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  1. 1. Funciones de transferencia
  2. 2. Introducción <ul><li>El modelado exacto de un sistema es prácticamente imposible. </li></ul><ul><li>Para simplificar el análisis se emplea la aproximación lineal. </li></ul><ul><ul><li>Para sistemas cuyo comportamiento es casi lineal, despreciando los términos no lineales. </li></ul></ul><ul><ul><li>Para sistemas claramente no lineales, linealizándolos en torno a un punto de funcionamiento. </li></ul></ul>
  3. 3. Respuesta impulsiva y función de transferencia <ul><li>Podemos caracterizar el comportamiento de un sistema lineal invariante conociendo su respuesta ante una señal elemental. </li></ul><ul><li>La respuesta impulsiva ( g(t) ) es la respuesta de un sistema ante una entrada tipo impulso unitario (  (t) ). </li></ul><ul><li>Se define entonces la función de transferencia de un sistema como la transformada de Laplace de su respuesta impulsiva con todas las condiciones iniciales nulas. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Definición alternativa de función de transferencia. </li></ul><ul><ul><li>Cociente entre la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada (condiciones iniciales a cero). </li></ul></ul>
  5. 5. <ul><ul><li>Ejemplo. Obtención de función de transferencia. </li></ul></ul>C V R i(t) <ul><ul><ul><li>La ecuación que define el circuito es </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Aplicando transformada de Laplace </li></ul></ul></ul>
  6. 6. <ul><ul><ul><li>Tomando la intensidad como la salida y el voltaje como la entrada, la función de transferencia queda </li></ul></ul></ul>
  7. 7. <ul><li>La respuesta de un sistema lineal invariante ante una señal de entrada puede obtenerse: </li></ul><ul><ul><ul><li>donde r(t) es la señal de entrada y g(t) la respuesta impulsiva. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>A) Expresando la entrada como combinación de impulsos unitarios ponderados y superponiendo las respuestas a cada uno de ellos (respuesta impulsiva). </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Esto conduce a una integral de convolución de la forma </li></ul></ul></ul>
  8. 8.  (t) t Impulso unitario = g(t) t Respuesta impulsiva Sistema r(t) t Entrada r*(t) t Impulsos Sistema r(t) t Entrada y(t) t Respuesta
  9. 9. <ul><ul><li>B) A partir de la función de transferencia. </li></ul></ul>
  10. 10. <ul><ul><li>Principio de superposición . </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>La respuesta de un sistema sometido a múltiples señales de entrada se obtiene como la suma de las respuestas producidas frente a cada una de ellas individualmente (con el resto de las entradas a cero). </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Cuando existen condiciones iniciales también se aplica este principio, de forma que la respuesta tiene una componente debida a las condiciones iniciales y otra procedente de las señales de entrada. </li></ul></ul></ul>
  11. 11. <ul><ul><li>Ejemplo. Comportamiento de la intensidad cuando v(t)=u(t) . </li></ul></ul>C V R i(t) <ul><ul><ul><li>Como V(s)=1/s, tenemos </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Operando </li></ul></ul></ul>
  12. 12. <ul><ul><ul><li>Aplicando transformada de Laplace inversa </li></ul></ul></ul>
  13. 13. <ul><li>Obtención de la función de transferencia a partir de la ecuación diferencial. </li></ul><ul><ul><li>Dada la siguiente ecuación diferencial </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>donde n>=m </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Aplicando transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas resulta </li></ul></ul>
  14. 14. <ul><ul><li>La función de transferencia viene dada por </li></ul></ul>
  15. 15. <ul><ul><li>Ejercicio: Considérese el sistema representado por la siguiente ecuación diferencial: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>A) Obtener la función de transferencia. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>B) Calcular la respuesta impulsiva. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>C) Calcular la respuesta ante un escalón de entrada. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Donde x(t) es la señal de entrada e y(t) es la salida. Se pide: </li></ul></ul>Simulación
  16. 16. <ul><li>Propiedades de la función de transferencia. </li></ul><ul><ul><li>Se define sólo para sistemas lineales invariantes en el tiempo . </li></ul></ul><ul><ul><li>Es independiente de la señal de entrada . </li></ul></ul><ul><ul><li>Se expresa únicamente como función de la variable compleja s . </li></ul></ul>
