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  1. 1. Ricarda Guerrero ReyesPedagogia 4º “B”EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALESDefinición.Los Números Irracionales son aquellos que se pueden representar porexpansiones decimales infinitas no periódicas.Un número irracional no puede ser representado por una fracción donde m y nson enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Va a sertodo número real que no es racional.No existe una notación universal para indicarlos, la razón es que no constituyenuna estructura algebraica como los números ( enteros , racionales ,reales y complejos (C), mientras que los irracionales se denota con el símbolo .No existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamenteesto se indica de la siguiente manera:En si toda expresión en números decimales es una aproximación en númerosracionales al número irracional referido, por ejemplo: el numero racional1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del numero irracional dela raíz cuadrada de 2 el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.Por lo tanto el número de la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente igual a1,4142135 en 7 decimales o bien es igual 1,4142135… donde los tres puntosdecimales hacen referencia a los tres números que faltan y que jamásterminaríamos de escribir.Los números irracionales son identificados mediante símbolos especiales, sontres:1.- La longitud de una circunferencia y su diámetro.2.-3.-
  2. 2. Los números irracionales se clasifican en dos tipos: número algebraico y númerotrascendente. Número algebraico: son la solución de una ecuación algebraica y se representa por un numero finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo: el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica por lo que es un número irracional algebraico. Número trascendente: proviene de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas exponenciales, etc.) pueden ser números decimales no periódicos al azar o con un patrón no definido.Por ejemplo: … … EXPONENTES ENTEROSLeyes de los exponentes enteros para la multiplicación.Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite unfactor en un producto. Por ejemplo, la notación exponencial proporciona un modosencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.Primera ley de los exponentes.Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.Considera que m y n son enteros positivos:Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base,mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla delproducto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.Segunda ley de los exponentes.Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.Si m y n son enteros positivos:Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases ymultiplicamos los exponentes.Considera la expresión , que significa que está elevado al cubo. Estaexpresión puede simplificarse como se muestra enseguida:
  3. 3. Tercera ley de los exponentes.Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posibleescribir que una potencia de un producto es igual al producto de las potencias decada uno de los factores.Simbólicamente:Ejemplo:Un producto de números iguales por lo general se escribe en notaciónexponencial.Ejemplo: 5 5 5 se escribe como 53. En este caso se dice que 53 es un notación exponencial de 125. b) (-3)4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 8. En este caso se dice que (-3)4 es una notación exponencial de 81. c) (4)1 = 4. En este caso se dice que (4)1 es una notación exponencial de 4. NOTACIÓN EXPONENCIALNotación científica es un formato de cómo escribir los números grandes opequeños de tal forma que puedan manejarse con facilidad. En algunos casos lopodemos nombrar como notación exponencial. La notación exponencial esbasada en usar potencia teniendo como base el 10. Esta notación se utiliza parapoder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.Laecuación general es la siguiente:Donde:a = número mayor que la unidad y menor que 10n = es el exponente de 10.MultiplicaciónPara multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican loscoeficientes y se suman los exponentes. Ejemplo: (4×1012)× (2×105) =8×1017
  4. 4. DivisiónPara dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes yse restan los exponentes. Ejemplo: (48×10-10)/(12×101) = 4×10-11PotenciaciónSe eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.RadicaciónSe debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de laraíz. Ejemplos: MODELOS ALGEBRAICOS ELEMENTALES.Término algebraicoEs el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente ofactor numérico. Por ejemplo:Concepto de variableEs la expresión simbólica representativa de un elemento no especificadocomprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos ovariables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Sellaman así porque varían, y esa variación es observable y medible.Las variables pueden ser cuantitativas, cuando se expresan en números, comopor ejemplo la longitud o el peso. Las variables cualitativas expresan cualidades,por ejemplo, designar con letras las preferencias de los estudiantes por susmaterias de estudio.Concepto de expresión algebraicaEs toda constante o variable o bien toda combinación de constantes y potenciasque están ligadas por algunos de los símbolos +, -, × y ÷, en un numero finito.
