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temas matemáticos

  1. 1. Bryan Antonio Cortez Higueros 3ro. Básico “A” Matemática
  2. 2. Los números Naturales  Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
  3. 3. Ejemplo 1  N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
  4. 4. Ejemplo 2  ASOCIATIVA: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
  5. 5. Ejemplo 3  CONMUTATIVA: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:a+b=b+a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
  6. 6. Ejemplo 4  Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:a+0=a
  7. 7. Multiplicación de Números Naturales  La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
  8. 8. Ejemplo 1  ASOCIATIVA: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a · b) · c = a · (b · c)Por ejemplo:(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 303 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30Los resultados coinciden, es decir,(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
  9. 9. Ejemplo 2 CONMUTATIVA:  Si a, b son números naturales cuales quiera se cumple que:a·b=b·aPor ejemplo:5 · 8 = 8 · 5 = 40a·1=a
  10. 10. Ejemplo 3  ELEMENTO NEUTRO El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:a·1=a
  11. 11. Ejemplo 4  DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA:Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:a · (b + c) = a · b + a · cPor ejemplo:5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 555 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55Los resultados coinciden, es decir,5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
  12. 12. Sustracción de Números Naturales  Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). Propiedades de la resta: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
  13. 13. División de Números Naturales  La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.Los términos de la división se llaman dividendo (el número decosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero quele corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrarioinexacta.Propiedades de la divisiónLa división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismoa/b que b/a.
  14. 14. Los números enteros  Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈ tsaˈl n]). ə Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo: −783 y 154 son números enteros 45,23 y −34/95 no son números enteros
  15. 15. Conjunto “Z”  Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :
  16. 16. Suma números enteros  Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
  17. 17. Ejemplo 1  Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61 La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:…La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:…Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, lassumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.…Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, lassumas a + b y b + a son iguales.…Elemento neutro. Todos los números enteros a quedaninalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
  18. 18. Ejemplo 2 Ejemplo. Propiedad asociativa:[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8(−17) + (+9) = −8
  19. 19. Resta de números enteros La resta de números enteros es muy sencilla, ya queahora es un caso particular de la suma.La resta de dos números enteros (minuendo menossustraendo) se realiza sumando el minuendo más elsustraendo cambiado de signo.
  20. 20. Ejemplo 1  Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
  21. 21. Multiplicación de números enteros  La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signodel resultado de la siguiente manera:El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos: Regla de los signos(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.(−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
  22. 22. Ejemplo1  Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
  23. 23. Ejemplo 2  tiene tambiénLa multiplicación de números enterospropiedades similares a la de números naturales:La multiplicación de números enteros cumple las siguientespropiedades:Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, losproductos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, losproductos a × b y b × a son iguales.Elemento neutro. Todos los números enteros a quedaninalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
  24. 24. Ejemplo 3  Ejemplo. Propiedad asociativa:[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 Propiedad conmutativa:(−6) × (+9) = −54(+9) × (−6) = −54
  25. 25. Números racionales  En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en) que deriva de «cociente» (en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales (). La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
  26. 26. Propiedades  Propiedades El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros . Los racionales son el menor cuerpo con característica nula. La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos. El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
  27. 27. Número racional en otras bases  En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita. Ejemplos: En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2n·5p (n y p enteros). En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.
  28. 28. Exponente Racional  Para cualquier número real no negativo a y cualquier número natural índice n ( n ≠ 1), significa . n 1n a a Para cualquier número natural m y n ( n ≠ 1), y cualquier número real no negativo a, m m n n a significa n a m o a
  29. 29. Exponente Racional• Escriba sin los exponentes racionales, simplifique si posible: 1. 12 x x2. 13 33. 27 27 3 15 5 abc abc
  30. 30. Exponente Racional • Escriba con exponentes racionales: 5 7 xy 154. 7 xy 135. 8 xy3 8 xy6. 3 3 17 7 x y x y 9 9
  31. 31. Exponente Racional• Escriba sin los exponentes racionales y simplifique si posible: 7. 23 3 2 8. 43 2 2 3 4 27 27 2 3 2 3 27 4 2 3 3 9 2 8
  32. 32. Exponente Racional • Escriba con exponentes racionales: 3 4 439. 9 910. 5 54 4 7 xy 7 xy
  33. 33. Exponente Racional Negativo  Para cualquier número racional m/n y cualquier número real positivo, mn 1 a significa mn a mn mn esto es, a y a son reciprocos.
  34. 34. Exponente Racional Negativo Escriba con exponentes positivos y simplifique.11. 12 1 1 1 12. 9 91 2 9 313. 45 1 5xy 45 5xy 23 1 1 1 1 64 2 642 3 3 64 42 16
  35. 35. Exponente Racional Negativo  Ejemplos … 1 4y15 23 15 1514. 4 x y 4 23 y 23 x x15. 52 52 3r 7s 7s 3r
  36. 36. Leyes de ExponentesPara Cualquier número real a y cualquier exponente racional m y n:  m n m n En multiplicación, podemos sumar los1. a a a exponentes si las bases son las mismas. m a m n En división, podemos restar los2. n a exponentes si las bases son las mismas. a m n mn Para elevar una potencia a una potencia,3. a a podemos multiplicar los exponentes. m m m Para elevar un producto a una potencia,4. ab a b podemos elevar cada factor a la potencia. n n a a Para elevar un cociente a una potencia,5. n podemos elevar tanto el numerador como b b el denominador a la potencia.
  37. 37. Leyes de Exponentes Use las leyes de exponentes para simplificar:16. 315 35 3 15 35 3 45 317. 14 7 14 12 14 24 14 1 12 7 7 7 1418. 7 7 34 23 2 33 4 6 12 1219. 7.2 7.2 7.2 7.2 15 13 25 12 1 31 2 2 51 2 16 15 b a b a b a b 16 a
  38. 38. Simplificar Expresiones con Radicales1. Convierta expresiones radicales a expresiones exponenciales. 2. Use aritmética y las leyes de los exponentes para simplificar.3. Convierta de nuevo a notación radical cuando sea apropiado.Importante: Este procedimiento trabaja solamente cuando todas las expresiones dentro del radical son no negativas, debido a que exponentes racionales no son definido de otra manera. No se necesitara signos de valor absoluto.
