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Monografia Gilberto Matemática 2008

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Matemática 2008

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  • 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA GILBERTO ALVES DOS REIS FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE OMELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA SENHOR DO BONFIM, 2008
  • 2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA GILBERTO ALVES DOS REIS FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE OMELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA SENHOR DO BONFIM, 2008
  • 3. GILBERTO ALVES DOS REISFRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O MELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA Monografia apresentada ao Departamento de Educação – Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de licenciado em Matemática. Professora Mirian Brito de Santana Orientadora SENHOR DO BONFIM, 2008
  • 4. FOLHA DE APROVAÇÃO FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O MELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA GILBERTO ALVES DOS REIS BANCA EXAMINADORAProfa. Mirian Brito de Santana_____________________________________Universidade do Estado da Bahia - UNEBEspecialista em Metodologia do Ensino do Desenho/UEFSProfa. Fabiana Oliveira da Silva____________________________________Universidade do Estado da Bahia - UNEBMestre em Ciências Biológicas/UFBAProf. Danton de Oliveira Freitas____________________________________Universidade do Estado da Bahia - UNEBEspecialista em Metodologia do Ensino do Desenho/UEFS Senhor do Bonfim, julho 2010
  • 5. Dedico este trabalho: Aos meus pais: fãs incondicionais e verdadeiros amigos em todo o meupercurso de vida e que deixaram muitas vezes de realizar os próprios sonhos para me proporcionarem a educação que não tiveram; Ao meu filho Tauan que com o seu sorriso inocente sempre me deu forças para continuar em busca dos meus objetivos; À minha esposa Aninha que durante todos esses anos tem sido o meusuporte emocional, sempre disposta a me ouvir, me dar colo e a me impulsionar a vôos cada vez mais altos; Aos professores que direta ou indiretamente participaram da minha formação acadêmica, profissional e pessoal.
  • 6. Agradeço: Inicialmente a Deus, pela força para realizar este trabalho e por ter colocadono meu caminho as pessoas certas nas horas mais necessárias; Às pessoas que contribuíram para o bom andamento deste trabalho:Professor Danton Freitas, Professor José Garcia Vivas Miranda, Professora FabianaSilva, Professor Adson Bastos, Professor José Cleub Santos Junior, ProfessorHiroyuki Sasaki; Aos meus amigos, Roberto Rayala e Manoel Bonfim, pelo incentivo e abrigotão importantes nesta caminhada; À professora Mirian Brito, orientadora desse trabalho, pela dedicação ecarinho; A todas as pessoas que direta ou indiretamente participaram deste processo.
  • 7. “Não é o ângulo reto que me atrai, Nem a linha reta, dura, inflexível, Criada pelo homem. O que me atrai é a curva livre e sensual,A curva que encontro nas montanhas do meu país, No curso sinuoso dos seus rios, Nas ondas do mar, No corpo da mulher preferida. De curvas é feito todo o universo, O universo curvo de Einstein”. (Oscar Niemeyer)
  • 8. RESUMOEste trabalho busca uma aproximação entre a geometria fractal e a caatinga dosertão nordestino. A descoberta desta geometria é datada de meados do século XXe traz o foco de discussões para a área da geometria. A geometria fractal é tambémconhecida como geometria da natureza visto que muitos fenômenos naturaisapresentam estruturas fractais e assim sendo, apresentam irregularidades quetornam impossível a sua descrição através dos postulados e proposiçõesgeométricas antes conhecidas. Não é possível, por exemplo, determinar de modopróximo ao real, o volume de uma pedra arredonda utilizando apenas a geometriaeuclidiana. A beleza da geometria fractal e suas características nos levaram aconcretizar esta pesquisa através de uma abordagem qualitativa, descrevendo umcaso específico de investigação na perspectiva geométrica, de uma planta natural dacaatinga. Neste sentido, inquietava-nos então saber se a geometria fractal estariapresente no Melocactus SP ou Cabeça-de-frade e, se confirmado, como poderíamosestudar e analisar as características fractais desta planta. Para tanto, realizamos umestudo de campo, consistindo na captura de imagens da planta escolhida nomunicípio de Itiúba, Bahia, e atribuindo a esta um tratamento específico através doPrograma Computacional Fractal Analysis System, concedido gentilmente pelaNational Agriculture and Food Research Organization, do Japão. Diante dos dadoscoletados, ousamos afirmar que nossas suspeitas iniciais se confirmaram. Estesdados parecem indicar que a Melocactus SP é realmente um objeto fractal, porapresentar as principais características fractais. Esperamos, pois, que o estudorealizado, sirva de base para outros mais detalhados e que possa servir tambémpara construir novos caminhos apontando previsões ou soluções que amenizemproblemas significativos como a seca na região nordeste do país.Palavras-chave: Melocactus SP; geometria não euclidiana; fractais; Fractal AnalysisSystem
  • 9. 9 SUMÁRIOLISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS ................................................ 10INTRODUÇÃO ................................................................................................... 111 Fractais: Estudo Recente, História Antiga ............................................. .....131.1 Geometria Euclidiana e Não Euclidianas: Base para o Estudo do Fractal.....192 Dimensão e Aplicação de Fractais .............................................................. 262.1 Triângulo de Sierpinski ................................................................................. 262.2 Curva de Koch .............................................................................................. 272.3 Poeira de Cantor .......................................................................................... 282.4 Aplicações dos Fractais................................................................................ 303 Geometria Fractal na Caatinga..................................................................... 363.1 Caminhos Fractais ....................................................................................... 363.2 O Software: Tratamento Fractal ................................................................... 383.3 Lócus da Pesquisa ....................................................................................... 403.4 Cactácea: Vida no Nordeste Seco ............................................................... 42CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 48REFERÊNCIAS .................................................................................................. 51ANEXOS ........................................................................................................... 56
  • 10. 10LISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELASFigura 1: Gráfico da função de Weierstrass............................................................. 13Figura 2: Os seis primeiros passos da Poeira de Cantor ......................................... 14Figura 3: Os três primeiros passos para a construção da curva de peano .............. 15Figura 4: Gráfico das equações x n+1 = k. x n (1 – xn2) referente à tabela 1 .......... 17Figura 5: Conjunto de Mandelbrot ........................................................................... 21Figura 6: Feto fractal gerado por recursos computacionais ..................................... 22Figura 7: Simulação de uma linha costeira .............................................................. 23Figura 8: Os cinco primeiros passos da construção do Triângulo de Sierspinski ..... 26Figura 9: Processo iterativo de construção da Curva de Koch apresentado atravésdos 5 primeiros níveis .............................................................................................. 28Figura 10: Poeira de Cantor .................................................................................... 29Figura 11: Construção do Floco de Neve de Koch .................................................. 30Figura 12: Fire Flower .............................................................................................. 32Figura 13: Galáxia fractal ......................................................................................... 32Figura 14: Gráfico das cotações do DJIA no período de janeiro de 1990 adezembro de 2001 ................................................................................................... 33Figura 15: Vista de Itiúba, Bahia .............................................................................. 42Figura 16: Melocactus SP ou cabeça-de-frade ........................................................ 43Figura 17: Secção transversal de um cacto ............................................................. 44Figura 18: Parte isolada do polígono estrelado, com aspecto que se assemelha adois triângulos não euclidianos ................................................................................ 45Figura 19: Melocactus com quatro cladódios ........................................................... 45Figura 20: Triângulo Euclidiano e de Sierpinski ....................................................... 47Tabela1: As primeiras dez iterações da equação não linear x n+1 = k. x n (1 – xn2)16Tabela 2: Relação entre a dimensão de uma figura, o coeficiente de redução e onúmero de partes originadas ................................................................................... 24
