Monografia Romilson Matemática 2010

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Matemática 2010

Monografia Romilson Matemática 2010

  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII SENHOR DO BONFIM – BAHIA ROMILSON BARROS DO ROSÁRIOA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E SEU USO DIDÁTICO SENHOR DO BONFIM – BA 2010
  2. 2. ROMILSON BARROS DO ROSÁRIOA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E SEU USO DIDÁTICO Monografia apresentada ao departamento de Educação CAMPUS VII, como requisito para obtenção do grau de Licenciatura em Ciências com Habilitação em Matemática. Orientador: prof. Helder Luiz Amorim Barbosa SENHOR DO BONFIM – BA 2010
  3. 3. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII SENHOR DO BONFIM – BAHIA ROMILSON BARROS DO ROSÁRIO A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E SEU USO DIDÁTICOMonografia aprovada em 09/09/2010 para obtenção do grau de Licenciatura em Ciências com Habilitação em matemática. Banca Examinadora: _______________________________________ Prof. Esp. Helder Luiz Amorim Barbosa _______________________________________ Prof.ª. TÂNIA MARIA CARDOSO DE ARAÚJO _______________________________________ Prof.ª. ELIZETE BARBOSA DE BRITO
  4. 4. DEDICATORIA Dedico este, ao Senhor Deus, por ter me sustentado e proporcionado forças para que com êxito pudesse alcançar mais uma etapa importante da minha vida.
  5. 5. AGRADECIMENTOSA Deus, por ter me dado forças para continuar até aqui, aminha família pelo amor amim demostrado, àqueles professores que me fizeram acreditar que seria possívelchegar a aonde cheguei, a todos os meus amigos pela força.
  6. 6. RESUMOO presente trabalho visa investigar a importância da história da matemática em seuuso didático e as construções elaboradas no decorrer dos tempos. Assim, oproblema de pesquisa que este trabalho apresenta é: como a história da matemáticacontribui para seu uso didático nas escolas brasileiras? Qual a importância doprofissional docente no ensino didático da matemática? A hipótese básica depesquisa é a de que através do conhecimento da seqüência histórica dos conteúdoso aluno compreenderia melhor o desenvolvimento, do processo da própriamatemática. A metodologia está centrada na pesquisa e coleta de informações deordem teórica viabilizada, portanto, através de levantamento bibliográfico.Palavras-chaves: matemática; didática; história; professores;
  7. 7. SUMÁRIORESUMO................................................................................................................... 15INTRODUÇÃO.............................................................................................................91 METODOLOGIA DA PESQUISA ........................................................................ 11 1.1 Justificativa .................................................................................................... 11 1.2 Objetivos ....................................................................................................... 13 1.2.1 Objetivo principal ........................................................................................... 13 1.2.2 Objetivos secundários ................................................................................... 13 1.3 Problema de pesquisa ................................................................................. 133 1.3.1 Hipótese de pesquisa .................................................................................... 14 1.4 Métodos de investigação ............................................................................... 142 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA......................................................................... 19 2.1 A matemática egípcia .................................................................................... 21 2.2 Matemática mesopotâmica .......................................................................... 233 2.3 A Jônia e os Pitagóricos .............................................................................. 255 2.4 Idade heróica ................................................................................................. 28 2.5 A idade de Platão e Aristóteles......................................................................29 2.6 Prelúdio à matemática moderna .................................................................. 3113 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO BRASIL .................................................. 344 3.1 Os saberes necessários aos professores de matemática na atualidade do ensino brasileiro ................................................................................................... 344 3.2 A importância de uma nova formação docente ao professor de matemática 384 O USO DIDÁTICO DA MATEMÁTICA ............................................................. 455 4.1 Das competências necessárias ................................................................... 466 4.2 A importância da história da Matemática para o seu uso didático ............... 5115 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: ESTUDO DE CASO EMUMA ESCOLA PÚBLICA ........................................................................................ 53 5.1 Análise dos dados ......................................................................................... 53
  8. 8. 5.2 Análise geral dos resultados ......................................................................... 58CONCLUSÃO ........................................................................................................... 62REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 63
  9. 9. 9 INTRODUÇÃO Este trabalho tem o intuito de analisar brevemente a história da matemáticano decorrer dos tempos e seu uso didático na atualidade. Assim, pensarmos que e como ensinar matemática nos dias de hoje, para oensino Médio, exige que se pense a quem ensinar e para que ensinar tal conteúdo.Este questionamento que os professores devem fazer para definir o papel damatemática no currículo, assim como orientará na escolha dos conteúdos e do modocomo eles serão trabalhados em cada grau de ensino. Sendo, no discurso, a escola um direito de todos, seu objetivo principal é aformação de um homem consciente, crítico e participante. Segundo PAVANELLO (1989, p. 7): A matemática tem desempenhado um papel social como instrumento de seleção: Ao se tornar responsável pela determinação de quem permanece ou é eliminado da escola, uma vez que detém, juntamente com Português, a primazia no tocante ao número de reprovações; ao assumir papel preponderante na escolha de uma carreira ou profissão, já que um bom desempenho em Matemática é pré-requisito para o ingresso a vários cursos do 3º grau; ao permitir ou não o acesso a um sem número de ocupações, já que um teste de matemática consta, geralmente, dos exames de seleção para a admissão a vários empregos (públicos ou não). Muitos matemáticos afirmam que a história da matemática não ajuda noconhecimento da matemática, enquanto que para outros o conhecimento da históriada matemática como chave para a compreensão da matemática como o matemáticofrancês Jean Diludonné. No entanto, de acordo com o currículo de matemática de educação básica, oslivros didáticos trazem pouco da história do desenvolvimento dos conceitos. Estessão sempre prontos e acabados, acabando por conduzir ao pensamento de que amatemática está desligada da vida, das coisas feitas pelas pessoas, que ela não temhistória e não é uma construção humana. Assim, segundo PRADO, (1990, p. 10) diz: ―Em seu desenvolvimento, oindivíduo passa por todos os estágios do desenvolvimento da espécie‖. Segundo PRADO (1990, p. 33): Ao professor caberia a tarefa de colocar a disposição do aluno material histórico pertinente e, de posse de um material desse tipo, o aluno poderia, então, usando sua imaginação, buscar penetrar no espírito da época e compreender seu problema dentro daquele contexto.
  10. 10. 10 O professor que se dispuser a trabalhar com história no ensino da matemáticaenfrentará algumas dificuldades. O conhecimento histórico é escasso, há poucostextos históricos que tratam da evolução histórica de conceitos. Outra dificuldade para o professor é a falta de modelos de ensino adequados,que possam auxiliá-lo num enfoque histórico. Ainda outra dificuldade que seria encontrada pelo professor está na suaprópria formação matemática. O professor não é preparado para pensar historicamente. Por fim, outra dificuldade relaciona-se com o rigor; se um papel da história damatemática é lançar luz sobre a natureza da matemática, a escolha da ordemhistórica como ordem de ensino não deveria ser tomada apenas como uma questãometodológica pré-estabelecida, mas como uma decisão que tem por trás de si umaconcepção educacional abrangente. Feitas essas considerações sobre o assunto, cada aspecto suscitado seráestudado com mais profundidade no desenrolar do trabalho.
  11. 11. 111 METODOLOGIA DA PESQUISA Neste capítulo iremos esclarecer as premissas da pesquisa e como a mesmaserá elaborada.1.1 Justificativa Esta pesquisa se justifica diante da importância do ensino dos conteúdosmatemáticos através de sua história, assim como a importância em se analisar oaproveitamento do aluno no processo ensino aprendizagem como técnica de contara história do conteúdo matemático antes de falar do conteúdo em si, além de fazeruma avaliação do processo ensino-aprendizagem do conteúdo, a partir da contagemda sua história e seus precursores. É neste contexto, que procurar-se-á no decorrer deste estudo, expor a históriada matemática, sua origem e evolução para que o professor de matemática tenhaum material teórico para consultar. Selecionar os conteúdos por si só não assegurar o alcance dos objetivos, poisa maneira como os assuntos serão tratados em sala de aula desempenha um papeldecisivo no proporcionamento de condições para que o aluno se aproprie dosmesmos. Para VIANNA (1995, p. 14) diz: (As matemáticas modernas) ..não são um método novo para ensinar matemática; trata-se de ensinar as matemáticas tal como elas estão hoje e tal como poderão servir às crianças que dentro de quinze anos estarão na vida ativa e num mundo diferente ... o que se tinha passado até o presente era o ensino das matemáticas numa ordem histórica e, ao mesmo tempo, com a filosofia da época que as tinha visto brotar: ensinava-se geometria com um estado de espírito grego, ensinava-se álgebra com um estado de espírito dos séculos XVI - XVII, a análise com o espírito do século XVIII, e os vectores, por exemplo, só aparecem no século XIX. Havia um choque entre a concepção geométrica grega e os vectores, que se utilizavam um pouco na geometria, mas introduzidos numa outra óptica.
