Gravitação e satelites
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Gravitação e satelites Gravitação e satelites Presentation Transcript

  • Gravitação
  • Leis de Kepler e Teoria da Gravitação Universal
    Ptolomeu, Copérnico, Tycho Brahe, Galileu,
    Kepler, Newton…
    1473 - 1543
    1546-1601
    ?87-150
    1571 - 1630
    1642-1727
    1564 - 1642
  • É sabido, mas muitas vezes esquecido que a ciência é uma construção humana e como tal, está repleta de contradições e dúvidas, mas, ainda assim, é determinante para o domínio político e econômico. “A ciência contemporânea, construída especialmente no mundo ocidental nos últimos três séculos, tornou-se uma cultura global como parte de um processo amplo e contraditório, de caráter político e também econômico, que promoveu ganhos e perdas culturais, progresso e miséria material, equívocos e conquistas intelectuais. De toda forma ela se tornou um instrumento de pensar e do fazer de tal forma essencial, que privar qualquer sociedade atual da cultura científica é, em muitos aspectos, sentenciá-la a duradoura submissão econômica e a provável degradação social e, porque não dizer, é também excluí-la de uma bela aventura do espírito humano”(Menezes, notas de aula, 2001, p.4).
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  • Os modelos de Universo de Ptolomeu e de Copérnico.
    Geocêntrico: Terra (centro) – Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas
    Heliocêntrico: Sol (centro) – Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas
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  • A percepção da relação com os corpos celestes varia entre as pessoas de acordo com culturas e tradições diversas. Existem pessoas, por exemplo, que não saem de casa sem consultar o horóscopo, mas ignoram ou desconhecem a relação entre as marés diárias e a Lua e que a vida na Terra depende da conveniente distância entre a Terra e o Sol. Os astros influenciam na vida desde seu surgimento e não é preciso horóscopo para saber disso, as migrações de aves e as hibernações de mamíferos atestam a viagem anual de nosso planeta girante a redor do Sol.
    A visão contemporânea do Universo não é uma simples negação das práticas religiosas e convicções míticas, mas sim uma nova elaboração conceitual e experimental com o respeito de quem examina o próprio passado, a fim de compreender como as civilizações, que nos distinguem dos demais seres vivos, se fundaram.
  • Desafio: Observando a fotografia (abaixo) do céu noturno, estime o tempo
    de exposição do filme fotográfico. Para isso, leve em conta que uma volta completa,
    que seria um arco completo de 360°,corresponde a 24 horas.
  • As leis de Kepler para o movimento planetário
  • Primeira lei (1609): Lei das órbitas.
    Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol
    como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a
    distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.
    periélio
    afélio
    Obs.: a excentricidade da elipse acima está exagerada
  • (
  • Motivo das Estações do Ano
  • 23,5º
    Eixo de
    rotação
    Plano da Eclíptica
    Periélio
    Afélio
    Órbita da Terra em torno do Sol
    Eclíptica
    Sol
  • Relembrando: Paralelos importantes
    PN
    Círculo Polar Ártico
    23,5o
    Trópico
    de Câncer
    23,5o
    eclíptica
    Equador
    Trópico de
    Capricórnio
    Círculo Polar Antártico
    PS
  • Inverno
    Verão
    Sol
    Inverno
    Verão
    Primavera
    ou
    Outono
    Sol
    Outono
    ou
    Primavera
    Motivo das Estações
    Solstício Solstício
    Equinócio
  • O Sol nasce no leste?
    23/09
    Equinócio de Primavera
    22/12
    22/06
    Leste
    Solstício de Inverno
    Solstício de Verão
    21/03
    Norte
    Sul
    Equinócio de Outono
  • Trajetórias diurnasdo Sol nas proximidades dos trópicos
    12
    11
    10
    13
    9
    14
    Verão
    (22/12)
    8
    7
    15
    6
    5
    7
    Inverno
    (22/06)
    16
    17
    18
    17
    19
    Leste
    Norte
    Sul
    Oeste
  • Eixo de
    rotação
    Esfera Celeste
    Polo celeste norte
    Equador
    polo celeste sul
  • o arco descrito pelos astros em
    seu movimento aparente é
    observado em ângulos diferentes,
    De acordo com a latitude do local.
  • )
  • Segunda lei (1609): Lei das áreas.
    O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em
    intervalos de tempos iguais.
  • Segunda lei (1609): Lei das áreas.
    O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em
    intervalos de tempos iguais.
