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Unidad 3.- Álgebra de BooleEjemplo: Dibuje un circuito que represente la expresión booleana (A + B + C) + (X ● Y)         ...
Unidad 3.- Álgebra de Boole   4. Rotule                                                                   D               ...
Unidad 3.- Álgebra de Boole   8. Represente gráficamente (A + B + C) ● (D + E ● F) + G.   9. Represente gráficamente A ● (...
Unidad 3.- Álgebra de BooleDEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLEUn conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operacione...
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Unidad 3.- Álgebra de BooleComo ejemplo, vamos a demostrar a través de axiomas uno de estos teoremas:Teorema 2: Idempotenc...
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Unidad 3.- Álgebra de Boole        En electrónica digital se dispone de las puertas elementales que se detallan en la tabl...
Unidad 3.- Álgebra de BooleCompuerta O (OR)       La compuerta O equivale a un circuito en paralelo, pues da como salida u...
Unidad 3.- Álgebra de BooleCompuerta NI (NOR)La compuerta NI está formada por una compuerta O seguida de un inversor.     ...
Unidad 3.- Álgebra de BooleSimplificando                                          A • ~B       A       B                  ...
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Unidadalgebrabooleana

  1. 1. Unidad 3.- Álgebra de Boole ALGEBRA DE BOOLEEn 1847 un matemático inglés autodidacta llamado George Boole (1815 – 1864), desarrolla unossímbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lógica deductiva.Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertir las proposiciones lógicas ensímbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad o falsedadde proposiciones relacionadas entre sí. La matemática desarrollada por Boole se conoce en la actualidad como álgebra booleana,álgebra de Boole ó lógica simbólica. Después de su muerte, algunos matemáticos perfeccionaron su sistema para hacerlo másutilizable, nos interesa particularmente la aplicación que en 1938 ideó el científico Claude E. Shannon.En su tesis de graduación del Instituto Tecnológico de Massachuset, Shannon demostró cómo podíaaplicarse el álgebra de Boole al diseño y la simplificación de los relés y circuitos de conmutación quese utilizan en los complejos circuitos que forman las computadoras electrónicas, pues permitesimplificar las conexiones físicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesariopara alojarlo. En este tema nos ocuparemos brevemente de esta lógica de la conmutación, como podríamosllamarla, pero limitándonos a los circuitos de conmutación y las compuertas (llamadas también“puertas lógicas”). Nos interesa la lógica del circuito, no la electrónica. No obstante, los conceptos que expondremos a continuación son los mismos que se aplican a lapelícula delgada, los núcleos magnéticos, los transistores y demás componentes de los circuitosempleados en las computadoras. Para facilitar la discusión de los circuitos de conmutación, recurriremos a la siguiente notación: Circuito eléctrico; la flecha indica el sentido de circulación de la corriente. Interruptor abierto, o en la posición “desconexión” Interruptor cerrado, o en la posición “conexión” Ejemplo 1: El interruptor está abierto (desconexión). No hay paso de corriente El interruptor está cerrado (conexión). Hay paso de corrienteIng. Miguel Ángel Durán Jacobo 1
  2. 2. Unidad 3.- Álgebra de BooleCIRCUITOS EN SERIE Y CIRCUITOS EN PARALELO1Circuitos en serieTodos los interruptores de un circuito en serie deben estar cerrados para que pueda circular la corriente: A B Tanto A como B deben estar cerrados para que pueda circular la corriente por este circuito Los tres interruptores X, Y, y Z deben estar X Y Z cerrados para que pueda circular la corriente por este circuito.Circuitos en paraleloEn los circuitos en paralelo basta con que uno de los interruptores esté cerrado para que pueda circularla corriente: A En este circuito habrá flujo o paso de corriente si A, B o B, o ambos, están cerrados. X Y También en este circuito circulará la corriente si por lo menos uno de los interruptores X, Y, y Z está Z cerrado.1 No se indicarán las fuentes reales de corriente. Para facilitar la explicación, supongamos que la fuente de corriente seencuentra a la izquierda y que la dirección del flujo o paso de corriente es de izquierda a derecha.Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 2
