa una calotta di superficie S.L’unità di misura dell’angolo solido è definita “STERADIANTE” ed è così definita:DEFINIZIONE DELLO STERADIANTE – UNITA’ DI MISURA DELL’ANGOLO SOLIDO L’angolo  solido  contenuto in un cono che intercetta su una sfera di raggio R una calotta avente una superficie S uguale a R 2 , ha un valore di 1 Steradiante. 2 S = R R 1 strd Figura 60 – ANGOLO SOLIDO – STERADIANTE Tenendo  conto  della  definizione  dell’unità  di  misura  dell’angolo  solido  e  del  fatto  che  la  superficie di una sfera è data da: 2 S 4 R Il numero di steradianti contenuti complessivamente nello spazio è dato da: 2 S 4 R 4 strd 2 2 R R Inoltre, supponendo di conoscere la superficie intercettata da un certo angolo solido contenuto  in  un  cono  di  raggio  r,  è  possibile  determinare  il  valore  dell’angolo  dal rapporto: 120
  • 117. S 2 r A titolo d’esempio si determina il valore dell’angolo solido contenuto in un cono di raggio 3 m se la superficie intercettata è pari S . 2 r 30 cm 2 2 4 m 30 cm 10 2 cm 4 3 , 33 10 strd 2 2 3 mTornado ora sul calcolo del flusso, è possibile notare che esso è formato da un fattore comunecostante e da una sommatoria di rapporti tra aree e relativi quadrati delle distanze dalla caricageneratrice: Q S 1 cos 1 S2 cos 2 S2 cos n .......... 2 2 2 4 r1 r2 rn Con: Q Fattore costante 4 S i cos 2 ì Fattori variabili ri D’altra parte i  fattori  variabili  rappresentano proprio  l’angolo  solido sotto il quale le varie  superfici S sono viste dalla carica generatrice Q: S i cos S r ì strd 2 2 ri rnPer cui, se la superficie gaussiana è chiusa, la somma estesa a tutti gli angoli solidi relativi ad ognielemento superficiale, non può che essere pari all’angolo solido che sottende la superficie completa della sfera, cioè: S 1 cos 1 S2 cos 2 S2 cos n .......... 1 2 ..... n 4 strd 2 2 2 r1 r2 rnSi conclude quindi che il flusso complessivamente uscente dalla superficie è pari a: Q S 1 cos 1 S2 cos 2 S2 cos n .......... 2 2 2 4 r1 r2 rn Q Q Q 1 2 .......... n 4 LEGGE DI GAUSS 4 4 Con: Q Valore della sola carica interna alla superficie gaussianaTale risultato è perfettamente coincidente con il caso precedente ed è quindi dimostrato che, anchenel caso in cui la carica generatrice sia posizionata in un luogo diverso dal centro della sfera laLEGGE DI GAUSS continua ad essere valida.E’ inoltre possibile concludere con alcune importanti osservazioni: 121
  • 118. La dimostrazione precedente procede e si conclude in modo perfettamente analogo anchenel caso in cui la superficie gaussiana abbia una forma regolare qualsiasi (ad esempio uncilindro, un cubo, un ellissoide o quant’altro) o un forma irregolare (ad esempio la forma diuna patata).Una  qualsiasi  superficie  chiusa  è  vista  da  un  punto  qualsiasi  situato  all’interno  sotto  un angolo solido pari a 4 strdAnche nel caso di una superficie gaussiana regolare o irregolare diversa dalla sfera e dicariche interne comunque posizionate, vale il principio additivo del flusso del campoelettrico: QCon: Q Somma dei valori delle sole cariche (ognuna con il proprio segno) interne alla superficie gaussianaSe le cariche generatrici del campo sono esterne alla superficie gaussiana il flusso uscentedalla superficie è uguale al flusso entrante e, di conseguenza, è nullo il loro bilancio.La legge di Gauss è valida anche nel caso in cui le cariche interne siano di tipo distribuito(lineari, superficiali o volumiche) Q L S V Con: C Distribuzione lineare m C Distribuzione superficiale 2 m C Distribuzione volumica 3 m S U P . Q U A L S IA S I Q 2 SFERA C IL IN D R O E L L IS S O ID E Q 3 Q Q Q 1 Q 2 2 1 Q 2 Q 1 Q Q 3 Q 4 1 Q Q 3 Q Q Q 4 4 1 2 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 1 Q 3 Q 4Figura 61 – LEGGE DI GAUSS APPLICATA A SUPERFICI GAUSSIANE QUALSIASI 122
