Monografia Rodrigo Matemática 2010
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Matemática 2010

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Monografia Rodrigo Matemática 2010 Monografia Rodrigo Matemática 2010 Document Transcript

  • UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICAESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS NO AMBIENTE OCTAVE RODRIGO VITOR DA SILVA SENHOR DO BONFIM – BA MARÇO DE 2010
  • RODRIGO VITOR DA SILVAESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS NO AMBIENTE OCTAVE Monografia apresentada ao Departamento de Educação, Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como avaliação parcial da disciplina Monografia e um dos requisitos para obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientador: Prof. Ivan Souza Costa Senhor do Bonfim 2010
  • RODRIGO VITOR DA SILVAESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS NO AMBIENTE OCTAVE BANCA EXAMINADORA ______________________________________________ Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho (Examinador) ______________________________________________ Prof. Wagner Ferreira de Santana (Examinador) ______________________________________________ Prof. Ivan Souza Costa (Orientador)
  • A Deus meu melhor amigo.A minha amada esposa Elicelia Reis,pelo apoio e compreensão, oferecidos demodo tão espontâneo durante aelaboração deste trabalho, bem como aolongo do curso.
  • . AGRADECIMENTOS À Universidade do Estado da Bahia pelo compromisso com a Educação dequalidade por todo o Estado. Ao Campus VII da UNEB e todo seu corpo de professores e funcionários. Aos meus familiares e minha esposa Elicélia Reis, pelo apoio e motivaçãodurante este período. Ao professor Ivan Souza Costa pela valiosa orientação. Aos colegas do Campus VII, especialmente a turma de Matemática de2002.1. A todos que contribuíram para a realização deste trabalho.
  • RESUMOO estudo de métodos numéricos tem sido uma importante área da matemáticaaplicada a qual compreende uma vasta modalidade de métodos. Estes métodossão tratados normalmente a partir da graduação nos cursos de Cálculo Numéricoobjetivando a resolução de uma ampla gama de funções, equações e integraispara a solução dos diversos problemas de interesse. O método a ser tratadoneste trabalho é o Monte Carlo. Ele faz parte do ramo do Cálculo Numérico oqual consiste na solução de problemas baseados em números aleatórios. Estemétodo vem sendo extensivamente utilizado desde a década de 1950 emdiversos campos tanto da Matemática quanto da Física bem como em outrasáreas científicas como a Química, a Biologia e a Medicina. Este trabalhocaracteriza-se por um estudo introdutório do referido método no qual após aapresentação do mesmo faremos alguns testes para comprovação de suaeficácia através da determinação do valor de π e do cálculo de integraisdefinidas de funções conhecidas.Palavras-chave: Métodos numéricos, números aleatórios, método Monte Carlo.
  • LISTA DE FIGURASFigura 01 – Região delimitada entre os eixos cartesianos e abaixo da curva dada pela K função f(x) para o cálculo da integral ∫ f ( x) dx 0 pelo Método Monte Carlo...16Figura 02- ícone para a chamada do programa Octave.....................................................18Figura 03 - Quarto de círculo inscrito num quadrado para a determinação de π pelo Método Monte Carlo...............................................................................20Figura 04 – Região delimitada pela curva f 2 ( x) para o teste do Método Monte Carlo 1 ∫x 2 no cálculo da Integral dx ........................................................................21 0Figura 05 – Região delimitada por uma curva f 3 ( x) para o teste do Método Monte Carlo e x −1 1 no cálculo da Integral ∫ dx .....................................................................22 0 e −1
  • LISTA DE QUADROSQuadro 01- Programa para determinação do valor de π pelo Método Monte Carlo .................................................................................................24Quadro 02- Resultados para o valor de π para diferentes valores de n.............25Quadro 03- Erro relativo percentual para o valor de π em função de n...............26Quadro 04- Valores de π para um mesmo valor de n=5000.................................27 1 ∫x 2Quadro 05- Programa para determinação da integral dx usando o Método 0 Monte Carlo.......................................................................................28 1 ∫x 2Quadro 06- Cálculo da área pela dx usando o Método Monte Carlo para 0 diferentes valores de n.....................................................................29 e x −1 1Quadro 07- Programa para determinação da integral ∫ e −1 dx usando o 0 Método Monte Carlo..........................................................................30 1 e x −1Quadro 08 - Cálculo da integral ∫ e −1 dx usando o Método Monte Carlo 0 para diferentes valores de n...........................................................31
