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Projeto Trigonometria Atualizado
 

Projeto Trigonometria Atualizado

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UFF (Izac e Luiz Paulo)

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    Projeto Trigonometria Atualizado Projeto Trigonometria Atualizado Presentation Transcript

    • TÓPICOS EM GEOMETRIA_1.2010 :: PROJETO DE APRENDIZAGEM Alunos: Izac Gonçalves dos Santos ; Luiz Paulo Scovino Lobo
      • Título:
      • Aplicações e Problemas para demonstrar a importância das relações trigonométricas no dia a dia
      • 1. Disciplina e anos envolvidos:
      • Matemática, e ciências. 8ª e 9ª
      • 2. Tema central :
      • Aplicações e Problemas para demonstrar a importância das relações trigonométricas no dia a dia.
      • 3. Temas de apoio:
      • O presente projeto visa demonstrar também a utilização de um teodolito , objetivando que o estudante compreenda a importância que têm as relações trigonométricas ao desempenharem as medidas indiretas de distâncias e altura.
      • Metodologia
      •  
      • Formação de um grupo com cinco estudantes;
      • Realização de estudos e pesquisas sobre os triângulos (quanto aos lados, aos ângulos, semelhanças, relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras);
      • Promoção de debates entre os estudantes sobre as pesquisas;
      • Confecção no Laboratório de Matemática de um instrumento tipo Teodolito ;
      • Realização de apresentações (socialização) nas turmas dos trabalhos e da prática das razões trigonométricas;
      • Avaliação individual e coletiva das apresentações.
      • 4. Justificativa:
      • Mostrar a importância da utilização da trigonometria no desenvolvimento da humanidade, e inserida nas atividades relacionadas as diferentes áreas profissionais, como: Engenharia, Física, Astronomia, Medicina, etc.
      • 5. Objetivos gerais e específicos:
      • O estudante:
      • Certifica que existem parâmetros adequados para realização da medida de uma grandeza;
      • Identifica diferentes métodos de medidas e aplicações adequadas;
      • Utiliza a geometria para resolução de situações-problema;
      • Distingue e identifica diferentes instrumentos de medidas;
      • Opera quantitativamente os dados obtidos;
      • Desenvolve competências e habilidades matemático-trigonométricas;
      • Percebe que um trabalho motivado gera uma aprendizagem bem mais efetiva;
      • Interliga teoria e prática para uma aquisição de aprendizagens mais significativa.
      • Proporcionar aos alunos experiências cotidianas envolvendo trigonometria. Utilizar recursos tecnológicos e softwares de geometria dinâmica nas atividades propostas como o cálculo de distâncias inacessíveis.
      • 6. Enfoque pedagógico :
      • Sócio-construtivista.
      • 7. Recursos tecnológicos:
      • Utilização de ferramentas da Web 2.0 disponíveis na Internet
      • Uso do programa de Geometria Dinâmica R.e.C. que é disponibilizado gratuitamente pela Internet .
      • Instalação do Google Earth 5.0 (versão gratuita).
      • DVD contendo arquivos com informações sobre a Floresta Amazônica.
      • “ Data show” para apresentação de slides e vídeos da Amazônia.
      • Computadores do laboratório de informática conectados a Internet para pesquisas e seleções de fotos, mapas e reportagens relacionadas aos tópicos em estudo e instalação do programa R.e.C. .
      • 8. Etapas e suas estratégias de realização:
      •   Um pouco sobre a história da trigonometria.
      •  
      • Aplicações e Problemas para demonstrar a importância das relações trigonométricas no dia a dia.
      •  
      • Situações mais complicadas e interessantes, como a medição de distâncias inacessíveis (largura de um rio, altura de um morro, etc...), usando o teodolito para fornecer os ângulos necessários.
      •  
      • Construção do teodolito.
      •  
      • Associação entre os triângulos retângulos e as tabelas trigonométricas.
      •  
      • A verificação, usando o software ReC da expressão do seno da soma.