  12. 12. 12 O passado da matemática ajudaria o aluno a compreender a matemáticaatual, pois o aluno entenderia o momento da concepção criação de determinadosconceitos, assim como o por que de sua criação. Através do conhecimento da seqüência histórica dos conteúdos o alunocompreenderia melhor o desenvolvimento, do processo da própria matemática. LAKATOS, citado por VIANNA (1995, p. 19) diz que: O formalismo desliga a História da Matemática da filosofia da matemática, uma vez que, de acordo com o conceito formalista de matemática, não há propriamente História da Matemática. O próprio Lakatos vai mais longe ao identificar o formalismo como o baluarte da filosofia do positivismo lógico e insiste: Os dogmas do positivismo lógico têm sido prejudiciais para a história e filosofia da matemática uma vez que... na filosofia formalista da matemática, não há lugar adequado para metodologia como lógica do descobrimento. A conclusão, para Lakatos, é de que a história da matemática e a lógica do descobrimento matemático..., não se podem desenvolver sem a crítica e rejeição definitiva do formalismo. E VIANNA (1995, p. 20) coloca: É nesse contexto que podemos situar as mais recentes tentativas de aplicação da história da matemática no ensino, pela via de associações entre a lógica do descobrimento e a fabricação de um significado no âmbito pedagógico. Estes trabalhos no campo da lógica do descobrimento remontam em sua disputa com o empirismo lógico de Carnap cujos trabalhos poderiam ser classificados como lógica da justificação. Através do ensino da matemática pela sua história é possível motivar o alunopara o ensino-aprendizagem tornando-se método adequado para o processo deensino, assim como uma fonte de seleção para problemas práticos, curioso ourecreativo a serem incorporados de maneira episódica nas aulas de matemática. Pela técnica do ensino da matemática através da história o aluno podedesmistificar a mesma com uma aprendizagem significativa e compreensiva. A reprovação e a evasão da maioria dos alunos da escola são deresponsabilidade da matemática, tanto nas escolas públicas quanto nas particulares.A matemática é a disciplina que mais contribui para o fracasso escolar do educando. Este problema exige a revisão não só dos conteúdos, mas também da formade transmissão assimilação desses conteúdos, como questões indissociáveis nocurrículo. Um ponto de partida para uma reflexão, situada nesse domínio é considerarque o ensino de matemática deve centrar-se na resolução dos problemas, visto nãocomo aplicação de uma teoria mas como fonte de critério do saber: na medida emque nessas situações o indivíduo é conduzido a elaborar, com seus parceiros sociais
  13. 13. 13- professor, pais e colegas - os conhecimentos que lhe permitem resolvê-las; critériode saber na medida em que um saber transmitido não é necessariamente apropriadopelo indivíduo que supomos recebê-lo e na medida em que situações problemaspermitem justamente avaliar essa apropriação.1.2 Objetivos1.2.1 Objetivo principal O objetivo deste trabalho é, através da revisão de literatura sobre o tema,proporcionar subsídios para a identificação da importância do ensino dos conteúdosmatemáticos através de sua história, sobretudo para o aproveitamento do aluno noprocesso ensino aprendizagem, ou seja, seu uso didático.1.2.2 Objetivos secundários a) Investigar como a literatura especializada aborda a historicidade que cercaa Matemática; b) Identificar a importância do uso didático da matemática para o processo deensino aprendizagem;1.3 Problema de pesquisa Como a história da matemática contribui para seu uso didático nas escolasbrasileiras? Qual a importância do profissional docente no ensino didático damatemática?
  14. 14. 141.3.1 Hipótese de pesquisa A hipótese básica de pesquisa é a de que através do conhecimento daseqüência histórica dos conteúdos o aluno compreenderia melhor odesenvolvimento, do processo da própria matemática.1.4 Métodos de investigação Quanto à metodologia adotada nesta pesquisa tem-se que se pretendeproceder a uma pesquisa bibliográfica, bem como, uma pesquisa documental. Neste estudo a abordagem do objeto de pesquisa demanda a utilização doMétodo Hipotético-Dedutivo. Segundo Gil: Quando os conhecimentos disponíveis sobre determinado assunto são insuficientes para a explicação de um fenômeno, surge o problema. Para tentar explicar a dificuldades expressas no problema, são formuladas conjecturas ou hipóteses. Das hipóteses formuladas, deduzem-se conseqüências que deverão ser testadas ou falseadas. Falsear significa tornar falsas as conseqüências deduzidas das hipóteses. Enquanto no método dedutivo se procura a todo custo confirmar a hipótese, no método hipotético-dedutivo, ao contrário, procuram-se evidências empíricas para derrubá-la. (GIL, 2002, p. 30) Sobre a metodologia a ser adotada na pesquisa histórica, VALENTE (2005, p.91) nos diz que "a história não está pronta, devendo ser construída pelo historiador apartir de suas questões centrais". Segundo o autor, não se pode produzir históriasem fatos, uma vez que: Os fatos históricos são constituídos a partir de traços, de rastros deixados no presente pelo passado. Assim, o trabalho do historiador consiste em efetuar um trabalho sobre esses traços para construir os fatos. Desse modo, um fato não é outra coisa que o resultado de uma elaboração, de um raciocínio, a partir das marcas do passado, segundo as regras de uma crítica. (VALENTE, 2005, p. 91) A coleta de dados se iniciará através da análise da documentação indireta,pela pesquisa bibliográfica que será realizada levando em consideração o tema
  15. 15. 15abordado na pesquisa, da seguinte forma: em livros; revistas especializadas emDireito; em páginas da internet; em periódicos e jornais. A pesquisa bibliográfica segundo Severino (2000, p. 45) é o estudosistematizado desenvolvido com base em material publicado em livros, revistasjornais, redes eletrônicas e etc., fornece instrumental analítico para qualquer tipo depesquisa. Esta pesquisa bibliográfica e documental será organizada através defichamentos bibliográficos, de resumo informativo e de citações, conforme ocronograma. A última etapa desta observação direta será a realização de um relatório ondeconstarão todas as observações efetuadas no decorrer da coleta de dados. Assim, metodologia desta pesquisa será a fundamentação teórica constituídapelo levantamento e análise da bibliografia. Este estudo realizou uma pesquisa exploratória, tendo em vista aprofundaros conhecimentos sobre o tema a História da Matemática e seu uso didático. Paratanto foi realizado um estudo de caso no Colégio Estadual de Serrolândia. Bruyne, Herman e Schoutheete apud Beuren ( 2006, p.84) ―afirmam que oestudo de caso justifica sua importância por reunir informações numerosas edetalhadas com vista em apreender a totalidade de uma situação‖. Portanto,podemos definir que a importância do estudo de caso se concentra na reunião devárias informações sobre um determinado assunto, assim podendo compreendertoda a situação. O procedimento de coleta de dados baseou-se numa metodologiaqualitativa e quantitativa que foi composta das seguintes etapas:
  16. 16. 16Etapas da Pesquisa Definição do tema Pesquisa bibliográfica Seleção da bibliografia para Definição do desenvolver o objeto da conteúdo teórico pesquisa Definição da população pesquisa Definição dos objetivos da Definição do pesquisa problema da pesquisa Definição do instrumento de coleta de dados Elaboração do questionário Aplicação do questionário Análise quantitativa dos dados Análise do resultado da pesquisa ConclusãoFigura 1: Etapas da pesquisaFonte: ROSÁRIO (2010)
  17. 17. 17 Richardson apud Beuren (2006, p. 91) menciona que: ―os estudos queempregam uma metodologia qualitativa podem descrever a complexidade dedeterminado problema, analisar a interpretação de certas variáveis, compreender eclassificar processos dinâmicos vividos por grupos sociais‖. Ressalta também quepodem ―contribuir no processo de mudança de determinado grupo e possibilitar, emmaior nível de profundidade, o entendimento das particularidades do comportamentodos indivíduos‖.População e amostra A coleta de dados foi realizada nas dependências do Colégio Estadual deSerrolândia, localizada na Praça Antonio Carlos Magalhães, 170 Centro ,nomunicípio Serrolândia no Estado da Bahia. Esta escola possui 10 salas de aulas, 28 turmas, 35 Professores, 01coordenador Pedagógico, 19 auxiliar administrativo e 875 alunos. Fizeram parte da pesquisa 30 alunos ensino médio, da rede pública deensino desta localidade. A coleta de dados foi realizada entre os meses de abril e maio de 2010.Coleta de dados A coleta dos dados foi realizada com alunos do Ensino Médio, utilizando umquestionário semiestruturado, contendo 10 questões fechadas. A escolha dos alunosfoi aleatória. O critério de exclusão foi : alunos do Ensino Fundamental. Os dados foram expostos em gráficos para melhor visualização dosresultados. As categorias analisadas foram;1-Qual série você freqüenta?2-Você tem interesse pela disciplina de matemática?
  18. 18. 183- Você se considera um aluno motivado para aprender o conteúdo dematemática?4- Você apresenta dificuldade para aprender os conteúdos de matemática?5- Você tem conhecimento que a matemática é uma ciência que teve suaorigem na antiguidade?6- Você já estudou em sala de aula a origem e a evolução da matemática?7- Você que já estudou a história da matemática em sala de aula, se sentiumotivado para aprender o conteúdo?8- Quando você estudou história da matemática, percebeu que houve interessede seus colegas de classe por esse conteúdo?9- O estudo da história da matemática contribuiu para que você aprendessemelhor alguns conceitos de matemática?10- Você que nunca estudou história da matemática, tem interesse emaprender este conteúdo?
