Hedef Programlama

HEDEF PROGRAMLAMA (Goal Programming) HAZIRLAYAN Engin ÇAKIR

Çok Amaçlı Karar Verme

Karar problemlerinin çözümünde çoğunlukla optimal çözüm değeri elde edilmeye çalışılır. İşletmecilik problemlerinde kar maksimizasyonu optimal bir sonucu oluştururken, maliyet minimizasyonu da ayrı bir optimal sonuç oluşturmaktadır.

Doğrusal Programlamada amaç kar maksimizasyonu ya da maliyet minimizasyonu olarak ifade edilmektedir. Oysa gerçek hayattaki karar problemlerinde tek bir amaç bulunmaz.

Gerek kişiler gerekse kurumlar aynı anda birden çok amaca sahip olabilir.

Örneğin fabrika yeri seçilirken, şüphesiz ki maliyet minimizasyonu önemli bir amaçtır. Fakat bu amacın yanında kar maksimizasyonu, işgücüne yakınlık, ulaşım kolaylığı, pazar ve enerji kaynaklarına yakınlık amaçları da vardır.

Ancak bir çok açıdan çelişen hedefler içeren böyle bir problemin tüm kriterlerinin aynı anda gerçekleşmesi oldukça güçtür.

Bu tür problemlerin çözümünde çok amaçlı karar verme teknikleri kullanılır. Bu yöntemlerden biri de hedef programlamadır.

HEDEF PROGRAMLAMA

Uygulamada karşılaşılan sistemler birden çok amaca sahip olabilir.

Tek amaç optimizasyonuna çalışan doğrusal programlamanın yetersiz kaldığı bu durumlarda, hedef programlama kullanılır.

Karar vericiden her bir amaç için ulaşılması istenen hedef değerler belirlenmesi istenir. Bu hedef değerlerden sapmaları minimize eden bir çözüm bulunur. Bu hedefler birbiriyle çelişebilir.

(GOAL PROGRAMMING)

Örneğin, hırslı politikacılar hem iç borcu azaltmayı, hem de gelir vergisi oranını azaltmayı hedefleyebilir. Böyle durumlarda, çelişen amaçları optimumu kılan tek bir çözüm bulmak olanaksız olabilir. Bunun yerine, her amacın önem derecesini temel alan uzlaşık çözümler bulunabilir.

Temel düşünce, orijinali çok amaçlı olan problemi tek amaçlı probleme dönüştürmektir. Modelin sonucuna ETKİN ÇÖZÜM denir. Çünkü; problemin tüm çelişen amaçlarına uygun çözüm bulunmayabilir.

Başlıca Uygulama Alanları

Reklam programlarının kullanılması.

İşgücü planlaması

Üretim planlaması

Akademik planlama

Finansal Analiz

Ekonomik politika analizleri

Ulaştırma ve lojistik

Pazarlama str.planlaması

Çevrenin korunması

Sağlık hizmetlerinin planlaması

Kısıtlı Kaynakların opt.dağıtımını yapılması

Kuruluş yeri seçimi

Kamu sektöründeki kurumlarda ve kar amaçlı olmayan işletmelerde politika analizlerinin yapılması

Amaç: Kullanıcı tarafından belirlenen genel nitelik (gelirin artırılması, pazar payını korunması gibi)

Hırs seviyesi: Karar veren kişinin ortaya koyduğu hedefin sayısal değeri (5000 dolar haftalık gider, % 15 Pazar payı)

Sapma: Çözümle sağlanan gerçek performans seviyesi ile modelde belirlenen amaç arasındaki fark.

Öncelik: Kullanıcı tarafından amaç fonksiyonları için belirlenen önem sırası

Karar değişkenleri : Karar vermek için araştırdığımız bilinmeyenler kümesi.

Sağ taraf sabitleri: Kaynak değerlerini ifade eden değerlerdir.

Hedef: Belirlenmiş bir hedef kısıtı içinde belirlenmiş sağ taraf sabiti değerinden sayısal sapmayı en küçükleme isteğidir.

Öncelikli üstünlük faktörü: Amaç fonksiyonunun oluşturulabilmesi için en önemliden daha az önemliye sıralanan hedefler, ilk önce birinci öncelikli hedefin karşılanmasını daha sonra sırayla diğer hedeflerin karşılanmasını gerektirir. Bu durum şu ilişki ile gösterilebilir:

(En önemli hedef) P1>>>P2>>> Pk (En az önemli hedef)

Sapma değişkenleri: Hedef kısıtının sağ taraf sabitlerinden pozitif veya negatif sapma olabilme imkanını ifade eden değişkenlerdir. i=1, 2,......n için d i - ve d i + ile gösterilirler. Bu değişkenler doğrusal programlama modelindeki aylak değişkenlerle aynı gibi düşünülebilir.