  3. 3. Unidad 3.- Álgebra de BooleUso de tablasLos resultados del ejemplo de circuito en serie, pueden presentarse de manera sencilla y clararecurriendo a una tabla como la siguiente. A B CORRIENTE Abierto Abierto No pasa Abierto Cerrado No pasa Cerrado Abierto No pasa Cerrado Cerrado PasaIntroduzcamos ahora la siguiente notación: 0 significa interruptor abierto o “no circula corriente”. 1 significa interruptor cerrado o “circula la corriente”. ● representa la operación lógica “Y”. Por ejemplo, A ● B se lee “A Y B”.Con esta notación, la tabla anterior se simplifica del modo siguiente: A B A●B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1Esta tabla equivale a la tabla aritmética A●B 0●0=0 0●1=0 1●0=0 1●1=1Así: A ● B = 1 sólo cuando A = 1 y B = 1. A ● B = 0 en cualquier otro caso. Es preciso recordar que en un circuito en serie con dos interruptores, solo circula corrientecuando los dos interruptores están cerrados. En cualquier otro caso, no hay paso de corriente.Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 3
  4. 4. Unidad 3.- Álgebra de BoolePasemos ahora al caso de dos interruptores en paralelo y construyamos la tabla A B CORRIENTE Abierto Abierto No pasa Abierto Cerrado Pasa Cerrado Abierto Pasa Cerrado Cerrado Pasa O, con la notación ya introducida, A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Usando el signo “+” para representar la operación lógica “O”, A + B se lee “A O B”, y tenemosla siguiente tabla aritmética: A+B 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 En otros términos: A + B = 1 si o A es 1, o B es 1, o si ambos son 1. A + B = 0 solo si tanto A como B = 0. Aunque el resultado 1 + 1 = 1 pueda parecer extraño, es necesario tener presente que no se tratade una adición aritmética, sino de la operación lógica O. Con esta observación, el resultado será másfácil de aceptar.Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 4
  5. 5. Unidad 3.- Álgebra de BooleROTULACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CIRCUITOS LÓGICOS2 Intentemos ahora rotular y representar gráficamente algunos circuitos simples de conmutación. Rotule el circuito de la derecha indicando en qué condiciones circulará la corriente. A B Sólo habrá corriente si A y B están cerrados. Luego el “rótulo” correspondiente es A ● B. C Rotule el circuito de la derecha. En este caso, el rótulo es C + F, puesto que habrá corriente si cualquiera de los dos F interruptores está cerrado. Rotule el circuito de la derecha. El rótulo es en este caso, , puesto que habrá corriente si A B A y B están cerrados, o si C está cerrado. Luego el rótulo es: (A ● B), C. C Lo que se escribe: A●B+C Rotule el circuito de la derecha. Obsérvese Q que el interruptor P debe estar necesariamente cerrado para que circule la corriente. De los otros interruptores (Q y R), P R basta con que uno esté cerrado. Luego el rótulo es: P y (Q o R). Que se escribe: P ● (Q + R) Adviértase también que en esta expresión es necesario utilizar paréntesis, porque la jerarquía de las operaciones es la misma que en aritmética: multiplicación antes que la adición (Y antes que O). Si no usáramos paréntesis y escribiéramos P ● Q + R, estaríamos rotulando el circuito siguiente:2 El rótulo ha de indicar en todos los casos las condiciones en que hay corriente.Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 5
  6. 6. Unidad 3.- Álgebra de Boole P Q R Que no es el que teníamos originalmente.Veamos otros ejemplos de circuitos combinados (serie – paralelo)Ejemplo: Rotule A C B D Siguiendo el camino de la corriente, observamos que para que ésta pueda circular, deben cumplirse dos condiciones necesarias: 1. Por lo menos uno de los interruptores A, B debe estar cerrado. 2. Por lo menos uno de los interruptores C, D debe estar cerrado. Luego lo que necesitamos es (A o B) y (C o D); es decir, el rótulo es: (A + B) ● (C + D)Ejemplo: Dibuje un circuito que represente la expresión booleana (A ● B) ● (C + D). (A ● B) ● (C + D) ⇓ ⇓ ⇓ y C A B D El rótulo original pudo haberse escrito A ● B ● (C + D). C A B DIng. Miguel Ángel Durán Jacobo 6
