Este documento presenta un taller sobre álgebra lineal que incluye la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, la demostración de propiedades de sistemas y matrices, y cálculos con matrices como suma, multiplicación y transpuesta. El taller contiene 16 problemas y ejercicios sobre estas temáticas.

1. Universidad del Valle - sede Buga
3er Taller de Algebra Lineal (Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices)
Prof. Bladimir Lenis Gil
1. Aplicar el m´todo de eliminaci´n de Gauss-Jordan para resolver el sistema dado. Si existen
e o
m´s de una soluci´n, de tanto la soluci´n general como una soluci´n part´
a o o o ıcular y determine el
n´mero de grados de libertad.
u
a)
x + 5y + 11z = −5
2x + 3y + 8z = 4
−x + 2y + 3z = −9
b)
x − 2y + 3z = 11
4x + y − z = 4
2x − y + 3z = 10
c)
x+y−z =7
4x − y + 5z = 4
6x + y + 3z = 20
d)
x + 3y + 5z + 10w = 2
−x + 2z − 4w = 4
2x + 4y + 8z + 16w = 0
2. Demostrar que el sistema x + y + 2z = 2, 2x − y + 3z = 2, 5x − y + az = 6, tiene soluci´n unica
o ´
si a = 8. hallar todas las soluciones cuando a = 8
3. Considere el sistema
2x + 3y − z = p, x − y + 3z = q, 3x + 7y − 5z = r (1)
Encuentre las condiciones sobre p, q y r para que el sistema sea inconsistente
4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas utilizando m´todos de eliminaci´n de Gauss o
e o
Gauss-Jordan.
a) En una gasolinera de USA trabaja el Sr. Foster despachando gasolina, la corriente tiene
un precio de $ 5,44 el litro, la premium $ 6,11 el litro, (junio 2011). Podr´ darle al Sr.
ıas
Foster una ecuaci´n lineal que le indique cuanto dinero debe entregar al finalizar el d´
o ıa.
b) Una compa˜ia minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el
n
1 % de niquel y 2 % de cobre, para la mina II el 2 % de niquel y el 5 % de cobre. ¿
Qu´ cantidad de mineral se deber´ extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de
e a
niquel y 9 toneladas de cobre ?
1

2. c) Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del
fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del B y 60 kg del C. Una
unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B y 50 kg del C. Una unidad del tipo
III requiere 50 kg de A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B
y 3200 kg del B. ¿ Cu´ntas unidades de los tres tipos de fertilizantes pueden producir si
a
se usa todo el material qu´ ımico disponible ?
d) Una mesa grande para una sala de conferencias debe tener la forma de un rect´ngulo con
a
dos semicirculos en los extremos (figura 1). Encuentre la longitud y el ancho de la parte
rectangular, suponiendo que el per´ımetro de la mesa es de 30 m. y que el ´rea de la parte
a
rectangular debe ser el doble de la suma de las ´reas de sus extremos.
a
Figura 1: Problema 4-d
e) Tres productos X, Y y Z, tiene los siguientes porcentajes de F e, Zn y Cu:
Fe Zn Cu
X 50 30 20
Y 40 30 30
Z 30 70 0
Tabla 1: Problema 4-e
¿ Cu´nto de cada producto debe combinarse para obtener un nuevo producto que contebga
a
44 % de F e, 38 % de Zn y 18 % de Cu ?.
5. Realice las operaciones indicadas con:
     
1 −1 2 0 2 1 0 0 2
A = 3 4 5 B = 3 0 5 C = 3 1 0
0 1 −1 7 −6 0 4 −2 2
a) A − 2B
b) 3A − C
c) A + B + C
2

3. d) 2A − B + 2C
e) C − A − B
f) 4C − 2B + 3A
6. Sean A y B dos matrices de m × n y α y β escalares cualesquiera. Demostrar que:
a) (α + β)A = αA + βA.
b) α(A + B) = αA + αB.
7. Si
1 3 8 7
A=
2 4 5 6
a) Cu´l es la diagonal principal de A?
a
b) Escriba AT
8. Si
 
2 0 −1 3
A= 3 1 4 6
−5 7 2 1
a) Cu´l es la diagonal principal de A?
a
b) Escriba AT .
9. demostrar que la transpuesta tiene las siguientes propiedades:
a) (A + B)T = AT + B T
b) (αA)T = αAT
c) (AT )T = A
d) (AB)T = B T AT
10. Si
   
1 2 1 2
1 −4 2 B = −1 3 C = −1 −1
A=
−1 4 2 5 −2 1 −3
Calcular
a) AB
b) AC
c) CA
d) A(2B − 3C)
3

4. 11. Sea
0 1
A=
0 2
Hallar todas las matrices B de 2 × 2 tales que
a) AB = 0
b) BA = 0
12. Calcular en cada caso AB − BA
a)    
1 2 2 4 1 1
A = 2 1 2 B = −4 2 0
1 2 3 1 2 1
b)    
2 0 0 3 1 −2
A = 2 1 1 B= 3 −2 4
1 2 1 −3 5 11
13. Si
2 −1 7 6
A= B=
−2 3 9 8
Hallar matrices C y D, 2 × 2, tales que AC = B y DA = B
a) Comprobar que las identidades algebraicas (A+B)2 = A2 +2AB +B 2 y (A+B)(A−B) =
A2 − B 2 no son ciertas para las matrices 2 × 2.
1 −1 1 0
A= B=
0 2 1 0
b) Modificar el segundo mienbro de estas identidades para obtener f´rmulas v´lidas para
o a
todas las matrices cuadradas A y B.
c) para qu´ matrices A y B son v´lidas las identidades establecidas en a)?
e a
14. Calcular la inversa (si existe) de cada una de las siguientes matrices.
a)  
1 6 2
A = −2 3 5
7 12 −4
b)  
1 1 1 1
1 2 −1 2
A= 
1 −1 2 1
1 3 3 2
4

5. c)  
2 3 4
A= 2 1 1
−1 1 2
15. La traza de una matriz cuadrada A de orden n se define como la suma de los elementos de la
diagonal principal. Si T r(A) denota la traza de A, tenemos que
n
T r(A) = akk (2)
k=1
Verifique que la traza de A tienen las siguientes propiedades
a) T r(A + B) + T r(B)
b) T r(rA) = rT r(A)
c) T r(AB) = T r(BA)
16. Sean A, B y C matrices que se pueden multiplicar. Demostrar que
a) A(B + C) = AB + AC
b) (rA)B = A(rB) = r(AB)
5