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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSustituciónEn una expresión algebraica las variables: x, y, ... podemossust...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Sustituciones
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSimplificaciónLa simplificación es fundamental en la representación demuchos ...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Simplificación
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Introducción al MapleFigure: Combine
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Expansión
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Expansión
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFactorización de expresiones racionalesEl comando factor actúa en el numera...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioFactorizar:1 x2 − 22 x3 − 5
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEcuacionesUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones.El comando par...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploResolver:1 x2 + 4x − 45 = 02 x2 + 4x + 2 = 03 x2 + 4x + 5 = 0
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ecuaciones
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjerciciosResolver:1 2x = 162 22x − 52x + 6 = 03 log3(5x + 4) − log3(x) − l...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesInecuacionesUna inecuación es una desigualdad entre dos expresiones.El coma...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploResolver:1 x2 − 5x + 6 > 02 | x + 5 |≤ 43 3(x − 5) − 4(4 − 3x) ≥ 2(7...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Inecuaciones
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioResolver:1 14 s − 3 ≤ 18 (3 + 2s)2 2(4 − 35q) < 53(x2−1)(x+3)(x−2)...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSistemas de ecuacionesUn sistema de ecuaciones puede ser resuelto de formas...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploResolver los sistemas lineales siguientes:13x + 5y = 12x + 4y = −92x...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioResolver los sistemas lineales siguientes:12(x+1)+3y=13(x+2)-3y=52...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFuncionesExisten dos maneras de definir una función f(x) en Maple:1 Como el ...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicio1 Si f(x) = x2 + 1, calcule f(3), f(√3), f(15)2 Si f(x) = 2xx2+1, ...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFunciones definidas por varias sentenciasLas funciones definidas por varias s...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploDefinir la función: f(x) =2x − 3 , si x > 56 − 3x , si x < 5Encuentre...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioSean las funciones f y g definidas por:f(x) =x2 − 5x , si x < −2| x...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesComposición de funcionesLa composición de funciones se realiza con el opera...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploDadas las funciones f(x) = 4x + 1 y g(x) = x2 − x, calcular:1 f ◦ g2...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploCalcular la composición (f ◦ f ◦ ... ◦ f), 10 veces def(x) =√1 + x c...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioHallar las funciones compuestas indicadas:1 Sean f(x) = 2x2 − 1, g...
Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesRacionalización de denominadoresEl comando que racionalize una expresión co...
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Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicios1 Simplifique y factorice: (a2−b2)3+(b2−c2)3+(c2−a2)3(a−b)3+(b−c)3...
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Tema 2

  1. 1. Tema 2“Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones"Lic. Ana Laksmy Gamarra CarrascoUniversidad Privada Antenor OrregoFebrero del 2013
  2. 2. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesIntroducciónTodo programa de Computación Algebraica pretende sereficiente en la parte de simplificación de expresionesalgebraicas. Más es difícil obtener una perfección, porque aveces el concepto de simplicidad es algo subjetivo.En esta sección, se introduce los comandos que simplifican,factorizan o expanden una expresión algebraica. Mostraremosaún como resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y ladefinición de una función.
  3. 3. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSustituciónEn una expresión algebraica las variables: x, y, ... podemossustituir x por expr1, y por expr2, etc., haciendo uso delcomando:subs(x=expr1,y=expr2,...,expresión)
  4. 4. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSustituciónEn una expresión algebraica las variables: x, y, ... podemossustituir x por expr1, y por expr2, etc., haciendo uso delcomando:subs(x=expr1,y=expr2,...,expresión)EjemploEn la expresión algebraica E = x2 + y2 + z2, inicialmentesustituir x por −2. Luego observe que acontece cuandosustituimos x por a, y por b y atribuimos el resultado a E.Finalmente, sustituimos a, b y z por los valores numéricos −1,3, −2, respectivamente.
  5. 5. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Sustituciones
  6. 6. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSimplificaciónLa simplificación es fundamental en la representación demuchos resultados. Para eso, el Maple posee comandos:
  7. 7. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSimplificaciónLa simplificación es fundamental en la representación demuchos resultados. Para eso, el Maple posee comandos:1 simplify(expresión,opciones)2 combine(expresión,opciones)donde opciones puede ser usado para hacer suposicionesacerca de las variables que intervienen.