Diferansiyel ağırlık: k. seviyede i. hedeften oluşan sapmaya ilişkin matematiksel ağırlık olarak ifade edilir. Wki ile gösterilir.

Doğrusal Programlama

Standart bir DP’nin matematiksel tanımı bu şekildedir.

MinZ=c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c n x n

a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =b 2

... ... ... ... ...

a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m

Örnek

Masa ve sandalye imal eden bir mobilya şirketinde montaj ve son işlem daireleri mevcuttur. Belirlenen üretim devresinde bir birimin imali için gerekli süreler ve dairelerin kullanılabilir zamanları aşağıda verilmiştir. Zaman birimi saattir.

Önem Dereceleri Konusu 6 8 Birim Kar(TL) 48 4 2 Son İşlem 60 2 4 Montaj Toplam Saat Sandalye Masa

Doğrusal Programlama ile çözümü gerçekleştiğinde;

Z max =8x 1 +6x 2

4x 1 +2x 2 ≤ 60

2x 1 +4x 2 ≤ 48

x 1 ,x 2 ≥ 0

DS for Windows ile Çözüm X 1 =12 X 2 =6 Z=132 YTL

Mamul bileşim probleminde tek hedefin kar olduğunu varsayalım. Hedef Kar= 140 YTL olsun.

d 1 + : Hedefin üzerindeki sapma

d 1 - : Hedefin altındaki sapma olmak üzere

Hedef programlama aşağıdaki gibi ifade edilir.

Z min =Hedefin altındaki sapmaların minimize edilmesidir. (d 1 - )

Kısıtlar

8x 1 +6x 2 + d 1 + - d 1 - =140

4x 1 +2x 2 ≤ 60

2x 1 +4x 2 ≤ 48

x 1 ,x 2, d 1 + ,d 1 - ≥ 0

Verilen kısıtlar altında maksimum karın 132 YTL olduğunu daha önce

DP’yi çözerek görmüştük.

Verilen HP probleminde amaç fonk. Z min = D 1 -

DS for Windows ile Çözümü x 1 =12, x 2 =6 ve z=8 z=8 hedeften sapmayı gösterir.

Örnek

Doğaşehir, 20 000 nüfuslu bir ilçe olup ilçe belediyesi topladığı vergilerle ilgili adil bir düzenleme yapma çabası içindedir.

Emlak vergisi için yıllık vergi tabanı 550 milyon pb’dir

Çevre vergisi için yıllık vergi tabanı 35 milyon pb’dir

Temizlik vergisi için yıllık vergi tabanı 55 milyon pb’dir.

Yıllık yerel doğalgaz tüketiminin ise 7.5 milyon varil olacağı tahmin edilmektedir.

Belediye meclisi, dört ana hedefi temel alan bir vergi oranı belirleme istemektedir.

Belediye meclisi, dört ana hedefi temel alan bir vergi oranı belirlemek istemektedir.

Vergi gelirleri ilçenin finansal gereksinimlerini karşılamak için en az 16 milyon pb olmak zorundadır.

Çevre vergisi toplam verginin % 10’unu geçemez.

Temizlik vergisi toplam verginin % 20’sini geçemez.

Doğalgazdan alınacak vergi m 3 başına 2 pb’yi geçemez.

x e Emlak vergi oranı

x ç Çevre vergi oranı

x t Temizlik vergi oranı

x d m 3 başına doğalgaz vergisi

Belediye meclisinin hedefleri aşağıdaki gibidir.

550x e +35x ç +55x t +0.075x d ≥16 Vergi geliri

35x ç ≤ 0.1( 550x e +35x ç +55x t +0.075x d ) Çevre vergisi

55x t ≤ 0.2( 550x e +35x ç +55x t +0.075x d ) Temizlik vergisi

x d ≤ 2 Doğalgaz vergisi

X e ,x ç ,x t ,x d ≥0

Bu sısıtlar şu şekilde basitleştirilir.

