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    Relazione Relazione Presentation Transcript

    • UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BOLOGNA Ingegneria InformaticaControlli Automatici L-B Progetto 10 Sistema di controllo per la velocità di assetto di un aereo di linea Erick Baldi Andrea Cirri Pasquale Conte Stefano D’Agostino Controlli automatici LB 2005-2006 1
    • Impianto dell’aereo − sT L’impianto in questione serve aG ( s ) = Ga ( s )Gm ( s )e controllare la velocità di assetto di un aereo di linea ed è composto da 100 diverse parti:Ga ( s ) = s ( s + 100) - Ga rappresenta la dinamica dell’attuatore 9( s + z ) - Gm rappresenta il modelloGm ( s ) = 2 aerodinamico dell’aereo s + 0.30 s + 9T = 2.5 ⋅10−3 Inoltre nell’impianto è presente un ritardo di grandezza T.z ∈ [ 0.05, 0.2] Controlli automatici LB 2005-2006 2
    • Ingressi del sistemaNel sistema sono presenti diversi ingressi:ω (t ) = 0.1 w(t) -> disturbo a gradino sull’uscita (ampiezza)n(t ) = 2.5 ⋅10−3 cos(800t ) n(t) -> rumore di misura sinusoidale sull’uscitad (t ) = 0.1 + 0.1cos(ωd t ) d(t) -> disturbi sull’uscitawd ≤ 0.1rad / s wd -> disturbo sinusoidale sull’uscita (pulsazione) Ysp -> segnale di set-pointIl modello del sistema risulta quindi: y ( s ) = G ( s )u ( s ) − d ( s ) Controlli automatici LB 2005-2006 3
    • Specifiche statiche e attenuazione dei disturbi• Errore a regime inferiore all’1% in presenza contemporanea di riferimento a gradino e disturbo sull’uscita a gradino.• Attenuazione del disturbo sinusoidale (con frequenza minore di ωd) superiore a 200. Controlli automatici LB 2005-2006 4
    • Specifiche dinamiche• Margine di fase superiore a 45°• La risposta al disturbo a gradino deve presentare tempo di assestamento al 5% minore di 1 secondo• La risposta al riferimento a gradino deve essere senza oscillazioni e senza sovraelongazione e con tempo di assestamento al 2% inferiore a 2 secondi Controlli automatici LB 2005-2006 5
    • Incertezza sullo zero dell’impiantoUno zero del modello aerodinamico comporta incertezze...Per ora prendiamo in esame il valore di partenza delrange.Qualora fosse necessario un progetto per cancellazioneper evitare eventuali code di assestamento, allora ilprogetto non consentirebbe una cancellazione perfettaproprio a causa dell’incertezza dello zero. Il modelloconsiderato per ora è dunque il seguente: Controlli automatici LB 2005-2006 6
    • RitardoIl ritardo di tempo non altera il diagramma di Bode deimoduli di una funzione, ma provoca sfasamenti afrequenze prossime o superiori a ω=1/T, cioè nel nostrocaso a frequenza di 400 rad/s (1/0.0025).Pertanto la presenza del ritardo impone un limite sullamassima frequenza di attraversamento ωcmax.Si dovrà cercare di attraversare l’asse 0dB a bassefrequenze, dove il ritardo provoca sfasamenti non tropporilevanti. Controlli automatici LB 2005-2006 7
    • Confronto diagrammi senza ritardo (blu) e con ritardo (verde) Bode Diagram 50 0 agnitude (dB) -50M -100 -150 0 -90 hase (deg) -180 -270P -360 -450 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 8
    • Considerazioni sul ritardoLo sfasamento provocato dal ritardo inizia a diventare nontrascurabile dopo i 100 rad/s, pertanto cercheremo ditrovare un regolatore che soddisfi le specifiche nonsuperando questo limite.Il ritardo nella parte iniziale del progetto (nel regolatore)verrà quindi trascurato, mentre questo non si può dire perquanto riguarda le simulazioni in Simulink ®.Pertanto il problema del ritardo sarà ripreso inconsiderazione al momento opportuno, con l’introduzionedelle simulazioni del sistema. Controlli automatici LB 2005-2006 9
    • Specifiche staticheLa funzione di sensitività S(s) rappresenta la f.d.t tra:- riferimento ed errore- disturbi sull’uscita ed errorePer avere errore a regime nullo rispetto a riferimenti edisturbi sull’uscita a gradino occorre un polo nell’originenella funzione d’anello L(s); in questo modo la funzione disensitività S(s) vale 0 in presenza di armoniche costanti(ω=0).Ma il sistema G(s) ha già un polo nell’origine, pertanto laspecifica statica sull’errore risulta già soddisfatta. Controlli automatici LB 2005-2006 10
