El Teorema de Bertrand en la Aritmética Dismal

  • 430 views
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
430
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
6
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL Cipriano Bonilla
  • 2. IV [OTRAS ARITMÉTICAS] 90
  • 3. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV AGRADECIMIENTOAgradezco primeramente a Dios por ayudarme durante estos 4 años de arduo estudio ypor permitirme realizar este trabajo para optar por el Título de Licenciado en Matemática.A mi madre Alicia A. De Bonilla por todo su apoyo incondicional, a mi padre, a mishermanos y cada uno de mis familiares que me animaron a seguir y lograr mis metas.Al Dr. JAIME GUTIÉRREZ, profesor del Departamento de Matemática, por su ayuda ydedicación en el asesoramiento del material para la realización de este trabajo.A la profesora Guadalupe Tejada, por su apoyo y a todo los profesores que han apoyadoa ser un mejor profesional.A cada uno de mis compañeros de IV año de Licenciatura en Matemática y cada uno demis amigos por estar presto en ayudarme en los momentos difíciles. 91
  • 4. IV [OTRAS ARITMÉTICAS] DEDICATORIAA mis padres, a mis hermanos, familiares y a toda mi familia en Cristo. Por ser motivo de inspiración de querer ser alguien en la vida y compartir este gran logro. 92
  • 5. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV INTRODUCCIÓNUn curso de Teoría de Números “Elemental” incluye usualmente resultados clásicos yelegantes, entre ellos podemos mencionar la ley de reciprocidad cuadrática, resultados deconteo usando la fórmula de inversión de Möbius y otras funciones teórico-numéricas;aún el teorema del número primo, sobre la densidad aproximada de los primos entre losenteros, tiene una prueba difícil pero “elemental”. Otros temas en Teoría de NúmerosElemental tales como: soluciones de sistemas de congruencias lineales (teorema chino delos restos), solución de ecuaciones cuadráticas binarias (la ecuación de Pell y fraccionescontinuas), números de Fibonacci, ternas pitagóricas, representación de enteros medianteformas y ecuaciones diofánticas, resultan ser precursores de herramientas sofisticadas yresultados importantes en otras áreas de la matemática.En esta monografía se pretende incursionar, estudiar y dar a conocer algunos resultadosnuméricos del Teorema de Bertrand en un nuevo tipo de aritmética, la AritméticaDismal, la cual fue publicada el 5 de Julio de 2010 por David Applegate, Marc LeBrunvy Neil Sloane.Para empezar veremos el teorema de Bertrand en la aritmética clásica, luego nosintroduciremos en la aritmética dismal donde veremos las operaciones básicas de suma yproducto dismal y otros analogías que se han desarrollado con el programa llamadoWolfram Mathematica versión 8.0. Luego de esto nos centraremos en formular elteorema de Bertrand en esta aritmética, haremos un programa que nos ayude a ver comoes el comportamiento de este teorema en esta aritmética y además obtener la suficienteinformación numérica para comprobar con certeza de que este teorema sea cierto o falsoen esta aritmética. Por ultimo veremos una comparación del teorema de Bertrand en laaritmética clásica versus la aritmética dismal. 93
  • 6. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]1. Antecedentes Históricos1.1. El teorema de Bertrand en la Aritmética ClásicaLos números primos son los componentes fundamentales de todos los números enteros,así como los átomos lo son de la materia. De este modo, el estudio de los números primoses fundamental para entender a fondo las propiedades de los números naturales.Recordemos que un número positivo p es primo si sus únicos divisores positivos son élmismo y 1. Se tiene que todo número natural se expresa como producto de númerosprimos (de forma única salvo permutaciones).El teorema de Bertrand dice que si n > 3 es un entero, entonces existirá al menos unnúmero primo p con n < p < 2n − 2. Otra formulación más débil pero más elegante es:para todo n > 1 existe al menos un primo p tal que n < p < 2n.Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1,siempre va a existir al menos un número primo que sea mayor que dicho número y menorque el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay como mínimo un número primoentre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nosocurra, tan grande como queramos.Este teorema fue inicialmente formulado en 1845 por Joseph Bertrand (1822-1900). Elpropio Bertrand verificó su certeza para [2, 3 × 106], es decir Joseph Bertrand verificóque para cada entero n entre 2 y 6, 000,000 existe siempre como mínimo un primo entre ny 2n. Ver [1] J. Bertrand Chebyshov 94