  7. 7. Unidad 3.- Álgebra de BooleEjemplo: Dibuje un circuito que represente la expresión booleana (A + B + C) + (X ● Y) A B C D X YEl rótulo original pudo haberse escrito A + B + C + X ● Y.Ejercicios de práctica: 1. Forme la tabla binaria correspondiente a tres interruptores en serie. 2. Forme la tabla binaria correspondiente a tres interruptores en paralelo. 3. Ilústrase a continuación una computadora muy simple, pero capaz de responder a la pregunta: “¿Están los dos interruptores cerrados?”. Si la respuesta es “sí”, se enciende la lámpara. Si la respuesta es “no”, la lámpara permanece apagada. Dibuje el circuito de una computadora de este tipo capaz de responder a la pregunta “¿Está por lo menos uno de tres interruptores cerrado?”. Indique cómo se daría la respuesta. BATERÍAIng. Miguel Ángel Durán Jacobo 7
  8. 8. Unidad 3.- Álgebra de Boole 4. Rotule D A B C E F 5. Represente gráficamente (A + B) + (C ● D). 6. Rotule A B C D E F 7. Rotule B C A D EIng. Miguel Ángel Durán Jacobo 8
  9. 9. Unidad 3.- Álgebra de Boole 8. Represente gráficamente (A + B + C) ● (D + E ● F) + G. 9. Represente gráficamente A ● (B ● D + E + C● F). 10. Represente gráficamente X + Y + W ● Q + R. 11. Rotule E A F C B D 12. Represente gráficamente (A + B + C) ● (D ● E + F) ● H + I. 13. Rotule B C D A G E F 14. Calcule el valor de cada una de las expresiones Booleanas siguientes: a. 1 + 0 + 0 ● 1 b. 1 ● 1 ● 1 c. 1 + (1 ● 0 ● 1) d. 0 ● (1 + 1) e. 1 ● (0 + 1 ● 0 + 0)Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 9
  10. 10. Unidad 3.- Álgebra de BooleDEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLEUn conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos sumalógica ( + ) y un producto lógico ( ● ), una operación unitaria que llamaremos complemento ( ∼ ), sedice que es un Álgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas: A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjunto A; la suma de a + b es igual que b + a de la misma manera que el producto de a • b es igual a b • a. ∇ a, b ∈ A, a + b = b + a y a • b = b • a A2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y ( ● ) son, respectivamente, el elemento cero (0) y el elemento (1). ∇ a ∈ A, a + 0 = a y a • 1 = a A3. Distributiva: ∇ a, b, c ∈ A, a + (b • c) = (a + b) • (a + c) y a • (b + c) = (a • b) + (a • c) A4. Complementario: ∇ a ∈ A, a + ∼a = 1 y a • ∼a = 0Comentarios importantes a) De los axiomas anteriores se deducen las siguientes tablas para las operaciones ( + ) y ( ● ). Suma lógica Producto lógico (+) (●) + 0 1 ● 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1Así 0+0=0 0•0=0 0+1=1 0•1=0 1+0=1 1•0=0 1+1=1 1•1=1Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 10
  11. 11. Unidad 3.- Álgebra de Boole b) Para que el Álgebra de Boole anterior sea aplicable a circuitos lógicos se define un conjunto A de dos elementos como A = {0, 1}, con las operaciones ( + ) y ( ● ). En consecuencia, las variables a, b, c,… que utilizamos son variables binarias, y sólo pueden tomar un valor de entre dos posibles valores que son “0” y “1”. Al Álgebra de Boole de varias variables binarias se le denomina Álgebra de Boole binaria. A partir de ahora supondremos que seguimos trabajando con esta álgebra. c) La operación producto lógico ( ● ) muchas veces se omitirá, dejándose sobreentendida si se escriben varias variables seguidas; así por ejemplo, son equivalentes las expresiones siguientes: a • (b + c) = a • b + a c ⇔ a (b + c) = a b + a c d) Se supondrá, al igual que en el álgebra ordinaria, que la operación ( ● ) es prioritaria sobre la ( + ), salvo que esta prioridad se altere por medio de los paréntesis. Así: es lo mismo que a + (b • c) a • (b + c) y es diferente a (a + b) • cTeoremasPor medio e los axiomas anteriores, se pueden demostrar los siguientes teoremas dados en la tabla. Teorema 1: Dualidad Se puede pasar de una propiedad a otra análoga (dual) intercambiando entre sí las operaciones ( + ) y ( ● ). Así por ejemplo, la dual de a + 0 = a es a ⋅ 1 = a Esto es lógico, pues si hemos demostrado una propiedad, la dual se puede demostrar haciendo los pasos duales de la citada demostración. Suma Producto Teorema 2: Idempotencia a+a=a a•a=a Teorema 3: Identidad de los elementos 0 y 1 a+1=1 a•0=0 Teorema 4: Absorción a + (a • b) = a a • (a + b) = a Teorema 5: Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c) a • (b • c) = (a • b) • c) Teorema 6: Complementarios de 0 y 1 ~0=1 ~1=0 Teorema 7: Involución (o doble complemento) ~ (~ a ) = a Teorema 8: Leyes de Morgan ~ (a + b) = ~ a • ~ b ~ (a • b) = ~ a + ~ b Teorema 9: No tiene un nombre especial a+~a•b=a+b a • (~ a + b ) = a • bIng. Miguel Ángel Durán Jacobo 11
