Tema 3

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  • 1. Tema 3“Vectores, Matrices y Álgebra Lineal "Lic. Ana Laksmy Gamarra CarrascoUniversidad Privada Antenor OrregoFebrero del 2013
  • 2. Vectores, Matrices y Álgebra LinealLos paquetes: LinearAlgebra y linalgEl Maple posee dos grandes paquetes de comandos para eluso en Álgebra Lineal: uno mas antiguo, llamado linalg, y otromas reciente, llamado LinearAlgebra. Ambos tienen mas de100 funciones, son independientes y ejecutan las mismastareas.
  • 3. Vectores, Matrices y Álgebra LinealLos paquetes: LinearAlgebra y linalgEl Maple posee dos grandes paquetes de comandos para eluso en Álgebra Lineal: uno mas antiguo, llamado linalg, y otromas reciente, llamado LinearAlgebra. Ambos tienen mas de100 funciones, son independientes y ejecutan las mismastareas.Los paquetes: LinearAlgebra y linalgPodemos usar el comando with para ver los comandos deLinearAlgebra y linalg:> with(LinearAlgebra)> with(LinearAlgebra)> with(LinearAlgebra);> with(linalg)> with(linalg)> with(linalg);
  • 4. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 5. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 6. Vectores, Matrices y Álgebra LinealVectorEn el paquete linalg, un vector puede ser definido con elcomandovector([v1, v2, ..., vn]).
  • 7. Vectores, Matrices y Álgebra LinealVectorEn el paquete linalg, un vector puede ser definido con elcomandovector([v1, v2, ..., vn]).VectorEn el paquete LinearAlgebra, un vector puede ser definidocon el comandoVector([v1, v2, ..., vn]) o < v1, v2, ..., vn > .La enésima coordenada de un vector v puede ser referenciadacomo v[n].
  • 8. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemplo1 Definir un vector (4, 5, −7) y calcular la suma de suscoordendas.2 Definir un vector (−3, 8, 1) y calcular el producto de suscoordendas.
  • 9. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 10. Vectores, Matrices y Álgebra LinealOperaciones con vectoresEn el paquete linalg, las operaciones básicas con vectoresson:1 evalm(k*v): Producto escalar de k por el vector v.2 crossprod(v,w): Producto vectorial de v por w.3 dotprod(v,w): Producto interno de v por w.4 evalm(v+w): Suma de vectores v y w.5 angle(v,w): Ángulo entre los vectores v y w (en radianes).6 norm(v,2): Norma del vector v.
  • 11. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploSiendo u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 5) y w = (5, 0, 2), Calcular :1 u + v2 2v3 v − w4 v ∗ w5 t = v × w6 El ángulo entre u y w.
  • 12. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 13. Vectores, Matrices y Álgebra LinealOperaciones con vectoresLas operaciones básicas con vectores en el paqueteLinearAlgebra son definidos de la siguiente manera:1 VectorScalarMultiply(v,k): Producto escalar de k por elvector v. Puede ser usado en la forma k ∗ v.2 CrossProduct(v,w): Producto vectorial de v por w.3 DotProduct(v,w): Producto interno de v por w. Puede serusado en la forma v.w4 v+w: Suma de vectores v y w.5 VectorAngle(v,w): Ángulo entre los vectores v y w (enradianes).6 VectorNorm(v,2): Norma euclidiana del vector v.
  • 14. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploSiendo u = (1, 1, −1), v = (5, 0, −3) y w = (−3, −2, −5),Calcular :1 u + v2 3v3 v − w4 v ∗ w5 t = v × w6 El ángulo entre u y w.
  • 15. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 16. Vectores, Matrices y Álgebra LinealMatricesEn el paquete linalg, una matriz:a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...am1 am2 ... amnpuede ser definida por el comando:matrix([[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ..., a2n], ..., [am1, am2, ..., amn]])matrix([[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ..., a2n], ..., [am1, am2, ..., amn]])matrix([[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ..., a2n], ..., [am1, am2, ..., amn]])Después de definida, podemos hacer referencia, los elementosde la matriz. El elemento Aij en la i-ésima fila y la j-ésimacolumna de la matriz A puede ser referenciado como A[i, j].
  • 17. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemplo1 Definir la matriz:X =1 2 34 5 62 Modificar los elementos X13 y X22 y enunciar la matrizmodificada.
