GRUPO LINUX UNIVERSIDAD DISTRITAL
COMPUTACIÓN GRÁFICA, UNA
VISIÓN MATEMÁTICA DEL ARTE
POR:
David Toro Triana
bochica@gmail.com
OCG
“El conocimiento te hace libre”

Introducción
Sería injusto y hasta limitante dar una visión matemática
del arte, o a la inversa, una visión artística de la
matemática, tal es vez imposible.
Buscaremos entonces un paso que nos lleve desde el arte
a la matemática y otro que nos lleve desde la matemática
hacia el arte.
Esto es un sano ejercicio intelectual o incluso espiritual.
Coloquemos entonces nuestra mente en un estado creativo.
“El conocimiento te hace libre”

Agenda
●
UNA BREVE HISTORIA PARA COMENZAR : Un
universo que se piensa, es creativo y es lógico
●
DESDE EL ARTE HACIA LA MATEMÁTICA: La obra del
el señor M.C. Escher.
●
DESDE LA MATEMATICA AL ARTE: Los fractales, el
viaje psicodélico sin drogas
●
SECCIÓN COMPUTACIONAL: El placer de jugar con los
bits.
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
En una galaxia como muchas
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
En una de tantas esquinas de esa galaxia
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
Nuestra estrella mas cercana comienza a brillar
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
En un proceso similar al que la creo, nacen mundos, que
giran alrededor de ella, así como ella gira alrededor de su
galaxia
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
En uno de esos mundos la materia se organiza en
estructuras que son capaces de copiarse a si mismas
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
Estas estructuras son el comienzo para la aparición de una
cantidad enorme de organismos
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
En estos organismos aparecen muchos niveles de algo que
hoy reconocemos como inteligencia
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
En algunos de esos seres inteligentes reconocemos algo que
llamamos creatividad
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
También reconocemos algo que llamamos lógica
“El conocimiento te hace libre”

Una breve historia
Sin animo de ser excluyentes, asociemos la lógica a la
matemática y la creatividad al arte.
“El conocimiento te hace libre”

Desde el arte hacia la matemática
¿QUIEN ES M.C. ESCHER?
Maurits Cornelis Escher,
nacio en Leeuwarden,
Holanda en 1898. Muere en
Baarn en 1972.
Artista inclasificable, su
obra es poco convencional
en el arte.
“El conocimiento te hace libre”

Desde el arte hacia la matemática
A menudo me encuentro más
cerca de los matemáticos que de
mis colegas los artistas.
Todos mis trabajos son juegos.
Juegos serios.
“El conocimiento te hace libre”

Desde el arte hacia la matemática
ALGUNOS TEMAS RECURRENTES EN LA OBRA DE
ESCHER
●
El dibujo es un engaño
●
El estudio de la perspectiva
●
Mundos simultáneos, mundos
imposibles.
●
Cristales y otras construcciones
●
El infinito
“El conocimiento te hace libre”

EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Manos dibujando 1948
“El conocimiento te hace libre”

EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Reptiles
“El conocimiento te hace libre”

EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Encuentro 1944
“El conocimiento te hace libre”

EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Galería de grabados
1956
“El conocimiento te hace libre”

EL DIBUJO
ES UN ENGAÑO
Balcón
“El conocimiento te hace libre”

EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA relatividad 1953
“El conocimiento te hace libre”

Partición cúbica
del espacio 1952
EL ESTUDIO
DE LA
PERSPECTIVA
“El conocimiento te hace libre”

Profundidad
1955
EL ESTUDIO
DE LA
PERSPECTIVA
“El conocimiento te hace libre”

Arriba y abajo
EL ESTUDIO
DE LA
PERSPECTIVA
“El conocimiento te hace libre”

EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA
San Pedro Roma 1935
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
SIMULTÁNEOS
Naturaleza muerta
con espejo 1934
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
SIMULTÁNEOS
Naturaleza muerta
con calle 1937
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS SIMULTÁNEOS
Gota de rocío 1948
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS SIMULTÁNEOS
Ondulaciones en agua 1950
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
SIMULTÁNEOS
Tres mundos 1955
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
SIMULTÁNEOS
Mano con esfera
reflejante
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS IMPOSIBLES Cóncavo y convexo 1955
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
IMPOSIBLES
Belvedere 1958
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
IMPOSIBLES
Cascada 1958
“El conocimiento te hace libre”

MUNDOS
IMPOSIBLES
Escaleras arriba
escaleras abajo
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Planetoide
tetraédrico 1954
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Cinta de Moebio
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Cinta de
Moebio 1963
Hay un
salvapantallas con
este tema
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Partición regular
de la superficie,
traslación,
rotación y reflexión
Ángeles y diablos
1941
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Partición regular
de la superficie,
traslación,
rotación y reflexión
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Partición regular
de la superficie,
traslación,
rotación y reflexión
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Partición regular
de la superficie
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES
Metamorfosis
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES Metamorfosis
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES Metamorfosis
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES Metamorfosis
“El conocimiento te hace libre”

CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES Metamorfosis
“El conocimiento te hace libre”

EL INFINITO Evolución II 1959
“El conocimiento te hace libre”

EL INFINITO Limite circular III 1959
“El conocimiento te hace libre”

EL INFINITO Cielo e infierno
“El conocimiento te hace libre”

EL INFINITO
Remolino 1957
“El conocimiento te hace libre”

EL INFINITO
Mariposas
“El conocimiento te hace libre”

EL INFINITO
Serpientes 1969
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
¿QUE ES UN FRACTAL?
Se suele dar una definición
matemática oscura para el
común de los mortales, es
conveniente mejor comenzar
con algunas de las
características de un fractal.
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
AUTOSIMILITUD
Si al ver una de sus partes
reconocemos la estructura en
su totalidad
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
NATURALEZA IRREGULAR
Aunque es una característica
mas bien intuitiva, es muy
común encontrarla; la palabra
fractal viene de “fractus” o
“frangere” que se refiere a algo
muy quebrado.
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
UNA NUEVA
DIMENSIONALIDAD
Una curva con longitud
infinita, y no diferenciable pero
continua:
LA CURVA DE KOCH
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
UNA NUEVA
DIMENSIÓNALIDAD
Perímetro:
a) 1 x 3 = 3
b) (1/3) x 12 = 4
c) (1/9) x 48 = 5.333
d) hasta el infinito y mas
allá = curva de Koch.
[tamaño de linea] x (1/3)
[numero lineas nuevas] x 4
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
UNA NUEVA DIMENSIÓNALIDAD
longitud = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^1
área = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^2
Se podría decir que:
Tamaño = N x u^D con D= dimensión
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
UNA NUEVA DIMENSIÓNALIDAD
Si se toma una D menor a la correspondiente,
la figura tiene un tamaño infinito (área de
longitud infinita)
Si se toma un D mayor a la correspondiente la
figura tiene un tamaño nulo (linea con área
nula)
La curva de Koch se comporta bien con una
dimensión D=1.2618=(log 4)/(log 3)
(numero de partes similares / factor de escala)
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
DEFINICIÓN
“Un fractal es una figura cuya dimensión
topológica es menor que su dimensión fractal.“
No es conveniente simplemente decir que
tienen dimensión fraccionaria.
La dimensión fractal también se conoció como
dimensión Hausdorff/Besicovich.
“El conocimiento te hace libre”

NATURALEZA FRACTAL DE LAS COSTAS
Con una unidad de medida(H) menor se obtienen longitudes cada vez mayores
(Richardson 1961)
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
En un figura euclideana estas relaciones se cumplen:
perímetro² = K x (área) ­­­> cuadrado: p² = 16 x área
área³ = K x (Volumen)² ­­­> cubo: a³ = 216 x v²
En una estructura fractal , el volumen no esta elevado al
cuadrado, o el área a la 1.
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
NATURALEZA FRACTAL DEL
CEREBRO DE LOS MAMIFEROS
La relación entre el volumen del cerebro y
el área de la superficie que
lo encierra:
área³ = K x (Volumen)^d
con d entre 2.73 y 2.79.
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
NATURALEZA FRACTAL DE LA
ESTRUCTURA NASAL DE ALGUNOS
ANIMALES
La relación entre el área y el volumen
encerrado no es euclideana.
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
NATURALEZA FRACTAL DE ALGUNOS
FENÓMENOS ECONÓMICOS
El comportamiento en el cambio de precio
de las algunas mercancías muestra
una naturaleza fractal.
Otros fenómenos: lingüística,
comportamiento de circuitos,
....... las levaduras del guarapo :)
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
IRREGULARIDAD REGULAR
El grado de irregularidad de un
fractal es el mismo a medida que se
cambia de escala.
El grado de irregularidad de una
costa es el mismo a medida que se
cambia la escala.
El modelo fractal es conveniente en
muchos casos.
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
UNA GOTA DE TINTA
“El conocimiento te hace libre”

Desde la matemática al arte
CADENAS MONTAÑOSAS ­ TEXTURAS
“El conocimiento te hace libre”

Sección computacional
EL TRIANGULO DE SIERPINSKY
“El conocimiento te hace libre”

Sección computacional
EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Benoît Mandelbrot nació en 1924 en Varsovia, Polonia
“El conocimiento te hace libre”

Referencias
Los objetos fractales: forma azar y dimensión.
●
Mandelbrot, Benoit B.
La geometría fractal de la naturaleza. Mandelbrot,
●
Benoit B.
Caos, fractales y cosas raras. Braun, Eliecer.
●
El cerebro de broca: reflexiones sobre el
●
apasionante mundo de la ciencia. Sagan, Carl.
El espejo mágico de Maurits Cornelis Escher. Ernst,
●
Bruno.
“El conocimiento te hace libre”

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“El conocimiento te hace libre”