Matices ortogonales
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matices ortogonales

on

  • 493 views

 

Statistics

Views

Total Views
493
Views on SlideShare
493
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
2
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Matices ortogonales Matices ortogonales Document Transcript

  • Conjuntos de Vectores y Matrices OrtogonalesDepartamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM28 de junio de 2011´Indice21.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Propiedades del producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.4. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.5. Distancia entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.6. Vectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.7. Conjunto ortogonal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.8. Ortogonalidad e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.9. Ortogonalidad y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.10.Ortogonalidad y descomposici´on de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.11.Conjunto ortonormal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.12.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.1. Introducci´onEn esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativasa los productos internos.21.2. Producto internoUn producto interno en un espacio vectorial es una funci´on • : V × V → F, donde F es el conjunto de losescalares utilizados (F = R ´o F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectoresx, y y z de V y para todo escalar c de F1. (x + y) • z = x • z + y • z es decir, se distribuye a la izquierda.2. (c · x) • y = c (x y) es decir, los factores escalares a la izquierda pueden salir.3. x • y = y • x.4. x • x > 0 para todo x = 0.En el axioma 3, la l´ınea horizontal encima de una expresi´on indica que se debe tomar el conjugado complejo:El conjugado comple de un n´umero se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. As´ı3 + 3 i = 3 − 3 i5 = 5 + 0 i = 5 − 0 i = 5, es decir: el conjugado de un real es ´el mismo.−3 i = 0 − 3 i = 0 + 3 i = 3 i
  • Figura 1: El producto interno est´andar de Rn en la TI.Daremos sin comprobaci´on algunos ejemplos de productos internos en los espacios vectoriales que nos ocupan.Ejemplo 21.1Si V = Rn y x = (xi) y y = (yi) el producto punto est´andar • es:x • y =ni=1xi · yiSi n = 3, x =< 1, 2, −1 > y y =< 1, −1, 3 >, entoncesx • y = (1)(1) + (2)(−1) + (−1)(3) = −4Observe que el producto interno est´andar en Rn concide con una operaci´on entre matrices:x • y = xT · yAqu´ı los vectores x y y se consideran como una matrices n × 1; as´ı xT quedar´a una matriz 1 × n y al hacerel producto matricial con y quedar´a una matriz 1 × 1 que ser´a un escalar. Este ejemplo puede realizarse en lacalculadora TI utilizando la funci´on dotP ya programada como se ilustra en la figura 1.Ejemplo 21.2Mientras que si V = Cn con escalares C el producto punto est´andar • esx • y =ni=1xi · yiSi n = 3, x =< 1, 2 + 2 i, −i > y y =< 1, −1 + i, 3 i >, entoncesx • y = (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 + i) + (−i)(3 i)= (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 − i) + (−i)(−3 i)= 1 − 2 − 2 i − 2 i − 2 i2 + 3 i2= −1 − 4 i + i2= −1 − 4 i + (−1)= −2 − 4 iEs importante comentar que este producto interno est´andar en Cn esta implementado en la calculadora TIy coincide con el producto est´andar en Rn. Esto se ilustra en la figura 2. Note la diferencia entre el n´umeroimaginario i y el s´ımbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtiene con la combinaci´on 2ND imientras que en la TI 89 con la combinaci´on 2ND catalog . No notar la diferencia le puede traer verdaderosdolores de cabeza.2