  • 119. LEGGE DI GAUSS – CASO DI SIMMETRIA CILINDRICA – DENSITA’ LINEARESi tratta di determinare il valore del campo elettrico prodotto da una distribuzione lineare di caricasu un filamento rettilineo in un punto ad una determinata distanza z , misurata perpendicolarmenteall’asse del filamento stesso.Il filamento è considerato infinitamente esteso. CLa distribuzione lineare di carica è indicata con il simbolo ed è misurata in . mIn virtù della simmetria verticale delle cariche sul filamento, come già visto con il metodo diintegrazione, in un punto qualsiasi dello spazio circostante si annullano le componenti del campoparallele al filo ed il campo elettrico risultante non può che essere diretto radicalmente ed avereintensità costante sulle circonferenze concentriche centrate sull’asse. + s Q E 3 E 1 r E 2 s E 2y F IL O C A R IC O + R q E 2 E 1x A F IL O E E 1 E 1y 1 s E 3 r s + r1 r2 Q r3 Figura 62 – DISTRIBUZIONE LINEARE DI CARICASe si utilizza la Legge di Gauss e la definizione di flusso del campo elettrico considerando comesuperficie chiusa un cilindro di  raggio  r ed altezza H con l’asse coincidente con l’asse del  filo,  siottengono i seguenti risultati: Q H Legge di Gauss E r S r E r 2 r H Definizione di flusso del campo Il campo elettrico fluisce perpendicolarmente alla superficie laterale del cilindro ed il flusso attraverso le due basi del cilindro è nullo in quanto il campo è parallelo d esse. Combinando le due relazioni: H E r 2 r H Si ottiene il valore del modulo del campo alla distanza r dall’asse: H E r 2 r H 2 r Dimensionalmente: 123
  • 120. C J m N m J E r m V m 2 C C C C 2 r m 2 N m + s Q E 3 E 1 r E 2 s E 2y H F IL O C A R IC O R q + E 2 E 1x A F IL O E E 1 E 1y 1 s E 3 r s + r1 r2 Q r3 Figura 63 – SUPERFICIE GAUSSIANA CILINDRICALEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA PIANA – DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI CARICAPer la determinazione del campo elettrico generato da una distribuzione di carica posta sullasuperficie di una lamina piana infinitamente estesa (si tratta anche del caso limite di un discocircolare di raggio infinitamente grande già trattato con il metodo d’integrazione) è possibile ancora utilizzare la legge di Gauss e la definizione di flusso del campo.Si ottiene in questo modo una notevole semplificazione dei calcoli rispetto al metodod’integrazione.Si prendono in esame i due casi più rilevanti: 1. Carica distribuita su una sola lamina piana 2. Carica distribuita su due lamine piane, parallele e molto ravvicinate UNA SOLA LAMINA PIANA SOTTILE ED ISOLANTE: La carica Q è distribuita su una lamina piana infinita e si suppone di conoscere il valore della densità di carica superficiale . Anche in questo caso, per ragioni di simmetria, sono nulle le componenti del campo elettrico parallele al piano della lamina. Il campo elettrico è quindi formato da linee di flusso perpendicolari al piano carico considerato ed è quindi conveniente utilizzare, come superficie gaussiana, un cilindro che interseca il piano stesso e il cui asse di simmetria è parallelo alle linee di forza. In questo modo il flusso del campo attraverso le pareti laterali del cilindro risulta nullo, mentre, 2 è massimo attraverso le due basi di area A r : 2 E S E 2 r 124
  • 121. Utilizzando la legge di Gauss e tenendo presente che la carica interna al cilindro gaussiano è collocata sulla sezione di piano intersecata dal cilindro di raggio r, si ottiene: 2 Q r Combinando le due relazioni si ricava il valore del campo in un punto prossimo al piano: 2 r 2 E 2 r E 2 + + + + + + C ilin d r o g a u s s ia n o + + r + + A s s e s im m . + + r + + E + E + C a r ic a in t e r n a + + + + Figura 64 – LAMINA PIANA INFINITADUE LASTRE PIANE - SOTTILI E CONDUTTRICI:Si supponga ora di caricare elettricamente una lastra sottile di materiale conduttore con la stessacarica fornita nel caso precedente alla lamina di materiale isolante.Si può pensare che tale carica si distribuisca immediatamente ed in modo uniforme sulle duefacce della lastra dando luogo ad una densità di carica su ogni faccia pari alla metà della densitàdi carica precedente: 1 Densità di carica relativa ad una faccia della lastra 2Il campo elettrico contenuto nello spessore della lastra deve essere necessariamente nullo inquanto risultante della somma dei due campi prodotti dalle cariche sulle superfici esterne.Inoltre è possibile pensare al fatto che, se non fosse nullo, eserciterebbe forze elettrostatichesugli  elettroni  di  conduzione  interni  costringendoli  a  muoversi  all’interno  del  conduttoremodificando le densità di carica originali.Si potrebbe ancora utilizzare la legge di Gauss e una superficie di riferimento cilindrica conl’asse perpendicolare al piano della lastra, una base esterna alla lastra e l’altra interna contenuta nello spessore della lastra.Ovviamente tale ipotesi è applicabile in modo simmetrico per le due facce della lastra.Ancora ragioni di simmetria ci permettono di ipotizzare la presenza di vettori campo elettricocostituiti dalla sola componente perpendicolare ai piani. 125