  19. 19. 192 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Segundo BORGES FILHO e BRITO (2006, p. 35) "a princípio as noçõesprimitivas de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastesmais do que semelhanças, pois surgiram integradas as necessidades do homem".Foi através dessa noção de semelhança em número e forma que nasceu a CiênciaMatemática. A percepção de propriedade abstrata que certos grupos têm em comum,chamado número, representa o caminho para a matemática moderna. Nossosantepassados só contavam até dois, qualquer quantidade era chamada de muitas. Para TRINTIN (2008, p. 02): A idéia de número tornou-se ampla e vivida para que se sentisse a necessidade de exprimir a propriedade de algum modo, através da linguagem de sinais. Os dedos de uma mão podem ser usados para indicar um conjunto de dois, três, quatro ou cinco objetos, não sendo o número um para indicar um conjunto de dois, três, quatro ou cinco objetos, não sendo o número um geralmente reconhecido inicialmente como um verdadeiro número. Usando os dedos das duas mãos podem ser representadas coleções contendo até dez elementos; combinando duas mãos podem ser representadas coleções contendo até dez elementos; combinando dados das mãos e dos pés pode-se ir até vinte. Quando os dedos humanos eram inadequados, podiam ser usados montes de pedras para representar uma correspondência com os elementos de um outro conjunto. Desta forma, nota-se "como Aristóteles observou há muito tempo, o uso hojedifundido do sistema decimal é apenas o resultado do acidente anatômico de quequase todos nós nascemos com dez dedos nas mãos e dez nos pés" (Disponívelem: repositorio.uportu.pt/dspace/bitstream/123456789/.../TMMAT%2097.pdf). Doponto de vista matemático "é um tanto inconveniente que o homem de Cro-Magnose seus descendentes não tivessem quatro ou seis dedos em uma mão" (TRINTIN,2008, P. 02). O ser humano se diferencia de outros animais devido a sua linguagem, cujodesenvolvimento foi essencial para que surgisse o pensamento matemático abstrato;no entanto palavras que exprimem idéias numéricas aparecerem lentamente. Sinaispara incisões num bastão do que estabelecer uma frase bem modulada paraidentificar um número. Para BOYER (1996): "Se o problema da linguagem não fosse tão difícil talvezsistemas rivais do decimal tivessem feito maiores progressos. A base cinco foi uma
  20. 20. 20das que deixaram a mais antiga evidência escrita palpável; mas quando a linguagemse tornou formalizada, o dez já predominava". Os anos utilizados para que o homem conseguisse distinguir os conceitosabstratos e repetidas situações concretas nos mostram as dificuldades que devemter sido experimentadas para o estabelecimento de uma base para a matemática.Supõe-se que tal apoio apareceu em réplica a necessidades práticas, contudoesboços antropológicos recomendam a probabilidade de uma outro origem. Também foi sugerido segundo BOYER (1994, P. 4): [...] que a arte de contar surgiu em conecção com rituais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal precedeu o conceito quantitativo. Em ritos cerimonias representando mitos da criação era necessário chamar os participantes à cena segundo uma ordem específica, e talvez a contagem tenha sido inventada para resolver esse problema. Se são corretas as teorias que dão origem ritual à contagem, o conceito de número ordinal pode ter precedido o de número cardinal. Além disso, uma tal origem indicaria a possibilidade de que o contar tenha uma origem única, espalhando-se subseqüentemente a outras partes da terra. Esse ponto de vista, embora esteja longe de ser provado, estaria em harmonia com a divisão ritual dos inteiros em ímpares e pares, os primeiros considerados como masculinos e os últimos, como femininos. Muitas declarações sobre as procedências da matemática, são arriscadas,pois os primeiros autores sobre o tema são mais remotos que o método de escrever.Foi apenas nos derradeiros seis milênios, que o homem se demonstrou capaz de porseus apontamentos e aforismos em forma escrita. Quanto a origem da Matemática, Heródoto e Aristóteles não arriscariam apropor origens mais antigas. Para Heródoto a geometria se originou no Egito, poisacreditava que havia surgido da necessidade prática de fazer novas medidas deterra após cada sacerdotal com lazeres é que tinha conduzido ao estudo dageometria. O fato dos geômetras egípcios serem às vezes chamados ―estiradores decorda‖ pode ser tomado como apoio de qualquer das duas teorias, pois cordas eramindubitavelmente usadas tanto para traçar as bases de templos como para realinhardemarcações apagadas de terras. O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medirterras, porém seus desenhos e figuras sugerem uma preocupação com relaçõesespaciais que abriu caminho para a geometria. A preocupação do homem pré-histórico com configurações e relações podeter origem em seu sentimento estético e no prazer que lhe dava a beleza das
  21. 21. 21formas, motivos que muitas vezes propelem a matemática de hoje. Gostaríamos depensar que ao menos alguns dos antigos geômetras trabalham pela pura satisfaçãode fazer matemática, não como auxílio prático à mensuração; a geometria, comocontagem, tivesse origem em rituais primitivos. A teoria da origem da geometria numa secularização de práticas rituais nãoestá de modo nenhum provada. O desenvolvimento da geometria pode também tersido estimulado por necessidades práticas de construção e demarcação de terras,ou por sentimentos estéticos em relação a configurações e ordem. Que os começosda matemática são mais antigos que as mais antigas civilizações é claro. Ir além eidentificar categorias com história. É melhor suspender o julgamento nessa questão e ir adiante, ao terreno maisfirme da história da matemática encontrada em documentos escritos que chegaramaté nós.2.1 A matemática egípcia É costume dividir o passado da humanidade em eras e períodos, comparticular referência a níveis e características culturais. O surgimento de civilizações caracterizadas pelo uso de metais teve lugarprimeiro em vales de rios, como os do Egito, Mesopotâmia, Índia e China. Segundo BOYER (1994, p. 7): Antes do 4 milênio a. C. uma forma primitiva de escrita estava em uso tanto no vale Mesopotâmico como no Nilo. Lá os primitivos registros pictográficos, evoluíram para a ordem linear de símbolos mais simples. Na Mesopotâmia, onde o barro era abundante, marcas em forma de cunho eram feitas com um estilete sobre moles que depois eram cozidas em fornos ou calor do sol. Escrita cuneiforme por causa da forma dos sinais esses documentos cuneiformes tinham grande durabilidade. Há cerca de um século a mensagem nos tabletes permaneceu muda pois a escrita não fora decifrada. Na década de 1870 foi feito um na leitura, quando se descobriu que Rocha Behistum trazia uma narração trilingüe da vitória de Dário sobre Cambises, a inscrição sendo em persa, elamítico e babilônico, mesmo depois dessa descoberta, a análise e decifração das tabletes com conteúdo matemático permaneceu devagar, só no segunda parte do século vinte que a percepção das contribuições matemáticas da Mesopotâmia se tornou apreciável, devido em grande parte à obra pioneira de Fr. Thureau- Dangin na França e Otto Neugebauer na Alemanha e América.
  22. 22. 22 As inscrições egípcias revelam familiaridade com grandes números desdetempos remotos. As pirâmides exibem tão lato grau de precisão na construção e orientaçãoque lendas mal-fundamentadas, surgiram em torno delas. As vezes os dígitos menores eram colocados à esquerda, e às vezes osdígitos eram dispostos verticalmente. Os próprios símbolos ocasionalmente eramcolocados com orientação invertida, de modo que o laço tanto podia ser convexopara a direita como para a esquerda. Os egípcios eram precoces no contar e medir. Os egípcios começaramcedo a se interessar pela astronomia. Baseados no surgimento da Sirius osegípcios estabeleceram um bom calendário com doze meses de 30 dias cada um emais cinco dias de festa. Os homens da idade da pedra não usavam frações mas com advento deculturas mais avançadas durante a Idade do Bronze parece ter surgido anecessidade do conceito de frações e de notação para frações. As inscriçõeshieroglíficas egípcias têm uma notação especial para frações unitárias, comnumerador um. O recíproco de qualquer inteiro era indicado colocando sobre anotação para o inteiro um sinal oval alongado. Ex: 1/8 = e 1/20 = . Nos papiros substituiu-se o oval alongado por um ponto, colocado sobre acifra para o inteiro correspondente. Ex: 1/8 como e 1/20 como BOYER (1994, p. 9): Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode retirar de calendários e pedras tumulares, e nossas idéias sobre a contribuição egípcia seriam muito imprecisas se dependêssemos somente de material de origem cerimonial e astronômica. A matemática é muito mais do que contar e medir, os aspectos que são tratados em inscrições hieroglíficas. Os numerais e outros assuntos no Papiro de Rhind não são escritos na formahieroglífica descrita acima, mas numa escrita mais cursiva, melhor adaptada ao usode pena e tinta sobre folhas de papiro preparadas e conhecidas como hierática. A numeração continua decimal. Da numeração hieroglífica foi substituído pela introdução de sinais especiaispara representar dígitos e múltiplos de potência de dez.
  23. 23. 23 A matemática de Ahmes era a de seus antepassados e descendentes. Pararealizações matemáticas mais progressistas devemos examinar o vale fluvial maisturbulento conhecido como Mesopotâmia. Muito de nossa informação sobre a matemática egípcia vem do Papiro Rhindou de Ahmes, os mais extenso documento matemático do antigo Egito; mas hátambém outras fontes. Além do Papiro Kahun há o Papiro de Berlim do mesmo período, duaspranchas de madeira de Akhmin de cerca de 2 000 A.C., um rolo de couro contendolistas de frações unitárias e datando do fim do período dos hicsos, e um importantepapiro chamado Glonishev ou de Moscou, comprado no Egito em 1893. O papiro de Moscou tem quase o comprimento do Rhind mas só um quarto dalargura. Foi escrito, menos cuidadosamente que a obra de Ahmes, por um escribadesconhecido da décima segunda dinastia. Contém vinte e cinco exemplos, quasetoda a vida prática e na diferindo muito dos de Ahmes, exceto dois que significadoespecial. A operação aritmética fundamental no Egito era a adição, e novas operaçõesde multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por sucessivas―duplações‖. Nossas palavras ―multiplicação‖, na verdade, sugere o processoegípcio. Segundo BOYER (1994, p. 11): Uma multiplicação de, digamos, 69 por 19 seria efetuada somando 69 com ele mesmo para obter 138, depois adicionando a si próprio para alcançar 249, novamente duplicando para obter 552 e mais uma vez, dando 1 104, que é, naturalmente, dezesseis vezes 69. Os conhecimentos dos ―estiradores de corda‖ egípcios eram admirados porDemócrito, um matemático de competência e um dos fundadores de uma teoriaatômica, e hoje suas realizações parecem ser demasiadas valorizadas, em parte emconseqüência da precisão admirável da construção das pirâmides.2.2 Matemática mesopotâmica O quarto milênio antes de nossa era foi um período de notável progressocultural trazendo o uso da escrita, da roda e dos metais. Nesta época no vale daMesopotâmia havia uma civilização de alto nível. Ali os sumérios tinham construído
  24. 24. 24casas e templos decorados com cerâmicas e mosaicos artísticos em desenhosgeométricos. O tipo de escrita cuneiforme desenvolvido pelos sumérios durante o quartomilênio, muito antes dos dias de Abraão, pode ser a mais antiga forma decomunicação escrita, pois provavelmente é anterior à hieroglica egípcia, que podederivar dela. As civilizações antigas da Mesopotâmia são freqüentemente chamadasbabilônias. A cidade de Babilônia não foi a princípio, nem foi sempre em períodosposteriores, o centro da cultura associada com os dois rios, mas a convençãosancionou o uso informal de nome ―babilônica‖ para a região durante o período decerca de 2000 até aproximadamente 600 a.C. Quando em 538 a.C. a Babilônia foi dominada por Ciro da Pérsia, a cidade foipoupada mas o império babilônico terminou. A matemática ―babilônia‖, no entanto,continuou através do período salêucida na Síria, quase até o surgimento docristianismo. Sargão estabeleceu um império, que começou uma gradual absorção pelosinvasores da cultura sumérica indígena inclusive da escrita cuneiforme que formouum forte laço. Leis, registros de impostos, estórias, lições de escola, cartas pessoais eramincisas em tabletes de barro mole, mais vulneráveis aos estragos que os papirosegípcios por isso hoje se tem mais documentação sobre matemática Mesopotâmiaque sobre a do Egito. Porém a escrita hieroglífica foi decifrada antes da cuneiforme, nos temposmodernos. Algum progresso na leitura da escrita babilônia tinha sido feito no começo doséculo dezenove por Grotefend, mas somente no segundo quarto do século vintecomeçaram a aparecer nas histórias da Antigüidade, exposições substanciais damatemática mesopotâmica. Segundo BOYER (1994, p. 19): Quando os acadianos adotaram a escrita suméria, léxicos foram compilados dando equivalentes nas duas línguas, e as formas das palavras e numerais se tornaram menos variadas. Milhares de tabletas do tempo da dinastia Hamurabi, ilustram um sistema numérico que estava estabelecido. O sistema decimal, comum à maioria das civilizações tanto antigas quanto modernas, tinha sido submerso da Mesopotâmia sob uma notação que dava a base sessenta como fundamentais.
