Tall
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Tall

on

  • 706 views

 

Statistics

Views

Total Views
706
Views on SlideShare
639
Embed Views
67

Actions

Likes
1
Downloads
1
Comments
0

1 Embed 67

https://www.itslearning.com 67

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Tall Tall Document Transcript

  • Matematikk 1T Økt 1: Tall Sonans19.09.2012Bjørn-Terje Smestad
  • Matematikkens opprinnelseDet er vanskelig å tidfeste startskuddet for menneskenes bruk av matematikk.For hva er egentlig matematikk? Er det for eksempel matematikk når vi teller ethelt antall av noe? I så fall kan også en rekke dyr drive med matematikk. Det eri alle fall sikkert at menneskene har utrykt seg grafisk svært tidlig. Det er troligslik at de første formene for «tall» ble utrykk via tegninger. Skulle du fortelleom fire hester, ja da risset du fire hester inn i steintavlen, beinet ellertrestokken.Den første sikre kilden til det som må regnes som matematikk kommer fra «theBorder Cave» som finnes i Lebombofjellene i grenselandet mellom Sør-Afrikaog Swaziland. Funnet var et lite bein fra en bavian med tydelige hakk. Beinet erblitt datert til omkring 35 000 år gammelt. Dette beinet er trolig en form forkalender.Det nest eldste funnet av matematisk karakter er Ishango-beinet (25 000 årgammelt) fra det sentrale Afrika. Det inneholder muligens spor av avansertmatematikk. Summen av strekene på to øverste radene blir 60. Som man tolkersom et avansert tallsystem. Det som er mest slående er likevel at de to øverstlinjene nesten bare består av primtall som kan tolkes til at det ble drevet medavansert tallteori.
  • Opp gjennom historien finner vi en rekke mer konkrete funn som bekrefterbruk og utvikling av matematikk. De gamle egypterne hadde både tall-hieroglyfer og avanserte måter å regne på, det samme gjelder babylonerne,kinesere og indere.Egypterne er spesielt kjent for sin kjennskap til praktisk geometri gjennomlandmåling. Egypterne kunne til eksempel beregne areal av sirkelflater noe sominnebærer kjennskap til tallet . I senere tid har det imidlertid kommet frem atbabylonerne hadde bedre kontroll på både regning og geometri. Du kan les merom dette og andre funn i boken «Da matematikken ble til» av Audun Holme.May I have a large container of coffee?Setningen over er en huskeregel for de første 8 desimalene i tallet . Vi får deførste åtte sifrene ved å telle bokstavene i hvert ord. Vi får altså 3 1 4 1 5 9 2 6.Det neste sifferet er 5 slik at riktig tilnærming til tallet med åtte desimaler er . er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Tallet er irrasjonalt,det vil si det kan ikke skrives som en brøk eller som et desimaltall som har etendelig antall desimaler. Desimalene fortsetter i det uendelige og uten et
  • bestemt gjentagende mønster. Tallet er derfor en god indikator på hvorflinke en sivilisasjon er i matematikk og da spesielt geometri.De første menneskene og de første sivilisasjonene hadde likevel en heltpraktisk tilnærming til matematikk. Den første som er kjent for å gimatematikken den oppbygningen vi kjenner i dag er Euklid (ca. 300 før vanligtidsregning). Euklid systematiserte og samlet all kunnskap om matematikk itretten bøker, Euklids Elementer. Euklid satte opp aksiomer, ellergrunnleggende setninger som han bygde matematikken på. Det besteeksemplet på dette er oppbygningen av geometrien. Euklid kunne forklare alt vikjenner (og mest sannsynlig mye du ennå ikke vet) om geometri ut i fra 5forutsetninger. De fem forutsetningene var (omskrevet): 1. Det finnes bare en unik linje gjennom to punkter 2. Dersom du har to linjestykker av ulik lengde kan du plassere et punkt på det lengste linjestykket slik at avstanden fra punktet til den ene enden på linjestykket er like langt som det korteste linjestykket. 