O documento descreve conceitos fundamentais de cálculo como tangentes, velocidades e taxas de variação. Explica como calcular a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto, o que é equivalente à velocidade instantânea ou taxa de variação instantânea nesse ponto. Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos e sua aplicação em problemas de queda livre.

1. Tangentes, Velocidades e Outras Taxas de
Variações
Baseado em: James Stewart, Vol I, 4 Ed.

2. Tangentes, Velocidades e Outras
Taxas de Variações
Baseado em: James Stewart, Vol I, 4 Ed.
Tangentes
Tem-se uma curva C, cuja equação é: y= f(x).
Se quisermos encontrar a tangente a curva C, em um ponto
P (a, f(a)), devemos considerar um ponto qualquer vizinho
Q (x, f(x)), no qual x é diferente de a e devemos calcular
a inclinação da reta secante PQ.
m PQ = f (x )- f (a) / x-a
Profa. Rosana G. S. Miskulin

3. Assim,
mPQ = f(x) – f(a) / x-a
Inclinação da reta

4. Então fazemos Q aproximar-se de P, ao obrigar x
tender a a
P (a, f(a)) e Q ( x, f(x) )
Se mPQ tender a um número m, então definimos a
tangente t como sendo a reta que passa por P e tem
inclinação m.
Isso significa que a reta tangente t é a posição limite
da reta secante PQ, quando Q tende a P.

5. Tangentes, Velocidades e Outras
Taxas de Variações
DEFINIÇÃO: A reta tangente à uma curva
y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é a reta por P,
que tem a inclinação:
m = lim f(x) – f(a) / x-a, quando x tende a a,
desde que esse limite exista

6. CONCEITO DE DERIVADA
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
• http://www.ima.umn.edu/~arnold/calculus/secants/

7. EXEMPLO1
Encontre uma equação da reta tangente à parábola y= x2, no ponto P (1,
1) =P(a, f(a)).
Temos que:
a = 1, f(a) = 1 e f(x) = x2
m = lim f(x) – f(a) / x-a, quando x tende a a, desde que esse limite exista
m = lim (x2 – 1) / (x – 1) = lim (x- 1) (x +1) / (x-1)
x 1 x 1
Lim (x + 1) = 2, logo: m = 2
x 1
A equação da reta que passa por P (1,1) e possui coeficiente angular m = 2
é: y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = 2 (x – 1) resolvendo tem-se que:
y = 2x -1
R: y = 2x-1

8. Algumas vezes acontece de nos referirmos à
inclinação da reta tangente como sendo a
inclinação da curva no ponto.
A idéia é: Se dermos um zoom em direção ao
ponto, a curva aparentará ser uma reta.

9. Obs. Existe uma outra expressão
para a inclinação da reta tangente
h = x – a , então: x = a + h , logo a inclinação
da reta secante PQ:
( substituir x por a + h)
mPQ= f(x) –f(a) / x-a = f(a+h) –f(a) / h
Existem 2 casos: caso h >0 e caso h < 0
1-) h >0 Q está a direita de P e 2-) h< 0 Q está a esquerda de P

10. Obs. Existe uma outra expressão
para a inclinação da reta tangente
h = x – a , então: x = a + h , logo a inclinação
da reta secante PQ:
( substituir x por a + h)
mPQ= f(x) –f(a) / x-a = f(a+h) –f(a) / h

11. outra expressão
para a inclinação da reta tangente
Observe que: quando x tende a a
h tende a zero, pois h = x - a.
ENTÃO A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE NA DEFINIÇÃO
ANTERIOR –
m = lim f(x) – f(a) / x-a - FICARÁ:
x a
Lim f(x) –f(a) / x-a =
x a
Lim f(a+h) –f(a) /h = m
h zero
Inclinação da reta

