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4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedades

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  • 1. x y zDEFINICIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL YSUS PROPIEDADES.
  • 2. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma,definida para los elementos del conjunto) y una operación externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y uncuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.
  • 3. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Unallamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalarpor un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una reglao función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, aeste se le representara como u + v. La multiplicación es una regla queasocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vectorrepresentado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos ycada uno de los siguientes axiomas:• Para cualquiera dos vectores u y v en V : u⊕v∈VEste axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
  • 4. •Para cualquiera dos vectores u y v en V: u⊕v=v⊕uEste axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de lasuma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.• Para cualquiera tres vectores u, v y w en V: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.
  • 5. •Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V ysimbolizado por −u que cumple: u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5)Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversosaditivos:Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.