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Integral Substituicao Trigonometrica

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  • FAZENDO UNESP
    vlw me ajudou muito
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  • Me salvou, estava sem livro. E está muito didático, impossível não entender. Parabéns e Obrigada, Professora Isolda!
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  • Parabêns, o conteúdo é exelente!!! Agradeço muito por disponibiliza-lo, pude aprender muito com eles em pouquíssimo tempo!!Valeu, muito obrigado!
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  • 1. UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professora: Isolda Giani de Lima PRÁTICA PEDAGÓGICA 3 Método de Integração por Substituição Trigonométrica BRUNA TIZATTO ELAINE TONIETTO Caxias do Sul 2008 1
  • 2. Método de Integração por Substituição Trigonométrica Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a fórmula do disco da prática 1 que era: Þ a 2 x 2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma fórmula do livro. Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma Þ a2 x2 Þ a2 x2 Þ x2 a2 constante - parte variável constante parte variável parte variável - constante nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas. Relação Fundamental da Trigonometria 1 sin 2 cos 2 2 2 sin cos 1 1 cos 2 sin 2 Relação Secundária 1 tan 2 sec 2 sec 2 1 tan 2 Idéia do método A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições: 1 sin 2 cos 2 Þ a2 x2 substituir por 1 cos 2 sin 2 Þ a2 x2 substituir por 1 tan 2 sec 2 Þ x2 a2 sustituir por sec 2 1 tan 2 Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a 2 x 2 podemos fazer a substituição x a sin . Então, 2 2 a x2 a2 a sin a2 a 2 sin 2 a2 1 sin 2 a cos 2 a. cos 2
  • 3. Exemplos: 3 Exemplo 1: Þ 9 x 2 dx 3 Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ a 2 x 2 , ou seja, constante menos parte variável. Sendo assim, devemos escolher entre as duas relações: 1 sin 2 cos 2 ou 1 cos sin 2 2 Vamos escolher a primeira. Tomando x 3 sin e dx 3 cos d Com isso temos: Þ 9 x 2 dx Þ 9 3 sin 2 3 cos d Þ 9 9 sin 2 3 cos d (Dica: Colocar o 9 em evidência) Þ 91 sin 2 3 cos d (Dica: Abre-se esta raiz em duas) Þ 9 1 sin 2 3 cos d (Dica: Passam-se as constantes para fora da integral e substitui-se 1 sin 2 por cos 2 ) 9 3 Þ cos 2 cos d(Dica: simplifica-se o quadrado do cosseno com a raiz) 9 Þ cos cos d 9 Þ cos 2 d Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras: 1) Integrando em função de , escrevendo assim os intervalos em função de 2) Retornando para a variável x Vamos mostrar as duas. Primeira maneira: Integrando em função de Þ 9 x 2 dx 9 Þ cos 2 d 3 Aqui mudamos os limites de integração da integral definida Þ 9 x 2 dx: 3 Tínhamos que: x 3 sin . Então: se x 3 se x 3 3 3 sin 3 3 sin sin 1 sin 1 2 2 3
  • 4. Aplicando esses intervalos na nossa integral: 3 9 Þ 2 cos 2 d (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton, Þ 9 x 2 dx 2 fórmula 27: Þ cos 2 udu 1 u 1 sin 2u C) 3 2 4 9 1 1 sin 2 2 2 4 2 9 9 sin 2 2 (Dica: Aplicando os limites de integração) 2 4 2 9 9 sin 2 9 9 sin 2 2 2 4 2 2 2 4 2 9 9 sin 9 9 sin 4 4 4 4 9 9 0 9 9 0 4 4 4 4 9 9 4 4 18 4 9 2 9 9 sin 2 9 3 Logo: Þ x 2 dx 9 Þ 2 cos 2 d 2 9 3 2 2 4 2 2 Segunda maneira: retornando para a variável x. 9 Þ cos 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton, Þ 9 x dx 2 fórmula27: Þ cos 2 udu 1 2 u 1 4 sin 2u C) 1 1 9 2 4 sin 2 C 9 9 2 4 sin 2 C (Dica: fórmula do arco duplo, AntonA-47 sin 2 2 sin cos ) 9 9 2 4 2 sin cos C Tinhamos que: x 3 sin . Então sin 3 x arcsin 3 . x Usando o triângulo retângulo para descobrir cos . (Aqui utilizamos a relação que já temos: sin 3 , para montar no triângulo retângulo.) x 4
