Monografia Érica Matemática 2012
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Monografia Érica Matemática 2012

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Matemática 2012

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Monografia Érica Matemática 2012 Document Transcript

  • 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ÉRICA CRISTINA GUIRRA LISBOAERROS: ESTUDO DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS SENHOR DO BONFIM 2012
  • 2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ÉRICA CRISTINA GUIRRA LISBOAERROS: ESTUDO DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS SENHOR DO BONFIM 2012
  • 3. ÉRICA CRISTINA GUIRRA LISBOAERROS: ESTUDO DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS Monografia apresentada ao Departamento de Educação da Universidade do Estado da Bahia– UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática. Prof.ª Msc. Maria Celeste Souza Castro (Orientadora) Senhor do Bonfim 2012
  • 4. FOLHA DE APROVAÇÃO ERROS: ESTUDO DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS ÉRICA CRISTINA GUIRRA LISBOA BANCA EXAMINADORAProf.ª Msc (orientadora) Maria Celeste Souza de Castro_____________________Universidade do Estado da Bahia - UNEBMestre em Educação Matemática/UNEBProf. Ivan Souza Costa_________________________________________Universidade do Estado da Bahia - UNEBMestre em Física/UFBAProf. Alayde Ferreira dos Santos_______________________________________Universidade do Estado da Bahia - UNEBMestre em Educação Matemática/QUEBEC-UNEB Senhor do Bonfim, março-2012
  • 5. Dedico à Edgard Lisboa (in memorian)
  • 6. AGRADECIMENTOSAgradecer às pessoas que muito contribuíram para que este trabalho fosse realizadotambém é uma forma de demonstrar o quanto precisamos do outro e somospequenos sozinhos. Neste meu percurso tenho muitas pessoas para agradecer, quede uma forma ou de outra me ajudaram com o seu incentivo, apoio, materiais,críticas e sugestões valiosas, contribuindo para melhorar meus escritos ao longo dajornada.Primeiramente, agradeço a Deus, pela oportunidade de realizar este sonho, que emmuitos momentos me pareceu bastante difícil.Agradeço à minha orientadora e professora Maria Celeste, que se mostrou sempredisponível para me ajudar em minhas angústias enquanto licencianda. Não poderiadeixar de agradecer a banca examinadora nas pessoas do Professor Ivan Costa e aProfessora Alayde Ferreira e a coordenadora do curso Elizete barnosa. À minhafamília, principalmente à minha mãe Ivonete e irmãos Helbert e Érick, que muito meincentiva a seguir o caminho, estando sempre, ao meu lado.Aos meus colegas, com os quais aprendi muito, assim como com os meus mestres,que estavam sempre prontos para fornecer informações e ideias.Quero também agradecer aos meus amigos que, apesar da minha ausência,compreenderam o momento sempre com uma palavra otimista e de estímulo.Agradeço, de forma especial, à minha colega Ademaria, amiga de todas as horas,que esteve ao meu lado compartilhando alegrias e percalços neste percurso etambém às minhas colegas e amigas Ana Paula, Paula Jeane, Sheila, Eliene,Etelvina, Manuela, Naat, Luciara, Deise.Enfim, agradeço a todos que colaboraram para que pudesse subir mais este degrau.Sorte minha ter tantas pessoas especiais em minha vida. Muito obrigada.
  • 7. RESUMOEste estudo tem como foco principal investigar quais os erros mais frequentescometidos pelos alunos na resolução de problemas algébricos tendo como sujeitosinvestigados os alunos do 8º ano do Colégio Estadual José da Silva Marques,localizado no município de Campo Formoso. Utilizando os conceitos de Cury (2007),Pinto (2000), Booth (1995), entre outros, o presente estudo, de cunho qualitativo equantitativo, relata um estudo através de testes investigativos realizado no âmbitoescolar com os estudantes supracitados. Na análise foram identificados os erros apartir de categorias definidas pela matriz SAEB tendo uma análise qualitativa equantitativa. Os resultados obtidos apontam que a maioria dos erros identificados naanálise das resoluções tem suas origens em conhecimentos aritméticos malformados, bem como no uso incorreto de regras e procedimentos aritméticos. Assim,reafirma-se a importância da análise e reflexão sobre os erros dos estudantes naresolução de problemas matemáticos.Palavras-chave: Erros. Aritmética. Álgebra.
  • 8. ABSTRACTThis study focuses primarily investigate what the most frequent errors made bystudents in solving algebraic problems with students as subjects investigated the 8thyear of the State College José Marques da Silva, located in Campo Formoso. Usingthe concepts of Cury (2007), Pinto (2000), Booth (1995), among others, the presentstudy, a qualitative and quantitative reports a study conducted by investigative testsin schools with students above. In analyzing the errors were identified based on thecategories defined by the matrix SAEB having a qualitative and quantitative analysis.The results obtained indicate that the majority of errors identified in the analysis ofthe resolutions has its origins in malformed arithmetic skills, as well as the misuse ofrules and procedures arithmetic. Thus, we reaffirm the importance of analysis andreflection on the mistakes of the students in solving mathematical problems.Keywords: Errors. Arithmetic. Algebra.
  • 9. LISTA DE ILUSTRAÇÕESILUSTRAÇÃO 1: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Ametista. .................... 31ILUSTRAÇÃO 2: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Esmeralda. .................. 32ILUSTRAÇÃO 3: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Cristal. ......................... 32ILUSTRAÇÃO 4: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Rubi. ............................ 33ILUSTRAÇÃO 5: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Topázio. ....................... 36ILUSTRAÇÃO 6: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Turmalina. ................... 37ILUSTRAÇÃO 7: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Ágata. .......................... 39ILUSTRAÇÃO 8: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Água-marinha. ............. 40ILUSTRAÇÃO 9: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Diamante. .................... 40ILUSTRAÇÃO 10: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Jade........................... 41ILUSTRAÇÃO 11: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Ônix. .......................... 44ILUSTRAÇÃO 12: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Turquesa. .................. 45ILUSTRAÇÃO 13: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Pedra-lua. .................. 45ILUSTRAÇÃO 14: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Safira. ........................ 48ILUSTRAÇÃO 15: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Malaquita. .................. 49ILUSTRAÇÃO 16: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Amazonita. ................ 49ILUSTRAÇÃO 17: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Fluorita. ..................... 50ILUSTRAÇÃO 18: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Berilo. ........................ 50
  • 10. LISTA DE GRÁFICOSGRÁFICO 1: Análise quantitativa da questão 01. ......................................................................... 30GRÁFICO 2: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 01. ............ 31GRÁFICO 3: Análise quantitativa da questão 02 .......................................................................... 35GRÁFICO 4: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 02 ............. 36GRÁFICO 5: Análise quantitativa da questão 04 .......................................................................... 38GRÁFICO 6: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 04 ............. 39GRÁFICO 7: Análise quantitativa da questão 03 .......................................................................... 43GRÁFICO 8: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 03 ............. 44GRÁFICO 9: Análise quantitativa da questão 05 .......................................................................... 47GRÁFICO 10: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 05. .......... 48
  • 11. SUMÁRIOINTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12CAPITULO I .............................................................................................................. 18 1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................... 18 1.1. Uma breve revisão do ensino da Álgebra ................................................. 18 1.2. Resolução de problemas algébricos e os erros na construção do seu conhecimento ..................................................................................................... 19 1.3.O erro na visão de alguns autores ................................................................ 22CAPÍTULO II ............................................................................................................. 26 2. METODOLOGIA ............................................................................................... 26CAPÍTULO III ............................................................................................................ 29 3.ANÁLISE DOS DADOS ...................................................................................... 29 3.1. Analisando os erros – O que pode sinalizar os erros cometidos .............. 29 3.2. Interpretando os erros encontrados na questão 01–O que sinalizam. ...... 33 3.3. Interpretando os erros encontrados na questão 02 e 04 – O que revelou o teste investigativo. .............................................................................................. 41 3.4. Interpretando os erros cometidos na questão 03 – Revelando os erros. .. 45 3.5. Interpretando os erros encontrados na questão 05 – Um olhar sobre os testes investigativos. ........................................................................................... 51CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 52Referências ............................................................................................................... 57APÊNDICE ................................................................................................................ 63
