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RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS E REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA


        Durante a pesquisa realizada surgiu como um dos problemas enfrentados pelos
professores de que os números complexos é uma área de pouca aplicação. Seguindo a ideia de
Moraes que “aprender não é absorver conhecimentos vindos prontos de fora, e sim ampliar o
já anteriormente aprendido” (2007, p. 23) vou propor um texto didático relacionando com
conhecimentos já desenvolvidos pelos estudantes.
        Sendo assim, a minha proposta não vai ser tradicional, vou utilizar alguns contextos
já estudados pelos estudantes no Ensino Médio, retomando alguns conhecimentos, como a
geometria, trigonometria e a progressão aritmética. Logo, vamos conseguir ampliar esta “teia”
de conhecimentos dos estudantes, através da visão construtivista do aprender.
        Com este texto didático, o professor vai fazer com que os alunos trabalhem com a
(o):
             Observação, a construção e a descoberta de regularidades;
             Entendimento do conceito de radiciação de um número complexo;
             Relação da radiciação de um número complexo com a geometria plana;
             Calculo do número de raízes de um complexo;
             Construção e visualização de figuras geométricas;
             Identificação dos argumentos que crescem em forma de progressão aritmética;
             Raciocínio lógico.


        Através do conhecimento que os jovens possuem após o estudo de Potenciação e, por
meio de exemplos, questionamentos e de desenhos, os alunos podem ser motivados a
descobrir regularidades. Os questionamentos devem ser feitos constantemente para os
estudantes, mostrando que a Radiciação de          está ligado com a geometria plana e a
progressão aritmética. A aula pode ser expositivo-dialogada, com o objetivo de incentivar e
mediar os estudantes para que os mesmos sejam sujeitos no processo de construção de seus
conhecimentos durante o decorrer das aulas.
        O conteúdo abordado será desenvolvido através de exemplos, além da realização de
exercícios que o levam a refletir sobre a radiciação dos Números Complexos. As atividades
poderão ocorrer em duplas para que haja a interação e cooperação entre os colegas e, sempre
que possível, os discentes devem ser convidados a expressarem suas opiniões e
conhecimentos prévios sobre o assunto.
        Partimos do pressuposto de que o educador já tenha trabalhado conceitos como: a
potenciação de números complexos – de maneira algébrica e geométrica –, progressão
aritmética e círculo trigonométrico. O educador pode iniciar a radiciação em       a partir de um
exemplo e da sua generalização, construindo com a participação dos estudantes. Por exemplo:
encontre as raízes sextas do número complexo                  .
        Através da representação trigonométrica se obtêm:
                                          =       (               ).

        O professor deve ressaltar que ao determinar a raiz sexta de w significa o mesmo que
          . O professor pode contar um pouco sobre a história de Moivre, contando que ele
estudou sozinho Matemática, após ler os Princípios de Newton e, chegou a se tornar membro
das academias de Paris e Berlim. Em 1722, descobriu a fórmula ( √                       ), mas só
era possível para casos particulares e nunca tinha sido demonstrada. Quem generalizou foi
Euler e, em 1748 ele redescobriu a fórmula de Cotes, demonstrando que Moivre estava
correto para todo expoente real.
        Depois de um pouco de história, podemos voltar para o exemplo.
                                                  , aplicando no nosso exemplo:
                                                                                           .

        Agora, o docente pode apresentar a definição a seguir: “dois números complexos em
suas representações trigonométricas são iguais se, e somente se, seus módulos e argumentos
forem iguais”. Logo, os alunos conseguem concluir que:

                                                                               .