550x e +35x ç +55x t +0.075x d ≥16

55x e - 31,5x ç + 5,5x t +0.0075x d ≥ 0

110x e +7x ç - 44x t +0.15x d ≥ 0

x d ≤ 2

X e ,x ç ,x t ,x d ≥0

Orijinal Hedefler ve Amaç Fonk. d i + - d i - f(x) +d i + - d i - = b i f(x) =b i d i - f(x) +d i + - d i - = b i f(x) ≥ b i d i + f(x)+d i + - d i - = b i f(x) ≤ b i Minimize Yapılacak Sapan Değişken HP Formu Hedef Tipi

550x e +35x ç +55x t +0.075x d + d 1 + - d 1 - = 16

55x e - 31,5x ç + 5,5x t +0.0075x d + d 2 + - d 2 - = 0

110x e + 7x ç - 44x t +0.15x d + d 3 + - d 3 - = 0

x d + d 4 + - d 4 - = 2

X e ,x ç ,x t ,x d ≥0

d i + ,d i - ≥0, i = 1,2,3,4

Doğaşehir modelinde, ilk üç kısıt ≥ tipinde, dördüncü kısıt da ≤ tipinde verildiğinde, d 1 + , d 2 + , d 3 + , d 4 - sapma değişkenleri ihlal edilebilecek hedef miktarlarıdır. Böylelikle, uzlaşık çözüm dört amacı mümkün olduğunca sağlamaya çalışacaktır.

Min.G 1 = d 1 +

Min.G 2 = d 2 +

Min.G 3 = d 3 +

Min.G 4 = d 4 -

Bu fonksiyonlar, modelin kısıt denklemlerine göre minimum kılınır.

DS for Windows ile Çözümü

Hedef Programlama Algoritmaları

Eşit Önemde Çoklu Hedefler Yöntemi

Bu yöntemde belirlenen hedeflere önem düzeylerine dikkat edilmemektedir.

Bütün hedefler eşit önemdedir.

Örnek (Eşit Önemde Çoklu Hedefler)

DAĞ firması üç farklı ürün üretmektedir. Her ürün için gerekli işçilik saati, boya plastik malzeme ile ürünlerden elde edilen birim kar aşağıdaki tabloda verilmektedir. İşletmenin kullanılabilir 900 işçilik saati, 1550 varil boyası, 1600 birim plastik mlz. bulunmaktadır.

24 4 2 3 C 22 3 2 4 B 16 2 3 1,5 A Kar Plastik Boya Malzeme İşçilik Ürün Saati

İşletme yönetimi aşağıdaki eşit öncelikli hedefler i belirlemiştir.

HEDEF 1: Tam 10 500 YTL kar elde etmek

HEDEF 2: Fazla mesai yapmamak

HEDEF 3: İlave boya almamak

HEDEF 4: İlave plastik malzeme almamak.

İlave olarak alınan plastik malzeme d 4 - Fazla mesai d 2 - Kullanılmayan plastik malzeme d 4 + Kullanılmayan işgücü d 2 + İlave olarak alınan boya d 3 - Kar hedefinin üstüne çıkan miktar d 1 - Kullanılmayan boya d 3 + Kar hedefinin altında kalan miktar d 1 +

Yönetim kar hedefi için hem aşağı ( d 1 - ) hem de yukarı ( d 1 + ) sapma ile ilgilenmektedir. Fakat eksik işgücü kullanımı, boyanın ve plastik malzemenin eksik kullanımı ele alınmamaktadır. Amaç fonksiyonunda d 1 + , d 1 - , d 2 + , d 3 + ve d 4 + sapma değişkenleri amaç fonksiyonunda yer almaktadır.

Amaç Fonksiyonu

Z min= d 1 + + d 1 - + d 2 + + d 3 + + d 4 +

Kısıtlar

16x 1 +22x 2 +24x 3 + d 1 + - d 1 - = 10 500

1,5x 1 + 3x 2 + 2x 3 + d 2 + - d 2 - = 900

3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + d 3 + - d 3 - = 1550

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + d 4 + - d 4 - = 1600

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , d 1 + , d 1 - , d 2 + , d 2 - , d 3 + , d 3 - , d 4 + , d 4 - ≥0

İşletmenin eşit öncelikli 4 hedefi vardır.

B ürünü hiç üretilmiyor. (x 2 =0)

A ürünü 225 adet (x 1 =225)

C ürünü 287,5 adet (x 3 =287,5)

İşletme tam 10 500 YTL kar elde ediyor. (d 1 + =0, d 1 - =0)

Fazla mesai kullanmama hedefine ulaşılamadı.(d 2 + =125) 125 saat fazla mesai kullanılmıştır.