  • SUMÁRIOCapítulo I ....................................................................................................................................9INTRODUÇÃO ..........................................................................................................................9 1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................................9 1.2. JUSTIFICATIVA ..........................................................................................................10 1.3. OBJETIVOS ..................................................................................................................11 1.3.1. OBJETIVO GERAL ..............................................................................................11 1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................11 1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................12Capítulo II .................................................................................................................................13MÉTODO DE MONTE CARLO .............................................................................................13 2.1. APRESENTAÇÃO.......................................................................................................13 2.1.1. Determinação dos números aleatórios ...................................................................15 2.1.2. Descrição do procedimento para a aplicação do método.......................................16 2.1.3. A origem do nome do método Monte Carlo ..........................................................17 2.2. APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE OCTAVE .........................................................18Capítulo III................................................................................................................................20 PROPOSIÇÃO DOS PROBLEMAS....................................................................................20 3.1. Problema 1 – Determinação do valor de π pelo Método Monte Carlo ...................20 1 ∫x 2 3.2. Problema 2 – Cálculo da Integral dx pelo Método Monte Carlo.......................21 0 1 e x −1 3.3. Problema 3 – Cálculo da integral ∫ dx pelo Método Monte Carlo..................22 0 e −1Capítulo IV ...............................................................................................................................23 4.1. Análise e discussão da solução do Problema 1.............................................................23 4.2. Análise e discussão da Solução do Problema 2 ............................................................27 4.3. Análise e discussão da Solução do Problema 3 ............................................................30CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................32REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS34
  • 9 Capítulo I INTRODUÇÃO1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS As integrais, sejam elas definidas ou indefinidas, possuem uma amplavariedade de aplicações cujo estudo faz parte dos cursos de Cálculo Diferencial eIntegral, Estatística, Cálculo Numérico, dentre outros. Possuem ampla aplicação naFísica e na Engenharia. No caso específico da Física, freqüentes e importantesproblemas referem-se à resolução de integrais e suas diversas aplicações. Namaioria dos casos, normalmente podem ser resolvidas por métodos analíticos jábastante consagrados na literatura matemática. Entretanto, é comum nos depararmos com situações onde a formulação deum modelo matemático para representar a realidade é uma tarefa difícil. Outrasvezes existem dificuldades metodológicas na resolução do modelo proposto. Paraisto, uma proposta alternativa é a utilização de técnicas de simulação para encontrarsoluções aproximadas destas integrais. Dentre estas técnicas temos o Método deMonte Carlo. “A idéia principal por trás de Monte Carlo na abordagem dessesproblemas, é aproveitar ao máximo a força da análise teórica, e ao mesmo tempoevitar suas fraquezas substituindo a teoria por experimento, onde quer que aprimeira falhe.” (ROSA et all, 2002, p. 01). O Método de Monte Carlo, o qual será objeto de estudo deste trabalho,fundamenta-se na Distribuição de Probabilidade, fazendo uso de amostrasaleatórias. “Para que uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudobasta que este faça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.”(ANGELOTTI, 2008, p. 01)9
  • 101.2. JUSTIFICATIVA Devido à busca de valores finais e decisivos, comum nas áreas daMatemática Aplicada como em Engenharia, Física, Economia e Estatística, semdemasiado exagero se observa o pragmatismo necessário para a obtenção deresultados em valores numéricos. Um dos principais motivos que justificam tal fato éa morosidade com que alguns métodos requerem ou a forma muitas vezescomplexas com que estes precisam ser abordadas, e por esse motivo consomemum tempo que na maioria das vezes o engenheiro ou cientista não dispõe. Alémdisso, deve-se levar em conta a dificuldade de encontrar uma função que possarepresente o modelo a ser tratado. Mesmo em caso positivo, é provável recair emuma equação nem sempre tão simples de se calcular pelos métodos de soluçãoanalítica, sendo necessário que o engenheiro lance mão de métodos alternativos,que simulem o sistema em questão. Dentro da Física, freqüentemente encontram-se trabalhos que requeremaplicações de integrais definidas, fazendo-se necessário encontrar o resultadoefetivo que possa ser solução de acordo com os dados numéricos e analíticosfornecidos. Devido aos argumentos expostos acima, surgiu a necessidade da busca deum método alternativo que também possa ser solução e forneça resultadossatisfatórios para as Integrais Definidas. Naturalmente, dentro do grau de certezacom que o caso a ser considerado deve apresentar. Por conseguinte, naturalmente,surgem exemplos de indagações como as seguintes: Como outro método, denatureza decisiva e dentro dos moldes da aritmética pode ser solução de umproblema que é fornecido pela Integral Definida que estando nos moldes daanaliticidade, e devido à sua formalidade, fornecem-se valores exatos? Quãoconfiante pode ser tal método para que possa ser usado na resolução de tal10