        Assim, os estudantes perceberão que todas as raízes sextas de w terão módulo igual
3. Continuando o exemplo. Pode se pedir para os alunos atribuírem valores inteiros
consecutivos para k e encontrar os próximos números complexos. Esperando que os alunos
encontrem as seguintes raízes.
        Para k = 0, teríamos                          )

        Para k = 1, teríamos                          )

        Para k = 2, teríamos                          )

        Para k = 3, teríamos                              )

        Para k = 4, teríamos                              )

        Para k = 5, teríamos                          )

        Quando k = 6, os alunos deverão perceber que o argumento obtido será igual ao          e,
neste momento as raízes começaram a se repetir.
Neste momento da atividade, os estudantes podem ser questionados sobre como os
argumentos se comportam? Quantos argumentos as raízes sexta apresentarão? Qual a relação
entre a raiz sexta e seus argumentos?
        E com isso esperamos que os estudantes concluam que os argumentos seguem uma
progressão aritmética de razão     e, então, as raízes sextas definirão 6 argumentos. Se os

estudantes não notarem isto, vamos propor mais algumas construções para permitir esta
reflexão por parte dos estudantes, mas antes disto temos que fazer a construção geométrica. O
próximo passo seria desenhar no plano de Argand-Gauss as raízes sextas encontradas. O
desenho deverá ser parecido com este que segue abaixo.




        Ao juntar os números complexos z0 com z1, z1 com z2 e assim por diante. O professor
pode questionar: Qual a figura geométrica encontrada? Com o desenho, os alunos visualizarão
que será um hexágono, e perceberão com maior facilidade o crescimento dos argumentos na
forma de progressão aritmética. Além disto, a mudança do algébrico para o geométrico
favorece para a apreensão da matéria.
        Já pensando na avaliação é importante o docente conhecer o que os estudantes
entenderam sobre a radiciação dos números complexos, se conseguiram estabelecer alguma
relação com algum conteúdo conhecido e quais dificuldades ou questionamentos que eles
tiveram em relação ao conteúdo, estes registros ficam com o professor. Este registro é muito
importante, pois no final da aula eles terão que fazer novamente este registro e o docente
poderá analisar o avanço de cada estudante.
        Agora vamos propor para os estudantes encontrarem as raízes quartas do número
complexo 16. Seguindo a linha desenvolvida acima os estudantes concluíram:
Os estudantes já registraram que todas as raízes quartas do Número Complexo terão
módulo igual 2. O próximo passo é desafiá-los a encontrarem os próximos números
complexos. Esperando que os alunos encontrem as seguintes raízes.
        Para k = 0, teríamos                      )
        Para k = 1, teríamos                      )

        Para k = 2, teríamos                      )

        Para k = 3, teríamos                          )

        Quando k = 4, os alunos deverão perceber que o argumento obtido será igual ao        e,
neste momento as raízes começaram a se repetir.
        O docente pode voltar a questionar. O que faz os argumentos mudarem? O que esta
multiplicação representa? Vocês percebem algum padrão entre os argumentos?
        Deixo estas perguntas no ar, esperando que os estudantes percebam que o argumento
vai aumentando , como numa progressão aritmética. E seguindo só falta a construção no

plano Argand-Gauss, obtendo o seguinte desenho.




        Ao juntar os números complexos w0 com w1, w1 com w2 e assim por diante. O
professor pode questionar: Qual a figura geométrica encontrada? Com o desenho, os alunos
visualizarão que será um quadrado, e perceberão com maior facilidade o crescimento dos
argumentos na forma de progressão aritmética.
        Acredito que os estudantes entenderam que os argumentos crescem em forma de
progressão aritmética, para analisar esta minha conclusão posso propor um exemplo que dá
alguns Números Complexos e desafiá-los a encontrarem os próximos e fazer sua construção
no plano Argand-Gauss.
        A atividade consiste em dar os números complexos                                      ,

                         )e                           ) e dizer que estes são raízes quintas de
um número complexo. O docente vai desafiar os estudantes para encontrarem os próximos
números complexos até encontrarem a repetição. Se os estudantes entenderam como se
formam os argumentos, eles conseguiram fazer com facilidade este desafio.
          Caso eles não percebam, o docente pode questionar: Quanto é a diferença do
argumento do      para o    ? E do    para o       ? Porque as diferenças encontradas são iguais?
Com estes questionamentos o professor pode fazer uma reflexão com a turma perguntando
como é formada a ideia da multiplicação? A ideia da multiplicação vem de somas de parcelas
iguais, fazendo esta relação com o valor que k assume para encontrar os argumentos. Talvez
os estudantes não cheguem a esta conclusão, pois muitas vezes fazem estes cálculos de forma
natural e não se dão conta desta definição.
          Assim, espero que os estudantes encontrem os seguintes números complexos:

                   ),                         ),                       ),                      ),

                        )

          Fazendo sua representação no plano Argand-Gauss obtemos:




          E os estudantes vão perceber que o desenho formado é um pentágono. Neste
momento também sugiro que estudantes façam os registros com as mesmas questões que
foram feitas anteriormente, pois o docente poderá comparar os registros e o avanço que
estudantes tiveram.
          Logo, de um modo geral, para encontrar a raízes n-ésimas de um número complexo
termos:
                                      √
          o que significa determinar os números complexos z tais que                            .
Assim, através da potenciação, os cálculos da radiciação podem ser efetuados.
Portanto, com os cálculos referentes ao módulo e aos argumentos e, com os
questionamentos feitos anteriormente, os estudantes poderão concluir que:

                          √                      √                           .

        Com este estudo, o docente deve constatar que, como as raízes terão o mesmo
módulo, os pontos dessas raízes situaram-se em uma circunferência de centro na origem.
Além de falar é muito importante os alunos registrarem cada passo do exemplo e também a
definição acima.
        O educador pode ser questionado sobre por que utilizar a forma trigonométrica, ao
invés da algébrica, o que nos mostra o acompanhamento das questões e a participação. A
resposta pode ser por que eles já haviam aprendido a forma potencial e na trigonométrica a
melhor forma é esta, pela facilidade no cálculo. E desta forma, a conversão para o registro
gráfico permitirá a observar regularidades existentes como: a de que os vértices das raízes
enésimas de um número complexo são vértices de um polígono regular de n vértices, que
pertencem a uma circunferência de centro e raio igual à raiz enésima do módulo do número,
permitindo-nos relacionar os números complexos à geometria plana.
        Com a construção do conhecimento, o professor pode propor alguns exercícios e
desafios para os estudantes, pois a forma mais fácil é relacionar os argumentos em forma de
progressão aritmética.
        A avaliação é um processo complicado e complexo. Segundo os PCN’s, a avaliação
deve ser vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico, um instrumento para repensar e
reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino. O professor deve
considerar a avaliação como processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos
limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que
participam.
        A avaliação deve ocorrer em todos os momentos das aulas. O professor estará atento
às perguntas, as respostas, comentários dos alunos, ou seja, sua participação na sala de aula e
para tanto, o professor circulará pela sala para observar o desenvolvimento dos exercícios.
        A construção dos gráficos é um aspecto importante para ser avaliado, pois tem como
objetivo perceber a aplicabilidade dos números complexos na geometria plana e na progressão
aritmética e, também ver se os estudantes conseguem relacionar o conhecimento “prévio” que
possuem com este conteúdo estudado na aula.
        Outra forma de avaliar seria através de registros que os estudantes fazem, relatando
algumas conclusões que eles obtiveram e as dificuldades que tem.
Analisar os registros dos alunos como instrumento de avaliação é quase sempre mais
                       eficaz do que obter dados a partir de uma prova pontual, porque permite
                       intervenções imediatas na realidade observada, não sendo necessário esperar um
                       bimestre ou um trimestre para resolver os problemas que surgem ou, na pior das
                       hipóteses tomar consciência deles. (SMOLE. DINIZ. MILANI. 2007, p. 19)

        O docente pode pedir para os estudantes fazerem estes registros, como também é
importante que o professor faça registros sobre algumas sensações ou aprendizagem que
foram desenvolvidas durante a aula. Cada professor estabelece um critério de avaliação.
Seguindo a ideia de ampliar o conhecimento, acredito que o mais importante é avaliar como
os estudantes estabeleceram as relações entre o conhecido com o desconhecido.
        Em relação à nota, este é um campo complexo. Acredito que a análise e comparação
dos registros no começo e no final da aula são a forma mais adequada de avaliar o estudante.
Assim, o docente vê quando cada estudante avançou e reflete sobre as relações desenvolvidas
pelos alunos. Em relação das dificuldades citadas por eles é importante levar isto em conta,
trabalhar com estas situações para preencher estas lacunas, principalmente antes da realização
de uma avaliação mais concreta. Pensando na nota, minha sugestão seria repartir a nota, 10%
para os questionamentos, comentários feitos na aula; 20% para a análise e a comparação dos
registros; 70% para avaliação formal da prova.