    • Attenuazione dei disturbiIl disturbo sull’uscita oltre ad avere una componente agradino, è costituito spettralmente da armoniche fino allapulsazione di 0.1 rad/sLe specifiche impongono che queste armoniche sianoattenuate di 200 volte, pertanto sotto i 0.1 rad/s la funzionedi sensitività dovrà attenuare di tale valore.Consideriamo l’incertezza dello zero e cerchiamo il casopeggiore: bisogna considerare per ogni zero del sistema ilsuo valore in decibel a 0.1 rad/s e si dovrà scegliere il piùbasso: se varrà per quello zero, varrà per tutti gli altri. Controlli automatici LB 2005-2006 11
    • Scelta caso peggiore Bode Diagram 50 System G: z=0.5 Frequency (rad/sec): 0.0997 z=0.1 M agnitude (dB): 1 z=0.15 0 z=2Magnitude (dB) -50 -100 -150 0 -45 -90Phase (deg) -135 -180 -225 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 12
    • Scelta zero incertoGraficando il diagramma dei moduli con lo zero in -0.05 ,-0.1, …, fino a -0.2, si vede che lo zero il cui modulo vale dimeno a 0.1 rad/s è quello in -0.05 (prevale il contributo delguadagno).Si progetta dunque il regolatore statico facendo riferimentoalla G(s) con lo zero in -0.05 (valore minimo dell’intervallo). Controlli automatici LB 2005-2006 13
    • G(0.1j) con zero in -0.05 Bode Diagram 50 System G: Frequency (rad/sec): 0.0996 M agnitude (dB): 1.01 0Magnitude (dB) -50 -100 -150 0 -45 -90Phase (deg) -135 -180 -225 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 14
    • Calcolo del guadagno 1 1 ≤1 + µ G ( jw) w=0.1 200 1 + µ G (0.1 j ) ≥ 200 G (0.1 j ) ≅ 0.8db ≅ 1.1 1 + 1.1µ ≥ 200 1.1µ ≥ 199 µ ≥ 180 Controlli automatici LB 2005-2006 15
    • Regolatore staticoIn 0.1 rad/s ora il sistema amplifica di 46.1dB ed assicuraun’attenuazione di più di 200 per qualunque valore dellozero incertoIl regolatore dinamico dovrà essere progettato conguadagno unitario o comunque >1, in modo da nonrovinare le specifiche sull’attenuazione dei disturbi.Il regolatore statico pertanto è: R ( s ) = 180 Controlli automatici LB 2005-2006 16
    • Attenuazione rumore di misuraNon ci sono specifiche riguardo l’attenuazione del rumoredi misura sull’uscita.La funzione di trasferimento tra i rumori di misura e l’uscitao l’errore è la funzione di sensitività complementare F(s),che ad alte frequenze si comporta come il sistemacomplessivo (regolatore + impianto).Affinché siano in qualche modo attenuati i rumori, bastache la L(s) sia molto bassa (banda ristretta) alla frequenzain cui intervengono i rumori di misura (nel nostro caso 800rad/s).Per ottenere questo bisognerà stare attenti ad attraversarea frequenze molto minori di 800 rad/s.Se per esempio tagliamo a 80 rad/s e con una pendenza di-1 il rumore in questione sarà attenuato di 20 dB. Controlli automatici LB 2005-2006 17
    • Risposta al riferimento a gradinoLe specifiche sul margine di fase e sul tempo diassestamento della risposta al gradino di riferimentocaratterizzano i poli dominanti del sistema in retroazione.Viene richiesto un margine di fase di almeno 45° checorrisponde a una dinamica del sistema in retroazione conalmeno δ=0.45 (45°/100)Viene richiesto inoltre che la risposta al gradino diriferimento sia senza oscillazioni e senza sovraelongazione,il che corrisponderebbe a una δ≥0.75 Controlli automatici LB 2005-2006 18
    • Margine di faseAffinché la risposta sia senza oscillazioni, in teoria il deltadovrebbe essere 1, ma anche con un delta di 0.7 leoscillazioni sono trascurabili e in questo modo non sirischia di scegliere una banda troppo larga.Un’eventuale sovraelongazione può essere data dagli zeriin bassa frequenza della L(s) che generano code diassestamento.Cerchiamo ora la frequenza di attraversamento chepermette di soddisfare le specifiche, nel caso in cui il deltaabbia valore 0.45 e nel caso in cui vale 0.75. Controlli automatici LB 2005-2006 19