3. Du kan lage en sirkel med sentrum i et bestemt punkt og en gitt radius. 4. Alle rette vinkler ( -vinkler) er like store. 5. Dersom du har en linje og et punkt som ikke ligger på denne linjen, kan du finne nøyaktig en rett linje gjennom punktet som er parallell med den første linjen.Dersom du ser nøye på hver av setningene ser du forhåpentlig at de beskrivernokså innlysende ting som få er uenig i. Det vakre med Euklids postulater er athan på grunnlag av disse og bare disse kunne bevise de flotteste og vakrestegeometriske ting. Pythagoras læresetning ble for eksempel bevist svært tidlig.Og her er vi ved kjernen av hva matematikk er: Matematikk er enmenneskeskapt konstruksjon bygget på noen få meneskapte grunntanker (somalle må være enige i) og dermed bygget som en omvendt pyramide ved hjelp av
  • logikk. Det er derfor vi kan si at matematikken er perfekt. Alt i matematikkenkan føres tilbake til noen få grunntanker. Eksemplet til fra Euklids Elementerdreier seg bare om geometri, men det samme kan gjøres for alle grener avmatematikken. En liten ting mot slutten, med liten skrift, det viste seg at Euklid hadde gjort en feil i densiste forutsetningen, den har blitt rettet ved å legge til noen flere forutsetninger slik at vi kan byggegeometrien. Men poenget med noen grunntanker består!Når dette er sagt er det viktig å poengtere at vi ikke i dette faget skal byggematematikken fra starten, det vil ta alt for lang tid, men se direkte på noendeler av den store verden av matematikk. Det er det som er så fint. Når noenandre har bevist noe kan vi andre bruke dette videre i vårt arbeid.Matematikken er med andre ord et samarbeid oss mennesker i mellom somhar pågått i svært lang tid.TallNår en matematiker snakker om tallinjen snakker hun eller han mest sannsynligom "den reelle tallinjen" eller .Den består av alle mulige (reelle) tall. Det vil si at den for det første består avalle de tallene vi kan skrive med et bestemt antall siffer eller desimaler.Eksempler på dette er:Dessuten (og kanskje mer interessant) inneholder den alle tallene som vi ikkekan skrive uansett hvor mange siffer eller desimaler vi bruker. Eksempel pådette er: √
  • Disse tallene kan vi ikke skrive nøyaktig uansett hvor mange desimaler vibruker. For de fire eksemplene over betyr ... at rekken med desimaler fortsetteri det uendelige. I de to øverste av disse fire eksemplene følger fortsettelsen avdesimaler et bestemt mønster, men i de to nederste kan man faktisk ikke finneet mønster i det hele tatt. Likevel hører de alle sammen med på den reelletallinjen.Den reelle tallinjenDen reelle tallinjen kan visualiseres som punkter på en rett linje.Denne linjen er uendelig lang og inneholder uendelig mange tall. Størrelsen påtallet ser vi ut i fra hvor høyt opp på tallinjen det befinner deg. Ut i fra figurenover kan vi se at de negative tallene er til venstre for og at de positive talleneer til høyre for . Altså er negative tall mindre enn , mens positive tall erstørre en . Matematisk skriver vi dette slik:  Dersom vi mener at et tall x er positivt skriver vi .  Dersom vi mener et tall y er negativt skriver vi .Ut ifra tallinjen ser vi også at er et tall som er større enn √ , men mindre enn4, siden er plassert mellom disse. Eller skrevet med matematiske tegn: √Som vi har sett finnes det ulike tall: noen kan skrives med siffer uten desimalerslik som:Dette er «telle-tallene» som vi bruker når vi teller et antall av epler, personereller andre ting det finnes hele antall av. I matematikken kaller vi disse tallenede naturlige tallene og betegner de med .