  • 5. Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y: 9 x2 y2 y 9 x2 Logo : Cat. Adj. 9 x2 cos Hip 3 sin x 3 arcsin x 3 Þ 9 x 2 dx 9 2 9 4 2 sin cos C (fazendo as substituições) 9 9 9 x2 arcsin x 2 x C 2 3 4 3 3 9 2 2 arcsin x 3 x 2 9 x C Calculando a integral definida: 3 Þ 3 9 x 2 dx 9 arcsin x x 9 3 x2 2 3 2 3 9 arcsin 3 3 9 32 9 arcsin 3 3 9 3 2 2 3 2 2 3 2 9 arcsin 1 3 0 9 arcsin 1 3 0 2 2 2 2 9 9 2 2 2 2 9 9 4 4 9 2 3 9 arcsin x x 9 9 3 3 Logo: Þ 9 x 2 dx 9 Þ cos 2 d x2 3 3 2 3 2 3 2 2 2x 2 4 Exemplo 2: Þ x dx (Livro Anton página 535, n o 24) 2 Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável menos constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação: sec 2 1 tan 2 5
  • 6. Tomando x 2 sec e dx 2 sec tan d 2 2x 2 4 2 2 sec 4 Þ x dx Þ 2 sec tan d 2 sec 2 2 sec 2 4 Þ 2 sec tan d 2 sec 4 sec 2 4 Þ 2 sec tan d (Dica: Colocar o 4 em evidência) 2 sec 4 sec 2 1 Þ 2 sec tan d (Dica: Abre-se esta raiz em duas, 2 sec e substitui-se sec 2 1 tan 2 ) 4 tan 2 Þ 2 sec tan d (Dica: simplifica-se 2 sec 2 sec Þ 2 tan 2 tan d (Dica: simplifica-se o quadrado da tangente com a raiz) 2 Þ tan 2 d Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras: Primeira maneira: Integrando em função de 2 Þ 2x x 4 dx 2 Þ tan 2 d 2 2x 2 4 Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ x dx. 2 Tínhamos que: x 2 sec . Então: se x 2 se x 2 2 2 sec 2 2 sec 1 sec 2 sec 2 sec 1 sec 2 arcsec 1 arcsec 2 0 4 Aplicando esses intervalos na nossa integral: 6
  • 7. 2 2x 2 4 (Dica: utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton Þ x dx 2 Þ 4 tan 2 d 2 0 fórmula 28: Þ tan 2 udu tan u u C) 2 tan | 04 2 tan tan 0 0 4 4 2 1 0 4 2 2 2 2x 2 4 Logo: Þ x dx 2 Þ 4 tan 2 d 2 tan | 04 2 2 0 2 Segunda maneira: retornando para a variável x. 2 2 Þ tan 2 d (Dica :utilizando a tabela de integrais da contracapa do Anton, Þ 2x x 4 dx fórmula28: Þ tan 2 udu tan u u C) 2 tan C 2x 2x Tinhamos que: x 2 sec . Então sec 2 arcsec 2 Usando o triângulo retângulo para descobrir tan . (Aqui utilizamos a relação que já temos: 2x sec 2 , para montar no triângulo retângulo.) sec 1 cos 1 2x 2 cos cos 2 2x 2 cos x Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y: 2 x2 2 y2 y x2 2 Logo: Cat.Opost. x2 2 2 x2 2 tan Cat.Adj. 2 2 2x arcsec 2 7
  • 8. 2 2x 2 4 Þ 2 x dx 2 tan |2 2 (Dica: fazendo as substituições) 2 2 x2 2 2x 2 arcsec 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 arcsec 2 arcsec 2 2 2 2 2 1 20 0 4 2 2 1 Exemplo 3: Þ 0 1 x 2 dx (Livro Anton página 533, exemplo 4) Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ x 2 a 2 , ou seja, parte variável mais constante. Sendo assim, devemos escolher a seguinte relação: tan 2 1 sec 2 Tomando x tan e dx sec 2 d Þ 1 x 2 dx Þ 1 tan 2 sec 2 d (Dica: Substitui-se 1 tan 2 por sec 2 ) Þ sec 2 sec 2 d (Dica: simplifica-se o quadrado da secante com a raiz) Þ sec 3 d Agora, para resolver a integral definida, temos duas maneiras: Primeira maneira: Integrando em função de Þ 1 x 2 dx Þ sec 3 d 1 Aqui mudamos os limites de integração da definida Þ 1 x 2 dx 0 Tínhamos que: x tan . Então: se x 1 se x 0 1 tan 0 tan 4 0 Aplicando esses intervalos na nossa integral: 8
  • 9. 1 (Dica: Livro Anton p. 526 fórmula 26. Þ 0 1 x 2 dx Þ 04 sec 3 d Þ sec 3 udu 1 2 sec u tan u 1 2 ln|sec u tan u| C) 1 1 2 sec tan 2 ln|sec tan | 0 4 1 1 1 2 sec 4 tan 4 2 ln sec 4 tan 4 2 sec 0 tan 0 1 ln|sec 0 2 tan 0| 1 1 1 1 2 2 1 2 ln 2 1 2 10 2 ln|1 0| (Dica: ln10) 1 2 2 ln 2 1 Logo: 1 Þ0 1 x 2 dx Þ 4 sec 3 d 0 1 2 sec tan 1 2 ln|sec tan | 0 4 1 2 2 ln 2 1 Segunda maneira: retornando para a variável x. Þ sec 3 d (Dica :Livro Anton p. 526 fórmula 26. Þ 1 x dx 2 Þ sec 3 udu 1 2 sec u tan u 1 2 ln|sec u tan u| C) 1 1 2 sec tan 2 ln|sec tan | Tinhamos que:x tan . Então tan x . arctan x 1 1 Usando o triângulo retângulo para descobrir sec . (Aqui utilizamos a relação que já temos: tan x , para montar no triângulo retângulo.) 1 Pelo Teorema de Pitágoras conseguimos descobrir a medida do cateto Y: 2 y2 1 x2 y 1 x2 Logo: Cat.Opost. tan Cat.Adj. x sec 1 cos 1 y 1 1 x2 y . arctan x 9
  • 10. 1 1 Þ 0 1 x 2 dx 1 2 sec tan 1 2 ln|sec tan | 0 (fazendo as substituições) 1 1 1 2 1 x2 x 2 ln 1 x2 x 0 1 2 1 2 1 1 2 11 1 2 ln 11 1 2 1 02 0 2 ln 1 02 0 2 1 1 2 2 ln 2 1 2 ln 1 1 2 2 ln 2 1 10

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