  • 12. INTRODUÇÃO O surgimento da questão de pesquisa: Estudo de erros cometidos pelosalunos da 8º ano do Ensino Fundamental II na resolução de problemas algébricossurgiu de inquietações vividas ao longo da trajetória escolar. O ingresso nauniversidade permitiu perceber que dificuldades apresentadas em determinadasdisciplinas, eram oriundas de deficiência de conteúdos matemáticos que deveriamser aprendidos na Educação Básica. Durante o Ensino Fundamental II no ensino de matemática, há os conteúdosque envolvem problemas aritméticos contendo as quatro operações, trabalhadasnuma complexidade crescente. Inicialmente letras são usadas somente pararepresentar grandezas como “g” para grama, “l” para litro, “m” para metro. No ensinoFundamental, a partir da 6ª série surgem as primeiras aproximações com a álgebra,parte da matemática que envolve números e letras. A mesma apresenta-se comoum veículo para a resolução de certos problemas de matemática, onde desenvolvemeios para a compreensão, já que nem toda situação-problema é resolvida somentecom a aritmética. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998): Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998 p. 50 - 51). É interessante lembrar que a Álgebra tem destaque significante, apesar deser constatada que para muitos discentes “a compreensão em Álgebra é uma fontede confusão” (Booth 1986, pág. 299). Essa confusão que os discentes fazem com ouso das variáveis leva também ao não entendimento para calcular o valor numéricode uma expressão algébrica, ou seja, a compreensão do significado da álgebra e doconteúdo dado. O ensino de Álgebra enfatiza demais os procedimentos formais detransformação de expressões simbólicas e resolução de equações que buscamdeterminar o valor desconhecido de variáveis (FEY, 1990, 70)
  • 13. No entanto percebe-se que o trabalho com o estudo algébrico não vai muitoadiante de manipulações de símbolos que na maioria das vezes não possuemnenhum significado, sendo o seu estudo desenvolvido de forma mecânica.Comosalienta Nery (2008) que “ Fazendo uma analogia, seria acreditar que dar uma caixade ferramentas para um aluno já seria suficiente para transformá-lo nummecânico.”(p.20). Esta forma de ensino tem sido limitadora, na qual o papel dodiscente se restringe a memorização de regras já que não propicia relação dosprocedimentos algébricos com situações reais. De acordo com os PCN’s: [...] para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado, e de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é possível dizer a idéia de conhecer assemelha-se a idéia de tecer uma teia. (BRASIL, 1998, p. 75) De fato, é possível que muitas das dificuldades que os alunos encontram naaprendizagem da Álgebra sejam resultados de um ensino pautado emprocedimentos e regras, limitando a capacidade dos discentes de compreender osconceitos, as representações e as atividades que são importantes neste domínio doconhecimento. Mas o que se sabe sobre como os alunos produzem significado paraa Álgebra? Como eles fazem Álgebra, ou seja, o que se sabe sobre sua “atividadealgébrica”? Hoje já se sabe muito sobre as dificuldades que discentes e docentesenfrentam no ensino e aprendizagem da Álgebra. O pesquisador americano JamesFey (1990) resumiu estas dificuldades assim: Na Matemática escolar atual os estudantes empregam um tempo enorme em tarefas envolvendo variáveis, enquanto nomes literais para números desconhecidos, e com equações e inequações, que impõem condições nestes números. (pag.70) Face à leitura de pesquisas em artigos relacionados á conteúdos algébricos eerros, e após a percepção de que a maioria dos docentes de matemática relata umagrande dificuldade por parte dos discentes na compreensão deste conteúdo
  • 14. matemático, surgiu a necessidade de saber quais os fatores que tem contribuídopara os erros e dificuldades de compreensão em relação aos conteúdos algébricos. É necessário conhecer avanços e retrocessos enfrentados pela disciplinamatemática ao longo de sua constituição enquanto saber matemático. Fatos como oMovimento da Matemática Moderna, desencadeado no Brasil na metade do séculopassado, que trazia a promessa de um ensino mais atraente e descomplicado, emsuperação à rigorosa matemática tradicional. Porém a brusca mudança doconteúdo/forma do livro didático de matemática naquele momento histórico trouxe,acima de tudo, uma grande resistência de seus principais usuários, ou seja, osprofessores. (PINTO, 2005). Para Piaget (1984, pág. 14), “mesmo no campo damatemática, muito fracassos escolares se deve àquela passagem muito rápida doqualitativo (lógica) para o quantitativo (numérico)”, referindo-se ao ensino daMatemática Moderna. Alguns estudos, como o de Carraher (1989), têm mostrado que as pessoasrealizam cálculos matemáticos próprios, diferentes daqueles ensinados pela escola.Isso nos leva a pensar que as dificuldades dos discentes e os erros por elescometidos na matemática escolar talvez não sejam decorrentes do caráter abstratoda disciplina, mas originário de sua descontextualização. Godet apud Pinto (1994)afirma que: a matemática é uma maneira de conceptualizar certos aspectos do mundo real.Como matéria escolar, não pode perder todo seu poder explicativo da realidade; portanto, não pode ser concebida como um objeto já construído, passível de ser transmitido por si mesma, fora de todo contexto.(GODET, 1994 P. 70). Neste sentido a compreensão de que existem lacunas no ensino-aprendizagem da Álgebra e que estes podem ocorrer pela falta de compreensão dossignificados, nos leva a refletir sobre os obstáculos no sentido colocado porBrosseau (1983) apud Cury (2008): O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso, como se acredita nas teorias empiristas ou behavioristas da aprendizagem, mas o efeito de um conhecimento anterior, que tinha seu interesse, seu sucesso, mas que agora se revela falso, ou simplesmente inadaptado. Os erros desse tipo não são instáveis e imprevisíveis, eles são constituídos em obstáculos. (p.171).
  • 15. E no sentido colocado por Pais apud Cury (2008): “No plano pedagógico é mais pertinente se referir à existência de obstáculos didáticos, [...] conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar”. (p. 44. Grifo do autor). Essas reflexões são importantes para situar o estudo dos erros cometidospelos alunos na resolução de problemas algébricos. Pinto (2000) esclarece que “o erro é o componente mais arraigado doprocesso educativo – mais do que qualquer outro elemento”. (p. 36). Analisandonuma perspectiva formal, muitas vezes, em Educação, o erro é visto como algo ruim,algo mau, algo a ser evitado e punido. Outra idéia formal do erro é a de que deve serapagado, corrigido o mais depressa possível. O que interessa, em último lugar, é seo discente aprendeu ou não. Podemos considerar que a compreensão das causas dos erros deve estarligada a uma realidade de uma comunidade escolar ou a um Sistema de Ensino doqual os alunos fazem parte. No entanto, o erro pode acontecer por diversos motivos; seja por falta deatenção, dificuldades com os conteúdos que conseqüentemente ainda não sãodominados pelo aluno e quando este utiliza resoluções inadequadas.Por isso oprofessor deve estar atento às condições em que os erros acontecem e quais asmaneiras e as estratégias para superá-los. Nessas condições, pretende-se que oprofessor também possa desenvolver com alunos essa observação, a fim de quetome consciência da fragilidade de um suposto fracasso escolar diante dele.Segundo Cury (1995): Se focalizarmos a natureza da Matemática em si, a eliminação do erro está ligada ao entendimento da incompreensão do aluno sobre o conceito apresentado e à retomada do assunto sob novos enfoques, se pretendemos explorar o erro, esse pode nos levar à reflexão sobre os limites e características da própria Matemática. (p.09)
  • 16. Todavia analisar os erros nas provas e testes dos alunos faz parte da rotinado professor de Matemática, é um hábito. Muitos educadores, ao corrigir os testes,avaliam o erro de seus educandos atribuindo uma nota de acordo com o número deacertos e erros obtidos em cada teste, sendo o mesmo observado pelo professorcomo um indicador do mau desempenho do aluno, sem jamais ser utilizado para oredimensionamento do ensino, ao contrário do que propõe Cury. Mas, vale ressaltarque o erro pode ser considerado como ponto de partida, como fonte de informação,proporcionando aprendizagens. Deve ser encarado como uma etapa a ser vencidapelos discentes. Ele denuncia o percurso que o discente traçou, o caminho que elepercorreu até chegar a uma determinada resposta, e esses caminhos, essespercursos fazem parte de possibilidades na construção do seu conhecimento. Hoje, o erro é objeto de estudos e debates, pois a partir dele pode aprender.Quando queremos entender suas causas e conseqüências, o erro pode parecer umafalha no processo de ensino e aprendizagem, mas é condizente com o processo deconstrução de conhecimento matemático. Segundo Cury: Se estamos interessados no processo de aprendizagem da Matemática, o erro pode ser visto como instrumento de identificação dos problemas do currículo e da metodologia, e, ao resolvê-los, os erros serão eliminados; se, no entanto, queremos explorar o erro, esse pode constituir-se em instrumento para a compreensão dos processos cognitivos. (1995, p. 9-10), O erro configura-se como elemento integrante de seu processo de construçãodo conhecimento, sinalizando ao professor a existência de níveis provisórios deaproximação com relação ao objeto de conhecimento. Tendo como pressuposto de que o erro é uma fonte de dualizações doprocesso de construção do conhecimento é que surge a questão de objeto deestudo: quais são os erros e dificuldades mais freqüentes dos alunos da 8º ano doEnsino Fundamental II da Escola Estadual José da Silva Marques, na resolução deproblemas algébricos? Para responder a esse questionamento faz-se necessário:
  • 17.  Identificar e categorizar as estratégias e os tipos de erros que os discentes cometem com maior frequência durante a resolução de problemas algébricos  Analisar e classificar os erros elencados;  Refletir a cerca dos erros cometidos pelos alunos na resolução do teste investigativo. Este trabalho é composto por três capítulos. O capítulo I busca suporte teóricopara a pesquisa e está dividido em três momentos: o primeiro trás o histórico doensino da álgebra, o segundo fala sobre a aprendizagem através da resolução deproblemas algébricos e consequentemente dos erros na construção doconhecimento e o terceiro momento trás algumas concepções do erro. O capítulo II trata do desenvolvimento da pesquisa contemplando: lócus dapesquisa, sujeitos da pesquisados, instrumentos, procedimentos da coleta e afinalidade da pesquisa. O capítulo III trás a análise e interpretação dos dados e dos resultadosencontrados. Nas considerações finais é feito a conclusão da pesquisa.