  39. 39. Simplificar Expresiones con Radicales Use exponentes racionales para simplificar:20. 6 x 3 x 36  Convirtiendo a una expresión exponencial 12 x Simplificando el exponente x Convirtiendo de nuevo a notación radical21. Convirtiendo a una expresión exponencial 6 4 41 6 16 2 2 Nombrando a 4 como 22 22 6 Usando (am)n = amn , multiplicando los exponentes 21 3 Simplificando el exponente 3 Convirtiendo de nuevo a notación radical 2
  40. 40. Simplificar Expresiones con Radicales22. Use exponentes racionales para simplificar: 8 2 2 ab 18 8 2 4 2 4 Convirtiendo a notación exponencial ab ab 21 8 41 8 a b Usando (ab)n = anbn 14 12 a b Simplificando los exponentes 14 24 Escribiendo ½ con un denominador de 4 a b 14 2 ab Usando anbn = (ab)n 4 2 ab Convirtiendo a notación radical
  41. 41. Simplificar Expresiones con Radicales 23. Use exponentes racionales para escribir una sola 3 5 2 expresión radical para: Convirtiendo a notación exponencial 3 13 12 5 2 5 2 Buscando un común denominador a los exponentes 26 36 5 2 16 Usando anbn = (ab)n 2 3 5 2 16 25 8 Multiplicando dentro de paréntesis 2001 6 6 200 Convirtiendo a notación radical
  42. 42. Simplificar Expresiones con Radicales 24. Escriba una sola expresión radical para 1 2 12 56 a b c 12 12 56 36 3 6 5 6 Buscando un común a b c a b c denominador a los exponentes 16 3 3 5 ab c Usando anbn = (ab)n 6 3 3 5 ab c Convirtiendo a notación radical
  43. 43. Simplificar Expresiones con Radicales 25. Use exponentes racionales para simplificar: 3 36 6 5x 5x 12 5x 5x
  44. 44. Simplificar Expresiones con Radicales 26. Use exponentes racionales para simplificar: 5 20 20 5 t t 4 t
  45. 45. Simplificar Expresiones con Radicales 27. Use notación de exponentes para simplificar: 12 12 3 3 2 2 pq c pq c 4 2 pq c 4 8 4 pqc
  46. 46. Simplificar Expresiones con Radicales 28. Use notación exponencial para simplificar: 3 13 x x 12 13 x 16 x 6 x
  47. 47. Simbología matemática 
  48. 48. Negación  LA NEGACION ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE TRANSFORMA UN ENUNCIADO EN SU OPUESTO LOGICO Y SE LE LLAMA CONECTIVA SINGULAR PORQUE SE APLICA SOBRE UN SOLO ENUNCIADO
  49. 49. conjunción  LA CONJUNCION ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE ENLAZA DOS ENUNCIADOS DANDO COMO RESULTADO UNA FORMULA QUE SERÁ VERDADERA SOLAMENTE CUANDO SUS ENUNCIADOS COMPONENTES SON VERDADEROS
  50. 50. disyunción  LA DIYUNCION ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE ENLAZA DOS ENUNCIADOS DANDO COMO RESULTADO UNA FORMULA QUE SERÁ VERDADERA SOLAMENTE CUANDO AL MENOS UNO DE SUS ENUNCIADOS COMPONENTES ES VERDADEROS, SIENDO FALSA CUANDO AMBOS SON FALSOS
  51. 51. Si, entonces  LA CONDICIONAL ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE ENLAZA DOS ENUNCIADOS DANDO COMO RESULTADO UNA FORMULA QUE SERÁ VERDADERA CUANDO EL SEGUNDO ENUNCIADO SEA VERDADERO O TENGA EL MISMO VALOR DE VERDAD QUE EL PRIMERO. AL PRIMER ENUNCIADO INVOLUCRADO SE LE LLAMA ANTECEDENTE Y AL SEGUNDO SE LE LLAMA CONSECUENTE
  52. 52. Bicondicional  LA DOBLE CONDICIONAL O BICONDICIONAL ES UNA CONECTIVA LOGICA QUE ENLAZA DOS ENUNCIADOS DANDO COMO RESULTADO UNA FORMULA QUE SERÁ VERDADERA SOLAMENTE CUANDO SUS ENUNCIADOS COMPONENTES TIENEN EL MISMO VALOR DE VERDAD
  53. 53. El lenguaje algebraico  En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.
  54. 54. Ejemplo 1  Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente: Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.
  55. 55. Ejemplo 2  Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje álgebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones: un número cualquiera se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo: a = un número cualquiera b = un número cualquiera c = un número cualquiera... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.
  56. 56. Ejemplo 3  la suma de dos números cualesquiera a+b = la suma de dos números cualesquiera x+y = la suma de dos números cualesquierala resta de dos números cualesquiera a-b = la resta de dos números cualesquiera m-n = la resta de dos números cualesquiera
  57. 57. Ejemplo 4  la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
  58. 58. Ejemplo 5  el producto de dos números cualesquiera ab = el producto de dos números cualesquiera
  59. 59. Ejemplo 6  el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera) a/b= el cociente de dos números cualesquiera
  60. 60. Ejemplo 7  la semisuma de dos números cualesquiera (a+b)/2= la semisuma de dos números cuales quiera
  61. 61. Ejemplo 8  el semiproducto de dos números cualesquiera (ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera
  62. 62. Los términos semejantes  Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes, sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de términos. Si en una expresión algebraica hay varios términos semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.
  63. 63. Ejemplo 1  6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3) 1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz) 0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
  64. 64. Ejemplo 2  Términos semejantes: Son aquellos que pueden sumarse de manera homogénea. 5xy, 21xy, 8xy, 12xy, 13xy
  65. 65. Ejemplo3  Términos no semejantes. Son aquellos que no pueden sumarse entre si 20x, 25y, 35z, 12a, 6b
  66. 66. Los polinomios  En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»- muchos y división, y el latín binomius es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
  67. 67. Ejemplo 1 Sumar polinomiosDos pasos:Pon juntos los términos similaresSuma los términos similaresEjemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5-1Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)= 5x2 + 4x + 4
  68. 68. Ejemplo 2  Por ejemplo, consideremos los polinomios P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4 El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2 Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:2x3 + 8x3 = 10x3-5x2 + 3x2 = -2x36-4=2
  69. 69. Cuando el Divisor es un Monomio   Cuando dividimos un monomio por un monomio, podemos usar las reglas de los exponentes y restamos exponentes cuando las bases son las mismas.  Por ejemplo:25 x10 45 10 4 6 48a 2b5 48 2 1 5 2 x 15 x , a b 16ab3 3x 4 3 3ab 2 3
  70. 70. Cuando el Divisor es un Monomio  Cuando dividimos un polinomio por un monomio, rompemos la división en una suma de cocientes de monomios.  Para hacerlo, usamos la regla de suma usando notación fraccional en orden inverso. Esto es, debido a que A B A B A B A B , sabemos que C C C C C C
  71. 71. Cuando el Divisor es un Monomio  Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada termino por el monomio.1. Divida 12x3 + 8x2 + x + 4 por 4x . 12 x3 8 x 2 x 4 Escríbelo como expresión fraccional. 4x 12 x3 8 x 2 x 4 Divida cada termino del numerador por el monomio: Esto es el orden 4x 4x 4x 4x inverso de suma. 2 1 1 3x 2 x Haciendo las cuatro divisiones indicadas. 4 x
  72. 72. Cuando el Divisor es un Monomio 2. Divida: (8x4y5 – 3x3y4 + 5x2y3) ÷ x2y3 4 5 3 4 2 3 4 5 3 4 2 38x y 3x y 5x y 8x y 3x y 5x y x2 y3 x2 y3 x2 y3 x2y3 8 x 2 y 2 3xy 5
  73. 73. Cuando el Divisor No es un Monomio  Cuando el divisor no es un monomio, usamos un procedimiento como la división larga en aritmética. Veamos el siguiente ejemplo:3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 .
  74. 74. Cuando el Divisor No es un Monomio3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 . x  Divida el primer término por el primer término: x2/x = x . x 3 x2 5x 8 x 2 3x Multiplique la x de arriba por el divisor, x + 3. 2x Reste: (x2 + 5x) – (x2 +3x) = x2 + 5x – x2 – 3x = 2x . Ahora bajamos el otro término del dividendo, en este caso el 8. Veamos la siguiente diapositiva:
  75. 75. Cuando el Divisor No es un Monomio3. x 2 x 3 x2 5x 8  Divida el primer término por el primer término: x2/x = x . x 2 3x 2x 8 Se bajo el 8. 2x 6 Multiplique el 2 de arriba por el divisor x + 3 . 2 Restamos: (2x + 8) – (2x + 6) = 2x + 8 – 2x – 6 = 2 . 2La contestación es x + 2, R 2 , o x 2 x 3 Esta expresión es el residual sobre el divisor.