  • Vi kan tenke oss at dette er de første tallene som primitive mennesker forholdtseg til når de hadde behov for å si noe om antallet dyr de hadde jaktet ellerhvor mange personer det var i en gruppe.Når de samme primitive menneskene begynte å samarbeide kunne de foreksempel ha bruk for å holde et regnskap med hvor mange epler den enefamilien skyldte den andre familien, og skyldte de i det hele tatt den andrefamilien noe? De fikk med andre ord bruk for tallet og negative tall. Dennetallmengden kaller vi de hele tallene og betegnes med .Dette med negative tall og tallet 0 ble faktisk ikke «oppfunnet» før omkring1200-tallet, og matematikere kranglet om eksistensen til langt inn i 1800-tallet.Begge disse tallmengdene ( og ) inneholder uendelig mange tall. Likevel erdet tydelig at alle de naturlige tallene er inneholdt i heltallene og likevelmangler vi uendelig mange tall.Den neste tallmengden er de tallene vi kan skrive som brøker. Altså de tallenevi får behov for når vi har bruk for deler av hele antall. Skyldte for eksempelfamilien bare et halvt eple? Vi kaller disse tallene de rasjonale tallene ogbetegner de med .Denne tallmengden inneholder virkelig mange tall. For det første inneholderden alle de hele tallene og dermed også alle de naturlige tallene ettersom dekan skrives som brøk med nevner 1. For det andre inneholder den alledesimaltall som vi kan skrive med et endelig antall desimaler slik somsiden det kan skrives som . Men den inneholder også alle desimaltallhvor vi kan finne et mønster i desimalene, slik som ̅ og ̅̅. ̅̅Her betyr streken over -tallet og streken over at desimalene fortsetter idette mønsteret.Det finnes likevel noen tall som ikke er med i denne mengden. Dette er tallenehvor det ikke finnes noe mønster i desimalene. Disse tallene kaller vi for de
  • irrasjonale tallene. Denne mengden inneholder altså alle tallene som ikke kanskrives som brøk. Eksempler på slike tall er: √ √Når vi tar med alle disse tallene i tillegg til mengdene over har vi alle tallene påden reelle tallinjen. Den reelle tallmengden betegner vi med .Så nå har vi vel fått med alle tallene? Svaret er nei. Det finnes også noen tallsom ikke får plass på den reelle tallinjen. Dette er det vi kaller imaginære ellerkomplekse tall og er til eksempel tallet √ . Altså det tallet som gangetmed seg selv blir -1. Imaginære tall skal vi (heldigvis eller desverre) ikke ta foross i matematikk 1T.De fire regnearteneDe fire regneartene eller regneoperasjonene er; addisjon, subtraksjon,multiplikasjon og divisjon.Å addere er det samme som å legge sammen: pluss (+)Å subtrahere er det samme som å trekke fra: minus (-)Å multiplisere er det samme som å gangeÅ dividere er det samme som å dele.Vi kan tenke på regneoperasjoner som metoder for å bevege oss på den reelletallinjen.AddisjonVi kan si at addisjon er den fundamentale regneoperasjonene. Med dettemener vi at alle de andre regneoperasjonene kan forklares ut i fra addisjon ellerat det finnes fundamentale sammenhenger mellom de fire regneartene pånaturlige tall.
  • Addisjonstegnet er +. Vi skriver for eksempel:51 og 27 er ledd i regnestykket. Svaret vi får ved addisjon, her 88, kallessummen av 51 og 27. Bevegelsen på den reelle tallinjen starter på 51 og med +27 mener vi at vi skal bevege oss 27 enheter mot høyre på tallinjen.SubtraksjonSubtraksjon er det motsatte addisjon. Når vi adderte 51 og 27 fikk vi 78, hvis viså subtraherer 27 fra summen 78 kommer vi tilbake til 51.Dette er et eksempel på subtraksjon. 78 og 27 heter ledd mens svaret 51 kallesdifferansen mellom 88 og 37.Når vi trekker fra beveger vi oss mot venstre på tallinjen ettersom subtraksjoner det motsatte av addisjon. Når vi skriver 78 - 27 starter vi altså i 78 ogbeveger oss 27 enheter mot venstre. Vi ender opp på 51.Vi kan tenke på en annen måte også. Dersom vi trekker 51 fra 78 får vi 27. Altså
