Varaleat

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Varaleat

  1. 1. 1 EST 105 - Exerc´ ıcios de Vari´veis Aleat´rias a o1 (I/2001). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria discreta bidimensional com a seguinte a ofun¸ao de probabilidade conjunta: c˜ 3 1  , para x = 0, 1, 2, 3 e y = 10, 20     x 16 P (x, y) =    0 , para outros valores (x, y) Pede-se:a. Calcule P(Y=10).b. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta a a oc. Apresente a tabela da distribui¸ao conjunta das probabilidades. c˜2 (II/2001). Uma vari´vel aleat´ria continua X possui a seguinte fun¸ao densidade a o c˜de probabilidade: 2  K(1 − x ) , se − 1 ≤ x ≤ 0       4   f (x) =  K , se 0 ≤ x ≤    3    0 , para outros valores de x Pede-se:a. O valor de K.b. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X. c˜ c˜c. Calcule P (X ≤ 2/3)3 (II/2001). Considere um jogo de azar no qual o jogador paga determinado valorpara jogar e depois retira aleatoriamente duas bolas de uma urna que cont´m 10 ebolas, sendo sete brancas, duas vermelhas e uma preta. O jogador recebe um prˆmio epara cada bola obtida, de acordo com a cor, conforme a tabela abaixo, 1 Exerc´ ıcios das avalia¸˜es dos semestres indicados. Cont´m 33 exerc´ co e ıcios em p´ginas numeradas ade 1 a 14. 1
  2. 2. COR branca vermelha preta ˆ PREMIO 1 5 10Pede-se: Qual deve ser o valor pago para jogar, de modo que o jogo seja justo? Isto´, de modo que a probabilidade do jogador perder ou ganhar algum valor sejameiguais? Explique seu racioc´ ınio.4 (II/2001). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta c˜     4xy,  se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f (x, y) =    0, outros valores Pede-se:a. Calcule V (X − Y ).b. Justifique porquˆ X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes. e a a o5 (II/2001). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir. Seja c˜W = X + Y , calcule V(W). Y X 2 4 0 0,3 0,1 1 0,5 0,16 (II/2001). Se um dado perfeitamente sim´trico ´ lan¸ado at´ sair a face com o e e c en´mero 6 ou at´ serem realizados no m´ximo 3 lan¸amentos, calcule o n´mero m´dio u e a c u ede lan¸amentos. c7 (I/2002). O n´mero de anos de servi¸o dos funcion´rios de uma grande empresa u c a´ uma vari´vel aleat´ria discreta X, cuja fun¸ao de probabilidade f(x)=P(X=x)e a o c˜ 2
  3. 3. ´ dada na tabela a seguir,e   0, 08  , x = 1, . . . , 5        0, 09   , x = 6, . . . , 10  f (x) =  0, 01 , x = 11, . . . , 25           0  , outros valores xa. Obtenha a fun¸ao de distribui¸ao acumulada F (x) = P (X ≤ x). c˜ c˜b. Qual ´ o percentual de funcion´rios com no m´ximo 10 anos de servi¸o. e a a cc. Dentre os funcion´rios com no m´ a ınimo 10 anos de servi¸o, calcule o percentual c com no m´ ınimo 20 anos (probabilidade condicional).8 (I/2002, modificado). Considere a vari´vel aleat´ria discreta bidimensional, (X, Y ), a ocom a seguinte distribui¸ao de probabilidades, c˜ y x 1 2 3 4 0 0,06 0,24 0,12 0,18 1 0,04 0,16 0,08 0,12a. Calcule P (1 ≤ Y < 3).b. Calcule P (1 ≤ Y < 3 / X = 1).c. Explique os resultados encontrados nos itens a. e b.9 (I/2002). A produ¸ao di´ria de uma pe¸a resulta em Y itens defeituosos, cuja c˜ a cdistribui¸ao possui parˆmetros m´dia e variˆncia, ambos iguais a 2. O lucro di´rio c˜ a e a acom a venda das pe¸as ´ uma vari´vel X dada por X = 50 − 2Y − Y 2 . Calcule o c e avalor esperado do lucro di´rio. a10 (I/2002). Sejam X e E vari´veis aleat´rias com V (X) = 5, V (E) = 4 e a oCOV (X, E) = −4, 5. Seja Y uma vari´vel dada por Y = b0 + b1 X + E. Para ab0 = 20 e b1 = 2 calcule V (Y ), a variˆncia de Y . a 3