  • Figura 2: El producto interno est´andar de Cn en la TI.Ejemplo 21.3Si V = C [a, b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno est´andar es:f • g =baf(t) · g(t) dtSi [a, b] = [0, 1], f(x) = x + 1 y g(x) = x2 − 1 entoncesf • g =10 (x + 1) · (x2 − 1) dx=10 (x3 + x2 − x − 1) dx= −11/12Ejemplo 21.4Si Si V = C [0, 2 π] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es:f • g =12 π2 π0f(t) · g(t) dtEjemplo 21.5Si Mn×m es el conjunto de las matrices reales con n renglones y m columnas el producto interno est´andar es:A • B = tr B′· Adonde B′ representa la transpuesta de la matriz B y tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X quees la suma de los elementos de la diagonal. Por ejemplo, siA =1 2 3−1 2 −3y B =1 −2 30 2 −3EntoncesBT · A =1 0−2 23 −3 1 2 3−1 2 −3=1 2 3−4 0 −126 0 18y por tantoA • B = tr1 2 3−4 0 −126 0 18 = 1 + 0 + 18 = 19Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la funci´on traza puesto que en la configuraci´oninicial no viene tal funci´on. Una implementaci´on posible para esta funci´on viene ilustrada en la figura 3. Unavez programada la funci´on traza, la figura 4 ilustra el c´alculo del producto interno de dos matrices.3
  • Figura 3: Programando la funci´on traza en la TI.Figura 4: Producto interno est´andar de Mn×m(R) en la TI.Ejemplo 21.6Si Mn×m es el conjunto de las matrices complejas con n renglones y m columnas el producto interno est´andares:A • B = tr (B∗· A)donde B∗ representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o tambi´en conocida comotranspuesta hermitiana, a veces tambi´en se utiliza la notaci´on BH para la matriz conjugada compleja de B.Aqu´ı tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal.Por ejemplo, siA =1 + i 2 − 3 i i−1 2 − i −3 iy B =1 + 2 i −2 30 2 i −3 + iy as´ıA∗=1 − i −12 + 3 i 2 + i−i 3 iy por tantoA∗· B =3 + i −2 6 − 4 i−4 + 7 i −6 − 2 i −1 + 8 i2 − i −6 + 2 i −3 − 12 ide dondeB • A = (3 + i) + (−6 − 2 i) + (−3 − 12 i) = −6 − 13 iEs importante comentar que la transpuesta conjugada de una matriz en Maple se obtiene como el comandohtranspose, por el nombre alternativo de transpuesta hermitiana. Por otro lado, en la calculadora TI latranspuesta siempre representa la transpuesta hermitiana de una matriz. Esto se puede ejemplificar repitiendolos c´alculos del ejemplo como se ilustra en la figura 5.4
  • Figura 5: Producto interno est´andar de Mn×m(C) en la TI.21.3. Propiedades del producto internoPropiedades que satisfacen todos los productos internos:TeoremaSea V es espacio vectorial con producto interno •, x, y y z vectores de V y c un escalar:1. x • (y + z) = x • y + x • x2. x • (c · y) = c · (x • y)3. x • x = 0 si y s´olo si x = 0.4. x • y = 0 si y s´olo si y • x = 0.5. Si ∀ x ∈ V se cumple x • y = x • x, entonces y = z.21.4. Norma de un vectorTeniendo definido un producto interno, el siguiente paso es definir una norma o longitud de vectores.Definici´on 21.1Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para todo vector x de definimos la norma o longitud de xcomox =√x • xPropiedades que se deducen de la norma:Teorema1. c x = |c| · x2. x = 0 si y s´olo si x = 0. En cualquier caso, x ≥ 0.3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz: |x • y| ≤ x · y .4. Desigualdad del tri´angulo: x + y ≤ x + y .21.5. Distancia entre dos vectoresAhora, habiendo definido la magnitud de un vector es posible definir una distancia en un espacio vectorial.Definici´on 21.2Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distanciade x a y comod(x, y) = x − yPropiedades que se deducen de la funci´on distancia:Teorema5
