Teoria de Automatas & Lenguajes Formales

1. Lenguajes Formales
ISC. Erivan Martínez Ovando

2. TEORIA DE CONJUNTOS
• DEFINICIÓN:
Un conjunto es una colección de objetos, los
objetos que conforman un conjunto son llamados
elementos o miembros.
La notación común para representar un conjunto es
a través de letras mayúsculas y sus elementos con
letras minúsculas.
Ejemplo: A = {a,b,c,0,1}

3. Si un objeto x es un elemento de X, se dice que
x pertenece a X o que X contiene a x, lo cual
se denota como:
x ∈ X
Si un objeto y no es un elemento de X, se
emplea la notación:
y ∉ X

4. • CONJUNTO UNIVERSAL. Los elementos de todos los
conjuntos en consideración pertenecen usualmente
a un gran conjunto llamado universal, representado
con la letra U.
• CONJUNTO VACIO. El conjunto que no contiene
elementos y se representa por ∅.
Ejemplos de conjuntos:
A = {a,e,i,o,u}
Nombres = {Juan, Pedro, Sonia, Karen}

5. CARACTERÍSTICAS DE LOS
CONJUNTOS
• Un conjunto no distingue la repetición de
objetos.
• El orden dentro de los elementos de un
conjunto, matemáticamente es irrelevante.
• Un conjunto cuando tiene un número infinito
de elementos, se dice que es un conjunto
infinito y la notación para representarlo es
la elipsis “…”.

6. PRINCIPIO DE EXTENSIÓN
• Definir a un conjunto mediante sus
elementos se le conoce como principio de
extensión.
PRINCIPIO DE INTENCIÓN
• Definir a un conjunto por sus características
o a través de una proposición se le conoce
como principio de intención.

7. EJEMPLOS
EXTENSIONALEXTENSIONAL INTENCIONALINTENCIONAL
X={1,2,3,4,…}X={1,2,3,4,…} X={x:x es positivo}X={x:x es positivo}
X={2,4,6,8,10,…}X={2,4,6,8,10,…} X={x:x es positivo yX={x:x es positivo y
par}par}
X={a,e,i,o,u}X={a,e,i,o,u} X={x:x es vocal}X={x:x es vocal}

8. SUBCONJUNTO
• Un conjunto A se dice que es un subconjunto
del conjunto B, si cada elemento de A es
también elemento de B, la notación
matemática es la siguiente:
A ⊂ B
B={a,e,i,o,u}
A={e,i,o}

9. CONJUNTO DISJUNTO
• Dos conjuntos A y B se dice que son
disjuntos si no tiene elementos comunes,
esto es:
A ∩ B = ∅
Por ejemplo:
X={x:x es par}; Y={y:y es impar}
son disjuntos

10. CONJUNTOS COMO OBJETOS
• Los conjuntos también son objetos y por ello
pueden ser elementos de otros conjuntos.
El conjunto {{1,2},{1,3},{2},{3}} tiene 4
elementos.
{∅} es un conjunto con un elemento, mientras
que ∅ no contiene elementos, así que {∅} y ∅
son conjuntos distintos, por lo tanto:
∅ ∈ {∅}
∅ ⊂ ∅
∅ ∉ ∅

11. CONJUNTO POTENCIA
• El conjunto cuyos elementos son todos
los subconjuntos del conjunto A, se
denomina conjunto potencia de A y se
denota por:
Ejemplo: A = {1,2,3}
2A
={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

12. PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
• Una partición de un conjunto A (no vacío) es un
nuevo conjunto formado por subconjuntos definidos
por Π de 2A
tal que: cada elemento de Π es un
conjunto no vacío.
los elementos de Π son disjuntos entre sí.
la unión de los elementos de la partición, es el
mismo conjunto A.
Ejemplo:
A = {1,2,a,b} algunas particiones posibles de A
A Π=[{1},{2},{a},{b}]
A Π=[{1,2,a},{b}]
A Π=[{1,2},{a,b}]

13. CARDINALIDAD
• De manera intuitiva, la cardinalidad de un
conjunto es el número de elementos que
contiene, por ejemplo:
CONJUNTOCONJUNTO CARDINALIDADCARDINALIDAD
A={1,2,3}A={1,2,3} |A|=3|A|=3
B={a,b}B={a,b} |B|=2|B|=2
C={{a,d},{2,3}}C={{a,d},{2,3}} |C|=2|C|=2
D={{D={{∅∅},{},{∅∅},{},{∅∅}}}} |D|=3|D|=3
E={1,2,3,4,5,…}E={1,2,3,4,5,…} No es posible establecer laNo es posible establecer la
cardinalidad en conjuntos infinitos o sucardinalidad en conjuntos infinitos o su
cardinalidad es simplemente infinita.cardinalidad es simplemente infinita.

14. OPERACIONES SOBRE
CONJUNTOS
En la teoría de conjuntos se tienen
operaciones básicas como la unión,
intersección y diferencia que se definen de
la siguiente manera:
UNIÓN: la unión de dos conjuntos A y B es un
tercer conjunto cuyos elementos son
también elementos de A o B o ambos.
A∪B={x: x ∈ A ó x ∈ B}

15. INTERSECCIÓN: La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto cuyos
elementos son comunes a A y B.
A∩B={x: x ∈ A y x ∈B}
DIFERENCIA: La diferencia de A con respecto
a B, es el conjunto cuyos elementos están
en A pero no en B.
A-B={x: x∈A y x∉B}

16. COMPLEMENTO ABSOLUTO: El complemento
absoluto o simplemente complemento, es
el conjunto de elementos que pertenecen a
U pero no pertenecen a A.
Ac
={x: x∈U y x∉A}

17. EJEMPLOS
A={1,2,3,4}; B={3,4,5,6}; U={1,2,3,
…,9}
A∪B={1,2,3,4,5,6}
A∩B={3,4}
A-B={1,2}
Ac
={5,6,7,8,9}

18. DIFERENCIA SIMÉTRICA
• La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y
B, es el conjunto que contiene exactamente
todos los elementos que están en A o en B pero
no en ambos.
A⊕B=(A∪B)-(A∩B)
Ejemplos:
{a,b}⊕{a,c}={b,c}
{a,b}⊕{a,b}=∅

19. DIAGRAMA DE VENN
• Un diagrama de Venn es una representación
gráfica de conjuntos. El conjunto universal
se representa por el interior de un
rectángulo y los otros conjuntos se
representan por círculos incluidos en el
rectángulo. Ejemplos:
U
B
A
U
B
A
U
BA
(a) A⊂B (b) A y B son disjuntos (c)

20. REPRESENTACIÓN DE OPERACIONES DE
CONJUNTOS A TRAVÉS DE DIAGRAMAS DE VENN
U
BA
U
BA
A∪B A∩B
A-B Ac
U
BAA
U
BA

21. LEYES DE CONJUNTOS
• Leyes de Complemento
A∪Ac
=U
Uc
=∅
A∩Ac
=∅
∅c
=U
• Leyes de Morgan
(A∪B)c
=Ac
∩Bc
(A∩B)c
=Ac
∪Bc