  76. 76. Cuando el Divisor No es un Monomio Note que la contestación anterior (ejemplo 3) no es un  polinomio a menos que el residual sea 0. Para verificar, multiplicamos el cociente por el divisor y sumamos el residual para ver si obtenemos el dividendo: (x + 3) ∙ (x + 2) + 2 = (x2 + 5x + 6) + 2 = x2 + 5x + 8 Divisor Cociente Residual
  77. 77. Cuando el Divisor No es un Monomio4. Divide: (5x4 + x3 – 3x2 – 6x – 8) (x – 1) . 5 x 3 6 x 2 3x 3 x 1 5x 4 x 3 3x 2 6 x 8 4 3 5x 5x 6 x 3 3x 2 Reste: (5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) = 6x3 3 2 6x 6x 3x 2 6 x Reste: (6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) = 3x2 2 3x 3x 3x 8 Reste: (3x2 – 6x) – (3x2 – 3x) = -3x 3x 3 11 Reste: (-3x – 8) – (-3x + 3) = -11
  78. 78. Cuando el Divisor No es un Monomio 4. La contestación es 5x3 + 6x2 + 3x – 3, R -11; o 3 2 11 5x 6x 3x 3 x 1 Siempre acuérdese cuando divida polinomios arregle el polinomio en orden descendente.
  79. 79. Cuando el Divisor No es un Monomio  En una división polinomial, si hay términos ausentes en el dividendo, escriba los términos ausentes con un coeficiente de 0, o deje espacio para ellos.  Por ejemplo, en 125y3 – 8, decimos que los términos y2 y y están faltando. Podemos escribirlos como sigue: 125y3 + 0y2 + 0y - 8.
  80. 80. Cuando el Divisor No es un Monomio 5. Divida: (125y3 – 8) (5y – 2) .  2 25 y 10 y 4 3 2 Cuando faltan términos,5 y 2 125 y 0y 0y 8 podemos insertarlos. 125 y 3 50 y 2 2 50 y 0y Reste: (125y + 0y ) – (125y – 50y ) = 50y 2 3 2 3 2 2 50 y 20 y Reste: (50y + 0y) – (50y – 20y) = 2 2 20 y 8 20y 20 y 8 0 Reste: (20y - 8) – (20y – 8) = 0 La respuesta es 25y2 + 10y + 4 .
  81. 81. Cuando el Divisor No es un Monomio 6. Divida: (x4 – 9x2 – 5) (x – 2) .  Note que los términos x3 y x faltan en el dividendo. En este ejemplo dejamos los espacios. x3 2 x2 5 x 10 Dejamos espacios para términos x 2 x4 9x2 5 faltantes. x4 2 x3 2 x3 9 x2 Restamos x4 – (x4 – 2x3) = 2x3 2 x3 4 x2 5x 2 Restamos (2x3 – 9x2) – (2x3 -4x2) = -5x2 5 x 2 10 x 10 x 5 Restamos -5x2 – (-5x2 + 10x) = -10x 1 0 x 20 25 Restamos (-10x – 5) – (-10x + 20) = -25 3 2 25La contestación es x3 + 2x2 - 5x - 10, R -25; o x 2x 5 x 10 x 2
  82. 82. Cuando el Divisor No es un Monomio tener un residual de 0 o Cuando dividimos, podemos no. Cuando el residual no es 0 podemos seguir trabajando hasta que el grado del residual es menos que el grado del divisor, como en el siguiente ejemplo.
  83. 83. Cuando el Divisor No es un Monomio 7. Divida: (6x3 + 9x2 - 5) (x2 -2x) 6 x 21 x2 2 x 6x3 9 x2 0x 5 Insertamos el termino ausente. 3 2 6 x 12 x Reste 21x 2 0x 21x 2 42 x Reste El grado del residual es menos 42 x 5 que el grado del divisor, por lo tanto terminamos. 42 x 5La contestación es 6x + 21, R 42x – 5 o 6 x 21 x2 2x
  84. 84. División Sintética  Para dividir un polinomio por un binomio del tipo x – a, podemos simplificar el procedimiento general por un procedimiento llamado división sintética. Es importante recordar que para que funcione este sistema, el divisor tiene que ser de la forma x – a, esto es, una variable menos una constante. El coeficiente de la variable tiene que ser 1.
  85. 85. División Sintética Compare los siguientes ejemplos. En A hacemos la división. En B también dividimos pero no escribimos las variables. A. 4 x 2 5 x 11 B. 4 5 11 x 2 4 x 3 3x 2 x 7 1 2 4 3 1 7 4 x3 8x2 4 8 5x 2 x 5 1 5 x 2 10 x 5 10 11x 7 11 7 11x 22 11 22 29 29 En B todavía hay alguna duplicidad. También, podemos restar sumando el opuesto, podemos usar 2 en vez de -2 y luego sumar en vez de restar.
  86. 86. División SintéticaC. División Sintéticaa) Escriba el 2, el opuesto de -2 en el divisor x – 2, y los  2 4 3 1 7 coeficientes del dividendo. 4 Baje el primer coeficiente.b) 2 4 3 1 7 8 Multiplique 4 por 2 para obtener 8. Sume 8 y -3. 4 5 c) 2 4 3 1 7 8 10 Multiplique 5 por 2 para obtener 10. Sume 10 y 1. 4 5 11 d) 2 4 3 1 7 8 10 22 Multiplique 11 por 2 para obtener 22. Sume 22 y 7. 4 5 11 29 Cociente Residual
  87. 87. División SintéticaC. El ultimo número, es el residual. Los otros números son los coeficientes del cociente, con el termino del grado mayor primero, como sigue:  4 5 11 29 Residual Coeficiente grado 0 Coeficiente primer grado Coeficiente segundo grado 2 29La contestación es 4x2 + 5x + 11, R 29, o 4 x 5 x 11 x 2
  88. 88. División Sintética8. Usando división sintética divida: (x3 + 6x2 – x - 30) (x – 2)  2 1 6 1 30 2 16 30 1 8 15 0La contestación es x2 + 8x + 15, R 0, o x2 + 8x +15
  89. 89. División Sintética9. (2x3 + 7x2 – 5) (x + 3) Aquí no hay el término x, por lo cual escribimos un 0 para su coeficiente. Noteque x + 3 = x – (-3), por lo tanto escribimos -3 en la esquina izquierda. 3 2 7 0 5 6 3 9 2 1 3 4 2 4La contestación es 2x2 + x - 3, R 4, o 2x x 3 x 3
  90. 90. División Sintética10. (x3 + 4x2 – x – 4) (x + 4)  4 1 4 1 4 4 0 4 1 0 1 0 La contestación es x2 - 1
  91. 91. División Sintética 11. (x4 – 1) (x – 1) 11 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 La contestación es x3 + x2 + x +1
  92. 92. División Sintética  12. (8x5 - 6x3 + x – 8) (x + 2) 2 8 0 6 0 1 8 16 32 52 104 210 8 16 26 52 105 218La contestación es 8x4 – 16x3 + 26x2 – 52x + 105, R -218, o 4 3 2 218 8x 16 x 26 x 52 x 105 x 2
  93. 93. División de números racionales  La división de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.