      •  
      • Pesquisa de profissionais, ou com profissionais, que utilizam a trigonometria em seu trabalho.
      • 9. Definição de papéis:
      • Papel do professor: facilitador no acesso às informações e na construção do conhecimento; mediador; integrador e ético (agir com responsabilidade).
      • Papel do aluno: questionador; participativo; comprometido com os assuntos propostos; interagir com o grupo (colegas) trazendo suas experiências para serem discutidas; aprender a trabalhar em colaboração e de forma autônoma; comparar e relacionar “a trigonometria no nosso dia-a-dia ” com temas interdisciplinares.
      •  
      • 10. Sites e bibliografia de apoio:
      • IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar 3: trigonometria . São Paulo: Atual Editora, 1993.
      • DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações . Volume 2, 2º grau. Editora Ática, 2ª Edição. 2004, São Paulo.
      • LOBO DA COSTA, Nielce M. A História da Trigonometria . Artigo – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. Disponível em < http://www.paulofreire.org/Biblioteca/histtrigon.pdf >. Acesso em:
      • 31 de março de 2010.
      • WIKIPÉDIA. Trigonometria – Conceitos e Definições . Disponível em < http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria >. Acesso em: 31 de março de 2010
      •  
      • WIKIPÉDIA. Definição e Demonstração da Lei dos Senos . Disponível em < http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_senos >. Acesso em: 02 de.
      • Acesso em: 31 de março de 2010 UM pouco da História da Trigonometria. Disponível em: < http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm >. Acesso em: 5 abr 2010.
      • OLIVEIRA, Francisco Canindé de . História da matemática nas aulas de trigonometria. Disponível em: < http://www.sbem.com.br/files/ >. Acesso em: 5 abr 2010.
      • IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos . São Paulo: Scipione, 2002.
      • CHICA, Cristiane; JESUS, Humberto Luís de. Matemática. Brasília: Cisbrasil, 2008.
      • 11. Coleta de dados:
      • A coleta de dados será através de consultas em páginas da Internet , livros, revistas e jornais.
      • 12. Seleção do material:
      • Os materiais requeridos para a realização deste projeto são fundamentalmente originários de recursos da Web 2.0 , por se tratar de um meio de informação onde toda a sociedade pode ter acesso.
      • Os alunos deverão ser orientados a escolherem fontes bibliográficas confiáveis, dando preferência aos sites oficiais e às ONGs que adquiriram credibilidade em virtude de ações em defesa da trigonometria.
      • 13. Programação visual:
      • Apresentação de slides e vídeos com imagens e notícias sobre as relações trigonométricas no nosso dia-a-dia.
      • O uso do programa Google Earth 5.0 possibilita explorar conteúdo geográfico complexo, guardar os locais visitados e partilhá-los com outros utilizadores.
      • A utilização do software R.e.C. permitirá a visualização das formas geométricas das áreas em geral.
      • 14. Meios para a execução:
      • Computadores com acesso à Internet e o programa R.e.C. instalado.
      • “ Data show”. Acesso a net.
      • 15. Avaliação:
      • A avaliação do processo consiste na auto-avaliação e/ou avaliação mútua. A avaliação dispensa qualquer processo formal, tais como: nota, exames, etc.. Além do mais, neste processo, tanto o professor quanto o aluno saberão suas dificuldades e, também seus progressos. O professor pode observar a evolução do aluno, isto é, se ele construiu seu conhecimento com relação ao que se propõe.
      • 16. Cronograma:
      • O projeto foi elaborado para ser executado num determinado bimestre escolar, estimando-se as datas da seguinte maneira:
      • 1º. Encontro – Apresentação de slides e vídeos e discussões informais para destacar a importância da trigonometria no nosso dia-a-dia.
      • 2º. Encontro – Divisão dos grupos para pesquisa dos tópicos pré-determinados.
      • 3º. Encontro – Cada grupo deverá expor suas dúvidas e observações a respeito dos itens que estão sendo pesquisados.
