Intro parte3

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Intro parte3

  1. 1. Modelado de sistemas discretos• Los sistemas discretos se modelan mediante ecuaciones en diferencias: – Evolución de una determinada variable del sistema a partir de valores iniciales, valores pasados de la misma y de otras variables del sistema y señales de entrada. – Equivalentes a las ecuaciones diferenciales para los sistemas continuos.
  2. 2. • Secuencias:Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto.Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa.Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del índice K.Ejemplo: { X K } = { X −2 , X −1 , X 0, X 1, X 2, X 3 }
  3. 3. De igual forma también se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia.Puede también especificarse { X K } = { 0,1,4,6,8,...} {3 ,8 , 9 ,10 , 6 } = { x } −2 −1 0 1 2 k x k 10 9 8 6 3 −3 −2 −1 1 2 K 3 0
  4. 4. • Secuencia impulso unitario: α(k) 1 → k = 0  α(k) =   0 → k ≠ 0  1  Secuencia escalón unitario: 0 µ( k ) 1 → k ≥ 0 µ( k ) =  1 0 → k < 0 1 2 3 0
  5. 5. • Secuencia exponencial: X ( k ) = a → −∞ ≤ k ≤ ∞ k X (k) X (k) −2 −1 k −1 0 1 1 2 −2 2 0 0 < a <1 −1 < a < 0
  6. 6. X (k) X (k) −1 1 k k−2 −1 0 1 2 −2 0 2 a < −1 a >1
  7. 7. ● Secuencia Sinosoidad jk e = Cosk + Senk
  8. 8. Transformada ZLa transformada Z es el equivalente para sistemas discretos de latransformada de Laplace.Permite transformar representaciones de sistemas del dominiotemporal al dominio frecuencial.Aplicaciones: – Solución de ecuaciones diferenciales. – Funciones de transferencia. • Simulación, estabilidad.
  9. 9. Transformada ZDefinición: X ( z ) = ∑k =0 xk z − k ∞ donde {xk; k=0...∞ } es una secuencia discreta de valores, con xk=0 ∀ k<=0. – También es aplicable al caso en que xk sea el resultado de muestrear una señal continua xk=f(kT).
  10. 10. • Algunas transformadas básicas: – Escalón: 1 F ( z ) = ∑k =0 1z ∞ −k { f k } = {1,1,...,1} = 1 − z −1 Tz – Rampa: { f k } = {kT ; k = 0...∞} F ( z) = ( z − 1)2 – Parábola: T 2 z ( z + 1) { f k } = {(kT )2 ; k = 0...∞} F ( z) = ( z − 1)3 – Exponencial: z { f k } = {e −akT ; k = 0...∞} F ( z) = z − e −aT – Exponencial general: z { f k } = {r k ; k = 0...∞} F ( z) = z−r
  11. 11. Propiedades fundamentales: – Linealidad: Z [ axn + byn ] = aX ( z ) + bY ( z ) – Traslación temporal: Z {xn −1} = z −1 X ( z ) • Esta propiedad permite transformar las ecuaciones en diferencias en expresiones algebraicas. – Teorema del valor final: lim{xn } = lim (1 − z −1 ) X ( z ) n →∞ z →1
  12. 12. – Convolución temporal: • El producto en el plano complejo se transforma en una suma de convolución en el tiempo. k  F ( z )G ( z ) = Z ∑ f (nT ) g (kT − nT )  n =0 
  13. 13. Relación con la transformada de Laplace. – Suponiendo muestreo ideal, se puede representar un conjunto de muestras en forma de señal continua: f * (t ) = f (t )m(t ) ∞ donde m(t ) = ∑ δ (t − kT ) k =0 siendo T el periodo de muestreo y δ(t) la función impulso (que verifica : ∫-∞∞g(t)δ(t-a) dt = g(a) ).
  14. 14. – Si aplicamos la transformada de Laplace a la señal continua f* tenemos: F*(s) = ∫-∞∞ [Σ∞k=0 f(t) δ(t-kT)] e-st dt = Σ∞k=0 (esT)-k f(kT)– Comparando con la expresión de la transformada Z, tenemos la relación entre las variables complejas s y z: z=esT– Siempre que se pueda suponer muestreo ideal, es posible emplear la siguiente aproximación F(z) = F*(s)esT=z