  • 1. d(x, y) = d(y, x) es decir, la distancia medida desde x a y es la misma que la distanciamedida desde y a x.2. d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y es decir, si la distancia entre dos puntos es cero entonces lospuntos son iguales.3. Desigualdad del tri´angulo: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)21.6. Vectores ortogonalesDefinici´on 21.3Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales si x • y = 0. Si esto pasa se expresar´a como x ⊥ y.Ejemplo 21.7Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > y y =< −2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente de la definici´on:requerimos hacerx • y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = −2 + 0 + 2 = 0Por tanto, x ⊥ y.Ejemplo 21.8Determine el valor del par´ametro a para que x =< 1, 1, 2 > y y =< −3, a, 1 > sean ortogonales. Directamentede la definici´on: requerimos hacerx • y = (1)(−3) + (1)(a) + (2)(1) = −3 + a + 2 = a − 1Por tanto, x ⊥ y si y s´olo si x • y = 0 si y s´olo si a = 1.21.7. Conjunto ortogonal de vectoresDefinici´on 21.4Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vm} se dice conjunto ortogonal o simplemente ortogonal si se cumplevi • vj = 0 para i = j y i, j = 1, . . . , m (1)Ejemplo 21.9Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonalv1 =102 , v2 =−221 , v3 =−2−5/21Soluci´onCalculando todos los productos punto entre vectores diferentes tenemosv1 • v2 = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = 0v1 • v3 = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0v2 • v3 = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0as´ı concluimos que es conjunto es ortogonal.6
  • 21.8. Ortogonalidad e independencia linealTeoremaCualquier conjunto ortogonal S = {v1, ...., vk} de vectores distintos de cero es linealmente inde-pendiente.Demostraci´on: Si suponemos quec1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0Entonces, haciendo producto punto por vi obtenemos que:c1 v1 • vi + c2 v2 • vi + · · · + ck vk • vi = 0 • viObserve que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, exceptouno: el correponiente a vi •vi. Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetorescero queda cero. As´ı lo anterior se resume a:civi • vi = 0como vi • vi = 0 al ser todos los vectores vi diferentes del vector cero, concluimos que ci = 0.21.9. Ortogonalidad y basesTeoremaCualquier conjunto generador ortogonal S = {v1, ...., vk} de vectores distintos de cero es basepara Gen(S).Demostraci´on: Por definici´on de Gen(S), S genera a Gen(S); y por el teorema anterior S es linealmenteindependiente. Por tanto, S es base para Gen(S).21.10. Ortogonalidad y descomposici´on de un vectorTeoremaSea S = {v1, ..., vk} un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u est´a en Gen(S) yu = c1 v1 + · · · + ck vkentoncesci =u • vivi • vipara i = 1, . . . , kA las expresiones u • vi/vi • vi se les llama los coeficientes de Fourier de u respecto a S.Demostraci´on: Siu = c1 v1 + · · · + ck vkhaciendo el producto punto con vi y considerando la ortogonalidad obtenemos:u • vi = ci vi • viAl ser los vectores vi = 0, se tiene que vi • vi = 0 y por tanto se tiene:ci =u • vivi • vi7
  • Nota:Lo importante del teorema anterior es indica que para bases ortonormales no es necesario resolver sistemasde ecuaciones lineales para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes deFourier.Ejemplo 21.10Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′, determine loscoeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistemade ecuaciones lineales correspondientes.Soluci´on: Calculemosu • v1 = (1)(1) + (2)(0) + (3)(2) = 7u • v2 = (1)(−2) + (2)(2) + (3)(1) = 5u • v3 = (1)(−2) + (2)(−5/2) + (3)(1) = −4v1 • v1 = (1)(1) + (0)(0) + (2)(2) = 5v2 • v2 = (−2)(−2) + (2)(2) + (1)(1) = 9v3 • v3 = (−2)(−2) + (−5/2)(−5/2) + (1)(1) = 45/4y al aplicar las f´ormulas obtenermos:c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v1, v2, v3|u] y la reducimos:1 −2 −2 10 2 −5/2 22 1 1 3 →1 0 0 7/50 1 0 5/90 0 1 −16/45de donde observamos que los valores de las constantes ci coinciden con los valores dados por los coeficientesde Fourier.21.11. Conjunto ortonormal de vectoresDefinici´on 21.5Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vm} se dice conjunto ortonormal o simplemente ortonormal si se cumplevi • vj = 0 para i = j y vi • vi = 1 para i, j = 1, . . . , m (2)Note que en caso de una base ortonormal S para un espacio las f´ormulas de Fourier para un u simplificana ci = u • vi, por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una baseortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal:{v1, . . . , vm} ortogonal →1||v1||v1, . . . ,1||vm||vm ortonormal (3)Ejemplo 21.11Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura:v1 =102 , v2 =−221 , v3 =−2−5/218