  • 7. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IVLa demostración de esta conjetura la encontró Chebyshov (1821-1894) en 1850 y portanto el teorema también es conocido como Teorema de Bertrand-Chebyshov o Teoremade Chebyshov. Ver [2]Más tarde también dio una demostración P. Ërdos uno de los matemáticos más genialesde este siglo, que la descubrió cuando tenía solo 18 años.Ramanujan (1887-1920) dio una demostración más simple.Las demostraciones nos las vamos a reproducir aquí, ya que resulta algo complicado deseguir. Ver [3] y [4] P. Ërdos S. Ramanujan 95
  • 8. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]2. Aritmética DismalEste artículo “Dismal Arithmetic” se publicó recientemente el 5 de julio del 2011,podemos encontrar mucha más información en la página web de OEIS. Ver [5], [6] y [7]Aritmética Dismal es como la aritmética que aprendimos en la escuela, sólo más simple:no hay acarreos, cuando se agregan los dígitos que usted acaba de tomar la más grande, ycuando se multiplican los dígitos de tomar la más pequeña.Cuando se suman o multiplican números, seguiremos reglas similares a las nuestras, conla excepción de que no hay que llevar dígitos a otras posiciones. Usaremos y paradichas operaciones y los símbolos “+” y “x” para las operaciones en la aritmética clásica..2.1. Operaciones BásicasAritmética dismal es un álgebra conmutativa en la que las operaciones en un solodígito se definen por: a) SumaPor ejemplo: 2 6=6Para números con dos y más cifras se procede de la misma forma digito a digito,por ejemplo: 169 36890 248 73448 269 76898 b) ProductoPor ejemplo: 3 7=3Para números con dos y más cifras se procede de la misma forma digito a digito,por ejemplo: 96
  • 9. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV 57 35 345 826 55 345 33 222 355 345 _ 34545Observación: La resta y la división no están definidas en esta aritmética.2.2. Otras analogíasEn la aritmética Dismal usaremos como base la base 10, la identidad multiplicativa ya noes 1, sino b-1, que sería 9.basicaSea A, el conjunto de "dígitos" {0, 1, 2,. . ., b-1}, equipado con el binario de dosoperaciones: la suma y el producto.  m n:= máx.{m, n},  m n:= mín. {m, n}, para m, n Є A.Como la resta y la división Dismal no están definidas, lo cual hace que los númerosDismales constituyan solamente un semianillo, la suma y el producto satisfacen las leyesconmutativa y asociativa, además la multiplicación se distribuye sobre la suma. Esto espor lo anterior mencionado de que los números Dismales constituyen un semianillo. Porotro lado, este semianillo tiene una identidad multiplicativa y no hay divisores de cero.Ver más en [8].Observación: Para mayor información de esta interesante aritmética, dirigirse a lamonografía de Alberto Segura: Aritmética Dismal.2.3. Primo DismalEn la aritmetica Dismal, la identidad multiplicativa es el 9.Por ejemplo:9 3 = 3, 9 32=32 97
  • 10. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]De hecho, se deduce de la definición de multiplicación que la identidad multiplicativa esel más grande numero de un solo dígito. En este caso sería el 9 y de hecho se puedecomprobar que 9 n = n para todo n.De esto podemos definir lo siguiente:  Para todo x entero, lo que es la única "unidad dismal" 9 tal que los producto dismales de 9 x siempre es igual a x.  Un primo dismal p no es el producto dismal de todos los números excepto 9 y p.  Si p es primo, entonces al menos un digito de p debe ser igual a 9.Algunos primos Dismal son:19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 109, 209, 219,309,319, 329, 409, 419, 429, 439, 509, 519, 529, 539, 549, 609, 619, 629, 639, . . .Una condición necesaria para que un número sea primo es que debe contener un digitoigual a 9. Si k es grande, casi todos los números de longitud k que contienen a 9 como undigito y que no termine en cero son primos.Observación: Debemos tener en cuenta que la presencia de un dígito igual a 9 es unacondición necesaria pero no suficiente para que un número sea primo.Como sabemos el primo más pequeño en la aritmética común es el 2, en esta aritméticael primo dismal más pequeño es el 19.3. Formulación del teorema de Bertrand en La aritmética dismal.En esta aritmética tenemos como unidad el 9 y el menor número primo es 19.El teorema de Bertrand en la aritmética dismal seria asa: “Para cualquier númeronatural n mayor que 9, existe un número primo p que cumple n < p < 19n” con 19n elproducto dismal de 19 por n. 98