12. Exemplo 2 – Encontre uma equação da
reta tangente à hipérbole y = f(x) = 3/x,
no ponto (3,1)
R = -1/3

13. Resolução: y = f(x) = 3/x, no ponto (3,1) = P (a, f(a))
a = 3 e f(a) = 1 e f(x) = 3/x
m = lim f(x) – f(a) / x-a
x tende a
m = lim ((3/x) – 1) / (x – 3) = [(3-x) /x] . 1/(x-3) =
x 3
= - (x -3) / x . 1/(x-3) = -1/x =
= m = lim -1/x = -1/3, logo: m= -1/3
x 3
Equação da reta, cuja tangente = m= -1/3
e que passa pelo ponto (3,1) = P (a, f(a)) é:
y – y1 = m. (x – x1) = y – 1 = -1/3 (x – 3) = 3y -3 = -x +3
3y + x = 3 +3 = 3y + x -6 = 0

14. Resolução (OUTRA FORMA) : y = f(x) = 3/x, no ponto
(3,1) = P (a, f(a))
a = 3 e f(a) = 1 e f(x) = 3/x
m = Lim f(x) – f(a) / x-a =
x a
Lim [f (a+h) –f(a) ]/h = lim [f ( 3 +h) – f(3) ] / h
h0
3 3 − (3 + h) 3− 3− h −h
−1
f (3 + h) − f (3) 3 + h = lim 3 + h = lim 3 + h = lim 3 + h = lim − h . 1 =
lim = lim
h h h h h 3+ h h
−1 −1
lim =
3+ h 3

15. lim – 1/3 + h = - 1 /3, logo: m = -1/3
h  0.
A equação da reta no ponto (3,1) ficará:
Y – y1 = m (x – x1 )
y – 1 = - 1/3 ( x – 3) = 3y + x -6 = 0

16. Exemplo 3 - Encontre as inclinações das retas tangentes
no gráfico da função y = f(x) = raiz de x, nos pontos:
(1,1), (4,2) e (9,3).
Resolução: Como são 3 pontos – vamos calcular para
um ponto genérico: P (a, f(a) = P (a, rq a).
m = Lim f(a + h ) – f(a) / h =
h 0
lim [rq (a +h) – rq a ] /h
multiplica-se o numerador e o denominador por: ( rq (a +h) + rq a ),
tem –se:
m = 1 / 2 . Rq a

17. As inclinações das retas ficarão:
No ponto P (1, 1) = P (a, f(a) ) e m = 1 / (2. rq a)
m = 1 / (2 rq 1) = ½ m=½
No ponto P (4,2) m = 1 / (2. rq 4) = 1/ 2.2 = ¼
m=¼
No ponto P (9, 3) = 1 / 2 . Rq a = 1/ (2 . rq 9) =
m = 1/ 2.3 = 1/6

18. VELOCIDADES
Vocês deverão ler em casa e
fazer um resumo e
disponibilizar nos portfólios
individuais no TelEduc

19. VELOCIDADES
Suponhamos que uma bola é solta a partir do ponto de
observação no alto da torre CN em Toronto, 450 m acima
do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
Galileu – descobriu que a distância percorrida por qualquer
objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do
tempo em que ele esteve caindo ( esse modelo para queda
livre despreza a resistência do ar).
Se a distância percorrida após t segundos for chamada s(t)
medida em metros, então a Lei de Galileu pode ser
expressa pela equação:
S(t) = 4,9 t2
Metade da aceleração da gravidade (g/2 = 9,8/2=4,9

20. • A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 seg. está em tratarmos
de um único instante de tempo
• (t = 5 seg), ou seja, não termos um intervalo de tempo.
• Porém, podemos aproximar a quantidade desejada computando a
velocidade média sobre o breve intervalo de tempo de um décimo de
seg, de t =5 até t = 5,1
• Vel. Média= distancia percorrida / tempo percorrido.
• V = dist /t
• Vm = sf – si / tf - ti =
• V = [s(5,1) – s(5) ] / 0,1
• Aplicando-se a LEI DE GALILEU, s (t) = 4,9 t2, tem-se que:
• V = [(4,9) . (5,1) 2 – (4,9) . (5)2 ] / 0,1 = 49,49 m /s.

21. A tabela mostra – resultados de cálculos
similares da velocidade média em períodos de
tempo cada vez menores.
Fica claro que a medida em que encurtamos o período de tempo, a
velocidade média fica cada vez mais próxima de 49 m/s.