  • 11questão? Quanto tempo pode ser reduzido utilizando um método alternativo? Emquais casos o método é adequado? É através desses questionamentos, que surgiu a vontade e o planejamento dese executar um trabalho que tivesse aspecto monográfico. Dessa forma, o trabalhoserá desenvolvido no direcionamento das questões levantadas acima, sem ter, noentanto, a presunção de responder pronto e decisivamente aos questionamentoslevantados.1.3. OBJETIVOS 1.3.1. OBJETIVO GERAL • Iniciar o estudo sobre aplicações do método de Monte Carlo na resolução de problemas simples como o cálculo do valor de π e integrais definidas no ambiente Octave. 1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Provocar o interesse de outros estudantes a realizarem futuros trabalhos também utilizando o método Monte Carlo, para aplicações diversas. • Analisar o quanto tal método é possível de ser efetivo na busca do fornecimento de valores dentro das especificidades das áreas da Matemática aplicada. • Apresentar o ambiente Octave para desenvolvimentos de programas envolvendo Cálculo Numérico.11
  • 121.4. ESTRUTURA DO TRABALHO Esta monografia está dividida em quatro capítulos, sendo esta a introdução, ocapítulo I, onde começamos com as considerações iniciais sendo colocado oproblema. Em seguida é apresentada a justificativa da escolha do tema seguido daapresentação dos objetivos a serem alcançados. O capítulo II, consta da apresentação do método Monte de Carlo com asequações a serem utilizadas, bem como uma descrição dos procedimentos para asua aplicação. Em seguida é feita uma breve explanação sobre a origem do nomedo método. Ainda neste capitulo é apresentado o ambiente Octave onde foramrealizados os programas para determinação da solução das integrais pelo referidométodo. No capítulo III serão apresentados os problemas a serem tratados. Divide-seem duas partes: Descrição do modelo que será usado e os procedimentos paraexecutá-lo. No capítulo IV apresentaremos a solução dos problemas através dasimulação. Para melhor compreensão os resultados serão apresentados em tabelasde acordo com o número de iterações realizadas, para em seguida ser feita umaanálise dos resultados obtidos. Faremos também algumas propostas para possíveisaprimoramentos do método estudado e proposição de futuros trabalhos utilizando ométodo em questão. Por último chega-se à conclusão do trabalho, com a apresentação dosprincipais resultados, enfatizando os resultados obtidos com os objetivos propostos.12
  • 13 Capítulo II MÉTODO DE MONTE CARLO2.1. APRESENTAÇÃO A forma mais comum de dividir a matemática em áreas de estudo é classificá-la como a matemática pura e a matemática aplicada. Mas existem muitos outrosmodos de classificá-la. Um modo alternativo seria a matemática experimental e amatemática teórica tal como ocorre com a física. No caso da matemáticaexperimental o computador tem se tornado uma ferramenta essencial para arealização dos experimentos, restando aos ditos teóricos o uso de lápis e papel quededuzem conclusões a partir dos postulados, diferente dos experimentalistas queinferem conclusões a partir das observações de determinado fenômeno. Tais linhasde ação mostram a diferença entre a dedução e a indução, ou mesmo entre aindução matemática indução empírica. A “indução empírica” nas Ciências Naturais procede de uma série particular de observações de um certo fenômeno até o enunciado de uma lei geral que regula toda as ocorrências desse fenômeno. (...) De um modo bastante diferente, a indução matemática é utilizada para demonstrar a veracidade de um teorema matemático em uma sequência infinita de casos, o primeiro, o segundo, o terceiro, e assim por diante, sem exceção. (COURANT, 2000, p. 12). O fazer da matemática experimental consiste na realização de experimentoscom objetos matemáticos, tais como números, ou equações, ou figuras geométricas.Recentemente uma importante área da matemática experimental é a modelagemmatemática onde os modelos tratados são descritos por uma variedade de equaçõesdesde as mais simples como a do primeiro e segundo grau, muito utilizadas nadescrição dos movimentos de partículas tratados na cinemática, quanto ascomplexas equações diferenciais com utilizações mais aprofundadas numavariedade de sistemas.13