  • 122. Applicando la legge di Gauss ai due cilindri, simmetrici rispetto allo spessore della lastra etenendo  conto  dell’assenza  di  cariche  interne  al  materiale,  si  otterrà,  per  entrambe  le  facce,  il valore del campo elettrico: 2 Q 1 r 2 E r 1 E 2 + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + C a r ic a in t e r n a + + C a r ic a in t e r n a C a r ic a in t e r n a C a r ic a in t e r n a + + + + + + + + + + + + E + + E E + + E + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + C ilin d r o g a u s s ia n o C ilin d r o g a u s s ia n o C ilin d r o g a u s s ia n o + + + + + + + + + + + + 1 + 1 + + + + + + + + + Figura 65 – LASTRA PIANA DI MATERIALE CONDUTTORENulla cambierebbe nel caso si decidesse di adottare un unico cilindro gaussiano contenenteentrambe le cariche superficiali, infatti: 2 2 Q 1 r 1 r 2 E 2 r 1 E 2Se  ora,  di  fronte  alla  lastra  caricata  positivamente  si  suppone  di  porne  un’altra  uguale  ma caricata negativamente e con la stessa densità,  risulta  evidente  che,  per  effetto  dell’attrazionecoulombiana tra le cariche opposte, si manifesta un’azione in grado di provocarne la migrazionesulle facce più ravvicinate.In altre parole, le cariche situate sulle facce esterne si trasferiscono sulle rispettive facce interneraddoppiando la densità di carica.Le due lastre ravvicinate hanno quindi la capacità di “condensare” le cariche presenti in origine su quattro facce solo su due.Le due lastre parallele e ravvicinate sono dunque dei “condensatori” di carica.Tornando al problema della determinazione del campo elettrico, si ha dunque una situazionediversa dalla precedente.Collocando un cilindro gaussiano tra le due lastre senza che esso le intersechi, risulta nulla lacarica interna ed è, di conseguenza, nullo anche il flusso del campo.Ciò significa che il flusso entrante ed il flusso uscente dalle basi del cilindro sono uguali ed èquindi il campo E tra le lastre deve essere uniforme. 126
  • 123. Il campo prodotto dalla lastra positiva in un punto tra le lastre e quello prodotto dalla lastranegativa nello stesso punto devono essere uguali.Se infatti si utilizzano due cilindri gaussiani contenente ognuno le sole cariche della relativalastra, si ottiene: 2 Q r 2 E 2 r E 1 2 2 Q r 2 E 2 r E 1 2 E E1 E2Per il campo elettrico risultate tra le lastre, oltre ad essere uniforme per il motivo prima esposto,ha un valore pari al doppio di quello generato da una sola lastra: E Campo elettrico tra le lastre + - + - + - - - + - + + - + - - + - - + - + - + C a r ic a in t e r n a - + C a r ic a in t e r n a - + - - + - - + - + Q=0 - + - - + E E - + - + - - + - + - + - - + - + - - + - + - + C ilin d r o g a u s s ia n o - - + - + - + - - + - + - - - + - + - + - + - - - Figura 66 – FLUSSO ENTRANTE UGUALE FLUSSO USCENTE - CAMPO UNIFORME 127
  • 124. + - + - + - E 1 + E 2 - - + - + E + - + - - + - - + - + - + C a r ic a in t e r n a - + C a r ic a in t e r n a - + - - + - - + - + - + - - + E 1 - + - + - - + - + - + - - + - + - - + - + - + C ilin d r o g a u s s ia n o C ilin d r o g a u s s ia n o - - + - + - + - E 1+ E 2 - - + - + - - + - + E - + - + - - - Figura 67 – CAMPO TRA LE LASTRE PARI AL DOPPIO DELLA LASTRA SINGOLAInfine, per quanto riguarda lo spazio esterno alle lastre, applicando ancora la legge di Gauss allasuperficie di un cilindro gaussiana che taglia le due lastre e contiene sia la carica positiva chenegativa, si possono trarre le seguenti conclusioni: il flusso del campo attraverso il cilindro è nullo in quanto la somma delle cariche positive e negative contenute in esso è pari a zero. Il  campo  generato  dalle  cariche all’interno delle  lastre non attraversa alcuna superficie del  cilindro in quanto parallelo alle superfici laterali e per il fatto di essere limitato alle facce interne del sistema. Il campo elettrico generato dalla carica positiva nelle regioni di spazio a destra e sinistra delle facce esterne del sistema è uguale e contrario a quello generato, nelle stesse regioni di spazio, dalla carica negativa. Il flusso attraverso il cilindro è quindi nullo non perché somma di uguali flussi positive e negativi (entranti ed uscenti) ma per annullamento del campo elettrico. Le regioni di spazio esterne alle lastre sono quindi prive di campo elettrico 128