      • 4º. Encontro – Debates sobre os resultados das pesquisas realizadas, as críticas e possíveis sugestões.
      • 5º. Encontro – Apresentação dos tutoriais do software R.e.C. e manipulação de suas funções primárias.
      • 6º. Encontro – Buscas de fotos e mapas, com escalas gráficas, das regiões desmatadas para serem transpostas e se efetuarem os cálculos das áreas.
      • Um pouco da História da Trigonometria
      • A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.
      • No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa na sequência do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.   O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado &quot;o pai da Trigonometria&quot; pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia.
    • CONTINUAÇÃO
      • Na antiguidade, o transporte e a comunicação por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acesso entre as localidades eram más. Para percorrer grandes distâncias, era bem mais fácil, portanto, estabelecer rotas marítimas. A partir da necessidade de se navegar em alto mar, surgiu o problema básico da navegação: o de se determinar a posição de um navio em alto mar.
      • Tentando resolver o problema da navegação, os gregos interessaram-se também, em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou o surgimento das primeiras noções de Trigonometria. O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Erastóstenes (250 A.C.), o bibliotecário de Alexandria. Os seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do Sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul. O cálculo, feito por Erastóstenes, para a circunferência da Terra - 38400 km - foi um resultado fantástico se considerarmos os cálculos atuais cerca de 40.072 km ao longo da linha do equador. Um erro muito pequeno para uma medida tão simples, e feito há tanto tempo!
      • Aplicações e Problemas para demonstrar a importância das relações trigonométricas no dia a dia.
      • 01– Um ônibus sobe uma rampa que forma com a horizontal um ângulo de 30º. Tendo percorrido 500 m, o ônibus se encontra a que altura em relação à horizontal?
      •  
      • 02– A figura abaixo representa um copo de 15cm de altura com um canudinho dentro. Calcule o comprimento aproximado desse canudinho sabendo que 8 cm dele está fora do copo.
      • 03– Um pára-quedista salta de um avião quando este se encontra a 1500 m de altura. Devido à velocidade do avião e da ação do vento, o pára-quedista cai conforme indica o segmento PA, inclinado 30º em relação a PB (conforme figura abaixo). A que distância do ponto B o pára-quedista vai cair? ( 1,0 ponto )
      • Situações mais complicadas e interessantes, como a medição de distâncias inacessíveis.
      • 04- Calcule a distância que o garoto deve estar de tela para que possa ver sua linha superior sob um ângulo de 30º .
      • 05- Sob um ângulo de depressão de 10º avista-se do alto de um farol, cuja altura é de 36m, um navio. A que distância do farol se encontra tal navio? (sen 10 º = 0,17; cos 10 º = 0,99; tg 10º = 0,18)
      • 06- Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30 º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km?
      • Questão 07
      • Primeiro momento : Na tela aparecerá uma ação com o carro de bombeiro se posicionando próximo ao prédio, mantendo-se fixo. A escada estará travada em um ângulo de 30 graus.
      • O aluno terá que encontrar o comprimento da escada, que ele vai precisar para alcançar o prédio em cada altura descrita na tabela ao lado, e a distância que o carro estará do prédio.
      • Aparecerá um feedback se o aluno errar a resposta aparecerá a seguinte
      •  
      • mensagem : “Estude mais pois este não é o resultado”. Se ele acertar aparecerá “Parabéns você é um grande matemático”, assim ele poderá encontrar a próxima distância do carro ao prédio e o comprimento da escada.
      • Segundo momento : Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os colegas e responder as questões abaixo e em seguida fazer um relatório:
      • Discuta com seus colegas e anote os comentários.
      • Qual o comprimento da escada que você precisou para alcançar o primeiro andar que está em chamas? E no 2°? E no 3°?
      • Em cada andar que está em chamas qual é a distância do carro em relação ao prédio?
      • Que razão trigonométrica você percebeu ao realizar essa atividade?
      • 08- Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa. Sejam x e y , respectivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme a figura abaixo. Calcule o valor de x + y em função de  e  .