  • 14 Cada tipo dessas equações diferenciais requer métodos específicos parasolução, as quais culminam na resolução de integrais. Muitas destas soluçõespodem ser obtidas analiticamente, porém, ainda assim, existem muitas delas quepossuem uma solução analítica muito difícil o que termina por exigir métodosnuméricos mais adequados para encontrar sua solução. Um destes métodos, aqui aser tratado, é o Método de Monte Carlo. O método de Monte Carlo compreende uma área da matemática experimentalo qual está preocupado em realizar experimentos com números aleatórios. Ele temsido usado extensivamente há bastante tempo na solução de problemas que vãoalém da matemática experimental atingindo numerosos outros campos da ciência,incluindo química, física nuclear, biologia e medicina. “O método de Monte Carlo(MMC) é um método estatístico utilizado em simulações estocásticas com diversasaplicações em áreas como a física, matemática e biologia.” (ANGELOTTI, 2008, p.01). No método de Monte Carlo o resultado será uma função R(ξ1 , ξ 2 , ξ3 ,..., ξ N , ) (01)da sequência de números aleatórios ξ1 , ξ 2 ,... . Estes números são o estimador da 1 1integral ∫ ...∫ R(x1,..., xN )dx1... dxN . 0 0 (02) O problema de avaliar integrais é um importante passo no aprendizado dométodo de Monte Carlo, servindo assim, de base para o aprimoramento de técnicasde aplicações mais gerais deste método. Sendo assim, por questão de simplicidade,iremos apresentar neste trabalho o procedimento para a resolução da integral 1unidimensional Θ = ∫ f ( x ) dx. (03) 0Apesar do fato de que tais integrais possam ser avaliadas mais eficientemente pormeios numéricos convencionais que não o método Monte Carlo. Vamos supor que a 1solução da integral Θ = ∫ f ( x ) dx existe. Então, se ξ1 , ξ 2 ,...ξ N são números aleatórios 0independentes distribuídos retangularmente entre 0 e 1, então as quantidades f i = f (ξ i ) (04)14
  • 15são variedades aleatórias independentes com valor esperado Θ . Ficando o valormédio da função acima dada por N 1 f= N ∑fi =1 i (05)O valor de Θ , tem como variância a expressão 1 1 σ2 ∫ ( f (x )− Θ) 2 dx = (06) N 0 Nficando o erro padrão de f dado por σ σf = . (07) N Vemos assim que o Método Monte Carlo consiste de “um método estatísticoque envolve a geração de observações de distribuições de probabilidades, a seremusados para aproximar funções a serem integradas” (WIKIPÉDIA, acesso em set2009). O processo de simulação é possível de ser factível e rápido, se contado como poder de processamento dos computadores na aplicação da enorme quantidadede experimentos que precisam ser feitos. Isto se deveu principalmente na redescoberta de técnicas de simulação relativamente simples, mas extremamente poderosas, que puderam ser implementadas graças ao avanço nas capacidades computacionais. (EHLERS, 2003, p. 01). Assim, o trabalho será desenvolvido de acordo com o exposto acima, eformulado através do que se tornou o tema: Um estudo introdutório ao método deMonte Carlo: Uma aplicação no cálculo de integrais definidas no ambiente Octave. 2.1.1. Determinação dos números aleatórios A geração de números aleatórios é uma importante etapa na aplicação doMétodo Monte Carlo. Na verdade trata-se de números pseudo-aleatórios, pois sãogerados por algoritmos geralmente contidos em pacotes de softwares, emcalculadoras ou em aplicativos, tais como o Maple, o Excell, o Octave entre outros.No Octave eles são gerados pela função rand.15
  • 16 2.1.2. Descrição do procedimento para a aplicação do método Após a apresentação do método no início deste capítulo, com asapresentações das equações a serem utilizadas, será feito a seguir, um apanhadodos procedimentos em que se baseia o método Monte Carlo. Como serão trabalhadas funções no plano cartesiano, é feita a geração dosnúmeros que levarão a pontos no plano. Portanto no eixo das abscissas, será feitatambém a geração de números no intervalo de interesse , e, de formaanáloga, no eixo das ordenadas será feita também a geração de pontos no intervalo . Os pontos que serão marcados no plano cartesiano serão dados pelascoordenadas dos valores aleatórios encontrados correspondentemente no eixo dasabscissas e das ordenadas, respectivamente. (HASHIMOTO, 2004). De acordo com o método Monte Carlo, a área a ser determinada pela IntegralDefinida será dada pela quantidade de pontos internos à área delimitada pelos eixoscoordenados e abaixo da função f(x). Na figura abaixo encontra-se um diagramaesquemático desta região, cujo pontos internos estão representados por círculos.Quando alguns destes pontos caem dentro do retângulo (M x K), mas acima daregião delimitada pela função f(x) e os eixos coordenados eles são rejeitados comoé o caso do ponto preto de coordenadas (x1, y1). Caso contrário eles serão aceitos. y f ( x) (x1, y1) ● M .......... ......... x K Figura 01 – Região delimitada entre os eixos cartesianos e abaixo da curva K dada pela função f(x) para o cálculo da integral ∫ f ( x) dx pelo Método Monte Carlo. 016
