• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Boletin logaritmos
 

Boletin logaritmos

on

  • 740 views

 

Statistics

Views

Total Views
740
Views on SlideShare
366
Embed Views
374

Actions

Likes
0
Downloads
14
Comments
0

5 Embeds 374

http://algebragenerosa.blogspot.com 340
http://www.algebragenerosa.blogspot.com 26
http://algebragenerosa.blogspot.com.br 5
http://algebragenerosa.blogspot.com.es 2
http://algebragenerosa.blogspot.mx 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Boletin logaritmos Boletin logaritmos Document Transcript

    • BOLETÍN DE TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS CONCEPTO 5TO Ejemplos: Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto. Entonces: LogbN = α 1. 3 Log 5 3 =5 2. 8 Log89 = 9 2 3. ( x + 1) Log 5 ( x2 +1) =5 ;x∈R Este sistema fue implementado por Briggs, cuya base es 10. N = bα DEFINICIÓN α = Logaritmo α∈R b = base b>0 ; b≠1 Log N = LogN 10 Este tipo de log aritmos se llaman log aritmos decimales N = número al cual se le toma logaritmo. N>0 Ejemplos: Ejemplos: 1. 2. ☯ Log525 = 2 ; Log 10 102 = x 102 = 10x x=2 por que: 9 = (1/3)-2 ☯ Log31 = 0 Log1000 por que: 25 = 52 ☯ Log1/39 = -2 ; Log100 por que: 1 = 3º ; Log 10 103 = x IDENTIDAD FUNDAMENTAL De la definición tenemos: α = LogbN …………(1) Tenemos que: α b = N ………………(2) Reemplazando: (1) en (2) b LogN b =N LnN = loge N Este tipo de log aritmo se conoce como log aritmo natural de N 103 = 10x x=3 Este sistema fue implementado por Neper cuya base es e ≅ 2.718… Identidad Fundamental ∀ x > 0 ∧ a ∈ R+ - {1} http://algebragenerosa.blogspot.com 1
    • “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” Ejemplos: 1. Ln e e) Log m Nn = a 1 x e =e Log e e = x n Log a N m (n ∈ R; m ∈ R; N > 0) , Propiedad del Sombrero x=1 Ejemplo Log 3 32 = 5 2 Log 3 5 3 Log 4 23 = 3 3 Log 2 3 4 3) Log 4) Lne5 = 5 3. 1) 2) 2. Log Lne6 = 6 Debemos saber: Log2 ≅ 0.3 Log10 = 1 Log3 ≅ 0.47 Log5 ≅ 0.69 PROPIEDADES f) 51 32 32 = 2Log 3 5 21 = 1 Log 2 3 2 1 = Log a b Log a b Propiedad Inversa a) Log 1 = 0 b Ejemplo Ejemplo Log31 = 0 1) 1 = Log3 2 Log 3 2 b) Log b = 1 2) b 1 = Log6 2 Log 6 2 PROPIEDADES Ejemplo Log33 = 1 ; log55 = 1 g) Log a = b c) Logxab = Logxa + Logxb (a, b, x ∈ R+) Ejemplo Log106 = Log102 + Log103 d) = 0,3 + 0,47 = 0,77 Logx(a/b) = Logxa - Logxb (a, b, x ∈ R+) Logx a Logx b Ejemplo 1 Log 3 5 Log 8 5 = Log8 3 Ejemplo 2 2 Log 5 2 3 = = 3 Log 27 3 Log 3 Log 3 2 2 2 Log 25 Ejemplo Log10 3 = Log103 - Log102 2 8 = 2 9 Log 23 52 Log 3 5 = 0,47 - 0,3 = 0,17 http://algebragenerosa.blogspot.com 2
    • “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” h) Regla de Cadena Logba . Logcb . Logdc = Logda 01.- Hallar el logaritmo de 8 3 2 en base Ejemplo Log35 . Log23 . Log252 = Log255 = 5 1 1 Log 5 = 5 2 2 = i) Log 2 5 5 2. Solución: Piden : log5 2 8 3 4 = x , por definición : ( 5 2)x =8 3 4 , donde recordando nuestras leyes de exponentes tenemos: x 5 3 2 =2 .2 Cologaritmo Se define cologaritmo de un número al logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número es decir: 2 3 x 5 11 3 2 =2 , donde igualando los 55 exponentes tenemos: x= 3 55 Finalmente el log 5 2 8 3 4= 3 02.- Calcular “x” en: CologbN = Logb(1/N) = -LogbN Co log 27 − 47 + 4 14 + 5 29 + 3 x Solución: Solución: Ejemplo = log 15 27 3 5 9 = 1 −1 Log 3 = Log 3 3 −1 = 27  3  3 3   3 3 = Log 1 3 Recuerda que siempre es conveniente observar la relación de la base y el número, veamos: Nosotros notamos que: 1 La base: 15 1 1 27 = 2715 = (33 )15 = 35 7 El número: 3 5 9 = 5 35.9 = 5 35.32 = 3 5 j) Antilogaritmo Sólo se eleva Antilog aritmo N = bN b Ejemplo Antilog38 = 3 8 Además: b Log N b = NLogbb = N1 = N Entonces el primer miembro de la igualdad queda 7 de la siguiente manera: log 1 3 = 5 log 3 3 = 7 1 35 5 Entonces la expresión quedará así: 7 5 7 = 47 + 4 14 + 5 29 + 3 x Donde despejando tendremos: Primero elevando al cuadrado y transponiendo: 2 = 4 14 + 5 29 + 3 x Segundo elevando a la cuarta y transponiendo: Ejemplo 1 2 = 5 29 + 3 x Tercero elevando a la quinta y transponiendo 3 Log 5 3 Log 3 = 5 3 = 51 = 5 http://algebragenerosa.blogspot.com 3 = 3 x → x = 27 3