      •  
      • 09- A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50 m de distância. Sabemos que o ângulo formado pelas direções (caixa d’água-casa) e (casa-bomba) é de 45º e que o ângulo formado pelas direções (bomba-caixa d’água) e (caixa d’água-casa) é de 60º. Se pretendermos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?
      • 10- Deu cupim no pé da árvore e agora, infelizmente, será preciso derrubá-la. Antes, os bombeiros deverão estimar sua altura para saber se, na queda, ela não atingirá as casas vizinhas.
      • 11- Para obter a altura do morro, os técnicos mediram os ângulos OÂT e a distância AB, como mostra a figura.
      • a) Represente por y a medida desconhecida de OA. Escreva uma fórmula relacionando x com y. Informação: tg 35º = 0,70. b) No triângulo retângulo BOT, temos:
      • Agora são duas equações relacionando as incógnitas x e y. Resolva esse sistema e encontre a altura do morro.
      • 12- Considere estes pontos A, B e C na malha quadriculada:
      • Vamos ligar A com B e B com C:
      • Será que os pontos A, B e C estão sobre uma mesma reta? Para responder, considere os triângulos ABM e BCN:
      • Razões trigonométricas
      • 13- No triângulo isósceles ABC sabe-se que AB = AC = 7 cm e BC = 6 cm. a) Desenhe o triângulo ABC (basta um rascunho, sem precisão) e trace a altura AM do triângulo. b) Calcule a medida de AM. c) Calcule sen , cos e tg . d) Consulte a tabela das razões trigonométricas e faça uma estimativa para o ângulo . e) Qual é a medida aproximada do ângulo desse triângulo?
      • 14- O trapézio da figura tem um eixo de simetria.
      • a) Desenhe a altura AH, perpendicular à base DC, e calcule sua medida. b) Calcule a área do trapézio. c) Descubra as medidas aproximadas dos ângulos do trapézio. Para isso, calcule alguma razão trigonométrica e consulte a tabela.
      • 15- A Secretaria de Turismo de Vale Verde quer instalar um teleférico ligando os topos de duas montanhas que circundam a cidade.
      • São conhecidas as altitudes das montanhas: ponto A - 978 m; ponto B - 1 025 m. Os técnicos verificam que a linha AB forma 15º com a horizontal em A. a) Calcule a medida de AB. Consulte a tabela das razões trigonométricas. b) O cabo de aço que sustentará o teleférico tem curvatura e, por isso, seu comprimento é 7 % maior que a medida do segmento de reta AB. Calcule o comprimento do cabo.
      • Polígonos inscritos e circunscritos
      • 16- Na figura, as seis circunferências têm raios iguais, e o triângulo que as envolve é eqüilátero. Calcule o lado l do triângulo em função do raio r dessas circunferências. Comece percebendo algumas relações:
      • Parte I – No triângulo retângulo
      CAT HIP CAT PITÁGORAS ( relação entre os lados ) HIP² = CAT² + CAT²
    • HIP² = CAT² + CAT² Exemplo : O perímetro de um triângulo retângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm é igual a: 12cm 5cm HIP HIP ² = 5² + 12² HIP² = 25 + 144 HIP² = 169 HIP = 13 5 + 12 +13 = 30cm Perímetro =
    • HIP C.O C.A    +  = 90º Ângulos: Agudos Sen(  ) = C.O HIP Cos(  ) = C.A HIP Tan(  ) = C.O C.A Relações trigonométricas: Parte I – No triângulo retângulo
    • HIP² = CAT² + CAT² Exemplo : No triângulo retângulo abaixo o valor do Cos(  ) é igual a: X 10cm 8cm 10 ² = 8² + x² 100 = 64 + x² 36 = x² x = 6 Cos(  ) =  HIP C.O C.A Parte I – No triângulo retângulo
    • Arcos Notáveis Parte I – No triângulo retângulo
    • Exemplo : Um escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. A altura do prédio é: h Sen(30º) = 30º HIP C.A 12m 60º   2h=12  h=6m Parte I – No triângulo retângulo
    • Logo: 2cm 4cm  = 60º cos(  ) =  HIP C.A Exemplo : No triângulo retângulo abaixo o valor do ângulo  é igual a: Parte I – No triângulo retângulo
      • Construção do teodolito