  • 17 Vamos supor ainda que os valores da função no intervalo [0, K] são menoresou iguais a um valor conhecido, digamos M, e além disso que o valor função f(x) épositivo no intervalo [0, K]. Inicialmente é gerada aleatoriamente a seqüência (x1 , y1),(x2 , y2), ... , (xn , yn) de pontos onde 0 ≤ xi ≤ K e 0 ≤ yi ≤ M. É calculada então aproporção de pontos que estão entre a curva e o eixo das abscissas, isto é, aproporção de pontos tais que 0 ≤ yi ≤ f(xi).Na figura 01 estes pontos estãorepresentados por círculos. (Citado acima por HASHIMOTO). Ou seja, para cada número gerado para o intervalo no eixo das abscissas,será gerado um número para o intervalo no eixo das ordenadas, e dessa forma seráformado o par coordenado. Saber-se-á, contudo, quando o ponto coordenado quefora gerado estará abaixo ou acima da curva dada pela função em consideração daseguinte maneira: para cada valor gerado (xi) do intervalo do eixo das abscissas,será substituído na função em consideração, verificando se o valor (f(xi)) será maiorou menor do que o respectivo valor de (yi) gerado no eixo das ordenadas. Os pontosdentro da região de interesse serão mantidos e do contrário rejeitados. Assim a áreaserá estimada pela razão entre a quantidade de pontos internos Pint para aquantidade de pontos totais Ptot dentro do retângulo delimitado pelos eixoscartesianos e as retas x=K e y=M. 2.1.3. A origem do nome do método Monte Carlo O nome e o uso sistemático do desenvolvimento do método Monte Carlo dataa partir de 1944. O termo método de Monte Carlo se originou a partir do nome dacidade de Mônaco no Mediterrâneo conhecida pelos seus cassinos. O primeiro autilizar a técnica foi o matemático John Von Neumann, ao usar o método paraestudar a difusão aleatória de nêutrons durante o desenvolvimento da bombaatômica. Atualmente, a denominação método de Monte Carlo tornou-se expressãogeral associada ao uso de números aleatórios e estatística de probabilidade. Paraque uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudo basta que estefaça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.17
  • 182.2. APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE OCTAVE A computação numérica permitiu a realização de uma ampla gama deproblemas em diversas áreas científicas, tais como a engenharia, a física, amatemática, química entre outras. Ao longo da evolução da história doscomputadores surgiram diversos ambientes computacionais que possibilitaram odesenvolvimento das mais diversas tarefas. Dentre eles podemos citar: Matlab,Maple, Mathemathica, SciLab, Octave, entre outros. Neste trabalho utilizamos o ambiente Octave, por tratar-se de uma alternativalivre de ambientes matemáticos. Vale ressaltar que embora diferentes, os programasMatlab e Octave possuem semelhanças a ponto de seus arquivos poderem serprocessados em ambos os ambientes, daí, possuírem a mesma extensão (m). Nafigura abaixo apresentamos o ícone para a chamada deste programa. Octave-3.2.2.lnkFigura 02- ícone para a chamada do programa Octave Para aprender a usar o Octave existem muitos materiais disponíveis nainternet, sendo que própria fonte de ajuda encontra-se no próprio programa, ondeuma série de informações a respeito de um comando podem ser obtidas utilizando-se o comando help-i nome-do-comando. Dentre as operações usuais ele permite a realização das operaçõesfundamentais aritméticas, onde são contemplados todos os tipos de operadores com18
  • 19números reais e inteiros. Assim são possíveis a soma (+), subtração (-), divisão (/),multiplicação (*) divisão reversa () e exponencial (ˆ). Além das operações aritméticas, pode-se realizar as operações lógicas etestes de decisão. Os operadores lógicos mais usuais no octave são: maior (>), oumaior ou igual (>=), menor (<), ou menor ou igual (<=), igual (==) e diferente (~=). Osinal de igualdade (=) é usado para o comando de atribuição. Ao abrir o programa aparece o pronpt: octave>, onde deve ser indicado aoperação desejada. Passado esta informação tem como resposta: ans=.valornumérico. Além destas operações, o octave dispõe de uma vasta bibliotecade funções pré-instaladas que permite o cálculo de uma série de funções como asfunções trigonométricas, hiperbólicas, de Bessel, e uma infinidade de outras. Além das funções pré-instaladas ele permite a criação de outras pelo usuário.Para isto deve ser criado um arquivo com extensão .m no diretório corrente. Nonosso trabalho utilizamos o diretório /bin. Outra vantagem do octave é que elepermite a realização de gráficos. Para isto é utilizado o programa GNU-PLOT. Do mesmo modo que em outras linguagens de programação, a realização deum programa no octave utiliza estrutura de repetição e de seleção. Para asestruturas de repetição temos os comandos: for e while. Para o comando for, asoperações usam um contador com incrementos constantes. Já o comando while éutilizado para o caso de repetições onde o teste é feito por diversas vezes a cadaiteração do problema. Para as estruturas de seleção temos o comando IF. A seleçãoconsiste na realização de comparações diretas ou seleção e serve para direcionar ofluxo do programa em função de seu resultado. Além do comando IF pode-setambém utilizar o comando switch o qual permite a seleção de uma alternativa entrediversas. Ele pode ser substituído por um conjunto de if’s em cascata.19
  • 20 Capítulo III PROPOSIÇÃO DOS PROBLEMAS Para a aplicação do Método Monte Carlo foi proposto dois problemas básicospresentes na matemática. O primeiro deles consistiu na determinação do valor de π .Com ele determinou-se área de um círculo. O segundo problema foi o cálculo deintegrais definidas de duas funções conhecidas num intervalo de 0 a 1. A seguirfaremos a apresentação dos referidos problemas.3.1. Problema 1 – Determinação do valor de π pelo Método Monte CarloTomemos um quadrado unitário colocado no plano x-y com o vértice inferior daesquerda colocado na origem do sistema cartesiano conforme mostra-se na figuraabaixo. Em seguida inscreve-se neste quadrado a quarta parte de um círculounitário. Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função f 1 ( x ) = 1 − x 2 em [0;1] y 1 ........ ........... ............. ............... ................. 0 1 x Figura 03 – Quarto de círculo inscrito num quadrado para a determinação de π pelo Método Monte Carlo.20
