Sistemas Numericos

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Sistemas Numericos

  1. 1. Sistemas Numéricos <ul><li>Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: ( b ^ n ) * A </li></ul><ul><li>donde: b = valor de la base del sistema n = número del dígito o posición del mismo A = dígito. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul><ul><li>dígitos: 1 2 4 9 5 3 . 3 2 4 posición 5 4 3 2 1 0 . -1 -2 -3 </li></ul>
  2. 2. Sistemas Numéricos <ul><li>El sistema numérico decimal </li></ul><ul><li>El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. </li></ul>
  3. 3. El sistema numérico decimal <ul><li>Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10 ^ n )* A </li></ul><ul><li>Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. </li></ul>
  4. 4. El sistema numérico decimal <ul><li>Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es: </li></ul><ul><li>Entero del punto a la izq. </li></ul><ul><li>primero 9 * (10 º ) = 9 </li></ul><ul><li>segundo 8 * (10 ¹ ) = 80 </li></ul><ul><li>tercero 4 * (10 ² ) = 400 </li></ul><ul><li>cuarto 3 * (10 ³ ) = 3000 </li></ul><ul><li>fracción del punto a la der. </li></ul><ul><li>primero 1*(10 ¯¹ ) = 0.1 </li></ul><ul><li>segundo 2*(10 ¯² ) = 0.02 </li></ul><ul><li>tercero 5*(10 ¯³ ) = 0.005 </li></ul>
  5. 5. El sistema numérico decimal <ul><li>Notación Posicional del Sistema </li></ul><ul><li>(10 ^ -6) = 0.000001 (10 ^ -5) = 0.00001 (10 ^ -4) = 0.0001 (10 ^ -3) = 0.001 (10 ^ -2) = 0.01 (10 ^ -1) = 0.1 (10 ^ 0) = 1 (10 ^ 1) = 10 (10 ^ 2) = 100 (10 ^ 3) = 1000 (10 ^ 4) = 10000 (10 ^ 5) = 100000 (10 ^ 6) = 10000000 </li></ul>
  6. 6. EL SISTEMA NUMÉRICO BINARIO <ul><li>Sistema Binario </li></ul><ul><li>El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1). </li></ul>
  7. 7. EL SISTEMA NUMÉRICO BINARIO <ul><li>Por su simplicidad y por poseer únicamente dos dígitos diferentes, el sistema de numeración binario se usa en computación para el manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado, inhibido (de la computadora) y el dígito 1 se asocia con +5 , +12 volts, encendido, energizado (de la computadora) con el cual se forma la lógica positiva. </li></ul>
  8. 8. EL SISTEMA NUMÉRICO BINARIO <ul><li>A la representación de un dígito binario se le llama bit (de la contracción binary digit) y al conjunto de 8 bits se le llama byte, así por ejemplo: 110 contiene 3 bits, 1001 contiene 4 y 1 contiene 1 bit. Como el sistema binario usa la notación posicional entonces el valor de cada dígito depende de la posición que tiene en el número, </li></ul>
  9. 9. EL SISTEMA NUMÉRICO BINARIO <ul><li>por ejemplo el número ( 110101) b es: </li></ul><ul><li>1*(2 º ) + 0*(2 ¹ ) + 1*(2 ² ) + 0*(2 ³ ) + 1*(2 4 ) + 1*(2 5 ) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53d </li></ul>
  10. 10. Conversión de decimal a binario <ul><li>Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre la nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cociente sea inferior a la base.El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en la nueva base. </li></ul>
  11. 11. Conversión de decimal a binario <ul><li>Ejemplo: Convertir (384) 10 ó (384)d a su valor equivalente en binario </li></ul><ul><li>(384) 10 ( ) 2 </li></ul>
  12. 12. Conversión binario a decimal <ul><li>Para pasar de una base cualquiera a base 10, basta con realizar la suma de los productos de cada dígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como potencias sucesivas de la base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido se suma, y el resultado global es el número en base 10. </li></ul>
  13. 13. Conversión binario a decimal <ul><li>Por lo tanto si queremos convertir el siguiente número binario a decimal como le harías. </li></ul><ul><li>(10010111) 2 ( ) 10 </li></ul>
  14. 14. Sistema octal <ul><li>El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. </li></ul>
  15. 15. Conversión decimal a octal <ul><li>Se utiliza el mismo procedimiento planteado para la conversión decimal binario. </li></ul><ul><li>Por lo tanto si queremos realizar la siguiente conversión,¿ como la hacemos? </li></ul><ul><li>(384) 10 ( ) 8 </li></ul>