  • 11. 11INTRODUÇÃO Há mais de dois mil anos estudiosos das matemáticas e pessoas comuns,tentam e resolvem problemas da vida real baseados na geometria euclidiana, sejaconfeccionando objetos para facilitar sua sobrevivência, seja para se locomover,diminuir distâncias, ou para medir terras. Até hoje esta geometria tem seu lugar dedestaque na vida dos seres humanos e também na aprendizagem em meio aosconteúdos escolares, mesmo após a descoberta de novas geometrias, denominadasde geometrias não euclidianas. Estas novas geometrias vieram para aumentar ocampo de atuação desta ciência, considerando outras superfícies diferentes dasuperfície de curvatura nula, sistematizada por Euclides de Alexandria. Para alguns problemas, porém, não se encontravam respostas ou fórmulasadequadas para garantir os resultados esperados. Por exemplo, para calcular ovolume de uma pedra arredondada não poderíamos utilizar a definição e a fórmulada esfera porque os valores não seriam reais ou próximos deste. Trariam distorçõesmuito elevadas. Não seria possível também, calcular a dimensão da folha de umaplanta. Para estes cálculos, as definições da geometria euclidiana não eramsuficientes. Com estas mesmas idéias, Benoit Mandelbrot, em meados do séculoXX, ao estudar os preços do algodão de todo o século anterior, percebeu que, asoscilações embora aparentemente desordenadas, seguiam um mesmo padrão emperíodos. Buscou então, um modelo matemático que representasse tal padrão echegou à Poeira de Cantor que há muito era conhecida como um dos monstrosmatemáticos. Começava a nascer uma nova ciência que seria mais tardesistematizada pelo próprio Mandelbrot. A geometria dos fractais apresenta-se paratratar de fenômenos imprevisíveis, caóticos, buscando sempre encontrar um padrãoem situações que antes se pensava haver apenas aleatoriedade. Paradesenvolvimento dos cálculos desta nova geometria que leva em conta asirregularidades e por trabalhar com funções iterativas e algoritmos recursivos, éindispensável à utilização do computador e de softwares apropriados para estes fins. A geometria fractal ainda não faz parte dos currículos escolares, mas porutilizar-se de softwares consegue chamar a atenção de admiradores e estudiosos
  • 12. 12desta área. Isto foi inclusive o que nos levou a buscar maior compreensão, nestasfiguras tão interessantes de se observar. Além disso, impressionávamos como umalgoritmo matemático podia gerar figuras tão belas. Outro motivo foi a nossa própriaexistência enquanto nordestino. A convivência com a região nos permitia observar,mesmo sem cunho científico, a existência de alguma uniformidade no crescimentodas plantas nativas, e ainda, nos levava a observar que estas plantas pareciamdenotar maior resistência ao fenômeno da seca. Então nos instigava saber se ageometria fractal estaria presente nas plantas do semi-árido e como isso poderia dealguma maneira indicar caminhos que levassem a estudos visando o melhoramentodas pastagens ou alguma previsão que assegure alternativas tão necessárias a vidado sertanejo. Assim elaboramos o presente estudo visando demonstrar as principaiscaracterísticas e apontando algumas aplicações práticas dos fractais, utilizandocomo modelo a espécie Melocactus SP, uma cactaceae típica de áreas de caatinga.A pesquisa realizou-se na região do Piemonte da Diamantina, no município deItiúba, Bahia, numa abordagem qualitativa, através de coleta de imagens etratamento destas através do software Fractal Analysis System, além de pesquisabibliográfica para melhor entendimento das características científicas da planta emestudo. Para tanto, elaboramos e organizamos a presente pesquisa em três capítulos.No primeiro capítulo, Fractais: Estudo Recente, História Antiga, abordamos a históriados fractais desde as primeiras indagações no século XIX até a sua concretizaçãoem meados do século XX. Além disso, procuramos discutir sucintamente algunsaspectos das geometrias. No segundo capítulo, Dimensão e Aplicação de Fractais,trazemos os estudos de fractais através do cálculo de suas dimensões, bem como aaplicação dos fractais em outras áreas de conhecimentos. No terceiro capítulo,Geometria Fractal na Caatinga, descrevemos os caminhos e procedimentosmetodológicos utilizados no estudo do Melocactus SP e os resultados encontradoscom esta pesquisa. Nas considerações finais retomamos o tema em questão eincluímos algumas sugestões para ampliação da pesquisa. E por fim, listamos osautores que referendaram nossos argumentos e, a autorização concedida para autilização do software necessário ao tratamento das imagens capturadas.
  • 13. 131 FRACTAIS: ESTUDO RECENTE, HISTÓRIA ANTIGA Por volta da metade do século XVIII, Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-1716) criaram o cálculo1, enquanto estudavam independentemente as leis domovimento e problemas que diziam respeito a taxas de variação, com as suastécnicas de diferenciação em termos geométricos para então encontrar a tangentede uma curva em qualquer ponto dado. Em 1870 Weierstrass (1815-1897)descreveu uma função contínua, mas não diferenciável, isto é, em nenhum ponto sepodia descrever uma tangente à curva (RESENDE, 2004; STEWART, 1996). Ográfico dessa função denominado de “Função de Weierstrass”, apresentava umasérie de curvas oscilantes dotadas de uma característica própria. Apresentavamirregularidades altamente complexas que davam a aparência de sucessivas pontas,e cada uma delas, formadas também por outras pontas menores, e assimsucessivamente. Essas curvas possuíam uma complexidade inacabável e uma finaestrutura, e foram denominadas “curvas sem tangente ou sem derivada”, conformemostra o gráfico abaixo. Figura 1: Gráfico da função de Weierstrass Fonte: http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm1 Cálculo, segundo Ferreira (1999, p. 370) é a “parte fundamental da análise matemática, sobre a qualse apoiam outros domínios dessa ciência, e em que se investigam as propriedades das derivadas ediferenciais, os processos de obtê-las, a operação de integração, suas propriedades e métodos deobtenção de primitivas”.
  • 14. 14 Segundo Resende (2004), quase que simultaneamente a Weierstrass, Cantor(1845-1918) criou um método simples de transformar uma linha numa “poeira depontos” que apesar de serem pontos isolados no intervalo [0;1], têm uma quantidadeinfinita de pontos. Este conjunto, conhecido como “Poeira de Cantor”, consistiu emse tirar de um segmento de reta, a sua terça parte. Dos segmentos formados apóstal procedimento, retirou-se também a sua terça parte, e assim infinitamente. Nafigura abaixo, podemos acompanhar a evolução deste processo. Figura 2: Os seis primeiros passos da Poeira de Cantor Fonte: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-442004000200004 Ainda, de acordo com Resende (2004), Peano (1858–1932), gerou pelaprimeira vez, uma curva ondulada que tocava em cada ponto do plano. O ponto departida para a construção da Curva de Peano é um segmento. Na 1.ª iteração 2, osegmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a um terço docomprimento do segmento inicial, como indica a primeira imagem da Figura 2. Esses9 segmentos constituem a 1.ª iteração da construção recursiva da Curva de Peano.2 Para Ferreira (1999, p. 1146), “Iteração é o processo de resolução (de uma equação, de umproblema) mediante uma seqüência finita de operações em que o objeto de cada uma é o resultadoda que a precede”.
  • 15. 15Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um dos 9 segmentos, infinitamente,como mostra a Figura 3. Figura 3: Os três primeiros passos para a construção da Curva de Peano Fonte: www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/index.html Estas, entre outras formas geométricas, pareciam sair das categorias usuaisde linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais a que estávamosacostumados, desafiando assim os sólidos postulados da geometria euclidiana. Fatoeste pelo o qual a maioria foi vista como casos patológicos, chamadas assim demonstros matemáticos ou objetos caóticos (FARIA et al, 1999). Somente anos maistarde, com o desenvolvimento da teoria do caos, é que essas formas passaram a terum sentido lógico. Segundo Farias (2003, p. 9), teoria do caos: é um ramo matemático que se ocupa dos sistemas que apresentam um comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam regidos por leis estritamente deterministas, e que se deve ao fato de as equações não lineares que regem a evolução desses sistemas serem extremamente sensíveis a variações em suas condições iniciais, assim, uma pequena alteração no valor de um parâmetro pode gerar grandes mudanças no estado do sistema à medida que este tem uma evolução temporal. De acordo com Corrêa (2007), tomemos como exemplo, a equação não linearx n+1 = k. xn (1 – xn2), onde x n+1 é o valor da iteração n, k é um valor constante e xn éo valor da iteração interior. Se considerarmos:
  • 16. 16k = 2,5 e xn = 0, 700000000 e depois tomarmos xn = 0, 700000001, aparentemente oresultado não será muito diferente. Observemos a tabela a seguir. 2 Tabela1: As primeiras dez iterações da equação não linear x n+1 = k. x n (1 – xn ) x0 = 0, 700000000 X0 = 0, 700000001 x1 = 0, 892500000 x1 = 0, 892499999 x2 = 0, 453933867 x2 = 0, 453933871 x3 = 0, 900995226 x3 = 0, 900995230 x4 = 0, 423935380 x4 = 0, 423935366 x5 = 0, 869363005 x5 = 0, 869362989 x6 = 0, 530763428 x6 = 0, 530763479 x7 = 0,953105400 x7 = 0, 953105420 x8 = 0,218237538 x8 = 0, 218237453 x9 = 0,519608507 x9 = 0, 519608324 x10 = 0,948294618 x10 = 0,948294531 Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm Construindo o gráfico das duas equações até a 50.ª iteração, veremos que atéa iteração 35 os resultados são praticamente iguais. A partir daí, porém, os valorescomeçam a se tornar completamente diferentes. É a dependência das condiçõesiniciais, o que Corrêa (2007) denominou de caos.