    • Frequenza di attraversamento ln(0.01ε ) ln(0.01ε ) Ta ,ε % ≅− Ta ,ε % ≅ − δωn δωn ln(0.02) 3.9 ln(0.02) 3.9 Ta ,2% ≅− ≅ Ta ,2% ≅− ≅ δωn δωn δωn δωn 3.9 3.9 ≤2 ≤2 δωn δωn 2δωn ≥ 3.9 2δωn ≥ 3.9 δ = 0.45 δ = 0.75 ωn ≥ 4,3− > ωc ≥ 5 ωn ≥ 5, 2− > ωc ≥ 6Secondo le specifiche sul margine di fase, la ωc dovrebbe essere sceltasuperiore a 5 rads, ma per rispettare le specifiche sulla risposta senzaoscillazioni bisogna imporre almeno una ωc uguale a 6 rads.I calcoli ci portano quindi a scegliere una ωc ≥6. Controlli automatici LB 2005-2006 20
    • Risposta al disturboNelle specifiche dinamiche è inoltre richiesto anche untempo di assestamento al 5% minore di 1 secondo per larisposta al disturbo a gradino.Da ciò segue che: 3 Ta ,5% = ≤1 δωn δ ≥ 0.45 3 = 0.45ωn ωn ≥ 6, 6rad / s → ωc ≥ 7rad / s Controlli automatici LB 2005-2006 21
    • Frequenza di attraversamentoIntersecando le due specifiche, si ha che la frequenza diattraversamento deve essere imposta ad almeno 7 rad/s inmodo da soddisfatte entrambe le specifiche dinamiche.Possiamo inoltre considerare che al di sopra di questefrequenze la posizione dello zero incerto non influisce nésulla fase né sul modulo.Pertanto progettiamo così il nostro regolatore, avendo curacomunque in seguito di verificare le caratteristiche dellerisposte.Ricordiamo inoltre che sono da soddisfare le specifiche sulritardo temporale, importante quando si prosegue oltre lafrequenza di circa 100 rad/s. Controlli automatici LB 2005-2006 22
    • Picco di risonanzaDall’andamento dei diagrammi di Bode si nota la presenzadi un picco di risonanza in ω=3, al quale è associato unrepentino sfasamento negativo.La ragione di questo è la presenza di una coppia di policomplessi coniugati con basso coefficiente di smorzamento(δ≈0.1).Nel progetto quindi cercheremo di prestare particolareattenzione nell’attraversare a frequenze vicine a tale picco. Controlli automatici LB 2005-2006 23
    • Possibili SoluzioniIn presenza dei poli complessi coniugati poco smorzatisono possibili tre soluzioni in base al tipo diattraversamento, ossia:- progetto con ωc << ωn- progetto con ωc ≈ ωn- progetto con ωc >> ωnNell’impianto la ωn ha il valore di 3 rad/s. Controlli automatici LB 2005-2006 24
    • Progetto con ωc << ωnQuesta tipologia di progetto consente, attraverso unregolatore puramente integrale o PI, di tagliare a frequenzeminori di ωn.Nel nostro caso questa scelta è subito da scartare per varimotivi:-L’impianto ha già un polo nell’origine e aggiungerne un altro nel regolatore pregiudicherebbe fortemente la fase,portando all’instabilità il sistema complessivo.-Per le specifiche statiche a frequenze minori di 0.1 èpresente un disturbo da attenuare di 200 volte e risultadifficile attraversare circa una decade dopo. Controlli automatici LB 2005-2006 25
    • Progetto con ωc ≈ ωnPer attraversare a frequenze molto vicine a ωn si potrebbepensare di eliminare il picco con una coppia di zeri c.c. aguadagno unitario (non bisogna violare le specifichestatiche in bassa frequenza) con stesso smorzamento estessa pulsazione naturale. 1 2 Rd = ( s + 0.30 s + 9) 9 R( s ) = µ Rd ( s ) Controlli automatici LB 2005-2006 26
    • Diagrammi di Bode con gli zeri c.c. Bode Diagram 60 55 50 agnitude (dB) 45 40 M 35 30 25 0 -30 Phase (deg) -60 -90 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 27
    • ConsiderazioniCancellare i poli c.c. gioverebbe di certo al sistema, mad’altronde questa metodologia di progetto darebbe luogo auna soluzione poco robusta perché bisogna pensare che sista modellando comunque un qualche cosa di meccanicoe, qualora ci fosse un errore di modello, il sistema potrebbefacilmente diventare instabile.Nel nostro caso perciò scartiamo anche questa tipologia diprogetto. Controlli automatici LB 2005-2006 28
    • Progetto con ωc >> ωnL’ultima tipologia di progetto rimasta è quella conl’attraversamento dopo ωn.Con questa metodologia il sistema avrà sicuramente:• Una risposta più veloce del dovuto• Una o più code di assestamento dovute alla necessità di inserire poli/zeri in bassa frequenza• Un regolatore con alto guadagno in alta frequenzaNonostante alcuni accorgimenti che dovremo prenderequesta sembra nel nostro caso la soluzione migliore. Controlli automatici LB 2005-2006 29