  8. 8. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploSimplificar cada expresión:1 Expr1 = x2−1x−12 Expr2 = x6+3x5−3x4−42x3−153x2+3x+11x6−4x5−15x4+56x3+15x2−4x−13 Expr3 =1x2 + 1y21x2 − 1y2+1x2 − 1y21x2 + 1y2
  9. 9. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Simplificación
  10. 10. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploUsamos el comando combine para escribir un producto defunciones trigonométricas como una suma de funciones:
  11. 11. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploUsamos el comando combine para escribir un producto defunciones trigonométricas como una suma de funciones:1 cos(a) cos(b)2 sin(a) sin(b)3 sin(a) cos(b)4 cos(a) sin(b)
  12. 12. Introducción al MapleFigure: Combine
  13. 13. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesExpansiónUna simplificación puede ocurrir no sólo en el sentido dedisminuir el tamaño de una expresión. En algunos casos, esnecesario efectuar productos, y , con eso el tamaño de laexpresión puede aumentar significativamente. El comando deuso general para expander es:expand(expresión)
  14. 14. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploExpander el producto:1 (x − 3)(x − 4)2 (x − 2)(2x + 5)3 3(2a + b)4 (a + b)25 (a − b)26 (a + b)37 (a − b)38 (a + b)69 (a − b)610 (a − b)(a2 + ab + b2)
  15. 15. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Expansión
  16. 16. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploCon una función trigonométrica F, el comando expand puededesarrollar expresiones del tipo F(x + y), F(x − y) o F(nx),usaremos las conocidas fórmulas:
  17. 17. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploCon una función trigonométrica F, el comando expand puededesarrollar expresiones del tipo F(x + y), F(x − y) o F(nx),usaremos las conocidas fórmulas:1 cos(x + y)2 cos(x − y)3 cos(2x)4 cos(3x)5 tan(5x)6 sin(2x)
  18. 18. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Expansión
  19. 19. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioUsando los comandos simplify, expand y subs obtener elresultado de la expresión:y =cos(6x) + cos(4x)sin(6x) − sin(4x)
  20. 20. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
  21. 21. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFactorizaciónEl comando factor(expresión,opciones) puede ser usadopara factorizar la expresión dada. Si no fuera conocida ningunainformación adicional a través del parámetro opciones, elMaple entenderá que la factorización deseada es pararesultados con coeficientes enteros.
  22. 22. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploFactorizar:1 x2 − 42 x4 − 163 x5 + x + 14 x3 − 275 x3 + 27
  23. 23. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  24. 24. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFactorización de expresiones racionalesEl comando factor actúa en el numerador y denominador deuna función racional, como sigue:factorP(x)Q(x)factorP(x)Q(x)factorP(x)Q(x)
  25. 25. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFactorización de expresiones racionalesEl comando factor actúa en el numerador y denominador deuna función racional, como sigue:factorP(x)Q(x)factorP(x)Q(x)factorP(x)Q(x)EjemploFactorizar las expresiones siguientes:1 x2+x−2x2−5x+62 x4+4x3+10x2+12x+5x4−14x3+67x2−120x+50
  26. 26. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  27. 27. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioFactorizar:1 x2 − 22 x3 − 5
  28. 28. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
  29. 29. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioFactorizar:1 8t3 + 1252 10p2 + 3p − 183 5 + (2x + 3)2 − (3x + 2)(x + 1)4 x4 − 16y45 x6 − 8y6
  30. 30. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
  31. 31. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioFactorizar las expresiones racionales siguientes:1 4w−21−2w2 x2−10xy+4y2x2−5xy+4y23 x3+6x2+12x+8x3+4x2+4x4 x2+10x+25x2−255 x3+2x2−x−2x2−1
  32. 32. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
  33. 33. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEcuacionesUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones.El comando para resolver una ecuación es:solve(ecuación=0)El comando solve encuentra soluciones enteras, irracionales ocomplejas.
  34. 34. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploResolver:1 x2 + 4x − 45 = 02 x2 + 4x + 2 = 03 x2 + 4x + 5 = 0
  35. 35. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ecuaciones
  36. 36. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjerciciosResolver:1 2x = 162 22x − 52x + 6 = 03 log3(5x + 4) − log3(x) − log3(x − 2) = 14 (x + 6) + (x + 1) = (7x + 4)
  37. 37. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ecuaciones
  38. 38. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesInecuacionesUna inecuación es una desigualdad entre dos expresiones.El comando para resolver una inecuación es:solve(inecuación>0)Una inecuación puede ser resuelta de manera semejante queuna ecuación. Normalmente, la respuesta es dada en forma deintervalo de R.
  39. 39. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesInecuacionesUna inecuación es una desigualdad entre dos expresiones.El comando para resolver una inecuación es:solve(inecuación>0)Una inecuación puede ser resuelta de manera semejante queuna ecuación. Normalmente, la respuesta es dada en forma deintervalo de R.1 El intervalo cerrado [a, b] es representado porRealRange(a,b)2 El intervalo abierto (a, b) es representado porRealRange(Open(a),Open(b))
  40. 40. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploResolver:1 x2 − 5x + 6 > 02 | x + 5 |≤ 43 3(x − 5) − 4(4 − 3x) ≥ 2(7 − x) − 3(x − 5)4 x2−10x+9x2−12x+35> 0
  41. 41. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Inecuaciones
  42. 42. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioResolver:1 14 s − 3 ≤ 18 (3 + 2s)2 2(4 − 35q) < 53(x2−1)(x+3)(x−2)(x−5)(x+7) > 04 x−2x+3 < x+1x5 xx−1 + x−1x < 2xx+1
  43. 43. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejercicio
  44. 44. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesSistemas de ecuacionesUn sistema de ecuaciones puede ser resuelto de formasemejante a las ecuaciones, basta con escribir las ecuacionesdel sistema en forma de conjunto. Si fuera necesario, podemosescribir también las variables en forma de conjunto yproporcionar el comando de resolución como segundoparámetro. Por ejemplo:solve(ecuación1,ecuación2,...)