  • 17. 17 2 Figura 4: Gráficos da equação iterativa x n+1 = k. x n (1 – xn ) referente à tabela 1 Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm No final da década de 1950, um jovem matemático polonês, BenoitMandelbrot, funcionário da International Business Machines Corporation (IBM),achava que problemas imprevisíveis do cotidiano como a oscilação da bolsa devalores e os problemas de comunicação dos computadores que a IBM vinhaenfrentando, poderiam ser traduzidos em fórmulas matemáticas, portanto, poderiamser representadas graficamente. Dizia isso baseado nos trabalhos de Hausdorff eBesikovich (1919). Mandelbrot percebeu que existiam certas características comunsentres os gráficos. No gráfico de Weierstrass as curvas se repetiam após breveintervalo mantendo certa semelhança entre si, ou seja, existia um certo padrão. Eraa ordem dentro do caos (GLEICK, 1989, p. 79). De acordo com Corrêa (2007), Mandelbrot começou então a empenhar-se napesquisa fazendo uma analogia com a Poeira de Cantor e outros objetos caóticos.Observando as irregularidades existentes na natureza, percebeu que a geometriaeuclidiana não seria suficiente para descrever todos os fenômenos, como porexemplo, calcular o perímetro de uma folha ou mesmo a extensão de uma linhacosteira. Foi além, e chegou a dimensões fracionárias. Sobre essas idéias escreveu
  • 18. 18um artigo intitulado “Qual a extensão da costa da Grã-Bretanha?”, que analisava oprocesso de mensurar uma superfície irregular como o litoral em estudo. Para designar as novas formas estudadas, Mandelbrot ao folhear umdicionário de latim do seu filho encontrou uma palavra adequada: fractal. Eu cunhei a palavra fractal do adjetivo em latim fractus. O verbo latino correspondente frangere significa „quebrar‟, criar fragmentos irregulares. É contudo sabido – e como isso é apropriado para os nossos propósitos – que, além de significar „quebrado‟ ou „partido‟, fractus também significa „irregular‟. Os dois significados estão preservados em fragmento (MANDELBROT, 1982, p. 180). Paralelamente a Mandelbrot, outros estudiosos como Mitchell Feigenbaun eEdward Lorenz realizavam estudos sobre o comportamento atmosférico. Nestesestudos também concluíram que existem certos padrões de comportamento emsistemas que tendiam para o caos. Lorenz tentava prever com auxílio de umcomputador primitivo e munido de doze equações não lineares, os fenômenosmeteorológicos. Ele havia reduzido o tempo atmosférico aos elementos essenciais. Não obstante, linha por linha, os ventos e as temperaturas dos resultados impressos por seu computador pareciam comportar-se de uma maneira terrena reconhecível. Eles correspondiam à sua querida intuição sobre o tempo, sua sensação de que ele se repetia, revelando padrões conhecidos, a pressão aumentando e caindo, as correntes de ar oscilando entre norte e sul. Descobriu que quando uma linha passava do alto para baixo sem um salto, ocorreria em seguida um salto duplo, e disse: “É esse o tipo de regra que um meteorologista pode usar”. Mas as repetições nunca eram perfeitamente iguais. Havia um padrão, com alterações. Uma desordem ordenada (GLEICK, 1989, p.13). Para melhor observar os padrões, Lorenz criou um gráfico. Neste gráfico, ocomputador traçava seqüencias de “a” e espaços em branco que formavam umalinha ondulada representando a maneira pela qual os ventos se comportavam. Eleobservou que os ciclos se repetiam, no entanto, nunca eram precisamente iguais.Certo dia, em 1961, resolveu tomar um atalho. Ao invés de observar toda umaseqüência, começou pelo meio. Para iniciar a máquina, ele mesmo atribuiu ascoordenadas, utilizando os números de uma seqüência anterior. Qual não foi suasurpresa ao perceber que o gráfico desenhado era completamente diferente dográfico anterior. Preocupado Lorenz começa a analisar a equação utilizada e ográfico traçado desconfiado de que o computador estivesse com problemas, edescobre a verdade. Não havia problema com o computador. Na impressão anterior
  • 19. 19o computador havia iniciado com os números 0,506127. Ele havia digitado apenas0,506 achando que por ser um valor muito pequeno o restante do número não iriainfluenciar na construção do gráfico. Chegou então à conclusão de que errospequenos poderiam ser catastróficos em um sistema específico. Era a dependênciadas condições iniciais, o próprio caos (GLEICK, 1989). Criou-se então uma grande curiosidade e interesse pelos fractais,impulsionando muitos matemáticos a plotarem, com o auxílio de modernoscomputadores, fórmulas iterativas para a geração de belíssimas figuras. Entre eles,pode-se citar Michael Banrsley que em 1988 lançou o livro Fractales Everywher.Todo esse interesse rendeu a Benoit Mandelbrot o título de “Pai dos Fractais”, comoé até hoje conhecido.1.1 GEOMETRIAS EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANAS: BASE PARA O ESTUDO DO FRACTAL A geometria fractal é uma das áreas mais recentes da geometria e apesar deter sua origem no século XVIII, só se concretizou no século XX. Esta geometriatrabalha com funções iterativas e algoritmos próprios, não apenas com fórmulas eequações euclidianas para estudar o grau de irregularidade presente nos objetosnaturais em diferentes escalas. Para isto, utiliza-se do auxílio das ferramentascomputacionais para sua compreensão. A geometria euclidiana data do século III a.C., e teve um marco inigualávelcom Euclides de Alexandria. Euclides sistematizou todo o conhecimento existenteaté aquele período em 13 livros denominados de Os Elementos. Para Lima Filho(1998, p. 604), Euclides “utilizou de maneira rigorosa e continuada a lógicaestruturada e desenvolvida por Aristóteles, adequando os conhecimentosmatemáticos de então às exigências da perfeição nas idéias e na forma, queimpregnavam a filosofia idealista platônica predominante”. Para Penick (1980), ageometria euclidiana por suas formas perfeitas, era utilizada por vários povos
  • 20. 20também com caráter religioso, por as considerarem como objetos sagrados. Alémdisso, cada forma apresentava propriedades únicas e detinham um significadoesotérico que permaneceu imutável ao longo da história humana. Essas figuraseuclidianas, de acordo com Resende (2004), podiam facilmente ser reproduzidascom o auxílio de apenas dois instrumentos: a régua e o compasso. A geometria euclidiana de acordo com Tenório (1995) é o estudo relativo àsformas, tamanho ou posição dos objetos e manteve suas bases inalteráveis por maisde dois mil anos. As novas geometrias surgiram no século XIX depois de váriosquestionamentos relacionados ao Postulado das Paralelas. Este Postulado não eraconseqüência lógica dos outros Postulados e por isto se destacava. Discussõesoutras relacionadas ao Postulado das Paralelas resultou na descoberta econsistência de novas geometrias: geometria hiperbólica e elíptica. Assim, de acordocom Santana (2008, p. 17): Por ocuparem espaços distintos: a geometria euclidiana com espaços de curvatura nula, a geometria esférica com curvatura positiva e a geometria hiperbólica com curvatura negativa passaram a ter suas aplicações voltadas para diferentes realidades. No entanto, o fato do descobrimento de outras geometrias não invalidou a primeira delas [...]. Deste modo, a geometria presente no universo é uma geometria euclidiana quando engloba objetos que nos cercam cuja curvatura não se altera (curvatura nula). É uma geometria esférica ou hiperbólica quando envolve distâncias ínfimas como objetos visíveis através de aparelhos eletrônicos [...] ou quando considera grandes objetos ou distâncias como, por exemplo, a distância de Salvador a Espanha. Desta maneira, para a geometria esférica ou hiperbólica que compreendeespaços ou superfícies que envolvem distâncias muito grandes ou pequenas ageometria euclidiana não é suficiente. Neste sentido, segundo a autora, a partir daaceitação destas geometrias outras podem ser consideradas desde que hajasuperfícies distintas das aqui descritas. A superfície para a construção de um fractalé uma superfície de dimensão diferente da geometria euclidiana. A geometriaeuclidiana considera no máximo três dimensões (tridimensional), enquanto ageometria fractal considera a dimensão que varia no intervalo entre zero a trêsdimensões, considerando inclusive dimensões fracionárias, ou seja, trata-se de umasuperfície não euclidiana.
