Monografia Greice kelly Matemática 2008

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Matemática 2008

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Monografia Greice kelly Matemática 2008

  1. 1. 2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA- UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII- SENHOR DO BONFIM CURSO: LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA Seqüência de Fibonacci e Modelagem MatemáticaReflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do Bonfim, Bahia GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS Orientador: Geraldo Caetano de Souza Filho SENHOR DO BONFIM, 2008
  2. 2. 3 GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS Seqüência de Fibonacci e Modelagem MatemáticaReflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do Bonfim, Bahia Monografia apresentada ao departamento de Educação- Campus VII da universidade do Estado da Bahia – UNEB, como requisito parcial para obtenção do título de graduada em Licenciatura em Matemática. Orientador: Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho SENHOR DO BONFIM, 2008
  3. 3. 4 GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do Bonfim, Bahia Monografia apresentada ao departamento de Educação- Campus VII da universidade do Estado da Bahia – UNEB, como requisito parcial para obtenção do título de graduada em Licenciatura em Matemática.CONCEITO:_____________________________________ BANCA AVALIADORAORIENTADOR____________________________________ Prof. Geraldo Caetano de Souza FilhoProf. (a):_________________________________________ Mirian brito de SantanaProf. (a):_________________________________________ Alayde Ferreira da Silva Senhor do Bonfim, 2008
  4. 4. 5 DEDICATÓRIAA minha mãe, Valtina Bispo de Souza, a quem destino imenso amor.Ao professor Geraldo, pela confiança, paciência e orientação.A minha irmã, Graciele, pelo apoio incondicional.A meu namorado Leandro pelo apoio compreensão e dedicação a mim no decorrerda elaboração deste trabalho.A meus amigos, Alzenir, Rafael, Rita e Iris, pelo companheirismo durante todo cursode minha vida e pelo incentivo durante este trabalho.
  5. 5. 6 AGRADECIMENTOSA Deus, por iluminar minha vida e me conceder inspiração e força para o alcance demeus objetivos.Ao professor Geraldo, a quem dedico profunda admiração e quem muito me ajudouno desenvolvimento deste trabalho.A meus familiares, obrigada pela compreensão nos momentos agitados, pelocarinho e incentivo.A todos que direta ou indiretamente contribuíram para realização desta pesquisa.
  6. 6. 7 RESUMOO presente trabalho aborda a importância de se utilizar metodologias de ensino quemostrem aos alunos a aplicação dos conteúdos estudados nos cursos degraduação, em particular com a Seqüência de Fibonacci. O objetivo é verificar se osalunos da UNEB - Campus VII ( Senhor do Bonfim), que cursam Licenciatura emMatemática, sabem aplicar o conteúdo seqüência, incluído nas ementas doscomponentes curriculares Matemática III e Cálculo III, na Seqüência de Fibonacci,constatar a opinião destes alunos sobre a utilização da Modelagem Matemática noensino, sobretudo no nível superior e ao mesmo tempo conferir se estes alunosperceberam alguma aplicação do conteúdo supracitado no desenvolvimento do seucurso. O método utilizado para obtenção de resultados aborda principalmente apesquisa qualitativa e quantitativa, baseada na análise dos questionáriosrespondidos pelos alunos. Vale a pena ressaltar a grande importância dafundamentação teórica como embasadora deste trabalho, onde encontrar-se-ãoaspectos referentes a Seqüência de Fibonacci e à Modelagem Matemática,principalmente. As considerações finais trazem a reflexão dessa análise esugestões de inclusão de atividades de Modelagem Matemática no ensino superiorpara que os graduando consigam aplicar seus conhecimentos na resolução deproblemas com alusões à realidade. A partir deste trabalho foi possível fazer asugestão de se utilizar atividades de modelagem matemática no ensino deMatemática, sobretudo no ensino superior, afim de que os alunos consigam aplicaros conceitos estudados em problemas com alusões na realidade.Palavras-chave: Modelagem Matemática, Seqüência de Fibonacci, Seqüência.
  7. 7. 8 SUMÁRIOINTRODUÇÃO 09CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA 11CAPÍTULO II: QUADRO TEÓRICO 142.1 Breve relato sobre Fibonacci 142.2 A Sequência (ou sucessão) de Fibonacci 152.3 Os números de Fibonacci 162.4 Modelagem Matemática 172.1.1 Modelagem matemática e Sequência de Fibonacci 20CAPÍTULO III 253. Procedimentos metodológicos 25CAPÌTULO IV 284. Análise e interpretação dos dados 28CONSIDERAÇÕES FINAIS 50REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 52APÊNDICES 55APÊNDICE I 55APÊNDICE II 58
  8. 8. 9 INTRODUÇÃO O tema deste trabalho consiste na aplicabilidade da Seqüência de Fibonacci:um caso particular de uma sucessão recorrente que pode ser trabalhada na sala deaula por professores os quais desejem exemplificar o conteúdo de seqüência comsituações cujo foco é a realidade, uma vez que a Sucessão de Fibonacci estabelececonexões com certos fenômenos naturais. Alguns métodos de ensino fazem comque a experiência dos alunos seja mecânica, tentando transformá-los em merasmáquinas. É necessário que sejam utilizados métodos os quais tornem o ensino dematemática mais prazeroso, para fazê-los sentir-se motivados a aprender. Resolver um problema é buscar instrumentos conhecidos ou não, e por meiodestes, encontrar caminhos e refletir sobre como alcançar o fim desejado. Existemvárias formas de se chegar ao resultado de questões matemáticas, entre eles o usoda calculadora, o cálculo mental, a estruturação de operações ou mesmo umadedução mais simples. Sabemos que é necessário garantir a todos, em igualdade decondições, um conhecimento matemático essencial à vida em sociedade. Por isso,hoje, na educação matemática procura-se inclui estratégias buscando maneiras paraorganização e interpretação de dados, sobretudo sua utilidade na comunidade, paraque o aluno perceba a conexão dos conteúdos matemáticos com fenômenosnaturais e consiga aplicar esses conceitos a tais fenômenos. Partindo disso procura-se saber se os alunos da Universidade do Estado da Bahia, Campus VII de Senhordo Bonfim, que já cursaram a disciplina matemática III e cálculo III sabem aplicar osconceitos vistos em Seqüência com a Sucessão de Fibonacci. Utilizando as pesquisas qualitativa e quantitativa, a metodologia foidesenvolvida a partir de atividades de Modelagem Matemática empregando aSeqüência de Fibonacci. A presente pesquisa está distribuída da seguinte maneira: No primeiro capítulo encontra-se a problemática que gerou a pesquisa, bemcomo os objetivos e contribuição dela para a aquisição de novas práticas de ensino. No segundo capítulo está a fundamentação teórica, com a visão de algunsautores a cerca da Modelagem Matemática, do Ensino de Matemática e abordagenssobre a Seqüência de Fibonacci e sua contribuição para o ensino.
  9. 9. 10 O terceiro capítulo aborda os procedimentos e técnicas metodológicasutilizadas para a elaboração deste trabalho, enfocando as pesquisas qualitativa,descritiva e quantitativa que nortearam o labor. No quarto capítulo consta a análise e interpretação dos dados coletados cujosresultados foram apresentados e fundamentados pelas respostas dos alunos. Por fim, nas considerações finais é ressaltada a importância de ensinarmatemática de forma contextualizada facilitando, assim, o ensino-aprendizagem damatemática e possibilitando a aprendizagem significativa. Os resultados indicam anecessidade da utilização na universidade desse tipo de procedimento a fim detornar o curso de licenciatura em matemática mais interessante e proveitoso umavez que os alunos podem aprender a aplicar seus conhecimentos.