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Texto didático

  • 1. RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS E REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Durante a pesquisa realizada surgiu como um dos problemas enfrentados pelos professores de que os números complexos é uma área de pouca aplicação. Seguindo a ideia de Moraes que “aprender não é absorver conhecimentos vindos prontos de fora, e sim ampliar o já anteriormente aprendido” (2007, p. 23) vou propor um texto didático relacionando com conhecimentos já desenvolvidos pelos estudantes. Sendo assim, a minha proposta não vai ser tradicional, vou utilizar alguns contextos já estudados pelos estudantes no Ensino Médio, retomando alguns conhecimentos, como a geometria, trigonometria e a progressão aritmética. Logo, vamos conseguir ampliar esta “teia” de conhecimentos dos estudantes, através da visão construtivista do aprender. Com este texto didático, o professor vai fazer com que os alunos trabalhem com a (o):  Observação, a construção e a descoberta de regularidades;  Entendimento do conceito de radiciação de um número complexo;  Relação da radiciação de um número complexo com a geometria plana;  Calculo do número de raízes de um complexo;  Construção e visualização de figuras geométricas;  Identificação dos argumentos que crescem em forma de progressão aritmética;  Raciocínio lógico. Através do conhecimento que os jovens possuem após o estudo de Potenciação e, por meio de exemplos, questionamentos e de desenhos, os alunos podem ser motivados a descobrir regularidades. Os questionamentos devem ser feitos constantemente para os estudantes, mostrando que a Radiciação de está ligado com a geometria plana e a progressão aritmética. A aula pode ser expositivo-dialogada, com o objetivo de incentivar e mediar os estudantes para que os mesmos sejam sujeitos no processo de construção de seus conhecimentos durante o decorrer das aulas. O conteúdo abordado será desenvolvido através de exemplos, além da realização de exercícios que o levam a refletir sobre a radiciação dos Números Complexos. As atividades poderão ocorrer em duplas para que haja a interação e cooperação entre os colegas e, sempre que possível, os discentes devem ser convidados a expressarem suas opiniões e conhecimentos prévios sobre o assunto. Partimos do pressuposto de que o educador já tenha trabalhado conceitos como: a potenciação de números complexos – de maneira algébrica e geométrica –, progressão
  • 2. aritmética e círculo trigonométrico. O educador pode iniciar a radiciação em a partir de um exemplo e da sua generalização, construindo com a participação dos estudantes. Por exemplo: encontre as raízes sextas do número complexo . Através da representação trigonométrica se obtêm: = ( ). O professor deve ressaltar que ao determinar a raiz sexta de w significa o mesmo que . O professor pode contar um pouco sobre a história de Moivre, contando que ele estudou sozinho Matemática, após ler os Princípios de Newton e, chegou a se tornar membro das academias de Paris e Berlim. Em 1722, descobriu a fórmula ( √ ), mas só era possível para casos particulares e nunca tinha sido demonstrada. Quem generalizou foi Euler e, em 1748 ele redescobriu a fórmula de Cotes, demonstrando que Moivre estava correto para todo expoente real. Depois de um pouco de história, podemos voltar para o exemplo. , aplicando no nosso exemplo: . Agora, o docente pode apresentar a definição a seguir: “dois números complexos em suas representações trigonométricas são iguais se, e somente se, seus módulos e argumentos forem iguais”. Logo, os alunos conseguem concluir que: . Assim, os estudantes perceberão que todas as raízes sextas de w terão módulo igual 3. Continuando o exemplo. Pode se pedir para os alunos atribuírem valores inteiros consecutivos para k e encontrar os próximos números complexos. Esperando que os alunos encontrem as seguintes raízes. Para k = 0, teríamos ) Para k = 1, teríamos ) Para k = 2, teríamos ) Para k = 3, teríamos ) Para k = 4, teríamos ) Para k = 5, teríamos ) Quando k = 6, os alunos deverão perceber que o argumento obtido será igual ao e, neste momento as raízes começaram a se repetir.