  • 21. 21 Para Barbosa (2002), são três as características indispensáveis para o estudoda geometria fractal: a auto semelhança, a dimensão fracionária e a sua infinitacomplexidade. Tomando uma figura da geometria euclidiana como, por exemplo,uma circunferência, se ampliarmos uma de suas partes, através de uma lentecomputacional, perceberemos que cada vez mais o arco tenderá a se confundir comum segmento de reta, perdendo assim as suas características originais, o que nãoacontece na geometria fractal. Os fractais apresentam em sua estrutura infinitas réplicas de uma figura inicialtomada como geradora do fractal. Deste modo, cada uma das partes possui asmesmas propriedades geométricas da figura inicial sendo, portanto, auto semelhanteentre si. Como exemplo, tomemos uma importante figura do mundo fractal: oConjunto de Mandelbrot. Figura 5: Conjunto de Mandelbrot Fonte: Figuras geradas através do Programa Computacional Nfract 1.0 com 255 iterações Notamos que existe uma semelhança entre as partes da figura, comuns atodos os fractais. Existe, porém, também de acordo com Barbosa (2002), dois tiposde auto semelhança: a exata e a aproximada. A auto semelhança exata é umconceito artificial não vinculada a objetos reais da natureza, aceitável ou concebidaapenas em termos abstratos, através da aplicação de recursos externos. Já a autosemelhança aproximada, encontra na natureza aspectos naturais que mantém um
  • 22. 22determinado padrão de regularidade. Como exemplo dessa auto semelhança temosuma cadeia de montanhas que registra cada parte formadora do conjunto comsemelhança no todo. Outro exemplo é o crescimento das plantas. Cada galho pormenor que seja tende a se assemelhar com a planta inteira. Vejamos abaixo um fetofractal. Figura 6: Feto fractal gerado por recursos computacionais Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm Isso não significa, porém, que uma montanha ou uma planta seja um fractal,já que não possuem a complexidade infinita dos fractais. No entanto, possuemcaracterísticas fractais da auto semelhança aproximada. Outra característica dos fractais, destacada por Barbosa (2002), é adimensão fracionária. Para este autor, o nosso convívio diário com objetosunidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, além do conhecimento intuitivoherdado da geometria euclidiana, nos habituou a perceber e trabalhar apenas comdimensões inteiras, de modo que ao nos depararmos com dimensões não inteiras,como por exemplo, 2,3 ou 1,8, ficamos inseguros e até mesmo discordamos de talsituação. Segundo Wegner (1993, apud FARIAS, 2003, p. 18): A dimensão fractal de um objeto é a medida de seu grau de irregularidade considerado em todas as escalas, podendo assumir um valor maior do que a dimensão geométrica clássica do objeto. A dimensão fractal está relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta enquanto o instrumento de medição diminui.
  • 23. 23 Um exemplo disso, já trabalhado por Mandelbrot, é a medida do comprimentode uma linha costeira como mostra a Figura 7. Tomando uma escala S, a cada novamedida de S, teremos um comprimento L diferente, ou seja, se diminuirmos Sinfinitamente, L irá aumentar também infinitamente. Figura 7: Simulação de uma linha costeira Fonte:http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do% 20Caos.pdf Isso acontece porque uma linha costeira é muito irregular. Assim, quantomenor for o objeto de medição, maior será a sua eficácia em registrar asreentrâncias rochosas que existem. Desse modo, o comprimento da costa de umpaís tende para o infinito mesmo possuindo ele uma área finita delimitada por linhasde fronteira. Para a geometria euclidiana, segundo Guimarães (1927, p. 5): [...] ponto é a extensão de dimensões inapreciáveis; linha é a extensão cujas dimensões, largura e espessura são despresíveis; superficie é a extensão cuja espessura não se considéra. [...] No entanto, podemos estudar a linha considerando unicamente a sua dimensão apreciavel; depois, a superficie, levando em conta duas; e, finalmente, o volume, servindo-nos de todas ellas, considerando sempre tudo no espaço collocado.
  • 24. 24 Diante desta afirmação é possível supor que um ponto tem dimensão zero,uma linha tem dimensão um, uma superfície tem dimensão dois e um sólido possuidimensão três. Para melhor compreensão do conceito de dimensão, construímos a Tabela 2para verificar o cálculo em algumas figuras conhecidas. Trabalharemos então comalgumas figuras de dimensão inteira, dividindo-as por um coeficiente de redução S,ou seja, com uma mesma proporção para todas elas e calcularemos o número departes N que cada uma irá originar. Observemos então como isso é feito na tabelaabaixo (BATANETE et al, 2004). Tabela 2: Relação entre a dimensão de uma figura, o coeficiente de redução e o número de partes Dimensão Figura S N 1 2=2 1 1 2 2 2 1 4=2 2 3 3 1 8=2 2 Fonte: http:// www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/ Fica evidente, segundo os dados da tabela, que se aumentarmos oureduzirmos o valor de S, o valor de N também irá variar na proporção inversa. Para a
  • 25. 25 1 1dimensão 1 obtivemos 21  1 , para a dimensão 2, 2 2  2 , para a dimensão 1 1     2 2 d 1 13, 2 3  . Generalizando, para uma dimensão d, teremos: N   S 3 1   2 Aplicando logaritmos a ambos os membros da equação, temos que d 1 1 log N log N  log  log N  d  log  d s s log 1 s De acordo com Vivas (2000), esta fórmula, que leva o nome de Dimensão deHausdorff, foi apresentada em meados de 1919, pelo matemático alemão FélixHausdorff, como uma alternativa para calcular dimensões em conjuntos arbitráriosdo Rn. Para Batanete e colaboradores (2004), esta fórmula é válida apenas paraobjetos com auto semelhança exata. Para objetos com auto semelhança aproximadase faz necessário o desenvolvimento de um algoritmo próprio.
  • 26. 262 DIMENSÃO E APLICAÇÃO DE FRACTAIS A geometria fractal apresenta-se como uma maneira adequada para o estudode fenômenos imprevisíveis, caóticos e busca sempre um padrão para situaçõesque aparentemente se imagina como aleatórias. A título de exemplificação,mostramos a seguir, a utilização da fórmula de Hausdorff para o cálculo dadimensão de alguns fractais que ficaram historicamente famosos neste meio séculode existência desta geometria. Estes cálculos foram baseados nos estudos deEberson (2004).2.1 TRIÂNGULO DE SIERPINSKI O Triângulo de Sierpinski, conforme Figura 8, consiste em, a partir de umtriângulo eqüilátero, retirar-se do seu centro um outro triângulo eqüilátero cujosvértices são o ponto médio de cada um dos seus lados, e assim, infinitamente: Figura 8: Os cinco primeiros passos da construção do Triângulo de Sierspinski Fonte: http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/
  • 27. 27 Observando a Figura 8 e tomando o segundo passo, vemos que na imagem 1N=3 e S  . Na geometria euclidiana, este triângulo teria dimensão 2, na 2Dimensão de Hausdorff, porém, terá uma dimensão menor: log 3 d , logo, d  1,58 log 2 Vale lembrar que o valor será o mesmo em qualquer um dos passosseguintes já que aumentando o valor de N, o valor de S diminui proporcionalmente.Isso nos mostra que tal figura, é mais que uma linha (d = 1), contudo, menos queuma superfície (d = 2) (EBERSON, 2004).2.2 CURVA DE KOCH A figura de van Koch tem como gerador um segmento de reta sobre a qual seconstrói um triângulo eqüilátero cujos lados medem a sua terça parte. Um dos ladosdo triângulo é subtraído e procedendo-se de maneira análoga indefinidamente, comomostra a figura, encontramos a repetição da primeira imagem em escala cada vezmenor (EBERSON, 2004).
  • 28. 28 Figura 9: Processo iterativo de construção da Curva de Koch apresentado através dos 5 primeiros níveis Fonte: www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/ 1 Temos então, na geração 1, N = 4 e S  . A dimensão será dada por 3 log 4d , sendo assim, d  1,26 . Como no caso da figura anterior, a Curva de Koch log 3ocupa mais espaço que uma linha, mas não chega a preencher todo o plano(EBERSON, 2004).2.3 POEIRA DE CANTOR Como os procedimentos da construção da Poeira de Cantor já foram antesmencionados, calculemos aqui apenas a sua dimensão.