  4. 4. 11 (II/2002). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta, c˜   x+y  , 0≤x≤1 e 0≤y≤1 f (x, y) =   0 , outros valoresa. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 0, 5 , Y > 0, 25). 1b. Calcule E(2X − ). 6c. Calcule a probabilidade condicional: P (X ≥ 0, 8 / Y = 0, 5).12 (II/2002). Considere a seguinte distribui¸ao conjunta, c˜ X2 X1 2 4 0 0,10 0,30 2 0,27 0,33 X1 + X2a. Calcule P ≥2 . 2b. X1 e X2 s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta. a a oc. Calcule V (2X1 − X2 ).13 (I/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada por, c˜ 6 (x2 + y 2 x) , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 3  33   f (x, y) =   0 , outros valoresa. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 1/2 , Y > 2).b. Calcule a probabilidade marginal: P (X > 3/4).c. Calcule o valor m´dio de Y . e14 (I/2003). Pain´is de madeira s˜o oferecidos com duas op¸oes de comprimento e e a c˜trˆs op¸oes de largura, em metros, conforme a distribui¸ao conjunta ´ apresentada e c˜ c˜ ena tabela a seguir, 4
  5. 5. Largura (Y ) Comprimento (X) 1 2 3 2,5 0,05 0,05 0,10 5 0,10 0,50 0,20Os pain´is s˜o comercializados com as bordas envolvidas em uma fita protetora de e amodo que T = 2(X + Y ) ´ a vari´vel aleat´ria que representa o total de fita gasto e a opara proteger um painel. Calcule a m´dia e a variˆncia de T por propriedades de e aE(T ) e V (T ) com base na distribui¸ao de (X, Y ) e tamb´m com base na distribui¸ao c˜ e c˜de T .15 (II/2003). Este ´ um problema com nomes e fatos reais. Vou a um churrasco ee encontro o meu amigo Luiz Abrantes com as suas trˆs filhas: Luiza, Paula e eBruna. Eu sei os nomes das filhas dele mas n˜o tenho a menor id´ia de quem ´ a e equem e portanto de forma completamente aleat´ria falarei os nomes. Considere oque a vari´vel aleat´ria X represente o n´mero de nomes que eu acerto. Pede-se: a o uConstrua a tabela com a distribui¸ao das probabilidades de X. c˜16 (II/2003). Considere a seguinte distribui¸ao de probabilidades conjuntas: c˜P (x, y) = P (X = x, Y = y) : P (−2, 2) = P (−1, 1) = P (0, 0) = P (1, 1) = P (2, 2) = 0, 2a. Calcule a probabilidade condicional: P (X = −2 / Y = 2).b. Calcule a m´dia ou esperan¸a matem´tica de W , sendo W = X − 5Y + 6. e c a17 (II/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada c˜ 2 xpor, f (x, y) = (y + 2) se 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 e f (x, y) = 0 para outros 14valores (x, y). Pede-se: X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique a a osua resposta.18 (II/2003). Uma m´quina que produz componentes para discos r´ a ıgidos de com-putadores pode operar a duas velocidades, lenta ou r´pida. Na velocidade lenta o acusto por pe¸a ´ igual a 20,75 e na r´pida ´ igual a 20,45. Na velocidade r´pida mais c e a e ape¸as s˜o produzidas (menor custo), entretanto 5,48% das pe¸as s˜o defeituosas. Na c a c avelocidade lenta s˜o produzidas menos pe¸as por´m somente 0,86% s˜o defeituosas. a c e aPara cada pe¸a defeituosa produzida na velocidade lenta ou na r´pida, h´ um custo c a aadicional igual a 10,40 para reparar a pe¸a. Considere que as vari´veis aleat´rias c a o 5