  94. 94. Ejemplo 1  5/7/ 1/6 = 30/7 {Extremos 5*6 = 30 , medios 7*1 = 7 :. Por lo tanto nos a como resultado 30/7}
  95. 95. Diferencia simétrica  La semántica lógica es declarativa: el significado de las sentencias es que definen modelos. Pero estamos suponiendo que los programas en se ejecutan sobre una máquina convencional, siguiendo el modelo procesal ya descrito. Su semántica es, por consiguiente, procedimental. El ideal sería que ambas coincidiesen, es decir, que aplicando el modelo procesal de se obtuviese un modelo del programa, pero no es siempre así. Por ejemplo, las cuatro versiones de «jefes» y superiores estudiadas en el apartado A.3.3 tienen el mismo significado declarativo: las cuatro comparten el modelo (mínimo):
  96. 96. Ejemplo 1  I(jefe) = {(Ana,Eva), (Eva,Pepe), (Pepe,Paco)} I(superior) = {(Ana,Eva), (Eva,Pepe), (Pepe,Paco), (Ana,Pepe), (Ana,Paco), (Eva,Paco)}
  97. 97.  La radicación es la operación inversa de la Potenciación.  La raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada. Consiste en hallar una cantidad llamada Raíz Enésima, cuya potencia enésima es el número dado.
  98. 98.  El símbolo utilizado en la radicación es √. Éste signo es una variante de la letra latina r, inicial de la palabra latina radix, que significa raíz.  cantidad dada se Una determinada raíz de una n expresa de la siguiente forma: √a, que se llama radical, donde n es el índice de la raíz, que indica que raíz se va a obtener, y a se llama radicando o cantidad subradical, a la cual se le va extraer la raíz. El grado de un radical es el índice de la raíz. Así, √x, es un radical de segundo grado, √a es un radical de 3 tercer grado.
  99. 99.  Así también para indicar la raíz sexta de 16 escribimos √16, o para indicar la raíz quinta de x 6 escribimos √x. 5  Comúnmente la raíz cuadrada de un número a se expresa sin el índice, es decir, se escribe √a, en vez de √a. 2
  100. 100.  Recordemos que toda potencia con exponente par es positiva independientemente del signo de la base, por tanto, toda raíz de índice par de una cantidad positiva tiene un valor positivo y otro negativo. Por ejemplo: √25= +5 √64= +2 6 √81= +3 4
  101. 101.  Vimos en la unidad anterior que las potencias con exponente impar de cantidades negativas son negativas, y las potencias con exponente par o impar  de cantidades positivas son siempre positivas. Por ejemplo: 3 3 (-4) 5= -64 (4) 5 = 64 (-2) = -32 (2) = 32 De lo anterior podemos concluir que las raíces de índice impar de cantidades negativas son negativas, y las de cantidades positivas son positivas; es decir, el signo de las raíces de índice impar tienen el mismo signo del subradical.
  102. 102.  Los radicales semejantes son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad subradical. Así, 2 √3, 5 √3, y 1/1 √3 son radicales semejantes; pero 2 √3 y 5 √2 no son semejantes porque no tienen la misma cantidad subradical aunque tengan el mismo grado.
  103. 103.  Al estudiar las potencias de cantidades utilizamos únicamente exponentes enteros. ¿Qué sucede cuando los exponentes son fraccionarios? Cuando los exponentes son fraccionarios, vamos a ver que los exponentes generan las raíces de las cantidades.
  104. 104.  Factorizando 4: (4) =1/2 ) (2 2 1/2 Utilizando la ley de la potencia de una potencia= (2) = (2) = (2) = 2 2.1/2  2/2 1 Es decir: 4 = 2 1/2 También ya se dijo: √4= 2 Entonces se tiene que: 4 = √4= 2 1/2
  105. 105.  Del ejemplo anterior se concluye que: a 1/n= √a  n donde n es un número entero diferente de cero. En general se cumple que: a = √a m donde m y n son enteros, y n es distinto de cero. m/n n
  106. 106.  Por ejemplo: 8 2/3 √8 2 = 3 8 2/3 (2 ) 2/3 = 3  = (2 ) 2 3.2/3 = (2 )= 4 √8 = √64 = 43 3 2
  107. 107.  Escribiendo la igualdad anterior en la forma √an m a m/n = , podemos notar que para extraer la raíz de una potencia basta dividir el exponente de la  potencia entre el índice de la raíz, conservando la base. Por ejemplo:√b =b =b √(a+b) = (a+b) = (a+b) 3 6 6/3 2 √a = a = a = a 6 6/ 3 2 n n n/n 1
  108. 108.  Hemos visto que un radical se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario, y mostramos que las propiedades de los signos de un  radical provienen de las propiedades de los signos de las potencias. Así que, las propiedades de los radicales se suelen deducir a partir de las propiedades de los exponentes.
  109. 109.  Veamos algunas de las propiedades de los radicales que son útiles para efectuar operaciones con ellos:  La raíz de un producto de varios factores es igual al producto de las raíces de cada factor. Por ejemplo: √abc= √a. √b. √c √9(x+y) = √3 . √(x+y) = 3(x+y) √ab= √a . √b
  110. 110.  La raíz de un cociente es igual al cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor. Por ejemplo:  √3 = 3 5 √5 3 6 √6 √ = 4 4 X √x y 4 √y n n a √a b n √b
  111. 111.  La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia del subradical. Por ejemplo: (√2 )= √(2) = √8 4 3 4 3 4  (√x )= √x = x =x=x 5 5 5 5 5/5 1 (√a )= √a n m n m
  112. 112.  Simplificación de radicales Para efectuar operaciones con radicales es conveniente que estén simplificados; esto significa que el subradical sea entero, que tenga factores con exponente menor que el del índice y que éste sea el menor posible.
  113. 113. 3 √ab 4 no esta simplificado, ya que contiene un factor 4 (b ) cuyo exponente es mayor que el índice.  Entonces se simplifica la expresión, factorizando b como b . b , así: √ab = √abb = 3 3 4 3 3 4 Utilizando propiedades de los radicales= √ab . √b = √ab . b= 3 3 3 b √ab 3 3
  114. 114.  En forma análoga a la suma y resta de expresiones algebraicas racionales, al sumar cantidades con radicales sólo se pueden reducir aquellos términos que sean radicales semejantes, los cuales son aquellos que tienen radicales con el mismo índice y la misma cantidad subradical, y que pueden variar únicamente en el coeficiente.
  115. 115. 7√2x son semejantes. Los radicales 3√2x, -a√2x, De la misma manera que sumamos 3x + 5x= 8x, podemos sumar 3√x + 5√x= 8√x Para hallar la suma o resta de dos o más radicales semejantes, se suman algebraicamente los coeficientes y se multiplica dicha suma por el radical semejante.
  116. 116.  El producto de radicales con el mismo índice es igual a otro radical del mismo índice, cuyo subradical es el producto de los subradicales. Por ejemplo: √6a por √2a √6a . √2a= √6a . 2a= √12a 2
  117. 117.  Es conveniente que el resultado se exprese lo más simple posible, de manera que el producto anterior se simplifica: √12a = √2 . 3 . a =  2 2 2 2a√3
  118. 118.  Al dividir radicales con el mismo índice se obtiene otro radical del mismo índice cuyo subradical es el cociente de los subradicales. Por ejemplo: √6= 6 = √2 3 3 √3 3 3 3 √
  119. 119.  La Racionalización consiste en transformar la fracción original en otra equivalente cuyo denominador sea racional, es decir, que no contenga radicales. Es conveniente para facilitar operaciones con expresiones que contengan denominador con radicales.