22. • A Velocidade Instantânea - quando t = 5 é
definida como sendo o valor limite dessas
velocidades em períodos de tempo cada vez
menores, começando em t = 5. Assim, a
velocidade (instantânea) após 5 segundos é
V= 49 m/s
• Existe uma relação estreita entre o problema do
cálculo da tg. e o cálculo da velocidade.

23. • Se traçarmos o gráfico da função distância percorrida pela bola e
consideramos os pontos:
P ( a, 4,9a2 ) e Q ( a+h , 4,9(a+h)2 ) sobre o gráfico, então a inclinação da
reta secante PQ é
m PQ = [4,9 (a +h ) – 4,9 a 2] / [( a+h) - a]
Que é igual a velocidade média no intervalo de tempo [ a, a+ h ]
Logo a velocidade no instante t = a ( o limite dessas
velocidades médias quando h tende a zero) deve ser
igual a inclinação da reta tangente em P ( o limite
das inclinações das retas secantes ).

25. Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo
com a equação :
s = f (t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem
no instante t.
A funçaõ f que descreve o movimento é chamada de função posição do objeto no
intervalo de tempo entre
t = a e t = a+h
A variação na posição será de:
f(a+h) – f(a)
Velocidade média = deslocamento /tempo =
f(a+h) – f(a) / h que é igual a inclinação da reta tangente PQ
mPQ.

27. • Suponha que a velocidade média seja
calculada em intervalos de tempo cada vez
menores [ a, a+h] ( fazemos h tender a zero)
• Definimos velocidade (ou velocidade
instantânea) v (a) no instante t = a,
como sendo o lim dessas velocidades médias.
Assim, V(a) = lim [f(a+h) – f(a)] / h
Quando h tende a zero
Isso significa que a velocidade no instante
t = a é igual a inclinação da reta tangente em P

28. Agora que sabemos calcular Limite, veremos
novamente o problema da Bola (slide 9)
Suponha que a bola foi deixada cair do posto de
observação da torre, 450 m, acima do solo.
a) Qual a velocidade da bola após 5 seg.?
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?
Equação de movimento
S = f(t) = 4,9 t2
/ h
V(a) = lim [f (a + h) – f ( a)] / h = lim [4,9 ( a+ h )2 - 4, 9 a 2 ]
lim [4,9 (2ah +h2) ] / h = lim 4,9 ( 2a +h) = 9,8a
h tende a zero h tende a zero

29. a) a velocidade após 5s é de v(5) = 9,8.5 = 49
m/s.
b) posto de observação está 450 m, acima do
solo,
a bola irá atingir o solo em t1, quando s(t1) =
450, isto é,
4,9 t2 = 450
t12 = 450 /4,9 t1 = raizq 450 / 4,9 =~ 96 s
A velocidade bola atinge o solo –
V(t) = 9,8 t1 = 9,8 raizq 450 / 4,9 =~ 94 m/s

30. OUTRAS TAXAS DE VARIAÇÃO

31. OUTRAS TAXAS DE VARIAÇÃO
Suponha que y é uma quantidade que depende de
outra quantidade x.
Assim, y é uma função de x  y = f(x).
Se x variar de x1 para x2  a variação de x
(incremento de x) é:
x = x2 – x1
e a variação correspondente de y é:
y = f (x2 ) – f ( x1 )
O quociente de diferenças
 y /  x = f (x2 ) – f ( x1 ) / x2 – x1
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DE
y em relação a x
No intervalo [x1 , x2 ] e pode ser interpretado como a
Inclinação da Reta Secante PQ

32. OUTRAS TAXAS DE VARIAÇÃO
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO = mPQ
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTANEA = INCLINAÇÃO DA TANGENTE EM P

33. Em analogia
VELOCIDADE
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO EM INTERVALOS CADA VEZ
MENORES FAZENDO X2 TENDER A X1, E, PORTANTO, x
TENDER A 0.
O LIMITE DESSAS TAXAS MÉDIAS DE VARIAÇÃO É CHAMADO
DE TAXA (INSTANTÂNEA) DE VARIAÇÃO DE y em relação a x ( x
= x1)  INCLINAÇÃO DA TANGENTE À CURVA
y = f (x), em P ( x1, f(x1) )
TAXA INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO
Lim y /  x = lim (f ( x2 ) - f ( x1 ) ) / x2 – x1
x  0 x2  x1