  25. 25. 25 A numeração cuneiforme babilônia, para os inteiros menores, seguia asmesmas linhas que a hieroglífica egípcia, com repetições dos símbolos paraunidades e dezenas. A eficácia da computação babilônia não resultou somente de seu sistema denumeração. Os matemáticos mesopotâmicos foram hábeis no desenvolver processosalgorítmicos, entre os quais um para extrair a raiz quadrada freqüentementeatribuindo a homens que viveram bem mais tarde. Muitas tabletas do tempo da dinastia Hamurabi (1800-1600 a.C.) ilustram umsistema numérico bem estabelecido, o sistema decimal, tinha sido submerso daMesopotâmia sob uma notação que dava base sessenta como fundamental que atéhoje ainda é usado nas unidades de tempo, ângulos apesar da forma fundamentaldecimal de nossa sociedade. As culturas pré-helenicas também‚ um tem sido estigmatizada comopuramente utilitárias, com pouco ou nem um interesse pela matemática por elamesmo. O lazer era muito mais raro do que hoje, mas mesmo assim havia no Egito ena Babilônia problemas que tem as características de matemática de recreação. Muito da matemática pré-helênica era prática, mas não toda. Recentementedois historiadores da matemática fizeram publicações sobre a verdade damatemática pré-helênica. Um deles afirma que a matemática babilônica se orientavaunicamente para fins práticos, o outro defende que a matemática sumérica não erausada para a resolução de problemas da vida prática, mas somente para o prazer ouexaltação do espírito. Na prática de cálculos, que se estendeu por um par demilênios, as escolas de escribas usaram muito material de exercícios,freqüentemente, talvez, como puro divertimento.2.3 A Jônia e os Pitagóricos A atividade intelectual das civilizações potâmicas no Egito e Mesopotâmiatinha perdido sua verve bem antes da era cristã mas quando a cultura nos vales
  26. 26. 26dos rios estava declinando, e o bronze cedendo lugar ao ferro na fabricação dearmas, vigorosas culturas novas estavam surgindo ao longo de todo o litoral doMediterrâneo. Os estudiosos e egípcios e babilônios continuaram a produzir textos empapiro e cuneiforme durante muitos séculos após a.C., mas enquanto isso umanova civilização se preparava rapidamente para assumir a hegemonia cultural, nãosó na região mediterrânea mas, finalmente, também nos principais vales fluviais. A história grega pode ser recuada até o segundo milênio A.C. quando, comoinvasores iletrados, vindos do norte, abriram caminho até o mar. Não trouxeram tradição matemática ou literária consigo; no entanto, tiveramdesejo ansioso de aprender, e não demoraram a melhorar o que lhes ensinaram. O alfabeto parece ter-se originado entre os mundos babilônio e egípcio, talvezna região da Península do Sinai, por um processo de redução drástica do número desímbolos cuneiformes ou hieráticos. Esse alfabeto chegou às novas colônias -gregas, romanas e cartaginesas - graças a atividade dos mercadores. Durante o sexto século A.C, apareceram dois homens, Tales e Pitágoras, quetiveram na matemática o papel de Homero e Hesíodo na literatura. Não sobreviveu nenhuma obra de qualquer deles, nem se sabe se Tales ouPitágoras jamais compuseram tal obra. O que fizeram deve ser reconstruindo combase numa tradição, não muito digna de confiança, que se formou em torno dessesdois matemáticos antigos. Certas frases-chaves lhes são atribuídas, tais como―Conhece a ti mesmo‖ no caso de Tales e ―Tudo é número‖ de Pitágoras - as maisantigas referências gregas à história da matemática, que sobrevivem, atribuem aTeles e Pitágoras um bom número de descobertas matemáticas definidas. No Egito diz-se que aprenderam geometria; na Babilônia, sob o esclarecidogovernante caldeu Nabucodonosor, Tales provavelmente entrou em contato comtabelas e instrumentos astronômicos. Diz a tradição que em 585 A.C. Talesassombrou seus contemporâneos ao predizer o eclipse solar dessa ano. Pitágoras é uma figura pouco menos discutida que Tales, pois foi maiscompletamente envolto em lenda e apoteose. Tales era um homem de negócios,mas Pitágoras era um profeta e um místico, nascido em Samos, uma das ilhas doDecaneso, não longe de Mileto, o lugar de nascimento de Tales. Embora alguns relatos afirmam que Pitágoras foi discípulo de Tales, isto éimprovável dada a diferença de meio século entre suas idades. Algumas
  27. 27. 27semelhanças entre os seus interesses pode ser facilmente explicada pelo fato dePitágoras ter também viajado pelo Egito e Babilônia possivelmente indo até a Índia. A escola pitagórica era conservadora e tinha um código de conduta antigo.Para BOYER (1994, p. 39): Muitas civilizações primitivas partilham vários aspectos da numerologia, mas os pitagóricos levaram a extremos a adoração dos números, baseando neles sua filosofia e modo de viver. O número um, diziam eles, é o número da opinião; três é o primeiro número masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto de unidade e diversidade; quatro é o primeiro número da justiça ou retribuição indicando o ajuste de contas; cinco é o número do casamento, união dos primeiros números verdadeiros feminino e masculino; e seis é o número da criação. Cada número por sua vez tinha seus atributos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, pois representava o número do universo, inclusive, a soma de todas as possíveis dimensões geométricas. Na Mesopotâmia a geometria não tinha sido muito mais do que uma aplicaçãodos números a extensão espacial; a princípio era mais ou menos para ospitágoricos, mas com uma modificação. Número no Egito significava o domínio dosnúmeros naturais e frações unitárias; entre os babilônios o corpo das fraçõesracionais. A história da matemática durante o tempo de Tales e dos pitagóricos dependenecessariamente, em grau indesejável, de conjecturas e inferências, pois faltaminteiramente documentos da época. Há muito mais incerteza quanto à matemática grega de 600 A.C. a 450 A.C.do que acerca da álgebra babilônia ou da geometria egípcia de cerca de 1.700 A.C. Nem mesmo artefatos matemáticos dos primeiros tempos da Grécia sepreservavam. É evidente que algum tipo de ábaco era usado nos cálculos, mas a naturezae a maneira de operar de tal ábaco devem ser inferidas do ábaco romano e dealgumas referências casuais em autores gregos. Heródoto, escrevendo no começodo quinto século A.C. diz que, ao contar com pedrinhas, a mão dos gregos ia daesquerda para a direita e a dos egípcios da direita para a esquerda. Um vaso de um período um pouco posterior mostra um coletor de tributoscom um ábaco que era usado não só para múltiplos decimais inteiros do dracmamas para subdivisões não decimais. Começando da esquerda, as colunas designammiríades, molhares, centenas e dezenas de dracmas, respectivamente, sendo ossímbolos expressos em notação herodiana.
  28. 28. 282.4 Idade heróica Os relatos sobre a origem da matemática se concentram nas chamadasescolas Jônia e pitagórica e no representante oficial de cada uma: Tales e Pitágoras- embora as reconstruções de seu pensamento se baseiem em narraçõesfragmentárias e tradições elaboradas nos séculos posteriores. Até certo ponto essa situação permanece durante todo o quinto século a.C. Segundo BOYER (1994, p. 47): Havia Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a.C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a.C.); em Abdera na Trácia achamos Demócrito (nasceu em 460 a.C.); e em Atenas viveram em tempos diferentes durante a segunda metade, a crítica, do quinto século a.C., três matemáticos de outras regiões: Hipocrátes de Chios (viveu por volta de 430 a.C.), Anaxágoras de Clazomene (morreu em 428 a.C.), e Zeno ele Elea (viveu por volta de 450 a.C.). O quinto século a.C. foi um período crucial na história da civilização ocidental,pois iniciou-se com a derrota dos invasores persas e terminou com a rendição deAtenas e Esparta. Entre esses dois acontecimentos situa-se a grande Idade dePéricles, com suas realizações na literatura e na arte. A prosperidade e a atmosfera intelectual de Atenas durante esse séculoatraíram estudiosos de todas as partes do mundo grego, e uma síntese de váriosaspectos foi conseguida. O nome Idade Heróica da Matemática, deve-se a um período em que osmatemáticos voltaram suas atenções para problemas que formaram a base para odesenvolvimento da Geometria. Esse período produziu meia dúzia de grandes figuras e entre eles Demócritode Alderra, mais conhecido como filósofo da química. Os relatos sobre origens da matemática grega se concentram nas chamadasescolas jônia e pitagórica e no representante principal de cada uma Tales ePitágoras. Durante a segunda metade do quinto século circularam relatos persistente econsistentes sobre um punhado de matemáticos que evidentemente estavamintensamente preocupados com problemas que formam a base da maior parte dosdesenvolvimentos posteriores na geometria.
  29. 29. 29 Neste período a matemática já não se centrava quase inteiramente emduas regiões quase em extremidades opostas do mundo grego; floresceu à voltado Mediterrâneo todo. O teorema de Hipócrates sobre as áreas de círculos parece ser o maisantigo enunciado sobre mensuração curvilínea no mundo grego. Ele deduziu aprimeira quadratura rigorosa de uma reacurvilínea, da história da matemática. Há três opiniões quanto ao que Hipócrates deduziu de suas quadras todasas lunas, logo também o círculo, outros acham que ele percebia as limitações desua obra, que lidara só com certos tipos de lunas. A quem afirma que ele sabia nãoter quadrado o circulo mas tentou enganar seu compatriota. Há dúvidas quanto acontribuição de Hipócrates. O principal legado matemático da Idade Heróica pode ser condensado emseis problemas: quadratura do círculo, duplicação do cubo, trissecção do ângulo,razão de grandezas incomensuráveis, paradoxos do movimento e validade dosmétodos infinitesimais. Até certo ponto eles podem ser associados, embora não exclusivamente,com homem estudados neste capitulo: Hipócrates, Arquitas, Hípias, Hipasus, Zenoe Demócrito. Outras épocas deviam produzir uma comparável coleção de talentos, mastalvez nunca mais em qualquer época se faria um ataque tão audacioso a tantosproblemas matemáticos fundamentais com recursos metodológicos tão insuficientes.É por isto que chamamos esse período, de Anaxágoras a Arquitas, a Idade Heróica.2.5 A idade de Platão e Aristóteles A idade heróica se situa no quinto século A.C. e desse período quase nemuma evidência direta restou sobre o desenvolvimento da matemática. O quarto século a.C. iniciou-se com a morte de Sócrates, um filósofo queadotou o método dialético de Zeno e repudiou o pitagorismo de Arquitas. Sócratesreconhecia que na juventude fora atraído por questões como por que a soma 2 + 2 éigual ao produto 2 x 2, bem como pela filosofia da natureza de Anaxágoras; porém,percebendo que nem a matemática nem a ciência podiam satisfazer seu desejo de
  30. 30. 30conhecer a essência das coisas, ele se entregou à sua característica busca dohomem. BOYER (1994, p. 62): Isso torna ainda mais surpeendente que seu discípulo e admirador, Platão, se tornasse a inspiração para a matemática do quarto século A.C. Nesse capítulo vamos nos concentrar nas realizações matemáticas de meia dúzia de homens que viveram entre a morte de Sócrates em 399 A.C. e a morte de Aristóteles em 322 A.C. Os seis homens cujo trabalho descreveremos (além do de Platão e Aristóteles) são Teodoro de Cirene (viveu por volta de 390 A.C.), Teaetetus (morreu em 368 A.C.), Eudoxo de Cnido (morreu por volta de 355 A.C.) Menaecmus (viveu por volta de 350 A.C.) e seu irmão Dinóstrato (viveu por volta de 350 A.C.) e Autolicus de Pitane (viveu por volta de 330 A.C.). Esses seis matemáticos, estavam associados, mais ou menos de perto, coma Academia de Platão em Atenas. Embora o próprio Platão não tenha dadocontribuição específica digna de nota a resultados matemáticos técnicos, ele era ocentro da atividade matemática da época e guiava e inspirava seu desenvolvimento.Sobre as portas de sua escola lia-se. Arquitas estabeleceu o quadrivium-artmética, geometria, música eastronomia como núcleo da educação liberal nisto suas opiniões iriam dominarmuito do pensamento pedagógico até nossos dias. Platão é importante na história da matemática principalmente por seu papelcomo inspirador e guia de outros, e talvez a ele se deva a distinção clara que se fezna Grécia antiga entre aritmética (no sentido de teoria dos números e logística (atécnica de computação). Platão considerava a logística adequada para negociantes e guerreiros, que―precisam aprender a arte dos números, ou não saberão dispor suas tropas‖. O filósofo, de outro lado, deve conhecer a aritmética ―porque deve subir acimado mar das mudanças e captar o verdadeiro ser‖. Platão foi o centro da atividade matemática da época e guiava e inspiravaseu desenvolvimento seu entusiasmo pela geometria o fez ficar conhecido como "ocriador da matemáticos". Platão considerava a logística adequada paranegociantes e guerreiros. O filósofo deve conhecer aritmética. A academia platônica de Atenas tornou-se o centro matemático do mundo, edessa escola provieram os principais mestres e pesquisadores durante os meadosdo quarto século A.C.. Desses o maior foi Eudoxo de Cnido que tornou-se o maiscélebre matemático e astrônomo de seu tempo.
  31. 31. 31 Eudoxo foi o melhor matemático da Idade Helênica mas suas obras foramperdidas. Ele já tinha calculado o diâmetro do sol. Mas o que justifica sua fama e ateoria das proporções e o método de exaustão. Associados a Academia de Platão em Atenas, seis matemáticos que viveramentre a morte de Sócrates em 399 a.C. e a morte de Aristóteles em 322 a.C.(Teodoro de Cirene, Teaetetus, Eudoxo de Enido, Menaecmus, Dinóstrato e Atolicusde Pitane) muito contribuíram para o desenvolvimento matemático. Platão era conhecido como criados de matemáticos e pela distinção que fezentre a matemática aritmética e logística. A Pitágoras se atribuiu a instituição da matemática em disciplina liberal, masPlatão influenciou para que ela fosse introduzida nos currículos educacionais dehomens de estado. Ele também discutiu os fundamentos matemáticos, esclareceualgumas definições e reorganizou as hipóteses.2.6 Prelúdio à matemática moderna Quando em 1575, Maurolico e Commandino morreram, a Europa Ocidentaltinha recuperado a maior parte das principais obras matemáticas da Antigüidadeagora existentes. A álgebra árabe fora perfeitamente dominada e tinha sido aperfeiçoada,tanto pela resolução das cúbicas e quárticas quanto por um uso parcial desimbolismo, e a trigonometria se torna uma disciplina independente. Há na história da matemática um alto grau de continuidade de um períodopara o seguinte; a transição da Renascença para o mundo moderno também ser fazatravés de um grande número de figuras intermediárias. Dois desses homens,Galileu Galilei (1564-1642) e Banoventura Cavalieri (1598-1647) vieram da Itália;vários outros, como Henry Biggs (1561-1639), Thomas Harriot (1560-1621) e WillianOughtred (1574-1660), eram ingleses; dois deles, Simon Stevin (1548-1620) e AlbertGirard (1590-1633), eram flamengos; outros vieram de vários países - John Napier(1550-1617) da Escócia, Jobst Burgi (1552-1632) da Suíça, e Johann Kleper (1571-1630) da Alemanha.
  32. 32. 32 A maior parte da Europa Ocidental participava agora do desenvolvimento damatemática, mas a figura central e mais magnífica na transição foi um francês,François Viète (1540-1603) ou, em latim, Franciscus Vièta. Viète, não era matemático por vocação. Seu sucesso foi decifrando asmensagens em códigos do inimigo que os espanhóis o acusavam de ter um pactocom o demônio. Só o tempo de lazer de Vinte era dedicado, no entanto fezcontribuições à aritmética, à álgebra, trigonometria e geometria, na matemática eledeve ser lembrado por seu apelo ao uso das frações decimais em lugar desexagesimais. Dedicou-se á álgebra pois chegou mais perto das idéias modernas. Sem dúvida foi à álgebra que Viète deu suas mais importantes contribuições,pois foi aqui que chegou mais perto das idéias modernas. A matemática é uma forma de raciocínio, e não uma coleção de truques,como Diofante possuíra; no entanto a álgebra durante o tempo dos árabes e ocomeço do período moderno não tinha ido longo no processo de libertação do usode tratar casos particulares. Não poderia haver grande progresso na teoria da álgebra enquanto apreocupação principal fosse a de encontrar a coisa numa equação com coeficientesnuméricos específicos. Tinham sido desenvolvidos símbolos e abreviações para umaincógnita e suas potências. Bem como para operações e a relação de igualdade. BOYER (1994, p. 224): Tendo em vista o tipo de raciocínio tão freqüente usado na álgebra Viète denominou o assunto ―a arte analítica‖. Além disso, ele percebia claramente o largo alcance do assunto, vendo que a quantidade desconhecida não precisava ser nem número nem segmento de reta. A álgebra raciocina sobre ―tipos‖ ou espécies, por isso Viète estabeleceu contraste entre logística especiosa e logística numerosa. A trigonometria de Viète, como sua álgebra, era caracterizada por uma ênfasemaior sobre generalidade e largueza de visão. Assim como Viète foi o verdadeirofundador de uma álgebra literal, também como uma justificação pode ser chamado opai de uma abordagem analítica generalizada para a trigonometria que às vezes échamada goniometria. Aqui Viète partiu da obra de seus predecessores, notadamente independenteda matemática; como o segundo ele em geral trabalhava sem referência direta emeias cordas num círculo. Viète no Canon mathematicus (1579) preparou extensastabelas de todas as seis funções de ângulos aproximados até minutos.
  33. 33. 33 Napier foi de fato o primeiro a publicar uma obra sobre logaritmos, mas idéiasmuito semelhantes foram desenvolvidas independentemente na Suíça por JobstBurgi mais ou menos ao mesmo tempo. Na verdade, é possível que a idéia de logaritmo tenha ocorrido a Burgi em1588, o que seria meia dúzia de anos antes de Napier começar a trabalhar namesma direção. Porém Burgi só publicou seus resultados em 1620, meia dúzia deanos depois de Napier publicar seu Descriptio. A invenção dos logaritmos veio a ter tremendo impacto sobre a estrutura damatemática, mas na época não podia ser comparada em significado teórico com aobra de Viète, por exemplo. Os logaritmos foram saudados alegremente por Kepler não como umacontribuição às idéias, mas porque aumentavam enormemente a capacidade decomputação dos astrônomos. Viète não era exatamente uma ―voz clamando no deserto‖ mas é verdadeque a maior parte de seus contemporâneos estava preocupado principalmente comos aspectos práticos da matemática. O chamado Renascimento na Ciência, ilustrado pela obra de homens comoLeonardo da Vinci e Copérnico, era um fermento que em grande parte vinha docontato entre idéias antigas e novas e entre os pontos de vista dos artesãos e doseruditos.
  34. 34. 343 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO BRASIL Na história do ensino de matemática no Brasil notamos, portanto que,segundo PINHEIRO SANTOS (2007 p. 138): A dinâmica cultural, após o contato dos europeus com as civilizações americanas, privilegiou a ciência do vencedor e nunca ou raramente a do vencido. Como conseqüência disso, as matemáticas das civilizações subjugadas foram marginalizadas e em sua maioria esquecidas. No mais, como mostram D‘AMBROSIO (2003), VALENTE (2005), entreoutros, houve uma insipiente produção de matemática no Brasil entre a chegada dosportugueses e a vinda da Corte. Além disso, é possível afirmar que a matemáticatinha mais característica de importada do que de nativa. E seu ensino tinha comoprincipal objetivo as questões bélicas. Ou, como coloca VALENTE (2005, p. 19), ―localizamo-nos bem no meio debombas e fortificações para a defesa da antiga colônia de Portugal e láencontraremos as mais remotas origens de nossa matemática escolar‖. Segundo PINHEIRO SANTOS (2007, p.139): Não podemos deixar de ressaltar que essas questões, relacionadas à matemática escolar no Brasil colônia dizem muito sobre aquilo que era reservado à maior colônia portuguesa em termos de seu desenvolvimento cultural e político. As formas educativas, além dos conteúdos de ensino de matemática, não estavam endereçadas a uma transformação da realidade da colônia. Ao contrário, um incremento no desenvolvimento das pesquisas matemáticas aqui representaria, tudo nos leva a crer, um caminho aberto em direção ao desenvolvimento e à autonomia política. Nesse sentido, a proibição da indústria gráfica representou uma grande barreira para o desenvolvimento da matemática e de seu ensino, assim como para o desenvolvimento cultural e científico em geral no Brasil colonial, deixando tristes heranças a serem superadas.3.1 Os saberes necessários aos professores de matemática na atualidadedo ensino brasileiro As mudanças na escola solicitam uma nova formação docente que possibiliteo acompanhamento do aluno e favoreça o desenvolvimento do professor. Paratanto, defendemos a formação reflexiva, com convicção de que a melhoria naqualidade do trabalho do professor possibilita um ensino mais qualitativo. No mais, asociedade atual passa por momentos de crises em todas as esferas humanas.
  35. 35. 35 Na esfera educacional, o papel da escola e o do professor vem sendodebatido desde o início do século XX. Nesse período, o processo educativo sofre oimpacto das medidas políticas e econômicas da sociedade capitalista e neoliberal,possibilitando a discussão sobre os novos princípios educativos e para a formaçãodocente. Por anos, a função da escola consistiu em transmitir conhecimentos; a funçãodo professor era repassar esses conhecimentos para o aluno que, por sua vez,comportava-se como espectador e tudo recebiam de forma passiva. Com avalorização do pensamento, mais especificamente do pensamento infantil, exigiu-semudanças na organização do ensino. O conhecimento, antes entendido como algo estático, agora é compreendidocomo dinâmico construído coletivamente no interior da escola. Essas mudançasapontam para a necessidade de fazer uma reforma na estrutura e na organização daescola, além de repensar a formação inicial dos professores. A partir dos anos de 1990 e início do século XXI, com a discussão daconstrução da cidadania, da democracia, e com o debate sobre a qualidade noensino, novas atribuições são postas à escola, sendo necessário repensar a suafunção social, o papel dos docentes em uma perspectiva de reconstrução de suaprática, de sua formação e da forma como lidam com a produção e a transmissão doconhecimento. Nesse sentido, colocam-se em pauta as reais limitações presentes nocotidiano da escola e no trabalho do professor. Para dar conta das exigências derenovação da escola e da necessidade de se investir em um novo perfil doprofessor, o debate na educação se volta para os aspectos políticos e pedagógicos,com a finalidade de oferecer uma educação que corresponda às necessidades dosalunos e que possa reduzir a evasão escolar e possibilitar a melhoria do ensinopúblico. A discussão da formação docente está inserida na crise da profissionalizaçãoem geral, refletindo sobre o papel do professor no processo educativo, bem como asatribuições que devem ser consideradas em sua prática, ou seja, aos saberes ecompetências necessários para desenvolver sua ação pedagógica. Esse movimento, segundo TARDIF (2002), aponta para a crise da períciaprofissional, o qual envolve os conhecimentos, as estratégias e as técnicas utilizadasna resolução de problemas concretos de trabalho; o impacto na formação
  36. 36. 36profissional, provocado por essa crise, que se traduz em críticas e insatisfaçãoquanto à formação universitária; a crise do poder profissional e da confiança que opúblico deposita neles; e a crise da ética profissional, dos valores que deveriamguiar os profissionais. Em meio a essa crise, desenvolveu-se o movimento pela formação docente,destinado a debater e refletir a formação dos professores que estão iniciando aprofissão e daqueles que já exercem a docência. Desse modo, a formação docentedeve considerar a dimensão social e humana do professor, bem como a sua condutae concepção quanto à própria prática educativa. Nesse sentido, entende-se que a formação dos professores acontece emmúltiplos espaços e através de suas relações inter-pessoais, ao longo de suasexperiências pessoais e profissionais. Os professores aprendem na interação comoutros, em Universidades, através dos cursos de graduação e programas de Pós-graduação, dando início ao processo formativo acadêmico, bem como na escola,onde desenvolve sua atividade profissional. Portanto, o próprio ambiente de trabalhoé concebido como um espaço para desenvolver a formação contínua e em serviço. GARCIA (1995) nos alerta sobre a ―necessidade de conceber a formação deprofessores como um continuum”, e também da ―necessidade de existir uma forteinterconexão entre o currículo da formação inicial de professores e o currículo daformação permanente‖ (GARCIA, 1995, p. 55). Nesta perspectiva, a formação iniciale continuada se completa proporcionando o desenvolvimento profissional dosprofessores. Em meio a essas razões, as novas proposições, defendidas por NÓVOA(1995); SCHÖN (1995); ZEICHNER (1995) para a formação de professores,enfatizam a necessidade de uma proposta reflexiva, tanto na formação inicial quantona continuada e em serviço, concebendo os professores como profissionaisreflexivos. Esse discurso teórico e o desenvolvimento prático do professor ganhamespaço em âmbito mundial. De acordo com Pérez GÓMEZ (1998), as perspectivasque norteiam a formação de professores sugerem diferentes caminhos, os quaisdevem ser considerados em relação aos diferentes modos de conhecer a práticaeducativa. A primeira é a Perspectiva Acadêmica, na qual o ensino é visto comotransmissão de conhecimento e o professor como um especialista na área que lhe
  37. 37. 37cabe ensinar. Essa perspectiva apresenta dois enfoques de formação: o ‗enfoqueenciclopédico‘ e o ‗compreensivo‘. Sendo que nos dois enfoques ―a formação dodocente firma-se na aquisição da investigação científica, seja disciplinar ou dedidática das disciplinas‖ (PÉREZ GÓMEZ, 1998, p. 356). O enfoque enciclopédico propõe "a formação dos professores como a de umespecialista num ou vários ramos do conhecimento acadêmico, historicamenteacumulado, enfatizando o processo de transmissão do conhecimento. Sendo tarefado professor fazer a exposição de conhecimentos e dos conteúdos" (PÉREZGÓMEZ, 1998). E o autor ainda explica: Embora o enfoque compreensivo também priorize a estrutura epistemológica das disciplinas como alvo da formação, amplia a compreensão e o alcance desta formação e da atuação dos professores ao incorporar conhecimentos pedagógicos. Concebe o educador como um intelectual a partir da aquisição do conhecimento acadêmico produzido pela investigação científica. Portanto, o professor, entendido como o responsável pelo ensino, precisa dominar os conteúdos e os aspectos históricos, pois deve facilitar a compreensão dos conteúdos para o aluno.( PÉREZ GÓMEZ, 1998, p. 358) A terceira proposta, a Perspectiva Prática, "fundamenta-se no pressuposto deque o ensino é uma atividade complexa e se desenvolve em cenários singulares,determinados pelo contexto e carregado de conflitos de valor que requerem opçõeséticas e políticas". Nesse caso, o professor é visto como um artesão, cuja formaçãoestá baseada na ―aprendizagem da prática, para a prática e a partir da prática”(PÉREZ GÓMEZ,1998, p. 363). Desse enfoque, emerge o enfoque tradicional e o enfoque reflexivo. Oprimeiro acentua o caráter reprodutor da escola e concebe o ensino como umaatividade artesanal O enfoque reflexivo abriga a reflexão sobre a ação docente; nela―está subjacente o desejo de superar a relação linear e mecânica entre oconhecimento científico-técnico e a prática na aula‖ (PÉREZ GÓMEZ, 1998, p. 365),procura-se superar a tendência da prática mecânica buscando identificar o fazerpedagógico, reconhecendo ser necessário estudar a atuação dos professores emsala de aula. Acredita-se que dessa forma é possível oferecer subsídios para osprofessores intervirem e transformarem sua prática. A última, a Perspectiva de Reflexão na Prática para a Reconstrução Social,diferentemente das demais defende o ensino como uma atividade crítica, ética, umaprática social, apresentando o ―enfoque de crítica e reconstrução social‖ e ―enfoque