  • 27 er altså differansen mellom 78 og 51. Dette kan vi se på figuren over ved atavstanden mellom 78 og 51 er 27 enheter.MultiplikasjonMultiplikasjon er gjentatt addisjon. Når vi skriver 31 ∙ 5 mener vi at vi skal leggesammen 31 fem ganger (eller 5 trettien ganger). Altså kan vi skrive:Bevegelsen på tallinjen blir dermed 5 hopp på 31 enheter. Vi starter på 0 ogender opp på 155.DivisjonDivisjon er det motsatte av multiplikasjon. Når vi multipliserte 31 med 5 fikk vi155, hvis vi dividerer 155 med 5 vil vi komme tilbake til 31. Altså:Divisjon kan skrives både ved hjelp av "dele"-tegnet :, men vi bruker like gjernebrøkstrek. Brøkstrek og deletegnet er med andre ord ekvivalent. Vi skriver altsålike gjerne:
  • I delestykket kalles 155 dividend, 5 er divisor og svaret 31 er kvotient ellerforhold.En annen måte å tenke på divisjon er å si at det er gjentatt subtraksjon.155:5=31 betyr at dersom vi subtraherer 31 fra 155 fem ganger står vi igjenmed null. Altså:På tallinjen svarer divisjon til å dele opp dividenden 155 i 5 like deler. Vi ser frafigurene om multiplikasjon at dette gir 5 deler med lengde 31.De fire regneartenePå bakgrunn av det vi har sett på nå kan vi lage dette skjemaet:ADDISJON gjentatt MULTIPLIKASJONmotsatt motsattSUBTRAKSJON gjentatt DIVISJONNår vi møter sammensatte oppgaver og oppstillinger hvor flere av regnearteneopptrer, trenger vi å vite i hva slags rekkefølge vi skal utføre operasjonene.Mange ganger brukes parenteser når vi skal håndtere større uttrykk medmange tall. Hensikten med parentesene er nettopp å unngå misforståelser islike sammensatte beregninger. Men da må det være klart hvordanparentesene påvirker utregningene, og det kommer vi tilbake til senere.
  • RegnerekkefølgenPerfekt matematikkMatematikken er perfekt! Det ble begrunnet med at matematikken er byggetopp på noen "grunntanker" eller aksiomer som alle må rette seg etter. Deretterer all matematikk bevist ut i fra disse grunntankene. Det er derformatematikken er så brutal i forhold til å ha rett eller galt.Et aksiom kan for eksempel være at:"Dersom a og b er to tall så vil vi få samme svar uansett om vi legger sammen amed b eller b med a."Altså:Vi må sette opp mange slike aksiomer for å danne alt det vi kjenner sommatematikk, vi så på flere eksempler tidligere, men et kjennetegn er at defleste er like selvfølgelige som det over. Noen flere eksempel på aksiomer er:Disse aksiomene må vi godta for å kunne snakke sammen om matematikk. Deer ikke mulig å bevise, men når vi godtar grunnlaget kan vi bruke dissebyggeklossene til å bygge opp alt det vi kaller matematikk. I utgangspunktetkunne vi med andre ord like gjerne brukt andre tegn/tall eller lagt et annetgrunnlag for matematikken en det vi har endt opp med. Matematikken haddeda sett annerledes men poenget er at vi hadde kommet frem til mange av desammen tingene. Men før denne utviklingen kan starte må vi være enige i