    • Bode di G*k (k=180) Bode Diagram 100 System untitled1 : Frequency (rad/sec): 0.101 M agnitude (dB 46.1 ): 50 agnitude (dB) 0M -50 -100 0 -45 -90 hase (deg) -135P -180 -225 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 30
    • Reti correttriciNel progetto risulta ovvio che dovremo usare delle reticorrettrici e in particolar modo una rete a sella formata dauna rete di ritardo seguita da una di anticipo.Siccome sappiamo già che il nostro regolatore avrà un altoguadagno in alta frequenza progettiamo prima la rete dianticipo per correggere subito il problema.Come frequenza di attraversamento scegliamo 20 rad/s,scelta ragionevole in quanto:• è circa una decade dopo i poli c.c.• gli effetti del ritardo sono quasi impercettibili (il ritardo agisce dai 100 rad/s in poi)• si trova a frequenza abbastanza bassa da attenuare anche il rumore di misura a 800 rad/s Controlli automatici LB 2005-2006 31
    • Progetto della Rete di AnticipoCome detto prima, iniziamo a progettare la rete di anticipocon il metodo del minimo guadagno in alta frequenza.Alla frequenza di 20 rad/s il sistema G*k ha:- una fase di -191°- un guadagno di 12dBPer rientrare nelle specifiche di almeno 45° di margine difase servirebbe un anticipo di fase di 56° (-180+191+45).Per sicurezza nei riguardi del ritardo e per compensareeffetti della rete di ritardo scegliamo di progettare una retecon 65° di anticipo. Controlli automatici LB 2005-2006 32
    • Progetto della Rete di AnticipoCalcoliamo i valori principali della rete attraverso le formuleper il minimo guadagno in alta frequenza: 1 − sin(ϕmax ) 1 − sin(65) α= = = 0.0491 1 + sin(ϕmax ) 1 + sin(65) 1 1 τ= = = 0.2255 ωc * α 20* 0.0491Le formule trovate corrispondono alla rete di anticipo seguente: 1+τ s 1 + 0.2255s Rra = = 1 + ατ s 1 + 0.01108s Controlli automatici LB 2005-2006 33
    • Grafico rete di anticipo - Rra Bode Diagram 30 25Magnitude (dB) 20 System R: a1 Frequency (rad/sec): 20 15 M agnitude (dB): 13.1 10 5 0 90 System R : a1 Frequency (rad/sec): 20 Phase (deg): 65 60Phase (deg) 30 0 0 1 2 3 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 34
    • Grafico di G*k*Rra Bode Diagram 80 60 System untitled1 : 40 Frequency (rad/sec): 20.1Magnitude (dB) M agnitude (dB): 25.2 20 0 -20 -40 -60 45 0 -45 System untitled1 :Phase (deg) -90 Frequency (rad/sec): 20.1 Phase (deg): -126 -135 -180 -225 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 35
    • Progetto della Rete di RitardoCome si vede dal grafico il sistema ora alla frequenza di20 rad/s:• guadagna 25 dB• ha fase pari a -126°Serve quindi una rete di ritardo che attenui di ben 25 dBsenza alterare di molto la fase.Per il progetto della rete si dovrà necessariamente fissareun polo in bassa frequenza, ma notando che nell’impiantoesiste uno zero vicino questo sicuramente causerà codenella risposta. Si potrebbe pensare a un progetto percancellazione. Controlli automatici LB 2005-2006 36
    • Progetto della Rete di RitardoLo zero in questione però è incerto nel modello dell’aereo evaria nel range [0.05 , 0.2].Per cancellarlo nei migliore dei modi (cioè non creandocode di overshoot, ma al limite di undershoot) si posizionaun polo in -0.05, perciò la rete di ritardo sarà la seguente: 1 1 Rrr = = 1 + τ s 1 + 20 s Controlli automatici LB 2005-2006 37
    • Grafico rete di ritardo - Rrr Bode Diagram 50 System untitled1 : System untitled1 : Frequency (rad/sec): 5.65 Frequency (rad/sec): 0.101 M agnitude (dBystem untitled1 S 0.0957 ): : M agnitude (dB 39.1 ): ) 0 agnitude (dB Frequency (rad/sec): 20 M agnitude (dB -26.8 ): -50M -100 -45 -90 -135 hase (deg) System untitled1 : -180 Frequency (rad/sec): 5.63 Phase (deg): -221 -225P -270 -315 -360 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 38
    • Progetto della rete di ritardoGraficando il risultato ottenuto con questa cancellazione sinota subito che l’effetto di attenuazione del polo ha portatoa non soddisfare più le specifiche statiche a 0.1 rad/s.Prima di continuare con le considerazioni proviamo adaumentare il guadagno con un regolatore proporzionale.Per riportare il valore a 46 dB alla ωc di 0.1 rad/s servono+7 dB: 7 ( ) k = 10 20 = 2.24 Controlli automatici LB 2005-2006 39