  • Soluci´on: Tenemos ya realizados los siguientes c´alculosv1 • v1 = 5 → ||v1|| =√5v2 • v2 = 9 → ||v1|| = 3v3 • v3 = 45/4 → ||v1|| =√45/2Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda1√5102 ,13−221 ,2√45−2−5/2121.12. Matriz ortogonalDefinici´on 21.6Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas deA forman un conjunto ortonormal.TeoremaA n × n: A es ortogonal ssi AT · A = I.Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en Rn, x • y = x′ · y:x1x2...xn•y1y2...yn= x1 · y1 + · · · + xn · yn = x1 x2 · · · xn ·y1y2...ynCon lo anterior se deduce que cuando se hace AT·v se calcula un vector donde cada componente es el productopunto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calculaAT · A la matriz resultante tiene en la posici´on (i, j) justo ai • aj es decir, el producto punto de la columnai de A con la columna j de A. De esta forma: AT · A = I si y s´olo si se tiene que las columnas de A sonortogonales y que tienen norma 1.Con la observaci´on anterior presente podemos hacer el ejemplo 1 m´as f´acilmente.Ejemplo 21.12Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonalv1 =102 , v2 =−221 , v3 =−2−5/21Soluci´onFormamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:A = [v1 v2 v3] =1 −2 −20 2 −5/22 1 1Y calculamos AT · A:AT · A =5 0 00 9 00 0 45/49
  • que sean cero los elementos que est´an fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal.Ejemplo 21.13Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectoresv1 =46z , v2 =x64 , v3 =2y3sea ortogonal.Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:A = [v1 v2 v3] =4 x 26 6 yz 4 3Y calculamos AT· A:AT· A =52 + z2 4 x + 36 + 4 z 8 + 6 y + 3 z4 x + 36 + 4 z x2 + 52 2 x + 6 y + 128 + 6 y + 3 z 2 x + 6 y + 12 13 + y2Por tanto, para que el conjunto se ortogonal debe cumplirse que:4 x + 36 + 4 z = 08 + 6 y + 3 z = 02 x + 6 y + 12 = 0de donde, los ´unicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = −31/5, y = 1/15 y z = −14/5Ejemplo 21.14Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2, −4 > respecto a la base ortonormalB =u1 =1/32/32/3 , u2 =2/3−2/31/3 , u3 =2/31/3−2/3Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinaci´onlineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinaci´on linealson los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de labase. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello, formamos la matriz A cuyas columnasson los vectores de B:A = [u1 u2 u3] =1/3 2/3 2/32/3 −2/3 1/32/3 1/3 −2/3y calculamos AT · A:AT · A =1 0 00 1 00 0 1Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal.Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos al producto:ATv =1/3 2/3 2/32/3 −2/3 1/32/3 1/3 −2/3 ·22−4 =−2/3−4/314/310
  • Por tanto, c1 = v • u1 = −2/3, c2 = v • u2 = −4/3, y c3 = v • u3 = 14/3 y el vector de coordenadas de vrespecto a la base B es < −2/3, −4/3, 14/3 >.TeoremaSea A una matriz n × n, y u y v dos vectores en Rn. Entonces(Au) • v = u • ATvDemostraci´on(Au) • v = (Au)Tv= uT AT v= uT AT v= u • AT vTeoremaSea A una matriz n × n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:(1) A es ortogonal.(2) A preserva los productos punto:(Au) • (Au) = u • v ∀u, v(3) A preserva norma:||Av|| = ||v|| ∀vDemostraci´on(1) implica (2)Si A es ortogonal, AT A = I. As´ı(A u) • (A v) = (A u)T · A v = uTAT · A v = uT · (AT · A)v = uT · I · v = uT · v = u • v(2) implica (3)Se tiene||A v||2= (A v) • (A v)= v • v = ||v||2tomando ra´ız cuadrada se tiene la igualdad de (3).(3) implica (1)11