  120. 120. 3√ 2 ¿Cómo eliminamos el denominador del subradical?  Para hacerlo se debe utilizar la propiedad del elemento neutro multiplicativo, es decir, toda cantidad multiplicada por la unidad no altera su valor.√ = √ (1) 3 3 2 2
  121. 121.  Además se sabe que toda cantidad dividida entre si misma es igual a la unidad. Cómo el denominador de la fracción original es 2,  conviene expresar la unidad como el cociente , 2 para que al efectuar la multiplicación se obtenga un 2 cuadrado perfecto, así:√ (1)= √ ( ) 3 3 2 2 2 2= √ 6 2= 2 = √6 √6 2 √2 2
  122. 122.  Se puede ver que en la última expresión existe un  denominador, pero el subradical es entero, es decir, se ha simplificado el radical: = = √3 3 √6 √2 √ 2 2
  123. 123. Multiplicion de Radicales La multiplicación de radicales se define como 𝒏 𝒏 𝒏 𝒂 𝒃= 𝒂𝒃
  124. 124. EjemploSimplifica 𝟐𝒙 𝟖𝒙 − 𝟓𝟎 Primero, aplicamos la propiedad distributiva, 2𝑥 8𝑥 − 50 = 16𝑥 2 − 100𝑥Ahora simplificamos cada radical y obtenemos 16𝑥 2 = 4𝑥 100𝑥 = 10 𝑥Por lo tanto, 16𝑥 2 − 100𝑥 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 𝒙
  125. 125. División de Radicales  La división de radicales se define como 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 = 𝒃 𝒏
  126. 126. Ejemplos1. Simplifica 121 25 =  11 5 3 8𝑥 4 𝑦2. Simplifica 27𝑥𝑦 10 Primero, simplificamos dentro del radical, 3 8𝑥 4 𝑦 3 8𝑥 3 = 27𝑥𝑦10 27𝑦 9 Ahora, aplicamos la definición, 3 3 8𝑥 3 8𝑥 3 2𝑥 27𝑦 9 = 3 = 3𝑦 3 27𝑦 9
  127. 127. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Común Como Factor • Para factorizar rápido los polinomios, consideramos la regla de producto-especial, pero primero factorizamos el factor común mayor.• Para multiplicar un monomio y un polinomio con mas de un termino, multiplicamos cada termino por el monomio usando la ley distributiva.• Para factorizar, hacemos lo inverso.• Expresamos un polinomio como un producto usando la ley distributiva a lo inverso.
  128. 128. Factorizar Polinomios Utilizando el Monomio Común Como Factor   Compare: Factorice Multiplique 3 2 5x 15 x 5x5 x x 2 3x 1 5 x x 2 5 x 3x 5 x 1 2 5x x 5 x 3x 5 x 1 5 x x 2 3x 1 5 x3 15 x 2 5 x
  129. 129. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Común Como Factor  En algunos casos, hay mas de un factor común.  Cuando esto sucede se escoge el factor común con el coeficiente mas grande y el exponente mas grande.
  130. 130. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Común Como Factor Ejemplos de factorizar monomios comunes de las expresiones:1. Factorice: 4 y2 8 2 24y 8 4 y 4 2 4 es el factor mas grande 2 4 y 2 Sacamos el factor común 4
  131. 131. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Común Como Factor 5 x 4 20 x3 2. Factorice: 4 5x 20x3 5x3 x 4 12 x 2 y 20 x3 y3. Factorice: 12x2 y 20x3 y 4 x 2 y 3 5x4. Factorice: 10 p 6 q 2 4 p5q3 2 p 4 q 4 10 p6 q2 4 p5q3 2 p 4 q 4 2 p 4 q 2 5 p 2 2 pq q 2
  132. 132. Factorizar Polinomios Utilizandoel Monomio Común Como Factor Ejemplos de sacar factor común con coeficientes negativos: 4 x 245. Factorice: 4x 24 4 x 66. Factorice: 2 x2 6 x 10 2 x2 6 x 10 2 x 2 3x 5
  133. 133. Factorizar por Agrupación  En expresiones de cuatro o mas términos, puede haber un factor binómico común. Procedemos con los siguientes ejemplos de factorizar por agrupación:7. Factorice: a b x 5 a b x y2 a b x 5 a b x y2 a b x 5 x y2 a b 2x 5 y2
  134. 134. Factorizar por Agrupación 3  2 y 3y 4 y 128. Factorice: Agrupandoy 3 3 y 2 4 y 12 y3 3 y 2 4 y 12 Factorizando cada binomio y2 y 3 4 y 3 Sacando el factor común y + 3 y2 4 y 3
  135. 135. Factorizar por Agrupación  9. Factorice: 3x 3 6 x 2 x 23x3 6 x 2 x 2 3x 3 6 x 2 x 2 Verificamos: -1(x – 2) = -x + 2 3x 2 x 2 1 x 2 Sacamos el factor común x + 5 3x 2 1 x 2
  136. 136. Factorizar por Agrupación 4x 3 x 15 20 2 3x 10. Factorice:4 x3 15 20 x 2 3 x 4 x3 20 x 2 3 x 15 Reorganizando el orden 4x2 x 5 3 x 5 Verificar: -3(x + 5) = -3x-15 2 Sacando el factor común 4x 3 x 5 x+5
  137. 137. Factorizar por Agrupación  No todos los polinomios con cuatro términos pueden ser factorizados por agrupación. Un ejemplo es 3 2 x x 3x 3 2 Note que x2 x 1 3 x 1 ni x x 3 x2 3 ni cualquier otra agrupación nos permite sacar un binomio común.
  138. 138. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  Al factorizar trinomios usamos un proceso que esta basado el método FOIL. Término Constante Positivo Recordando el método FOIL de multiplicar dos binomios: F O I L x 3 x 5 x 2 5 x 3 x 15 x2 8x 15
  139. 139. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  El producto del ejemplo anterior es trinomial.  En el ejemplo, el termino líder tiene un coeficiente de 1.  El termino constante es positivo.  Para factorizar , pensamos en el método FOIL a la inversa.x 2 8 x 15  Multiplicamos x por x para obtener el primer termino del trinomio.
  140. 140. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  El producto del ejemplo …  Por lo tanto el primer termino de cada factor binómico es x.  Queremos encontrar los números p y q tal que 2 x 8x 15 x p x q
  141. 141. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  El producto del ejemplo …  Para obtener el termino del medio y el ultimo termino del trinomio, buscamos por dos números que su producto sea 15 y que su suma sea 8.  Los números son 3 y 5.  Por lo tanto la factorización es x 3 x 5 , o x 5 x 3
  142. 142. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  Cuando el término constante de un trinomio es positivo, buscamos factores con el mismo signo ( ambos positivos o ambos negativos). El signo es aquel del termino del medio.
  143. 143. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  Algunos trinomios no son factorables.15. Factorice: x2 – x - 7 No hay factores de -7 cuya suma sea -1. Este trinomio no es factorable a binomios.
