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Multiplicadores de lagrange

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Multiplicadores de Lagrange

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  • 1. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE MATERIA MATEMATICA III/IV
  • 2. HISTORIA DEL METODO DE LAGRANGE  El método lagrangian (también conocido como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y económica. La lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín. o En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes.
  • 3. o Realizo un trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París o En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». o Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
  • 4. ¿QUÉ ES Y PARA QUÉ SIRVE EL MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE?   El método de los Multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.
  • 5. OBJETIVOS DEL MÉTODO DE LAGRANGE      Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z. Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos. Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange. Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante. Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.
  • 6. CARACTERÍSTICAS   El método de eliminación de variables no resulta operativo cuando el problema tiene muchas restricciones o las restricciones son complejas, por lo que resulta muy útil éste método. Los Multiplicadores de Lagrange es un método alternativo que además proporciona más información sobre el problema. Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen asociados los correspondientes multiplicadores.  El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de regularidad). 
  • 7. CAMPO DE APLICACIÓN  Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, en Economía etc. Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El método de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.
  • 8. SIGNIFICADO ECONÓMICO   Los consumidores y negocios se esfuerzan por maximizar su utilidad. En el lado del consumidor, esto significa obtener el nivel más alto de satisfacción de bienes y servicios. Para los negocios, la utilidad máxima significa maximizar el beneficio.. Los consumidores tienen ingresos limitados para comprar los bienes y servicios que deseen y las empresas tiene sólo la tierra, trabajo y capital limitado para crear sus productos. Estos recursos limitados, presentan restricciones. El reto, entonces, es la forma de lograr la satisfacción o beneficio máximo en sus restricciones dadas. Otro reto para las empresas es el de minimizar los costos de producción. FUNCION  El método de Lagrange aplica cálculo diferencial, implicando el cálculo de derivadas parciales, hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero que invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CDs, podría utilizar este método para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CDs, dado que sólo tiene US$100 de ingresos disponibles para gastar.
  • 9. IDENTIFICACIÓN  El multiplicador de Lagrange, representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda ( λ), representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada de un aumento en la restricción de presupuesto. EFECTOS  Basado en los resultados de un análisis de Lagrange, una persona o empresa tiene una base empírica para tomar decisiones sobre la maximización de utilidad continuada en los cambios de las restricciones externas. Un incremento del precio en un artículo favorito. por ejemplo, podría llevar a que el consumidor compre una cantidad más baja de ese artículo o trabajar más horas para conseguir más ingresos y alcanzar el precio más alto.
  • 10. AYUDAS QUE BRINDA  Para la Solución de Problemas de Optimización Dinámica: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse inmediatamente.
  • 11. MÉTODO  Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:  Se procede a buscar un extremo para h  Lo que es equivalente a  Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente manera: Se tiene una función y una restricción. Se iguala la restricción a 0. La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principal Se obtienen las derivadas parciales de la función resultante. Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas. A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema de ecuaciones, en donde siempre el valor debe eliminarse para que se puedan obtener los valores críticos de las variables. Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos.       
  • 12. EJERCICIO DE APLICACION  13.- Asignación de Producción. Para surtir una orden de 100 unidades de su producto, una empresa desea distribuir la producción entre sus dos plantas, 1 y 2. La función de costo total está dada por:  Donde son los números de unidades producidas en las plantas 1 y 2 respectivamente. ¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos? (Puede suponerse que el punto crítico obtenido corresponde al costo mínimo).  La restricción está dada por:
  • 13. BIBLIOGRAFIA http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagr ange.htm  http://www.ehowenespanol.com/metodolagrange-economia-sobre_73850/ 
  • 14. www.bryan-guerra-69,blogspot.com Encuentra el documento escrito en: http://bryan-guerra-69.blogspot.com/2013/12/multiplic adores-de-lagrange.html

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