  • 18. CAPITULO I 1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 1.1. Uma breve revisão do ensino da Álgebra O cenário atual do ensino de álgebra no Brasil pode ser um reflexo de como aálgebra evoluiu com o passar dos tempos e, uma breve revisão do ensino dessaparte da matemática torna-se necessária para compreender o que hoje acontececom o seu ensino. Na década de sessenta, com o surgimento do Movimento da MatemáticaModerna, que possuía como um dos seus objetivos a unificação dos três camposfundamentais da matemática, através da introdução de elementos unificadores,como a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas, a álgebra passou a ocuparum lugar de destaque. O Movimento da Matemática Moderna também tinha apreocupação de superar a forma mecânica e reprodutiva do ensino da Álgebra.Sobre as principais alterações no ensino da Matemática durante a implantação daMatemática Moderna, Miorim, Miguel e Fiorentini (1993), destacam que: [...] há uma tentativa de superar o caráter pragmático, mecânico e não justificado do ensino de álgebra, substituindo-o por uma abordagem que enfatiza a precisão da linguagem matemática, o rigor e a justificação das transformações algébricas através das propriedades estruturais; [...] (p. 21). As modificações que a Educação Matemática sofreu foram sempre através deinfluências de outros países, sem um posicionamento crítico sobre estas e semavaliações do que estava dando certo ou não nestas modificações. Após aimplantação da Matemática Moderna e seu declínio, os educadores movimentaram-se para recuperar o ensino da Geometria, e a Álgebra acaba perdendo o seu lugarde destaque, que havia adquirido com o Movimento da Matemática Moderna,através dos elementos unificadores, indicando uma tendência de a Geometriaocupar este lugar. Com estas novas propostas, a Álgebra parece retornar ao papelexercido anteriormente, conforme o citado abaixo:
  • 19. Mas se, por um lado, na proposta da CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas) a Geometria passa a dar sustentação à metodologia do ensino da Aritmética e da Álgebra, por outro lado, o próprio ensino de Álgebra não apenas perde aquelas características que a Matemática moderna lhe havia atribuído como também parece retomar – sem, é claro, aquelas regras e aqueles excessos injustificáveis do algebrismo - o papel que ele desempenhava no currículo tradicional, qual seja o de um estudo introdutório – descontextualizado e estático – necessário à resolução de problemas e equações (MIGUEL, FIORENTINI E MIRIOM, 1992, p.51). O papel significativo da álgebra, assumido no MMM, trás para a atualidade, aocupação de um lugar privilegiado nos livros didáticos, mas as reflexões realizadassobre o seu ensino ainda não foram suficientes para minimizar o problema dasdificuldades de compreensão dos seus conceitos e procedimentos. 1.2. Resolução de problemas algébricos e os erros na construção do seu conhecimento As necessidades cotidianas fazem com que os indivíduos desenvolvamcapacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhespermite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões.Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresentamelhor resultado. É consensual a idéia de que, a principal razão de estudar matemática éaprender como resolver problemas, ou problemáticas e assim estimular nos alunos aaplicação de regras, raciocínio lógico, criatividade e ter a capacidade de resolver osproblemas dados em sala de aula e conseqüentemente, no cotidiano da vida adulta.Como afirma Dante (2002) As finalidades do ensino de matemática indicam, como objetivo do ensino fundamental, resolver situações-problemas, sabendo validar estratégias, e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos, disponíveis (Dante, p. 15). No entanto todo problema requer uma solução e para isso é preciso buscar asalternativas. Em matemática “problema é uma situação que um indivíduo ou grupoquer ou precisa resolver e para o qual não dispõe de um caminho rápido e direto queo leve a solução” (LESTER 1983 apud OLIVEIRA et al 2009,pág 18) De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:
  • 20. No processo de ensino aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégias para resolvê-las. (BRASIL, 1998, p. 40) Os problemas de Matemática devem envolver muito mais aspectos do que asimples aplicação de operações é necessário desenvolver habilidades que permitampôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, paraobter a solução. O modelo proposto por Polya (1994), para resolução de problemas, prevêquatro etapas para a resolução de um problema: (a) compreensão do problema, (b)construção de uma estratégia de resolução, (c) execução da estratégia escolhida e,(d) revisão da solução. O primeiro passo para a resolução do problema é a interpretação do mesmo,a forma como o aluno formula, os métodos e as estratégias que ele utiliza. “Só háproblema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é postae a estruturar a situação que lhe apresentada” (PCNEM, 1997, pág 42). No processode interpretação o aluno constrói um campo de conceito que dá sentido aoproblema. Diante do mundo globalizado e tecnológico que estamos inseridos, surgemais um desafio, acompanhar a informação tecnológica para apresentar propostasde acordo com o meio que os alunos estão inseridos, e assim facilitar na vivencia dodia-a-dia e fazê-los pensar produtivamente. Segundo Lima(2007) apud Rodrigues: ... As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para obter resultados, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia a dia a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científica, quer tecnológica, quer mesmo social. As aplicações constituem a principal razão pelo qual o ensino da matemática é tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias de hoje e certamente Cada vez mais no futuro[...] (2011 pág. 25).
  • 21. Após a compreensão do problema, deverá ser traçado um plano paraalcançar os resultados que satisfaçam a situação. Depois de ter sido traçado umplano, o terceiro passo é a execução desse plano, ou seja, desenvolver o que haviasido planejado e transformar o problema através do algoritmo que mais se adequarna situação em questão. E por último, o quarto passo, que é não somente chegar nasolução do problema, mas também checar sua validade, ou seja, analisar a respostaobtida e verificar se ela satisfaz as condições iniciais do problema proposto. Segundo Pozo: “ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta”. (1998, p.14) O estudo algébrico envolve uma interpretação exigindo a tradução dalinguagem escrita para a linguagem matemática, e muitas vezes as dificuldadesapresentadas pelos alunos na tradução de situação da linguagem corrente para alinguagem formal residem na interpretação. Não sendo capaz de interpretar, o alunonão conseguirá representar formalmente a situação. Dentre alguns fatores influentes na apropriação do conceito algébrico está asua relação com a aritmética. Para Oliveira (2002), algumas barreiras se configuramna Álgebra pelo fato do aluno trazer para o contexto algébrico, dificuldades herdadasdo aprendizado no contexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico,procedimentos aritméticos que não procedem. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs de Matemática): “a ênfase que os professores dão a esse ensino não garante o sucesso dos alunos, a julgar tanto pelas pesquisas em Educação Matemática como pelo desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas escolas. Nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um índice de 40% de acerto em muitas regiões do país.” (BRASIL, 1998, p.115-116).
  • 22. De acordo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a linguagem simbólica, naálgebra, desempenha um papel essencial para a formação do pensamento abstrato,pois é através dele que se pode solucionar um problema matemático, abrangendotodo o contexto da situação, além de simplificar os cálculos. No entanto o pensamento algébrico é muito amplo, revela-se em todas asáreas da matemática e outros campos do conhecimento, sendo que, a construçãodo mesmo não é feita de maneira isolada, mas juntamente com tais áreas e campos. Hoje a Álgebra tem muitas aplicações se mostrando muito útil como estratégiade resolução de problemas, mas assim como os outros campos da Matemática, asua aprendizagem apresenta dificuldades. 1.3.O erro na visão de alguns autores Em termos de ensino de Matemática em sala de aula, o foco de atençãoainda está nos conteúdos que serão trabalhados, e qual conteúdo deve serapropriado pelo aluno em cada série e nas aulas de Matemática, valoriza-seprioritariamente o acerto como resultado de aprendizagem dos conteúdos, sendo o“erro”, nesse caso, condição de “fracasso”.Diante disso, muitos professores, deixam de explorar em seus alunos, oquestionamento, a experimentação, a criatividade, a inquietação, reduzindo as aulasde Matemática a um mero treinamento baseado na repetição e memorização.(ROCHA, 1998) O conhecimento em matemática alimenta o raciocínio, promove à auto-estima, a imaginação e compensa o reforço em aprender. O aprendizado exigededicação e principalmente treino, que significa prática e aprender com os erros. Oerro, segundo Aurélio, significa o raciocínio incoerente, falta de atenção, aincompreensão do enunciado. “Na aprendizagem o erro é inevitável, porque se fazinúmeras tentativas buscando estratégias a partir do que se conhece para solucionaros problemas propostos” (CARVALHO, 2005).