  • 11. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV4. Operaciones de la aritmética dismal en Mathematica versión 8.0Se utilizado el programa Wolfram Mathematica versión 8.0. Para ahorrar y facilitar elcálculo y el manejo de cantidades numéricas, a continuación veremos los programas y sumetodología utilizados para desarrollar cada operación y cálculo necesario en estaaritmética.Producto DismalExplicación de cómo funciona este programa: Multiplicaremos dismalmente dos númerosn y m.r = IntegerLength[n]: guarda en r la cantidad de dígitos que tiene n.s = IntegerLength[m]: guarda en s la cantidad de dígitos que tiene m.a = IntegerDigits [n, 10]: descompone a n en cada uno de sus dígitos (a es un vector delongitud r).b = IntegerDigits [m, 10]: descompone a m en cada uno de sus dígitos (b es un vector delongitud s).c = Table[Min[a[[i]], b[[j]]], {j, s, 1, -1}, {i, 1, r}]: c es una lista de lista en cada lista seguarda el mínimo de comparar cada uno de los elementos del vector a con cada uno delos elementos del vector b. 99
  • 12. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]d = Table[FromDigits[c[[i]]]*10^(i - 1), {i, s}]:d es una lista que hace que cada lista de cse convierta en un numero entero y además le añade i-1 ceros a la derecha como necesiteese número.e = Table[IntegerDigits[d[[i]], 10, r + s - 1], {i, s}]: se toma cada número de la lista d ylos descompone en cada uno de sus dígitos y los convierte en vectores de longitud r+s-1añadiendo a la izquierda ceros hasta alcanzar esa longitud y se guardan en una lista e.f = Table[Max[e[[All, i]]], {i, r + s - 1}]: toma la lista de lista y las acomoda en unamatriz de manera que cada la primera fila es la primera lista de e, la segunda fila es lasegunda lista y así sucesivamente, f es una lista que guarda en la posición uno el máximode la columna uno de la matriz y así sucesivamente.FromDigits[f]: convierte la lista f en un número entero el cual es el resultado demultiplicar n por m.Función G[z_]Como todo primo 10-dismal debe tener al menos un digito igual a 9 y no puede terminaren cero (salvo 90), lo primero que haremos es eliminar del intervalo [m, n] los númerosque no cumplen con estas condiciones. La función definida anteriormente realiza esteprocedimiento para cualquier lista de números enteros. 100
  • 13. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IVEjemplo:G[{3, 4, 9, 67, 19, 78, 99, 90, 43, 23, 56, 79}] = {9, 19, 99, 79}Programa del Teorema de BertrandEsta función devuelve la cantidad de números primos dismales que hay entre un númeron y 19n.be = ProductoDismal[19, n]: calcula el producto dismal de 19 por n.primos = G[Table[i, {i, n, be}]]: aquí guardamos los candidatos a primos, ya que lafunción G[Z_] devuelve una lista de números que contienen uno más dígitos iguales a 9.compuestos1 = Union[compuesto, {9}]: esta es una lista que contiene todos losproductos dismales hasta 5 cifras y le añadimos la unidad.primosncifras = Complement[primos, compuestos1]: cuando intersecamos loscandidatos a primos con los compuesto nos devuelve los primos dismales.m = Length[primosncifras]: devuelve la longitud de la lista de los primos dismales, esdecir, la cantidad de primos dismales que hay entre n y 19n.Ejemplos: 1) BertrandDismal[10] = 18 (18 primos en el intervalo [10,190]) 2) BertrandDismal[99] = 2 (2 primos en el intervalo [99,199]) 3) BertrandDismal[100] = 99 (99 primos en el intervalo [100,1100]) 101
  • 14. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]Usos que le podemos dar a este Programa del Teorema de Bertrand  Bert100 = Table[BertrandDismal[i], {i, 10, 100}]: devuelve una lista que contiene la cantidad de primos que tiene cada número desde el 10 hasta 100.{18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 16, 16, 16,16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 14, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 11,11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 99}Esto lo podemos interpretar así: para n=10 hay 18 primos dismales, para n=11 hay 18primos,… y para n=100 hay 99 primos.  des = DiscretePlot[BertrandDismal[i], {i, 10, 100}]: muestra un gráfico del resultado anterior de la siguiente manera:Podemos hacer lo mismo para los números del 10 hasta 1000, obtendremos el siguientegráfico:  esq = DiscretePlot[BertrandDismal[i], {i, 10, 1000}] 102
  • 15. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IVObservación: Para n =99, el Teorema de Bertrand nos dice que en el inérvalo [99, 199]hay 2 primos dismales y para cualquier otro n mayor que 9 habrá más de 2 primosdismales.Podemos seguir haciéndolo para números más grandes, pero necesitaríamos unacomputadora más potente que nos permita hacer estos cálculos.Programa del teorema de Bertrand en la Aritmética Clásica 103