    3
    2
    Dt1,2 = Dt3,4
    A1 = A2
    A1
    A2
    1
    4
    Consequências:
    A velocidade de translação do planeta não é constante.
    • Máxima no periélio;
    • Mínima no afélio.
    2. A velocidade areolar é constante (Va = A/Dt (m²/s) SI)
  • Terceira lei (1618): Lei Harmônica.
    O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente
    proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei
    estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais
    lentamente em torno do Sol e, portanto, isso sugere que a força
    entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol.
    T² = k.R³
    T – período orbital
    R – raio médio da órbita
    k – cte que depende da
    Massa do astro central
    Rp
    Rj
    T² / R³ = k
    T²p / R³p = T²j / R³j
    As leis de Kepler aplicam-se a quaisquer corpos que gravitem em órbita de uma grande massa central. Por isso, elas são aplicáveis não apenas ao nosso Sistema Solar, como também a outros sistemas do Universo. Elas podem ser também aplicadas, por exemplo, para um satélite que gravite em órbita de um planeta qualquer.
  • d D
    R = semi-eixo maior
    2R = d+D
    R = (d+D) / 2
  • Exemplos:
    1)Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos.
    Rf = 10000 km
    Tf = 3.104 s
    Rd = 24000 Km
    Td = ?
    T²d = 24³.109. (3.104)²/ 1012
    T²d = 24².24.10-3.(3.104)²
    Td = 24.3.104.10-1.√2,4
    Td ≈ 72.10³.1,55
    Td ≈ 111,6.10³
    Td ≈ 11,2 .104 s
    T² = k.R³
    T²d/ R³d = T²f / R³f
    T²d = R³d. T²f / R³f
    T²d = 24000³. (3.104)²/ 10000³
  • Exemplos:
    2) A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2. Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de maio do mesmo ano.
    6,98.1022m²_______12 meses
    A____________2 meses
    A =6,98.1022.2 / 12
    A ≈ 1,16.1022m²
  • A1)
    Primeira lei (1609): Lei das órbitas.
    Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.
    Segunda lei (1609): Lei das áreas.
    O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos
    de tempos iguais.
    Consequências:
    A velocidade de translação do planeta não é constante.
    • Máxima no periélio;
    • Mínima no afélio.
    2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI)
    Terceira lei (1618): Lei Harmônica.
    O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao
    cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com
    órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto,
    isso sugere que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao
    Sol.
    T² = k.R³
    Resp.: e
  • A2)
    Segunda lei (1609): Lei das áreas.
    O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos
    de tempos iguais.
    Consequências:
    A velocidade de translação do planeta não é constante.
    • Máxima no periélio;
    • Mínima no afélio.
    2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI)
    3
    2
    Dt1,2 = Dt3,4
    A1 = A2
    A1
    A2
    1
    4
    Resp.: c
  • A3)
    R1 = R
    T1 = 2 anos
    R2 = 2.R
    T2 = ?
    Considerando que os dois planetas orbitam o mesmo
    Astro central (Sol), temos:
    T² = k.R³
    T2² = 8.R³.4/ R³
    T²1/ R³1 = T²2 / R³2
    T2² =32
    T2 = √32
    T2 ≈ 5,66 anos terrestres
    T²2 = R³2T²1/ R³1
    T²2 = (2.R)³.2² / R³
  • A4)
    T1 / T2 = ?
    T² = k.R³
    T1² / T2² = 64
    T1 / T2 = 8
    T²1/ R³1 = T²2 / R³2
    T1² / T2² = R1³ / R2³
    Resp.: c
    T1² / T2² = (4R)³ / R³
    T1² / T2² = 64.R³ / R³
  • A gravitação universal
    Por que os corpos caem?
    Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra?
    O que é força gravitacional?
  • A gravitação universal
    Um pouco de História
    X
    Embora o modelo Heliocêntrico parecesse mais simples que o modelo Geocêntrico,
    tal “simplicidade” não existia, pois, tal qual o modelo de Ptolomeu, exigia uma
    complexa combinação de movimentos para explicar o que era observado no céu.
    Tanto o modelo ptolomaico quanto o modelo copernicano não eram capazes de
    prever as posições dos planetas de forma precisa e, com relação a Copérnico, quando
    questionado sobre ausência de ventos que deveriam existir caso a Terra se movesse,
    faltavam-lhe argumentos para provar tal movimento.