  38. 38. 38de investigação-ação e formação do professor para a compreensão”. (PÉREZGÓMEZ, 1998) No primeiro, os programas de formação se estruturam na aquisição de umabagagem cultural de clara orientação política e social; e o desenvolvimento decapacidades de reflexão crítica sobre a prática com intuito de modificá-la. No segundo enfoque, de acordo com PÉREZ GÓMEZ (1998, p. 379), aprática docente é considerada como uma prática intelectual e autônoma, na qual oprofessor reflete ―sobre sua intervenção, exerce e desenvolve a sua própriacompreensão‖. Dentro dessa concepção, o professor é um profissional autônomoque reflete criticamente sobre a sua prática docente. Assim, ele usa essa práticacomo elemento de reflexão, procurando entender as situações vividas e construindosaberes desse fazer. Outro aspecto apontado é o diálogo, a contribuição de outroscolegas no debate reflexivo.( PÉREZ GÓMEZ, 1998) Essas perspectivas de formação apontam as concepções existentes sobre opapel do professor: de técnico, de profissional reflexivo e de intelectual crítico.(PÉREZ GÓMEZ, 1998) Além disso, observamos que tais estudos recomendam a reflexão comoestratégia de formação, mostrando que o professor necessita refletir sobre suaprática pedagógica, para conhecer suas dificuldades e aprofundar os conhecimentosnecessários ao desenvolvimento de sua atuação em sala de aula, diante dasincertezas e dos problemas que enfrentam.3.2 A importância de uma nova formação docente ao professor dematemática Dessa forma, as mudanças que ocorrerem na sociedade e na educação vêmapontando a necessidade de uma nova proposta educativa para dar sentido àescola, especificamente às diferentes realidades vivenciadas pelos alunos. É com tal propósito que o documento ―Educação: um tesouro a descobrir‖ deautoria de J. DELORS (1998), publicado pela UNESCO, tem como fundamento os‗pilares para a educação‘ do novo milênio: aprender a conhecer, adquirir osinstrumentos da compreensão; aprender a fazer, agir no ambiente; aprender a
  39. 39. 39conviver, participar e cooperar; aprender a ser, via essencial que integra os outrospilares. Nesse sentido, o esse documento sugere repensar o currículo, a função daescola e a formação dos professores. Entre outras ações, porque a realidade daescola exige dos professores novos saberes e competências para compreendermelhor o processo de aprendizagem do novo alunado. Aponta, também, aimportância do papel do professor enquanto agente de mudança. Podemos deduzir que a formação docente precisa considerar os ―pilares daeducação‖, visto que o saber/fazer/ser do professor é construído por ele, através deinterações em práticas coletivas. No processo de formação docente, que ―supõetroca, experiência, interações sociais, aprendizagens‖ (MOITA, 1995, p. 115), pode-se considerar que o professor vai reconhecendo-se como pessoa e comoprofissional. ANTUNES (2001), ao discutir sobre "as competências em sala de aula,denomina os pilares de aprendizagens essenciais". Para o autor, as quatro aprendizagens são essenciais para a formação dos alunos e professores, chamando atenção especial para a aprendizagem ―aprender a fazer‖, pois esta segunda aprendizagem enfatiza a questão da formação profissional e o preparo para o mundo do trabalho. Para ANTUNES, aprender a fazer significa― despertar e estimular acriatividade para que se descubra o valor construtivo do trabalho, sua importânciacomo forma de comunicação entre o homem e a sociedade‖ (ANTUNES, 2001, p.34). PERRENOUD (2000, p. 15), ao discutir a formação de professores, defendeque as formações iniciais e contínuas devem ser orientadas para o desenvolvimentode competências como um ―instrumento para pensar as práticas‖. Segundo esseautor, para aprender o movimento da profissão, os professores precisamdesenvolver competências de organizar e dirigir situações de aprendizagem; administrar a progressão das aprendizagens; conceber e fazer evoluir os dispositivos de diferenciação; envolver os alunos em suas aprendizagens e em seu trabalho; trabalhar e envolver os pais; utilizar tecnologias; enfrentar os deveres e os dilemas éticos da profissão; administrar sua própria formação contínua (PERRENOUD, 2000, p. 14). Sobre a questão dos saberes indispensáveis à prática educativa, FREIRE(2001) considera que "ensinar exige saberes que são definidos em função do saber-
  40. 40. 40fazer-pensar, que coerentes entre si, auxiliam na formação do educador crítico etransformador". Nessa perspectiva, "a formação do professor está baseada na reflexão, emsua formação intelectual, para que diante das novas situações e das incertezas,venha a procurar novas respostas" (FREIRE, 2001). De acordo com Freire, ensinarexige risco e aceitação do novo, a "disponibilidade ao risco, ao novo que não podeser negado ou acolhido só porque é novo, assim como o critério de recusa ao velhonão é apenas o cronológico. O velho que preserva sua validade ou que encarna umatradição ou marca uma presença no tempo continua novo‖ (FREIRE, 2001, 39). De fato, as inovações na educação precisam sair do plano do discurso, eenfrentar as incertezas. Concordamos com Edina Oliveira que ―de nada adianta odiscurso competente se a ação pedagógica é impermeável à mudanças‖ (OLIVEIRA,2001 apud FREIRE, 2001, p. 11). Dentro dessa compreensão, não comporta mais uma formação de saberesfragmentados, fundamentados em transmissão de técnicas e procedimentos, nãocontextualizados. No âmbito da formação inicial e continuada, esses saberes são fundamentaispara a atuação docente, por possibilitar ao professor a construção de novosconhecimentos, criando novas formas de articular a teoria e a prática, gerando ―arede que integra os domínios do saber e do agir intercomunicando-os num diálogoaberto e promissor‖ (TARDIF, 2002, p, 16). Pensando nesse processo, a formação de professores está direcionada à formação do cidadão ideal para a sociedade na qual se encontra inserido, sendo esta formação permeada pelo papel que ele precisa desempenhar, assim como pela função do conhecimento cientifico, dos mecanismos de ação e pela clientela que precisa alcançar com seu trabalho. Em outras palavras, essa formação está situada na interface entre o individual e o social como um todo devendo estar articulado entre o fazer individual e de partilha entre os outros atores na escola. (TARDIF, 2002, P. 16) Concordamos com NÓVOA (1995, p. 25) ao afirmar que a ―formação deveestimular uma perspectiva crítico-reflexiva que forneça aos professores os meios deum pensamento autônomo e que facilite as dinâmicas de autoformação participada‖.Nesse sentido, "o importante é valorizar a formação de professores reflexivos, queassumam a responsabilidade do seu desenvolvimento profissional" (NOVOA, 1995).
  41. 41. 41 Não basta o acúmulo de cursos, de conhecimentos e de técnicas que constituia formação docente, mas, ao contrário, essa formação deve ser construída atravésde um trabalho de reflexividade crítica sobre as práticas dos docentes, numacoletividade. Isto significa a produção de saberes e valores os quais fortaleçam aautonomia e a reflexão no trabalho do professor, porém sem encorajar odesenvolvimento de práticas de formação individuais. Nesse aspecto, a formação docente deve ter como ponto de partida a pessoado professor, a sua experiência e o trabalho coletivo. Na tentativa de responder àsdemandas da formação de professores, novas políticas foram estabelecidas paraesses cursos, no sentido de mobilizar os professores a repensarem sua prática, demodo que se percebam sujeitos de sua própria formação. Além disso, é proposto umprojeto de formação na própria escola, como parte integrante do projeto políticopedagógico desta. Do ponto de vista de CONTRERAS (2002), é preciso que se compreenda osignificado da autonomia do professor. Esse autor destaca que, na visão daconcepção Intelectual crítico, a autonomia é considera como Emancipação, superação das distorções ideológicas, consciência crítica. Autonomia como processo coletivo (configuração discursiva de uma vontade comum), dirigido à transformação das condições institucionais e sociais do ensino (CONTRERAS, 2002, p. 192). Para CONTRERAS (2002) é importante o entendimento de que a autonomianão significa isolamento e nem é possível sem apoio. É construída num processodinâmico e coletivo. Podemos dizer que o seu pensamento se assemelha ao deFREIRE (2001), pela defesa de um parâmetro de formação reflexiva, dialógicaepartilhada, na construção de uma pedagogia da autonomia. De certo modo, ao se pensar na formação contínua dos professores, nos diasatuais, é impossível ignorar a ―trilogia desenvolvimento pessoal, profissional eorganizacional‖ (NÓVOA, 2002, p. 61). Essa formação deve buscar uma educaçãocomprometida com a emancipação dos seus sujeitos. Deve-se dar, também, noâmbito das políticas públicas, de modo a oferecer melhores condições de trabalho. Em suma, concordamos com RAMALHO (2003, p. 26), quando afirma que aprática reflexiva ―não deve ser solitária do professor, essa prática deve estar inseridanas relações institucionais e sociais, sob pressupostos explícitos dos projetoseducativos‖.