  15. 15. – Fórmula alternativa: Si se expresa F* como una integral de convolución, se puede utilizar G(z) = ∑ Residuos{ F(s) z/(z-esT) } en todos los polos de F(s) donde, para un polo simple dado si de una función F(s), el residuo correspondiente se calcula como lims→si { (s-si) F(s) }.
  16. 16. Transformada Z inversaPermite volver a la representación en el dominio temporal. {xk } = Z −1{ X ( z )} – La recuperación de la señal continua original a partir de las muestras no es posible con total exactitud (no unicidad). • Si el periodo de muestreo ha sido elegido adecuadamente, la incertidumbre es menor.
  17. 17. Métodos de obtenciónTablas de transformadas. – Para funciones sencillas.• Descomposición en fracciones simples. – Dado que las expresiones de las transformadas Z elementales poseen siempre una z en el numerador, se realiza la descomposición de F(z)/z. – Cada fracción resultante se multiplica por z y se reemplaza por su equivalente temporal.
  18. 18. – Ejemplo: Tomando como periodo de muestreo T=10, obtener la transformada inversa de 1 F ( z) = ( z − 1)( z − 0.1)F ( z) 1 a b c 21 − 30 = = + + a = 10 b = c= z z ( z − 1)( z − 0.1) z z − 1 z − 0.1 0 .9 0 .9 21 z 30 z F ( z ) = 10 + − 0.9 z − 1 0.9 z − 0.1 • Los dos primeros términos tienen antitransformadas inmediatas. Para el tercero resulta − aT − a10 ln 0.1 e =e = 0 .1 ⇒ a = = 0.23 − 10
  19. 19. – La secuencia resultante es 21 30 −0.23kT f (kT ) = 10δ (kT ) + us (kT ) − e 0 .9 0 .9 • O simplemente, prescindiendo de T 21 30 f (k ) = 10δ ( k ) + us ( k ) − 0.1k 0 .9 0 .9
  20. 20. Expansión en series de potencias. – Cuando F(z) es un cociente de polinomios reales en z, puede realizarse una “división larga”. Los coeficientes de dicha división son los valores de la secuencia temporal {fk}. – Ejemplo: z 1 F ( z) = z − 1 z − 0.1 z z 2 − 1.1z + 0.1 1.1 − 0.1z −1 z 2 − 1.1z + 0.1− z − 1.1 + 0.1z −1 1z −1 − 1.1 − 1.21z −1 + 0.11z −2 1.1z −2= 1.1 − 0.1z −1 = 1.11z −1 − 0.11z −2 1.11z −1 − 0.11z −2 z 2 − 1.1z + 0.1 − 1.11z −1 − 1.221z −2 + 0.111z −3 1.11z −3 = 1.111z −2 − 0.111z −3
  21. 21. – La secuencia resultante es { f k } = {0, 1, 1.1, 1.11, }
  22. 22. – Función de transferencia discreta. • Transformada Z de la secuencia ponderatriz. • Relación entre las transformadas Z de la señal de salida y entrada a un sistema.– Estabilidad. • Para que un sistema discreto sea estable, sus raíces deben estar ubicadas en el interior del círculo unidad. N ( z) Az Az F ( z) = = 1 + 2 ... ( z − p1 )...( z − pn ) z − p1 z − p2 f k = A1 p1k + A2 p2 + ... k secuencia ponderatriz acotada f k < M ⇒ pi < 1 • Criterios de estabilidad: Routh, Jury.
  23. 23. Aproximación discreta de unaplanta continua• Supongamos un esquema de bloqueador de orden cero, planta continua y muestreador. uk u(t) y(t) yk G(s) – La señal de salida del bloqueador puede ponerse como u(t ) = ∑n =0 un ∏ (t − nT ) ∞
  24. 24. – El efecto del primer pulso de entrada sobre la salida es u0u0 = T + T -u0 −1 G( s)  −1  G ( s ) − sT  y0 (t ) = u0 L   − u0 L  e   s   s 
  25. 25. – Trasladado al plano Z  −1  G ( s )   −1 Y0 ( z ) = u0 (1 − z ) Z  L     s – Extendiendo a toda la secuencia de entrada Y ( z) = [∑ ∞ k =0 uk z −k ] −1 −1  G ( s )   (1 − z ) Z  L    s  – La expresión final queda Y ( z) −1  −1  G ( s )   G( z) = = (1 − z ) Z  L   U ( z)   s 

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