  • "språket" vi bruker. Akkurat som alle språk har grammatikk må vi også imatematikken ha en bestemt måte å lese en linje med informasjon (en forskjeller at språk ofte har unntak, mens matematikken ikke har noen unntak: den erperfekt!). En av de viktigste "grammatikkreglene" vi har i matematikk erregnerekkefølgen.RegnerekkefølgenFor å se på regnerekkefølgen la oss ta et eksempel. Hva betyr det egentlig nårdet står?Hvilken regneoperasjon skal jeg utføre først? Regnerekkefølgen gir meg svaret: 1. Parenteser 2. Potenser 3. Gange og dele (multiplikasjon og divisjon) 4. Legge sammen og trekke fra (addisjon og subtraksjon)Altså må vi alltid starte med å regne ut det som eventuelt er inne i parentesene(inne i hver av parenteser bruker vi igjen regnerekkefølgen), deretter tar vieventuelle potenser; så kan jeg ta meg av multiplikasjon og divisjon, og til sistlegger jeg sammen og trekker fra. Riktig utregning av eksempelet over blirderfor:Dette virker forhåpentligvis ganske kjent. Det er en grunnleggende regel vi harlært fra barneskolen, men likevel er det fort å gjøre feil.
  • FaktoriseringFaktorisering betyr å skrive ett tall eller et utrykk som ett produkt, altså etgangestykke. Et produkt består av to eller flere faktorer,Eksempler:Årsaken til at vi ønsker å skrive uttrykk på denne måten er at det blir lettere åforkorte uttrykket. Vi kan også bruke dette til å finne minste felles multiplum.Dersom vi ønsker å faktorisere tallet 12 kan vi skrive det som . Vi haraltså skrevet 12 som et produkt av faktorene 4 og 3.PrimtallsfaktoriseringDersom vi primtallsfaktoriserer skriver vi et tall som et produkt av primtall. Etprimtall er et tall som ikke er delelig på annet enn 1 og seg selv. Altså dersomdu deler ett primtall på ett annet tall vil ikke svaret bli ett heltall.Dersom vi skal primtallsfaktorisere tallet 12 får vi:Her er tallet 12 skrevet som et produkt av primtallsfaktorene 2 og 3.Framgangsmåten ved primtallsfaktorisering er og hele tiden dele på det minsteprimtallet som tallet er delelig på. Altså dersom vi starter med tallet 30 så erdet delelig på 2, som er det minste primtallet. Vi står da igjen med 15. Detminste primtallet som 15 er delelig på er 3. Vi står da igjen med 5 som i seg selver et primtall.For å gjøre dette oversiktlig kan vi sette det opp på følgende måte:
  • Vi tegner en vertikal strek og skriver tallet vi skal faktorisere øverst på venstreside. På høyre side skriver vi det minste primtallet som tallet er delelig med.Svaret på denne regneoperasjonen skriver vi på venstre side under detopprinnelige tallet. Slik fortsetter vi til vi står igjen med 1 på venstre side.Dersom vi nå multipliserer alle primtallene på høyre side skal svaret bli detopprinnelige tallet. Altså kan tallet skrives som produktet av primtallsfaktorenepå høyre side.Eksempel:Primtallsfaktorisering av tallet 30.Minste felles multiplumMultiplum av tallet a er det tallet vi får når et tall a blir multiplisert med etheltall.Eksempel:Vi ser at de tre minste multiplumene til tallet 3 er: 3, 6 og 9Minste felles multiplum (lcm - least common multiple) til a og b er det minstemultiplumet som både a og b har felles. Det vil si at lcm(a, b) er det minstetallet som er delelig på både a og b.
  • Eksempel:Hva er lcm til 4 og 5?Multiplum av 4:4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60 etc.Multiplum av 5:5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60....Felles multiplum av 4 og 5 er de tallene som forekommer i begge listene:20, 40, 60...Vi ser at minste felles multiplum av 4 og 5 er 20, altså:lcm (4,5) = 20Det betyr at det minste tallet som er delelig på både 4 og 5 er tallet 20.Dersom lcm(a,b)=c, så vil tallet c inneholde alle primtallsfaktorene i både a ogb. Vi kan derfor bruke primtallsfaktorisering for å finne lcm.Vi starter med å primtallsfaktorisere tallen som vi skal finne minste fellesmultiplum til. Så er regelen at "fleste ganger vinner". Vi starter med den minsteprimtallsfaktoren og tar med den så mange ganger som det opptrer der detopptrer flest ganger. Deretter går vi videre til neste minste primtallsfaktor osv.Eksempel:Finn lcm(16,18,20).