  • A gravitação universal
    Um pouco de História
    Em 1546, três anos após a morte de Copérnico, nascia na Dinamarca Tycho Brahe,
    o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio.
    Utilizando seus próprios instrumentos Tycho Brahe fez excelentes medidas das
    posições de planetas e estrelas que lhe renderam o patrocínio do rei da Dinamarca,
    Frederic II, para construção de seu próprio laboratório. Mais tarde Tycho Brahe foi
    trabalhar como astrônomo para o imperador da Bohemia e, em 1600, um ano antes
    de sua morte, cotratou um jovem matemático alemão, Johannes Kepler, com quem
    analisou 20 anos de dados colhidos sobre os planetas, embora Tycho Brahe não
    acreditasse na hipótese heliocêntrica de Copérnico, foram as suas observações que
    contribuiram para que Kepler formulasse as três leis dos movimentos planetários.
  • A gravitação universal
    Um pouco de História
    A grande contribuição ao modelo heliocêntrico foi dada pelo italiano Galileo Galilei.
    Além de olhar para o céu como os demais astrônomos de sua época, Galileo buscava
    causas físicas para os fenômenos observados. Com sua própria luneta, construida em
    1609, com um poder de aumento de cerde de 30 vezes, Galileu pode observar:
    crateras na Lua e manchas no Sol, novas estrelas, as fases de Vênus e quatro satélites
    orbitando Júpiter. Com essas observações foi possível mostrar que os corpos celestes
    não possuiam a perfeição a eles outrora atribuída. Essas observações não provaram
    a veracidade dos trabalhos de Copérnico, mas abalaram ainda mais a crença na
    imutabilidade do cosmos, além de apontar para falsidade do modelo geocêntrico
    adotado como verdade intocável pela igreja desde os tempos de Ptolomeu.
  • A gravitação universal
    Sintetisando
    Galileo em seu trabalho percebeu que o movimento é tão natural quanto o repouso
    e esses permanecem inalterados se nenhum agente externo interferir.
    Kepler foi capaz de descrever o movimento dos planetas, mas não pode explicar o
    por quê desses movimentos. Coube a Newton, no século XVII, usando as teorias de
    Galileo e Kepler desenvolver a teoria da gravitação universal e as Leis do movimento.
    Nesse trabalho ele expressou matematicamente o movimento dos planetas e explicou
    por que ocorrem daquela forma. Com sua obra Newton unificou as mecânicas celeste
    e terrestre, ou seja, as leis que regem o movimento da Lua ao redor da Terra são as
    mesmas que regem os movimentos dos corpos na superfície da Terra.
  • Enfim a Teoria da gravitação universal
    Newton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol,
    assumindo a existência de uma força dirigida ao Sol, que produz
    uma aceleração que obriga a velocidade do planeta a mudar de
    direção, continuamente.
  • A lua e a aceleração centrípeta.
    V1
    V1
    R
    V.Dt
    V.Dt
    a
    DV
    a
    V2
    R
    a
    R
    V2
    Lembrando que a velocidade V, de tangência,
    é constante, assim como a distância ao centro,
    R. Em um curto intervalo de tempo, por
    semelhança de triângulos, temos:
    V.Dt / R = DV / V
    V.V / R = DV / Dt
    V² / R = acp
    acp = V² / R
  • Como foi que Newton desenvolveu a Lei da gravitação universal?
    Com os três princípios (inércia, variação da quantidade de
    movimento e ação e reação) mais as leis de Kepler e com
    a convicção de que as forças nos corpos celestes ou nos corpos na
    superfície terrestre são de mesma natureza Newton desenvolveu
    a Teoria da gravitação universal.
    Raciocínio de Newton:
  • Usando este raciocínio “temperado” com um pouco de Matemática,
    Newton chegou a seguinte expressão para força gravitacional.
    r
    M
    Fg
    m
    Fg
    Fg = G.M.m/r²
    G – cte universal
    da gravitação
    M,m – massas
    r – distância entre
    os centros das
    massas
    vamos à demonstração
  • Demonstração matemática
    Como ponto de partida para encontrar
    a força gravitacional, entre as massas,
    consideraremos a força centrípeta que
    a Terra excerce sobre a Lua.