  • 23. Entre professores há pontos de vista controversos a respeito do erro, algunsdefendem o ponto de vista de que não se pode permitir que o erro aconteça, poisuma vez fixado dificilmente será eliminado. Outros ainda defendem que o erro deveser apagado, corrigindo-o o mais rápido possível, pois ele é sentencioso. Esses pontos de vista indicam que os erros não têm sido problematizadospara poderem ser discutidos e, a partir dele tomar novas direções, o que precisaficar claro, e não é compreendido, é que, para o aluno chegar ao “errado” ele precisaraciocinar e o entendimento do que foi trabalhado está representado no processoque conduz à resposta errada. [...] de modo geral os erros devem ser vistos como um indicativo de que o aluno sabe alguma coisa, porém não totalmente ou corretamente e que, portanto, é preciso trabalhar com esses erros e não apenas ignorá-los, lembrando que, dependendo da natureza do erro e que se determina qual conduta pedagógica deve ser adotada na busca de sua superação. Essa é uma das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de diminuir o fracasso escolar. (CADERNO AVA 2000, p.55). A teoria piagetiana discorre sobre o papel construtivo dos erros dizendo que,o desenvolvimento da criança é permeado de invenções e descobertas em que oserros e acertos são inevitáveis na construção do conhecimento e reconhecidos comoparte intrínseca desse processo. A produção da criança é entendida como parte de um processo e, por trás deseu erro, há um rico processo de construção de conhecimento; o erro é relativizado,é entendido como um momento de síntese provisória, que revela o movimento doindivíduo em seu processo de conhecimento (ESTEBAN, 1992). É necessário considerar que, quando o discente dá uma resposta errada a umproblema ou questão, é preciso avaliar se isso ocorreu por confusão ouesquecimento de um dado, por raciocínio incorreto ou por aplicação errônea deprincípios ou regra que evidencie lacunas na aprendizagem. É necessário que oprofessor saiba distinguir os tipos de erros, bem como conhecer a origem deles,tomando-os como sinal de uma estruturação em construção para, então, direcionar a
  • 24. sua ação pedagógica a fim de criar condições para que o aluno possa reelaborar oproblema em questão. Outro fato a considerar é que os acertos casuais podem também seridentificados pela justificativa do discente. Às vezes o aluno dá uma resposta certa,mas a justificativa que apresenta não é coerente ou se mostra incorreta diante daresposta. Por isso, é importante que os alunos sejam levados a justificar suasrespostas, pois esse ato leva o sujeito a refletir sobre a questão e a demonstrarmelhor seu nível de compreensão do problema. Na visão de Centeno (1988), conhecimentos insuficientes devem serconsiderados como uma etapa necessária para alcançar o conhecimento pleno eseu aparecimento é de grande valia para o professor. A análise da produção escrita de estudantes, em qualquer nível de ensino, éuma possibilidade de trabalho que pode ser considerada sob o ponto de vista dainvestigação ou do ensino. Cury (2007) defende a idéia de que a análise de erros é uma abordagem depesquisa e também uma metodologia de ensino, se for empregada em sala de aulacom o objetivo de levar os alunos a questionarem suas próprias soluções. Uma ênfase muito comum em pesquisas envolvendo Análise de Erros é a proposição de sistemas de classificação para os erros em Matemática cometidos por estudantes em diversos níveis, que existem desde o início do século XX e persistem até os dias atuais, porém, com enfoques diferentes. O ponto forte dessas pesquisas é que, além de proporem maneiras de classificar os erros cometidos pelos alunos, elas acabam suscitando discussões interessantes sobre a natureza destes erros de acordo com o foco que utilizam para classificá-los (BARICHELLO, 2008 p.32-33) Cury discorre que Bardin assinala três etapas básicas para o trabalho deanálise de erros: pré-análise, exploração do material e tratamento dos resultados,afirmando que “a categorização tem por primeiro objectivo (da mesma maneira quea análise documental), fornecer, por condensação, uma representação simplificadados dados brutos”. (Bardin(1979) apud Cury et al, p. 3).
  • 25. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais fala-se da necessidade de repensaras finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia. Enfatizando que a tarefado avaliador deve ser um permanente exercício de interpretação de sinais, deindícios, e da reunião de elementos que lhe permitem uma reorganização da suaatividade pedagógica. O professor deve, não somente buscar indícios sobre odesempenho dos alunos, mas também ter claro o que pretende obter, bem como ouso que fará desses indícios. Nesse sentido, segundo os PCN (1998), a análise doerro pode ser uma pista interessante e eficaz. Se numa avaliação seletiva, o erro tem um papel delimitado pelos resultados, ao perder sua função controladora, ele passa a ocupar um papel relevante na aprendizagem: o erro é um conhecimento; ele mostra o caminho do acerto que já está ali implícito. Nesta dialética, o erro aparece como um divisor de águas de duas tendências fortes na educação. Se na pedagogia tradicional, centrada no professor, o relevante era saber o que se ensina na pedagogia nova a preocupação do professor é saber como as crianças aprendem. (PINTO, 2000, p. 12). Por isso no processo de ensino e aprendizagem, não basta apenas conheceros erros e os acertos, a correção ou incorreção das respostas dos discentesjustificá-los ou evitá-los, mas sim, e principalmente, conhecer os processos que olevam a produzir estas respostas, analisando-os e transformando-os numa situaçãode aprendizagem. Mais do que medir determinados comportamentos, importacompreender as razões do erro.
  • 26. CAPÍTULO II 2. METODOLOGIA A pesquisa em educação é uma ocasião privilegiada que reúne pensamento eação na elaboração dos conhecimentos sobre os aspectos da realidade. Essapesquisa pode ser abordada de forma empírica (quantitativa) ou de forma qualitativa(Baraldi, 1999). Minayo (1999) diz que a abordagem qualitativa não pode pretendero alcance da verdade, com o que é certo ou errado; deve ter como preocupaçãoprimeira a compreensão da lógica que permeia a prática que se dá na realidade. Os procedimentos para a execução desta pesquisa foram de cunho qualitativoe quantitativo, pretendendo identificar e categorizar as estratégias e os tipos de errosque os discentes cometem com maior freqüência durante a resolução de problemasque envolvem conteúdos algébricos. A pesquisa foi predominantemente qualitativa,e inicialmente foi feito um levantamento bibliográfico sobre o tema abordado.Segundo Amaral (2007) é imprescindível, antecipar em todo e qualquer trabalhocientífico uma esgotante pesquisa bibliográfica sobre o tema em estudo, eposteriormente iniciar a coleta os dados. Os sujeitos da pesquisa foram 33 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental doColégio Estadual José da Silva Marques situado à Praça Onze, no município deCampo Formoso. A escolha da referida Escola, se deve ao fato de ter realizado osestágios na escola supracitada e pelo fato da mesma ser referencia no município.Os instrumentos utilizados para a coleta de dados desta pesquisa consistiu naaplicação de teste investigativo sobre equação de 1º grau aos alunos do referidocolégio. Quanto à série, a escolha efetuou-se por acreditar que o aluno nesta série,se depara com um cenário novo, e algumas vezes contraditório ao dosprocedimentos aritméticos que estava acostumado pelos seus vários anos deestudo, notando-se que o discente tem grande dificuldade em compreender osprocedimentos que fazem parte do estudo algébrico que são enfatizados nesta sériee serão utilizados até o final do Ensino Médio.
  • 27. Porém, os dados foram analisados com maior ênfase na pesquisa qualitativa.Segundo Chizzotti (2003) apud Silva (2006) a pesquisa qualitativa é uma dinâmicaentre a pessoa e o mundo real, entre o sujeito e o objeto, entre o mundo daobjetividade e da subjetividade. A interpretação do fenômeno é baseada no sujeito-pesquisador e este faz parte de todo o processo de análise, dando significância aotrabalho. Portanto não é um individuo isolado, inerente e neutro. Como essa pesquisa foi realizada onde ocorrem os problemas dos errosmatemáticos, mais especificamente dentro da sala de aula, trata-se de umapesquisa de campo. Também, como ela ocorreu de forma natural no ambiente ondeacontecem esses erros, sem a manipulação intencional em mudar os dadosencontrados, essa pesquisa é naturalística. (LÜDKE, ANDRÉ, 1986). Fiorentini e Lorenzato (2006) completam que a pesquisa de campo: [...] é aquela modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa- ação, aplicação de questionário, teste, entre outros. (p. 106). Para elaborar esses instrumentos, foi feito consultas desse conteúdo emlivros didáticos do Ensino Fundamental. Várias foram às referências, porém osescolhidos foram “A Conquista da Matemática” de, Giovanni Jr e Castrucci (2009) e“Matemática fazendo a diferença” de Bonjorno e Ayrton( 2006). A escolha destesexemplares se deve ao fato de serem os livros utilizados pela professora dadisciplina. Copiadas as questões abertas com o objetivo de que pudéssemosperceber o caminho percorrido pelo aluno para a resolução das questões propostasno teste investigativo. Foi analisada uma amostra de 33 testes com questões abertas, pois aprodução escrita dos discentes pôde revelar muito do conhecimento apropriadodurante o ciclo educacional. Para Rudio (1986) Amostra é, portanto, uma parte da população com uma regra ou plano. O mais importante, ao selecioná-la, é seguir determinados procedimentos, eu nos garantam representação adequada da população, donde foi retirada, dando-nos assim confiança de generalizar para o universo o que nela for observado. (RUDIO, 1986, p. 62)
  • 28. Portanto foi desenvolvida uma investigação com a abordagem interpretativana busca da compreensão por meio da análise de dados construída através do testeinvestigativo desenvolvido pelos sujeitos pesquisados, onde foram feitastranscrições das resoluções, análise dos erros cometidos, descrição destes erros,levantamento de hipótese sobre suas causas, construções gráficas para elucidarvalores numéricos e posteriormente comentários fundamentados sobre cadaresposta realizada pelos objetos de pesquisa. Para identificar os erros tivemos como base os descritores SAEB1. Feita aanálise dos testes investigativos, observando a forma de resolução e na análise einterpretação, foi feito um cruzamento com os descritores e os objetivos propostospor questão a partir da compreensão de Aritmética e Álgebra. É sabido que a superação ou a erradicação do erro no processo ensino-aprendizagem é inatingível, pois é por meio dos erros que os alunos podem seconscientizar de suas dificuldades e construir seu conhecimento, mas acredito que énecessário, através de uma pesquisa, questionar e problematizar essas dificuldades.Moraes (2004, p.14) alerta que “Questionar o conhecer é problematizar oconhecimento” e ainda acrescenta “Entretanto não podemos ficar no questionar. Oproblema faz-nos agir.” (p. 15).1 SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica.