      • Material:
      • -Pote redondo com tampa (o pote deve possuir movimento circular fixado a tampa); -Canudo oco em formato cilíndrico reto (o buraco interno deve ter o diâmetro de forma que seja possível visualizar o outro lado); -O desenho de um transferidor (uma cópia de um transferidor de 360°); -Madeira ou papelão que caiba a imagem do transferidor; -Tabela da tg; -cola; -arame de comprimento maior que o diâmetro do transferidor. Montando o seu Teodolito
      • - Recorte o transferidor e fixe-o na madeira; - Fure a parte superior do pote com o arame e deixe aparecendo igualmente dos dois lados; - Cole o pote de cabeça para baixo no meio do transferidor, fixe o canudo paralelamente ao arame em cima do pote
      • Como se usa:
      • Posiciona o teodolito caseiro de modo que a sua base fique perpendicular ao objeto que vamos medir a altura. Medimos a distância do objeto até o teodolito com um metro. Através do canudo, miramos o pico do objeto (o ponto mais alto), com isso o arame marcará um ângulo no transferidor. Com esse ângulo usamos a trigonometria para medir a altura. (tangente do ângulo é igual ao cateto oposto (altura) dividido pelo cateto adjacente (distância do objeto ao teodolito)
      • Obs.: link para um vídeo sobre a utilização do teodolito na medição de distâncias inacessíveis.
      • Distância Inacessíveis http://novotelecurso.blogsp...
      • Associação entre os triângulos retângulos e as tabelas trigonométricas
      • A verificação, usando o software ReC da expressão do seno da soma
      • Aplicação na Medicina
      • Trigonometria de olho na sua pressão
      • JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em triângulos (trigon). De fato, a trigonometria se ocupa dos métodos de resolução de triângulos, contudo, seu campo de estudo também abrange a investigação e uso das funções trigonométricas. Veremos a seguir uma aplicação desse nobre uso da trigonometria. Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser modelados com auxílio de funções trigonométricas, daí a enorme aplicação do estudo desse conteúdo em campos da ciência como acústica, astronomia, economia, engenharia, medicina etc. Um exemplo de relação que pode ser modelada por uma função trigonométrica é a variação da pressão nas paredes dos vasos sangüíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. O gráfico indicado abaixo representa uma investigação desse tipo onde se analisa a situação clínica de um paciente, sendo P a pressão nas paredes dos vasos sangüíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) e t o tempo (em segundos). Em geral, a pressão indicada no gráfico obedece um ciclo, sendo que cada ciclo completo equivale a um batimento cardíaco. Note por meio do gráfico que ocorre um ciclo completo a cada 0,75 segundos, o que implica dizer que a frequência cardíaca do indivíduo avaliado é de 80 batimentos por minuto. Usando a função cosseno para modelar a regularidade retratada pelos dados, podemos encontrar sua formulação a partir do gráfico. Sabendo que a função f(t)=cos t tem domínio real e imagem [-1,1], as transformações do seu gráfico necessárias para que ele modele os dados do nosso problema são: 1) modificação do período de 200 para 800/3, gerando a função f(t)= cos (800t/3); 2) reflexão de f pelo eixo t, gerando a função f(t)=-cos (800t/3); 3) modificação da imagem para [-20,20], gerando f(t)=-20cos (800t/3); 4) translação vertical do gráfico de 100 unidades, gerando a função final f(t)=100-20cos (800t/3).Usando essa função, podemos encontrar, por exemplo, a pressão após 2 segundos calculando o valor de f(2), que você poderá fazer como exercício (resposta: 110 mmHg).
      • FIM!
      • Contatos: [email_address]
              • luizpaulolobo@yahoo.com.br