  • 18. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 19. Vectores, Matrices y Álgebra LinealOperaciones básicas con matrices1 A + B: Suma de matrices2 A − B: Diferencia de matrices3 A& ∗ B: Producto de matrices4 A ∗ B: Producto escalar por una matrizIMPORTANTE: EMPLEAR SIEMPRE evalm AL EVALUAREXPRESIONES MATRICIALES.
  • 20. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploConsiderando las matrices:A =2 −1 40 1 −11 3 2 B =3 −1 00 −1 11 1 2Calcular: A + B, 3A − 2B, A ∗ B y B ∗ A.
  • 21. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 22. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioConsiderando las matrices:A =3 −1 41 6 −11 4 1 B =2 −2 17 8 11 6 3Calcular: A + B,A − B, 5A − 2B, A ∗ B y B ∗ A.
  • 23. Vectores, Matrices y Álgebra LinealMatriz inversaEn el paquete linalg, una matriz inversa M es calculada con elcomando inverse(M).
  • 24. Vectores, Matrices y Álgebra LinealMatriz inversaEn el paquete linalg, una matriz inversa M es calculada con elcomando inverse(M).Matriz inversaEn el paquete LinearAlgebra, una matriz inversa M escalculada con el comando MatrixInverse(M).
  • 25. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploCalcular la inversa de la matriz A, usando el paquete linalg.A =3 1−5 2
  • 26. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploCalcular la inversa de la matriz A, usando el paquete linalg.A =3 1−5 2EjemploCalcular la inversa de la matriz A, usando el paqueteLinearAlgebra.A =3 1−5 2
  • 27. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 28. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 29. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioHallar la inversa de cada una de las matrices:1 A =1 3 −22 8 −31 7 12 A =2 1 −15 2 −30 2 1
  • 30. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioSi A =5 4 −24 5 −2−2 −2 2. Demuestre que: A2 − 11A + 10I = 0
  • 31. Vectores, Matrices y Álgebra LinealDeterminante, traza y transpuestaEn el paquete linalg, el determinante, la traza y la transpuestade una matriz A son calculados con los comandos:1 det(A)2 trace(A)3 transpose(A)
  • 32. Vectores, Matrices y Álgebra LinealDeterminante, traza y transpuestaEn el paquete LinearAlgebra, el determinante, la traza y latranspuesta de una matriz A son calculados con los comandos:1 Determinant(A)2 trace(A)3 transpose(A)
  • 33. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploCalcular el determinante, la traza y la transpuesta de la matrizA, usando ambos paquetes.A =2 3 −14 −5 63 9 3
  • 34. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 35. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioCalcular el determinante, traza y transpuesta de las siguientesmatrices:1 A =1 2 22 1 22 2 12 A =1 2 −30 −2 41 −3 13 A =2 −1 44 −3 11 2 1
  • 36. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioSi A =3 0 01 2 05 −3 5 y B =2 −4 −10 5 50 0 −2. Hallar la sumade los elementos de la diagonal principal de la matrizM = 3A−1 − 2B−1.
  • 37. Vectores, Matrices y Álgebra LinealSistemas LinealesLos Sistemas Lineales aparecen en muchos problemas delÁlgebra Lineal. Esos problemas pueden ser resueltos de variasmaneras:1 Con el comando linsolve(A,B) del paquete linalg, dondeA es la matriz de coeficientes y B es la matriz de términosconstantes.2 Con el comando LinearSolve(A,opciones) del paqueteLinearAlgebra, donde A es la matriz completa de loscoeficientes de las ecuaciones del sistema.3 Con el comando solve(ecuaciones). (Ver Tema 2).
  • 38. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjemploResolver el sistema:x + y + z = 6x − y − z = 02x + 3y + 6z = 18Usando ambos paquetes.
  • 39. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 40. Vectores, Matrices y Álgebra LinealFigure: Ejemplo
  • 41. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioResolver los sistemas:1x + 2y − z = −33y + 4z = 52x − y + 3z = 924x1 − 9x2 + 2x3 = 52x1 − 4x2 + 6x3 = 3x1 − x2 + 3x3 = 4Usando ambos paquetes.
  • 42. Vectores, Matrices y Álgebra LinealEjercicioDetermine la solución general del sistema lineal:38x − 74y + 46z + 84t = 90−95x + 185y − 115z − 210t = −22557x − 111y + 69z + 126t = 135.