  • 29. CAPÍTULO III 3.ANÁLISE DOS DADOS 3.1. Analisando os erros – O que pode sinalizar os erros cometidos A pesquisa Análise de erros cometidos pelos alunos do 8º ano do EnsinoFundamental na resolução de problemas algébricos, foi realizada com a aplicaçãode testes investigativos, à turma supracitada da Escola Estadual José da SilvaMarques no município de Campo Formoso. Optamos pela a análise quantitativa e qualitativa para a análise dos dadospara fornecer elementos para uma melhor interpretação. A análise quantitativa trásos dados organizados em gráficos e permite visualizar o quantitativo de alunos queerraram e acertaram as questões. Cada questão será representada por um gráficoque trará a porcentagem de erros, acertos e em branco, permitindo assim umavisualização imediata da situação encontrada. A partir dos erros, serão feitas interpretações dos mesmos, cometidos pelosalunos na resolução da questão proposta e suas respectivas causas, seguida daanálise qualitativa de cada questão. Esta trás um detalhamento sendo distribuídospor temas que relacionam um conjunto de objetivos educacionais conforme osdescritores da matriz SAEB. . Essas categorizações foram feitas baseadas nasmatrizes de Matemática que são estruturadas por anos e séries avaliadas. Paracada uma das questões foram escolhidos descritores que melhor se encaixavam naquestão de estudo observando objetivos propostos para a questão e habilidades quedeve ter sido desenvolvida nessa fase de ensino. Na matriz SAEB temos os seguintes temas: Tema I – Espaço e forma, TemaII – Grandezas e medidas, Tema III – Número e operação/Álgebra e funções e TemaIV – Tratamento da informação.
  • 30. Com referencia ao Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções. Estetema foi utilizado para a questão 01 do teste investigativo, tendo como referencia odescritor D 30. Segundo a matriz esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno realizaras quatro operações da aritmética. As regras das operações e suas justificativasdevem ser destacadas, como por exemplo, a operação distributiva e a nãoexistência da divisão por zero, sem esquecer de destacar que a divisão de doisinteiros pode não resultar em um número inteiro. (PROVA BRASIL, 2008) Analisando a questão 012 proposta no teste investigativo do objeto de estudoque tem no seu enunciado: Resolva a equação5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x Analisando quantitativamente a questão 01, observa-se que 97% (noventa esete por cento) dos alunos erraram e 3% (três por cento) deixaram em branco e 0%(zero por cento) acertou. O gráfico abaixo mostra o desempenho dos alunos quantoaos resultados da questão em análise: GRÁFICO 1: Análise quantitativa da questão 01.2 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro Matemática Fazendo adiferença dos autores Bonjorno & Ayrton.
  • 31. Estes foram classificados em:  Erro 01: refere à falta de habilidade em balancear os membros da equação;  Erro 02: que se refere ao jogo de sinal na resolução do cálculo;  Erro 03: diz respeito à propriedade distributiva e  Erro 04: que demonstra cálculos incoerentes, sendo classificado em outros tipos de erros. Abaixo segue o gráfico com os dados referentes aos erros seguidos de umainterpretação das possíveis causas dos erros cometidos pelos alunos na resoluçãoda questão proposta. 35% 30% 25% Erro 01 Erro 02 20% Erro 03 15% Erro 04 10% 5% 0% Questão 01 GRÁFICO 2: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 01. Em relação aos erros cometidos, conforme pode ser visto a seguir, têmdiversas origens: 01)Erros de sinal na mudança de membro: 3 ILUSTRAÇÃO 1: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Ametista .3 A designação dada aos alunos pesquisados deu-se ao fato de Campo Formoso ser considerada a terra daspedras preciosas.
  • 32. A possível causa consiste na incompreensão do processo que implica oisolamento da incógnita em um dos membros e a realização da operação inversapara desfazer a operação inicial (incompreensão da notação do símbolo deigualdade como um equilíbrio em dois sentidos em operações algébricas). 02)Erro de cálculo e regras/jogo de sinais: ILUSTRAÇÃO 2: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Esmeralda. Os alunos efetuaram com acerto a operação que envolve a propriedadedistributiva, mas erraram nos cálculos (- 4. (1) = - 4 ) e na manipulação das regrasde sinais. Sinalizamos que 31% dos alunos erraram na situação descrita acima, masconseguem isolar os termos semelhantes corretamente e pelo erro cometidoanteriormente finalizam a questão com a solução incorreta. 03)Dificuldade em operar com a propriedade distributiva ILUSTRAÇÃO 3: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Cristal.
  • 33. Nesta questão encontramos vários alunos com o mesmo erro (31%) o quelevou a erros mais simples como adição de termos semelhantes, operação desimplificação de frações. Este erro evidencia a compreensão insuficiente dos princípios da propriedadedistributiva bem como dos procedimentos para resolução de uma equação. 04)Demonstra cálculos incoerentes sendo classificado em: Outros tipos de erros ILUSTRAÇÃO 4: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Rubi. Nota-se que o aluno desenvolve a propriedade distributiva, porém soma oselementos que se encontram depois da igualdade. 3.2. Interpretando os erros encontrados na questão 01–O que sinalizam. Compreendo que a manipulação dos números com operações e o significadodestas é um dos requisitos necessários para o tratamento com números e suasoperações são indispensáveis no dia-a-dia dos alunos. Os números, presentes emdiversos campos da sociedade, além de utilizados em cálculos e na representaçãode medidas, sem falar no papel fundamental para o exercício da cidadania. Os descritores deste tema enfocam os números com suas operações, noçõesde álgebra e funções. Porém diante do levantamento dos tipos de erros e dainferência de possíveis causas, fica evidente que grande parte dos erros que osalunos cometem ao trabalhar com expressões algébricas tem origem, na
  • 34. insuficiência de aprendizagens anteriores, que vão se sobrepondo e reaparecendode diferentes maneiras. É possível perceber que os alunos não têm domíniosuficiente das propriedades básicas como a distributiva, bem como dosprocedimentos operativos para resolução da expressão. Podemos destacar assim que, dentre alguns fatores influentes naapropriação do conceito algébrico está a sua relação com a aritmética. Para Oliveira(2002) algumas barreiras se configuram na álgebra pelo fato do aluno trazer para ocontexto algébrico, dificuldades herdadas do aprendizado no contexto aritmético oupor estenderem para o estudo algébrico, procedimentos aritméticos que nãoprocedem o que ficou comprovado com esta investigação. O uso das letras em álgebra constituiu uma grande dificuldade para osalunos. As letras, em aritmética, já eram conhecidas por eles, mas serviam pararepresentar apenas medidas como metro (m), litro (l), etc., e não número ouquantidade qualquer. Na álgebra, as letras aparecem de uma maneira diferente quena aritmética. Elas indicam valores numéricos e essa mudança, comumente, causaconfusão. Ao analisar os erros cometidos pelos alunos na aprendizagem de Álgebra,Booth (1995) considera que a Álgebra e a Aritmética, apesar de suas diferenças,não são isoladas, e que, em vários aspectos a álgebra apresenta-se como umaAritmética generalizada. Para a autora, a fonte de dificuldades em álgebra é aaritmética, ou seja, as relações e procedimentos aritméticos não apreendidos afetamo desempenho em Álgebra, então as dificuldades em álgebra não são tanto deálgebra propriamente dita, mas de problemas em aritmética que não foramcorrigidos (BOOTH, 1995, p. 33). Podemos destacar que os alunos que participaram esta pesquisa tem seudesempenho em álgebra prejudicados porque não conseguem construir conceitosaritméticos básicos como expressão numérica, propriedade da adição, regra e/oujogo de sinal, soma te termos semelhantes.
  • 35. Questão 02 Para a questão 02, ainda em referencia ao Tema III - Números e operações/Álgebra e funções foi utilizado o descritor D33, que objetiva a habilidade de o alunoexprimir, com uma equação ou inequação do 1º grau, situações apresentadas emproblemas contextualizados (PROVA BRASIL, 2008). Abaixo temos exemplos do item que são as questões 02 e 04 propostas noteste investigativo: QUESTÃO 02: Qual é o número inteiro cujo dobro aumentado de 9 é igual aoseu quádruplo diminuído de 21?4 Abaixo temos o gráfico que demonstra o desempenho dos alunos naresolução da questão 02 proposta no teste investigativo: 70% 60% 50% Errada 40% Em branco 30% Correta 20% 10% 0% Questão 02 GRÁFICO 3: Análise quantitativa da questão 024 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro Matemática Fazendo adiferença dos autores Bonjorno & Ayrton.
  • 36. Percebe-se que 64% (sessenta e quatro por cento) dos alunos erraram, 12% (dozepor cento) deixaram em branco e 24% (vinte e quatro por cento) acertaram aquestão proposta no teste investigativo. Em relação aos erros, entendemos ter diversas origens conforme podemosver no gráfico abaixo: GRÁFICO 4: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 02 Os erros cometidos, conforme pode ser visto a seguir, e classificando como:  Erro 05: referente à representação matemática a partir do problema proposto;  Erro 06 que diz respeito à resolução do cálculo aritmético – Expressar a equação na questão dada. Fazendo uma análise qualitativa podemos perceber que as origens dos errossão: 05)Tradução para a linguagem simbólica (Representação matemática) ILUSTRAÇÃO 5: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Topázio.
