4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedades

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4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedades

  1. 1. x y zDEFINICIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL YSUS PROPIEDADES.
  2. 2. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma,definida para los elementos del conjunto) y una operación externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y uncuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.
  3. 3. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Unallamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalarpor un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una reglao función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, aeste se le representara como u + v. La multiplicación es una regla queasocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vectorrepresentado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos ycada uno de los siguientes axiomas:• Para cualquiera dos vectores u y v en V : u⊕v∈VEste axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
  4. 4. •Para cualquiera dos vectores u y v en V: u⊕v=v⊕uEste axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de lasuma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.• Para cualquiera tres vectores u, v y w en V: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.
  5. 5. •Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V ysimbolizado por −u que cumple: u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5)Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversosaditivos:Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.

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