  5. 5. Si es una constante o una variable y una variable entonces indica elproducto de o sea:Ejemplo de expresión algebraica:Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, como lo son: monomios,binomios, trinomios, polinomios, etc.Una expresión algebraica se puede definir por grados y este se va relacionar conel exponente, ejemplo: Grado 1 = 4x+y (exponente 1) Grado 2 = 4x+8y-3x2 (exponente 2) Grado 3 = 4x+5y+2x3 (exponente 3) Grado 4 = x+2y+4x4 (exponente 4)En las expresiones algebraicas se utilizan corchetes, paréntesis, llaves, paraindicar términos que están considerados como una sola cantidad, los cuales alrealizar la ecuación se van suprimiendo y así reducir términos semejantes,utilizando las leyes de los signos: +×+ = + +×- = - -×- = - - ×- = +Monomio.Es una expresión algebraica en la que se utilizan potencialidades naturales devariables literales que constan de un solo termino (si hubiera + o – seria binomio),un numero llamado coeficiente.Elementos de un monomio.Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.Dado el monomio, se distinguen los siguientes elementos: Coeficiente: (incluye al signo o número) Parte literal (exponente natural) Grado (la suma de los exponentes de las variables que lo componen)
  6. 6. El signo se indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) y si es el primertérmino positivo de un polinomio.  Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).  Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.  Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.Dada una variable, un número natural y un número real la expresión es unmonomio.Ejemplo de monomios: a) (3x2) b)(2x2 y4)Monomios semejantesSe llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.Suma y resta de monomiosSólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes, el resultado se obtienesumando o restando sus coeficientes, si los monomios no son semejantes, elresultado de la suma o resta es un polinomio.Ejemplo: 3x2 + (y2-4z)-3(2x-3y+4z)=Así pues primero se suprimen los paréntesis para reducir los términos semejantes.Quedando:3x2+y2-4z-2x+3y-4z= 3x2+y2-8z-2x+3yProducto de monomiosDos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes yde las partes literales, respectivamente.Cociente de dos monomiosEl cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal deldividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.
  7. 7. POLINOMIOSDel griego “poli” muchos y “voyoc” división y del latín binomius, es una expresiónconstituida por un conjunto finito de variables y constantes que utilizan únicamentelas operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación así como exponentesenteros positivos.Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. Elgrado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificandolos monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada términode un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego sesimplifican los monomios semejantes.Funciones polinomicas.Una función polinómica es una función matemática expresada mediante unpolinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómicaasociada a él dado substituyendo la variable x por un elemento del anilloUna manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla deHorner.En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codificamuchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomiocromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices delgrafo usando x colores.Polinomio de grado 2:f(x) = x2 - x - 2= (x+1) (x-2). Polinomio de grado 3:f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5) (x+1) (x-2).
  8. 8. Ejemplos de expresiones algebraicas:  Resta:Se desarrolla de la siguiente manera: 2x2-3xy+5y2 de 10x2-2xy-3y2= 10x2-2xy-3y2 -2x2+3xy-5y2 8x2+xy-8y2 Por lo tanto el resultado es 8x2+xy-8y2  Multiplicación: (-3x+9+x2)(3-x)=Se desarrolla de la siguiente manera:x2-3x+9 -x+3-x3+3x2-9x +3x2-9x+27-x3+6x2-18x+27Por lo tanto el resultado es: -x3+6x2-18x+27  División de dos monomios24x4 y2 z3 ÷ -3x3 y4 zSe desarrolla de la siguiente manera: 24x4 y2 z3 = -8x z2 -3x3 y4 z y2  División de polinomios:×2 + 2x4 -3x3 + x -2 x2 -3x + 2Se desarrolla de la siguiente manera:x2 -3x + 2 2x4 -3x3 +x2 +x -2 -2x4 +6x3 -4x 2 +3x3 -3x2 +x -3x3 +9x2 -6x +6x2 -5x -2 -6x2 +18x -12 13x -14 El resultado será: 13x -14
  9. 9. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos quepreparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, paraque veamos mejor el proceso.Restamos y resolvemos la ecuación:Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.2x+4(3)=16 2x + 12= 16 2x=16 -12 2x=4 x= X= 4

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