  12. 12. Unidad 3.- Álgebra de BooleComo ejemplo, vamos a demostrar a través de axiomas uno de estos teoremas:Teorema 2: Idempotencia a + a = aDemostración: Partiremos del segundo miembro de la igualdad para llegar al primer miembro, aplicando losaxiomas del Álgebra de Boole. Pondremos a la izquierda los pasos de la demostración y a la derecha el axioma o teoremaaplicado. a= Por A2): a+0=a =a+0= Por A4): a+~a=0 =a+a•~a Por A3): a + (b • c) = (a + b) • (a + c) = (a + a) • (a + ~ a) = Por A4): a+~a=1 = (a + a) • 1 = Por A2): a•1=a =a+a Con lo que queda demostrada la idempotencia de la suma lógica.RELACIÓN ENTRE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS, ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y ÁLGEBRA DE BOOLE BINARIAHemos obtenido en los temas anteriores los siguientes resultados: • El conjunto de las partes de un conjunto tiene estructura de álgebra de Boole, con las operaciones unión e intersección, y las propiedades de la complementación. • El conjunto de las proposiciones lógicas tiene estructura de Álgebra de Boole con los conectivos disyunción, conjunción y negación. • Las equivalencias entre las operaciones de estos tres álgebras se ponen de manifiesto en la siguiente tabla. Álgebra de conjuntos Álgebra de proposiciones Álgebra de BooleUnión (∪ ) Disyunción (∨ ) Suma (+)Intersección (∩) Conjunción (∧) Producto (•)Conjunto vacío (∅ ) Falso (F) Elemento 0 (0)Conjunto universal (U) Verdadero (V) Elemento 1 (1)Complemento ( ~ ) Negación (~) Complementario (~)Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 12
  13. 13. Unidad 3.- Álgebra de BooleEjemplo: Demostrar que a+b+1=1 y a•b•0=0 a) Por tablas de valores. b) Por axiomas y teoremas.a) Por tablas de valores.Construiremos las tablas de valores por el procedimiento contrario al empleado en el álgebra deproposiciones, colocando primeramente los “0” y luego los “1” en lugar de las “V” y las “F”. a b a+b (a + b) + 1 = 1 a b a•b a•b•0=0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0Donde se ve que siempre vale 1, luego: Donde se ve que siempre vale 0, luego: a+b+1=1 a•b•0=0b) Por axiomas y teoremas. • a+b+1= Asociativa = ( a + b )+ 1 = A + 1 = 1 (siendo A = a + b) =1 • a•b• 0= Asociativa =(a•b)•0= A ⋅ 0 = 0 (siendo A = a • b) =0Nótese que ambas demostraciones son análogas debido a la dualidad existente entre las operaciones.FUNCIONES DE BOOLEVeamos ahora otras técnicas como aplicación de las funciones de Boole, que principalmente se usan enel diseño y simplificación de circuitos lógicos digitales en los que está basada la arquitectura básica dela computadora. Estas técnicas permiten simplificar las funciones booleanas y, de esta forma, conducen luego acircuitos digitales más sencillos y, por tanto, a circuitos lógicos que ocupan menos espacio (es decir,permiten la construcción de computadoras de menor tamaño).Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 13
  14. 14. Unidad 3.- Álgebra de BooleRelación entre estados eléctricos y estados lógicos Supongamos que estamos experimentando con un CIRCUITOcircuito que posee dos entradas y una salida. Se obtienen diferentes salidas para unosdeterminados valores en las entradas, que sólo responden con tensiones eléctricas de 0 y 10 voltios; portanto, son señales digitales que tienen dos estados. De esta forma hemos obtenido las tensioneseléctricas de la tabla siguiente: Voltaje A Voltaje B Voltaje C 0 voltios 0 voltios 0 voltios 0 voltios 10 voltios 10 voltios 10 voltios 0 voltios 10 voltios 10 voltios 10 voltios 10 voltios Esta es la situación real, pero conviene olvidarse por ahora de los estados eléctricos y trabajarcon estados lógicos de “0” y “1”. Tomando lo que se denomina lógica positiva se asocia: • La tensión más alta con el estado lógico “1”. • La tensión más baja con el estado lógico “0”. Si se hiciera la asociación contraria, estaríamos usando lógica negativa. Suponiendo queusamos lógica positiva, los valores de las tensiones eléctricas se representan en forma de estadoslógicos en la siguiente tabla: A B C 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Y, como se ve, la salida C obtiene la suma lógica de las entradas A y B, es decir, que la funciónque realiza ese circuito es C=A+B Que en electrónica digital se corresponde con la puerta ORIng. Miguel Ángel Durán Jacobo 14
  15. 15. Unidad 3.- Álgebra de Boole En electrónica digital se dispone de las puertas elementales que se detallan en la tabla siguiente,con las que es posible trasladar cualquier función de Boole a un circuito electrónico. Puerta Función Descripción NOT ~A Complemento AND A•B Producto OR A+B Suma XOR A • ~B + ~A • B Suma exclusiva NAND ~( A • B ) Complemento del producto NOR ~( A + B ) Complemento de la suma Nótese que las variables binarias se representan con letras mayúsculas.COMPUERTAS Muchas de las funciones básicas de las unidades aritméticas y de control de las computadoras serealizan utilizando circuitos formados por combinaciones de compuertas3. Estas funciones incluyen: 1. La suma de números binarios. 2. La codificación binaria de números decimales. 3. La decodificación de binario a decimal. 4. La comparación de dos números. 5. La sincronización. 6. La cuenta. 7. El almacenamiento de resultados aritméticos. Cada compuerta es un circuito que acepta una entrada o más, en forma de impulso (1) o impulsoinvertido (0), y proporciona una salida del mismo tipo, es decir, impulso o impulso invertido (1 o 0). ENTRADAS CIRCUITO SALIDACompuerta Y (AND) La compuerta Y equivale a un circuito en serie. Produce como salida un impulso (1), si hayimpulso en todas sus entradas. El símbolo que sigue es el que se usa corrientemente para representaruna compuerta Y con dos entradas. A A•B B3 La compuerta constituye el circuito lógico elemental.Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 15
  16. 16. Unidad 3.- Álgebra de BooleCompuerta O (OR) La compuerta O equivale a un circuito en paralelo, pues da como salida un impulso cuandocualquiera de sus entradas es un impulso. El impulso utilizado normalmente para representar unacompuerta O con dos entradas es el que figura a continuación. A A+B BInversor (Complemento) El inversor da como salida el estado opuesto al de entrada. Si la entrada es un impulso, la salidaes un impulso invertido y viceversa. Simbólicamente, decimos que a la entrada A corresponde la salida~A. ~A representa A invertido, es decir, el complemento de A. El símbolo es el que aparece acontinuación. A ~ACompuerta NO-Y (NAND) Llámase compuerta NO-Y al conjunto formado por una compuerta Y seguida de un inversor, talcomo se ilustra a continuación. A A•B ~ (A • B) BEl símbolo más comúnmente usado para esta compuerta es el siguiente. A ~ (A • B) BLe corresponde la tabla binaria Y NO-Y ⇓ ⇓ A B A⋅B ~(A ⋅ B) 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 16
  17. 17. Unidad 3.- Álgebra de BooleCompuerta NI (NOR)La compuerta NI está formada por una compuerta O seguida de un inversor. A A+B ~(A + B) BEl símbolo usual es A ~(A + B) BLe corresponde la tabla binaria O NI ⇓ ⇓ A B A+B ~(A + B) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0Compuerta O EXCLUSIVA (XOR)4Tratándose de dos entradas, la compuerta O EXCLUSIVA queda representada por la expresiónbooleana A ⋅ ~B + ~A ⋅ B, que corresponde a. A A • ~B B A • ~B + ~A • B A B ~A • B B4 XOR es la abreviatura de exclusive OR, nombre en inglés de este tipo de compuerta.Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 17
  18. 18. Unidad 3.- Álgebra de BooleSimplificando A • ~B A B A • ~B + ~A • B A B ~A • BLe corresponde la tabla binaria XOR ⇓ A B ~A ~B A • ~B ~A • B A • ~B + ~A • B 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0Si describimos la tabla, podemos decir, si A o B (pero no ambos) es un impulso, el resultado es tambiénun impulso. En cualquier otro caso, la salida es un impulso invertido.Ejercicios de práctica: 1. Represente una compuerta Y con tres entradas. Dibuje también un circuito en serie sencillo con tres interruptores. 2. Represente una compuerta O con tres entradas. Forme la correspondiente tabla binaria. 3. forme un atabla binaria para mostrar el efecto del inversor sobre un impulso y sobre un impulso invertido. 4. Represente una compuerta NO-Y de tres entradas y forme su tabla binaria. 5. Represente una compuerta NI de tres entradas y forme su tabla binaria. 6. Represente una compuerta O de dos entradas con sendos inversores intercalados. Forme la tabla binaria correspondiente. 7. Represente una compuerta Y de dos entradas con sendos inversores intercalados. Forme la tabla binaria correspondiente. 8. Represente gráficamente (A + B) • (C + D) 9. Represente gráficamente (A + B) • C 10. Represente gráficamente (A • B) + (C • D)Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 18

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