İlave boya almama hedefine ulaşılmıştır. ( d 3 + =0)

İlave plastik mlz. almama hedefine ulaşılmıştır. (d 4 + =0)

Eldeki 1550 varil boyanın 300 varili kullanılmamıştır.

(d 4 +- =300)

Ağırlıklandırma Yöntemi

Bu yöntemde belirlenen hedeflere önem düzeylerine göre ağırlık puanları atanarak hedefler tek bir amaç fonksiyonu olarak ifade edilir. n hedefli bir hedef programlama modelinin ağırlıklandırma yöntemi kullanılarak oluşturulmuş amaç fonksiyonu;

Z Min = w 1 G 1 + w 2 G 2 +...+ w n G n

Burada w i , i=1,2...,n, her bir hedefe karar vericinin verdiği önemi yansıtan pozitif ağırlıklardır. w i değerleri çoğunlukla öznel yöntemlerle belirlenmektedir.

Örnek

Reklamevi, 10 çalışanı olan yeni bir reklam ajansıdır. Ajans yeni bir ürünün reklam kampanyasını üstlenmiştir. Ajans reklam kampanyasını radyo ve televizyon aracılığıyla yapabilmektedir. Aşağıdaki tablo, her bir reklam türü (TV ya da radyo reklamı) ile ulaşılacak insan sayısını, ayrıca maliyeti ve işgücü gereksinimlerini göstermektedir.

Reklamevi’nin firmayla yaptığı sözleşmede, radyo reklamının 6 dakikadan uzun olamayacağı şeklinde bir madde bulunmaktadır. Buna ek olarak, radyo ve televizyon reklamlarının en az 45 milyon kişiye ulaşması istenmektedir. Reklamevi bu kampanya için 100 000 pb’lik bir bütçe ayırmıştır. Reklamevi radyo ve televizyonda kaçar dakikalık reklam yapmalıdır? 8 24 2 4 8 1 Ulaşılan kişi sayısı Maliyet (1000 pb) Gereken çalışan sayısı TV Radyo Reklamın dakikası başına veri

x 1 = Radyo reklamına ayrılan dakika

x 2 = Televizyon reklamına ayrılan dakika

Hedefler

Radyo reklamının 6 dk’dan uzun olamayacağı

Radyo ve TV reklamlarının en az 45 milyon kişiye ulaşması gerekmektedir.

G 1 : ulaşılmak istenen kişi sayısı şu şekilde ifade edilir:

G 1 : 4x 1 +8x 2 +d 1 + - d 1 - = 45

Min G 1 = d 1 +

G 2 : Bütçe hedefinin ifadesi aşağıdaki gibidir:

G 2 : 8x 1 +24x 2 +d 2 + - d 2 - = 100

Min G 2 = d 2 -

Karar ortamından kaynaklanan kısıtlar şunlardır:

x 1 +2x 2  10

x 1  6

x 1 , x 2 , d 1 - ,d 1 + , d 2 - , d 2 +  0

Reklamevi yöneticileri ulaşılan kişi hedefini bütçe hedefinden iki kat daha önemli olduğunu düşünmektedir.

min.z=2G 1 +G 2 =2d 1 + + d 2 -

haline gelir.

Önceliği Koruma Yöntemi

Önem derecelerinin farklı olduğu hedeflerde ise daha düşük önem derecesine sahip hedefler, ancak daha yüksek önem derecesine sahip hedeflere ulaşıldığında gerçekleştirilebilir.

P 1 , P 2 , ..., P n önem derecelerini simgeler.

Mamul bileşimi sorusunda P 1 =13 adet masa üretmek, P 2 =135 TL kar elde etmek ve P 3 =5 adet sandalye üretmek olsun.

Mamul Bileşimi Sorusu

d 1 - = Kar hedefinden negatif sapma

d 1 + = Kar hedefinden pozitif sapma

d 2 - = Masa üretimi hedefinden negatif sapma

d 2 + = Masa üretimi hedefinden pozitif sapma

d 3 - = Sandalye üretimi hedefinden negatif sapma

d 3 + = Sandalye üretimi hedefinden pozitif sapma

Z min = P 1 d 2 - +P 2 d 1 - +P 3 d 3 -

8x 1 +6x 2 + d 1 + - d 1 - =135

x 1 + d 2 + - d 2 - = 13

x 2 + d 3 + - d 3 - = 5

4x 1 +2x 2 ≤ 60

2x 1 +4x 2 ≤ 48

x 1 , x 2 , d 1 + ,d 1 - , d 2 + ,d 2 - , d 3 + ,d 3 - ≥ 0

ÖRNEKLER

Örnek:1

Bir AVM müşteri çekmek için genç, orta yaşlı ve 60+’ne sergi ve konser olmak üzere iki etkinlik düzenlemektedir. Bir serginin maliyeti 1500pb, konserin maliyeti 3000 pb ve bu iki etkinlik için ayrılan kesin bütçe 15 000 pb’dir. AVM yöneticisi etkinlikleri izleyenlerin sayısının aşağıdaki gibi olacağını tahmin etmektedir.