    • Progetto della rete di ritardo B d D g m o e ia ra 1 0 0 Syste : u title 2 m n d F q e cy (ra /se re u n d c): 0 9 8 .0 9 Syste : u title 1 m n d M g itu e (d ): 4 .1 a n d B 6 F q e cy (ra /se re u n d c): 2 .3 0.1 50 M g itu e (d ): 3 .1 a n d B 2.2M g itu e (d ) B 0 a n d -50 -1 0 0 -1 0 5 45 0 -45 e ) -90 h se (d g -1 5 3 -1 0 8P a -2 5 2 -2 0 7 -3 5 1 -3 0 6 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 F q e cy (ra /se re u n d c) Controlli automatici LB 2005-2006 40
    • Progetto della rete di ritardoOra che le specifiche statiche sono soddisfatte nuovamen-te (nel grafico il risultato in verde) bisogna effettuare unpasso indietro e graficare con il nuovo guadagno G*k*Ra(in blu).A frequenza pari a 20 rad/s ora il sistema guadagna circa32 dB che cercheremo di attenuare con la rete di ritardo.Sapendo che il valore di attenuazione finale di una rete diritardo è pari a 20*logα imponiamo: −32 = 20 log(α ) −1.6 = log(α ) α = 10−1.6 = 0.0251 Controlli automatici LB 2005-2006 41
    • Progetto della rete di ritardoLa rete di ritardo corrispondente ai valori trovati è: 1 + ατ s 1 + 0.5s Rrr = = 1+τ s 1 + 20 s Controlli automatici LB 2005-2006 42
    • Grafico rete di ritardo - Rrr Bode Diagram 0 -5 -10 agnitude (dB) -15 -20M -25 System R: r1 Frequency (rad/sec): 19.9 -30 M agnitude (dB -32 ): -35 0 System R : r1 Frequency (rad/sec): 19.9 Phase (deg): -5.62 -30Phase (deg) -60 -90 -2 -1 0 1 2 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 43
    • Considerazioni sulla rete di ritardoLa rete progettata alla frequenza di 20 rad/s attenua di 32dB, come richiesto per l’attraversamento, e ritarda la fase dicirca 6°.Questo ritardo di fase non dovrebbe influire sulle specificheriguardanti il margine di fase, in quanto la rete di anticipoera stata progettata con 9 gradi in più del dovuto proprioper garantire un margine di sicurezza! Controlli automatici LB 2005-2006 44
    • Regolatore complessivo rete RA Bode Diagram 60 55 System R: 1 50 Frequency (rad/sec): 727 M agnitude (dB): 46.2 Magnitude (dB) 45 40 35 30 25 20 90 45 Phase (deg) 0 -45 -90 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 45
    • Considerazioni sul Regolatore 1 + 0.2255s 1 + 0.5s R = 403 ⋅ ⋅ 1 + 0.01108s 1 + 20 sCome dalle considerazioni fatte in partenza il regolatorecomplessivo R(s), nonostante gli accorgimenti presi, ha unalto guadagno in alta frequenza.Questo è dovuto a 2 motivi:- il regolatore proporzionale è molto grande a causa del notevole guadagno che l’impianto deve avere a frequenze minori o uguali a 0.1 rad/s- la rete di anticipo è stata portata al limite per portare il margine di fase ad almeno 45° Controlli automatici LB 2005-2006 46
    • Grafici del risultato - L(s)Bode Diagram 100 G L 50 System untitled1 : Frequency (rad/sec): 20Magnitude (dB) M agnitude (dB): 0.288 0 -50 -100 -150 0 -45 System untitled1 : -90 Frequency (rad/sec): 20.1Phase (deg) Phase (deg): -131 -135 -180 -225 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 47
    • Considerazioni sul risultatoCon il regolatore progettato:- la frequenza di attraversamento è di 20 rad/s- il margine di fase è di 49° (180°-131°)Per dare una valutazione degli effetti sul sistema bisognacalcolare le tre funzioni caratteristiche:- Funzione di sensitività complementare F(s)- Funzione di sensitività S(s)- Funzione di sensitività del controllo Q(s) Controlli automatici LB 2005-2006 48
    • Funzioni caratteristiche Bode Diagram 50 F S Q agnitude (dB) 0 System S: 1 Frequency (rad/sec): 0.101 M agnitude (dB -46 ): System F: 1M -50 Frequency (rad/sec): 801 M agnitude (dB -69 ): -100 180 90 hase (deg) 0 -90P -180 -270 -2 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 49
