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curvas de nivel y superficies de nivel

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que son, para que son y como obtenerlas

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  • 1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE MEXICO FACULTAD DE INGENIERÍA MATERIA: CALCULO 2 PROFESOR : ING. MERCED TORRES SANCHEZ ALUMNO: BERNA EMMANUEL ROJAS CARDENAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL.
  • 2. Introducción. Como se hacen las curvas y superficies de nivel? Este trabajo tiene como finalidad exponer el tema de curvas y superficies de nivel. con frecuencia en la vida diaria las funciones que realizamos depende de dos o mas variables con frecuencia los fenómenos físicos de penden de mas de dos variables e intentar representar esto en una gráfica es algo difícil para esto empezaremos por explicar este fenómeno de las matemáticas para las funciones que dependen de dos variables, para asi seguir con funciones de mas de dos variables. se darán algunos ejemplos que nos darán una idea mas clara del tema a tratar y acompañado a esto algunas imágenes que nos ilustraran en el camino amplio de las curvas y superficies de nivel.
  • 3. Antes de comenzar el estudio de las superficies y curva de nivel necesitamos saber que es una función de varias variables.en la vida diaria necesitamos mas de una variable asi por ejemlo el trabajo depende de la distancia y de la fuerza o sea dos variables asi entonces la definición formal es: definición para función de dos variables: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. si a cada par ordenado (x,y) de D le corresponde un único numero real de f(x,y), entonces se dice que f es una función de x y de y. el conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x,y) es el rango de f. Se dice entonces que una función dada por z=f(x,y) aquí x y son las variables independientes y z es la variable dependiente. lasgraficas de este tipo de funciones son superficies en el espacio que se pueden graficar conforme a trazas paralelas a los planos xy,xz y zy. y existe otra manera de poder visualizar las graficas de esta funciones las curvas de nivel. Que son las curvas de nivel para una función de dos variables? las curvas de nivel para una función de dos variables son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k donde k es una constante (en el recorrido de f). Esta representa el conjunto de todos los puntos en que f toma un valor dado k. en otras palabras muestra donde la función tiene una altura k. las curvas del tipo f(x,y)=k son los trozos de la grafica de f en el plano z=k proyectado sobre el plano xy. Asi que si se dibujan las curvas de nivel para una función y se visualizan como si se elevaran hasta la superficie que inda}ica la altura, es posible trazar toda la grafica, la superficie es escarpada donde las curvas de nivel se aproximan y es un poco planas donde se separan.
  • 4. por ejemplo si tenemos la función y queremos definir sus curvas de nivel le damos un valor a z para comenzar a dibujar ciertas curvas. Por ejemplo z=0,1,2,3,4 En winplot las lasgraficas obtenidas son: esta es la vista del plano xy de alunas de sus curvas de nivel por lo que la fig se veriaasi
  • 5. las curvas de nivel aparecen como circunferencias de distintos radios no mayor a 5 y a diversas alturas estas paralelas al plano xy. Ahora que pasaría si tuviésemos tres variables? para este tipo de curvas se ocupan las llamadas superficies de nivel es decir que si nuestra función esta formada por tres variables independientes, y entonces esto seria que para cada triada ordenada (x,y,z) en un dominio de un numero real único denotado con . por mencionar un ejemplo la temperatura en algún punto del planeta depende de como se relaciona la longitud latidud y el tiempo en el que se mide la temperatura. si nos damos cuenta esto significa que para graficar este tipo de funciones tendríamos una grafica en lo cual nos difícil de imaginar ¿no? bueno entoces para esto se han propuesto las superficies de nivel, asi como en las funciones de dos variables nos damos a la tarea de que donde k es una constante la cual representa que si el punto (x,y,z) se mueve a lo largo de la superficie de nivel el valor de f(x,y,z) continua fijo. vayamos al ejemplo: para nuestros usos las ecuaciones para las superficies de nivel serán de la forma si nos damos cuenta cuando c es mayor de cero las ecuaciones de las superficies de nivel se convierten en elipsoides de diferentes dimensiones. Asi se vería: z c=4 c=16 x y
  • 6. Asi entonces cada ecuación de tres variables tiene sus diversas superficies de nivel para cada valor de la constante. para esta ecuación la familia de ecuaciones de la superficies de nivel de la forma tal que para cada valor de c corresponde una esfera da radio c algo asi como una rockaleta con varias capas. En este caso cada color de una capa de la esfera que vemos es un diferente valor de la constante c la amarilla es c=25 la verde pistache es c=16 la azul es c=9 y la principal es c=4, claro si proponemos a c=0 solo los daría un punto que seria el origen. Entonces en que nos ayudan este tipo de graficas para nuestra vida diaria? Las aplicaciones mas usuales para nuestra curvas de nivel son por ejemplo en mapas climáticos, las curvas de nivel que tienen igual presión se llaman isobaras, otra mas es cuando en los mismos mapas tienen las mismas temperaturas para este caso a las curvas de nivel se les llaman isotermas. los mapas de contorno por mencionar otros ejemplos se usan para representar la superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura spobre el nivel del mar a este tipo de mapas se les llama mapas topográficos. Estos representan las variaciones de z con respecto a x y y mediante espacios entre las curvas de nivel. En un mapa de contorno es importante elegir valores de c uniformemente espaciados para dar una mejor ilusión tridimensional.
  • 7. En la siguiente imagen por ejemplo esta un mapa topográfico del monte lonesome aquí las curvas de nivel son representadas con las líneas de contorno estas son una altura constante por lo que al caminar en una de ellas no se asciende ni deciende
  • 8. Conclusión. Todo el planeta esta dominado por almenos un tipo de curvas de nivel pues podemos aplicarlas para usos topográficos, climáticos e inclusive podemos medir el campo y el efecto gravitacional de la tierra. no obstante los usos en la ingeniería son variados y dependen de que tipo de ingeniero requiera de sus servicios por mencionar un ejemplo para la ingeniería civil es necesario conocer la estructura topografica de un lugar destinado para la construcción, para un ingeniero mecanico es importante conocer la distribución de calor que se presenta en determinada parte de la maquina para tener en cuenta estos datos y ponerla en proceso de optimización. El clima que es predicho por los noticieros esta basado en hechos reales que se dan al cambio dia con dia y que gracias a los satélites podemos prever las mas grades tormentas o los mejores días para salir de vacaciones, por todo esto y mas las curvas y superficies de nivel son una parte aplicada del calculo que nos mantiene al dia y nos brinda sus beneficios a todos como humanidad.
  • 9. Bibliografía. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/MultiVrbleFcns.aspx http://www.youtube.com/watch?v=CCLrfpD5_sELevel Curves of Functions of Two Variables http://mathispower4u.wordpress.com/2011/01/30/level-curves-of-functions- of-two-variables-contour-maps/ calculo 2: de varias variables ron Larson novena edición. calculo: conceptos y contextos. james Stewart 2 ed. http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/15569293/Superficies-y- curvas-de-nivel-formulas-y-graficos.html. http://www.serbi.ula.ve/serbiula/libros- electronicos/Libros/topografia_plana/pdf/CAP-9.pdf.

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