  10. 10. 11CAPITULO I: PROBLEMÁTICA A matemática é uma ciência que vem contribuindo para o progresso dahumanidade. Desde a antiguidade sua existência se fazia necessária, não com arepresentação que ela tem hoje, se fazendo presente na vida prática das pessoas. A matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas educacionais, e tem sido a forma mais estável da tradição mediterrânea que perdura até nossos dias como manifestação cultural que se impôs, incontestada, às demais formas. Enquanto nenhuma religião se universalizou, nenhuma língua se universalizou, nenhuma culinária nem medicina se universalizaram, a matemática se universalizou, deslocando todos os demais modos de quantificar, de medir, de ordenar, de inferir e servindo de base, se impondo, como modo de pensamento lógico e racional que passou a identificar a própria espécie (D’AMBRÓSIO,1998, p. 10). Mesmo com todo esse histórico, enquanto disciplina carrega os maioresíndices de rejeição por parte dos alunos, pois eles não conseguem perceberutilidade dos conteúdos matemáticos. As dificuldades encontradas pelos alunos noaprendizado da Matemática ultrapassam os limites do Ensino Fundamental e Médio,chegando ao curso superior, fazendo com que exista um alto grau de desistênciae/ou reprovação nas disciplinas estudadas com base em conteúdos matemáticos, ouseja, nas disciplinas de ciências exatas. Baraldi (1999, p.91) afirma que: “para amaioria dos jovens, além de números e cálculos a Matemática é uma ciência fria,sem utilidade para a vida cotidiana ou não perceptível, mesmo que presente.”. Nummomento onde o processo de ensino-aprendizagem de matemática tornou-sebastante complicado é necessário a busca de estratégias as quais facilitem talprocesso motivando os alunos. Dessa forma, torna-se urgente o desenvolvimento deestratégias que despertem o interesse e o prazer do aluno pela aprendizagem dematemática. O professor precisa ter uma boa relação com a disciplina e com osalunos, tornando o aprendizado mais prazeroso. É o encanto pelo conhecimento oresponsável pela superação das dificuldades de aprendizagem. SegundoD’Ambrósio (2002), o ciclo de aquisição do conhecimento é deflagrado a partir defatos da realidade. Deste modo, a construção do conhecimento matemático pode sermais eficiente se emergir de fenômenos que têm origem na realidade. Assim, aexploração, no ensino, de situações da vida real em que a Matemática se aplica,pode torná-la mais dinâmica e interessante e proporcionar maior eficiência no
  11. 11. 12processo de ensino e aprendizagem. O educador deve trazer formas diligentes econtextualizadas ao aplicar um conteúdo matemático para que ele seja realmentecompreendido. Muitas vezes os cursos de licenciatura não trazem formas dinâmicasde ensino e o licenciando estuda os assuntos sem sua aplicabilidade. Daí surge àpergunta: “Onde, quando e como vou utilizar isso em minha vida prática ouprofissional?” Não são percebidos vínculos de tais conteúdos com a vida real. Lins(apud Bicudo 2005, p. 93) afirma que “uma solução que parece indicada nessasituação, é buscar fazer os alunos verem a Matemática na vida real, trazer a vidareal para as aulas de Matemática.” É o que propõe a Modelagem Matemática:trabalhar os conteúdos com exemplos autênticos, instigando assim a curiosidade eprazer de especular os conteúdos e cálculos matemáticos. Estimular o pensamento independente e não apenas a capacidade mnemônica; desenvolver a criatividade e não apenas transmitir conhecimentos prontos e acabados; desenvolver a capacidade de manejar situações reais e resolver diferentes tipos de problemas. Somente dessa maneira, será possível pensar em uma matemática prazerosa, interessante, que motive nossos alunos, dando-lhes recursos e instrumentos que sejam úteis para o seu dia-a-dia buscando mostrar-lhes a importância dos conhecimentos matemáticos para a sua vida social, cultural e política (Lara, 2003, p.19). Essas aptidões devem ser desenvolvidas também no nível superior,sobretudo nos cursos de licenciatura (nesse caso em matemática), almejando que ograduando consiga aplicar seus conhecimentos em situações reais. Partindo da aplicabilidade dos conteúdos vistos nos cursos de Licenciaturaem Matemática e da curiosidade e estudo sobre a Seqüência de Fibonacci originou-se esta pesquisa. Uma vez que esta disciplina é de fundamental importância para odesenvolvimento do raciocínio lógico das pessoas. A disciplina Matemática vem sendo utilizada, há muito tempo, como instrumento de seleção. E isto tem haver, certamente, com o fato de seu ensino ter sido pensado, historicamente pelos professores, como sendo a maneira por excelência de desenvolver o raciocínio, tornando-se assim, um conhecimento eficaz para destacar os alunos mais inteligentes (Lara, 2003, p. 19). Do interesse em aprofundar os estudos sobre como a aplicabilidade de algunsconceitos matemáticos, no caso da Seqüência de Fibonacci, e poder facilitar aaprendizagem e desmistificar o estudo dos conteúdos referentes a este conteúdo,
  12. 12. 13surge o seguinte questionamento: Os alunos da Universidade do Estado da Bahia –UNEB, Campus VII - Senhor do Bonfim, que já cursaram as disciplinas MatemáticaIII e Cálculo III sabem aplicar os conceitos vistos no conteúdo Seqüência naSeqüência de Fibonacci? Para responder tal problema foram traçados os seguintes objetivos: Verificarse os alunos da UNEB de Senhor do Bonfim, que cursam Licenciatura emMatemática, sabem aplicar o conteúdo seqüência, visto em Matemática III e CálculoIII, na Seqüência de Fibonacci; verificar a opinião destes alunos sobre a utilização daModelagem Matemática no ensino, sobretudo no nível superior; verificar se estesalunos perceberam alguma aplicação do conteúdo supracitado no desenvolvimentodo seu curso; e apresentar os resultados obtidos no desenvolvimento de atividadessobre a Seqüência de Fibonacci com alunos da UNEB de Senhor do Bonfim quecursaram as disciplinas Matemática III e Cálculo III; O interesse nesta pesquisa se justifica pelo pouco uso de estratégiasmetodológicas, sobretudo na Licenciatura em Matemática, que desenvolvam acapacidade dos alunos em utilizá-la na interpretação e intervenção do mundo real, evisa contribuir para o aprofundamento das pesquisas sobre maneiras de ensinar osconteúdos matemáticos de modo que o aluno analise situações da vida real,construa um modelo matemático para interpretá-lo e resolvê-lo, bem comodesenvolva a capacidade de formular hipóteses e prever os resultados.
  13. 13. 14CAPÍTULO II: QUADRO TEÓRICO 2 Breve relato sobre Fibonacci (1175-1250) Leonardo de Pisa, mais conhecido historicamente como Fibonacci (lê-sefibonati) foi um matemático, nascido em 1170, século XIII, na Itália, provavelmenteem Pisa, e falecido em 1250. Era filho de Bonaccio, um mercador de Pisa.Ballassare Boncampani, editor de seus trabalhos no século XIV, por causa do nomede seu pai deu a Leonardo esse nome, Fibonacci, pois, fibonacci = filius de Bonacci(filho de Bonaccio). Foi um matemático muito importante da Idade e contribuiuabundantemente com a aritmética, álgebra e geometria. Segundo Tavares (2007), depois de voltar da viagem que fez peloMediterrâneo, Leonardo começou a escrever trabalhos. Um deles, que tem sidopreservado, contém três de suas principais obras: o Líber Abbaci – Livro do cálculo(1202,1228), o Practica Geometrae (1220) e o Liber Quadratorum– Livro dosquadrados (1225). O Líber Abbaci contem uma grande quantidade de assuntosrelacionados à Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante nodesenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes ao século XIII, poisatravés desta obra os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, tambémdenominados arábicos. O livro contém não só as regras para o cálculo segundo os numerais indo- arábicos, mas também numerosos problemas de vários gêneros, mas de uma natureza prática, como é o caso do cálculo dos lucros, conversões de moedas, e mensuração, suplementado por textos de atuais temas de álgebra corrente (O maravilhoso mundo de Fibonacci). Ao estudarmos matemática, muitas vezes não temos noção da sua ligação adeterminados fenômenos que nos envolvem, tais como natureza, população, pintura,arte, anatomia, arquitetura, indústria, comércio, entre outros. Fibonacci fez ligaçãode muitos fatos com a matemática. Em 1202, ele questionou-se acerca da rapidezcom que se reproduziam os coelhos, tendo formulado um problema queposteriormente originou a tão conhecida sucessão de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, 55, ...)
  14. 14. 15 Esse problema da reprodução dos coelhos tinha um cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos poderiam então procriar. Suponhamos que inicialmente temos um casal de coelhos e que estes só atingem a maturidade sexual ao fim de um mês. No final do primeiro mês o par inicial já atingiu a maturidade sexual. Assim no segundo mês já haverá dois pares de coelhos, o par original e o primeiro par de filhos. No terceiro mês o casal original tem outro casalFigura 1: Reprodução doscoelhos. de filhos e o primeiro casal de filhos já atingiu aFonte: O maravilhoso mundode Fibonacci maturidade sexual e assim sucessivamente. O objetivo dele era responder à seguinte questão: “Quantos pares de coelhos existirão daqui ano?” Leonardo foi responsável por um grande avanço no campo matemático em sua época. A importância de seu trabalho foi reconhecida em Pisa, onde recebia um salário anual em agradecimento por sua contribuição no ensino e nos demais servicos prestados a comunidade, e na corte do rei Frederico II. 2.2 A sequência (ou sucessão) de Fibonacci No livro o qual nos referimos anteriormente, Líber Abbaci, Fibonacci introduziu um problema por ele formulado que foi o originador da Seqüência de Fibonacci. Isso ocorreu em 1202, quando ele se interessou pela reprodução dos coelhos. O objetivo era responder a seguinte questão: Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a um ano?. Para resolução deste questionamento ele deu as condições para chegar a conclusão final que foi a criação da fórmula de sua seqüência que é: Fn= Fn-1 + Fn-2 , F a função e n natural. Uma seqüência: É uma função cujo domínio é o conjunto {1,2,3,...,n,...} de todos os números inteiros positivos,onde os números da imagrm serao seus elementos. Se o n-ésimo elemento for dado por f(n), então a sequência será o conjunto de pares ordenados da forma (n, F(n)); onde n é um inteiro positivo (LEITHOLD,1994, p.688).