    • Funzioni caratteristicheLe funzioni caratteristiche mostrano come si comporta ilsistema chiuso in retroazione (sistema closed-loop):- la funzione di sensitività complementare F(s) indica che il segnale di set-point viene riportato sull’uscita senza variazioni fino a 20 rad/s, poi vi è un’azione di attenuazione. Questa azione risulta positiva inquanto come si vede il rumore di misura presente a800 rad/s viene attenuato di 69 dB.- la funzione di sensitività S(s) che attenua di 46 dB (200 volte) come da specifica, indica i disturbi caratterizzati spettralmente a frequenze ≤ 0.1 rad/s Controlli automatici LB 2005-2006 50
    • Risposta temporale del sistema Step Response 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 T e (sec) im Controlli automatici LB 2005-2006 51
    • Risposta temporale di L(s)La risposta del sistema al segnale di riferimento a gradinonon si è mostrata particolarmente buona: sono presenti codecausate da poli e zeri posizionati in bassa frequenza.Per consentire un miglioramento della soluzione si puòpensare di inserire un precompensatore C(s) in modo dacancellare queste dinamiche parassite.In casi come questo è infatti opportuno introdurre unfiltraggio tra il set-point e il sistema in retroazione proprio pereliminare le dinamiche parassite in bassa frequenza. Controlli automatici LB 2005-2006 52
    • Luogo delle radici del sistema c.l. rlocus() Root Locus 60 40 20 Imag Axis 50 0 -20 -40 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 Real Axis Controlli automatici LB 2005-2006 53
    • Luogo delle radici del sistema c.l. pzmap() Controlli automatici LB 2005-2006 54
    • Luogo delle radici del sistema c.l. pzmap() Controlli automatici LB 2005-2006 55
    • Luogo delle radici del sistema closed loop Root Locus 0.6 0.4 System F1 : System F1 : System F1 : F1 System : 0.2 Gain: 0 Gain: Inf Gain: Inf Gain: 0.0108 Pole: -8.8 Pole: -4.43 P P -2 ole: -1.68 ole: D ping: 1 am D ping: 1 am D ping: ping: 1 am D 1 am Imag Axis Overshoot (%): 0 Overshoot (%): 0 Overshoot (%): (%): 0 Overshoot 0 Frequency (rad/sec): 8.8 FrequencyFrequency 4.43 (rad/sec): (rad/sec): 2 1.68 Frequency (rad/sec): 0 -0.2 -0.4 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 Real Axis Controlli automatici LB 2005-2006 56
    • Progetto precompensatoreLa mappa poli-zeri del sistema retroazionato mostra chenel sistema (in bassa frequenza) sono presenti:-Un polo in -1.68 (dinamica più lenta)-Un zero in -2-Un zero in -4.43-Un polo in -8.8Progettiamo un precompensatore C(s) per cancellare sologli zeri e osserviamo le variazioni sulla risposta al segnaledi riferimento: 1 C=  s  s  1 +  ⋅ 1 +   2   4.43  Controlli automatici LB 2005-2006 57
    • Risposte temporali con C(s) Step Response 1.4 1.2 System F1 : System F2 : Settling Tim 1.16 e: Settling Tim 2.53 e: 1 0.8Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tim (sec) e Controlli automatici LB 2005-2006 58
    • Progetto del precompensatoreLa risposta (in verde) ora non presenta sovraelongazione,ma nonostante ciò è ancora troppo lenta per le specifiche(Ta5 = 2.53s > 1s).Facciamo allora un secondo tentativo intervenendo sulprecompensatore e cancellando la dinamica più lentadell’impianto (polo in -1.68). Infine effettuiamo le prove.  s  1 +  C=  1.68   s  s  1 +  ⋅ 1 +   2  4.43  Controlli automatici LB 2005-2006 59
    • Luogo radici del precompensatore Root Locus 25 20 15 10 5 Imag Axis 0 -5 -10 -15 -20 -25 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 Real Axis Controlli automatici LB 2005-2006 60
    • Diagrammi di C(s) con zero (in blu) e senza (in verde) Bode Diagram 50 0 agnitude (dB) -50M -100 -150 0 -90 hase (deg) -180P -270 -360 -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Controlli automatici LB 2005-2006 61
    • Risposta finale col precompensatore (in viola) Step Response 1.4 1.2 System F: 3 System F: 1 System F: 2 Settling T e: 0.522 ettling T e: 1.16 im S im Settling T e: 2.53 im 1 0.8A plitude m 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 T e (sec) im Controlli automatici LB 2005-2006 62