  • 37. Foi utilizada a resposta dada pelo aluno Topázio considerando que há umasemelhança com os erros cometidos por outros alunos. Nota-se que a aluna nãoconstrói a equação corretamente, porque aparentemente não consegue expressaralgebricamente o enunciado de uma situação-problema. A possível causa da incompreensão consiste na dificuldade que os alunossentem na generalização das relações e procedimentos aritméticos dentro docontexto algébrico. 06)Procedimento da resolução da equação ILUSTRAÇÃO 6: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Turmalina. Nota-se que o aluno não compreende o sinal de igualdade como umarepresentação de equivalência entre os membros, mas sim como antecessor doresultado. por este motivo ele comete os seguintes erros: erros na troca de sinal,erro nas operações algébricas. Questão 04 Outro exemplo de questão que envolve a compreensão da transformação dalinguagem corrente para a representação matemática é a questão 04, a qual seencontra a seguir:
  • 38. Questão 04 – No estacionamento de um edifício há carros e motos,totalizando 13 veículos e 46 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesseestacionamento?5 Analisando quantitativamente o gráfico abaixo demonstra os dados dodesenvolvimento dos alunos na resolução da questão proposta: 50% 45% 40% 35% Errada 30% Em branco 25% Correta 20% 15% 10% 5% 0% Questão 04 GRÁFICO 5: Análise quantitativa da questão 04 A partir da leitura do gráfico percebemos que 45% (quarenta e cinco porcento) acertaram 9% (nove por cento) deixaram em branco e 46% (quarenta e seispor cento) dos alunos erraram a questão e em relação aos erros podemos constataras possíveis causas dos erros cometidos classificando em:  Erro 07: o aluno que apenas assinala uma alternativa errada;  Erro 08: referente a representação matemática;  Erro 09: outros tipos de erros caracterizado pelo pensamento incoerente;  Erro 10: no desenvolvimento do cálculo.55 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro A conquista da matemáticados autores Giovanni Jr & Castrucci.
  • 39. GRÁFICO 6: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 04 Em relação aos erros podemos perceber que o aluno: 07)Apenas assinala a alternativa errada. ILUSTRAÇÃO 7: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Ágata.Nota-se que o aluno preocupa-se apenas em assinalar uma alternativa de formaaleatória sem desenvolver o cálculo preocupando-se apenas em dar uma resposta àquestão. 08)Representação matemática
  • 40. ILUSTRAÇÃO 8: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Água-marinha. Percebe-se que o aluno não consegue traduzir da linguagem corrente para alinguagem matemática. 09) Incoerência de pensamento – Dificuldade em realizar as operações agébricas. ILUSTRAÇÃO 9: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Diamante. Nota-se que o aluno não consegue representar algebricamente a questão edemonstra não ter domínio no desenvolvimento da expressão.
  • 41. 10)Desenvolvimento do cálculo – Adição de termos semelhantes. ILUSTRAÇÃO 10: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Jade. A aluna traduz da linguagem corrente para a linguagem simbólica comclareza, porém se atrapalha no cálculo o que provoca o erro na questão. 3.3. Interpretando os erros encontrados na questão 02 e 04 – O que revelou o teste investigativo. Tendo a Matemática uma linguagem própria, com uma grande variedade desímbolos, pode fazer uma codificação desta simbologia para a tradução de umproblema na linguagem escrita para a linguagem matemática. É notório que uma dasbarreiras enfrentadas pelos alunos no estudo da Álgebra está na hora de fazer apassagem de uma situação-problema na linguagem corrente para a linguagemalgébrica. Parte da dificuldade de interpretação está relacionada com o fato de oaluno ter uma deficiência na linguagem escrita. Talvez falte propiciar um espaçopara que os alunos expliquem as suas formas de raciocínio. Malta (2002, p.216)ilumina essa discussão quando afirma que: [...] o desenvolvimento da capacidade de expressão do próprio raciocínio promove o desenvolvimento da capacidade de compreensão matemática. O desenvolvimento da capacidade de expressão está acoplado ao desenvolvimento da capacidade de leitura [...].
  • 42. De início, a dificuldade dos alunos em resolver uma equação simples, comincógnitas somente no primeiro membro mostra-se significativa. Mais adiante,quando as incógnitas passaram a aparecer também no segundo membro e que,para determinar o Conjunto Verdade, o aluno teria que isolar a incógnita no primeiromembro e os termos conhecidos no segundo, realizando operações inversas (ouinversão de sinal) ao migrar de um membro para o outro, o índice de errosaumentou. É também possível perceber que eles não compreenderam arepresentação do sinal de igualdade na resolução de equações como uma relaçãode equivalência, como um equilíbrio em dois sentidos, diferentemente do que ocorreem operações da aritmética que geralmente é interpretado como um símbolo queprecede a escrita de uma resposta (BOOTH, 1994). Percebe-se também, que os alunos não conseguiram identificar a operaçãocorreta, subtraindo os valores ao invés de adicioná-los, o que evidencia a falta dehabilidade em realizar os cálculos necessários (algoritmos). No entanto, talinabilidade se explique na passagem entre Álgebra e Aritmética, quando existe acontinuidade, procedimentos aritméticos que procedem no contexto algébrico, osalunos trazem consigo as dificuldades da Aritmética, fator que causa dificuldades noestudo algébrico.Questão 03 Ainda com referencia ao Tema III – Número e operações/ Álgebra e funçõesfoi proposto aos alunos, objeto de estudo, a questão 03 a qual foi utilizado odescritor D12. Segundo a Matriz com esse descritor o aluno deve resolver problemaenvolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. (PROVA BRASIL, 2008),demostrando a habilidade de o aluno calcular o perímetro de uma figura plana cujocontorno é uma única linha poligonal fechada. A seguir temos um exemplo do item que é a questão 03 do teste investigativoaplicado aos alunos estudados:
  • 43. Questão 03: As medidas das dimensões de um terreno retangular são dadas emmetros e estão indicadas na figura. Para cercá-lo com arame farpado, foram gastos134 metros desse material. Quais são as dimensões desse terreno?6 Analisando quantitativamente temos o gráfico que representa os dados daresolução da questão pelos alunos: GRÁFICO 7: Análise quantitativa da questão 03 A partir do gráfico acima podemos perceber que 94% (noventa e quatro porcento) dos alunos erraram, 6% (seis por cento) deixaram em branco e 0% (zero porcento) acertaram. Em relação aos erros classificamos em:  Erro 11: interpretação do enunciado,  Erro 12: pela incompreensão do conceito de perímetro  Erro 13: na resolução das operações no desenvolvimento da questão. Abaixo temos o gráfico que mostra o desempenho dos alunos a partir doserros cometidos e as possíveis causas desses erros na resolução da questão:6 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro Matemática Fazendo adiferença dos autores Bonjorno & Ayrton.
  • 44. GRÁFICO 8: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 03 Analisando qualitativamente a questão podemos concluir que os erroscometidos pelos alunos são: 11)Interpretação do enunciado ILUSTRAÇÃO 11: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Ônix. O aluno demonstra ter noção de perímetro e encontra o valor de “x”, mas nãoatenta para o enunciado e não encontra as dimensões do terreno que era o quepedia o enunciado. 12)Falhas conceituais
  • 45. ILUSTRAÇÃO 12: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Turquesa. Podemos perceber que a aluna não demonstra o conhecimento de perímetro,pois a mesma multiplica o valor da área do terreno por quatro. 13)Procedimento do cálculo – Balanceamento da equação ILUSTRAÇÃO 13: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Pedra-lua. O aluno demonstra ter conhecimento de perímetro, mas no desenvolvimentoda questão ao tentar balancear a equação para encontrar o valor de x se atrapalha. 3.4. Interpretando os erros cometidos na questão 03 – Revelando os erros. Segundo Pérez Echeverría (1998) e Mialaret (1975) apud Spolar (2002), acompreensão de um problema matemático pode ser influenciada por diversosfatores como: o conteúdo das tarefas; a sua relação com os conhecimentos que o
  • 46. aluno detém; o vocabulário utilizado no enunciado; o contexto no qual ocorre. Enfim,a forma de linguagem que as expressões assumem faz com que haja uma variaçãoconsiderável na sua tradução para as representações matemáticas, influindodecisivamente na forma de resolvê-las e, conseqüentemente, no êxito do aluno naresolução do problema proposto. Como é possível notar, o índice de erros no cálculo de perímetro mostra-se,talvez ao fato de a figura apresentar somente a medida de um dos lados da largura edo comprimento, onde o grau de dificuldade aumentou e foi comum a apresentaçãoda soma apenas dos dados presentes. A idéia de perímetro, para Backendorf (2010,p. 136), está ligada a capacidade de medir. Além disso, é preciso enfatizar queperímetro é a medida do tamanho do contorno de determinada figura. (ANDRINI eVASCONCELLOS, 2006). Porém de um modo geral, neste item, a origem dasdificuldades e erros provém de conhecimentos anteriores, principalmenterelacionados aos procedimentos de cálculos no que se refere às operaçõesmatemáticas. Apesar da grande maioria dos alunos demonstrarem ter compreendidoa idéia envolvida no problema muitos cometeram erros na resolução do algoritmo,pois como já observado os alunos apresentam, maior dificuldade na resolução daoperação a ser utilizada.Questão 05 Por fim, ainda dentro do Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções,para a questão 05, proposta no teste investigativo, foi utilizado o descritor D36.Segundo a matriz esse descritor objetiva resolver problema envolvendo informaçõesapresentadas em tabelas e/ou gráficos (PROVA BRASIL, 2008). O aluno deveráexpressar a habilidade de analisar tabelas ou gráficos, extrair informações nelescontidas e, a partir destas, resolver problemas. Pra exemplificar este item foi proposto aos alunos a questão 05, comopodemos ver abaixo:
  • 47. Questão 05 – Numa lanchonete, a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre trêspessoas da seguinte forma: Quantos reais coube a cada uma dessas três pessoas?7 O gráfico a seguir mostra o desempenho dos alunos na resolução da questãoproposta: 70% 60% 50% Errada 40% Em branco 30% Correta 20% 10% 0% Questão 05 GRÁFICO 9: Análise quantitativa da questão 05 A partir do gráfico acima podemos perceber que 24% (vinte e quatro porcento) acertaram, 9% (nove por cento) deixaram em branco e 67% Sessenta e setepor cento) dos alunos erraram a questão 05 proposta no teste investigativo. Emrelação aos erros cometidos pelos alunos temos que estes foram classificados em:  Erro 14: relativo ao desenvolvimento da questão proposta,  Erro 15: referente à dificuldade de representação matemática,  Erro 16: na utilização das operações adequadas para resolução da questão proposta,  Erro 17: incoerência de pensamento7 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro Matemática Fazendo adiferença dos autores Bonjorno & Ayrton.