  45. 45. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploResolver los sistemas lineales siguientes:13x + 5y = 12x + 4y = −92xy = 16log2 x = log2 y + 23x2 + y2 + z2 = 1xy + yz + zx = 0x − y + 2z = −1
  46. 46. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  47. 47. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioResolver los sistemas lineales siguientes:12(x+1)+3y=13(x+2)-3y=525y+3x=154(x-1)-3y=203-2(x+5)+3y=6-5(-x+3)-4y=10
  48. 48. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFuncionesExisten dos maneras de definir una función f(x) en Maple:1 Como el operador seta:f := x → expresión en la variable x2 Como un comando unapplyf := unapply(expresión, x)
  49. 49. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFuncionesExisten dos maneras de definir una función f(x) en Maple:1 Como el operador seta:f := x → expresión en la variable x2 Como un comando unapplyf := unapply(expresión, x)EjemploDefinir la función f(x) = x2 y calcular: f(−3).
  50. 50. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  51. 51. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicio1 Si f(x) = x2 + 1, calcule f(3), f(√3), f(15)2 Si f(x) = 2xx2+1, calcule f(1), f(0), f(−2)3 Si h(t) =√t2 + 2t + 4, calcule h(−4), h(0), h(2)4 Si g(x) = (x + 2)32 , calcule g(−1), g(0), g(10)5 Si g(x) = (3x − 1)−32 , calcule g(1), g(5), g(12)
  52. 52. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFunciones definidas por varias sentenciasLas funciones definidas por varias sentencias pueden serdefinidas con el comando:piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)donde: f1, f2, ..., fN, f − otros son expresiones algebraicas ycond1, cond2, ..., condN son expresiones lógicas.
  53. 53. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploDefinir la función: f(x) =2x − 3 , si x > 56 − 3x , si x < 5Encuentre: f(0), f(7) y f(−2).
  54. 54. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploDefinir la función: f(x) =2x − 3 , si x > 56 − 3x , si x < 5Encuentre: f(0), f(7) y f(−2).EjemploDefinir la función: g(x) =4x + 3 , si −2 < x < 01 + x2 , si 0 < x < 27 , si x > 2Evalúe cada uno de los siguientes valores: g(1), g(3), g(−1) yg(0).
  55. 55. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  56. 56. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioSean las funciones f y g definidas por:f(x) =x2 − 5x , si x < −2| x − 2 | −2x , si x ≥ −2g(x) =2x − 4 , si x > −2x2 + 3x , si x ≤ −2Hallar: f(0) + g(0), f(1)f(−3), f(√2) y f(−4)g(−1) .
  57. 57. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesComposición de funcionesLa composición de funciones se realiza con el operador @. Porejemplo, f@g es la composición f ◦ g. La composición de fconsigo misma, n veces, puede ser abreviada por f@@n.La función inversa de f es una función f@@(−1), mas el Maplesolo consigue calcularla en pocos casos (ln(x), exp(x),funciones trigonométricas o hiperbólicas).
  58. 58. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploDadas las funciones f(x) = 4x + 1 y g(x) = x2 − x, calcular:1 f ◦ g2 g ◦ f3 f ◦ f ◦ f ◦ f4 f ◦ f ◦ g ◦ g ◦ g
  59. 59. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  60. 60. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjemploCalcular la composición (f ◦ f ◦ ... ◦ f), 10 veces def(x) =√1 + x consigo misma.
  61. 61. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  62. 62. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicioHallar las funciones compuestas indicadas:1 Sean f(x) = 2x2 − 1, g(x) = 4x3 − 3x, x ∈ R, probar quefog = gof.2 Hallar (fogoh)(x) si f(x) = x2 + 2x + 1, g(x) = x − 2, h(x)=x-3.3 Dadas las funciones f(x) = x1+x2 y g(x) = 1 − xdeterminar las composiciones fog y gof.
  63. 63. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesRacionalización de denominadoresEl comando que racionalize una expresión con radicales en eldenominador se define como:rationalize(expresión)rationalize(expresión)rationalize(expresión)EjemploRacionalizar el denominador de 2−√53+√5.
  64. 64. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesFigure: Ejemplo
  65. 65. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funcionesEjercicios1 Simplifique y factorice: (a2−b2)3+(b2−c2)3+(c2−a2)3(a−b)3+(b−c)3+(c−a)32 Muestre que: 32 + 109√3 + 32 − 109√3 es un númeroentero.3 Resolver la ecuación:5(x − 2)(x − 32) − 4(x − 1)(x − 33) = 14 Determine todas las raíces complejas de la ecuación:x8 − 13x7 + x6 − 10x4 + 2x2 − 5x + 25 = 0
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