  • 21 1 ∫x 23.2. Problema 2 – Cálculo da Integral dx pelo Método Monte Carlo 0Dando prosseguimento à proposição de problemas para aplicação do Método MonteCarlo propomos o cálculo da área da curva parabólica delimitada entre 0 e 1 através 1 ∫x 2do cálculo da integral definida dx a ser realizada pelo método Monte Carlo. 0 Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função f 2 ( x) = x 2 em [0;1] 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Figura 04– Região delimitada pela curva f 2 ( x) para o teste do Método Monte Carlo 1 ∫x 2 no cálculo da Integral dx . 021
  • 22 1 e x −13.3. Problema 3 – Cálculo da integral ∫ dx pelo Método Monte Carlo 0 e −1Com este problema escolheu-se uma função que apresenta uma complexidademaior do que a família de funções polinomiais para testarmos a eficiência do métodoMonte Carlo. Mais uma vez escolhemos avaliar a integral para o cálculo da área nointervalo fechado [0;1] cujo gráfico encontra-se abaixo. e x −1 Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função f 3 ( x) = e −1 em [0;1] 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Figura 05 – Região delimitada por uma curva f 3 ( x) para o teste do Método 1 e x −1 Monte Carlo no cálculo da Integral ∫ e −1 dx 022
  • 23 Capítulo IV ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS4.1. Análise e discussão da solução do Problema 1 A solução do problema pelo método Monte Carlo consiste em escolher pontosaleatórios (x, y) dentro do quadrado e verificar quais destes pontos encontram-sedentro do quarto do círculo. Conhecida área do quadrado e a do círculo, determina-se uma expressão para o cálculo do valor de π . Considerando o quadrado em questão de lado a, a sua área será A= a 2 e aárea do quarto do círculo será 1 A = .π r 2 (08) 4Pelo Método Monte Carlo a área do quarto de círculo é dada por Pint A = a2 × (09) PtotalSendo : - Pint os pontos lançados aleatoriamente que ficaram dentro do quarto docírculo; - Ptotal o número total de pontos gerados dentro do quadrado. Substituindo (08) em (09) tem-se: Pint 1 a2 × = π a2 (10) Ptotal 4 De forma que o valor de π fica dado por Pint π = 4× (11) Ptotal23
  • 24 Para a obtenção do valor de π realizamos um programa, descrito a seguir, oqual consiste das seguintes etapas: 1) Entrar com o número de iterações, n: 2) Gerar números aleatórios para x entre 0 e 1; 3) Gerar números aleatórios para y entre 0 e 1; 4) Verificar quais desses números encontravam-se dentro do quarto de círculo; 5) Caso afirmativo calcular a soma dos pontos internos ( Pint ) e o pontos total dentro do quadrado ( Ptot ). Esta soma equivale ao somatório expresso na equação (05). Porém ao transformá-la na linguagem de programação ela, conforme veremos abaixo, é posta sob a forma de um acumulador, ao fazer Pint=Pint+1 dentro de um comando de repetição conhecido por for. Concluída esta etapa de contagens e somatórios calcula-se o valor de π usando-se a equação (11). O programa por nós proposto foi realizado no programa Octave e foidenominado Teste_M_C.m, o qual encontra-se listado abaixo:Quadro 01- Programa para determinação do valor de π pelo Método MonteCarlo% Programa para usar o Método Monte Carlo% Cáculo de pin=5000; % n - número de interaçõesPint=0; % Pint - quantidade de pontos internos à região a ser integrada.for Ptot=1:n; % Ptot - total de pontos dentro do quadrado. x=rand; y= rand; if (x^2+y^2<=1) Pint=Pint+1; endifendforPi=4*Pint/PtotArea=Pi/424
  • 25A seguir apresentaremos alguns resultados para diferentes valores de interação n. Quadro 02- Resultados para o valor de π para diferentes valores de n n π Área 10 3,6000 0,90000 20 3,2000 0,80000 30 3,4000 0,85000 40 2,4000 0,60000 50 3,2000 0,80000 60 3 0,75000 70 2,9333 0,73333 80 2,9000 0,72500 90 2,9333 0,73333 100 3,2400 0,81000 1000 3,0400 0,76000 2000 3,1080 0,77700 3000 3,1523 0,78133 4000 3,1380 0,78450 5000 3,1488 0,78720 A princípio o quadro acima mostra a validade do método embora com certaflutuação com o aumento do número de iterações n. No entanto, mesmo com estaflutuação percebe-se que os resultados obtidos encontram-se próximos do valor deπ , ficando em torno de 3. À medida em que se aumentou o valor de n obteve-sevalores próximo do valor de ( π = 3,1416) tomado aqui como referência. Aproveitando o valor de π , determinou-se o valor da área do quarto de círculoatravés da fórmula usual dada pela geometria expressa pela equação (01),resultando num valor aproximado de 0,78 cm2.25
  • 26 Com o intuito de estimarmos a margem de erro “experimental’ tomamos comoreferência o valor de π = 3,1416 com o qual determinou-se o erro relativo percentualque encontra-se listado abaixo. Porém antes de apresentar estes resultados valelembrar que a expressão do erro relativo percentual é dada por Pii −3,1416 e (%) = ×100 (12) 3,1416Onde, conforme já foi mencionado, foi tomado como valor de referência para π (pi)o valor 3,1416. Quadro 03- Erro relativo percentual para o valor de π em função de n n π Erro relativo (%) 10 3,6000 14,591 20 3,2000 1,858925 30 3,4000 8,225108 40 2,4000 -23,6058 50 3,2000 1,858925 60 3 -4,50726 70 2,9333 -6,63038 80 2,9000 -7,69035 90 2,9333 -6,63038 100 3,2400 3,132162 1000 3,0400 -3,23402 2000 3,1080 -1,06952 3000 3,1523 0,340591 4000 3,1380 -0,11459 5000 3,1488 0,229183 O quadro acima mostra mais uma vez a flutuação dos resultados, porémconfirmando a validade do método, uma vez que, com exceção do valor de π paran=10, para as demais iterações o erro relativo percentual foi menor do que 10%,faixa esta bastante aceitável.26