  15. 15. 16 Ou seja, uma seqüência ou sucessão é uma aplicação do conjunto |N,conjunto dos números naturais, num conjunto qualquer A. Quando esse conjunto Aqualquer é |N tem-se uma aplicação de |N em |N. A sucessão de Fibonacci possui aaplicação citada. “Representa-se uma determinada sucessão por f(n), fn ou aindapor (fn)" (Fibonacci e as sucessões recorrentes) A Seqüência de Fibonacci é uma função f: N→N, onde seu conjunto imagemé: F(N)= {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}. “Na essência cada numerogerado pela Seqüência de Fibonacci é a soma dos dois números que o precedem,(ou seja, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... onde 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 3+5=8, e assim pordiante)” (Fibonacci e as secessões recorrentes). Sendo assim a seqüência de Fibonacci é monótona estritamente crescente.“Dizemos que uma seqüência {an} é: (i) crescente, se an ≤ an+1 para todo n; (ii)decrescente, se an ≥ an + 1 para todo n. Chamamos de monótona uma seqüência queseja crescente ou decrescente.” (LEITHOLD, 1994, p.694) A Seqüência de Fibonacci possibilita serem explorados alguns conceitos decálculo como limite, monotonia entre outros que podem ser utilizados nas aulas dematemática. 2.3 Os números de Fibonacci Há relativamente pouco tempo começou-se a dar importância aos números de Fibonacci e descobriu-se que são muito freqüentes na natureza, sendo o seu aparecimento não um acaso, mas o resultado de um processo físico de crescimento de flores e frutos (O maravilhoso mundo de Fibonacci). Essa descoberta contribuiu para o estudo de tais números e a verificação de sua ocorrência em fenômenos naturais, potencializando suas aplicações em fatos do cotidiano das pessoas. Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na natureza. O modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores é um desses exemplos. (file://A:Decifrando o código da natureza.htm)
  16. 16. 17 Os números de Fibonacci aparecem em vários fenômenos da natureza.Outros números, como os irracionais, também surgem em fenômenos naturaisaguçando a curiosidade de explicar todo o Universo com base na matemática, comoé o caso do numero de ouro phi. O número de ouro tem uma conexão com aseqüência de Fibonacci: O número de ouro tem o valor j = ( 1 + √5 )/2 (= 1,618 033 989...) Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte seqüência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.... Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor. Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte seqüência de números: 1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ... Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de j(Phi) (Fibonacci e as sucessões recorrentes) As razões quando Fn+1/Fn tendem a um valor particular, o phi. Então quando ntender ao infinito, o limite é exatamente phi, o número de ouro. phi= lim Fn +1 / Fn n →∞ 2.4 Modelagem Matemática Segundo o Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa1 da Universidade Estadual defeira de Santana - UEFS, a matemática pode servir como “poder para alguém”agindo como um instrumento de controle social, pois afinal, os números governam omundo, decisões são tomadas a partir de fórmulas, de cálculos, de estatísticas,planejamentos de governo são decididos através da matemática. Decisões estasque afetam as vidas de todos aqueles a elas submetidos.1 Em palestra assistida durante o XIIEBEM realizado em Senhor do Bonfim durante o período de 01 a 04 dejulho de 2007.
  17. 17. 18 No entanto, um dos grandes problemas do ensino de matemática é o fato deos alunos não conseguirem perceber a relação desta ciência com a realidade, poispassam a maior parte do tempo fazendo cálculos os quais nem sabem onde serãoutilizados cotidianamente, e por isso perdem o interesse em aprender. Há algumtempo nota-se a preocupação, pelo movimento da Educação Matemática2, emencontrar maneiras de trabalhar a matemática com foco na realidade. Essemovimento traz tendências educacionais que ressaltam a criatividade, e osurgimento de idéias capazes de motivar os alunos a refletir sobre o processo social,político e econômico ao seu redor. Nesse contexto compete aos educadoresdesenvolver um trabalho produtivo a fim de melhorar seu labor pedagógico. A verdadeira educação é uma ação enriquecedora para todos os que com ela se envolvem, e sugere que em vez de despejarmos conteúdos desvinculados da realidade nas cabeças dos alunos, devemos aprender com eles, reconhecer seus saberes, e juntos buscarmos novos conhecimentos (D’AMBROSIO apud ALVES, 2001, p.23). A educação enfrenta grandes problemas no que diz respeito à aprendizagemdos alunos. Segundo Baraldi (1999,p.36) a matemática é a responsável pela maioriadesses problemas, por ser a disciplina mais temida e odiada pela maior parte dosdiscentes. “A matemática vem se desqualificando cada vez mais como disciplinaescolar e seu ensino continua resultando em altos índices de reprovação.” Daí percebe-se ser necessário incorporar à educação estratégias as quaisaproximem o ensino à realidade das pessoas para que haja um maior envolvimentoentre aluno e conteúdo, visando despertar o prazer em entender e aprender osconceitos necessários para que aconteça uma aprendizagem significativa. O acesso a um maior número de instrumentos e técnicas intelectuais dá, quando devidamente contextualizado, maior capacidade de enfrentar situações e de resolver problemas novos, de modelar adequadamente uma situação real, para com esses instrumentos chegar a uma possível solução ou curso de ação. Isto é aprendizagem, por excelência, isto é, a capacidade de explicar de aprender e compreender, de enfrentar criticamente situações novas. (D’AMBROSIO, 2005, p.81)2Movimento que se intensificou na década de 1950 e discute sobre o ensino de matemática, tentando buscarmaneiras de desmistificá-lo.
  18. 18. 19 O professor precisa criar maneiras de aproximar os conteúdos da realidadedos alunos, fazendo os mesmos se envolverem com o ensino, facilitando a aquisiçãode conhecimentos, visto que estes últimos pouco se interessam pelos conteúdosmatemáticos por não encontrarem aplicabilidade em nenhum outro momento desuas vidas, a não ser na escola. É como afirma Bicudo(1999, p. 165): Cabe ao professor planejar situações problemáticas (com sentido, isto é, que tenham significado para os estudantes) e escolher materiais que sirvam de apoio para o trabalho que eles realizarão nas aulas. Atividades que propiciem a sua manifestação sobre os dados disponíveis e possíveis soluções para os problemas que desencadeiem suas atividades intelectuais. Nas situações voltadas para a construção do saber matemático, o aluno é solicitado a pensar – fazer inferências sobre o que observa, a formular hipóteses -, não, necessariamente, a encontrar uma resposta correta. A efetiva participação dos alunos neste processo depende dos significados das situações propostas, dos vínculos entre elas e os conceitos que já dominam. Objetivando aproximar os conteúdos matemáticos da realidade do estudantee procurando metodologias que facilitem esse processo, a Modelagem Matemáticavem, trazida pelo Movimento de Educação Matemática, com a sugestão de vincularos conceitos (conteúdos e procedimentos) a serem vistos na escola a problemascom foco na realidade. Barbosa (2004, p.75) diz que: “Modelagem é um ambiente deaprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, pormeio da matemática, situações com referencia na realidade”. Skovsmose(2000, p.69) chama modelagem de: Cenário para investigação um ambiente que pode dar sustentação a um trabalho investigativo e apresenta diferentes ambientes de aprendizagem, em que há referências à Matemática pura, à semi-realidade (entendida como uma realidade construída para efeitos didáticos) e à realidade propriamente dita. Os dois acolhem o fato de que, através da Modelagem, pode-se motivar osalunos, desenvolver atitude crítica perante a realidade, despertar a criatividade eimpulsionar os estudantes para empregarem estratégias informais. Ora, se oestudante se envolve com o problema, investiga e sugere possíveis soluções parasua resolução, ele está atuando no processo de ensino-aprendizagem, saindo daposição de receptor de informações e passando a ser construtor de seuconhecimento.
  19. 19. 20 Barbosa (2004, p.73) apresenta alguns argumentos para a inclusão daModelagem ao ensino: “motivação, facilitação de aprendizagem, preparação parautilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais deexploração e compreensão do papel sócio-cultural da matemática.” Essa habilidade em problematizar e analisar situações reais utilizandoconhecimentos matemáticos deve ser desenvolvida não só no ensino básico mastambém no nível superior, especialmente nos cursos de Licenciatura emMatemática, pois o aluno concluinte precisa saber aplicar os conceitos aprendidosna Licenciatura e ensinar seus alunos (ou futuros alunos) os conteúdos matemáticosrelacionando-os com a realidade. Para os cursos de Licenciatura, as aulas de conteúdos seriam muito mais interessante se em vez de dar uma lista de pontos tradicional, que geralmente é fria e desconectada, fossem estudados, em muitos aspectos- teóricos, históricos, experimentais, aplicações -, fórmulas e resultados importantes e gerais (D’AMBROSIO,1998,p.101).2.4.1Modelagem Matemática e a Seqüência de Fibonacci Partindo do princípio de tornar a matemática mais atraente, procurar aaplicabilidade mais próxima da realidade dos conteúdos é, talvez, uma boaestratégia para o ensino, pois estimula e desafia o aluno, facilitando assim oprocesso de ensino-aprendizagem. Em relação à seqüência, conteúdo trabalhado(na grade curricular da Licenciatura em matemática) nas disciplinas de cálculo ematemática elementar, trazer atividades com alguma aplicação no cotidiano podefacilitar a compreensão e a assimilação dos conceitos e propriedades quedesvinculadas de exemplos reais tornam-se de difícil percepção. É a modelagem“uma alternativa de ensino-aprendizagem na qual a matemática trabalhada com osalunos parte de seus próprios interesses, e o cotidiano desenvolvido tem origem notema a ser problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia, nas situações de vida”.(Sheffer e Campagnollo, 1998, P.36) É simplesmente ensinar matemáticarelacionando-a a problemas com alusão na realidade. Tavares (1997, p.25), em seutrabalho referente a sucessões recorrentes afirma: A Sucessão de Fibonacci, para além de ter por base uma situação que permite, segundo determinados condicionalismos, mostrar a potencial
  20. 20. 21 conexão que a Matemática estabelece com o mundo real, possibilita igualmente explorar a noção de uma sucessão de recorrência sem grande complexidade, envolvendo os alunos em momentos significativos e potenciais sob o ponto de vista do processo de ensino-aprendizagem em Matemática. Especificamente ao se tratar de seqüência, a Seqüência de Fibonacci é umcaso de sucessão a qual tem referência em situações reais e facilita a compreensãodo conceito de seqüências recorrentes bem como de suas propriedades, pois o focona realidade motiva a busca de soluções pela própria curiosidade em saber aresposta de questões referentes a situações reais. Além de facilitar a aprendizagempor torná-la mais prazerosa, métodos que envolvem modelagem aproximam oestudante do conteúdo e fazem com que ele construa suas próprias estratégias paraalcançar as respostas. Pois, segundo Bassanezi (2002, p. 61): O processo dinâmico utilizado para a obtenção e tese de Modelos Matemáticos é denominado Modelagem Matemática. Desta forma, a Modelagem Matemática consiste essencialmente na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do real. Trabalhar os conteúdos com embasamento em situações reais pode facilitar aaprendizagem e torná-la mais interessante. Nos cursos de Licenciatura essa práticaajuda na formação do educador, o fazendo adquirir argumentos e metodologias quefavoreçam o ensino de matemática. Silveira e Ribas(2004, p.3) em seu artigo sobremodelagem afirmam: A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino de Matemática que pode ser utilizada tanto no ensino fundamental como no ensino médio e no superior. A partir de conceitos gerais, procura –se mostrar a importância da Matemática para o conhecimento e compreensão da realidade onde se vive. Uma forma de avaliar se a Modelagem Matemática é eficiente no processo de ensino-aprendizagem é estabelecer um paralelo entre o ensino tradicional e o ensino através da Modelagem Matemática, abordando aspectos como a pedagogia adotada, a criatividade, o interesse pelo estudo de Matemática, a motivação e entusiasmo por parte dos alunos,e a avaliação do que eles realmente aprenderam com a Modelagem Matemática, levando o professor a refletir sobre a sua metodologia de ensino da matemática.