  16. 16. Conversión octal a decimal <ul><li>Se utiliza el mismo procedimiento aplicado a la conversión binario a decimal. </li></ul><ul><li>por lo tanto hagamos la siguiente conversión. </li></ul><ul><li>(467) 8 ( ) 10 </li></ul>
  17. 17. Relación binario vs. octal <ul><li>El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria(2 elevada a la potencia de 3 nos da 8). Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. Y que los tres primeros bit`s del sistema binario representen uno en octal. </li></ul>
  18. 18. Relación binario vs. octal <ul><li>binario octal </li></ul><ul><li>000 0 </li></ul><ul><li>001 1 </li></ul><ul><li>010 2 </li></ul><ul><li>011 3 </li></ul><ul><li>100 4 </li></ul><ul><li>101 5 </li></ul><ul><li>110 6 </li></ul><ul><li>111 7 </li></ul>
  19. 19. Conversión binario octal <ul><li>Para convertir un número binario a su expresión octal agrupamos los digitos de tres en tres de derecha a izquierda y si en la última agrupación no se completan los tres dígitos los completamos con ceros y cada grupo de tres representa un digito en octal. Ejem </li></ul><ul><li>1001101 2 </li></ul><ul><li>(1 1 5 ) 8 </li></ul>
  20. 20. Codificación octal <ul><li>Vamos a realizar la siguiente codificación de binario a octal. </li></ul><ul><li>110110111 2 ( )o </li></ul>
  21. 21. SISTEMA HEXADECIMAL <ul><li>El sistema hexadecimal utiliza los diez digitos del sistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y las seis primeras letras del abecedario, que representan un valor numérico (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15), lo que nos da los 16 dígitos del sistema hexadecimal. </li></ul>
  22. 22. Relación decimal - hexadecimal <ul><li>Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciseis valores entre 0 10 y 15 10 . Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 10 10 y 15 10 . En lugar de crear nuevos simbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F </li></ul>
  23. 23. Conversión decimal - hexadecimal <ul><li>Se utiliza el mismo procedimiento planteado para la conversión decimal binario. </li></ul><ul><li>Por lo tanto si queremos realizar la siguiente conversión,¿ como la hacemos? </li></ul><ul><li>(4660) 10 ( ) 16 </li></ul>
  24. 24. Conversión hexadecimal a decimal <ul><li>Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número (1234) 16 es igual a: </li></ul><ul><li>1*(16) ³ + 2*(16) ² + 3*(16) ¹ + 4*(16) º </li></ul><ul><li>lo que da como resultado: </li></ul><ul><li>4096 + 512 + 48 + 4 = ( 4660) 10 </li></ul>
  25. 25. Relación Binario - hexadecimal <ul><li>Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 202 10 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. </li></ul>
  26. 26. Relación Binario - hexadecimal <ul><li>Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciseis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. </li></ul>
  27. 27. Conversión Binario - hexadecimal <ul><li>La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla: </li></ul>
  28. 28. <ul><li>Relación binario hexadecimal </li></ul>
  29. 29. Conversión hexadecimal - binario <ul><li>Esta tabla contiene toda la información necesaria para convertir de binario a hexadecimal y visceversa. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir( 0ABCD)h en un valor binario: </li></ul><ul><li>0 A B C D (Hexadecimal) </li></ul><ul><li>0000 1010 1011 1100 1101 (Binario) </li></ul>
  30. 30. Conversión Binario-hexadecimal <ul><li>Por comodidad, todos los valores numéricos los empezaremos con un dígito decimal; los valores hexadecimales terminan con la letra h y los valores binarios terminan con la letra b. La conversión de formato binario a hexadecimal es casi igual de fácil, en primer lugar necesitamos asegurar que la cantidad de dígitos en el valor binario es múltiplo de 4, en caso contrario agregaremos ceros a la izquierda del valor, </li></ul>
  31. 31. Conversión Binario-hexadecimal <ul><li>Por ejemplo el número binario 1011001010, la primera etapa es agregarle dos ceros a la izquierda para que contenga doce ceros: 001011001010. La siguiente etapa es separar el valor binario en grupos de cuatro bits, así: 0010 1100 1010. Finalmente buscamos en la tabla de arriba los correspondientes valores hexadecimales dando como resultado, 2CA, y siguiendo la convención establecida: 02CAh. </li></ul>

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