  6. 6. X e Y representem respectivamente o custo de uma pe¸a nas velocidades lenta e cr´pida. Calcule os custos esperados, ou seja, E(X) e E(Y ). a19 (II/2003). Considere a fun¸ao de distribui¸ao acumulada da vari´vel aleat´ria c˜ c˜ a odiscreta X dada a seguir, 0se x<0     2/6  se 0≤x<1 F (x) =   5/6  se 1≤x<3 1 se 3≤x Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades e calcule E(10X − 5). c˜20 (I/2004). Sejam X e Y duas vari´veis aleat´ris tais que: a o E(X) = 0 V (X) = 1 e Y = 5 − 2XCalcule:a. E (2X − 3Y − 4). Yb. V 3X − 2 +2 .c. ρXY , o coeficiente de correla¸ao linear entre X e Y . c˜21 (I/2004). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir: c˜ Y X 1 2 3 0 0,03 0,05 0,02 2 0,27 0,45 0,18a. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta. a a ob. Se W = XY , calcule E(W ).c. Se W = XY , calcule V (W ).22 (I/2004). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua bidimensional tal que asduas f.d.p. marginais s˜o dadas por, a x 3y 2 g(x) = , 0 ≤ x ≤ 2 e h(y) = , 1≤y≤3 2 26 6
  7. 7. Se poss´ ıvel, calcule P (X ≤ 1, Y ≤ 2) e explique qual pressuposi¸ao ´ necess´ria c˜ e apara validar o c´lculo. a23 (II/2004). O fabricante de um equipamento eletromecˆnico de cozinha conduziu aum estudo com um grande n´mero de consumidores, que utilizaram a assistˆncia u et´cnica autorizada, e verificou que todas as reclama¸oes quanto ao produto podem e c˜ser classificadas em 6 categorias, conforme a distribui¸ao das probabilidades apre- c˜sentada na tabela a seguir. Natureza do Defeito (Y ) Prazo (X) El´trico Mecˆnico Est´tico e a e dentro da garantia 15% 13% 44% fora da garantia 5% 6% 17%a. A natureza do defeito e o Prazo s˜o vari´veis aleat´rias independentes? justifique a a o sua resposta.b. Calcule a distribui¸ao das probabilidades condicionais da natureza do defeito, c˜ quando o produto est´ dentro do prazo de garantia. a24 (II/2004). Um sistema eletrˆnico opera com dois componentes que funcionam osimultaneamente. Sejam X e Y as duas vari´veis aleat´rias que denotam as vidas a outeis destes componentes (em centenas de horas). Se f (x, y) dada a seguir ´ a fun¸ao´ e c˜densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ) calcule a seguinte probabilidade con-junta: P (X > 1, Y > 1).  1  xe−(x + y)/2 , 0<x<∞ e 0<y<∞ f (x, y) =  8 0 , para outros valores x, yDICA: Os resultados a seguir podem ser uteis: ´ (Kx − 1) Kx 1 Kx lim xe−x = 0, xeKx dx = e e eKx dx = e x→ ∞ K2 K25 (em aula). Seja X a vida util de um componente eletrˆnico, que representa o ´ otempo de funcionamento em horas at´ ele apresentar a primeira falha. A fun¸ao e c˜densidade de probabilidade de X ´ dada por, e Ke−x/200 , 0 ≤ x < ∞ f (x) = 0 , para outros valores xPede-se: 7
  8. 8. a. O valor de Kb. A probabilidade de um componente durar pelo menos 300 horas.c. A probabilidade condicional de um componente durar pelo menos 700 horas sabendo-se que durar 300 horas ´ certo. ed. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X. c˜ c˜e. Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de modo que no m´ximo 10% dos a components tenham vida util inferior ` garantia? ´ a26 (I/2006). Seja X uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua com a seguinte fun¸ao densi- c˜dade de probabilidade, k , −2 ≤ x < 0        3x   f (x) =  k + , 0≤x≤5    125    0 , para outros valores x a. Calcule o valor k e obtenha a F (x).b. Calcule P (X ≥ 0/ − 1 < X < 3).27 (I/2006). Seja Y uma vari´vel aleat´ria discreta com fun¸ao de probabilidade a o c˜dada por,  y  i , para i = 1, 2, 3, 4 N   P (Y = yi ) =    0 , para outros valores iem que, 4 i+2 N= yi com yi = k i=1 k=i+1Pede-se: Calcule E(Y ), o valor m´dio de Y . e28 (II/2006). Seja X a vari´vel aleat´ria discreta que represente o n´mero de artigos a o u 8
  9. 9. defeituosos por caixa, com fun¸ao de distribui¸ao acumulada dada por, c˜ c˜ 0 , x<0          0, 68   , 0≤x<1       F (x) =  0, 95 , 1≤x<2      0, 98   , 2≤x<3        1 , 3≤x Pede-se: Calcule o n´mero m´dio de artigos defeituosos por caixa. u e29 (II/2006). Calcule o valor de K na seguinte fun¸ao densidade de probabilidade c˜conjunta,   kx  , 0≤y≤x≤2 f (x, y) =   0 , para outros valores x e y30 (I/2007). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua bidimensional com aseguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta, c˜ y (1 − x2 ) , −1 ≤ x < 0 e 0 ≤ y < 1        1 8   4 f (x, y) =  y−3 , 0≤x≤ 3 e 1≤y≤2  2 3      0 , para outros valores x, y a. Obtenha h(y), a f.d.p. marginal de Y .b. Obtenha f (x|y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y. 1c. Calcule P X ≥ 2 |Y =1 . 9
  10. 10. 31 (I/2007). Considere a distribui¸ao de probabilidades da v.a.d. tridimensional c˜(X, Y, Z) dada na tabela a seguir, X=1 X=4 Z Y =0 Y =1 Y =0 Y =1 1 0,10 0,34 0,06 0,10 2 0,06 0,27 0,02 0,05Pede-se:a. Calcule a seguinte probabilidade condicional, P (Y = 0 / X = 4, Z = 2). X +Yb. Seja W = , calcule E(W ) e V (W ) diretamente pela distribui¸ao de W c˜ 2 (tente tamb´m pela distribui¸ao conjunta de X e Y ). e c˜32 (II/2007). Seja X a vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua que represente o tempo (emsegundos) que um rato de laborat´rio demora para executar uma tarefa e alcan¸ar o ca comida, como recompensa pela tarefa. Quanto menor o tempo considera-se quemaior ´ a inteligˆncia do rato. Seja f (x) uma fun¸ao associada a X dada por, e e c˜  t   2 , t≤x<∞ f (x) =  x   0 , outros valores x em que t ´ o menor valor poss´ do tempo para execu¸ao da tarefa. Pede-se: e ıvel c˜a. Mostre que f (x) ´ uma fun¸ao densidade de probabilidade. e c˜b. Calcule P (X ≥ t + h) para uma constante positiva h.c. Para t = 5, calcule P (X ≥ 7 / 5 < X < 10).33 . Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´ a o ınua bidimensional com a seguintefun¸ao densidade de probabilidade conjunta, c˜   6 (1 − y)  , 0≤x≤y≤1 f (x, y) =   0 , para outros valores x, ya. Obtenha as f.d.p.´s marginais de X e Y . 1 3b. Calcule P (Y ≤ 2 /X ≤ 4 ). 10
  11. 11. c. Obtenha f (x/y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y.d. Obtenha f (y/x), a f.d.p. condicional de Y dado X = x. 3 1e. Calcule P Y ≥ 4 /X= 2 . RESPOSTAS X Y 0 1 2 3 P(y)1. a. 0,5 b. sim c. 10 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16 20 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16 P(x) 2/16 6/16 6/16 2/16 1,00    0 , x < −1 1 3 (−x + 3x + 2) , −1 ≤ x < 0       6 2. a. 0,5 b. F (x) =  1 c. 2/3   6 (2 + 3x) , 0 ≤ x < 4/3      1 , 4/3 ≤ x  11