  21. 21. 22 Existem muitas curiosidades na natureza que podem ser estudadasembasadas pela Sequência de Fibonacci, além do problema dos coelhos, citadaanteriormente (tópico 2.1). A Sequência de Fibonacci não é só uma coisa divertida ou uma série simpatica de números inteiros. Foi usada para otimizar empacotamentos (idéia inicial dos matemático indianos que criaram a sequencia) e continua sendo utilizada na análise do algoritmo de Euclides para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Matiyasevich conseguiu mostrar que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma equação diofantina, o que fez com que ele resolvesse o décimo problema de Hilbert. Esta série também ocorre numa fórmula para oa diagonais dotriângulo de Pascal e, por incrível que pareça, pode ser observada com grande frequencia na natureza e na música.(http://www.numaboa. Com) Apesar do exemplo dos coelhos ser o exemplo mais clássico da sucessão deFibonacci, atualmente considera-se que não é um exemplo muito credível devido áscondições inicialmente impostas . Observe a definição da sucessão de Fibonaccci: Definição recursiva da Sucessão de Fibonacci Fn = Fn-1 + Fn-2 , com n natural e n>2 F1 = F2 = 1 . Um exemplo melhor, para a aplicação da definição recursiva anterior, é a deslocamento de uma abelha na sua colmeia. Pressupondo que os favos se estendem tão longe quanto se queira sempre para o lado direito e que uma abelha se desloca para um favo adjacente, tomando o sentido da esquerda para a direita. Quantos caminhos poderá então tomar a abelha para se deslocar para o favo 0? Figura 2: (Favo de mel) Figura 3: Deslocamento de uma abelha na colméia Como podemos verificar, para o favo 0 a abelha poderá apenas tomar um caminho. E para o favo 1? Já para o favo 1 temos 2 caminhos, um dos caminhos passa pelo favo 0 e o outro vai directamente para o 1. E para o favo 2?
  22. 22. 23 Para o favo 2 a abelha poderá tomar 1 dos 3 caminhos assinalados a rosa. Seguindo este raciocínio, surge agora a seguinte questão, quantos caminhos poderá tomar a abelha para o n-ésimo favo? Seria Fn = Fn-1 + Fn-2, mas supondo n = 100 temos que o número de caminhos é igual ao número de caminhos para a célula 99 mais o número de caminhos para a célula 98. (O maravilhoso mundo de Fibonacci) A questão do deslocamento de uma abelha na colméia forma uma sequêncianumérica conhecida como Sequência de Fibonacci, com a qual podem serabordados todos os conceitos vistos no conteúdo sequência, como fórmula para a n-ésima célula, limite , convergência e divergência, monotonia de sequência, entreoutros. Questões onde a curiosidade da natureza pode ser consrtuida partindo deum modelo matemático. Existem outros exemplos com a presenca dos números de Fibonaccimodelado por questões reais, como é o caso do número de espirais de uma pinha,veja:O número de espirais de Fibonacci pode ser encontrado freqüentemente em muitasformas vegetais, por exemplo, as folhas das cabeças das alfaces, a couve-flor, ascamadas das cebolas ou os padrões de saliências dos ananases e das pinhas,como se pode ver nesta figura. As pinhas mostram claramente as espirais deFibonacci. Consegue contar as espirais verdes e as espirais vermelhas?Figura 4: os espirais de uma pinhaSão oito espirais verdes e treze vermelhos.
  23. 23. 24Como foi visto têm enumeros exemplos onde podem ser encontrados os números oua seqüência de Fibonacci. Existem muitas aplicações da Seqüência de Fibonacci naarte, na música nos girassóis e em outras plantas, nos insetos, em peçãs de dominóe outros que não fom citados neste trabalho. É uma serie bastante rica e queposssibilita sua exploração, sobretudo na area educaciional .
  24. 24. 25CAPÍTULO III: PROCEDIMENTOS METDOLÓGICOS Para desenvolvimento e alcance dos objetivos de uma pesquisa, ametodologia utilizada é de fundamental importância. Conciliar mais de umametodologia, se feito com coerência, pode ser de imprescindível ajuda no alcancedos objetivos traçados. Sendo assim, almejando encontrar maneiras de alcançar-los,a metodologia utilizada consiste na pesquisa qualitativa e quantitativa, auxiliadapelas pesquisas bibliográfica e descritiva. O primeiro passo para qualquer trabalho acadêmico é a pesquisabibliográfica: o momento de serem levantados todas as fontes bibliográficasdisponíveis e acessíveis a cerca do tema escolhido. Essa pesquisa auxilia naescolha de um método mais apropriado e na autenticidade da pesquisa. “Aidentificação das fontes bibliográficas pode ser iniciada pela consulta de obras quepropiciam informações gerais sobre o assunto” (ANDRADE, 2007, p. 27). Neste trabalho, além das fontes pesquisadas na biblioteca da Universidade doestado da Bahia (UNEB) Campus VII foram levantadas fontes encontradas nainternet. “Recentemente, com o aperfeiçoamento das facilidades dos recursoseletrônicos da rede mundial de computadores – internet -, essa outra forma depesquisa tornou o acesso muito mais amplo e praticamente sem fronteiras físicas”(ANDRADE, 2007, p. 30). A pesquisa descritiva vem auxiliar na observação, registro e analise dosdados. “A pesquisa descritiva observa, registra, analisa e correlaciona fatos oufenômenos (variáveis) sem manipulá-los” (CERVO, 2007, p.61). Para o êxito destapesquisa se faz necessário a coleta de dados, anotações, observações quepossibilitem a análise e descrição dos fenômenos estudados - técnicascaracterísticas da pesquisa descritiva. A coleta de dados aparece como uma tarefa característica da pesquisa descritiva. Para viabilizar essa importante operação da coleta de dados, são utilizados, como principais instrumentos, a observação, a entrevista, o questionário e o formulário (Cervo, 2007, p. 63).
  25. 25. 26 Estes instrumentos citados contribuem para o êxito da pesquisa qualitativa.Ludke e André (1986, p. 16), diz que: “A pesquisa qualitativa tem o ambiente naturalcomo sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento.” A pesquisa se faz necessária em qualquer área de trabalho, pois, além deadquirir novos conhecimentos e aumentar os já existentes, torna mais rico o queestá sendo produzido. A pesquisa qualitativa exige o contato direto do pesquisadorcom a situação a qual está sendo investigada, no ambiente onde os fenômenosocorrem. Alem disso, não busca enumerar ou medir eventos. Então, segundo Baraldi(1999), a preocupação com o processo é muito maior do que com o “produto”, pois,o processo, em sua riqueza, gera o “produto” mais esclarecedor do fenômeno quese quer conhecer. A pesquisa qualitativa ou naturalista envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em relatar a perspectiva dos participantes (LUDKE; ANDRE, 1986, p. 13). Segundo o Instituto Brasileiro de Pesquisas (2007) as pesquisas qualitativassão exploratórias, ou seja, estimulam os entrevistados a pensarem livremente sobrealgum tema, objeto ou conceito. Elas fazem emergir aspectos subjetivos e atingemmotivações não explícitas, ou mesmo conscientes, de maneira espontânea. Sãousadas quando se busca percepções e entendimento sobre a natureza geral de umaquestão, abrindo espaço para a interpretação. Para melhor análise e interpretaçãodos dados, a pesquisa quantitativa vem complementar e auxiliar a pesquisaqualitativa. Portela (2007, p.3), em seu artigo, diz o seguinte sobre a pesquisaquantitativa: Nesse tipo de abordagem, os pesquisadores buscam exprimir as relações de dependência funcional entre variáveis para tratarem do como dos fenômenos. Eles procuram identificar os elementos constituintes do objeto estudado, estabelecendo a estrutura e a evolução das relações entre os elementos. Em seguida pontua o seguinte sobre a junção das duas metodologias para oêxito da pesquisa: Acreditamos que a melhor forma de se pesquisar é através da integração entre os métodos quantitativo e qualitativo, pois para analisar-se com fidedignidade uma situação dada é necessário o uso de dados estatísticos e
  26. 26. 27 outros dados quantitativos, e também da análise qualitativa dos dados obtidos por meio de instrumentos quantitativos.(Portela, 2007, p.4) Esta pesquisa foi realizada com alunos, do curso de Licenciatura emMatemática, da Universidade do Estado da Bahia - UNEB, campus VII de Senhor doBonfim, que já haviam cursado as componentes curriculares Matemática III e CálculoIII. Estas componentes trazem em seus ementários os conteúdos alvo da pesquisa.Ela compõe-se de dois momentos. No primeiro foi entregue o questionário I(Apêndice I) a vinte alunos que poderiam levá-lo para casa e trazer-lo após umasemana. Nele haviam questões sobre a Seqüência de Fibonacci as quais deviam serrespondidas utilizando-se os conhecimentos adquiridos nas disciplinas matemáticaIII e cálculo III havendo a possibilidade de consultas a livros e a outros materiais.Este questionário foi elaborado embasado na Modelagem Matemática e suautilização como instrumento facilitador de aprendizagem no ensino de matemática.No segundo momento, depois da devolução do questionário I, foi entregue oquestionário II (Apêndice II) com questões referentes ao comportamento dos alunosfrente a resolução do primeiro questionário e a utilização da Modelagem Matemáticano ensino de matemática, sobretudo no ensino superior, com o conteúdo Seqüência.Este último questionário, continha somente questões subjetivas. A aplicação,desenvolvimento e devolução foram consecutivos, sem delonga, ou seja, oquestionário foi entregue aos alunos, eles resolveram e devolveram em umasemana, apos a devolução do questionário I pelos alunos lhes foi entregue oquestionário II o qual eles responderam e entregaram logo em seguida. Em seguida, a análise dos dados coletados nos dois questionários foi feitaobservando os acertos e erros do primeiro e as respostas do segundo. Nãoobstante, a separação das perguntas, foi proposital e buscava comparação entre osquestionários, pois se fez necessário relacioná-los para melhor compreensão dosdados obtidos e posterior conclusão.