  17. 17. <ul><li>Ecuación característica. </li></ul><ul><ul><li>Resulta de igualar a cero el denominador de la función de transferencia. </li></ul></ul><ul><ul><li>Las raíces de D(s) ( polinomio característico ) determinan la naturaleza de la respuesta dinámica del sistema . </li></ul></ul><ul><ul><li>Se denomina orden de un sistema al número de raíces que posee D(s) . </li></ul></ul><ul><ul><li>Las raíces de D(s) se denominan polos , y las de N(s) ceros . </li></ul></ul><ul><ul><li>En un sistema causal, el número de polos es siempre mayor o igual al número de ceros. </li></ul></ul>
  18. 18. <ul><li>En sistemas multivariables , se tiene la denominada matriz de transferencia , formada por las funciones de transferencia correspondientes a todas las posibles combinaciones de señales de entrada y salida </li></ul>
  19. 19. Diagramas de bloques <ul><li>Descomposición del sistema en elementos interconectados. </li></ul>F1(s) F2(s) <ul><ul><li>Cada bloque puede ir acompañado de la función de transferencia que lo describe. </li></ul></ul><ul><ul><li>Las flechas representan señales de entrada y salida a cada bloque. </li></ul></ul>X1(s) Y1(s) Y2(s)
  20. 20. <ul><ul><li>Las señales se combinan mediante puntos de conexión. </li></ul></ul>X1(s) X2(s) X3(s) + - X3(s)=X1(s) -X2(s)
  21. 21. <ul><ul><li>Obtención de la función de transferencia. </li></ul></ul>G(s) H(s) Y(s) R(s) E(s) + - Y(s)=E(s)G(s); E(s)=R(s)-Y(s)H(s) Y(s)=[R(s)-Y(s)H(s)]G(s)
  22. 22. Gráficos de flujo de señal <ul><li>Representación gráfica compuesta por los siguientes elementos: </li></ul><ul><ul><li>Nodos: puntos que representan señales (y1, y2). </li></ul></ul><ul><ul><li>Ramas: arcos orientados con ganancias o transmitancias asociadas (a12). </li></ul></ul>y1 y2 a12
  23. 23. <ul><li>Definiciones. </li></ul><ul><ul><li>Nodo de entrada. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sólo está conectado mediante ramas de salida. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Nodo de salida. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sólo está conectado mediante ramas de entrada </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Camino. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Trayectoria directa, bucles o lazos. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ganancia asociada como producto de las ramas recorridas. </li></ul></ul></ul>y1 y2 a12 a23 y3 a32 y4 a34 <ul><ul><ul><ul><li>Para el bucle: a23*a32 . </li></ul></ul></ul></ul>
  24. 24. <ul><li>Fórmula de Mason. </li></ul><ul><ul><li>La ganancia total entre un nodo de entrada y uno de salida viene dada por. </li></ul></ul><ul><ul><li>Donde: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Pk es la ganancia de la k-ésima trayectoria directa. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li> es el determinante del gráfico: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>1-(suma de todos los lazos individuales)+(suma de productos de todas las combinaciones de dos lazos disjuntos)-(suma de productos de todas las combinaciones de tres lazos disjuntos)+... </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li> k se calcula a partir de  , eliminando todos los lazos que tocan la trayectoria k. </li></ul></ul></ul>
  25. 25. <ul><ul><li>Ejercicio: Calcular la ganancia entre R y C en el siguiente gráfico. </li></ul></ul>R C G1 G2 G3 G4 G5 -H1 -H2 G6 G7
  26. 26. <ul><ul><li>Ejercicio: Obtención de la función de transferencia empleando la fórmula de Mason. </li></ul></ul>G(s) H(s) Y(s) R(s) E(s) + -
  27. 27. <ul><li>Diagrama de estado. </li></ul><ul><ul><li>Es una versión de los gráficos de flujo de señal adaptada al modelado de las ecuaciones de estado. </li></ul></ul><ul><ul><li>Su principal característica es la de incorporar integradores (1/s) como ganancias en sus ramas. </li></ul></ul>y1 1/s y2 a21 y3 a23
  28. 28. Linealización <ul><li>Dado un sistema no lineal, es posible obtener un modelo lineal del mismo en torno a un determinado punto de funcionamiento . </li></ul><ul><ul><li>Sea el sistema no lineal </li></ul></ul><ul><ul><li>El punto normal de funcionamiento viene dado por </li></ul></ul>
  29. 29. <ul><ul><li>Desarrollando en serie en torno a dicho punto </li></ul></ul><ul><ul><li>Despreciando términos de segundo orden y superiores </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>donde </li></ul></ul></ul>
  30. 30. <ul><ul><li>Para sistemas multivariables aparecen derivadas parciales en el desarrollo </li></ul></ul>
  31. 31. <ul><ul><ul><li>Descartando términos de orden superior </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>donde </li></ul></ul></ul>
  32. 32. <ul><ul><li>Ejercicio: Linealizar la siguiente ecuación </li></ul></ul><ul><ul><li>En la región 8<=x<=10 , 2<=y<=4 . </li></ul></ul>Simulación

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