  12. 12. 3. 5,44. a. 1/9 b. porque f (x, y) = g(x)h(y)5. 0,806. 546/216≈ 2, 52     0 , x<1 0, 08x , 1 ≤ ⌊x⌋ < 6    7. a. F (x) =  0, 40 + (x − 5)0, 09 , 6 ≤ ⌊x⌋ < 11  0, 85 + (x − 10)0, 01 , 11 ≤ ⌊x⌋ ≤ 25    1 , 25 < x   em que ⌊x⌋ = max{m ∈ Z|m ≤ x}, isto ´, o maior n´mero inteiro que seja e u menor ou igual a x, b. F (10) = 0, 85 c. P (X ≥ 20|X ≥ 10) = [1 − F (20) + P (20)] / [1 − F (10) + P (10)] = 0, 06/0, 24 = 0, 25, portanto 25%.8. a. 0.50 b. 0.50 c. s˜o iguais porque as vari´veis s˜o independentes, isto ´, a a a e P (x, y) = P (x)P (y) ou P (x/y) = P (x) e P (y/x) = P (y).9. E(X) = 40.10. V (Y ) = 6. 21 1 711. a. 64 ≈ 0, 33 b. 2E(X) − 6 =1 c. 25 = 0, 2812. a. 0, 9 b. N˜o, P (x1 , x2 ) = P (x1 )P (x2 ) c. 4V (X1 ) + V (X2 ) − 4COV (X1 , X2 ) ≈ 5, 5 a 5 163 27913. a. 33 ≈ 0, 152 b. 352 ≈ 0, 463 c. E(Y ) = 132 ≈ 2, 11 t 7 9 11 12 14 16 total14. P (t) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,50 0,20 1,00 E(X) = 4, 5, V (X) = 1, E(Y ) = 2, 15, V (Y ) = 0, 4275, COV (X, Y ) = −0, 05, portanto E(T ) = 13, 3m e V (T ) = 5, 31m2 . 12
  13. 13. 15. Seja {LPB} a ordem correta dos nomes, ent˜o o espa¸o amostral S pode ser a c indicado da seguinte forma, S = {LPB, LBP, PLB, PBL, BLP, BPL} o que resulta em SX enumer´vel dado por, SX = {3, 1, 1, 0, 0, 1} e X uma v.a.d. a x 0 1 2 3 total com a seguinte distribui¸ao: c˜ P(x) 2/6 3/6 0 1/6 1,0016. a. 0,5 b. 0. 3 217. S˜o independentes pois f (x, y) = g(x) h(y), em que g(x) = a 7 x e h(y) = 1 6 (y + 2).18. E(X) ≈ 20, 84 e E(Y ) ≈ 21, 02. x 0 1 2 3 total19. E(X) = 1 e E(10X − 5) = 5. P (x) 2/6 3/6 0 1/6 1,0020. a. -19 b. 16 c. -121. a. sim, P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y) b. = E(X)E(Y ) = 3, 42 c. 3,063622. P (X ≤ 1, Y ≤ 2) = 01 12 f (x, y)dy dx = P (X ≤ 1) P (Y ≤ 2) = 1 0 g(x) dx 2 1 h(y) dy = 1/4 × 7/26 ≈ 0, 07 se X e Y s˜o v.a.c. independentes. a23. a. N˜o s˜o v.a. independentes pois P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y) a a defeito el´trico e mecˆnico a est´tico e total b. P ( defeito / dentro ) 0,2083 0,1806 0,6111 1,00 1 ∞ −y/224. P (X > 1, Y > 1) = 8 1 e ∞ 1 xe−x/2 dx dy = 3 e−1 ≈ 0, 552 225. a. 1/200 b. e−300/200 ≈ 0, 22 ou 22% c. e−400/200 ≈ 0, 135 ou 13, 5% d. F (x) = 1 − e−x/200 , 0 ≤ x < ∞ F (x) = 0, x < 0, F (x) = 1, x → ∞ e. ≤ −200ln0, 9 ≈ 21 horas DICA: Inicialmente obtenha a f´rmula geral para P (X ≥ x). o 13
  14. 14. 0 , x < −2    1 + 2) (x , −2 ≤ x < 0  26. a. k = 1/10, F (x) = 10  1 ( 3 x2 + x + 2)  10 25 , 0≤x<5  1 , 5≤x  b. [F (3) − F (0)] / [F (3) − F (−1)] = 0, 408/0, 508 ≈ 0, 803, ou pode ser cal- 3 culado da forma usual, integrando a f (x), 03 f (x)dx / −1 f (x)dx .27. y 5 7 9 11 total , E(Y ) = 69/8 = 8, 625. P (y) 5/32 7/32 9/32 11/32 1,0028. E(X) = 0 + 0, 27 + 0, 06 + 0, 06 = 0, 30. 2 x29. k = 3/8 atende a f (x, y) dy dx = 1. 0 0 2 1 3230. a. h(y) = 3 y, se 0 ≤ y < 1 e h(y) = 2 9 y − 4 se 1 ≤ y ≤ 2 b. f (x/y) = 3 2 8 32 2 (1 − x ), se −1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1 e f (x/y) = 3 y −3 / 9 y − 4 , se 0 ≤ x ≤ 4/3, 1 ≤ y ≤ 2 c. 15/24 = 0, 625.31. a. 0, 02/0, 07 ≈ 0, 286 b. E(W ) = 1, 225 ≈ 1, 23 e V (W ) = 0, 406875 ≈ 0, 41.32. a. t > 0 =⇒ f (x) ≥ 0 ∀ x e t ∞ 1 f (x)dx = −t( ∞ − 1 ) = 1 b. t t t+h c. 3/7.33. a. g(x) = 3(1 − x)2 , se 0 ≤ x ≤ 1 e h(y) = 6y (1 − y) se 0 ≤ y ≤ 1 b. 32/63 1 2(1−y) c.f (x/y) = y , para 0 ≤ x ≤ y d. f (y/x) = (1−x)2 , se x ≤ y ≤ 1 e. 1/4. 14

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