    Pelo princípio da conservação da
    quantidade de movimento temos:
    Fr = m.a, neste caso a = acp, assim,
    temos que:
    Frcp = m.acp = m.V² / r
    A velocidade linear da Lua é dada por:
    V = DS / DT = 2.p.r / T
    m
    V
    Frcp
    r
    M
  • Demonstração matemática
    Frcp = m.V² / r (I)
    V = 2.p.r / T (II)
    Usando a terceira lei de Kepler:
    T² = k. r³ e elevando a equação (II) ao
    quadrado temos:
    V² = 4.p².r²/T² = 4.p2.r² / k.r³
    V² = 4.p²/k.r (III)
    (III) em (I)
    Frcp = m.4.p² / k.r²
    m
    V
    Frcp
    r
    M
  • Como a atração gravitacional é entre um par
    de corpos, Newton concluiu que, além dela
    diminuir com o quadrado da distância entre
    o centro de massa do par deveria, também, aumentar na proporção direta de suas massas. Assim ele
    esceveu que:
    m
    V
    Frcp = m.4.p² / k.r²
    Fg = G.M.m/r²,
    onde G =4.p²/M.k
    r
    Frcp = Fg
    M
    Fg = G.M.m / r² (N) SI
  • A primeira medida da constante G foi feita por Henry Cavendish
    (1731-1810) em 1798, usando um aparelho extremamente
    sensível, a balança de torção. Com esse experimento, Cavendish
    encontrou o valor 6,71.10-11m³/kg².s².
    G =4.p²/M.k
    k = T²/r³
    T²/r³ = 4.p²/G.M
    Fio de quartzo
    Experiências mais sofisticadas
    dão o valor de G atualmente
    aceito como:
    G = 6,67.10-11N.m²/kg²
    Espelho
    Fonte de luz
  • F
    Fg = G.M.m/r² (N) SI
    m
    F
    d
    M
    F
    r
    M m R F
    M m 2R
    M m 3R
    M 2m 2R
    F/4
    F/9
    F/2
  • O efeito da força gravitacional da Lua sob as
    marés
    resultado final das marés altas
    Massa gravitacional
    M. inercial
    M. gravitacional
    Massa inercial
  • Você é capaz de responder as questões abaixo?
    Por que os corpos caem?
    Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra?
    O que é força gravitacional?
  • A5)
    m=5.10³kg
    M=6.1024kg
    d = 3,6.106m
    Fg = G.M.m/r² (N)
    G = 6,7.10-11N.m²/kg²
    R = 6,4.106m
    Fg = G.M.m / (R+d)²
    Fg = 6,7.10-11.6.1024.5.10³ / (6,4.106+3,6.106)²
    Fg = 201.1016/1014
    Fg = 2,01.104N
    Fg ≈ 2.104N
  • A6)
    F
    Fg = G.M.m/r² (N) SI
    m
    F
    d
    M
    F
    r
    Resp.: c)
    M m R F
    M m 2R
    M m 3R
    M m 4R
    F/4
    F/9
    F/16
  • A7)
    2m
    Fg = G.M.m/r² (N) SI
    2M
    F
    F
    R
    Resp.: c)
    m
    F
    M
    F
    R
    M m R F
    2M 2m R
    4F
    Depois:
    Fg = G.2.M.2.m/R²
    Fg = 4.G.M.m/R²
    Fg = 4F
    Antes:
    Fg = F = G.M.m/R²
  • A8 )
    Fg = G.M.m / r²
    M
    d
    m
    FL,f
    81.M
    FT,f
    x
    Fr = 0
    FT,f = FL,f
    G.MT.m/(d-x)² = G.ML.m /x²
    81.M / (d-x)² = M / x²
    81/ (d-x)² = 1 / x²
    9 / (d-x) = 1 / x
    9x = d-x
    10x = d
    x = d/10
    r = d – d/10
    r = (10d – d)/10
    r = 9 d/10 = 0,9d
    r=d - x
  • Resumindo:
    Leis de Kepler:
    Órbitas elípticas
    Áreas iguais em tempos iguais
    T²/ r³ = k
    T – Período orbital
    r – raio médio da órbita
    k – constante que depende da massa do
    corpo central.
    Gravitação Universal:
    Fg = G.M.m/r²,
    onde G =4.p²/M.k = 6,67.10-11N.m²/kg²
    é a cosntante de gravitação universal.
    r – distância entre os centros de massas
    dos corpos.