250 400 0 Sergi 0 100 200 Konser 60 + Orta Yaşlı Genç Etkinlik Etkinlik Başına İzleyici Sayısı

Yönetici minimum izleyici sayısı hedeflerini

Genç izleyici =1000 kişi

Orta yaşlı izleyici =1200 kişi

60 yaş üstü izleyici =800 kişi olarak belirlemiştir.

Problemi hedef programlama olarak formüle edin?

x 1 = Konser sayısı

X 2 = Sergi sayısı

Amaç Fonksiyonu

Z min= d 1 + + d 1 - + d 2 - + d 3 - + d 4 -

Kısıtlar

3000x 1 +1500x 2 + d 1 + - d 1 - = 15 000

200x 1 + 0x 2 + d 2 + - d 2 - = 1000

100x 1 + 400x 2 + d 3 + - d 3 - = 1200

0x 1 + 250x 2 + d 4 + - d 4 - = 800

x 1 , x 2 , d 1 + , d 1 - , d 2 + , d 2 - , d 3 + , d 3 - , d 4 + , d 4 - ≥0

Örnek:2 Bir çiftliğin günlük yem gereksinimi 3 tondur. Kireçtaşı, mısır ve soya fasulyesinin karışımı olan bu yem: en az % 0,08 ve en fazla %1,2 kalsiyum; en az %22 protein; en çok % 5 lif besin değerlerini karşılamak zorundadır. Problemi hedef programlama modeli olarak formüle ediniz. 0,08 0,5 0,002 Soya unu 0,02 0,09 0,001 Mısır 0,00 0,00 0,80 Kireçtaşı Lif Protein Kalsiyum İçerik İçeriktekilerin kg başına ağırlıkları(kg)

x 1 =Kireçtaşı

x 2 =Mısır

x 3 =Soya unu

Hedefler:

x 1 + x 2 + x 3 ≥ 3000 Toplam Yem İhtiyacı

0,380 x 1 + 0,001x 2 + 0,002x 3 ≥ 0,0008( x 1 + x 2 + x 3 ) cals min

0,380 x 1 + 0,001x 2 + 0,002x 3 ≤ 0,0120( x 1 + x 2 + x 3 ) cals max

0,000 x 1 + 0,090x 2 + 0,500x 3 ≥ 0,2200( x 1 + x 2 + x 3 ) pro. min

0,002 x 1 + 0,500x 2 + 0,080x 3 ≤ 0,0500( x 1 + x 2 + x 3 ) lif max

x 1 + x 2 + x 3 ≥ 3000

0,7992x 1 + 0,0002x 2 + 0,0012x 3 ≥ 0

0,368 x 1 - 0,011x 2 - 0,001x 3 ≤ 0

-0,220 x 1 - 0,130x 2 + 0,280x 3 ≥ 0

-0,048 x 1 + 0,450x 2 + 0,030x 3 ≤ 0

Z min = d 1 + + d 1 - + d 2 - + d 3 + + d 4 - + d 5 +

x 1 + x 2 + x 3 + d 1 + - d 1 - 3000

0,7992x 1 + 0,0002x 2 + 0,0012x 3 + d 2 + - d 2 - = 0 ( ≥)

0,368 x 1 - 0,011x 2 - 0,001x 3 + d 3 + - d 3 - = 0 ( ≤)

-0,220 x 1 - 0,130x 2 + 0,280x 3 + d 4 + - d 4 - = 0 ( ≥)

-0,048 x 1 + 0,450x 2 + 0,030x 3 + d 5 + - d 5 - = 0 ( ≤)

HP’nin Avantajları

Bu yöntemle iki ve daha çok amaca sahip karar problemlerinin çözümü yapılabilir.

Gevşek kısıtlara izin verir.

Hedef programlama, doğrusal programlamada “Uygun Çözümü Mevcut olmayan” (infeasible) problemlere uygun bir çözüm geliştirmede yardımcı teknik olarak da kullanılmaktadır.

HP’nin Dezavantajları