  • 16. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]Hemos hecho este programa para mostrar el comportamiento del Teorema de Bertrand enla Aritmética clásica, calculáremos la cantidad de primos que hay entre un numero m y2m (su doble).A continuación se explicara que hace cada parte del programa:pro = 2 (m): calcula el producto clásico de 2 por m.num = Table[i, {i, m, pro}]: devuelve una lista que inicia con el numero m , con unaumento de uno en uno, hasta 2m.primos = Table[Prime[n], {n, pro}]: devuelve una lista de los pro primeros primos, esdecir siempre nos devolver una lista con los 2m primeros primos.primosBer = Intersection[num, primos]: devuelve los primos que se encuentra en elintervalo [m,2m].cont = Length[primosBer]: cuenta cuantos primos hay en el intervalo [m,2m]Usos de este programa  Podemos calcular lo siguiente: 1) BertrandClasico[10] = 4 (4 primos en el intervalo [4,8]) 2) BertrandClasico[99] = 20 (20 primos en el intervalo [99,198]) 3) BertrandClasico[100] = 21 (21 primos en el intervalo [100,200])  BertCla100 = Table[BertrandClasico[i], {i, 2, 100}]: calcular cuántos primos hay en el intervalo [m, 2m] para m desde 2 hasta 100.{2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 7, 7, 8, 8, 9,10, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 9, 10, 10, 10, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 13, 13,12, 12, 13, 13, 14, 14, 13, 14, 15, 15, 14, 14, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 15, 15, 16, 16, 16, 16,16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 20, 19, 20, 21}. 104
  • 17. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV GraBertCla100 = DiscretePlot[BertrandClasico[i], {i, 2, 100}]: obtener el grafico de lo anterior. GraBertCla1000 = DiscretePlot[BertrandClasico[i], {i, 2, 1000}]: obtener el grafico desde 2 hasta 1000. 105
  • 18. IV [OTRAS ARITMÉTICAS]Comparación de los gráficos del Teorema de Bertrand en ambas aritméticas Para un intervalo de 2 a 100  saa = DiscretePlot[{BertrandClasico[i], BertrandDismal[i]}, {i, 2, 100}] 1 2 1. Aritmética Dismal 2. Aritmética ClásicaObservación: el comportamiento del Teorema de Bertrand en ambas Aritmética pareceser opuesto y un poco inconveniente para la Aritmética Dismal.Veamos que pasa para un intervalo más grande. 2. Para un intervalo de 2 a 1000  saa=DiscretePlot[{BertrandClasico[i],BertrandDismal[i]},{i,2,1000}] 106
  • 19. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV 2 1 1. Aritmética Dismal 2. Aritmética ClásicaObservación: En la Aritmética clásica, sabemos que el propio J. Bertrand sabía que esteteorema era cierto de acuerdo a la evidencia numérica que poseía, pero no pudodemostrarlo, Chebyshov 5 años después da la demostración a este teorema.En la Aritmética Dismal podemos decir con toda certeza de que el Teorema de Bertrandes cierto, es decir: “En el intervalo [n, 19n] siendo siempre habrá más de unprimo”, la evidencia numérica mostrada anteriormente es muestra de que es cierto.Lo que faltaría es una demostración rigurosa, la cual alguien interesado y con ganas dehacer Matemática, la hará algún día. 107
  • 20. IV [OTRAS ARITMÉTICAS] CONCLUSIÓN Y RECOMENDACIONES  Con estos resultados comprobamos cuál es la densidad de los números primos dismales. Como vemos, tiene una regularidad matemática sorprendente.  El Teorema de Bertrand es cierto en esta aritmética, la evidencia numérica es una muestra de que se cumple, lo que faltaría es una demostración rigurosa.  Si queremos más evidencia numérica para este teorema y otros resultados es necesario un software potente como Mathematica versión 8.0. y además de un ordenador con la capacidad de manejar grandes cifras.  Esta es una nueva aritmética, así que les animo a incursionar en otros temas maravillosos y hacer mucha Matemática.  También les recomiendo visitar los sitios web: http://oeis.org/wiki/Template:Mathematics y http://mathematicsite.jimdo.com donde puede encontrar valiosa información de este tema y otros que le podrían interesar. 108
  • 21. [ EL TEOREMA DE BERTRAND EN LA ARITMÉTICA DISMAL] IV REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Postulado_de_Bertrand[2] http://foro.migui.com/vb/showthread.php/11175-Teorema-de-Bertrand-Chebichev[3] http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/[4]http://usuarios.multimania.es/teoriadenumeros/bertrand.html[5] http://oeis.org/wiki/Template:Mathematics[6]http://oeis.org/search?q=PRIMES+DISMAL&sort=&language=english&go=B%C3%Busqueda[7] http://www2.research.att.com/~njas/doc/carry2.pdf[8] http://oeis.org/A087061 109