  42. 42. 42 Nesse debate, NÓVOA (2001, p. 63-65) pontua cinco práticas da formaçãocontínua: 1. deve alimentar-se de perspectivas inovadora e procurem investir do ponto de vista educativo as situações escolares. 2. valorizar as actividades de (auto) formação participada e de formação mútua. 3. alicerça-se numa ―reflexão na prática e sobre a prática‖, valorizando os saberes de que os professores são portadores. 4. insentivar a participação e realização de todos os professores na concepção, realização e avaliação de programas de formação. 5. deve capacitalizar as experiências inovadoras e as redes de trabalho que já existem no sistema escolar. Nesse contexto, a proposta para a formação contínua tem um novo sentido. Deve motivar o professor a reconhecer o sentido de sua prática, comotambém, aponta a escola como espaço de formação, sobretudo à prática docentecomo conteúdo a ser estudado, visto que, as ações e decisões da práticapressupõem um saber e um fazer, fundamentado em crenças e intencionalidades.No exercício docente, o professor vive intensas situações didáticas, problemas coma transmissão de conteúdos, dificuldades no relacionamento com alunos, pais ecolegas de trabalho, dentre outras. Essas questões sobre as condições de trabalho que merecem seraprofundadas e redimensionadas no coletivo. Para isso, é necessário criar redes deconvivência e de trabalho, nas quais os professores possam refletir, e tomar ciênciados valores, concepções e crenças que são atribuídos a sua prática e à escola. Quepossam aceitar, questionar e criar as inovações na educação. A formação continuada e em serviço, na perspectiva reflexiva e dialógica, éum processo que conduz os professores à articulação entre o pensar e o fazer. Demanda de o professor tomar ciência de seu movimento profissional,especificamente do conhecimento sobre as questões educativas. Esse tipo deformação é importante, pois nem sempre estamos atentos a perceber ospensamentos que sustentam a nossa ação pedagógica. O diálogo vai favorecer aconsciência da totalidade da sala de aula e da escola, uma vez que existeresistência de pensamento em mudar as ações e posturas diante da realidadevivida. As provocações do diálogo precisam enfatizar a formação a partir da prática,sem deixar de considerar o contexto social. Entendemos que o diálogo é umelemento importante no processo de formação docente e no desenvolvimento da
  43. 43. 43escola. Podemos desenvolver atitude de diálogo em pequenos grupos, em duplas eindividualmente. O importante é pôr em prática, estabelecendo o significadocompartilhado, para que a escola passe a funcionar de maneira menos incoerente. Temos presenciado uma formação continuada e em serviço fragmentada,caminhado para uma formação ―bancária‖, pois os cursos oferecidos nãopossibilitam o diálogo e nem a reflexão para que, de fato, os professorescompreendam as necessidades de sua prática pedagógica. Acrescentamos que asproposta de formação continuada e em serviço, precisam oferecer uma ―experiênciadialógica‖, de modo que os educadores desenvolvam uma consciência crítica de suatarefa e do lugar social; e se apaixonem pelo ato de ensinar. O desafio que se coloca neste momento é o de tornar a escola um espaço deformação numa perspectiva de diálogo e reflexão. Esse desafio pode ser superadose a escola estabelecer espaço/tempo para estudos e discussões, o que favoreceráa troca entre os educadores, coordenadores e diretores. Outro fator importante é terum serviço de apoio pedagógico para os professores e para seus alunos. Ressaltamos, mais uma vez, que diante da perspectiva de educação voltadapara a inclusão de todos alunos na escola regular, torna-se fundamental aarticulação de espaço/tempo de formação, através de políticas públicas de formaçãocontinuada e em serviço, bem como também aos professores assumirem aresponsabilidade pela sua formação. É importante destacar que os órgãos governamentais podem contribuir para aconsolidação da inclusão, através da elaboração de políticas públicas de formaçãoem serviço. Assim, o tempo de estudo pode estar inserido dentro dos horários detrabalho, para que os professores possam participar, visto que a maioria trabalha emoutras instituições para poderem se manter/sobreviver. Portanto, é impossível estarna escola mais cedo para planejar ou participar de estudos. E mais, a formação,acontecendo no horário de trabalho, possibilita maior envolvimento dos professoresem atividades e discussões coletivas, a respeito de estratégias pedagógicas eteorias que respaldam o trabalho. Constatamos que a formação docente deve ter uma perspectiva decontinuidade, enfatizando aspectos que permitam ao professor superar osobstáculos inerentes à sua ação. Essa formação continuada e em serviço não deveser só institucional, mas também pessoal. Nós, professores, cada vez mais nosdeparamos com novos conhecimentos, novas descobertas tanto com relação ao
  44. 44. 44desenvolvimento humano quanto à dinâmica social; cada vez mais as questões daescola são emergentes, urgentes. Trata-se de dar sentido à formação, de maneira que permita ao professor lidaradequadamente com o contexto escolar, ao refletir sobre as questões reais,associadas a sua sala de aula. Isto o auxilia a perceber as incoerências dopensamento expostas nas ações cotidianas, de modo a transformar sua açãodocente e a desenvolver sua criatividade ao pensar nas estratégias pedagógicas. Cremos que o processo de formação continuada e em serviço é importantepara o aprendizado contínuo do professor, possibilitando a ressignificação dossaberes pedagógicos, auxiliando-os na construção da docência crítica, consciente emais humana, frente às mudanças e incertezas que, por ventura, venham a sedeparar.
  45. 45. 454 O USO DIDÁTICO DA MATEMÁTICA AUSUBEL et al. (1980), coloca que a aprendizagem significativa ocorre―quando nova informação adquirida ‗ancora-se‘ em conceitos relevantes previamenteexistentes na estrutura cognitiva do aprendiz. Nesse processo, a nova informaçãointerage com uma estrutura de conhecimento específica‖. Para SANTOS (2007, p. 17): Ultimamente, os professores estão se dando conta de que o interesse da maioria de seus alunos aumenta consideravelmente quando o que está sendo ensinado faz parte de seu cotidiano, ou, pelo menos, o aluno consegue vislumbrar uma aplicação prática do que aprendeu no seu cotidiano. Se sentem motivados ao perceber que poderão usar esse conhecimento também fora da sala de aula. Daí a necessidade de se contextualizar o que está sendo ministrado em sala de aula, trazendo o ensino da Matemática para as vivências do aluno. Entretanto, não é tão simples quanto parece. Alguns equívocos são cometidos nesse processo, por exemplo, quando se acredita que contextualizar é usar o meio do aluno para ser cenário dos exercícios dados em sala de aula. Assim, alguns acreditam que nos ―probleminhas‖, deve-se usar futebol, coleção de figurinhas da moda, cachorros, gatos, bolas de gude, por estarem sempre presentes na vida da criança. Na verdade, os desafios implícitos nesses ―probleminhas‖, não interessam aos alunos, pois eles não se sentem responsáveis por aquilo que se propõe. Hoje, a escola vive uma dicotomia quanto à sua função, de um lado temos oentendimento de que a escola deve oferecer mais que a escolarização formal, cabea esta também respeitar as idiossincrasias de seus atores, despertar a curiosidade,desenvolver a autonomia e estimular o rigor intelectual (PERRENOUD, 1999); deoutro lado, temos que o papel da escola é, de forma muito mais estreita, formarindivíduos aptos ao trabalho, prontos para favorecer o crescimento econômico.Percebe-se, portanto, a divisão entre a função da escola para a educação de umcidadão crítico-reflexivo e a função da escola para o mercado de trabalho. Assim, nota-se que se atribui à educação uma função muito ampla que seestende aos professores e, em conseqüência, a sua formação. Diante destas colocações, somos conduzidos a acreditar que a aprendizagemde modo comum e, particularmente a aprendizagem em matemática apenasacontecerá realmente no momento em que esta tiver algum sentido prático para oaluno.
  46. 46. 46 A procura desse significado objetivo e do seu sentido atravessa algunscaminhos e probabilidades, e, dentre elas, a possibilidade do uso da História daMatemática se faz presente.4.1 Das competências necessárias Note-se que ―O processo de ensinar, que implica o de educar e vice-versa,envolve a ―paixão de conhecer‖ que nos insere na busca prazerosa, ainda que nadafácil.‖ (FREIRE, 2006, p. 11) De acordo com D‘AMBROSIO (1999), "a formação de um professor é vistacomo resultado de um processo histórico-cultural. Um dos problemas mais gravesenfrentados pela educação diz respeito à falta de capacitação para conhecer o alunoe a obsolescência dos conteúdos adquiridos nas licenciaturas". Assim, conforme PIMENTA (2002) "reconhecendo a quantidade e avelocidade das informações na sociedade de hoje, cabe estabelecer a diferençaentre a informação e conhecimento". E mais: Conhecer é mais do que obter as informações. Conhecer significa trabalhar as informações. Ou seja, analisar, organizar, identificar suas fontes, estabelecer as diferenças destas na produção da informação, contextualizar, relacionar as informações e a organização da sociedade, como são utilizadas para perpetuar a desigualdade social. Trabalhar as informações na perspectiva de transformá-las em conhecimento é uma tarefa primordialmente da escola. Realizar o trabalho de análise crítica da informação relacionada à constituição da sociedade e seus valores, é trabalho para professor e não para monitor. (PIMENTA, 2002, P. 352) Ou seja, para um profissional preparado científica, técnica, tecnológica,pedagógica, cultural e humanamente. Um profissional que reflete sobre seu fazer,pesquisando-o nos contextos nos quais ocorre. Desta forma, o professor que almejamos para promoção desta educação dequalidade é um professor crítico-reflexivo, que somente assim será se forinicialmente formado com competências e saberes necessários para tanto. As competências profissionais que este ensino de qualidade requer já forampostas em nossa legislação. O Conselho Nacional de Educação analisando osartigos 62 e 63 da LDB indicou normas e orientações para a organização dosInstitutos Superiores de Educação e estabeleceu as Diretrizes Curriculares

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