  144. 144. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  Para factorizar x + bx + c: 2 1. Primero arregle el trinomio en orden descendente. 2. Use un procedimiento que busque por factores de c que sumen b.  Si c es positivo, entonces los signos de los factores son igual al signo de b.  Si c es negativo, entonces un factor es positivo y el otro es negativo. (Si la suma de los dos factores es opuesto al de b, cambiando los signos de cada factor les dará el factor deseado cuya suma es b.) 3. Verifique su resultado multiplicando.
  145. 145. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  El procedimiento considerado aquí también puede ser aplicado a trinomios con mas de una variable.16. Factorice: x2 – 2xy – 48y2Buscamos por números p y q tal quex2 -2xy – 48y2 = (x + py)(x + qy)Buscamos por factores de -48 cuya suma sea -2. Los factores son 6 y -8. 2 2 x 2xy 48 y x 6 y x 8y
  146. 146. Factorizando Trinomios de la Forma x2 + bx + c  Algunas veces trinomios como x4 + 2x2 – 15 puede ser factorizado usando el método siguiente. Podemos pensar primero del trinomio como (x2)2 + 2x2 – 15, o podemos hacer una sustitución, dejando u = x2. Entonces el trinomio se convierte en u2 + 2u – 15 Factorizamos este trinomio y si se encuentra una factorización, reemplazamos cada ocurrencia de u con x2.
  147. 147. FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. CONCEPTO Una fracción algebraica es el cociente entre dos expresiones algebraicas donde el divisor es distinto de cero. Se representa por: A/B, A se llama el numerador de la fracción y B el denominador2. EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1) 6x 2) 3x – 5 3) 4y – 8 4y y + 9x 2x - 5
  148. 148. Fracciones Algebraicas 3. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICASUna fracción está simplificada cuando el numerador y el denominador sonnúmeros que no tienen factores comunes excepto el 1.Ejemplo: Simplifica la fracción siguiente:1) x2 + 3x = x (x + 3) = x + 3 x2 x2 xPara simplificar esta fracción primero factorizamos el numerador en los factores: x(x+3) y luego simplificamos los factores x y x2.
  149. 149. Fracciones Algebraicas4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLOEl mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas, es unaexpresión algebraica que se obtiene al multiplicar todos los divisoresirreductibles comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes.Se denota por m.c.m.Para encontrar el m.c.m. De los denominadores de las fracciones seguimos elprocedimiento siguiente:Factorizar completamente cada denominador utilizando coeficientesenteros.El m.c.m. debe contener cada uno de los diferentes factores que aparecen encualquiera de los denominadores elevado a la mayor potencia que aparezcaen cualquiera de ellos.
  150. 150. Ejemplos de m.c.m.1) Encontrar el m.c.m. de las expresiones: 4xy ; 8x2y ; 24x2y3Solución: El m.c.m. de los coeficientes: 4, 8 y 24 es 24.Se busca el mayor grado de cada variable, es decir, el mayor exponente al queaparecen elevados x2 y y3. El producto de estas variables será la parte literaldel m.c.m.Así, el m.c.m. de 4xy ; 8x2y ; 24x2y3 es: 24x2y3
  151. 151.  Todos los números racionales se pueden representar por fracciones equivalentes:  3= = -6= = 2.2= = Se define la equivalencia: = ⇒ad=bc
  152. 152. PARA QUÉ CONOCER LA EQUIVALENCIA DE FRACCIONES:  Para comparar tamaños de fracciones o decimales: -¿Cuál es mayor, 2/5 o 7/15? Para realizar operaciones con fracciones (sumas, restas…)
  153. 153.  Para convertir las fracciones en decimales y porcentajes X25 ¾ 75/100 = 0.75 =75%  X25 X333 1/3 333/999 = 0.333 = 33.3% X333
  154. 154. CÓMO CONOCER LA EQUIVALENCIA  Se introduce a partir de aspectos como el área y los conjuntos. Por ejemplo:
  155. 155. La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones.Los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica.
  156. 156. La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones. Los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica.
  157. 157.  Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o bien son equivalentes y representan, por lo tanto, el  mismo número, o uno de ellos representa un número mayor que la otra. En casos sencillos, el mecanismo de esta comparación consiste normalmente en hallar formas equivalentes apropiadas para una o ambas fracciones.
  158. 158.  La dificultad de la comparación de dos fracciones puede variar grandemente dependiendo de los números que figuren en los numeradores y denominadores.  de los chicos de 15 años se Hart (1980) observó que el 66% daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientras que en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicos de 13 años supieron determinar cuál de los números ¼, 5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.
  159. 159. Expresiones Racionales • Una expresión que consiste del cociente de dos polinomios, donde el polinomio del denominador no es cero, se llama expresión racional.• Cada número racional es una expresión racional.• Expresiones racionales indican división. Por lo tanto no podemos hacer un reemplazo de la variable que permite al denominador ser 0.
  160. 160. Expresiones Racionales 1. Encuentre todos los valores de x por el cual la 2x 12. expresión x 3 es indefinida. Cuando x es remplazada por 3, el denominador es 0 y la expresión es indefinida: 2x 1 2 3 1 7 Indefinida x 3 3 3 0
  161. 161. Expresiones Racionales expresión racional 2. Encuentre todos los números reales de x por el cual la 2 x 5x 7 es indefinida. 3x 4 Para encontrar el reemplazo que haga el denominador 0, colocamos el denominador igual a 0 y resolvemos por x: 3x 4 0 Por lo tanto la expresión 3x 4 es indefinida por el 4 reemplazo 4 x 3 3
  162. 162. Expresiones Racionales2. Encuentre todos los números reales de t por el cual la expresión racional t 4 5t es indefinida.  t 2 3t 28 La expresión estará indefinida por un reemplazo que haga el denominador 0. Para determinar esos reemplazos a excluir, colocamos el denominador igual a 0 y resolvemos: t 2 3t 28 0 Denominador igual a 0. t 4 t 7 0 Factorizamos Por lo tanto la expresión es t 4 0 o t 7 0 Usando el principio indefinida por los de cero como t 4 o t 7 reemplazos 7 y -4
  163. 163. Expresiones Racionales2. Encuentre todos los números reales de x por el cual la expresión racional es indefinida.  x 2 3 x 11 x2 1 La expresión x2 es siempre no negativo, por lo tanto x2 + 1 es siempre positivo, nunca 0. Por lo tanto, todos los números reales son aceptables y no hay número real por el cual la expresión es indefinida.
  164. 164. Expresiones Racionales Equivalentes   Para multiplicar dos expresiones racionales, multiplique los numeradores y multiplique los denominadores.  Ejemplos: Multiplicando los numeradores3 2 3 2 6 y multiplicando los ;5 7 5 7 35 denominadores. En el segundo ejemplo es 3 3x 3 x x 3 x mejor dejar las expresiones en forma factorizada como estány 4 y 5 y 4 y 5 en este ejemplo.
  165. 165. Expresiones Racionales Equivalentes  Para simplificar, primero consideramos multiplicar por 1. Cualquier expresión racional con el mismo numerador y denominador es un símbolo para 1: 2 73 x y 4x 5 1 x 5 1, 1, 2 1, 1, 1 73 x y 4x 5 1 x 5
  166. 166. Expresiones Racionales Equivalentes  Podemos multiplicar por 1 para obtener expresiones equivalentes. Por ejemplo 7 4 7 4 28 ; 9 4 9 4 36 x y x y x y x y x Multiplicando por y , x y que es 1. 5 x y 5 x yEsto quiere decir que nombraran los mismos números paratodos los reemplazos que no hacen el denominador 0.