  • 48.  Erro 18: interpretação do enunciado. O gráfico a seguir traz os dados quanto aos erros cometidos pelos alunos naresolução da questão em estudo: GRÁFICO 10: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 05. Em relação aos erros cometidos pelos alunos na resolução da questãoproposta, podemos perceber que estes foram: 14)Desenvolvimento da questão – Dificuldade em realizar as operações algébricas ILUSTRAÇÃO 14: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Safira.
  • 49. A aluna arma a expressão através da leitura do gráfico, demonstrando tercompreendido que para encontrar o resultado teria que somar os dados expressosno gráfico. Porém não efetua as operações, deixando a entender que para chegarao resultado a mesma apenas dividiu o total da conta por três. 15)Representação matemática ILUSTRAÇÃO 15: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Malaquita. O aluno não consegue expressar algebricamente a questão e posteriormenteresolvê-la. 16)Interpretação (uso das equações) ILUSTRAÇÃO 16: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Amazonita.
  • 50. O aluno não consegue utilizar a operação adequada para a resolução daquestão, além de se atrapalhar no desenvolvimento da questão. 17)Pensamento incoerente - ILUSTRAÇÃO 17: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Fluorita. O aluno se preocupa em dar a resposta não conseguindo ter clareza noprocedimento utilizado para a resolução da equação. 18) Interpretação - Falta de conclusão ILUSTRAÇÃO 18: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Berilo.
  • 51. Nota-se que os alunos compreendem o enunciado desenvolve acertadamentea questão, porém por falta de atenção não concluem a questão. Acreditam que sóprecisam encontrar o valor de “x” e esquecem que deveriam ver a quantia paga porcada um dos garotos. 3.5. Interpretando os erros encontrados na questão 05 – Um olhar sobre os testes investigativos. A capacidade de ler gráfico e tabelas também devem ser consideradas naformação do leitor nas aulas de matemática. A leitura e a interpretação de gráficos etabelas desenvolvem as habilidades de questionar, levantar e verificar hipóteses,bem como procurar relações, habilidades inerentes ao processo de ler qualquer tipode textos e posteriormente resolver o problema solicitado. A resolução de umproblema algébrico consiste em determinar o valor da incógnita, ou seja, de umtermo desconhecido apresentado no problema. Isso requer uma leitura atenta doenunciado, sua compreensão, mudança da linguagem escrita para a linguagemsimbólica da Matemática, identificação das operações a serem efetuadas eprocessos de resolução, ou seja, requer o uso de uma série de habilidades, técnicase procedimentos que já devem ser de domínio dos alunos. É possível perceber afalta de domínio dos alunos quanto aos procedimentos para resolver essa equaçãoou talvez por falta de atenção. Há alunos, também, que perante um enunciado,depois de uma rápida leitura, tendem a resolver a tarefa de forma imediata, semreflexão prévia; se atiram, simplesmente, para as operações sem terem a visão doconjunto do problema. Fazem qualquer coisa, precipitam-se, somam ou dividem aoacaso, porque entendem (ou lhes é cobrado) que devem atuar, transformando, porvezes, os dados do problema em solução.
  • 52. CONSIDERAÇÕES FINAIS Este texto reflexivo não quer, nem de longe, encerrar qualquer discussão quese abra sobre os erros cometidos pelos alunos na resolução de problemasalgébricos, visa antes, dar impulso para posteriores investigações mais profundas aeste respeito. Refletirmos sobre o erro escolar e, conseqüentemente, sobre a avaliação nosleva a criar novas hipóteses. Ao buscarmos algumas possíveis respostas, tambémnos deparamos com novas perguntas ou com novos modos de organizar antigasquestões, ou ainda, com outras possibilidades de percepção das trajetóriasrealizadas e dos nós atados e desatados no percurso. Assim, vamos criando novaspossibilidades de compreensão, de formulação e de atuação. Analisar as estratégias utilizadas e os tipos de erros mais freqüentes durantea resolução de problemas envolvendo conceitos algébricos auxilia a obter uma visãogeral da situação dos alunos quanto ao desenvolvimento desses conceitos durante atransição do pensamento aritmético ao pensamento algébrico. Após a análise dos testes investigativos, percebeu-se que os alunos, objetosdo estudo, não possuem todas as habilidades e competências desejadas, na partealgébrica da matemática para este nível de ensino. Isso foi observado pelaporcentagem de acertos e erros das questões aplicadas na pesquisa. Vale ressaltarque as questões foram retiradas de livros de Ensino Fundamental, todas comconteúdos já vistos pelos alunos deste nível do Ensino. Mesmo assim, os alunosdemonstraram muitas deficiências algébricas e alguns conceitos equivocados, taiscomo perímetro. Embora o desempenho dos alunos possa ser considerado baixo para a sérieem que se encontram, achamos importante destacar que os professores precisamconhecer essas formas de pensamento dos alunos e considera-las como um pontode partida para elaboração do pensamento algébrico.
  • 53. Os achados desse estudo foram encontrados na aplicação individual eresolução escrita dos testes investigativos, o qual pôde constatar os mais diversostipos de erros. Segundo Davis e Espósito (1991), erros de naturezas distintas exigemcondutas pedagógicas diferenciadas. Conforme vimos, erros consideradosconstrutivos são aqueles que exigem analogias, uso de teorias, mesmo que logo oaluno tenha que abandoná-las num processo de idas e vindas, de conflitos emomentos de longa elaboração; são erros que evidenciam progressos na atividademental, que sinalizam a formação de novas estruturas e indicam possibilidades deprogresso. Os chamados não-construtivos diferem dos demais por não estaremrelacionados com a construção do conhecimento; revelam que o aluno já possui aestrutura de pensamento necessária à solução da tarefa, ou seja, ele jácompreendeu e sabe como chegar à resposta correta, mas erra por distração ou porfalta de fixação de algum procedimento. Os erros que reaparecem de forma sistemática no teste investigativo, durantea pesquisa que são os erros de cálculo e os erros que envolvem troca de operaçõese regras de sinais. Sendo assim, o aluno precisa ter bem claro o significado do sinaldo número e da operação para poder conviver com essa simultaneidade. A superação de dificuldades como estas necessita primeiro que elas sejamdiagnosticadas e depois analisadas para que se identifique a origem e a natureza edepois que haja uma intervenção para suscitar reformulações conceituais de modo aproduzir modificações na maneira que o aluno trabalha levando-o a pensar edescobrir que estava errado ao fazer a generalização e vir a visualizar onde e porque estava errando. Possivelmente a dificuldade seja em decorrência da metodologia usada peloprofessor que trabalhou com conteúdos prontos sem que o aluno tivesse apercepção clara de equacionamento, sem uma preparação adequada para trabalharcom estruturas algébricas.
  • 54. É sabido que a aprendizagem por processos de memorização e repetiçõesnão leva a uma compreensão significativa: trata-se de processos superficiais e maisvulneráveis ao esquecimento e a confusões perceptivas que levam o aluno acometer erros sistemáticos. E essa pode ser uma das principais causas dos errosconstatados. Os erros podem ter ocorrido por falta de atenção ou por falta decompreensão. Notou-se, que alguns dos alunos, aplicaram corretamente o conceito deperímetro, escrevendo a expressão correspondente ao perímetro da figura. Noentanto, ao finalizarem a questão, isto é, ao agruparem os termos semelhantes,confundiram processos de resolução das operações. Diante dos resultados obtidos, creio poder afirmar que os erros constituemuma importante ferramenta que possibilita o diagnóstico dos problemas presentes noprocesso tanto de ensino como de aprendizagem. Ressalte-se que no processo deensino, os erros podem ajudar o professor a concluir que a estratégia de ensinoadotada se mostra inadequada e necessita ser redefinida mediante novas açõesmetodológicas e pedagógicas. Na aprendizagem, os erros podem ser tomados comoobjeto de reflexão; como fonte de tomada de consciência proporcionando ao aluno apossibilidade de reavaliar as suas ações, as estratégias e o caminho seguido embusca do resultado que se revelou inadequado; de compreender o seu erro e entãoretomar o processo de construção do seu conhecimento. Tornar relevante o papel educacional do erro pode até provocar mudançasem atitudes e crenças com relação à disciplina, tanto por parte do aluno como doprofessor. Portanto, promover atividades estimulantes sobre determinados tipos deerros nos ajudam a descobrir quão longe sua análise pode levar-nos ajudando-nos aalterar concepções e crenças, vencer preconceitos tanto em relação ao próprio errocomo à disciplina e a proporcionar ganhos extremamente importantes para oprofessor e para o aluno. Não basta dizermos quais são os caminhos corretos e qual é o caminho quenossos educandos devem percorrer em suas estratégias para a superação de seus
  • 55. próprios erros. Mas é necessário que o aluno reconheça suas dificuldades, que osseus conhecimentos ainda são insuficientes, pois só assim ele perceberá que, seinsistir nas estratégias erradas, continuará tendo dificuldades e não chegará aconhecer o que a comunidade escolar considera como saber básico. Segundo Rico (1995), o aparecimento de erros nas produções dos alunosacontecem por várias causas, entre elas, as concepções inadequadas sobre osaspectos fundamentais da Matemática, resultados de utilização de procedimentosimperfeitos que, às vezes, não podemos reconhecer ou exemplos de métodos eestratégias inventadas, não formais mais originais, para solução de algunsproblemas propostos. Vejo, assim, que a análise de erros constitui um importante campo de estudoe investigação em Educação Matemática, sendo também referenciada como pontode partida para inovações dentro do ensino de Matemática. A Matemática é uma das Ciências que trabalha o raciocínio lógico, através daexploração de diversos caminhos nas resoluções de problemas. Podem-se cometererros nessa caminhada, que também podem ser aproveitados para promover novasaprendizagens. Este olhar sobre a Matemática é único, pois, se compararmos com aárea médica ou outras, como a Economia, por exemplo, as conclusões após um erropodem ser desastrosas. Na Matemática, podem-se visualizar os erros como fonte demotivação para os alunos, quando discutimos estratégias de resoluções, exploramosde forma criativa as atividades valiosas de planejamentos e resoluções deproblemas. Portanto o erro pode assumir, no ensino, o papel de um instrumento quepossa identificar problemas, de acordo com o nível e as séries envolvidas. Quandoos erros são analisados, podem ser superados, pois erro e acerto faz parte doprocesso do ensino e aprendizagem. Por outro lado, a investigação que parte daanálise dos erros permite compreender o processo cognitivo dos nossos alunos eassim auxiliá-los a construir novos conhecimentos. Esta é a idéia que ficou destetrabalho e espero ter contribuído para que novas pesquisas sejam feitas sob o
  • 56. mesmo enfoque, para que a análise de erros seja mais uma ferramenta para auxiliarprofessores e alunos em sua caminhada na busca de uma aprendizagemmatemática mais adequada às necessidades da sociedade. Alerta-se para a necessidade do educador identificar e refletir sobre os erroscometidos pelos educandos, como sugerem autoras como Cury (2007) e Pinto(2000), para através dessa análise, desenvolver propostas didáticas pedagógicasque auxiliem os alunos a transpor esses obstáculos e construir conhecimentos bemestruturados, bem como auxiliar os estudantes para que aos poucos, estes tambémsejam capazes de refletir sobre seus próprios erros e corrigi-os autonomamente.Apesar deste estudo não ter contemplado um retorno aos alunos em forma depropostas didático-pedagógicas, buscou-se auxiliá-los na compreensão e correçãodos erros.