  • Brøk og brøkregningRegneoperasjonen dele eller divisjon kan utrykkes både med ":"-tegnet, "/"-tegnet eller som en brøk. I 1T skal vi for det meste benytte brøk. Ved hjelp avbrøk kan vi utrykke alle de rasjonale tallene. Vi skal se på regneoperasjonermed brøk.Multiplikasjon med brøkVi starter med multiplikasjon med brøk siden dette er den enklesteregneoperasjonen når det gjelder brøk, og la oss hoppe rett til poenget:"Når vi ganger to brøker med hverandre ganger vi teller med teller og nevnermed nevner."La oss se på et eksempel
  • Hva om vi skal multiplisere et heltall med en brøk? Husk at alle de hele tallenekan skrives som en brøk med 1 i nevneren og heltallet i telleren. Altså;Som du sikkert ser i eksempelet kan vi lage oss en egen regel for multiplikasjonmed et heltall og en brøk:"Når vi multipliserer et heltall med en brøk ganger vi heltallet med telleren ogbeholder nevneren."Vis er at vi får samme svar dersom vi bruker denne fremgangsmåten.Ofte når vi multipliserer to brøker med hverandre kan vi forkorte brøken vikommer frem til. Da kan vi bruke primtallsfaktorisering og stryke de faktorenesom opptrer både i teller og nevnerDivisjonLa oss se på divisjon, igjen hopper vi rett til regneregelen:"Når vi skal dele en brøk (dividend) på en annen brøk (divisor) snur vi denbakerste brøken (divisoren) opp ned og bytter dele-tegnet med gangetegn"Et eksempel:Her er dividenden og divisoren. Altså blir riktig utregning slik:
  • Som du ser starter vi med å snu den bakerste brøken opp-ned og bytterdeletegnet til gangetegn. Da har vi gjort om delestykket til et gangestykke ogkan fortsette slik vi lærte over med å gange teller med teller og nevner mednevner. Hvorfor det blir riktig å snu den bakerste brøken vil vi komme tilbaketil.Dersom vi skal dele et heltall på en brøk eller motsatt (dele en brøk på etheltall) går vi frem på samme måte som forklart over. Heltallet kan skrives somen brøk med heltallet i teller og 1 i nevner. Da har vi fått to brøker og kan delepå "vanlig" måte.Legge sammen og trekke fra brøker med samme nevnerVi startet brøk-leksjonen med å forklare multiplikasjon og divisjon. Dette erfordi disse regnereglene er rett frem uansett hvilke brøker vi har. Addisjon ogsubtraksjon (+ og -) kan derimot vær litt mer kronglete. Vi skal derfor først sepå addisjon og subtraksjon av brøker når vi har samme nevner i alle brøkene.Vi kan se for oss brøker som kakestykker eller sektordiagram ved at f.eksbrøkenvisualiseres ved:
  • Altså en kake som er delt i 8 og hvor vi skal ha 5 av de åtte bitene, eller som etsektordiagram hvor fem åttendeler av diagrammet er fargelagt.På samme måte blir brøken visularisert ved:Dersom vi nå legger disse brøkene sammen får vi:Altså:Vi kan dermed lage oss følgende regneregel:"Dersom vi skal legge sammen eller trekke fra brøker med samme nevnerlegger vi sammen eller trekker fra i telleren og beholder nevneren som dener"Men hva med brøker hvor vi ikke har samme nevner...
  • Brøker med ulik nevnerBrøker med ulike nevnere kan vi ikke legge sammen og trekke fra på sammemåte som i avsnittet før. Løsningen på problemet ligger i å gjøre omregnestykket til et regnestykke med like nevnere.Brøken kan visualiseres med figuren:Men dersom vi deler alle stykkene i denne kaken i to ser vi at vi får:altså .Det vi har gjort er å utvide brøken med 2, dvs. vi har ganget teller med 2 ognevner med 2.
  • Som vi ser er de to brøkene helt lik hverandre. De representerer begge detsamme punktet på den reelle tallinjen.På denne måten kan vi legge sammen og trekke fra brøker med ulik nevner vedog først sørge for at de får felles nevner. Vi ser på et eksempel: