20121109101145

  • 41 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
41
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Estadística. U.P.A.O. Tema 4: Probabilidad 1EstadísticaTema 04: Probabilidad
  • 2. Tema 4: Probabilidad 2Estadística. U.P.A.O. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística? ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme un atasco en la combicuando voy a clase? Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad eincluso los que hayas visto poco de la materia en cursosanteriores, tienes una idea intuitiva lo suficientemente correctapara lo que necesitamos de ella en este curso. En este tema vamos a: Recordar qué entendemos por probabilidad. Recordar algunas reglas de cálculo. Ver cómo aparecen las probabilidades en tu especialidad. Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en para tuprofesión.
  • 3. Tema 4: Probabilidad 3Estadística. U.P.A.O.Nociones de probabilidadTipo deServicioNº Turistas %Clase A 39 35.45Clase B 41 37.27Clase C 30 27.27Total 110 100.00 Frecuentista (objetiva):Probabilidad de un evento es lafrecuencia relativa (%) de vecesque ocurriría el evento alrealizar un experimentorepetidas veces. Subjetiva (bayesiana): Grado decerteza que se posee sobre unevento. Es personal.En ambos tipos de definicionesaparece el concepto de evento.Vamos a recordar qué son yalgunas operaciones que sepueden realizar con sucesos.Turismo en Trujillo0.00 10.00 20.00 30.00 40.00claseAclaseBclaseCPorc e nta je s
  • 4. Tema 4: Probabilidad 4Estadística. U.P.A.O.Eventos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados sonposibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espaciomuestral (Ω). Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados. Se llama evento contrario (complementario) de un evento A, A’, alformado por los elementos que no están en A Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los resultadosexperimentales que están en A o en B (incluyendo los que están enambos. Se llama evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, alformado por los elementos que están en A y BΩ espacio muestralΩ espacio muestralAA’Ω espacio muestralABΩ espacio muestralABΩ espacio muestralABUNIÓN INTERS.
  • 5. Tema 4: Probabilidad 5Estadística. U.P.A.O. Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna acada evento A un valor numérico P(A), verificando lassiguientes reglas (axiomas) P(Ω)=1 0≤P(A) ≤1 P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø Ø es el conjunto vacío. Puedes imaginar la probabilidad de un subconjunto comoel tamaño relativo con respecto al total (evento seguro)Definición de probabilidadΩ espacio muestral100%BΩ espacio muestralA
  • 6. Tema 4: Probabilidad 6Estadística. U.P.A.O.AProbabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B, oprobabilidad de A sabiendo que pasa B:)()()|(BPBAPBAP∩=Ω espacio muestralB“tamaño”deunorespectoalotro Error frecuentísimo: No confundas probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero… En P(A∩B) con respecto a P(Ω)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)
  • 7. Tema 4: Probabilidad 7Estadística. U.P.A.O. Cualquier problema de probabilidad puederesolverse en teoría mediante aplicación de losaxiomas. Sin embargo, es más cómodo conoceralgunas reglas de cálculo: P(A’) = 1 - P(A) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB) = P(A) P(B|A)= P(B) P(A|B) Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que también pase Bsabiendo que pasó A.Algunas reglas de cálculo prácticas
  • 8. Tema 4: Probabilidad 8Estadística. U.P.A.O. Dos eventos son independientes si el queocurra uno, no añade información sobre elotro. A es independiente de B P(A|B) = P(A) P(AB) = P(A) P(B)Independencia de eventos
  • 9. Tema 4: Probabilidad 9Estadística. U.P.A.O.Ejemplo (I) Se ha repetido en 110 ocasiones el experimentode elegir a un Turista de una población muygrande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que un Turista utilice elservicio “Clase B”? P(Clase B)=41/110=0,373=37,3% Noción frecuentista de probabilidadTipo de ServicioProcedenciaTotalTrujillo Otrosclase A 33 6 39clase B 35 6 41clase C 26 4 30Total 94 16 110
  • 10. Tema 4: Probabilidad 10Estadística. U.P.A.O.Ejemplo (II) ¿Probabilidad de usar Clase B ò Clase C? P(Clase B u Clase C)=41/110+30/110=0,6454 Son eventos disjuntos Clase B ∩ Clase C=Ø ¿Probabilidad de ser de Trujillo o usar Clase A? P(trujillo U Clase A)=94/110+39/110-33/110=0,5818 No son eventos disjuntos ¿Probabilidad de un turista clase “A”? (entiéndase…) P(clase A)=39/110=0,35 P(clase A)=1-P(clase A’)=1-P(Clase BU clase C) =1-0,70=0,30Tipo de ServicioProcedenciaTotalTrujillo Otrosclase A 33 6 39clase B 35 6 41clase C 26 4 30Total 94 16 110