  • 57. ReferênciasAMARAL, João J. F. Como fazer uma pesquisa bibliográfica. Fortaleza, 2007.Disponível em: br.geocities.com/abs5famed/bibliografia.pdf . Acesso em: 15 de maiode 2011.ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo Praticando Matemática.Volume 4. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2006. 248p.BACKENDORF, V. R. Uma seqüência didática de medidas de comprimento esuperfície no 5° ano do ensino fundamental: um estudo de caso. 2010. 187f.Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Matemática,UFRGS, Porto Alegre, 2010. Disponível em:<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/25221/000752787.pdf?sequence=1>. Acesso em: 05 de janeiro de 2012.BARALDI, I. M. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru, SP: EditoraEdusc, 1999.BARICHELLO, L. Análise de resolução de problemas de cálculo diferencial em umambiente de interação escrita. Dissertação de Mestrado. Rio Claro, SP:Universidade Estadual Paulista/IGCE. 2008. Disponível em:<http://www.athena.biblioteca.unesp.br/exlibris/bd/brc/33004137031P7/2008/barichello_l_me_rcla.pdf>. Acesso em: 25 de outubro de 2011.BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; AYRTON, Olivares.Matemática: Fazendo a diferença 8º ano. 1ª Ed. São Paulo: FTD, 2006 – ColeçãoFazendo a diferença.BOOTH, L. R. Children’s difficulties in beginning Álgebra. 1986. P.299-306.Disponível em:<http://elementaryalgebra.cmswiki.wikispaces.net/file/view/Childrens+Difficulties+in+
  • 58. Beginning+Algebra.pdf/142535729/Childrens+Difficulties+in+Beginning+Algebra.pdf>. Acesso em : 09 dezembro de 2011BOOTH, L. R. Dificuldades das Crianças que se Iniciam em Álgebra. In: COXFORD,A. F.; SHULTE, A. P. (Orgs.). As Idéias da Álgebra. Tradução por Hygino H.Domingues. São Paulo: Atual, 1994.BOOTH, R. L. Dificuldades das crianças que se iniciam com álgebra. In: COXFORD,A. F. & SHULTE, A. P. (org.). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental - Brasília: MEC/SEF, 1998.CADERNO AVA 2000 Matemática: uma análise pedagógica. Secretaria de Estadoda Educação. Curitiba 2001. Disponível em:<http://dc142.4shared.com/doc/w_OluzZt/preview.html>. Acesso em: 04 de maio de2011CARRAHER, T. N., SCHLIEMANN, A. D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo:Cortez Editora, 1989.CARVALHO, Marlene. Alfabetizar e letrar: um diálogo entre a teoria e a prática.Petrópolis: Vozes, 2005.CENTENO, J. P. Números Decimales. Por qué? Para qué? Madrid: EditorialSínteses, 1988. Disponível em:<http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/2ESO_PROFESOR/datos/05/02/02.pdf>. Acesso em: 21 e Setembro e 2010.CURY, H. N. Retrospectiva história e perspectivas atuais da análise de erros emeducação matemática. Zetetiké, v.3, n.4, p. 39-50, nov. 1995.
  • 59. Cury, H. N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dosalunos. Belo Horizonte: Autêntica.CURY, Helena Noronha; BISOGNIN, Eleni; BISOGNIN, Vanilde. A ANÁLISE DEERROS COMO METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO. Disponível em:<http://www.apm.pt/files/142359_CO_Cury_Bisognin_Bisognin_4a36c5d50a09a.pdf>Acesso em: 23 de setembro de 2011DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática.12ª ed.,São Paulo: Ática, 2002DAVIS, C. ; ESPÓSITO, Y. O Papel e a Função do Erro na Avaliação Escolar.Revista Brasileira de estudos Pedagógicos, Brasília, v.72, n.171, p. 196-206, 1991.ESTEBAN, M. T. Repensando o trabalho escolar. In: O sucesso escolar: um desafiopedagógico. Caderno Cedes. São Paulo: Papirus, 1992.FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigações em educação matemática; percursosteóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.GIOVANNI, R. J.;CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR. R.J. A Conquista da Matemática.São Paulo: FTD, 2009.LÜDKE, M.; ANDRÉ, M.E.D.A. Pesquisa em educação; abordagens qualitativas. SãoPaulo: EPU, 1986.MALTA, Iaci. Sobre um Método não Tradicional para Aprender Cálculo. In:CARVALHO, L. M.; GUIMARÃES, L. C. (org.). História e Tecnologia no Ensino deMatemática, vol 1. Rio de Janeiro: IME - UERJ, 2002.MEIRA, Luciano. Produção de sentidos na atividade algébrica. In: AtividadeAlgébrica: Atividade algébrica e o problema do significado. Disponível em:
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  • 61. SPOLAR, Sueli. Erros em matemática UM ESTUDO DIAGNÓSTICO COM ALUNOSDE 6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL. Maríla-SP. 2002. Disponível em:<http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Sueli.pdf>. Acesso em 12 e Janeiro de 2012.PIAGET, J. Para onde vai a educação? 8 ed. Rio de Janeiro: José Olympio Editora,1984.PINTO, N. B. O Erro como Estratégia Didática. Campinas: Papirus, 2000.PINTO, N.B. Marcas históricas da matemática moderna no Brasil. Curitiba:Champagnat. Pontifícia Universidade Católica do Paraná. Revista DiálogoEducacional. V.5, n.16, 2005, pp. 25-38.POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do métodomatemático. Tradução e Adaptação Heitor Lisboa Araújo. Rio de Janeiro:Interciência, 1994.POZO, Juan Ignacio. A solução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1998.RICO, L. Errores en el Aprendizaje de las Matemáticas. In: KILPATRICK J. ; GOMEZP. ; Rico, L. Educación Matemática. Colômbia: Grupo Editorial Iberoamérica, 1995.p. 69-108.ROCHA, I. C. B., Ensino da Matemática: Formação para exclusão ou para acidadania? Educação Matemática em Revista. Sociedade Brasileira de EducaçãoMatemática. nº 9/10. Abril 2001. São Paulo. p.22-31RODRIGUES, Wagner Pulido. Uma abordagem conceitual de volumes no EnsinoMédio. São Paulo – SP. 2011. Disponível em:http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/wagner_pulido_rodrigues.pdf Acessoem 22 e Outubro de 2011.
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  • 63. APÊNDICE Universidade do Estado da Bahia – UNEB Departamento de Educação de Senhor do Bonfim – DEDC Campus VII Curso: Licenciatura em Matemática Semestre 2011.2 Disciplina: TCC IIINome completo do aluno(a):________________________________________________________________ QUESTÃO 01 Resolva a equação 5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x. QUESTÃO 02 Qual é o número inteiro cujo dobro aumentado de 9 é igual ao seu quádruplo diminuído de 21? QUESTÃO 03 As medidas das dimensões de um terreno retangular são dadas em metros e estão indicadas na figura. Para cerca-lo com arame farpado, foram gastos 134 metros desse material. Quais são as dimensões desse terreno? QUESTÃO 04 No estacionamento de um edifício há carros e motos, totalizando 13 veículos e 46 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? a) 11 carros e 2 motos b) 10 carros e 3 motos
  • 64. c) 9 carros e 4 motosd) 8 carros e 5 motos QUESTÃO 05 Numa lanchonete, a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre três pessoas da seguinte forma: Quantos reais coube a cada uma dessas três pessoas?