  167. 167. Expresiones Racionales Equivalentes 5. Multiplique para obtener una expresión equivalente. 2 x 3 2 x 3 x 1 x 2 3 x 1 Usando x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 para 16. Multiplique para obtener una expresión equivalente. 1 x 4 1 x 4 x 4 1 x y 1 x y x y
  168. 168. Simplificar Expresiones Racionales  Simplificamos una expresión racional usando la identidad del 1 en reversa. Removemos factores que son igual a 1. Primero factorizamos el numerador y el denominador y luego factorizamos la expresión racional para que un factor sea igual a 1. Decimos que hemos removido un factor de 1.
  169. 169. Simplificar Expresiones Racionales  120 3207. 120 Simplifique removiendo el factor de 1: 40 3 Factorizando el numerador y el 320 40 8 denominador, buscando por un factor común. 40 3 Factorizando la expresión racional. 40 8 3 40 1 1 8 40 3 Removiendo el factor de 1. 8
  170. 170. Simplificar Expresiones Racionales 8. Simplifique removiendo el factor de 1. 5x2 5x x Factorizando el numerador y el denominador x 1 x 5x x Factorizando la expresión racional. 1 x x 5x 1 1 x 5x Removiendo el factor de 1
  171. 171. Simplificar Expresiones Racionales 9. Simplifique removiendo el factor de 1.4a 8 2 2a 4 Factorizando el numerador y el denominador. 2 21 2 2a 4 Factorizando la expresión racional 2 1 2a 4 Removiendo el factor de 1 1 2a 4
  172. 172. Simplificar Expresiones Racionales 10. Simplifique removiendo el factor de 1. 22x 4x 2x x 2 Factorizando el numerador y el denominador.6 x2 2x 2 x 3x 1 2x x 2 Factorizando la expresión racional. 2x 3x 1 x 2 Removiendo el factor de 1. 3x 1
  173. 173. Simplificar Expresiones Racionales 11. Simplifique removiendo el factor de 1. 2 x 1 x 1 x 1 Factorizando el numerador y el 2 2x x 1 2x 1 x 1 denominador. x 1 x 1 Factorizando la expresión racional. x 1 2x 1 x 1 Removiendo el factor de 1. 2x 1
  174. 174. Simplificar Expresiones Racionales 12. Simplifique removiendo el factor de 1. 2 9 x 6 xy 3 y 2 3 3x 2 2 xy y2 Factorizando el numerador y el 12 x 2 12 y 2 12 x 2 y2 denominador.3 3x y x y 3 x y 3x y Factorizando la expresión racional.3 4 x y x y 3 x y 4 x y 3x y Removiendo el factor de 1. 4 x y
  175. 175. Multiplicando y Simplificando 13. Multiplique. Luego simplifique removiendo el factor de 1. x 2 x 4 2 x 2 x2 4 Multiplicando los numeradores y los x 3 x2 x 2 x 3 x2 x 2 denominadores. x 2 x 2 x 2 Factorizando el numerador y el denominador. x 3 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 Removiendo un factor de 1: 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 x 2 Simplificando x 3 x 1
  176. 176. Multiplicando y Simplificando14. Multiplique. Luego simplifique removiendo el factor de 1. a 3 b3 a 2 2ab b 2 a 2 b 2 a 2 ab b 2  a 3 b3 a 2 2ab b 2 a 2 b 2 a 2 ab b 2 a b a 2 ab b 2 a b a b Factorizando el numerador a b a b a 2 ab b 2 y el denominador. a b a 2 ab b 2 a b a b 2 2 Removiendo el factor de 1 a b a b a ab b 1 a b Simplificando 1 a b
  177. 177. Dividiendo y Simplificando Dos expresiones son recíprocas (o inversos multiplicativos) de cada una si su producto es 1.  Para encontrar el recíproco de una expresión racional, intercambiamos el numerador y el denominador. Dividimos con expresiones racionales como lo hacemos con números reales.  Multiplicamos por el recíproco del divisor. (Muchas veces decimos “invierte el divisor y multiplica”)
  178. 178. Dividiendo y Simplificando15. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si es posible.  x 2 x 5 x 2 x 3 Multiplicamos por el recíproco del divisor. x 1 x 3 x 1 x 5 x 2 x 3 x 1 x 5
  179. 179. Dividiendo y Simplificando16. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si es posible. a 2 1 a 2 2a 1 a2 1  a 1 Multiplique por el recíproco del a 1 a 1 a 1 a 2 2a 1 divisor. a2 1 a 1 Multiplicando los numeradores y los denominadores. a 1 a 2 2a 1 a 1 a 1 a 1 Factorizando el numerador y el a 1 a 1 a 1 denominador. a 1 a 1 a 1 Removiendo el factor de 1. a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Simplificando a 1 a 1
  180. 180. Dividiendo y Simplificando17. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si es posible. c3 d 3 2 c d c d  c d c3 d 3 1 2 c d c d c d c d c 2 cd d2 c d c d c d c d c d c 2 cd d2 c d Removiendo un factor de 1 c d c d c d c 2 cd d 2 c d
  181. 181. El principio de las Potencias  Una ecuación radical tiene variables en uno o mas radicandos.  Para resolver la ecuación necesitamos un principio nuevo.El Principio de las Potencias Para cualquier número natural n, si una ecuación a = b es cierta, entonces an = bn es cierta.
  182. 182. El principio de las Potencias  Pero también, si una ecuación an = bn es cierta, puede que no sea cierto que a = b. Por lo tanto debemos verificar cuando resolvemos una ecuación usando el principio de potencias.  Por ejemplo, 32 = (-3)2 es cierto, pero 3 = -3 no es cierto.
  183. 183. El principio de las Potencias 1. Resuelva: ? Verificamos : 3 3 4 x 3 4 ? 49 3 4 x 4 3 ? 7 3 4 x 7 4 4 2 2 x 7 Usando el principio de las potencias x 49
  184. 184. El principio de las Potencias 2. Resuelva: ? x 3 Verificamos : x 3 ? 2 2 9 3 x 3 3 3 x 9 FALSO Esta ecuación no verifica, por lo tanto no tiene solución de número real.
  185. 185. El principio de las Potencias  Para resolver una ecuación radical primero aislamos el término radical a un lado de la ecuación. Luego usamos el principio de las potencias.
  186. 186. El principio de las Potencias3. Resuelva: x 7 2 2 x 1 2  Usando el principio de las potencias x 7 2 x 1 (cuadrando) 2 Cuadrando el binomio en la izquierda; 2 2x 14 x 49 2 x 1 elevando el producto a una potencia en la derecha.x 2 14 x 49 4 x 1x 2 14 x 49 4 x 4x 2 18 x 45 0x 3 x 15 0 Factorizandox 3 0 o x 15 0 Usando el principio del cero como producto x 3 o x 15
  187. 187. El principio de las Potencias 3. Verificando: Para 3 : Para 15 : x 7 2 x 1 x 7 2 x 1 3 7 2 3 1 15 7 2 15 1 4 2 4 8 2 16 4 2 2 8 2 4 4 4 8 8
  188. 188. El principio de las Potencias4. Resuelva: x x 7 5  Restando 5 para aislar el término x 5 x 7 radical 2 2 Usando el principio de las x 5 x 7 potencias (cuadrando ambos lados) x 2 10 x 25 x 7 x 2 11x 18 0 x 2 x 9 0 Factorizandox 2 0 o x 9 0 Usando el principio del cero como producto x 2 o x 9
  189. 189. El principio de las Potencias4. Verificando: Para 9 :  Para 2 : x x 7 5 x x 7 5 9 9 7 5 2 2 7 5 9 16 5 2 9 5 9 4 5 2 3 5 9 9 CIERTO 2 8 FALSO La solución es 9
  190. 190. El principio de las Potencias 5. Resuelva:3 2x 1 5 0 Restando 5, esto aísla el término radical 3 2x 1 5 3 Usando el principio de potencias. 3 3 2x 1 5 (elevando a la tercera potencia) 2x 1 125 Restando 1 2x 126 x 63
  191. 191. El principio de las Potencias5. Verificando:  3 2x 1 5 0 3 2 63 1 5 0 3 126 1 5 0 3 125 5 0 5 5 0 0 0 CIERTO La solución es -63
  192. 192. Ecuaciones con Dos Términos Radicales • Para resolver ecuaciones con dos términos radicales:1. Aísle uno de los términos radicales.2. Use el principio de las potencias.3. Si se mantiene una radical, use los pasos (1) y (2) nuevamente.4. Verifique las posibles soluciones.