  • 125. + - + - + - - - + - + + - + - - + - - + - + - + C a r ic a in t e r n a - + C a r ic a in t e r n a - + - - + - - + - + - - + + - E E + E - E E - + - + - + - - + - + - + - - + E E + - - - E E + + - - + - + - + C ilin d r o g a u s s ia n o C ilin d r o g a u s s ia n o - - + - + - + - - + - + - - - + - + E - + - + - - -LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA SFERICA – STRATO SFERICO DI CARICAUna distribuzione di cariche, uniforme su uno strato sferico, genera un campo elettrico che ha leseguenti proprietà: Le particelle caricate elettricamente e poste esternamente allo strato sferico sono attratte o respinte come se tutta la carica contenuta nello strato fosse concentrata nel centro dello stesso. Uno strato sferico si comporta dunque, nei confronti di altre cariche esterne, come se fosse una carica puntiforme. Lo strato sferico carico uniformemente non esercita alcuna forza elettrostatica su particelle cariche poste al suo interno. Il campo elettrico interno allo strato è dunque nullo.Si suppone quindi di prendere in esame uno strato sferico, di raggio R e di spessore s trascurabile, incui è distribuita uniformemente la carica Q.La densità di carica superficiale è data dal rapporto tra la carica totale e la superficie della sfera: Q Q 2 S 4 RSi utilizza ora la legge di Gauss applicata alle due superfici sferiche virtuali e concentriche aventiraggio rispettivamente maggiore o minore di R. 129
  • 126. S1 R Q r S1 r Figura 68 – STRATO SFERICO E SUPERFICI GAUSSIANE SFERICHE CONCENTRICHEPer quanto riguarda la superficie gaussiana sferica di raggio minore del raggio dello strato,l’applicazione della legge di Gauss ci consente di stabilire immediatamente che il campo elettrico nei punti appartenenti alla superficie S 1 deve essere nullo.Infatti sono nulle le cariche contenute all’interno, di conseguenza è nullo il flusso e se, per ipotesi, si considerasse non nullo il campo, allora, vista la simmetria del problema, risulterebbe non nullo ilflusso.Essendo  falsa  l’ipotesi  si  dovrà  concludere  che  per  avere  flusso  nullo  dovrà  sicuramente  essere nullo il campo.Caso 1: r R Q INTERNA 0 Q INTERNA 1 0 Ipotesi: E 0 Tesi: 1 0 In contrasto con la legge di Gauss Conclusione: 1 0 solo per E 0Per quanto riguarda la superficie gaussiana avente raggio maggiore dello strato, applicandonuovamente la legge di Gauss, otteniamo il seguente risultato: Caso 1: r R Q INTERNA Q Q INTERNA Q 1 E, di conseguenza, il campo elettrico sarà: 130
  • 127. Q E S2 Q E 2 4 r Cioè, in conclusione, il campo elettrico generato alla distanza r da uno strato di raggio R r R è pari a quello generato, alla stessa distanza, da una carica puntiforme di valore uguale a quella contenuta nello strato.LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA SFERICA – VOLUME SFERICO DI CARICALa carica elettrica potrebbe anche essere distribuita con densità volumica all’interno di una sfera diraggio R.Si potrebbe pensare di suddividere la sfera in un numero elevatissimo di strati sferici (come gli stratidi una cipolla) ad ognuno dei quali non sarebbe sbagliato applicare i risultati visti precedentemente.La quantità di carica presente su ogni strato sarà considerata di tipo superficiale uniformementedistribuita (come nel caso precedente), mentre, non è indispensabile che ogni strato siacaratterizzato dalla stessa densità .Vale a dire che, per una distribuzione di carica continua entro un volume sferico, la densità puòvariare può essere variabile ma solo in funzione della distanza dello strato dal centro.Ciò vuol anche dire che la densità volumica relativa alla distribuzione sferica complessiva non ècostante Q 5 Q 4 S2 S2 1 Q1 S1 S1 Q2 r r Q3 Figura 69 – CARICA VOLUMICA SFERICAPer punti esterni alla distribuzione, applicando la legge di Gauss, vale quanto detto a proposito dellostrato sferico: Il campo elettrico esterno è uguale a quello generato, alla stessa distanza, da una carica puntiforme di valore pari alla somma di tutte le cariche presenti nella distribuzione sferica. Per r R : 131
  • 128. q 2 E S2 E 4 r Da cui: Q E 2 4 r Con: Q Q1 Q2 ..... Q n 1 s1 2 s2 ....... n snPer punti interni alla distribuzione sferica, quindi interni alla superficie S1 , si può fare il seguenteragionamento: Le cariche esterne a tale superficie non generano alcun campo elettrico sulla superficie stessa Le cariche interne generano un campo elettrico uguale a quello che produrrebbe, nello stesso punto, una carica puntiforme di valore uguale alla loro somma.Quindi, per un punto interno alla distribuzione volumica, si avrà un campo di valore pari a: Q INT E 2 4 r Ove la sommatoria deve essere estesa alle sole cariche contenute nella superficie interna.TEOREMA DI COULOMB – DENSITA’ SUPERFICIALE E CAMPO ELETTRICOIl teorema di Coulomb è derivato dall’applicazione della legge di Gauss e permette di determinare ilvalore del campo elettrico prodotto sulla superficie di un conduttore elettricamente carico.Occorre innanzi tutto definire le modalità con cui la carica elettrica si dispone in un conduttore diforma qualsiasi.A questo proposito è logico supporre che, durante il processo di trasferimento delle caricheelettriche – ad esempio negative – al conduttore inizialmente neutro, queste ultime, causa larepulsione reciproca, siano obbligate a posizionarsi nei punti estremi del conduttore stesso cioè, inaltre parole, sul sottilissimo strato che costituisce la superficie esterna.Il trasferimento ed il riposizionamento degli elettroni avviene in tempi rapidissimi e, al termine delprocesso di carica, possiamo facilmente immaginare una situazione elettrostatica consolidata senzaulteriori movimenti delle cariche superficiali.Questa semplice ipotesi ci permette di escludere, nella fase stazionaria successiva al processo dicarica, anche il movimento traslatorio degli elettroni sulla superficie e di giungere alla seguenteconclusione: Le cariche elettriche si dispongono sulla superficie del conduttore e sono assoggettate ad una forza elettrica necessariamente perpendicolare alla superficie nel punto considerato. Di conseguenza saranno sottoposte all’azione  di  un  campo  elettrico  di  superficie  orientato  anch’esso secondo la perpendicolare.D’altra  parte  questa  prima  conclusione  ci  permette  di  affermare,  in  base  a  quanto  già  illustrato  a proposito dei campi elettrici, che: Se in ogni punto della superficie il campo elettrico è perpendicolare, il contorno della superficie stessa – considerata bidimensionale o tridimensionale – deve necessariamente essere una superficie equipotenziale. 132
  • 129. La legge di Gauss applicata allo strato superficiale carico ci permette inoltre di concludere che: All’interno  del  conduttore  il campo elettrico è nullo. Se così non fosse esso eserciterebbe forze elettrostatiche sulle cariche libere costringendole a muoversi e variando così la fase stazionaria ipotizzata.Stabilito che la carica si distribuisce solo sulla superficie esterna del conduttore e che, all’interno, il campo elettrico è nullo, occorre valutare se la densità superficiale conseguente sia o meno uniformesulla superficie stessa.Nel caso di conduttori sferici, ragioni di simmetria ci conducono ad affermare che non esiste alcunmotivo che comporti l’esistenza di parti di superficie con densità diversa.In altre parole, su una superficie sferica le cariche si distribuiscono in modo regolare ed uniformedando luogo ad una densità di carica pari al rapporto tra la carica complessiva e la superficie dellasfera.Per cui – solo per una sfera – si ha: Q 2 4 rPer superfici qualsiasi – solitamente caratterizzate da contorni curvi senza discontinuità e conraggio di curvatura variabile – stabilita che sia la quantità di carica complessivamente presente, ladensità superficiale di carica è inversamente proporzionale al raggio di curvatura.Sulle superfici a curvatura minore si ha una concentrazione e una densità maggiore e viceversa.Nei punti ove la curvatura presenta discontinuità – cuspidi o zone appuntite – si nota un aumentocosì elevato della densità tale da provocare fenomeni di espulsione e/o polarizzazione dellemolecole d’aria circostanti la zona.Nelle stesse zone il campo elettrico tende a valori elevatissimi. = V a r ia b ile E = V a r ia b ile C o sta n te 2 E2 -- - - - - -- -- E C o sta n te - - - E - - - - - - - - - - E3 - - -- - - - - - E4 - - - 3 - C - - 4 - - - - - - - - - E - - - - - - - - - - - - - - ------ - - - - - - - P u n ta - - - - - E 1 5 E 1 ( M A X .) Figura 70 – DENSITA’ COSTANTE E VARIABILE – SUPERFICI APPUNTITE 133
  • 130. TEOREMA DI COULOMBDopo aver stabilito qualitativamente la variazione della densità superficiale di carica in base alraggio di curvatura di una superficie qualsiasi, ci si propone di determinare quantitativamente ilvalore del campo elettrico in una qualsiasi zona della superficie del conduttore ove è conosciuta ladensità superficiale.A tale scopo è impiegata la legge di Gauss ad una superficie cilindrica con asse perpendicolare allasuperficie nel punto considerato.Il cilindro, di raggio piccolissimo, interseca e taglia la superficie in modo tale da rimanerne in parteall’esterno ed in parte all’interno.Le cariche contenute nel cilindro sono collocate sulla superficie circolare intersecata in quel punto.Il valore della carica interna dipende ovviamente dalla densità superficiale in quel punto cosicchéper le zone ad ampio raggio di curvatura si avranno meno cariche rispetto a zone più curvate. 2 ++ E2 ++ +++ + + + + + C ilin d r i g a u s s ia n i E3 + E4 + + + E3 + + + 2r + + + 3 + S + + 4 + + + + + 3 + + + + + +++ P A R T IC O L A R E ++ + + + ++ + P u n ta + + ++ + 1 5 E 1 ( M A X .) Figura 71 – CILINDRO GAUSSIANO INFINITESIMO SUPERFICIALEApplicando quindi la legge di Gauss al cilindro - tenendo conto che il campo elettrico interno ènullo e quello superficiale è parallelo alle pareti laterali del cilindro - si ottiene: 2 2 r E r Con: r Raggio del cilindro infinitesimo e della superficie circolare intersecata Da cui si ricava il valore del campo elettrico superficiale nel punto considerato: E TEOREMA DI COULOMB 134
  • 131. FLUSSO USCENTE DA UNA SUPERFICIE CHIUSADIVERGENZA DEL CAMPO ELETTRICOLEGGE DI GAUSS IN FORMA DIFFERENZIALESe la superficie è chiusa e racchiude al suo interno una parte del volume dello spazio ove è presenteil campo elettrico, l’area attraversata dal vettore campo è costituita dalle pareti laterali della figura geometrica tridimensionale.Si può trattare di una sfera, un cilindro, un cono oppure una figura qualsiasi.Anche in questo caso si inizia a trattare il caso in cui la superficie sia di tipo elementare,caratterizzata cioè, da dimensioni spaziali infinitesime.Si può trattare, ad esempio, di un parallelepipedo o, ancor meglio, di un cubo le cui pareti lateralisono uguali, parallele a due a due e disposte secondo direzioni perpendicolari che possono quindicoincidere con gli assi principali del sistema di riferimento tridimensionale.Si consideri, per l’appunto, un cubo inserito nel sistema di riferimento cartesiano in modo tale daavere i lati x , y , z paralleli agli assi cartesiani X,Y,Z.La superficie esterna del cubo sarà quindi costituita da sei superfici quadrate, a due a due parallele,rispettivamente di area x y; x z; y z le cui normali (perpendicolari) coincidonorispettivamente con le direzioni dell’asse Z, dell’asse Y e dell’asse X.Anche in questo caso occorre immaginare che, ad ognuna di esse, sia possibile associare un vettoreperpendicolare n di  modulo  uguale  all’area  e  con  verso  orientato  dall’interno  all’esterno  del volume.Nel complesso le superfici laterali quadrate saranno quindi caratterizzate da sei vettori n diretti, adue a due, parallelamente agli assi principali e di verso discorde.Il senso positivo di percorrenza del perimetro di ogni superficie è stabilito dalla regola “dell’uomo di Ampere”: guardando le facce della superficie dall’esterno del volume in modo che ogni vettore  n sia  rivolto  verso  lo  sguardo  dell’osservatore,  è  stabilito  positivo  il  verso  di  percorrenza  del perimetro osservato quello con senso antiorario.Il campo elettrico E può essere uniforme o variabile e diretto secondo una direzione qualsiasiindividuabile dagli angoli formati dalle sue componenti principali E X ; E Y ; E Z con i rispettivi pianidi riferimento YZ, XZ e XY.Tali inclinazioni sono definiti “coseni direttori”. 135