  • 3. Neste momento da atividade, os estudantes podem ser questionados sobre como os argumentos se comportam? Quantos argumentos as raízes sexta apresentarão? Qual a relação entre a raiz sexta e seus argumentos? E com isso esperamos que os estudantes concluam que os argumentos seguem uma progressão aritmética de razão e, então, as raízes sextas definirão 6 argumentos. Se os estudantes não notarem isto, vamos propor mais algumas construções para permitir esta reflexão por parte dos estudantes, mas antes disto temos que fazer a construção geométrica. O próximo passo seria desenhar no plano de Argand-Gauss as raízes sextas encontradas. O desenho deverá ser parecido com este que segue abaixo. Ao juntar os números complexos z0 com z1, z1 com z2 e assim por diante. O professor pode questionar: Qual a figura geométrica encontrada? Com o desenho, os alunos visualizarão que será um hexágono, e perceberão com maior facilidade o crescimento dos argumentos na forma de progressão aritmética. Além disto, a mudança do algébrico para o geométrico favorece para a apreensão da matéria. Já pensando na avaliação é importante o docente conhecer o que os estudantes entenderam sobre a radiciação dos números complexos, se conseguiram estabelecer alguma relação com algum conteúdo conhecido e quais dificuldades ou questionamentos que eles tiveram em relação ao conteúdo, estes registros ficam com o professor. Este registro é muito importante, pois no final da aula eles terão que fazer novamente este registro e o docente poderá analisar o avanço de cada estudante. Agora vamos propor para os estudantes encontrarem as raízes quartas do número complexo 16. Seguindo a linha desenvolvida acima os estudantes concluíram:
  • 4. Os estudantes já registraram que todas as raízes quartas do Número Complexo terão módulo igual 2. O próximo passo é desafiá-los a encontrarem os próximos números complexos. Esperando que os alunos encontrem as seguintes raízes. Para k = 0, teríamos ) Para k = 1, teríamos ) Para k = 2, teríamos ) Para k = 3, teríamos ) Quando k = 4, os alunos deverão perceber que o argumento obtido será igual ao e, neste momento as raízes começaram a se repetir. O docente pode voltar a questionar. O que faz os argumentos mudarem? O que esta multiplicação representa? Vocês percebem algum padrão entre os argumentos? Deixo estas perguntas no ar, esperando que os estudantes percebam que o argumento vai aumentando , como numa progressão aritmética. E seguindo só falta a construção no plano Argand-Gauss, obtendo o seguinte desenho. Ao juntar os números complexos w0 com w1, w1 com w2 e assim por diante. O professor pode questionar: Qual a figura geométrica encontrada? Com o desenho, os alunos visualizarão que será um quadrado, e perceberão com maior facilidade o crescimento dos argumentos na forma de progressão aritmética. Acredito que os estudantes entenderam que os argumentos crescem em forma de progressão aritmética, para analisar esta minha conclusão posso propor um exemplo que dá alguns Números Complexos e desafiá-los a encontrarem os próximos e fazer sua construção no plano Argand-Gauss. A atividade consiste em dar os números complexos , )e ) e dizer que estes são raízes quintas de
  • 5. um número complexo. O docente vai desafiar os estudantes para encontrarem os próximos números complexos até encontrarem a repetição. Se os estudantes entenderam como se formam os argumentos, eles conseguiram fazer com facilidade este desafio. Caso eles não percebam, o docente pode questionar: Quanto é a diferença do argumento do para o ? E do para o ? Porque as diferenças encontradas são iguais? Com estes questionamentos o professor pode fazer uma reflexão com a turma perguntando como é formada a ideia da multiplicação? A ideia da multiplicação vem de somas de parcelas iguais, fazendo esta relação com o valor que k assume para encontrar os argumentos. Talvez os estudantes não cheguem a esta conclusão, pois muitas vezes fazem estes cálculos de forma natural e não se dão conta desta definição. Assim, espero que os estudantes encontrem os seguintes números complexos: ), ), ), ), ) Fazendo sua representação no plano Argand-Gauss obtemos: E os estudantes vão perceber que o desenho formado é um pentágono. Neste momento também sugiro que estudantes façam os registros com as mesmas questões que foram feitas anteriormente, pois o docente poderá comparar os registros e o avanço que estudantes tiveram. Logo, de um modo geral, para encontrar a raízes n-ésimas de um número complexo termos: √ o que significa determinar os números complexos z tais que . Assim, através da potenciação, os cálculos da radiciação podem ser efetuados.
