Equações diferenciais de ordem n(metodo dos coeficientes indeterminados)

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Descrição do método de resolução de equações diferenciais de ordem N

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Equações diferenciais de ordem n(metodo dos coeficientes indeterminados)

  1. 1. Equações diferenciais de ordem N Métodos dos coeficientes indeterminados(1) Considere o seguinte PVI (problema de valor inicial)A equação diferencial do PVI é de 2ºgrau(2) Agora vamos coloca-la na forma de polinómio característicoSe b(t) for da forma:Pode-se usar este método de resolução de equações diferenciais (método doscoeficientes indeterminados). Caso contrário, teríamos de usar o método da variaçãodas constantes, que é bem mais complicado do que este.(3) A solução final da equação diferencial é um misto de solução particular e desolução homogénea.Equação diferencial que dará a solução ParticularVamos agora encontrar as raízes desta equação e para isso usaremos a fórmularesolventeVerifica-se que as raízes são complexas conjugadas (figura 6)BrianSupra www.briansupra.blogspot.com
  2. 2. (4) Sendo assim a equação diferencial homogénea pode-se escrever da seguinteforma:Daqui sai que a solução homogénea é:Como y(0) =0 e sen(0)=0 e por isso a solução homogénea fica a seguinte:(5) De seguida vamos ter de calcular a solução particular. Para isso precisamos qual é opolinómio aniquilador de b(t). O polinómio aniquilador de b(t) não é mais do que umpolinómio que anula b(t) para que possamos ter, tal como na determinação da soluçãohomogénea , uma equação diferencial que está igualada a zero.Em seguida estão os vários polinómios para as varias formas possíveis de b(t)BrianSupra www.briansupra.blogspot.com
  3. 3. Agora que sabemos os vários polinómios aniquiladores vamos o polinómio aniquiladora ambos os membros da equação diferencial do PVI.Por exemplo, vamos considerar b(t)=t.Usando as formulas de cima descobrimos que o polinómio aniquilador de t é:Assim a equação que dará origem á solução particular é:As soluções desta equação são as seguintes:Se repararmos com atenção vamos perceber que o 3º termo desta equação é igual àsolução da equação homogénea. Sendo assim, a solução particular é composta apenaspelos dois primeiros termos da solução de cima.BrianSupra www.briansupra.blogspot.com
  4. 4. (6) Solução particularEm seguida temos de calcular os termos indeterminados da equação particular(c1,c2).Como a equação particular é y’’+y’+y=t, a forma que nós temos para encontrar oscoeficientes, c1 e c2 (podiam ser mais coeficientes), é fazer com que a equaçãoparticular verifique também ela a igualdade:No fim do cálculo dos coeficientes é só somar a solução particular com a soluçãohomogénea e encontrar, dessa forma, a solução geral.(7) Solução geralNesta solução geral o c1 e c2 são os coeficientes indeterminados que acabaram de serdeterminados, realizando o que sugere (6). O c3 é um coeficiente que vai serdeterminado usando as condições iniciais PVI( Problema de valor inicial), que nestecaso é y(0)=0. No final de todos os coeficientes calculados, o PVI fica resolvido.BrianSupra www.briansupra.blogspot.com

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