  27. 27. 28CAPÍTULO IV: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS A análise de dados fora feita partindo do questionamento sobre o processoensino-aprendizagem de matemática, em particular do conteúdo seqüência, atravésda utilização da Modelagem Matemática e da Seqüência de Fibonacci,fundamentando assim a pesquisa. Para realizar um trabalho, o planejamento é de fundamental importância,tornando necessária a verificação da viabilidade de sua realização, as possibilidadese limitações dentro da problemática apresentada. Entende-se por planejamento da pesquisa a previsão racional de um evento, atividade, comportamento ou objeto que se pretende realizar a partir da perspectiva científica do pesquisador. Como previsão, deve ser entendida a explicitação do caráter antecipatório de ações e, como tal, atender a uma racionalidade informada pela perspectiva teórico- metodológica da relação entre o sujeito e o objeto da pesquisa. A racionalidade deve-se manifestar através da vinculação estrutural entre o campo teórico e a realidade a ser pesquisada, além de atender ao critério da coerência interna. Mais ainda, deve prever rotinas de pesquisa que tornem possível atingir-se os objetivos definidos, de tal forma que se consigam os melhores resultados. (BARRETO; HONORATO, 1998, p. 59) As pesquisas utilizadas foram a qualitativa, quantitativa e descritiva. Apesquisa qualitativa perdura em avaliar com rigor, considerando importante todainformação e/ou conhecimento fornecido pelo sujeito: todos os dados da realidadesão considerados importantes. Já a descritiva obriga a anotação e descrição dosdados coletados, para tal é necessário muito rigor no registro destes dados. Aquantitativa tem as vantagens da automaticidade e da precisão. Não faz parte das pretensões desta pesquisa medir os conhecimentosreferentes aos sujeitos participantes, e sim coletar dados os quais nos possibilitemuma análise mais próxima do real no que se refere à aplicabilidade dos conceitos doconteúdo seqüência na Seqüência de Fibonacci, com posterior reflexão acerca dosresultados. Diante disso, as questões que fazem parte do questionário I e II visamobter dados os quais permitam ao pesquisador concluir sobre as habilidades dosalunos da UNEB - Campus VII na aplicação dos conceitos sobre Seqüência naSeqüência de Fibonacci e verificar a opinião destes alunos a cerca da utilização daModelagem Matemática no ensino superior.
  28. 28. 29 Os sujeitos da pesquisa são constituídos por 20 (vinte) alunos da referidainstituição de ensino superior, concluintes das componentes curriculares MatemáticaIII e Cálculo III. Estes alunos resolveram os questionários e os devolveram porem naanálise foram consideradas as respostas mais relevantes. Eles serão identificadosno decorrer do relato da pesquisa por A1, A2, A3 e assim sucessivamente. O período de execução da pesquisa aconteceu entre 25 de agosto de 2008 e25 de setembro de 2008. No primeiro momento foi exposto aos alunos o tema eobjetivos dessa pesquisa e entregue o Questionário I, o qual deveria ser devolvidouma semana depois. Houve permissividade para consulta a materiais quecontivessem o assunto seqüência. Após a devolução do Questionário I deu-se inícioo desenvolvimento do Questionário II compreendendo o segundo momento. Valeressaltar que a análise de dados se constituirá por duas etapas para caracterizarmelhor o material obtido e cada questionário. Para melhor compreensão, a análise da primeira questão deste questionárioserá da seguinte maneira: primeiro será colocados a questão e a resposta delasegundo o autor, em seguida o gráfico com as respostas dos alunos e suasrespectivas discussões. As perguntas do Questionário I foram tiradas de Tavares (1997). A primeiraquestão é a seguinte: Questão 1 :O problema dos coelhos No ano de 1202, um matemático italiano de nome Leonardo de Pisa (ou Fibonacci), formulou e resolveu o seguinte problema que ficou conhecido pelo problema dos coelhos: É sabido que os coelhos reproduzem-se rapidamente. Assumimos que um par de coelhos adultos produz um casal de coelhos recém-nascidos todos os meses e que os coelhos nascidos tornar-se-ão adultos em dois meses e a partir daí começam a reprodução normal e produzem, ao final de cada mês, um novo casal. Quantos coelhos obtemos ao fim de 1 ano, considerando que não ocorrem mortes? Proposta de trabalho: a) Começando com um casal de coelhos jovens, quantos casais obtemos quando esse casal atingir os 10 meses de vida?Resposta do autor:
  29. 29. 30 a)tendo em consideração o problema formulado, Fibonacci observou que partindo de um casal de coelhos jovens, no final do primeiro mês se tem um só casal, uma vez que se trata de um casal de coelhos que ainda não está apto a procriar. No final do segundo mês ainda só teremos o mesmo casal inicial, pois só a partir desse mês é que eles iniciam seu ciclo mensal de reprodução. Passando agora para a quantificação dos casais de coelhos no final do terceiro mês, verifica-se que passamos a ter o dobro do número de casais de coelhos, ou seja, dois casais(2=1+1). No mês seguinte, o primeiro casal dá origem a outro casal de crias, assim no final deste mês obtêm-se três casais(3=2+1). Daqui, dois casais nascem no quinto mês, deste modo, no final deste mês temos 5 casais de coelhos(5=2+3). Depois, 3 destes 5 casais reproduzem-se no sexto mês elevando assim para 8 o número de casais de coelhos obtidos(8=5+3). Cinco destes casais reproduzem 5 outros casais, os quais, juntamente com os oito casais já existentes, perfazem 13 casais no sétimo mês(13=8+5). Daqui, 5 destes 13 casais não se reproduzem, enquanto que os 8 restantes dão a luz a outras crias, contabilizando-se no final do oitavo mês, vinte e um casais (21=13+8). Adicionando a estes os treze casais nascidos no nono mês, obtivemos um total de 34 (34=21+13). Seguidamente, adicionando a estes os 21 casais nascidos no décimo mês, obtivemos no fim deste mês um total de 55 casais de coelhos (55=34+21). Concluindo que no final de 10 meses obtemos 55 casais de coelhos. (Tavares, 1997, p.11) Observe a representação gráfica do desempenho dos alunos na alternativa acima referida: Gráfico 1: desempenho dos alunos na 1ª questão a) Na análise do gráfico 1, observa-se que a maior parte dos sujeitos dapesquisa atingiram o resultado esperado, porém a porcentagem de alunos com errose/ou sem resposta também foi grande, considerando que na primeira questão haviauma tabela sugerindo o modo de raciocinar para o desenvolvimento do assunto.Vejamos a resposta de alguns alunos: “Depois de fazer a tabela conclui que em dez meses obteve-se 89 casais decoelhos” (A1) “a1= 1; a2= 2; a3=3; a4=3+2=5; a5=5+3=8; a6=5+8=13; a7=8+13=21;a8=13+21=34; a9=34+21=55; a10=34+55=89. Resposta: 89 casais.” (A4)
  30. 30. 31 Os dois alunos erraram no mesmo ponto: consideraram que o casal decoelhos inicial era adulto, quando a questão afirmava ser um casal jovem , cujaprocriação ocorreria a partir do segundo mês. Todos os demais erros partiram dessainterpretação equivocada da questão. Os estudantes que trouxeram respostas corretas iniciaram a questãocompletando a tabela sugerida na alternativa e conseguiram formar a seqüêncianumérica que soluciona o problema dos coelhos. Vejamos algumas respostas: “construí a tabela. R = 55 casais” (A2) “55” (A3), (A5), (A12) “os 10 primeiros são:(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55)” (A9) A6, A7, A11, completaram toda tabela (tabela que havia como sugestão deresolução no final da primeira pergunta) e no final circularam a resposta. Vamos para questão seguinte com pergunta e resposta do autor: P: b)E ao fim de 1 ano? R: b) continuando o raciocínio anterior, observa-se que no final de um ano de vida o casal original, reproduzirá 144 casais de coelhos. Veja a tabela: Fim do mês nº Casais adultos Casais jovens Total de Casais 1 1 0 1 2 1 0 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 5 8 13 8 8 13 21 9 13 21 34 10 21 34 55 11 34 55 89 12 55 89 144 ( 13 89 144 233 (TAVARES, 1997, 11-12)