  • 6. Portanto, com os cálculos referentes ao módulo e aos argumentos e, com os questionamentos feitos anteriormente, os estudantes poderão concluir que: √ √ . Com este estudo, o docente deve constatar que, como as raízes terão o mesmo módulo, os pontos dessas raízes situaram-se em uma circunferência de centro na origem. Além de falar é muito importante os alunos registrarem cada passo do exemplo e também a definição acima. O educador pode ser questionado sobre por que utilizar a forma trigonométrica, ao invés da algébrica, o que nos mostra o acompanhamento das questões e a participação. A resposta pode ser por que eles já haviam aprendido a forma potencial e na trigonométrica a melhor forma é esta, pela facilidade no cálculo. E desta forma, a conversão para o registro gráfico permitirá a observar regularidades existentes como: a de que os vértices das raízes enésimas de um número complexo são vértices de um polígono regular de n vértices, que pertencem a uma circunferência de centro e raio igual à raiz enésima do módulo do número, permitindo-nos relacionar os números complexos à geometria plana. Com a construção do conhecimento, o professor pode propor alguns exercícios e desafios para os estudantes, pois a forma mais fácil é relacionar os argumentos em forma de progressão aritmética. A avaliação é um processo complicado e complexo. Segundo os PCN’s, a avaliação deve ser vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico, um instrumento para repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino. O professor deve considerar a avaliação como processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que participam. A avaliação deve ocorrer em todos os momentos das aulas. O professor estará atento às perguntas, as respostas, comentários dos alunos, ou seja, sua participação na sala de aula e para tanto, o professor circulará pela sala para observar o desenvolvimento dos exercícios. A construção dos gráficos é um aspecto importante para ser avaliado, pois tem como objetivo perceber a aplicabilidade dos números complexos na geometria plana e na progressão aritmética e, também ver se os estudantes conseguem relacionar o conhecimento “prévio” que possuem com este conteúdo estudado na aula. Outra forma de avaliar seria através de registros que os estudantes fazem, relatando algumas conclusões que eles obtiveram e as dificuldades que tem.
  • 7. Analisar os registros dos alunos como instrumento de avaliação é quase sempre mais eficaz do que obter dados a partir de uma prova pontual, porque permite intervenções imediatas na realidade observada, não sendo necessário esperar um bimestre ou um trimestre para resolver os problemas que surgem ou, na pior das hipóteses tomar consciência deles. (SMOLE. DINIZ. MILANI. 2007, p. 19) O docente pode pedir para os estudantes fazerem estes registros, como também é importante que o professor faça registros sobre algumas sensações ou aprendizagem que foram desenvolvidas durante a aula. Cada professor estabelece um critério de avaliação. Seguindo a ideia de ampliar o conhecimento, acredito que o mais importante é avaliar como os estudantes estabeleceram as relações entre o conhecido com o desconhecido. Em relação à nota, este é um campo complexo. Acredito que a análise e comparação dos registros no começo e no final da aula são a forma mais adequada de avaliar o estudante. Assim, o docente vê quando cada estudante avançou e reflete sobre as relações desenvolvidas pelos alunos. Em relação das dificuldades citadas por eles é importante levar isto em conta, trabalhar com estas situações para preencher estas lacunas, principalmente antes da realização de uma avaliação mais concreta. Pensando na nota, minha sugestão seria repartir a nota, 10% para os questionamentos, comentários feitos na aula; 20% para a análise e a comparação dos registros; 70% para avaliação formal da prova.