Vectores cartesianos

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Vectores cartesianos

  1. 1. Contenido TemáticoCréditosPresentaciónIng. Jorge Luis Paredes EstacioUNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTA DE INGENIERIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
  2. 2. INTRODUCCIÓN En ingeniería muchas aplicaciones requieren ladescomposición de vectores en sus componentes en unsistema coordenado tridimensional. Aquí se explicaracomo hacerlo y como operar con vectores en tresdimensiones.
  3. 3. VECTORES CARTESIANOS SISTEMA COORDENADO DERECHO.El sistema de la figura es derecho si se dirigen los dedos de lamano derecha en la dirección del eje x y se flexionan (paraformar un puño) hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará enla dirección positiva del eje z. Cuando la dirección positivadel eje z apunta en la dirección opuesta, el sistemacoordenado será izquierdo.
  4. 4. VECTORES CARTESIANOS COMPONENTESRECTANGULARES DE UN VECTORUn Vector A dirigido dentro de unoctante x, y y z, mediante dosaplicaciones sucesivas delparalelogramo, podemos dividir alvector en componentes como A=A’+Az yluego A’=Ax+Ay. Al combinar estasecuaciones para eliminar A’, A sepresenta mediante la suma vectorial desus tres componentes.
  5. 5. VECTORES CARTESIANOS VECTORES UNITARIOS CARTESIANOSEn tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarioscartesianos i, j k, se usa para designar la dirección de los eje x,y, z, respectivamente. En la figura se muestras los vectoresunitarios cartesianos.
  6. 6. VECTORES CARTESIANOS REPRESENTACIÓN DE UNVECTOR CARTESIANOComo las tres componentes de A,actúan en direcciones positivas i,j y k, según la figura, podemosescribir A en forma de vectorcartesiano como:
  7. 7. VECTORES CARTESIANOS MAGNITUD DE UN VECTORCARTESIANOA partir del triángulo rectánguloazul, y deltriangulo rectángulo sombreado,Al combinarestas ecuaciones para eliminar seobtiene:
  8. 8. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTORCARTESIANOLa dirección de A se definirámediante los ángulosdirectores coordenados α, β y γ,medidos entre la cola de A.Cada uno de estos ángulosestará entre 0° y 180°.Para determinar α, β y γ,considerar las proyeccionessobre los eje x, y z. Conreferencia a los triángulosazules mostrados tenemos lossiguientes cosenos directores:
  9. 9. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTORCARTESIANOUna manera facil de obtener loscosenos directores es formar unvector unitario uA en la dirección deA. Si A esta expresado en forma devector cartesiano, A=Axi+Ayj+Azk,entonces uA tendrá una magnitud deuno y será adimensional dado que Aestá dividido entre su magnitud, esdecir.
  10. 10. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANOSi un vector unitario uA se representa de esta maneraComo la magnitud de un vector unitario es igual a laraíz cuadrada de los cuadrados de las magnitudes de suscomponentes, y uA tiene la magnitud de uno, puedeformularse esta importante relación en los cosenosdirectores
  11. 11. VECTORES CARTESIANOS DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANOSi solo se conocen dos ángulos de los dos se puededeterminar el tercer con la formula anterior.Finalmente, si se conocen la magnitud y los ángulosdirectores coordenados, A puede expresarse en forme devector cartesiano como:
  12. 12. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS La suma o resta de dos o masvectores se simplificaconsiderablemente si losvectores se expresan en términosde sus componentes cartesianas.Por ejemplo, si A=Axi+Ayj+Azk yB=Bxi+Byj+Bzk, entonces elvector resultante, R, tienecomponentes que representanlas sumas escalares de lascomponentes i, j, k de A y B, esdecir.
  13. 13. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS
  14. 14. EJEMPLOS Exprese la fuerza F mostrada en la figura como un vectorcartesiano.
  15. 15. EJEMPLO N° 02 Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados dela fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura.
  16. 16. VECTORES DE POSICIÓN Generalicemos en el casobidimensional: hay un puntoA con coordenadas (xA, yA, zA)y un punto B con coordenadas(xB, yB, zB). El vector posiciónrAB que va de A a B esta dadoen función de las coordenadasde A y B por:
  17. 17. EJEMPLO N° 03 Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y Bcomo se muestra en la Figura. Determine su longitud y sudirección medida de A hacia B.
  18. 18. VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DEUNA LINEA Con mucha frecuencia, enproblemas tridimensionales deestática, la dirección de una fuerzase especifica por dos puntos queindican su línea de acción. En lafigura se aprecia que la fuerza Festa dirigida a lo largo de la cuerdaAB. Podemos formular F como unvector cartesiano al observar quetiene el mismo sentido y direccióndel vector posición r dirigido desdeel punto A hasta el punto B sobrela cuerda. Esta dirección seespecifica mediante el vectorunitario u=r/r. Por lo tanto,
  19. 19. EJEMPLO N° 04 El hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con unafuerza de 70lb. Representa esta fuerza al actuar sobre elsoporte A como un vector cartesiano y determine sudirección.
  20. 20. PROBLEMAS PROPUESTOS Determine los ángulos directores coordenados de la Fuerza
  21. 21. PROBLEMAS PROPUESTOS Determine la fuerza resultante que actúa sobre el gancho.

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