  • 29. 29 Figura 10: Poeira de Cantor Fonte:http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%20Caos.pdf Se analisarmos o terceiro passo gerador da Poeira, ele apresenta N = 4 e 1S em relação ao segmento inicial. Pela dimensão de Hausdorff: 9 log 4 d , logo d  0,63 . log 9 Ou seja, tem dimensão maior que um ponto (d = 0), mas não chega a ser umalinha. Em todas estas figuras analisadas, observamos que a Dimensão de Hausdorffé diferente da dimensão da figura inicial. Assim, Mandelbrot definiu fractal, comosendo uma figura cuja dimensão de Hausdorff e euclidiana ou topológica, não sãoiguais. Mais tarde viria a dizer que uma figura será considerada fractal se adimensão de Hausdorff é maior que a dimensão topológica. Conforme estadefinição, todas estas figuras, são fractais, entretanto, para o próprio Mandelbrot,tais definições ainda não estavam bem elaboradas. Para ele seria necessário umaanálise mais profunda para uma definição mais elaborada dentro dos padrõesnormais de racionalidade da matemática (BARBOSA, 2002). Segundo Barbosa (2002), para completar as características de um fractal, énecessário levar em conta a sua complexidade infinita. Esta complexidade resulta do
  • 30. 30número infinito de iterações geradas de um algoritmo. Significa dizer então, queseria impossível conseguirmos representá-los completamente, pois a quantidade dedetalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.Como conseqüência disso, um fractal sempre terá um perímetro infinito. Assim, noFloco de Neve de Koch, por exemplo, temos uma área finita, já que esta delimitadapor curvas, no entanto, temos um perímetro infinito. É justamente essacomplexidade a responsável pelos diferentes fractais a que produz, gerandoinúmeras obras de arte com auxílio de recursos computacionais. Figura 11: Construção do Floco de Neve de Koch Fonte: http:// www.dgidc.min-edu.pt/.../noe/noe55/dossier06.htm2.4 APLICAÇÕES DOS FRACTAIS Com a formalização, a geometria fractal passou a ser utilizada em largaescala pelos mais variados segmentos humanos. Por volta de 1975, estudiosos damúsica, empolgados com a nova ciência, constataram que músicas de diferentesperíodos culturais seguiam o mesmo padrão: 1 ( f  frequência ). f Músicas como estas, apresentam todas as principais características fractais.Assim, muitos compositores da atualidade, como Phil Thompson, Paul Copeland e
  • 31. 31bandas musicais, utilizam-se de algoritmos matemáticos em busca da melodiaperfeita (FARIA et al, 1999). No final do século XX e com os modernosdesdobramentos da tecnologia, a busca pela música fractal tornou-se mais intensa.Modernos computadores convertem fractais em músicas que se repetemindefinidamente, produzindo som harmoniosos. Segundo Faria e colaboradores(1999) só é possível "fabricar" música fractal com o auxílio de um computadordevidamente equipado com softwares específicos. Antes porém, será necessáriopassar a imagem do fractal para um programa específico. Assim, este fractal podeter uma parte transferida para um quadrado no computador denominado de "pixel".Em geral, cada "pixel" possui cores separadas, fornecendo uma nota musical e umaescala musical distintas. De uso destas cores como guias e procurando ao longo daimagem, linha por linha, obtém-se uma canção fractal. Para Faria et al (1999), no entanto, não se deve ouvir música fractal por longoperíodo de tempo, uma vez que estudos comprovam a possibilidade de hipnotizar oouvinte ou mesmo, fazer com que a mente deste ouvinte ande à "deriva" numaimagem fractal, o que poderia causar danos irreversíveis. Por produzir muitas e variadas imagens, a geometria fractal ganha a cada dia,novos adeptos e admiradores, não apenas pela utilidade prática delas, mas por suabeleza singular. Para Kerry Mitchell (1999, p. 1): Arte Fractal não é arte computadorizada, no sentido em que o computador faz todo o trabalho. A obra é feita em um computador, mas apenas sob a direção do artista. Não é aleatória, no sentido de estocástica, ou sem regras. Baseada na matemática, a renderização fractal é a quintessência do determinismo. [...]. A arte fractal, como qualquer nova atividade, terá aspectos desconhecido para o novato, mas familiares para o mestre. Através de experiência e da educação, as técnicas da arte fractal podem ser aprendidas. Como na pintura ou no xadrez, o essencial é rapidamente dominado, ainda que uma vida inteira seja necessária para um total entendimento e controle. Com o passar do tempo, a alegria de uma descoberta serendíptica é trocada pela alegria da criação autodeterminada. A figura a seguir é um exemplo da arte fractal e também resultado de umconcurso que buscava a união entre fractal e arte computadorizada.
  • 32. 32 Figura 12: Fire Flower Fonte: http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/ A criação de texturas é outra aplicação deste princípio e são utilizadas nossoftwares de edição de imagem, possibilitando a criação de paisagens que beiram arealidade. Exemplos disto são os efeitos especiais utilizados no cinema e afabricação de desenhos animados que se aproximam cada vez mais da realidadehumana e marcam a indispensável necessidade da ferramenta computacional. Figura 13: Galáxia Fractal Fonte: OLIVEIRA, 1994 Também na economia a geometria fractal encontrou o seu lugar de destaque.Segundo Gleick (1989), o primeiro trabalho de Benoit Mandelbrot sobre fractais, foijustamente na área econômica. Naquela época Mandelbrot já achava quefenômenos como a oscilação da bolsa de valores e o índice de preços obedeciam, amédio e longo prazo, a algum padrão. Para por a sua intuição à prova, Mandelbrot,analisou o preço do algodão de um século inteiro. Ás vezes pequenos aumentos oupequenas quedas de preços, às vezes uma variação mais brusca. Parecia naverdade não existir sentido em falar de padrão naquele ambiente. Porém ao término
  • 33. 33da análise, o gráfico mostrou que realmente existia um padrão. Olhando asvariações semanais e comparando-as com as variações mensais notava-se que elascorrespondiam-se perfeitamente. Existia um padrão nesta situação de aparentealeatoriedade. Era possível a partir desse padrão, estabelecer determinadasprevisões com maior segurança e conseqüentemente criar estratégias de resoluçãode problemas a médio e longo prazo. Em 2002, Hai-Chin Yu e Ming-Chang Huang, professores da Universidade deChung-Yuan desenvolveu um estudo na área econômica usando as cotações doDow Jones Industrial Average (DJIA). Para o período entre 1 de janeiro de 1990 e 31de dezembro de 2001. Este professores obtiveram o valor de 1,484 para a dimensãofractal do Dow. O resultado da sua pesquisa está no gráfico abaixo. Figura 14: Gráfico das cotações do DJIA no período de janeiro de 1990 a dezembro de 2001 Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php Se observarmos atentamente o gráfico, veremos que ele é formado porcurvas que se assemelham ao todo, comprovando que os fractais permitemquantificar a estrutura em todas as escalas associada em muitos sistemascomplexos. É possível também fazer previsões de mercado com uma margem deerro mínima.
  • 34. 34 A medicina e a biologia também utilizam a geometria fractal como importanteferramenta para fins de análise e estudos avançados em busca da cura de doençase para melhor entender certos comportamentos do reino animal ou vegetal. Nabiologia, por exemplo, a equação não linear xn+1 = k. xn. (1 – xn), é utilizadaamplamente na descrição populacional de vários tipos de animais para entender oporquê de estes escolherem determinados habitats. Equação essa que a medicinatambém utiliza para descobrir o melhor tipo de “transporte” para que determinadomedicamento chegue a atingir um vírus que se esconde nas mais variadas partes docorpo humano, por exemplo. A geometria fractal auxilia também no estudo da visãoe das células cancerígenas, na procura por um padrão que leve a cura ou aotratamento destas doenças (FARIA et al, 1999). De acordo com Costa e Bianchi (2002), o Grupo de Pesquisa em VisãoCibernética do Instituto de Física de São Carlos (IFSC), da Universidade de SãoPaulo (USP), estuda as propriedades e as aplicações dos fractais. Este estudo tempermitido aos cientistas a caracterização da complexidade das células nervosas eneurônios. O grupo também aplica os conceitos de dimensão fractal no estudo departículas de aerossol que é uma ”solução na qual partículas sólidas ou líquidasestão dispersas em um gás” (p. 46). Ainda segundo os autores: A complexidade de uma partícula de um aerossol determina suas características aerodinâmicas. Um aerossol constituído por partículas mais lisas apresentará menor viscosidade para escoamento dentro de tubulações. Já um aerossol composto por partículas mais rugosas apresentará fluxo mais errático, permitindo maior possibilidade de choque com as paredes nas quais é injetado. [...]. Assim, fica clara a importância de caracterizarmos de modo objetivo e efetivo a rugosidade dessas partículas, o que pode naturalmente ser feito utilizando-se a dimensão fractal (COSTA; BIANCHI, 2002, p. 23). Na matemática os fractais são utilizados para o cálculo de áreas, perímetros evolumes de formas irregulares encontradas na natureza, entre tantas outras coisas. Mesmo sendo amplamente utilizada neste período contemporâneo, ageometria dos fractais ainda está fora do currículo da maioria dos cursos delicenciatura das universidades brasileiras, assim como a geometria de modo geral.Dessa maneira, os futuros professores concluem o curso geralmente, sem qualquercontato com essa geometria.
  • 35. 35 Mesmo não sendo este o nosso objeto de estudo, vale salientar que deacordo com Santana (2008) as escolas apresentam um quadro bastante deficitáriono que se refere ao ensino de geometria. Apesar de pesquisas afirmarem anecessidade da inclusão de seus conhecimentos desde a educação infantil,conforme estudos da própria autora, o currículo praticado efetivamente não garanteisto. Ainda para a autora, este processo de desvalorização histórica dos conceitosgeométricos tem na prioridade de outros conteúdos da própria matemática, e naprecariedade da formação de professores, os principais fatores que contribuírampara esta exclusão. Neste sentido, acreditamos que por apresentar uma vasta área de aplicações,e por apresentar-se como solução para vários problemas antes sem soluções, ageometria fractal deve gerar futuramente estudos mais aprofundados. Deste modo,entendemos que esta nova área de conhecimentos deve ser incluída nos conteúdosde muitas das licenciaturas, contribuindo com a formação de futuros profissionais e,quem sabe se diante deste novo momento, a geometria euclidiana seja tambémresgatada como uma base para a compreensão desta nova geometria.