  31. 31. 32 O gráfico com o desempenho dos alunos fora: Gráfico 2: desempenho dos alunos na 1ª questão – b) A resposta desta alternativa poderia ser obtida partindo do raciocínioelaborado na questão anterior. A porcentagem de acertos foi maior. Alguns alunoscontinuaram suas resoluções e outros somente escreveram a resposta. A1 quehavia errado a alternativa a), na b) escreveu “144”, respondendo corretamente; masse tal aluno tinha iniciado a questão de forma equivocada, como citado na alternativaanterior, é curioso que ele tenha acertado esta, sendo ela subseqüente a primeira.Talvez os meios de consulta, os quais foram permitidos nesta pesquisa, utilizados naresolução deste questionário tenham colaborado para o melhor êxito dos alunosnesta alternativa. Muitos alunos foram direto a resposta: “= 144” (A1), (A3), (A7),(A8), (A14). Somente dois alunos não conseguiram acertar tal opção, A2 e A4,respondendo “233”,sendo este o número de casais que teríamos no final do décimoterceiro mês. Continuando, observemos o desenvolvimento da alternativa c: P:c) Procura determinar a expressão matemática que possibilite calcular o número de casais de coelhos obtidos no final do n-ésimo mês. (Sugestão: Considera o número de casais de coelhos que se obtém no final de cada mês, e verifica como eles são calculados). R:c) A sucessão 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,..., foi dada o nome de Sucessão de Fibonacci, pois trata-se da sucessão de números associada a resposta do problema formulado por Fibonacci. Trata-se pois de uma sucessão de recorrência de ordem dois(porque parte de dois termos iniciais:u1 e u2), se adicionarmos o primeiro valor ao segundo obtivemos o terceiro termo(u1+u2=1+1=2=u3), então a equação de recorrência é dada por Un=Un-2+Un-1 . (Tavares, 1997, p.12)
  32. 32. 33 O gráfico 3 demonstra o percentual de erros e acertos dos alunos nestaquestão: Gráfico 3:desempenho dos alunos na 1ª questão – c) Todos os alunos responderam esta alternativa, somente dois erraram.Observe: (1 + 5 / 2) n + (1 − 5 / 2) n A3: “= ” 2 A16 respondeu o seguinte: “quando n>2, an = (an-1)n +(n+2)n, esta é afórmula para chegar ao n-ésimo termo”. Os demais alunos tiveram bom êxito na questão. A13 respondeu da seguinte forma: “Observa-se que a partir do 3 mês, encontra-se o nº de casais de coelhossomando os dois números anteriores. Então: G(n+2) = Gn + G(n+1), já que é a partir do3 mês.” Percebe-se que o referido aluno não arrumou a fórmula da mesma maneiraque o autor mais acertou e fez as observações de maneira correta. No estudo de seqüência, conteúdo do ementário da componente curricularCálculo III, na UNEB Campus VIII, são exploradas as maneiras de se chegar aoalgoritmo de cada série. Os alunos, pelo número de acertos evidenciados no gráfico3, demonstraram ter noção da maneira de encontrar o termo geral (algoritmo,fórmula) da seqüência, mostrando ter conhecimento do assunto. Prosseguindo com a análise temos: P: d)A sugestão que traduz o fenômeno da reprodução dos coelhos segundo os condicionalismos impostos por Fibonacci que no enunciado do problema contatamos, tem o nome de sucessão de Fibonacci, em honra do
  33. 33. 34 Matemático que descobriu. Procura então calcular os primeiros quinze termos da sucessão de Fibonacci. R:“d)u1=1,u2=1,u3=2,u4=3,u5=5,u6=8,u7=13,u8=21,u9=34,u10=55,u11=89,u12=144, u13=233,u14=377,u15=610.(TAVARES, 1997, p.12) Segue o gráfico com o desempenho dos alunos: Gráfico 4:desempenho dos alunos na 1ª questão – d) O gráfico 4 demonstra a grande porcentagem de acertos dos alunos, elescalcularam os termos pedidos e chegaram a resposta. É curioso a ocorrência detantos acertos nesta alternativa sendo ela uma continuidade das primeiras (a e b),nas quais houveram erros. Tal contradição pode ter ocorrido por erro na transcriçãodas resoluções ou aquisição das respostas tão somente pelos meios de consulta.Observemos uma resposta correta :“os quinze primeiros termos são: 1,1,2,3,5,8,13,21,35,55,89,144,233,377,610.” (A6) Em seguida temos a alternativa e), vejamos: “P: e)De acordo com os valores obtidos em d), o que pode se dito quanto à monotonia da sucessão? R: e)A sucessão é monótona crescente.” (Tavares,1997, p.13) Observemos os gráficos 5 com as respostas dos alunos:
  34. 34. 35 Gráfico 5: desempenho dos alunos na 1º questão - e) O gráfico 5 mostra o número de alunos, metade deles, que errou e/ou nãorespondeu a questão, comprovando a falta de atenção por parte dos sujeitos queapesar de encontrar os termos da sucessão ou não constatou ser uma sucessãocrescente e monótona ou não teve interesse em responder sobre isso. Segundo Leithold (1994, p.695 ): “Uma seqüência é crescente se an ≤ an +1 edecrescente se an ≥ an +1. Se uma seqüência é crescente ou decrescente ela é ditamonótona.” Vejamos a resposta de alguns alunos, serão citadas somente a respostasmais relevantes: (A7) “Percebemos que a partir do segundo termo, os demais são adquiridossomando-se dois termos consecutivos” (A3), (A15) “É uma seqüência crescente.” (A16) “O último termo é sempre a soma do penúltimo com o antepenúltimo.” (A18) “É uma seqüência estritamente crescente.” A1) “É monótona estritamente crescente.” As respostas levam a supor que, exceto A1, os alunos não têm conhecimentoda definição de monotonia de seqüência. A determinação do crescimento é maisfácil pela própria construção da Seqüência de Fibonacci, porem defini-la comomonótona requer o significado deste termo Vamos para a alternativa seguinte: “P: f)Determine o limite desta sucessão. R: f)o limite é dado por lim Un = ∞ ” (TAVARES, 1997 p. 13) n →∞ O gráfico demonstra as respostas dos alunos:
  35. 35. 36 Gráfico 6:desempenho dos alunos na 1ª questão - f) Segundo Leithold (1994,p.68): “Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x tende a a será L, escrito como lim( x ) = L x →∞ Se a seguinte afirmativa for verdadeira: Dado ε>0 qualquer, existe um δ>0, tal que se 0<|x - a|<δ então |f(x) - L|<ε. (p.68) O limite de uma seqüência tem a seguinte definição: “uma seqüência {an} temo limite L, se para todo ε>0 existir um número N>0, tal que |an - L|<ε, sempre quen>N e escrevemos: lim an = L . (LEITHOLD, 1994, p. 690) n →∞ Observando os gráficos percebemos que metade dos alunos errou ou deixouesta alternativa em branco, mesmo conseguindo construir a tabela (tabela que haviano final da questão como modelo de resolução) e chegando a seqüência numérica.Seria necessário somente observar até onde a seqüência poderia atingir. Vejamos aresposta de alguns alunos: (A1, A13, A19) “R = 1,618” Tais alunos, pela resposta dada, não demonstram conhecimento sobre olimite de uma seqüência, pois numa seqüência infinita crescente onde o númeroseguinte, a partir do terceiro termo, é o somatório dos dois anteriores, o limite jamaispoderia ser 1,618. Por ser permitido consulta para resolução deste questionário oêxito deveria ser bem maior. Vejamos a análise da alternativa seguinte: “P: g)Tendo em atenção o que conheces sobre os infinitamente grandes, que classificação podes atribuir à Sucessão de Fibonacci?
