5 valor esperado

7,475
-1

Published on

Valor esperado de función de v.a.r.
Valor esperado de función de vector aleatorio
Valor esperado de vectores y matrices
Valor esperado condicional
Función característica

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
7,475
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
77
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

5 valor esperado

  1. 1. m co 2013 fra lb e. Análisis Estadístico y Probabilístico Francisco A. Sandoval
  2. 2. m co e. AGENDA fra lb CAP. 5: Valor Esperado
  3. 3. lb e. Valor esperado de una función de v.a.r. Valor esperado de una función de vec. a. Valor esperado de vectores y matrices. Valor esperado condicional Funciones características fra • • • • • co CAP. 5: Valor Esperado m Agenda
  4. 4. Objetivos fra lb e. co m • Caracterización del valor esperado para v.a.r., vec.a. y condicional. • Definir la función característica.
  5. 5. m fra lb e. co VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA REAL
  6. 6. Valor esperado de función de v.a.r. m Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces ∞ ∞ Demostración: ∞ 𝑌&𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 lb 𝐸 𝑦 &= −∞ e. −∞ 𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 co 𝑌&𝑝 𝑦 𝑌 𝑑𝑌 = fra −∞ ∞ = & ∞ ∞ 𝑌 −∞ 𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌
  7. 7. Valor esperado de función de v.a.r. 𝑝𝑥 𝑋 ∞ −∞ 𝑌&𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋 e. 𝐸 𝑦 = ∞ −∞ co m • Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable aleatoria discreta que puede asumir un único valor 𝑔(𝑥). 𝑑𝑌&𝑑𝑋 fra lb • Considerando la propiedad de la función impulso 𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥 ∞ = −∞ 𝑔 𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋
  8. 8. Valor esperado de función de v.a.r. fra lb e. co m • A partir de la definición 1, es posible llegar a la definición de cantidades específicas bastante importantes en la teoría de v.a. • Conceptos como media, varianza y valor medio cuadrático son fácilmente definidos a través de una elección adecuada de la función 𝑔.
  9. 9. Media m Definición 2: Media La media 𝑚 𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir: co ∞ −∞ 𝑋&𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 e. 𝑚 𝑥 = 𝐸,𝑥- = fra lb Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas: • media de una v.a. uniforme • medía de una v.a. gaussiana • media de una v.a. discreta
  10. 10. Varianza (𝜍 2 ) y desviación estándar (𝜍) 𝑥 fra lb e. co m Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas: • varianza de una v.a. uniforme • varianza de una v.a. gaussiana • varianza de una v.a. discreta
  11. 11. Ejemplo: Media de v.a. uniforme 𝑚𝑥 = 𝑎 1 𝑎+ 𝑏 𝑋 𝑑𝑋 = 𝑏− 𝑎 2 m 𝑏 fra lb e. co donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme. fdp
  12. 12. Ejemplo: Media de v.a. gaussiana 𝑚𝑥 = 𝑋 −∞ 1 2𝜋𝜍 𝑋−𝑚 2 − 𝑒 2𝜎2 𝑑𝑋 m ∞ ∞ −∞ 2𝜋𝜍 𝛼2 − 2 𝑒 2𝜎 ∞ 𝑑𝛼& + 𝛼 −∞ 1 2𝜋𝜍 𝛼2 − 2 𝑒 2𝜎 𝑑𝛼 e. 𝑚𝑥 = 𝑚 1 co efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene lb La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1. Por tanto: fra La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar (producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico en relación al origen. 𝑚𝑥 = 𝑚 donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana.
  13. 13. Ejemplo: Media de v.a. gaussiana m Aclaraciones: fra lb e. co • Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo ,𝑎, −𝑎- si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 • una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).
  14. 14. Varianza (𝜍 2 ) y desviación estándar (𝜍) 𝑥 co ∞ m Definición 3: Varianza La varianza 𝜍 2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚 𝑥 2 . Es decir: −∞ 𝑋 − 𝑚 𝑥 2 &𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 e. 𝜍 2 = 𝐸, 𝑥 − 𝑚 𝑥 2 - = 𝑥 fra lb • La raíz cuadrada 𝜍 𝑥 de la varianza de una v.a. 𝑥 se denomina desviación estándar de la v.a. • La varianza (o desviación estándar) es un parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en torno de su medía.
  15. 15. Valor cuadrático medio co ∞ m Definición 4: Valor cuadrático medio El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥 2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 . Es decir: −∞ 𝑥 2 &𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 e. 𝜍 2 = 𝐸,𝑥 2 - = 𝑥 lb • El concepto de valor cuadrático medio es importante y bastante utilizado en: fra – problemas de optimización y estimación de parámetros. – cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a través del críterio del mínimo error cuadrático)
  16. 16. Valor cuadrático medio fra lb e. co m Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas: • valor cuadrático medio de una v.a. uniforme • valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana
  17. 17. m fra lb e. co VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VECTOR ALEATORIO
  18. 18. Valor esperado de función de vector aleatorio e. co m • El concepto de valor esperado de una variable aleatoria 𝑦, es examinado en una situación mas general en que 𝑦 es función de varias variables aleatorias, o sea 𝑦 = 𝑔(𝒙) fra lb Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso General ) Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces 𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙 = ∞ ∞ ∞ … −∞ −∞ −∞ 𝑔 𝒙 𝑝 𝑥 𝑿 𝑑𝑿
  19. 19. Valor esperado de función de vector aleatorio co m Propiedad 1: El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea, 𝐸 𝑎 = 𝑎 Propiedad 2: El valor esperado es un operador lineal, o sea, 𝑛 e. 𝑛 𝐸 𝑎𝑖 𝑥𝑖 = lb 𝑖=1 𝑎 𝑖 𝐸,𝑥 𝑖 - 𝑖=1 donde *𝑥 𝑖 + son v.a. y *𝑎 𝑖 + son constantes reales. fra Propiedad 3: El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al valor esperado del módulo de la v.a., o sea, 𝐸,𝑥- ≤ 𝐸 , 𝑥 -
  20. 20. Valor esperado de función de vector aleatorio e. co m Propiedad 4: El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son tales que 𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀&𝜔 ∈ Ω entonces 𝐸 𝑥 ≥ 𝐸,𝑦- lb Propiedad 5: En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 , se tiene para cualquier conjunto de funciones *𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔 𝑛 +, 𝑛 fra 𝐸 𝑖=1 𝑛 𝑔 𝑖 (𝑥 𝑖 ) = 𝐸,𝑔 𝑖 (𝑥 𝑖 )𝑖=1
  21. 21. Valor esperado de función de vector aleatorio fra lb e. co m • A partir del resultado general del Teorema Fundamental del Valor Esperado, es posible llegar a la definición de algunas cantidades específicas ampliamente utilizadas en la teoría de v.a.
  22. 22. Correlación co m Definición 6: Correlación 𝑟 𝑥𝑦 La correlación 𝑟 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦, considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea ∞ −∞ −∞ 𝑋𝑌&𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋 𝑑𝑌 fra lb e. 𝑟 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = ∞
  23. 23. Covarianza = ∞ lb ∞ e. co m Definición 7: Covarianza 𝑘 𝑥𝑦 La covarianza 𝑘 𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦, considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 = (𝑥 − 𝑚 𝑥 )(𝑦 − 𝑚 𝑦 ) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚 𝑥 y 𝑚 𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si tiene en este caso, 𝑘 𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚 𝑥 )(𝑦 − 𝑚 𝑦 ) fra −∞ −∞ (𝑋 − 𝑚 𝑥 )(𝑌 − 𝑚 𝑥 )&𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋 𝑑𝑌
  24. 24. Correlación – covarianza co m La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la ecuación: 𝑘 𝑥𝑦 = 𝑟 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 lb 𝐸 𝑥− 𝑚𝑥 𝑦− 𝑚𝑦 𝐸 𝑥𝑦& − 𝑦𝑚 𝑥 − 𝑥𝑚 𝑦 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝐸 𝑦 − 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥 + 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 fra 𝑘 𝑥𝑦 && = = = = e. Demostración:
  25. 25. Correlación – covarianza fra lb e. co m • En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro del slide anterior, establece una relación entre la varianza y el valor medio cuadrático de una v.a. Se tiene, 𝜍 2 = 𝐸 𝑥 2 − 𝑚2 𝑥 𝑥
  26. 26. Covarianza fra lb e. co m • La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real que indica, de cierta forma, la relación estadística entre dos v.a. • Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘 𝑥𝑦 más fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦. • Para examinar cuantitativamente el relacionamiento estadístico entre dos variables, es más adecuado la utilización de una cantidad normalizada, puesto que permite caracterizar la relación estadística máxima entre dos v.a.
  27. 27. Coeficiente de Correlación e. co m Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌 𝑥𝑦 El coeficiente de correlación 𝜌 𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por 𝑘 𝑥𝑦 𝜌 𝑥𝑦 = 𝜍𝑥 𝜍𝑦 donde 𝜍 𝑥 y 𝜍 𝑦 representan respectivamente las desviaciones estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘 𝑥𝑦 la covarianza entre ellas. lb Se puede demostrar que fra −1 ≤ 𝜌 𝑥𝑦 ≤ 1 Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado para indicar la relación estadística entre dos variables que la covarianza.
  28. 28. fra lb e. co m Coeficiente de Correlación
  29. 29. v.a. descorrelacionadas lb e. co m Definición 9: v.a. descorrelacionadas Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando 𝜌 𝑥𝑦 = 0 o equivalentemente 𝑘 𝑥𝑦 = 0 Lo que es equivalente individualmente a 𝑟 𝑥𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 fra Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son descorrelacionadas, puesto que 𝑟 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 &𝐸 𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑚 𝑦 El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad.
  30. 30. v.a. ortogonales co m Definición 10: v.a. ortogonales Dos v.a. son ortogonales cuando 𝑟 𝑥𝑦 = 0& lb e. Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo menos una de ellas tiene media nula. fra Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático, covarianza y correlación, definidos hasta el momento, constituyen casos particulares de los conceptos más generales de momento conjunto y momento conjunto central.
  31. 31. Momento conjuntos 𝑘 𝑘 𝑘 e. co m Definición 11: Momentos Conjuntos Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s & 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 son definidos considerando 𝑘 𝑘 𝑘 𝑔 𝒙 = 𝑥1 1 𝑥2 2 … 𝑥 𝑛 𝑛 donde las potencias 𝑘1 , 𝑘2 . … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son entonces dados por ∞ lb 𝐸 𝑥1 1 𝑥2 2 … 𝑥 𝑛 𝑛 = ∞ fra −∞ −∞ ∞ … −∞ 𝑘 𝑘 𝑘 𝑋1 1 𝑋2 2 … 𝑋 𝑛 𝑛 &𝑝 𝒙 𝑿 𝑑𝑿 La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 se denomina orden del momento conjunto.
  32. 32. Momentos conjuntos fra lb e. co m Observe que: 3 2 • Las cantidades 𝐸,𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑛 -, 𝐸,𝑥1 𝑥2 -, 𝐸,𝑥3 constituyen todos los momentos conjuntos de tercer orden. • La media constituye momentos de primer orden. • el valor medio cuadrático y la correlación constituyen momentos de segundo orden.
  33. 33. Momentos conjuntos centrales 𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚 𝑥1 𝑥2 − 𝑚 𝑥2 𝑘2 … 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛 co 𝑘1 m Definición 12: Momentos conjuntos centrales Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 son definidos considerando 𝑘𝑛 𝑥1 − 𝑚 𝑥1 ∞ 𝑘1 ∞ 𝑥2 − 𝑚 𝑥2 ∞ fra 𝐸 lb e. donde las potencias 𝑘1 , 𝑘2 . … 𝑘 𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales son entonces dados por = − … −∞ −∞ 𝑘𝑛 𝑚𝑥𝑛 𝑝𝒙 −∞ 𝑿 𝑑𝑿 𝑘2 … 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛 𝑋1 − 𝑚 𝑥1 𝑘1 𝑘𝑛 𝑋2 − 𝑚 𝑥2 𝑘2 … 𝑋𝑛
  34. 34. Momentos conjuntos centrales fra lb e. co m Observe que • La varianza y la covarianza constituyen ambos momentos centrales de segundo orden.
  35. 35. m fra lb e. co VALOR ESPERADO DE VECTORES Y MATRICES
  36. 36. Valor esperado de vectores y matrices fra lb e. co m • El valor esperado de un vector 𝒚 es definido como u vector de la misma dimensión, cuyas componentes son los valores esperados de las componentes de 𝒚. • El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido como una matriz de la misma dimensión, cuyos elementos son los valores esperados de los elementos de 𝑨.
  37. 37. Vector media fra lb e. co m El vector media 𝒎 𝒙 de un vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1 &𝑥2 &… 𝑥 𝑛 𝑇 es definido por 𝒎 𝒙 = 𝐸,𝒙esto significa que 𝑚 𝑥1 𝐸 𝑥1 𝐸 𝑥2 = 𝑚 𝑥2 𝒎 𝒙 =& ⋮ ⋮ 𝑚𝑥𝑛 𝐸,𝑥 𝑛 o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el vector cuyas componentes son las medias de las componentes de 𝒙.