    • Progetto del precompensatoreOra la risposta definitiva (in viola) rispetta le specifiche conampio margine. Infatti il tempo di assestamento al 5% è paria 0.52s (le specifiche imponevano Ta5 < 1s).Inoltre, come si può vedere dal grafico di Bode, conl’introduzione del precompensatore nel sistema si è ridottala banda passante di circa 10 rad/s.Ora che le specifiche sulla risposta al riferimento sonosoddisfatte non resta che osservare:- il tempo di assestamento del sistema al disturbo a gradino- lo sforzo richiesto dal controllo Controlli automatici LB 2005-2006 63
    • Risposta al disturbo a gradino Step Response 0.1 0.08 0.06 0.04A plitude m 0.02 System untitled1 : 0 Settling T e: 0.271 im -0.02 -0.04 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 T e (sec) im Controlli automatici LB 2005-2006 64
    • Sforzo del controllo Step Response 25 20 15 plitude 10Am 5 0 -5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 T e (sec) im Controlli automatici LB 2005-2006 65
    • ConsiderazioniAnche la specifica sull’errore a gradino risulta quindisoddisfatta con ampio margine, pochè al Ta5 vale 0.271scontro 1 secondo imposto dalle specifiche dinamiche.Risulta non indifferente invece lo sforzo del controllo, maciò era immaginabile perchè causato dal notevoleguadagno in alta frequenza del regolatore. Controlli automatici LB 2005-2006 66
    • Modello Simulink® del sistema Controlli automatici LB 2005-2006 67
    • Segnale di errore e(t) Controlli automatici LB 2005-2006 68
    • Segnale u(t) in uscita dal regolatore Controlli automatici LB 2005-2006 69
    • Segnale y(t) in uscita dal sistema ) Controlli automatici LB 2005-2006 70
    • SimulazioniIn Simulink® si è ricreato un modello del sistemacomplessivo (precompensatore+regolatore+impianto) e sisono effettuate le simulazioni con:- il segnale di set-point Ysp applicato all’istante 2- il segnale di disturbo sull’uscita applicato all’istante 4sufficientemente distanti l’uno dall’altro in modo che, comeda specifica, siano esauriti i transitori.I tre grafici mostrano i segnali:- errore e(t)- uscita del regolatore u(t)- uscita complessiva y(t) Controlli automatici LB 2005-2006 71
    • Attenuazione del disturbo di misuraNei grafici si nota che il disturbo di misura è attenuatocorrettamente nell’uscita y(t), ma è ben presente sulsegnale u(t) in uscita al regolatore. Per evitare eventualiproblemi si prova a inserire nel ramo di retroazione un filtro. 1 H= 1 + 0.005 ⋅ sIl filtro H(s) è stato progettato come un passa-basso allafrequenza di 200 rad/s in modo da attenuare il rumore dimisura n(t) alla frequenza di 800 rad/s e di modificare lecaratteristiche della risposta y(t). Controlli automatici LB 2005-2006 72
    • Nuovo modello con filtro PB Controlli automatici LB 2005-2006 73
    • Segnale di errore e(t) Controlli automatici LB 2005-2006 74
    • Segnale u(t) in uscita al regolatore Controlli automatici LB 2005-2006 75
    • Segnale y(t) in uscita dal sistema Controlli automatici LB 2005-2006 76
    • Attenuazione del disturbo di misuraL’inserimento di un filtro si è dimostrata una sceltaragionevole, in quanto lo sforzo del controllore a fronte deldisturbo a gradino sull’uscita si è dimezzato (grafico u(t)).Procediamo ora con il dimensionamento dell’attuatore, fasepiuttosto delicata poiché un dimensionamento eccessivopuò comportare elevati aumenti di costo in ambitoindustriale.Occorre perciò fare attenzione all’eventualesovradimensionamento dell’attuatore. Controlli automatici LB 2005-2006 77
    • Progetto AttuatoreL’attuatore è modellato come una saturazione in ingressoall’impianto.Per scegliere l’ampiezza della saturazione si considera ilsistema in presenza contemporanea di riferimenti e disturbia gradino, disturbi sinusoidali e rumore di misura nella loromassima ampiezza, come richiesto dal progetto.Per calcolare il caso peggiore si applicano tutti i disturbinell’istante t=0. Controlli automatici LB 2005-2006 78
    • Progetto attuatore: uscita u(t) Controlli automatici LB 2005-2006 79
    • Progetto attuatoreDimensioniamo un attuatore con i valori:- Lmin= -14- Lmax= +14che corrispondono al minimo e al massimo della curvadi saturazione ossia a -umin e +umax. Controlli automatici LB 2005-2006 80