  36. 36. 37 R: g)Tendo em consideração o limite obtido na questão anterior, un éinfinitamente grande positivo, pois un tende ao infinito quando n tende para oinfinito.”(TAVARES, 1997,p. 13) Gráfico 7: desempenho dos alunos na 1ª questão - g Analisando o gráfico 7 percebemos que assim como na alternativa anterior,metade dos alunos errou ou a deixou em branco. Um dado inquietante, pois depoisde encontrar a seqüência precisaria, simplesmente, perceber que é uma seqüenciainfinitamente grande. Muitos deles não interpretaram o enunciado da questão, poisna alternativa e já haviam respondido ser uma série estritamente crescente. A4 respondeu o seguinte: “é uma seqüência monótona estritamentecrescente.” Só faltou dizer que é infinitamente grande, respondendo ao que foiperguntado na alternativa. A má interpretação da pergunta pode ter sido acausadora desta resposta, parcialmente correta. A7 respondeu: “é uma seqüência divergente.” Em nenhum momento, no questionário, foi tratado sobre convergência oudivergência de seqüência. Continuando a análise observemos a segunda questão, sua resoluçãosegundo o autor e a resposta dos alunos: Questão 2: o deslocamento de uma abelha na colméia: Similarmente ao “problema dos coelhos”, problema que deu origem ao aparecimento da sucessão de Fibonacci, temos um outro que procura determinar o número de caminhos que uma abelha pode percorrer quando se desloca lentamente sobre as células hexagonais de um favo de mel (ver figura abaixo)
  37. 37. 38 As células estendem-se tão longe quanto se queira e sempre para o lado direito. Assumindo que a abelha só se move para uma célula adjacente e se desloca sempre no sentido da esquerda para a direita, quantos caminhos poderá ela tomar para se deslocar para a célula 0? E para a célula 1?...Seguindo este raciocínio, quanto seria o número de caminhos possíveis que a abelha poderia percorrer para atingir a n-ésimo célula?(Tavares, 1997, p.02) Tavares (1997, p.13) responde a questão da seguinte forma: Podemos constatar que o número de caminhos possíveis que a abelha pode tomar para se deslocar da célula 0 é apenas 1(→0). Em relação a célula 1 são 2 caminhos possíveis, os seguintes: (→0→1) e (→1). Para a célula 2 seriam (→0→2), (→0→1→2) e (→1→2), os três caminhos possíveis. Se pensarmos no deslocamento para a célula 3 teríamos 5 caminhos possíveis: (→0→1→2→3), (→0→1→3), (→0→2→3), (→1→2→3) e (→1→3). E assim sucessivamente...Se denominarmos por Cn o número de caminhos possíveis para a n-ésima célula, observemos que C0=1, C1=2, C2=3=1+2, C3=5=2+3, C4=8=3+5, C5=13=5+8, C6=21=8+13, ... Deste modo podemos dizer que Cn = Cn-2+Cn-1, para n≥3, com C0=1 e C1=1, é a expressão matemática que nos possibilita obter o número de caminhos possíveis que a abelha pode tomar para uma dada célula do favo de mel. Vejamos o gráfico demonstrando o desempenho dos alunos na questão: Gráfico 8: desempenho dos alunos na 2ª questãoO gráfico anterior demonstra que quase metade dos alunos deixou essa questão embranco (nove alunos), dois disseram que não sabiam, dois começaram a respondere não terminaram e sete acertaram. A maior dificuldade parece ter sido em encontrara fórmula para chegar a n-ésima célula, muitos nem conseguiram encontrar a
  38. 38. 39seqüência numérica. Vejamos uma resposta inadequada, uma incorreta e umacorreta: “A única certeza que eu tenho nessa questão é a que a abelha morre maisnão chega ao último hexágono. Rs, rs (não sei!)” (A2) A4 respondeu: “para célula 0 um caminho, para célula 1 um caminho, para n-ésima célula assim: an = (n – 1) + 1. A fórmula para se chegar a n-ésima célula é amesma para se chegar ao n-ésimo casal de coelhos do problema anterior. A8 escreveu: “para célula 0 é apenas 1 caminho; para 1 são dois caminhospossíveis; para 2 são três caminhos; para três são 5 caminhos; deste modo pode-sedizer que Cn = Cn-2 + Cn-1 p/ n≥3.” Resposta correta seguindo o mesmo raciocíniodo autor. Alguns alunos sentem dificuldade em transformar a seqüência em algoritmo.Na primeira questão eles demonstraram ter conhecimento de como fazer essatransformação. Agora uma porcentagem grande de alunos deixou de responder.Uma contradição que pode se dever a interpretação equivocada da questão, pois oprocedimento de resolução de ambas é similar A terceira (3ª) questão é a seguinte: Questão 3: A sucessão dos quocientes entre números consecutivos de Fibonacci Investiguemos um fato curioso relacionado com esses números e que desempenha um papel muito importante não só na matemática como em muitas outras áreas do saber. Tal fato provém do estudo da razão entre os termos consecutivos da sucessão de Fibonacci. Utilizando a calculadora, procure resolver a seguinte proposta de trabalho: a) Calcular o quociente entre alguns números consecutivos de Fibonacci. b) De acordo com os valores obtidos em a), o que pode ser dito quanto a monotonia da sucessão dos quocientes entre os números consecutivos de Fibonacci? c) Será que esta sucessão tem limite? Será limitada? d) O que significa dizer em termos do “problema dos coelhos”, afirmar que o quociente entre dois termos consecutivos de Fibonacci é aproximadamente 1,62? (Tavares, 1997, p.05) Tavares (1997) a responde da seguinte forma: a) 1/1 = 1; 2/1 =2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,66; 8/5 = 1,60; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615; 34/21 = 1,619; ... b) Não monótona; c) Sim, o limite está entre 1,60 e 1,62.
  39. 39. 40 d) Como o quociente entre dois números consecutivos de Fibonacci tende para 1,62, a taxa de crescimento dos coelhos tende para um valor próximo a 62%, trata-se -, pois, de um crescimento tipo exponencial. (p.17) Os seguintes gráficos demonstram o desempenho dos alunos:Gráfico 9:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa aGráfico 10:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa bGráfico 11: desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa c
  40. 40. 41Gráfico 12:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa dComo a Seqüência numérica de Fibonacci já havia sido encontrada e estudada nasquestões anteriores, os alunos não apresentaram dificuldade em encontrar oquociente entre os números consecutivos dela. É preocupante o fato dos alunosgraduando em matemática terem dificuldade em falar de monotonia de seqüência,na primeira e nesta questão uma porcentagem grande de alunos errou e/ou deixouem branco. Também é inquietante verificar que muitos destes alunos nãoresponderam sobre o limite do quociente dos números de Fibonacci quando aalternativa anterior (a) demonstrava a possível resposta e a posterior (d) a deixavaexplícita. Vale ressaltar que alguns alunos, como citado na análise da alternativa f daprimeira questão, responderam que o limite da Seqüência de Fibonacci era 1,618quando essa resposta deveria ser agora para o limite do quociente entre os númerosconsecutivos de Fibonacci. Essa questão retrata a relação da Seqüência de Fibonacci com a razãoáurea, com o número de ouro, 1, 618. A alternativa chave é a primeira (a), onde sedescobriria o quociente entre alguns números consecutivos de Fibonacci, verificariaa que outro número essas divisões se aproximava e resolveria as demais.Observemos a resposta de alguns alunos: “a) calculei b) não sei c) tem limite e será limitada d)que o quociente estabelece um padrão conhecido como número de ouro.” (A2) Tal aluno, pelo que respondeu, tem conhecimento a respeito do número deouro e sobre a idéia de limite, mas não aclara as respostas, nem as acertacompletamente.
  41. 41. 42 “a)(1,1,2,3,5,8,13,21,34) 1/1 =1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615; 34/21 = 1,618. b)que existe uma relação entre eles, que se aproxima da razão áurea. Exceto nos quatro primeiros elementos. c)pelos cálculos realizados em a o quociente desses números converge para ≡1,6 d)que existe uma proporcionalidade em relação ao número de coelhos recém nascidos e o número total de coelhos, pois a média de coelhos nascidos a cada mês é de aproximadamente 1,6.” (A4) Este aluno obteve um aproveitamento muito bom nesta questão, excetoquanto a respeito de monotonia. Mostrou ter conhecimento do conteúdo e provouter compreendido a questão. ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO II A segunda fase da análise de dados compreende o diagnóstico do segundoQuestionário, o qual tem o objetivo de verificar o comportamento dos sujeitos aoresponder Q1. Tal questionário foi de fundamental importância para conclusão dessapesquisa, pois nele aparecem as reais dificuldades dos participantes frente aoconteúdo (Seqüência, mais especificamente a Seqüência de Fibonacci) e aresolução do primeiro Questionário. Serão citadas somente as respostas dos alunos mais satisfatórias para cadapergunta, ou seja , as respostas mais fundamentadas. 1ª questão: Qual a principal dificuldade encontrada ao realizar a atividadeproposta no QUESTIONÁRIO I? O objetivo é descobrir as dificuldades encontradas, em relação aos conceitosmatemáticos, ao responder Q1. A1: “tive muita dificuldade em interpretar as questões.” (A3) “Encontrar a expressão matemática que exprime o nº de casais de coelhos para o n-ésimo mês, pois foi preciso recorrer ao Teorema de Binet.” (A6) “É um assunto novo que exige um pouco de tempo para estudá-lo, tempo este que não disponho no momento.” (A7) “Determinar o termo geral.” (A8) “Minha maior dificuldade foi não conhecer o assunto.”
  42. 42. 43 Pelos relatos acima percebe-se que os alunos tiveram dificuldade em resolvero primeiro questionário. Para resolvê-lo foi dada uma semana e permitido a consulta,como já fora dito. Os participantes haviam cursado as componentes curricularesMatemática III e Cálculo III, cuja ementa traz o estudo de seqüência ou utilizaconceito relacionados a seqüência, é provável que eles tenham conhecimento doassunto. Por tanto está evidenciada a ausência de habilidades para resolução deproblemas propostos relacionados a situações diversas e/ou cotidianas. Questão 2: Foi necessário fazer algum tipo de consulta para realizá-la? Cite-as: O objetivo desta vez é verificar que materiais foram utilizados pelos alunospara responder Q1. Vejamos as respostas de alguns alunos: (A1),(A7), (A8), (A9), (A17) “Internet” (A3) “Sim, Teorema de Binet (cálculo III)” (A4) “Sim, consultei uma apostila de estrutura algébrica que tinha a questão dos coelhos.” (A5) “Sim, a meus escritos sobre seqüência (cálculo III)” Todos os alunos admitiram ter feito consulta a algum material para responderQ1. Alguns afirmaram ter recorrido ao apontamento sobre seqüência adquirido emcálculo III. Muitos deles afirmaram ter feito pesquisa na internet. Este meio podetrazer respostas prontas para algumas questões, o que talvez explicaria a falta deêxito de alguns alunos em algumas questões e o posterior acerto em questõessubseqüentes e dependentes da anterior. Vale a pena ressaltar que mesmo com apossibilidade de consulta a porcentagem de acertos não foi grande, daí pode-sesupor que se não houvesse a possibilidade de consulta o número de acertos seriareduzido. Questão 3: Ao realizar esse estudo de seqüência foi necessário recorrer aalgum outro conteúdo matemático? Justifique? O objetivo aqui é saber quais osconteúdos matemáticos vistos durante a licenciatura em matemática foramconsultados para resolver Q1.