  • 27 Antes de encerrar esta seção vale mencionar um fato curioso sobre o métodoMonte Carlo, mas que não o invalida. É que, em virtude do método utilizar númerosaleatórios a cada chamada do programa ocorre que cada vez que efetuamos umcálculo para o mesmo valor de n, isto é, mesmo número de iterações, o resultadoobtido é diferente. Para melhor destacarmos este fato apresentamos no quadroabaixo o dez valores de π para um mesmo valor de n, no caso n = 5000.Quadro 04- Valores de π para um mesmo valor de n = 5000 n π Área 5000 3,1488 0,78720 5000 3,1096 0,77740 5000 3,1560 0,78900 5000 3,1232 0,78080 5000 3,1464 0,78660 5000 3,1112 0,77780 5000 3,1496 0,78740 5000 3,1448 0,78620 5000 3,1432 0,78580 5000 3,1720 0,79300 Média 3,14048 0,78512 Percebe-se que mesmo com estas flutuações o valor fica em torno da médiaque é para π = 3,14048 e para a área o valor de 0,78 85 cm2.4.2. Análise e discussão da Solução do Problema 2 1 ∫x 2 O segundo problema consistiu no Cálculo da Integral dx pelo Método 0Monte Carlo. Para melhor ilustrá-lo apresentamos a seguir o gráfico da função citadadentro do intervalo [0; 1]. Trata-se de uma parábola, a qual encontra-se delimitadapor um quadrado de lado unitário. De ante mão tomemos como referência o valor da27
  • 28integral acima a qual tem como resultado no intervalo em questão o valor de1 ≅ 0,333 .3 De maneira análoga o cálculo desta integral pelo Método Monte Carloconsistiu da geração de números aleatórios para x e para y, formando os pontosaleatórios de pares ordenados (x, y) dentro do quadro de uma unidade de lado 1,verificando em seguida quais destes pontos encontram-se dentro da regiãodelimitada pela parábola mostrada na figura 4. A seguir apresentamos no quadro abaixo o programa utilizado para arealização destes cálculos. 1 ∫x 2 Quadro 05- Programa para determinação da integral dx usando o Método 0 Monte Carlo % Programa para aplicar o Método Monte Carlo % Integrando com função quadrática (parábola). n=5000; % n - número de interações Pint=0; % Pint - quantidade de pontos internos à região a ser integrada. for Ptot=1:n; % Ptot - total de pontos dentro do quadrado. x=rand; y= rand; if (y-x*x<=0) Pint=Pint+1; endif endfor area=Pint/Ptot28
  • 29No próximo quadro apresentamos os resultados obtidos com o método proposto. 1 ∫x 2Quadro 06- Cálculo da área pela dx usando o Método Monte Carlo para 0diferentes valores de n n Área 10 0,40000 50 0,30000 100 0,31000 200 0,34000 500 0,34000 1000 0,34100 2000 0,34650 3000 0,34567 4000 0,33575 5000 0,34120 Mais uma vez como finalidade didática, optou-se pelo cálculo de integraissimples e já conhecidas. Para o problema 2 em questão o valor de referência foi0,333. A partir de n= 50 o resultado se aproxima do valor esperado o que mostramais uma vez a eficácia do método. Muitos testes podem ser explorados com este método. Um deles é estenderos limites de integração, mas como tal adaptação exige um maior esforçocomputacional o que demanda um gasto maior de tempo deixando estas tarefaspara trabalhos futuros. Também vale aqui ressaltar as diferenças obtidas nosresultados fixando os números de iterações. Para não se tornar tão repetitivooptamos por não apresentar neste item, deixando para sua apresentação noproblema 3 a seguir. Para o próximo problema trataremos de usar uma função não polinomial paraverificarmos a eficácia do método.29
  • 304.3. Análise e discussão da Solução do Problema 3 1 e x −1 O terceiro problema consistiu no Cálculo da Integral ∫ e −1 dx pelo Método 0Monte Carlo. O gráfico da função que faz parte do integrando encontra-se na figura05. Trata-se de uma função exponencial delimitada no primeiro quadrante peloseixos coordenados e a reta y=1, estando assim delimitada por um quadrado de ladounitário. Mais uma vez, por questão de controle, tomou-se como referência o valorda integral acima obtida pelos métodos usuais do cálculo diferencial e integral e− 2resultando no valor = 0,418023 . e −1 A seguir apresentamos no quadro abaixo o programa utilizado para aaplicação do Método Monte Carlo. 1 e x −1 Quadro 07- Programa para determinação da integral ∫ e −1 dx usando o Método 0 Monte Carlo % Programa para aplicar o Método Monte Carlo % Integrando com função exponencial. n=5000 Pint=0; for Ptot=1:n; x=rand; y= rand; D=(exp(x)-1)/(exp(1)-1); if (y-D<=0) Pint=Pint+1; endif endfor área=Pint/Ptot30