  • 132. Z n* Z X Z nY Y n X Z n* X X n* Y n Z Y X Y Figura 72 – SUPERFICIE CUBICA INFINITESIMA PO M CA Z EL D E IC TR ET IR D E XZ E Z E YZ E Z E Z E E X E X E E X Y Y E X E Y E PO XY M CA EL Y D E IC TR ET IR D Figura 73 – VETTORE E E SUOI COMPONENTI NELLO SPAZIODopo aver definito la posizione e le caratteristiche geometriche e vettoriali della superficie cubica equelle del vettore campo elettrico, occorre ancora generalizzare, supponendo che la retta direttrice, 136
  • 133. il modulo ed il verso del vettore campo E possano subire variazioni passando da un punto ad unaltro dello spazio.Ciò significa che vettore campo elettrico nel baricentro di una faccia del cubo, potrebbe esserediverso da quello presente sulla faccia diametralmente opposta.Questo fatto non costituisce un reale problema se siamo in grado di determinare le componenti E X ; E Y ; E Z del vettore in un punto qualsiasi della regione che ci interessa, per esempio, nei duebaricentri delle superfici y z caratterizzate dalle coordinate X e X I .Ciò vale naturalmente anche per le altre quattro facce.Se si considera, per l’appunto, le componenti parallele a X del campo elettrico, si può semplificare la spiegazione limitando l’osservazione degli accadimenti, guardando dall’alto, cioè parallelamenteall’asse Z, quello che succede nel piano orizzontale XY. x x I x X I E x E x I y nx x y nx E x E I x Y Figura 74 – COMPONENTE VARIABILE E X DEL CAMPO ELETTRICOCon queste considerazioni iniziali si tratta di determinare il flusso della componente E X del campoelettrico uscente dalla superficie S, ove si considera per superficie S, l’insieme delle due facce del cubo caratterizzate dai vettori normali n X e I nX . IIl modulo di n , uguale a quello di n , ha un valore pari all’area delle rispettive superfici verticali  y z , le direzioni sono, per entrambi, parallele a X, mentre, i versi sono opposti ed entrambiuscenti quindi, per n X si considera un verso negativo, positivo invece per n IX .Allora il flusso uscente del campo sarà la somma algebrica (si tratta di grandezze scalari) del flussoentrante nell’area  y z - da considerarsi negativo in quanto il vettore campo E X ed il vettore Inormale nX sono discordi – e  del  flusso  uscente  dall’area  y z da considerarsi positivo inquanto I EX e nX I sono concordi.Per cui: 137
  • 134. I U .X X X Con: X E X nX E X y z I I I I X EX nX EX y z Quindi: U .X EX I EX y z Flusso uscente del campo elettrico variabileD’altra  parte se si suppone che il vettore campo sia rappresentato da una funzione continua dellecoordinate dei punti dello spazio x, y, z , allora la variazione della componente parallela a Xrisulterà uguale alla derivata parziale della funzione rispetto a tale direzione moltiplicata per lavariazione della coordinata X, cioè, in termini matematici: I E x, y, y EX EX x x I E x, y, y EX EX x x La variazione può essere positiva, allora si tratterà effettivamente di flusso uscente, o negativa, nel qual caso il flusso sarà da considerarsi entrante. Supponiamo che sia positiva.Allora, sostituendo, si ottiene: I U .X EX EX y z E x, y, z U .X x y z x E x, y, z U .X V x Con: x y z V Volume infinitesimo contenuto nel cuboRagionando in modo analogo anche per le altre componenti del vettore campo, si ottengono,naturalmente, le seguenti relazioni: E x, y, z U .Y V y E x, y, z U .Z V zQuindi il flusso uscente totale dall’elemento di volume infinitesimo  V , sarà la somma algebricadei componenti: E x, y, z E x, y, z E x, y, z U .T V x y z 138
  • 135. Se, al limite, il volume racchiuso entro la superficie chiusa tende a ridursi sino ad un valore nullo, ilrapporto tra  il  flusso  totale  uscente  e  il  volume  tendente  a  zero  è  definito  “DIVERGENZA  DEL CAMPO ELETTRICO” ed è indicato utilizzando la seguente simbologia: U lim div E V 0 V Occorre passare dagli incrementi finiti a quelli infinitesimi d . Quindi la divergenza del campo elettrico: E x, y, z E x, y, z E x, y, z div E x y z Da cui si ottiene: d div E dVLa divergenza, essendo in pratica costituita da incrementi direzionali delle componenti può scriversiin forma vettoriale: E x, y, z E x, y, z E x, y, z div E i j k x y zMentre, in termini dimensionali, la divergenza è misurata con le seguenti unità di misura: 1 1 N 2 3 N N m J V div E V E S V m m 2 2 2 C C m C m C m mSi giungerebbe alla stessa conclusione, anche se la superficie infinitesima considerata non avesse laforma cubica ma forma qualsiasi con lati tendenti uniformemente al valore nullo.Se ora si applica la legge di Gauss alla superficie chiusa laterale del cubo infinitesimo, supponendoche in esso sia racchiusa una quantità di carica volumica di densità , si ottiene la relazione: Q V T Che, paragonata ed abbinata a quella precedente: V E x, y, z E x, y, z E x, y, z V x y z E x, y, z E x, y, z E x, y, z x y z div E Legge di Gauss in forma differenziale 139