    • Modello Simulink® con attuatore (modello finale) Controlli automatici LB 2005-2006 81
    • Sottodimensionamento attuatoreOra si sottodimensiona il valore di saturazionedell’attuatore del 25% per osservare come variano lerisposte e valutare le prestazioni. Il valore di saturazionediventa:-Lmin= -10.5 -> -(14 - (14*0.25))-Lmax= +10.5 -> +(14 - (14*0.25)) Controlli automatici LB 2005-2006 82
    • Attuatore sottodimensionato: u(t) Controlli automatici LB 2005-2006 83
    • Attuatore sottodimensionato e risposta complessiva y(t) Controlli automatici LB 2005-2006 84
    • Sottodimensionamento attuatoreSeppur minima, la curva presenta ora una sovraelogazioneche ne rallenta la risposta y(t). Siccome nel nostro regolatorenon è presente un polo nell’origine, l’effetto non è causatodall’eccessivo caricamento dell’azione integrale: non èpossibile usare un desaturatore.Le soluzioni possibili possono essere diverse:- Diminuire del guadagno del regolatore in alta frequenza- Modificare il filtro passa-basso per attenuare maggiormente il rumore di misura- Modificare il precompensatore al fine di rallentare la risposta e diminuire l’azione della variabile di controllo (almeno per il segnale di set-point) Controlli automatici LB 2005-2006 85
    • Sottodimensionamento attuatorePer migliorare il progetto scegliamo la terza alternativa equindi proviamo a rallentare la risposta modificando ilprecompensatore C(s) per fargli imporre una dinamica piùlenta: 2sec τ= = 0.5sec 3.9Per sicurezza inseriamo un polo leggermente più veloce at=0.4 e il precompensatore risulta così trasformato:  s  1 +  C=  1.68   s  s  1 +  ⋅ 1 +  ⋅ ( 1 + 0.4 ⋅ s )  2  4.43  Controlli automatici LB 2005-2006 86
    • Grafici risposte con nuovo C(s) Step Response 1.4 1.2 System F: 1 System F : 2 Settling T e: 0.522 im Settling T e: 1.96 im 1 0.8Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 T e (sec) im Controlli automatici LB 2005-2006 87
    • Segnale y(t) in uscita dal sistema Controlli automatici LB 2005-2006 88
    • Segnale u(t) in uscita dall’attuatore Controlli automatici LB 2005-2006 89
    • Sottodimensionamento attuatoreOra la risposta è più lenta e sarà minore anche lo sforzoeffettuato dal regolatore a fronte del segnale di riferimento.Con questo accorgimento si può portare la saturazionedell’attuatore fino a un valore di:- Lmin= -1.5- Lmax= 1.5senza problemi di sovraelongazione, come descritto nelgrafico precedente. Inoltre con questa soluzione l’attuatoreha un costo in termini economici molto minore di prima. Ilprogetto ora sembra quindi migliorato. Controlli automatici LB 2005-2006 90
    • Offset di misura massimoSi suppone che sia presente nell’anello un offset di misura,ovvero un sensore non ideale che equivale a un disturbocostante di tipo “n”, e quindi non caratterizzatofrequenzialmente.Si richiede qual è il massimo offset che permette disoddisfare ancora la specifica statica sull’errore. Controlli automatici LB 2005-2006 91
    • Errore a regime con offset L( s ) Ysp L( s ) η0Y ( s) = − 1 + L( s ) s 1 + L( s ) s 1 Ysp L( s ) η0E ( s ) = Ysp ( s ) − Y ( s ) = + 1 + L( s ) s 1 + L( s ) s 1 L(0)e∞ = Ysp + η0 1 + L(0) 1 + L(0)Ysp = riferimentoη0 = offset Controlli automatici LB 2005-2006 92
    • Offset di misura massimoNel nostro caso il guadagno statico del sistema closed-loopL(0) è infinito. Visto che il sistema ha un polo nell’origineallora l’errore a regime equivale all’ampiezza dell’offset.L’errore a regime è 0, ma si richiede che sia minore di 0.01Pertanto l’offset di misura massimo che permette disoddisfare ancora le specifiche statiche è 0.01 (1%). Controlli automatici LB 2005-2006 93
    • Riepilogo Finale del Progetto (1) Modello complessivo Controlli automatici LB 2005-2006 94
    • Riepilogo Finale del Progetto (2) F.d.T. dei dispositivi impiegati• Regolatore 1 + 0.2255s 1 + 0.5s R = 403 ⋅ ⋅ complessivo: 1 + 0.01108s 1 + 20 s  s   1+ • Precompensatore:  1.68  C=  s  s   1 +  ⋅ 1 +  ⋅ ( 1 + 0.4 ⋅ s )  2   4.43 • Filtro di attenuazione 1 H= del disturbo: 1 + 0.005 ⋅ s Controlli automatici LB 2005-2006 95