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Análisis de regresión simple.

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Breve descripción de los conceptos básicos del análisis de regresión y de correlación lineal simple.

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  • 1. Análisis de Regresión yCorrelación Lineal Simple.Medidas de asociación entre variables cuantitativas Guillermo Bianchi Héctor Quintero
  • 2. Coeficientes de correlación. Los coeficientes de correlación miden la relación lineal entre variables cuantitativas.
  • 3. Coeficientes de correlación. Método Paramétrico: Coeficiente de Paramétrico correlación producto momento de Pearson (ρ). Método No Paramétrico, Coeficiente de Paramétrico correlación de Spearman (ρs).
  • 4. Coeficiente de correlaciónproducto momento dePearson El coeficiente de correlación producto momento de Pearson, ρ , mide el grado de asociación lineal que existe entre un par de variables X, Y cuya distribución conjunta es normal bivariada. bivariada
  • 5. Coeficiente de correlación producto momento de Pearson Se calcula a partir de la siguiente ecuación: (x y ) − ∑ ( x )∑ ( y ) ∑ i i i i r= n ( ∑ ( xi ) ) 2 ∑x 2 i − n
  • 6. Coeficiente de correlación ρ ∈ [-1, 1]6 r = -0.9942 1 r = 0.02 0,750 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,5 0,25 6 0 r = 0.99 0 0,25 0,5 0,75 1 4 2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
  • 7. Prueba de hipótesis sobre ρ Problema: determinar si ρ es diferente de cero. Sistema de hipótesis: H0: ρ = 0. H1: ρ ≠ 0. Nivel de confianza 95% α=0,05.
  • 8. Prueba de hipótesis sobre ρ Regla de decisión: Si p_valor < α se rechaza H0. Si p_valor ≥ α no se rechaza H0.
  • 9. Coeficiente de correlación No paramétrico de Spearman ρs El coeficiente de correlación No Paramétrico de Spearman, ρs , mide el grado de asociación lineal que existe entre un par de variables X, Y cuantitativas, independientemente del tipo de distribución conjunta que presenten.
  • 10. Coeficiente de correlación No paramétrico de Spearman ρs Se calcula a partir de los rangos o posiciones relativas de los valores, mediante la ecuación: 6 ∑d i 2 ρs = 1− i n(n − 1)
  • 11. Coeficiente de correlación No paramétrico de Spearman ρs Su valor se encuentra entre -1, correlación negativa perfecta y +1, correlación positiva perfecta. Valores cercanos a cero indican independencia entre variables.
  • 12. Análisis de Regresión. Es una técnica estadística con la que se pretende modelar la relación lineal que existe entre dos o más variables con distribución normal.
  • 13. Análisis de Regresión. El regresión lineal simple permitirá estimar el mejor modelo lineal que permite predecir el comportamiento de una variable dependiente, Y , a partir de una variable independiente, X .
  • 14. Modelo de regresión lineal simple Modelo probabilístico lineal Y = β 0 + β1 x + e, e ~ N (0, σ ) 2donde: e es el error aleatorio β0 es el la ordenada en el origen β1 es la pendiente
  • 15. Regresión lineal simple 6 4 β1 2β0 0 0 2 4 6 8
  • 16. Relación entre variablesDicha relación viene dada por: E ( Y | x ) = µ Y | x = β 0 + β1 xdonde: β0 es el la ordenada en el origen β1 es la pendiente
  • 17. Modelo de regresión lineal simple
  • 18. Estimación de los coeficiente deregresión. Método mínimos cuadradosordinariosSuponga que se desea estimar elmodelo para una muestra de nobservaciones. El modelo de regresiónpuede expresarse como: Yi = β 0 + β1 xi + ei , n = 1, 2, ... , n
  • 19. Estimación de los coeficiente de regresiónMétodo mínimos cuadrados ordinariosEl método busca los coeficientes queminimizan la suma de los cuadrados delas desviaciones de las observacionescon respecto a la recta de regresión. Y − ( β 0 + β 1 x i ) = ei 2 ( ) n n L = ∑ ei2 = ∑ ( yi − β 0 − β1 xi ) i =1 i =1
  • 20. Método de mínimos cuadrados Los estimadores de los coeficientes de regresión deben satisfacer: ∂L (   ) n   β 0 β1 = −2∑ yi − β 0 − β1 xi = 0 ∂β 0 i =1 ∂L (   ) n   β 0 β1 = −2 ∑ yi − β 0 − β1 xi xi = 0 ∂β1 i =1
  • 21. Estimadores de mínimos cuadradosLa ordenada en el origen ˆ ˆ β0 = y − β1 x n n ∑ xi ∑ yi n ∑ xi yi − i = 1 i =1 ˆ i =1 n S xyLa pendiente β1 = 2 = ∑xn S xx  i n 2 ∑ xi −  i =1  i =1 n
  • 22. Supuestos del análisis de regresión lineal simple La relación entre las variables es lineal. Los errores son independientes y están normalmente distribuidos. La varianza de los errores es independiente de la magnitud de los valores de X.
  • 23. Prueba de hipótesis sobre β1 Problema: determinar si β1 es diferente de un valor β1,0 Sistema de hipótesis: H0: β1 = β1,0 H1: β1 ≠ β1,0 Nivel de confianza 95% α=0,05.
  • 24. Prueba de hipótesis sobre β1 Regla de decisión: Si p_valor < α se rechaza H0. Si p_valor ≥ α no se rechaza H0.
  • 25. Prueba de hipótesis sobre β0 Problema: determinar si β0 es diferente de cero. Sistema de hipótesis: H0: β0 = 0. H1: β0 ≠ 0. Nivel de confianza 95% α=0,05.
  • 26. Prueba de hipótesis sobre βo Regla de decisión: Si p_valor < α se rechaza H0. Si p_valor ≥ α no se rechaza H0.
  • 27. Evaluación de los supuestos del análisis de regresión lineal simple Gráficos de residuos. Curva de distribución normal para los residuos. Residuos estandarizados, Studentizados y distancia de Cook.
  • 28. Análisis de residuos
  • 29. Coeficiente de determinación R2 Permite conocer el porcentaje de varianza de la variable dependiente, Y, que se puede explicar a partir de la varianza de la variable independiente, X. SSE R =1− 2 S yy
  • 30. Abusos comunes de la regresiónlineal simple
  • 31. Abusos comunes.Extrapolación.
  • 32. Abusos comunes.Generalización.
  • 33. Curva de calibración Curva de calibración 0,4 0,3 Señal 0,2 y = 0,0151x + 0,0195 2 0,1 R = 0,9817 0 0 5 10 15 20 25 Concentración

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