  43. 43. 44 (A1) “Sim, progressão aritmética e limite.” (A2) “Sim, soma, subtração, divisão, (...), limite, entre outros.” (A3) “Sim, funções e teorema de Binet.” (A5) “Sim, PA e PG para me situar e lembrar o conceito de seqüência” (A7) “Sim, número de ouro” (A15) “Fiz uma leitura dos conteúdos estudados nas disciplinas de cálculo.” Todos os conteúdos citados pelos alunos têm alguma relação com aSeqüência de Fibonacci. PA (progressão aritmética) e PG (progressão geométrica)são os conteúdos de primeiro contato com as seqüências, fazendo parte da ementado ensino médio e das primeiras disciplinas do curso da licenciatura plena emmatemática da UNEB o Campus VII. Por tanto muitos alunos conhecem a relaçãoentre as seqüências e os conteúdos citados. Questão 4: Durante o curso de Cálculo você viu alguma aplicação doconteúdo abordado? Fica clara a relação da Seqüência de Fibonacci com asseqüências estudadas no Cálculo III? Como a Seqüência de Fibonacci é uma aplicação do conteúdo de seqüênciavisto em Matemática III e em Cálculo III, precisava-se saber se os alunos já tinhamvisto alguma outra aplicação de tal conteúdo e como foi relacioná-lo à Seqüência deFibonacci. Vejamos a resposta de alguns alunos: (A1) “Não. Foram abordados os conteúdos: seqüência e limite, mas não relacionado a Seqüência de Fibonacci. Sim.” (A3) “Sim, em seqüência.” (A4) “Depois que respondi o questionário 1 percebi essa relação. No entanto no estudo de cálculo não foi feita nenhuma relação.” (A5) “Não foi visto nenhuma aplicação de seqüência. Relacionar a Seqüência de Fibonacci ao que vimos de seqüência ficou a nosso critério e raciocínio, precisamos recorrer ao conteúdo.”
  44. 44. 45 (A6) “Durante o curso de calculo não foi trabalhado nenhuma aplicação desta natureza no estudo de seqüência, portanto é perceptível porem não fica clara a relação da Seqüência de Fibonacci com as seqüências estudadas.” (A8) “Durante o curso de cálculo não vi aplicação do conteúdo e nenhuma relação com as seqüencias de cálculo III.” Exceto A3, todos os demais alunos afirmaram não terem visto nenhumaaplicação sobre Seqüência na disciplina de cálculo. Garantem que perceberam arelação do que já haviam estudado com a Seqüência de Fibonacci mas que paraisso precisaram recorrer ao conteúdo, fazer alguma consulta, como já haviamrespondido na questão 2. Podemos notar que há necessidade de aplicação dosconteúdos estudados para que os alunos saibam relacioná-los com situações de seucotidiano e para facilitar a aprendizagem. Há evidências de que a interação de atividades matemáticas escolares com situações da realidade, pode contribuir para a aprendizagem da matemática, tendo a satisfazer, de forma mais eficiente, as necessidades do individuo para vida social. (BARBOSA, 1999, p.32) Questão 5: É fácil relacionar os conceitos matemáticos com situações “reais”a fim de resolvê-las? Justifique? O objetivo de tal questão é verificar a opinião dos alunos sobre como seriacriar um modelo matemático a fim de solucionar situações reais. Vejamos asrespostas dos alunos: (A1) “Não. Porque nem sempre os conteúdos abordados em alguma relação com situações reais. Alguns conceitos são mais difíceis de trabalhar com situações reais.” (A5) “Não. Os conceitos são estudados de forma fechada o que impossibilita ou torna difícil resolver situações reais que envolvam tais conceitos.” (A8) “Deveria ser fácil mas atualmente essa relação é difícil.” (A9) “Poderia ser mais fácil se nós como alunos do curso de licenciatura, tivéssemos esse tipo de realidade com nossos professores.” Estes alunos consideram difícil relacionar os conceitos matemáticos comsituações reais, pois segundo as afirmações deles citadas não é uma práticacomum, e sim algo tão novo que intimida. A9 diz que esse método não faz parte de
  45. 45. 46seu curso de licenciatura. Para Ludke (1986, p. 162): “Apesar de a matemática serutilizada e estar presente na vida diária, exceto para quem já compartilha dessesaber, as idéias e os procedimentos matemáticos parecem muito diferentes dosutilizados na experiência prática ou na vida diária.” Outros alunos acreditam ser mais fácil trabalhar matemática partindo desituações reais. Observemos a resposta de alguns deles: (A2) “Fica mais fácil e mais interessante.” (A3) “Sim. Quando relacionamos com situações reais fica mais fácil entender a abstração que há por trás de tudo.” (A15) “Seria muito mais fácil se já tivéssemos clara essa relação, mas depois do estudo feito com o primeiro questionário assimilei e memorizei mais coisas que sabia depois de concluída a disciplina cálculo III.” Um dos grandes problemas da educação matemática consiste nos estudantesnão verem sua relação com a realidade. Bicudo (2005, p.93) diz que: “uma soluçãoque parece indicada nesta situação, é buscar fazer os alunos verem a matemáticana vida real, trazer a vida real para as aulas de matemática.” Questão 6: A Seqüência de Fibonacci é um caso particular de uma sucessãorecorrente, mas podemos utilizá - la no estudo de seqüência (de Cálculo III). Torná-se mais interessante o estudo de seqüência embasado pela de Fibonacci? Segue a resposta de alguns alunos: (A5) “Sem dúvida é mais interessante e ajuda a fixar melhor os conceitos. Na verdade eu nem sabia onde usar os conteúdos do cálculo muito menos tinha ouvido falar sobre a Seqüência de Fibonacci.” (A6) “Qualquer estudo é mais interessante quando se relaciona com alguma situação real.” (A8) “Sim, pois sempre perguntamos em cálculo III se existia algo prático para seqüências.” (A12) “Creio que sim, pois estabelece situações do cotidiano.” Pelas respostas citadas acima, os alunos consideraram interessante trabalharseqüências embasadas pela Seqüência de Fibonacci, mesmo não tendoconhecimento de tal série. É sempre atraente conhecer alguma aplicação doconteúdo que se está estudando.
  46. 46. 47 Um aspecto fundamental da atividade de modelagem consiste em construirum modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com talmodelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder asquestões inicialmente apresentadas. Skovsmose (2000) tem argumentado que osmodelos encontrados nas atividades de modelagem não servem apenas ao papel dedescrever e predizer a realidade, servindo de argumento para a tomada de decisõese contribuindo para desenvolver no aluno um conhecimento mais reflexivo acerca damatemática e suas finalidades. Questão 7: Hoje fala-se muito em utilizar a Modelagem Matemática (ensinarmatemática relacionando-a com problemas com referência na realidade) no ensino,com objetivo de facilitar a aprendizagem. Você concorda que a modelagem facilita oensino de matemática? Justifique? Como o Q1 foi uma atividade de modelagem matemática, pois colocamosquestões da realidade para serem resolvidas embasadas em conteúdos já vistosnesse curso de Licenciatura em Matemática, por ser uma situação nova, almeja-sesaber qual a opinião dos alunos sobre essa metodologia no ensino. Observemos a resposta dos alunos: (A2) “Sim, pois como foi abordado nas questões anteriores, a utilização da modelagem facilita a aprendizagem devido ao nexo com o dia-a-dia.” (A4) “Com certeza. Pois ela faz com que o aluno desenvolva as atividades criticamente.” (A6) “Sim. Modelar conteúdos matemáticos significa dotar de significado tais conteúdos e, por tanto, dotar de significado a aprendizagem.” (A8) “Sim. Pois você irá interagir com o conteúdo podendo trazê-lo para o seu dia-a-dia.” (A9) “Sim, porque o aluno tem visão que a matemática é abstrata, concordo, mas se tentarmos associá-la ao cotidiano seria mais fácil o aprendizado.” (A11) “Sim. Porque com a modelagem as aulas tornam-se mais atrativas, pois abordam situações cotidianas e dessa forma envolve mais os alunos nas atividades.” (A15) “Facilita sim. Com essas questões eu aprendi mais coisas, compreendi a seqüência e seu limite.” (A17) “Sim, pois essa metodologia torna a matemática mais atraente.” Todos os alunos, aqui representados pelos escritos mais expressivos,concordam que a modelagem matemática auxilia no ensino de matemática, tornando
  47. 47. 48tal disciplina mais “atraente”, como afirmou A17. Por trabalhar com questões quesão, ou se aproximam da realidade das pessoas, a Modelagem teve grandeaceitação por parte dos alunos que responderam Q2, mesmo aqueles que nãojustificaram sua opinião responderam sim. Se quisermos pertencer a uma sociedade onde o conhecimento matemáticoseja mais acessível é essencial a adoção de novas práticas educacionais quepropiciem essa acessibilidade. É como afirma (Freire ; Shor, 2000, p. 29): “sabemosque não é a educação que modela a sociedade, mas, ao contrário, a sociedade quemodela a educação segundo os interesses de quem detém o poder.” D’Ambrosio(2005, p.82) ainda diz que: A adoção de uma postura educacional, na verdade a busca de um novo paradigma de educação que substitua o já desgastado ensino- aprendizagem, baseada numa relação obsoleta de causa-efeito, é essencial para o desenvolvimento de criatividade desinibida e conducente a novas formas de relação interculturais, proporcionando o espaço adequado para preservar a diversidade e eliminar a desigualdade numa nova organização da sociedade. A Modelagem Matemática é uma alternativa de ensino que por fazer parte ouse aproximar da realidade das pessoas pode facilitar a aprendizagem dosestudantes. A Seqüência de Fibonacci por ser um caso onde os educandos podemconstruir um modelo matemático partindo da proposta das questões, facilita aaprendizagem dos conteúdos que tal série compreende, isso segundo ospesquisados. Mas por ser um método pouco utilizado com os alunos de licenciaturahouve uma dificuldade de interpretação das questões e alguns erros, confirmado efundamentado pelos gráficos com as respostas dos alunos. Questão 8: Com relação ao grau de complexidade como você classifica aatividade proposta no QUESTIONÁRIO I? Marque uma única alternativa. ( )extremamente fácil ( )fácil ( )difícil ( )extremamente difícil Todos os sujeitos da pesquisa classificaram o Questionário como difícil.Através dos gráficos e respostas referentes às questões anteriores os alunosparecem ter dificuldades na interpretação das questões, possivelmente falta deatenção na resolução do Questionário e ainda apresentam problemas em relacionar

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