    Nota:
    k = 4.p²/G.M,
    Onde M é a massa
    do corpo central em
    torno do qual os
    satélites gravitam
  • Fim
  • Satélites em órbita circular
    Frcp = m.v²/r (N)
    Fg = G.M.m/r² (N)
    V = w.r (m/s)
    w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)
    Velocidade linear (v):
    Frcp = Fg
    m.v² / r = G.M.m / r²
    v² = G.M / r
    v = √G.M / r
    Velocidade angular ( w)
    √G.M / r = w.r
    (√G.M / r) /r = w
    • = √G.M / r³
    Período:
    √G.M / r³ = 2p/T
    T = 2p / (√G.M/r³)
    m
    V
    r
    Frcp = Fg
    M
  • A9)
    Frcp = m.v²/r (N)
    Fg = G.M.m/r² (N)
    V = w.r (m/s)
    w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)
    Velocidade linear (v):
    Frcp = Fg
    m.v² / r = G.M.m / r²
    v² = G.M / r
    v = √G.M / r
    v = √G.M/R
    Resp.: b)
    m
    V
    R
    Frcp = Fg
    M
  • A10)
    Frcp = m.v²/r (N)
    Fg = G.M.m/r² (N)
    V = w.r (m/s)
    w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)
    Velocidade linear (v):
    Frcp = Fg
    m.v² / r = G.M.m / r²
    v² = G.M / r
    v = √G.M / r
    Velocidade angular ( w)
    √G.M / r = w.r
    (√G.M / r) /r = w
    • = √G.M / r³
    Período:
    √G.M / r³ = 2p/T
    T = 2p / (√G.M/r³)
    Resp.: a)
    m
    V
    R
    Frcp = Fg
    M
    r
    V
    m
  • A11)
    Frcp = m.v²/r (N)
    Fg = G.M.m/r² (N)
    V = w.r (m/s)
    w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)
    Velocidade linear (v):
    Frcp = Fg
    m.v² / r = G.M.m / r²
    v² = G.M / r
    v = √G.M / r
    Velocidade angular ( w)
    √G.M / r = w.r
    (√G.M / r) /r = w
    • = √G.M / r³
    • = √G.M / R³
    Resp.: a)
    m
    V
    R
    Frcp = Fg
    M
  • A12)
    Velocidade linear (v):
    Frcp = Fg
    m.v² / r = G.M.m / r²
    v² = G.M / r
    v = √G.M / r
    Velocidade angular ( w)
    √G.M / r = w.r
    (√G.M / r) /r = w
    • = √G.M / r³
    Período:
    √G.M / r³ = 2p/T
    T = 2p / (√G.M/r³)
    T = 2p √r³ / √G.M
    Resp.: a)
    Frcp = m.v²/r (N)
    Fg = G.M.m/r² (N)
    V = w.r (m/s)
    w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)
    m
    V
    r
    Frcp = Fg
    M
  • Campo gravitacional (g) velocidade de escape
    Espaço sem matéria
    Espaço com matéria
  • Vetor Campo gravitacional
    g = G.M /r² (p/ r≥R)
    g= (G.M/R³).r (p/ r<R)
    gS = G.M / R² ≈ 9,8 m/s²
    G.M/R²
    G.M/4.R²
    G.M/9.R²
    r
    M
    R
    r
    0 R 2.R 3.R
    S
    distância do centro da Terra
  • Peso de um corpo na superfície da Terra
    Fg = G.M.m/r²
    g = G.M/r²
    Fg = m.g
    Na superfície r = R
    g = G.M/R²
    P=m.g (N) SI
    m
    R
    M
  • Velocidade de escape
    Velocidade de escape é um conceito físico. Sua utilidade maior é dar uma noção da intensidade do campo gravitacional de um astro e de sua gravidade superficial. O escape, no caso, significa libertar-se de um campo gravitacional. Qual é a tradução ideal deste libertar-se? A atuação da força gravitacional se extende ao infinito. Logo, o libertar-se dela só pode se dar no infinito (não se esqueca que estamos lidando com a definição de um conceito físico). Mas é preciso ainda uma outra consideração: qual é a condição mínima deste libertar-se? Senão lidarmos com este mínimo, algum outro fator físico estará sendo erroneamente considerado. Evidentemente, se o corpo chegar no infinito, não precisará ir além. Logo, não é necessário que ele esteja dotado de nenhuma velocidade. Esta é a condição mínima.
    É por esta razão que a velocidade de escape é definida como a velocidade inicial que dote um dado corpo na superfície de um astro qualquer da energia capaz de fazê-lo chegar ao infinito com velocidade zero. Como é uma medida do campo gravitacional, que exerce uma força sobre o corpo, nenhuma outra força está envolvida neste conceito.