  • 11. Tema 4: Probabilidad 11Estadística. U.P.A.O.Ejemplo (III) Si es Trujillano… ¿cuál es la probabilidad de que use elservicio de Clase A? P(clase A|Trujillo)=33/94=0,3511 ¿Probabilidad de que sea de Trujillo y que utilice elservicio clase B? P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110=0,32 Otra forma:32,0110/35943511094)/()()(==×==×= TrujilloClaseBPTrujilloPClaseBTrujilloP Tipo de ServicioProcedenciaTotalTrujillo Otrosclase A 33 6 39clase B 35 6 41clase C 26 4 30Total 94 16 110
  • 12. Tema 4: Probabilidad 12Estadística. U.P.A.O.Ejemplo (IV) ¿Son independientes Trujillo y Clase B? Una forma de hacerlo P(Clase B)=41/110=0,3727 P(Clase B|Trujillo)=35/94=0,3723 ¿Otra forma? P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110 = 0,318181 P(Trujillo) P(Clase B)= (94/110) x (41/110) = 0,3185123 La probabilidad de la intersección no es el producto deprobabilidades. No son independientes.Tipo de ServicioProcedenciaTotalTrujillo Otrosclase A 33 6 39clase B 35 6 41clase C 26 4 30Total 94 16 110
  • 13. Tema 4: Probabilidad 13Estadística. U.P.A.O.Sistema exhaustivo y excluyente de eventosA1 A2A3 A4Son una colección de eventosA1, A2, A3, A4…Tales que la unión de todos ellos formanel espacio muestral, y sus interseccionesson disjuntas.¿Recuerdan cómo formar intervalos en tablasde frecuencias?EventoseguroA1A2A3A4
  • 14. Tema 4: Probabilidad 14Estadística. U.P.A.O.Divide y vencerásA1 A2A3 A4BTodo evento B, puede ser descompuestoen componentes de dicho sistema.B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )Nos permite descomponer el problema B ensubproblemas más simples. Creedme . Funciona.EventoseguroA1A2A3A4BBBB
  • 15. Tema 4: Probabilidad 15Estadística. U.P.A.O.Teorema de la probabilidad totalA1 A2A3 A4BSi conocemos la probabilidad de B en cada uno de loscomponentes de un sistema exhaustivo y excluyente deeventos, entonces…… podemos calcular la probabilidad de B.P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …EventoseguroA1A2A3A4BBBBP(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(B|A1)P(B|A2)P(B|A3)P(B|A4)
  • 16. Tema 4: Probabilidad 16Estadística. U.P.A.O.Ejemplo (I): En una aula el 70% de los alumnos sonmujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De loshombres, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2= 0,13 =13%T. Prob. Total.Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de eventosEstudianteMujerNo fumaHombreFumaNo fumaFuma0,70,10,20,30,80,9•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
  • 17. Tema 4: Probabilidad 17Estadística. U.P.A.O.Teorema de BayesA1 A2A3 A4BSi conocemos la probabilidad de B encada uno de los componentes de unsistema exhaustivo y excluyente deeventos, entonces……si ocurre B, podemos calcular laprobabilidad (a posteriori) de ocurrenciade cada Ai.donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …P(B)Ai)P(BB)|P(Ai =
  • 18. Tema 4: Probabilidad 18Estadística. U.P.A.O.Ejemplo (II): En una aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 (Resuelto antes) Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Probabilidad de que sea un hombre?EstudianteMujerNo fumaHombreFumaNo fumaFuma0,70,10,20,30,80,946,013,02,03,0)()|()()()()|(=×==⋅=∩=FPHFPHPFPFHPFHP
  • 19. Tema 4: Probabilidad 19Estadística. U.P.A.O.Ejemplo Un procesador para computadores puede provenir decualquiera de tres fabricantes con probabilidades:p1 = 0,25 ; p2 = 0,50 ; p3 = 0,25.Las probabilidades de que un procesador funcionecorrectamente durante 10000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4respectivamente para los 3 fabricantes: i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegidoal azar funcione durante 10000 horas. ii) Si el procesador funcionó correctamente durante elperíodo de 10000 horas ¿cuál es la probabilidad de quehaya provenido del 3er fabricante?
  • 20. Tema 4: Probabilidad 20Estadística. U.P.A.O.Solución i) P(C) == 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25= 0,225. ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3) / P(C)= 0,4 * 0,25 /0,225= 0,444.
  • 21. Tema 4: Probabilidad 21Estadística. U.P.A.O.¿Qué hemos visto? Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento Probabilidad Nociones Frecuentista Subjetiva o Bayesiana Axiomas Probabilidad condicionada Reglas de cálculo Complementario, Unión, Intersección Independencia de sucesos Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes Pruebas diagnósticas A priori: Incidencia, prevalencia. Eficacia de la prueba: Sensibilidad, especificidad. A posteriori: Índices predictivos.