    • “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” 03.- Calcular “x” en la igualdad: 3 2 x log x x + 27 x log x x = 9 xlog x x + 27 1 22c log b  log x = log( ) c log b   1 1 log x = log 2 2 c = log(2 2 c ) c = log 22 = log 4 c Solución: Solución: Recuerda que generalmente en los problemas donde el logaritmo está en el exponente debemos recordar la siguiente relación: b logb N = N , entonces al aplicar esta relación tendremos lo siguiente: x 3 + 27 x = 9 x 2 + 27 , que fácilmente puede ser factorizada por el método de divisores binómicos, pero veamos otra forma elegante: Sea: ( x 3 − 27) + (27 x − 9 x 2 ) = 0 ( x − 3)( x 2 + 3 x + 9) − 9 x( x − 3) = 0 ( x − 3)( x 2 − 6 x + 9) = 0 Donde llegamos a: log x = log 4 → x = 4 Nota: es necesario aclarar que cuando no se coloca la base del logaritmos se sobreentiende que la base es 10. 05.- Calcular el valor de: E=colog 4 .antilog 2 .log 2 .log 2 .antilog 0.5 .log 0.2 625 Solución: Solución: ( x − 3)( x − 3) 2 = 0 → ( x − 3)3 = 0 Reduciendo los valores de la parte final hacia el principio, resulta: Donde creo que ya fácilmente vemos que x=3 1) log 0.2 625 = log 1 625 = log 5−1 5 = −4 4 5 04.- Calcular “x” sabiendo que: 22 c 1 log x = log(log log a b − log log a ) − log log b     c 1 antilog 0.5 (-4)=(0.5)-4 =( )-4 =16 2 3) log 216 = 4 4) log 2 4 = 2 Solución: Solución: Transformando el segundo miembro aplicando propiedades de logaritmos. log M − log N = log 2) Por definición: M N 5) Por definición: antilog 2 2=22 =4 6) colog 4 4=-log 4 4=-1 ∴ E=-1 06.- Dado: log a 3 [a ( 3 − 2)]2 = Tendremos: 2  1 log a b log x = log log( ) − log log b  c log a    2c  1 b 2 log a log x = log log( ) − log log b  c log a    2c 2c 1 log x = log log(b 2 ) − log log b    c 1 log b 2 log x = log( log b c  2c  )   http://algebragenerosa.blogspot.com 1 , calcular: 2 log a 4 [a ( 3 + 2)]3 Solución: Solución: Para este tipo de ejercicios reduciremos el dato y lo que nos piden de la siguiente manera: 1° lo que nos piden: log a 4 [a( 3 + 2)]3 = x 4 [a( 3 + 2)]3 = a x 4
    • “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” log 2 (2 x − 8) = log 2 ( x + 3 − x − 3) 2 [ a ( 3 + 2)]3 = a 4 x 4x 3 a( 3 + 2) = a …….(α) Tomando antilogaritmos en la misma base o lo que se llama levantando logaritmos: 2° el dato: (2 x − 8) = ( x + 3 − x − 3) 2 1 log a 3 [ a ( 3 − 2)]2 = 2 2 x − 8 = x + 3 − 2 x2 − 9 + x − 3 −8 = −2 x 2 − 9 1 3 [ a ( 3 − 2)]2 = a 2 [a( 3 − 2)] = a 2 16 = x 2 − 9 → x = ±5 3 2 → x = −5 (no) ∴x = 5 3 a( 3 − 2) = a 4 …….(β) 08.- Hallar el valor de x en: Multiplicando (α) y (β) miembro a miembro tenemos: a (3 − 2) = a 2 4x 3 + 3 4 ; a =a 2 16 x + 9 12 Igualando exponentes tenemos que x = 15 16 07.- Hallar el valor de “x” en: log( x − 1 + 1) =3 log 3 x − 40 Solución: Solución: Pasando el denominador al segundo miembro y transformando: log( x − 1 + 1) = 3(log 3 x − 40) 1 + log 2 ( x − 4) =1 log 2 ( x + 3 − x − 3) log( x − 1 + 1) = (log 3 x − 40 ) Tomando antilogaritmos o levantando logaritmos: x − 1 + 1 = x − 40 Solución: Transponiendo los términos: x − 1 = x − 41 Elevando al cuadrado tenemos: x + 1 = x 2 − 82 x + 1681 x 2 − 83 x + 1680 = 0 ; ( x − 35)( x − 48) = 0 ∴ x = 35( No toma ); x = 48 ( Si toma ) 1 + log 2 ( x − 4) = log 2 ( x + 3 − x − 3) Escribiendo: 1 = log 2 2 log 2 2 + log 2 ( x − 4) = log 2 ( x + 3 − x − 3) log 2 (2)( x − 4) = log 2 2 3 ( x + 3 − x − 3) 2 http://algebragenerosa.blogspot.com 5