  38. 38. Matriz covarianza 𝒙− 𝒎𝒙 𝒙− 𝒎𝒙 e. 𝐾𝑥 = 𝐸 co m La matriz covarianza 𝐾 𝑥 de un vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1 &𝑥2 &… 𝑥 𝑛 𝑇 es definida por 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝑘 𝑥2 𝑥1 ⋮ 𝑘 𝑥 𝑛 𝑥1 𝑘 𝑥 𝑛 𝑥2 lb 𝜍 21 𝑥 fra 𝑲𝒙 = 𝜍 22 𝑥 ⋮ … 𝑇 𝑘 𝑥1 𝑥 𝑛 … 𝑘 𝑥2 𝑥 𝑛 ⋱&&&&& ⋮&&&& … &𝜍 2 𝑛 𝑥
  39. 39. Media y Covarianza de Vectores aleatorios co m Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz covarianza del vector 𝒙. En este caso considere 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃 e. 𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃 O sea, Por otro lado, se tiene o aún, 𝒚− 𝒎𝒚 𝒚− 𝒎𝒚 fra 𝑲𝒚 = 𝐸 lb 𝒎 𝒚 = 𝑨𝒎 𝒙 + 𝒃 𝑇 = 𝐸 𝑲𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙− 𝒎𝒙 finalmente, 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙 𝒙− 𝒎𝒙 𝑲 𝒚 = 𝑨𝑲 𝒙 𝑨 𝑇 𝑇 𝑨𝑇 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎 𝒙 𝑇 &
  40. 40. Matriz covarianza co m Propiedad 6: Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲 𝒙 , es posible hacer que sus componentes estén descorrelatadas dos a dos, a través de una transformación lineal. fra lb e. Demostración:
  41. 41. Ejemplo fra lb e. co m Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza 2 1 𝑲𝒙 = 1 2 Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos.
  42. 42. m co fra lb e. VALOR ESPERADO CONDICIONAL
  43. 43. Valor esperado condicional ∞ 𝑌&𝑝 𝑦|𝑀 𝑌 &𝑑𝑌& co 𝐸 𝑦 𝑀 = m Definición 11: Valor esperado condicional El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por −∞ e. Definición 12: Valor esperado condicional Para le caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por lb ∞ fra 𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 = −∞ 𝑔(𝑋)&𝑝 𝑥|𝑀 𝑋 &𝑑𝑋& Y en el caso de función de vector aleatorio ∞ 𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 = −∞ 𝑔(𝑿)&𝑝 𝒙|𝑀 𝑿 &𝑑𝑿&
  44. 44. m co fra lb e. FUNCIONES CARACTERÍSTICAS
  45. 45. Funciones Características de una variable aleatoria real co m Definición 13: Función Carácterística de v.a.r. La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como 𝑀 𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒 𝑗𝑣𝑥 o sea ∞ 𝑒 𝑗𝑣𝑋 𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 e. 𝑀𝑥 𝑣 = −∞ fra lb donde 𝑀 𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto de los números complejos.
  46. 46. fra lb e. co Calcular la función característica de: • una v.a. uniforme • una v.a. exponencial • una v.a. de Poisson • una v.a. gaussiana m Ejemplo: Cálculo de función característica
  47. 47. Funciones Características de una variable aleatoria real fra lb e. co m • En la determinación de funciones características de v.a., las manipulaciones algebraicas trabajosas pueden ser evitadas. • Para esto, basta observar que, de no ser por una sustitución de variables bastante simple, 𝑀 𝑥 𝑣 coincide con la Transformada de Fourier de 𝑝 𝑥 (𝑋).
  48. 48. Funciones Características de una variable aleatoria real = −∞ 𝑝 𝑥 𝑋 𝑒 −2𝜋𝑓𝑋 𝑑𝑋 e. ℱ 𝑝𝑥 𝑋 co ∞ m • La Transformada de Fourier de 𝑝 𝑥 (𝑋) es definida por lb se llega fácilmente a la relación fra 𝑀𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝𝑥 𝑋 𝑣 𝑓=− 2𝜋
  49. 49. Funciones Características de una variable aleatoria real m • Análogamente, conocida la función carácterística de una v.a. es posible obtener la fdp utiliando la transformada inversa de Fourier, dada por −1 𝑀 𝑥 𝑣 | 𝑣=−2𝜋𝑓 = fra 𝑝𝑥 𝑋 = ℱ lb se obtiene así −∞ 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑋 𝑑𝑓 ℱ 𝑝𝑥 𝑋 e. 𝑝𝑥 𝑋 = co ∞ 1 ∞ 2𝜋 −∞ 𝑀 𝑥 𝑣 𝑒 −𝑗𝑣𝑋 𝑑𝑣 donde ℱ −1 caracteriza la Transformada Inversa de Fourier.
  50. 50. Funciones Características de una variable aleatoria real Propiedad 7: co m 𝑀𝑥 0 = 1 Propiedad 8: lb Propiedad 9: Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces e. 𝑀 𝑥 (𝑣) ≤ 1 fra 𝑀 𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑗𝑣𝑏 𝑀 𝑥 𝑎𝑣
  51. 51. Funciones Características de una variable aleatoria real co m Propiedad 10: Si *𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + son v.a. estadísticamente independientes y 𝑛 𝑦 = 𝑖=1 𝑥 𝑖 entonces 𝑛 𝑀𝑦 𝑣 = 𝑀 𝑥 𝑖 (𝑣) lb Propiedad 11: e. 𝑖=1 fra 𝐸 𝑥 𝑘 = −𝑗 𝑘 𝑑𝑘 𝑀 𝑣 𝑑𝑣 𝑘 𝑥 𝑣=0
  52. 52. Ejemplo: Funciones Características fra lb e. co m Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el intervalo (−1,1- . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
  53. 53. Ejemplo: Funciones Características fra lb e. co m Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
  54. 54. Teorema del Límite Central 𝑛 𝑦𝑛 = m Definición 14: Teorema del Límite Central Sea 𝑦 𝑛 una v.a. definida por co 𝑥𝑖 𝑖=1 e. donde *𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + son v.a. estadísticamente independientes, identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜍 2 . fra lb Entonces, la v.a. 𝑧 𝑛 que caracteriza la suma normalizada 𝑦𝑛 − 𝑚 𝑦𝑛 𝑧𝑛 = 𝜍𝑦𝑛 y tal que 1 − 𝑍2 lim &𝑝 𝑧 𝑛 𝑍 = 𝑒 2 𝑛→∞ 2𝜋
  55. 55. m fra lb e. co FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE VECTOR ALEATORIO
  56. 56. Función Característica de Vector Aleatorio o sea 𝑀𝒙 𝒗 = ∞ ∞ 𝑗𝒗 𝑇 𝒙 &𝑝 𝑒 e. ∞ 𝑗𝒗 𝑇 𝒙 𝑒 co 𝑀𝑥 𝒗 = 𝐸 m Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏 es definida por … −∞ ∞ −∞ 𝑥 𝑿 𝑑𝑿 fra lb donde 𝑀 𝑥 es una función de las 𝑛 variables *𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣 𝑛 + que caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números complejos.
  57. 57. Función Característica de Vector Aleatorio Propiedad 12: co m 𝑀𝒙 𝟎 = 1 Propiedad 13: lb Propiedad 14: Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces e. 𝑀 𝒙 (𝒗) ≤ 1 fra 𝑀 𝒚 𝒗 = 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝒃 𝑀 𝒙 (𝑨 𝑇 𝒗) Demostración 𝑀 𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 como 𝒗 𝑇 𝑨 = 𝑨 𝑇 𝒗 𝑇 𝑇 𝒚 = 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙+𝒃 = 𝑒 𝑗𝒗𝒃 𝐸 𝑒 𝑗𝒗 𝑇 𝑨𝒙
  58. 58. Funciones Características de una variable aleatoria real co 𝑛 m Propiedad 15: Si las componentes *𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente independientes, entonces 𝑀𝒙 𝒗 = 𝑀 𝑥 𝑖 (𝑣 𝑖 ) e. 𝑖=1 … 𝑥 𝑘𝑛 𝑛 = −𝑗 fra 𝐸 𝑘 𝑘 𝑥1 1 &𝑥2 2 lb Propiedad 16: 𝑘1 +𝑘2 +⋯+𝑘 𝑛 𝑑 𝑘1 +𝑘2+⋯+𝑘 𝑛 𝑘 𝛿𝑣1 1 𝑘 𝛿𝑣2 2 … 𝑘 𝛿𝑣 𝑛 𝑛 𝑀𝒙 𝒗 𝒗=𝟎
  59. 59. Ejemplo: Función Característica de vectores aleatorios fra lb e. co m Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por 2 2 𝑀 𝒙 𝒗 = 𝑒 − 2𝑣1 +2𝑣2 +𝑣1 𝑣2 Se desea determinar el vector media 𝒎 𝒙 y la matriz covarianza 𝑲 𝒙 del aleatorio 𝒙.
  60. 60. co m fra lb e. REFERENCIAS
  61. 61. Referencias fra lb e. co m • ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC. • Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide] • Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide] • ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and Random Processes For Electrical Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall, University of Toronto, 2008.
  62. 62. m co e. lb fra Esta obra esta bajo licencia Creative Commons de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras Derivadas, Ecuador 3.0 www.creativecommons.org www.fralbe.com
  1. ¿Le ha llamado la atención una diapositiva en particular?

    Recortar diapositivas es una manera útil de recopilar información importante para consultarla más tarde.

×