  • 36. 363 GEOMETRIA FRACTAL NA CAATINGA3.1 CAMINHOS FRACTAIS A geometria dos fractais embora recente apresenta-se como objeto decuriosidade de muitos pesquisadores e simpatizantes pertencentes a diversossegmentos da sociedade. Nosso primeiro contato com estes novos conhecimentosse deu de modo informal ao pesquisar outros termos. Naquele período, a beleza dosfractais e a associação deles com fórmulas matemáticas se constituíam em ummistério. Anos depois, a curiosidade venceu o esquecimento tão natural a muitos,quando se fez objeto de pesquisa neste momento de conclusão da Licenciatura emMatemática. Como estudante de geometria e morador do semi-árido baiano, buscamos apresença da geometria como algo significativo para a nossa região. Estaoportunidade se fez presente quando procuramos unir, tais quais faziam nossosprimórdios, a geometria à nossa própria existência. Fizemos esta união através dediversas perspectivas: matemática, geométrica, biológica e sertaneja. Esta união embusca de estudos voltados para a conexão entre a geometria fractal e o semi-áridose concretizou a partir dos estudos de uma planta comumente encontrada na regiãoonde moramos: o “Cabeça-de-frade” ou Melocactus SP, da família cactaceae. Paranós, se constituía uma verdadeira aventura saber se aquela planta natural do semi-árido nordestino tinha características fractais ou não. E se isto de fato seconfigurasse, como poderíamos estudar e analisar as suas características fractais. Em busca de atingir nossos propósitos, efetuamos uma pesquisa bibliográficasobre o conceito e as propriedades da geometria fractal, bem como sobre ascaracterísticas científicas das plantas nativas e conhecidas do semi-árido nordestino,e ainda, sobre um software específico que se adaptasse às nossas necessidades.
  • 37. 37 Deste modo, optamos por investigar uma planta específica (estudo de caso)através de uma abordagem qualitativa, utilizando fotografias que capturamos numdeterminado local e período. Para o tratamento geométrico dado ao objeto escolhidoutilizamos o software japonês Fractal Analysis System sob licença gratuitaautorizada (Anexo 1) da National Agriculture and Food Research Organization(NARO)3. Para Ludke e André (1986), a pesquisa qualitativa supõe o contato direto dopesquisador com o ambiente e a situação que está sendo investigada através dotrabalho intensivo de campo. Deve-se, portanto, atentar para o maior númeropossível de elementos presentes nas situações analisadas para a melhorcompreensão do problema estudado, incluir fotografias, desenhos, citações edocumentos que ajudem a subsidiar as afirmações feitas e esclarecer diferentespontos de vista que se possa ter sobre o assunto discutido. Para as autoras, apreocupação do pesquisador deve ser muito mais com o processo que com oproduto. As abstrações se consolidam a partir da inspeção dos dados, sem buscarcomprovar hipóteses feitas antes do início dos estudos e sem buscar a generalidadede tais estudos. Dentro dessa abordagem qualitativa, escolhemos para a realização dapesquisa, um estudo de caso, ou seja, o estudo do “Cabeça-de-frade” ou MelocactusSP. O estudo de caso, segundo Ludke e André (1986), visa sempre a descoberta epermite um entendimento melhor sobre uma realidade específica. Para as autoras, oinvestigador, mesmo partindo de pressupostos iniciais deve sempre estar atentopara novos elementos que podem surgir no decorrer do estudo. Assim, deve levarem conta o contexto no qual o objeto de estudo está inserido para melhorcompreensão das interações e comportamentos do objeto com o meio. Para a efetivação da pesquisa realizamos trabalhos de coleta de imagens noperíodo compreendido entre março e maio de 2008. Foram capturadas várias3 O Fractal Analysis System é um software desenvolvido pela Intellectual Property Center, empresado governo Japão, através da National agriculture and Food Reseach Organization (NARO), órgãosemelhante ao Ministério de Agricultura brasileiro. Para a utilização do software no período dapesquisa (março-junho 2008), recebemos autorização sob o registro n.º P6065-1, do professorpesquisador Hiroyuki Sasaki.
  • 38. 38fotografias de cactáceas nas regiões da Serra da Garapa, Fazenda Gato e Povoadode Adro de São Gonçalo. De todas as plantas fotografadas foram feitos registroscontendo altura, diâmetro e número de cladódios4. Diante destas informações,escolhemos um tipo específico de cactácea e construímos uma análise detalhada,utilizando o software Fractal Analysis System, que entre outras funções calcula aárea e a dimensão fractal.3.2 O SOFTWARE: TRATAMENTO FRACTAL A utilização de imagens como documento de pesquisa, segundo Loizos(2002, apud BAUER; GASKELL, 2002. p. 137) “oferece um registro restrito maspoderoso das ações temporais e dos acontecimentos reais - concretos, materiais”.Quanto à utilização do Fractal Analysis System para análise dos dados, Klippel(2004), afirma que: a utilização deste tipo de software minimiza o esforço e tempo dedicado pelo usuário para tarefas mecânicas e operacionais que a máquina/computador pode desempenhar de maneira satisfatória e eficaz. A análise de dados torna-se muito mais sistemática, possibilitando que mesmo uma ampla base de dados possa ser estruturada e apresentada de maneira rápida e clara. Para o estudo da cactácea, utilizamos o software Fractal Analysis System.Este software, desenvolvido para o ambiente Windows, por possuir uma linguagemacessível, permite que seja utilizado por quem possui um conhecimento mínimo deinformática e geometria fractal. Trabalha com imagens no formato bitmap e calculatudo com base nas cores e áreas destacadas. O Fractal Analysis System é um software bastante relevante para o trabalhona área agrícola, pois permite o cálculo da dimensão fractal de uma planta qualquer4 Segundo Ferreira (1999, p. 482): “Cladódio – do latim cladodium – ramo achatado e verde,freqüentemente muito parecido com a folha, que, em muitas plantas, desempenha as funções destas,como por exemplo, nas cactáceas”.
  • 39. 39mediante fotografia revelando padrões de seu crescimento. Estes dados permitemmapear todo o ciclo da planta com antecedência e com percentual mínimo de erro. Para nossa pesquisa, capturamos imagens de vários exemplares doMelocactus SP. Após a captura de imagem em área aberta pertencente ao habitatnatural das cactáceas, esta é armazenada no computador. Depois esta imagem éconvertida para o formato Bitmap, carregada no programa Fractal Analysis System.A seguir, seleciona-se a área a ser trabalhada para evitar que elementos nãonecessários entrem em foco (grama, pedras, etc.), prejudicando assim a veracidadedos dados. Deste modo, dentre as muitas plantas coletadas deixou-se de levar emconta espécies que estavam fixas ao substrato rochoso. A utilização da plantanestas condições acusa um erro, detectado pelo software, no cálculo da dimensãoporque este considera o substrato rochoso como parte da planta. Assim escolhemospropositalmente plantas que não crescem sobre rochas. Um outro aspecto que precisou ser observado com rigor foi o número decladódios existentes na planta. Todos os cactos utilizados para fins de análisegráfica possuem no mínimo dois cladódios. Sem essa particularidade seriaimpossível observar o seu padrão de crescimento e, automaticamente, a autosemelhança existente entre eles. Dessa maneira, cactos com apenas um cladódio,embora muitas vezes apresentassem um melhor ângulo fotográfico, foramdescartados no momento da análise. Selecionada a área e atribuído um comando, o software então, recorta aimagem da cactácea. Todas as outras partes existentes são automaticamenteeliminadas da imagem e o verde é convertido em preto. Por existir ainda brilho naimagem, pontos pretos são dispostos ao longo de uma superfície branca (local ondeantes existiam as outras cores), desfocando totalmente a imagem. Após tratamentodesta imagem pelo programa Photoshop (aplicativo para edição de imagens), pararetirar o brilho, novamente a imagem é inserida no Fractal Analysis System. Nesseinstante, todos os pontos pretos formam um conjunto uniforme produzindonovamente a forma da planta. Quando solicitado a trabalhar com a imagem, a corbranca envolve a imagem em preto. A cor resultante neste momento – cinza, éentão, o extrato a ser calculado. Para finalizar, acionamos o comando do cálculo dadimensão da escala fractal do programa. Assim, em instantes os dados pedidos
  • 40. 40aparecem na tela com uma variedade imensa de detalhes, completando a análise dofractal submetido a este processo através da imagem capturada.3.3 LÓCUS DA PESQUISA Para a captura das imagens, escolhemos o município de Itiúba, pelaproximidade com nossa residência e pela proximidade com a Universidade doEstado da Bahia (UNEB), local que se concentra o curso de Licenciatura emMatemática a qual pertencemos. Itiúba é um município brasileiro, localizado noestado da Bahia, pertencente à Região do Piemonte da Diamantina, no semi-árido,distante 380 km de Salvador (capital) e cuja vegetação predominante é a caatinga.Segundo Ferreira (1999), Caatinga é um tipo de vegetação característico donordeste brasileiro, mas que alcança o norte de Minas Gerais e o Maranhão,formado por pequenas árvores, comumente espinhosas, que perdem as folhasdurante a longa estação da seca. Nesta vegetação, verificam-se numerosas plantassuculentas como as cactáceas. De acordo com Esteves (2007, p. 1), Ao contrário do que prega o estereótipo comum no Sul-Sudeste, a paisagem da caatinga é heterogênea e não se restringe aos conhecidos mandacarus. [...]. Atualmente, são conhecidas na caatinga 510 espécies de aves, 240 de peixes, 154 de répteis e anfíbios e 143 de mamíferos. O levantamento de plantas é ainda mais completo: são mais de 900 espécies catalogadas. Toda essa riqueza, no entanto, está seriamente ameaçada. De acordo comCosendey, (2007), em estudo recente, pesquisadores constataram que a caatinga éo terceiro ecossistema brasileiro mais degradado. Metade da área que abrange acaatinga foi modificada pela ação humana, sendo que 18% dessa aconteceu demaneira grave. Em muitas partes o processo de desertificação encontra-se já em umestágio avançado. O município de Itiúba possui uma população estimada de acordo com oInstituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2007), em 35 mil habitantes,
  • 41. 41sob uma área territorial de 1.731 km2. Dos moradores existentes no município,aproximadamente 20 mil residem em áreas rurais. A principal atividade econômicado município sempre foi a agropecuária. Itiúba, no entanto, faz parte de uma regiãocom ciclo de chuvas irregular e cuja exploração do solo feitas no passado causaramgrande estrago na flora. Deste modo, as atividades relacionadas a agropecuária vêmenfrentando grandes dificuldades, principalmente nos últimos anos. Nesses períodossecos, a falta de planejamento e de programas que conscientizem o trabalhadorrural acaba por acarretar na diminuição, e em alguns casos mais extremos, até naextinção da pastagem. Como conseqüência a perda de rebanhos faz com que aeconomia local entre em colapso. As cactáceas, já provaram o quanto podem ser aliadas do sertanejo comoformas alternativas de pastagem. O problema é que a maioria delas não é cultivada.Aproveita-se apenas o que a natureza pode gentilmente oferecer. Mesmo quandoalguma espécie é cultivada, não se tem uma base científica sólida que garanta ascondições em que deve ser plantada nem o tempo mínimo para a colheita earmazenamento. Acreditamos, pois, que o estudo das características fractais dos cactos vemjustamente para dar respostas a tais questões. Sabendo que existe um padrão decrescimento, pode-se determinar com antecedência qual o período de plantio paraque durante a estiagem a pastagem alternativa esteja pronta. Pode-se calcular, já nomomento do plantio, o volume aproximado que dará a colheita e assim preparar osrecipientes ou locais apropriados à armazenagem. O município de Itiúba é um lugar propício ao crescimento de diversasespécies de cactos, conforme pudemos comprovar em nossa coleta de dados.Observemos abaixo na Figura 15, uma vista do município em voltas das serras queformam a última porção de Serras da Chapada Diamantina.
