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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professora: Isolda Giani de Lima PRÁTICA PEDAGÓGICA: CALCULANDO ÁREAS BRUNA TIZATTO ELAINE TONIETTO MARIANE PASTORE LUCILENE DAHMER Caxias do Sul 2008

Calculando Áreas

Como chegar na fórmula da área de um triângulo? Dados três pontos A, B, C não colineares, a reunião dos segmentos chama-se Triângulo.

Mas, será que a partir de um triângulo conseguimos formar um retângulo? Vamos tentar?

Utilizando o material que foi entregue a cada um:
Recortar o triângulo.
Observar que no triângulo temos a reta passando pelos pontos médios dos lados e o segmento perpendicular a esta reta.
Recortar o triângulo nas três partes indicadas e tentar montar um retângulo.

Intuitivamente as peças que compõe o triângulo se encaixam perfeitamente na composição do retângulo. E então? As peças recortadas do triângulo se encaixam para formar um retângulo?

Agora está comprovado que podemos transformar um triângulo em um retângulo conservando a área.
Assim, para deduzir a fórmula da área do triângulo só precisamos comparar os elementos relacionados.

Como: Área do retângulo  Base do retângulo  Altura do retângulo  Então, área do retângulo  Relembrando 

Vamos, agora calcular a Área pela Integral Definida 1 2

Primeiro vamos ver qual é a Lei da Função:

Agora vamos calcular a área com o uso da Integral Definida:

A área total do triângulo é dada por: Logo:

Problema de Aplicação Sabe-se que foram usadas 15 telhas por metro quadrado no revestimento da cobertura de um galpão. Vamos determinar o número de telhas colocadas na parede frontal desse galpão(detalhada na figura), que tem a forma de um triângulo isósceles, cujos lados iguais medem 12m e têm o ângulo compreendido entre eles medindo 120º.

Resolução: Devemos determinar a área da cobertura frontal, sabendo que AB = AC= 12m e BÂC = 120º.

Logo , h = AH= 6m e b = BC =2 . HC = 12 √3m. Então:

Como foram usadas 15 telhas por metro quadrado, então basta calcular:
15.(36 √3) = 935 telhas

Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes. Como chegar na fórmula da área de um losango?

Com a mesma idéia utilizada no triângulo, será conseguimos formar um retângulo a partir de um losango? Que tal tentarmos?

Utilizando o material que foi entregue a cada um:
Recortar o losango.
Recortar nos locais indicados e tentar montar um retângulo com essas peças.
Observar que no losango, as diagonais o dividem em quatro triângulos congruentes que arranjados novamente formam um retângulo, com a mesma área do losango

Intuitivamente as peças que compõe o losango se encaixam perfeitamente na composição do retângulo.

Agora está comprovado que podemos transformar um losango em um retângulo conservando a área. Assim, para deduzir a fórmula da área do losango só precisamos comparar os elementos relacionados.

Como: Área do retângulo  Base do retângulo  Altura do retângulo  Então, área do retângulo  Relembrando 

Vamos, agora calcular a área pela Integral Definida 1 2

Primeiro vamos ver qual é a Lei da Função:

Agora vamos calcular a área com o uso da Integral Definida:

A área total do losango é dada por: Logo:

Problema de Aplicação
Um professor pediu a seus alunos que desenhassem a bandeira do Brasil e para isso deu as seguintes instruções:
O retângulo deve ter 10 cm de largura por 14 cm de comprimento.
O losango deve ter o lado de 7 cm de comprimento e um dos ângulos interno deverá medir 60°.
O círculo deve ter o raio medindo 3 cm.
Qual a razão (quociente) entre a do losango e a área do retângulo que deverão compor a bandeira?

Resolução:
A área do retângulo é:
A = b . H
A = 14 . 10
A = 140
Calculemos a área , do losango.

Logo: No triângulo retângulo AMB, temos:

Assim:

Clique nos títulos abaixo e descubra uma maneira bem divertida de transformar um triângulo, um trapézio e um losango em um retângulo. Como o triângulo pode virar um retângulo? Como o trapézio pode virar um retângulo? Como o losango pode virar um retângulo?

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