  • 136. RELAZIONE DI GAUSS – TEOREMA DELLA DIVERGENZA E FLUSSO DEL CAMPOLa relazione di Gauss permette di collegare il flusso totale del vettore campo elettrico attraversouna superficie chiusa qualsiasi (quindi una sommatoria di flussi infinitesimi o integrale disuperficie) alla sommatoria di tutti i flussi uscenti da ciascun elemento di superficie chiusaracchiudenti una porzione infinitesima del volume contento globalmente nella superficie chiusa.Per la dimostrazione si suppone di inserire in una regione di spazio in cui è presente un campoelettrico, una qualsiasi superficie chiusa contenente un volume confinato all’interno della superficie.Supponiamo inoltre che il volume interno non contenga cavità non appartenenti al campo.La superficie è posizionata nel solito sistema cartesiano di riferimento. Z X Y 140
  • 137. ESERCIZI FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO – LEGGE DI GAUSSEsercizio 1:Una carica elettrica puntiforme Q 1 , 2 10 5 C è immersa in un dielettrico di costante relativa R 2 , 5 . Determinare il campo elettrico da essa generato ad una distanza di 6 m.Soluzione:Applicando la legge di Gauss alla carica puntiforme e ad una superficie gaussiana sferica di raggiopari alla distanza r, si ottiene (tenendo conto che il vettore campo e i vettori normali alla superficiesferica sono sempre paralleli): E S 1 Q Q R Da cui: Q Q E 2 R S 4 r R Si noti come, dalla legge di Gauss, si è ottenuta la legge di Coulomb. Sostituendo i valori noti si ricava evidentemente lo stesso risultato ottenuto in precedenza (vedi esercizio già risolto): 5 Q 1, 2 10 C 3 N E 1, 2 10 2 R S 2 12 C C 4 6 m 8 , 85 10 2 ,5 2 N mEsercizio 2: 2Determinare il flusso che attraversa una superficie S 25 cm immersa in un campo elettrico Nuniforme di intensità E 500 . Si supponga che la superficie sia: C perpendicolare al campo parallela la campo inclinata di 45° inclinata di 225°Soluzione:Dalla relazione che esprime il flusso del campo elettrico: E n E S cos Con: Prodotto scalare E Vettore campo elettrico n Vettore normale alla superficie e orientato secondo la regola di Ampere E Modulo del campo S Superficie (pari al modulo del vettore n ) Angolo formato dai due vettori (misura in senso antiorario a partire da vettori paralleli e concordi) 141
  • 138. Si ottiene:Caso 1 – Superficie perpendicolare al campo: 0 180 2 V 2 4 m 1 E S cos 500 25 cm 10 1 1 , 25 V m 2 m cm 2 J N m N m m m C C CCaso 2 – Superficie parallela al campo: 90 270 2 V 2 4 m 2 E S cos 500 25 cm 10 0 0 2 m cm Il flusso è nullo in quanto il campo non attraversa la superfcie.Caso 3 – Superficie e campo inclinati di 45°: 45 2 V 2 4 m 1 3 E S cos 500 25 cm 10 0 , 707 8 , 83 10 V m 2 m cm Il flusso è positivo in quanto uscente dalla superficie.Caso 4 – Superficie e campo inclinati di 225°: 225 2 V 2 4 m 1 4 E S cos 500 25 cm 10 0 , 707 8 , 83 10 V m 2 m cm Il flusso è negativo in quanto entrante nella superficie. 142
  • 139. n n n E E E E E n n n EEsercizio 3:Determinare il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q 3 10 4 Cattraverso una superficie sferica di raggio r avente centro sulla carica stessa.Soluzione:Il flusso del campo elettrico attraverso ad una superficie gaussiana sferica contenente una caricapuntiforme Q è indipendente dalla forma e dalla posizione della carica in essa contenuta. Il flussoattraverso alla sfera di raggio r è quindi uguale a quello che si otterrebbe utilizzando una sfera piùgrande o più piccola o qualsiasi altra superficie chiusa diversa dalla sfera.Anche se la carica fosse posizionata in un qualsiasi punto interno alla sfera o ad un’altra qualsiasi superficie chiusa, non si avrebbe variazione del flusso.Quindi, usand