  • 42. 42 Figura 15: Vista do município de Itiúba/BA Fonte: http://www.ferias.tur.br/localidade/728/itiuba-ba.html3.4 CACTÁCEA: VIDA NO NORDESTE SECO Animais e plantas adaptam-se ao local em que vivem, pois de outra maneiranão conseguiriam sobreviver às adversidades que muitas vezes lhes são impostas.Estudiosos a exemplo de Menezes e Souza (2001), acreditam que por um processochamado evolução, os seres vivos se diversificaram e assim puderam ocupar osmais diversos ambientes terrestres. Algumas plantas, como os cactos,especializaram-se em viver em locais secos. Mesmo em longos períodos sem chuvaeles conseguem manter-se verdes e bonitos. Ainda para Menezes e Souza (2001), os cactos são encontrados em locaisgeralmente secos e de temperaturas médias elevadas. No Brasil eles sãoencontrados principalmente na região Nordeste. No município de Itiúba apredominância de formações rochosas das serras garantem um local propício para odesenvolvimento desta espécie. Muitos são os gêneros encontrados. Destacaremosporém, a presença do Melocactus SP, também conhecido como Cabeça-de-frade ouCoroa-de-frade.
  • 43. 43 Da família cactaceae, o Melocactus SP ou Cabeça-de-frade como épopularmente conhecido, é encontrado em grande quantidade nas encostasrochosas e locais de difícil acesso, em geral, em solos formados por cascalho eareia, onde a água escoa muito rapidamente. Esta planta é utilizada para afabricação de doces, para fins medicinais e, principalmente como planta ornamental(MENEZES; SOUZA, 2001). Os cactos analisados encontram-se na sua maioria em locais rochosos.Locais esses em que o solo é formado basicamente por areia e cascalho. Muitasvezes os cactus estão a pouquíssimos milímetros das pedras. O Melocactus SP possui uma formato geométrico ligeiramente arredondado,assemelhando-se infinitivamente ao formato de uma esfera. É formado por umcladódio principal, fixo ao solo, sobre o qual crescem outros cladódios igualmenteglobosos, sempre inclinados em relação ao primeiro. A sua superfície é formada porvárias costelas sobre as quais figuram os imponentes acúleos (espinhos) rígidos,roliços e pontiagudos, encurvados para baixo, com uma haste central que apontapara cima, dispostos linearmente, e mantendo quase sempre a mesma distânciaentre si. As aréolas distam aproximadamente 2 cm uma da outra e contém um totalde 8 acúleos em cada uma. Conforme figura a seguir. Figura 16: Melocactus SP ou Cabeça-de-frade
  • 44. 44 Na parte superior encontra-se uma estrutura cilíndrica em tom avermelhadocomposta por pequenos espinhos e do interior desta saem as flores. Essa estruturaé a responsável pelo nome popular, pois se assemelha a uma coroa (MENEZES;SOUZA, 2001). De acordo com Menezes e Souza (2001, p. 2): Os espinhos são uma característica marcante dos cactos. Na verdade, eles representam folhas que se reduziram no processo de evolução dessa planta. Essa é uma das maneira de reduzir a perda de água, porque sem as folhas eles evitam ainda mais a transpiração. Os espinhos também protegem o cacto contra predadores e podem, ainda, ser importantes na dispersão das plantas. Observamos a seguir um Melocactus SP quando interseccionado por umplano paralelo à base a qual a planta esta acentada. Com esta secção, provenientede um corte feito com objeto reto, plano e fino (Figura 18), podemos obter umasuperfície de um poligono estrelado5. Figura 17: Secção transversal de um cacto Se isolarmos uma pequena parte deste polígono estrelado (Figura 19),encontraremos um triângulo não euclidiano cuja soma dos ângulos internos édiferente de 180º.5 Um polígono, segundo Barison (2008, p. 2), “é estrelado quando seus ângulos são alternativamentesalientes e reentrantes, e seus lados pertencem a uma linha reentrante, contínua e fechada”.
  • 45. 45 Figura 18: Parte isolada do polígono estrelado, com aspecto que se assemelha a dois triângulos não euclidianos Ainda nos referindo à cactácea seccionada e também conforme descrito emMenezes e Souza (2001), o seu interior é macroscopicamente maciço, formado deum tecido esponjoso e clorofilado que serve como reservatório de água para serutilizada quando de sua escassez. Suas raízes longas e ramificadas permitem ummaior aproveitamento da água. As raízes ficam geralmente cobertas por dois ou trêscentímetros de solo, chegando algumas vezes a ficar quase que totalmente nasuperfície. Dessa maneira podem captar a água diretamente da chuva que cai. Segundo Menezes e Souza (2001, p. 2) A pele, ou cutícula, dos cactos é espessa e apresenta uma cera que ajuda a evitar a perda de água por transpiração. A planta tem também estômatos - estruturas semelhantes aos nossos poros -, que durante o dia, sob sol forte, permanecem fechados para evitar a perda da água na forma de vapor. O cacto em estudo, conforme Figura 19 abaixo, foi coletado na região daSerra da Garapa, pertencente ao município de Itiúba, Bahia. Figura 19: Melocactus com quatro cladódios
  • 46. 46 Observa-se que este é formado por um cladódio globoso no topo do qualcrescem outros cladódios que são miniaturas semelhantes ao primeiro. SegundoBarreto (2008): Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F são semelhantes quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F, tal que XY / XY = r, onde X e Y são pontos de F e X e Y pontos de F e r constante (razão de semelhança). O cladódio principal possui aproximadamente6 altura de 10 cm e no local queapresenta círculo máximo (geodésica) registra um diâmetro em torno de 15 cm. Ageodésica, de acordo com Freitas (2008): é a linha de menor distância entre dois pontos traçada sobre uma superfície. No plano euclidiano as geodésicas são linhas retas; já em uma esfera, as geodésicas são os arcos de grandes círculos, isto é, a geodésica unindo dois pontos P1 e P2 sobre uma esfera é o arco do círculo obtido como interseção da esfera com o plano determinado por três pontos: P 1, P2 e C, centro da esfera. Nas mesmas condições de análise, no segundo nível, o cladódio maior possuialtura e diâmetro aproximados de respectivamente 6 cm e 9 cm. O segundo, possuialtura aproximada de 4,8 cm e diâmetro 7 cm. O terceiro e último cladódio, possuialtura em torno de 7 cm e diâmetro de 10 cm. Encontrando-se a razão entre o diâmetro e a altura de cada um dos casosdescritos, obtemos um valor próximo a 1,5 cm. Isso nos leva a crer, portanto, que oscladódios crescem numa dada proporção, ou seja, crescem num padrão ou valorconstante. São auto semelhantes entre si, uma das características atribuídas aosfractais. Segundo Barbosa (2002), podemos dizer que existe auto semelhança emuma planta quando cada galho, analisado individualmente se assemelha à plantacomo um todo. Para efeitos de dimensão, o estudo fractal leva em conta apenas o espaçoocupado literalmente pela figura estudada. Razão pela qual o Triângulo de6 Utilizamos os termos “aproximadamente” e “em torno de” por entendermos que os instrumentos deque dispomos não oferecem condições métricas tão precisas para garantir a exatidão da unidade demedida, mesmo porque se tratam de objetos produzidos e manipulados pela mão humana.