  193. 193. Ecuaciones con Dos Términos Radicales6. Resuelva: x 3 x 5 4 x 3 2 4 x 5  2 Aislando uno de los términos radicales x 3 4 x 5 Usando el principio de las potencias 2 2 x 3 4 8 x 5 x 5 Restando y coleccionando los x 3 16 8 x 5 x 5 términos iguales 24 8 x 5 Aislando el término radical restante 3 x 5 Dividiendo por -8 2 2 3 x 5 Cuadrando 9 x 5 4 x El número 4 verifica y es la solución
  194. 194. Ecuaciones con Dos Términos Radicales7. Resuelva: 2x 5 1 x 3 2x 5 2 1 x 3 2 lados  Una radical ya esta aislada y cuadramos ambos 2 2x 5 1 2 x 3 x 3 2x 5 1 2 x 3 x 3 x 3 2 x 3 Aislamos el término restante 2 2 x 3 2 x 3 Cuadramos ambos lados x2 6 x 9 4 x 3 x2 6 x 9 4 x 12x 2 10 x 21 0 Factorizandox 3 x 7 0 Usando el principio del cero como productox 3 0 o x 7 0x 3 o x 7 Los números 3 y 7 verifican y son soluciones
  195. 195. Ecuaciones con Dos Términos Radicales8. Resuelva: 2 2  x 2 2x 2 1 0 x 1 2 2x 2 x 2 2x 2 1 x2 2x 1 4 2 x 2 2 2 x 2 2x 2 1 x2 2 x 1 8x 8 2 x 2 2x 2 2 2x 2 1 x2 6x 7 0 x 2 2x 2 2 2x 2 1 x 1 x 7 0 x 1 2 2x 2 x 1 0 o x 7 0 x 1 2 2x 2 x 1 o x 7 El número 7 verifica, pero el -1 no verifica. La solución es 7.
  196. 196. Números Complejos e Imaginarios • Números negativos no tienen raíces cuadradas en el sistema de números reales.• Los matemáticos inventaron un sistema de números mas grande que contiene el sistema de números reales, pero es tal que los números negativos tienen raíces cuadradas. – El sistema se llama sistema de números complejos. – Empezamos creando un número que es la raíz cuadrada de -1. – Llamamos este nuevo número i.
  197. 197. Números Complejos e Imaginarios  Definimos el número i a ser 1. Esto es, i 1 y i2 1. Para expresar raíces de números negativos en términos de i, podemos usar el hecho que en los números complejos,p 1 p 1 p cuando p es un número real positivo.
  198. 198. • Exprese en términos de i:  1. 7 17 1 7 i 7, o 7i 2. 16 1 16 1 16 i 4 4i 3. 13 1 13 1 13 i 13 , o 13i 4. 64 1 64 1 64 i8 8i 5. 48 1 48 1 48 i 16 3 i 16 3 i4 3 4 3i 4i 3
  199. 199. Números Complejos e Imaginarios • Un número imaginario es un número que se puede nombrar bi, donde b es algún número real y b ≠ 0.• Un número complejo es cualquier número que se pude nombrar a + bi, donde a y b son cualquier número real. (note que en este caso tanto a y/o b pueden ser 0.)
  200. 200. Números Complejos e Imaginarios  Debido a que 0 + bi, todo número imaginario es un número complejo. Similarmente, a + 0i = a, entonces todo número real es un número complejo.
  201. 201. Suma y Resta de Números Complejos   Ejemplos. Sume o reste:6. 8 6i 3 2i 8 3 6i 2i 11 8i7. 3 2i 5 2i 3 5 2i 2i 2 4i
  202. 202. Multiplicación de Números Complejos  Multiplique: 8. 49 16 1 49 1 16 i 7 i 4 2 i 28 1 28 i2 = -1 28
  203. 203. Multiplicación de Números Complejos 9. 3 7 1 3 1 7 i 3 i 7 i2 21 1 21 i2 = -1 21
  204. 204. Multiplicación de Números Complejos10. 2i 5i 2 10 i  10 1 i2 = -1 10 Usando la ley11. 4i 3 5i 4i 3 4i 5i distributiva 12i 20i 2 12i 20 1 i2 = -1 12i 20 20 12i
  205. 205. Multiplicación de Números Complejos12. 1 2i 1 3i 1 i 3i 2 6i 2 Multiplicando por el método FOIL 1 5i 6 i2 = -1 Coleccionando términos iguales 5 5i 2 2 2 Cuadrando el binomio13. 3 2i 3 2 3 2i 2i 9 12i 4i 2 9 12i 4 5 12i
  206. 206. Potencias de i Considere:i, 2  Note que las potenciasi 1, de i se ciclan ellasi 3 2 i i 1i i, mismas por los valores i, -1, -i, y 1. 2 2 4 2i i 1 1, 2 2 5 4 2i i i i i 1 i i, 3 3 6 2i i 1 1
  207. 207. Potencias de i   Simplifique: 18 18 37 36 214. i i i i i 1 i 1i i 29 29 58 215. i i 1 1 37 37 75 74 216. i i i i i 1 i 1i i 40 40 80 217. i i 1 1
  208. 208. Potencias de i  Simplifique a la forma a + bi:18. 8 i 2 8 1  8 1 919. 17 6i 3 17 6 i 2 i 17 6 1 i 17 6i 11 11 22 2 220. i 67i i 67 1 1 67 1 67 66 24 11 24 23 48 22 2 221. i i i i i i i 1 11 1 i 1 i 1 1 i
  209. 209. División y el Conjugado  El conjugado de un número complejo a + bi es a – bi, y el conjugado de a - bi es a + bi.Encuentre el conjugado :22. 5 7i El conjugado es 5 7i23. 14 3i El conjugado es 14 3i24. 3 9i El conjugado es 3 9i25. 4i El conjugado es 4i
  210. 210. División y el Conjugado• Cuando multiplicamos por un número complejo por su  conjugado, obtenemos un número real. Multiplique : 2 2 26. 5 7i 5 7i 5 7i (A + B)(A - B) = A2 – B2 2 25 49i 25 49 1 i2 = -1 25 49 74
  211. 211. División y el ConjugadoMultiplique :  2 227. 2 3i 2 3i 2 3i Diferencia de cuadrados 2 4 9i 4 9 1 i2 = -1 4 9 13

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