    Em termos um pouco mais técnicos, é a velocidade de escape aquela capaz de dotar um dado corpo da energia cinética de igual módulo ao da energia associada ao campo gravitacional. A formulação matemática deste conceito é obtida desta forma:
  • Energia Cinética (T):
    Ec = mv²/2 (J) SI
          
    Energia Gravitacional(P):
    Epg = - mgh
          
    Velocidade de Escape (ve):
                                      
    Na superfície:
    Ec = mve²/2
    Epg = - mgR
    No infinito (v = 0):
    Ec = 0
    Epg = - mgr = - GMm/r = 0
    Pelo princípio da conser-
    vação da Energia temos:
    mve²/2 – mgR = 0
    ve = √2Rg
    Terra:
    ve = √2.6,4.106.9,8
    ve ≈ 11,2.10³ m/s
    ve ≈ 11,2 km/s
  • Nota:
    Na prática, para se vencer um campo gravitacional e se atingir uma distância arbitrariamente grande - que é o significado prático de uma tal vitória, por exemplo, sair da superfície terrestre e chegar na Lua - basta que seja exercida permanentemente uma força sobre o corpo que seja superior àquela exercida pela atração gravitacional.
    Para que você mantenha um corpo a uma velocidade constante você terá que dotá-lo de uma aceleração que se contraponha exatamente àquela produzida pela atração gravitacional, desde que ele já esteja dotado de uma dada velocidade. Os foguetes que chegaram à Lua partiram da Terra a uma velocidade muito inferior à velocidade de escape da Terra. Neste caso, o motor é a origem da força a se contrapor a força gravitacional.
  • Velocidade de escape para alguns astros
  • Exemplos
    1) Considere a terra esférica e homogenia de raio R=6,4.106m e g=10N/Kg na superfície. Usando G=6,7.10-11 N.m²/Kg², calcule:
    a) a massa da terra;
    b) a intensidade do campo gravitacional criado pela terra num ponto P a uma altitude igual ao seu raio.
    a)g=G.M/r2
    M = g.d²/G = 10.(6,4.106)²/6,7.10-11 = 6.1024kg
    b) g=G.M/r²
    g= G.M/(2R)²
    g= 6,7.10-11.6.1024/(2.6,4.106)² = 2,5 N/Kg
    R
    R
  • 2 ) A massa da Terra é cerca de 100 vezes maior que a massa da Lua, a
    distância entre o centro dos dois corpos é aproximadamente 4. 108m.
    Determine em que ponto da reta que une os centros dos dois corpos a
    atração gravitacional é nula.
    g = G.M / r²
    m
    4.108m
    gL = gT
    G.MT /rT² = G.ML / rL²
    100.m / (4.108)² = m / x²
    100 / (4.108 -x)² = 1 / x²
    10 / (4.108 -x) = 1 / x
    11x =4.108
    x ≈ 4.107 m
    100.m
    x
    4.108 - x
    Portanto, a atração gravitacional será nula a
    40000 km da Lua
  • 3)Na Terra, a aceleração da gravidade é em média 9,8 m/s², e na Lua 1,6 m/s². Para um corpo de massa 5 kg, determine: A) o peso desse corpo na Terra. B) a massa e o peso desse corpo na Lua.
    P = m.g
    P =5.9,8
    P = 49 N
    P
    P
    b) m = 5kg
    P = m.g
    P = 5.1,6
    P = 8 N
  • 4) Na situação seguinte, despreze atritos e influências do ar e considere ideal o fio que liga o corpo A (de massa m) ao corpo B (de massa M), passando pelo furo C. Coloca-se o corpo A em movimento em torno do furo. Se sua velocidade for muito baixa, B descerá; se for muito alta, B subirá. Existe, portanto, uma velocidade de valor V para a qual B não descerá nem subirá. Nesse caso, A descreverá uma circunferência de raio r. sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine v.
    T = P (Fr = 0)
    Frcp = T
    m.v²/r = P
    m.v²/r = M.g
    v = √(M.r.g/m)
    T
    m
    r
    V
    T
    M
    P
  • 5) A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilômetros, determine sua aceleração centrípeta.
    v
    acp = v² / r
    acp = (10³)² / 4.108
    acp = 106 / 4.108
    acp = 0,25.10-2m/s²
    acp
    r
    6) Observe a animação. O carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?
    r: acp = v²/r
    2r: acp = v²/2r
  • Fim