  • 47. 47Sierpinski, por exemplo, não possui dimensão 2, como um triângulo normal dageometria euclidiana teria. Figura 20: Triângulo euclidiano e de Sierpinski Fonte: http://haaguaemmat.blogs.sapo.pt/arquivo/Forma_triangulo_Sierpinski.JPG Utilizando o software Fractal Analysis System, calculamos a dimensão fractalque a cactácea ocupa no espaço. O resultado obtido foi aproximadamente 2,53 parao volume de todas as plantas analisadas. Estes valores nos levam a supor que ocacto estudado é mais que uma figura plana, entretanto, não chega, segundo ageometria euclidiana, a ser um sólido, porque não atinge três dimensões. Essa é,segundo Barbosa (2002), outra das características fractais. Entendemos que isso severifica porque a planta possui cladódios que crescem em sentido oblíquo aocladódio principal. Assim, não ocupa um espaço linear. Outro fator que nosimpulsiona a concluir isto são as irregularidades das costelas e acúleos que formama sua superfície.
  • 48. 48CONSIDERAÇÕES FINAIS A geometria sempre fez parte das atividades realizadas pelos seres humanos.No século III a.C. estes conhecimentos foram sistematizados pelo grego Euclides deAlexandria. A solidificação desta geometria perdurou até final do século XVIIIquando outras geometrias puderam ser admitidas mediante contestação de um dosseus Postulados. Os estudos destas novas geometrias, chamadas de geometriasnão euclidianas, associadas ao desenvolvimento da tecnologia computacional trouxenovas perspectivas em relação a fenômenos da natureza. Deste modo, em meadosdo século XX, Benoit Mandelbrot desenvolveu estudos que se concretizaram nageometria fractal. Num universo predominantemente irregular e de formas imperfeitas, ageometria dos fractais se apresenta procurando padrões de organização onde seimagina encontrar apenas desordem, caos. Pensando nestes elementos e considerando a importância que os fractaisapresentam neste momento para a história da humanidade, buscamos numapesquisa qualitativa, através de um estudo de caso, observar o padrão decrescimento existente entre algumas plantas nativas da caatinga, especificamentena região do município de Itiúba, no estado da Bahia, localizado na Região Piemonteda Diamantina. Particularmente nos instigava saber se as cactáceas apresentavamcaracterísticas fractais e como se deveria estudar e analisar esta planta através dageometria fractal. O estudo realizado com as cactáceas, em especial com o Melocactus SP, nosleva a crer que a geometria dos fractais é de útil e relevante importância não só paraa matemática, mas para outras áreas do conhecimento humano, bem como, nosindica um caminho para trabalhar com objetos irregulares. Objetos estes que nãoapresentam possibilidades de estudos com a utilização apenas de definições efórmulas euclidianas. Na região nordeste com predominância de ciclos chuvosos irregulares e floramais devastada, a seca é ainda um problema a ser vencido. A falta de programas deplanejamento permite que o rebanho, principalmente bovino, cresça numa proporção
  • 49. 49muito maior que a quantidade de terras disponível para pastagem. Assim, em longosperíodos de estiagem é muito comum nos depararmos com cemitérios de animais àsmargens das rodovias. Nessa época muitos pecuaristas acabam perdendo todo orebanho, influenciando negativamente na economia da região. O Melocactus SP ou Cabeça-de-frade é uma planta da família cactaceaecomumente encontrada no município. Assim, após a análise de algumas amostras,pudemos observar que esta planta indicava uma característica fractal: a autosemelhança. Então, a exemplo de pesquisas realizadas por estudiosos da área,aplicamos a fórmula de Hausdorff para calcular a sua dimensão através do softwareFractal Analysis System e comprovar outra característica fractal: a dimensão. Para ser um fractal, porém, segundo Barbosa (2002) é necessário que severifique a terceira propriedade, a infinita complexidade. Para nós, leigos, talvez sejadifícil imaginar uma planta infinita por estarmos vendo a sua limitação física e termosconsciência da limitação temporal a que estão sujeitos todos os seres vivos, sejameles animais ou vegetais. Prigogine (2001) afirma que, No que diz respeito as nossas próprias experiências ou aos fenômenos que nos cercam - na Química, na Geologia e na Biologia - o passado e o futuro desempenham papéis diferentes. [...] nenhum ensinamento tem afirmado a equivalência entre o que é e o que não é feito; entre uma planta que floresce e morre e uma planta que renasce mais jovem e retorna à semente original; entre um homem que envelhece e aprende, e outro que se torna mais criança, depois um embrião e depois uma célula. Para Bernardo (2004), o ser só se define a partir de algo que não se podedefinir. Assim como não temos como nos definir, não podemos definir o tempo; otempo é um dilema tão indecifrável quanto a natureza do ser. Dessa maneira, sendo o tempo uma convenção humana, podemos enxergarcada planta como parte de uma planta anterior que se perpetua através das suascaracterísticas genéticas passadas às outras através da semente, e assim sendochegamos à infinita perplexidade. Os resultados obtidos nesta pesquisa, diante dos dados coletados, confirmamnossas suspeitas iniciais e indicam que o Melocactus SP é realmente um objeto
  • 50. 50fractal. A partir desse estudo observamos que os cactos revelam em si um padrãode crescimento ordenado. Nesta perspectiva, entendemos que é possível desenvolver futuramenteoutros estudos bem mais detalhados levando-se em conta aspectos aqui abordadosou outros não considerados nesse momento. Nesta perspectiva, acreditamos que ajunção entre a geometria fractal e o semi-árido é de extrema importância para aconstrução de novos caminhos que apontem soluções ou indiquem alternativas quepossam ser desenvolvidas para minimizar os problemas trazidos pela longaestiagem no semi-árido do nordeste brasileiro. .
  • 51. 51REFERÊNCIASBARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal: para a sala de aula..Belo Horizonte: Autêntica, 2002.BARISON, Maria Bernadete. Desenho geométrico. Arquivo disponível em:<http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_11t.php#top>. Acesso em: 06 jun2008.BARRETO, Marina Menna; GRAVINA, Maria Alice. Como construir figurassemelhantes? Arquivo disponível em:<http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice2/sistems2.htm>. Acesso em: 16jun 2008.BATANETE, Ana et al. Natureza: caos ou ordem? Universidade de Coimbra.Departamento de Matemática. Fundamentos e Ensino da Álgebra. 2004. Arquivodisponível em: <www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2005/natureza.doc>. Acesso em: 19 mar,2008.BAUER, Martin W.; GASKELL, George. Pesquisa qualitativa com texto imagem esom. Petrópolis: Vozes, 2002.BERNARDES, Antonio. Conexões matemáticas. Revista Noesis. n. 53, jul/set,2002. Arquivo disponível em: <http://www.dgidc.min-edu.pt/inovbasic/edicoes/noe/noe55/dossier06.htm>. Acesso em: 14 mar 2008.BERNARDO, Gustavo. A ficção cética. São Paulo: Annablume, 2004BIANCHINI, Edvaldo; PACCOLA, Herval. Curso de matemática: volume único. 2ed. São Paulo: Moderna, 1998.BLENDER FOUNDATION FOR ORGANIZATIONAL OR PRESS RELATEDISSUES. Arquivo disponível em: <http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/>.Acesso em: 21 mar 2008.BRASIL. Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão. Instituto Brasileiro deGeografia e Estatística (IBGE). Cidades@: Itiúba. Arquivo disponível em:<http://www.ibge.gov.br/cidadesat/topwindow.htm?1> Acesso em: 07 abr 2008.CARREIRA, Ana Sofia Nunes; ANDRADE, Carlos Antonio Dias de. Geometria avárias dimensões: exemplo de fractais. Faculdade de Ciências. Universidade deLisboa. Arquivo disponível em:<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm>. Acesso em: 05 maio2008.CONROY, Matthew. Weierstrass functions. Department of Mathematics. Universityof Washington. Arquivo disponível em:<http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm>. Acessoem: 05 mar 2008.
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  • 56. 56ANEXO
  • 57. 57