  • 31No próximo quadro apresentamos os resultados obtidos com o método proposto. 1 e x −1 Quadro 08- Cálculo da integral ∫ dx usando o Método Monte Carlo para 0 e −1 diferentes valores de n. n Área – rodada 1 Área-rodada 2 10 0,5000 0,6000 100 0,4400 0,3500 500 0,406 0,4500 1000 0,402 0,430 1500 0,434 0,42867 2000 0,42750 0,41800 3000 0,43133 0,42300 4000 0,42150 0,42650 5000 0,41100 0,41700 Conforme já mencionado, tomaremos como referência para a integral o valor0,418023. A partir de n= 100 o resultado se aproxima do valor de referência o quemostra mais uma a eficácia do método. Vale destacar também que em virtude dageração dos números aleatórios, ainda que para um mesmo valor de iterações n, osresultados dão diferentes, porém próximos, conforme mostra-se no quadro 08,quando apresentamos resultados para duas rodadas. Para encerrar a apresentação dos resultados vale ressaltar que em todoseles, os cálculos das integrais foram realizadas no intervalo entre 0 e 1. Paratrabalhos futuros fica como sugestão a realização de programas para estender afaixa do intervalo de integração [a; b], com a e b quaisquer,31
  • 32 CONSIDERAÇÕES FINAIS Para os três problemas proposto os resultados obtidos mostraram a eficiênciae funcionalidade do método. Os erros relativos percentuais ficaram abaixo de 10% oque confirma a sua validade. Um item a ser destacado é quanto à convergência do resultado parapequenas iterações. Já a partir de n=100 os resultados eram bastante satisfatórios,no entanto à medida em que este número aumentava percebeu-se uma melhorasignificativa nos resultados, ocorrendo uma maior proximidade entre os valores“experimentais”, obtidos pelo método Monte Carlo, com os tomados como referência,os quais foram obtidos pelos métodos usuais de integração. Em virtude de se lidar com números aleatórios, na verdade, pseudo-aleatóriospara uma mesma iteração os resultados obtidos sempre são diferentes entre se,porém próximos, o que não invalida o método. Retomando aos questionamentos levantados no final da seção 1.2 doprimeiro capítulo, temos as seguintes observações a fazer fundamentadas nosresultados obtidos com a pesquisa. Para facilitar o leitor retomamos as questõeslevantadas seguindo com as devidos comentários: A primeira destas questões foi: para a realização de integrais definidas, ométodo fornece valores exatos? Conforme mencionado ao longo do trabalho efundamentado com os resultados obtidos conclui-se que o método não fornecevalores exatos, porém isto não o invalida. O que se observou foi que os resultadossão aproximados com um erro percentual baixo, menor do que 10%, o que éperfeitamente aceitável. Ainda especulando-se a validade do método, foi questionado quanto à suaconfiança quando o autor lança a pergunta: quão confiante pode ser tal método para32
  • 33que possa ser usado na resolução de problemas, especificamente no cálculo daintegral definida? Mais uma vez a pesquisa mostrou que embora o método nãoforneça resultados exatos, sua confiança encontra-se fundamentada nos baixosvalores dos erros percentuais apresentados. Além disso, conforme apresentado naequação (07) tais erros podem ser estimados através do erro padrão, cujaexpressão apresenta no denominador o valor do número de iterações, daí, quantomaior o número de iterações utilizado mais preciso será o resultado. Uma questão também interessante foi posta ao indagar sobre a redução detempo que se ganha ao se optar pelo método Monte Carlo em detrimento de outrosmétodos convencionais. Considerando tratar-se de um método cujos resultados sãoobtidos mediante o uso de recursos computacionais, então este tempo dependeráde diversos fatores, cujas variantes levariam em consideração desde o tipo demáquina empregado, a habilidade do programador, e claro, a complexidade doproblema a ser tratado. Porém, para os casos específicos tratados nesta pesquisapercebeu-se que o tempo de processamento foi muito pequeno em virtude darapidez apresentada, mas é preferível não utilizarmos este critério para a utilizaçãoou não deste método por não termos quantificados tais intervalos de tempo. Por fim a última questão levantada foi saber em quais casos este método éadequado. Como toda metodologia, não goza de uma propriedade geral, daíobservarmos que o método Monte Carlo deve ser utilizado em situações-problemasem que possa ser tratado por meios probabilísticos calcados em números aleatórios.Mas como foi dito ao longo deste trabalho trata-se de um método muito abrangentee aplicado extensivamente ao longo dos anos em diversas áreas científicas como éo caso da física, química e biologia, entre outras. Para trabalhos futuros fica como sugestão estender o intervalo de integraçãocom o desenvolvimento de programas para o cálculo de integrais definidas além doslimites entre 0 e 1.33
  • 34 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASANGELOTTI, Wagner F. D. et all. Método de Monte Carlo quântico. Instituto deQuímica, Universidade Estadual de Campinas, CP 6154, 13084-971 Campinas – SP,Brasil, 2008. Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0100-40422008000200044&script =sciart tex&tlnq=esja.org.> Acesso em Nov 2009.ARAÚJO FERNENDES, César Augusto Bécker. Gerenciamento de riscos emprojetos: Como usar o Microsoft Excel para realizar a simulação Monte Carlo.Disponível em: http://www.bbbrothers.com.br/scripts/Artigos/MonteCarlo Excel.pdf.Acesso em Nov 2009.BARROS, Emílio A. C. Aplicação de simulação Monte Carlo e Bootstrap. 2005.folhas Monografia (Graduação Bacharelado em Estatística. Universidade Estadualde Maringá. Disponível em:<http://www.des.uem.br/graduacao/Monografias/Monografia_Emilio.pdf.> Acesso emNov 2009.COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é matemática. 4ª ed São Paulo:Edgar Blucher, 1974.EHLERS, Ricardo S. Métodos Computacionalmente Intensivos em Estatística.Departamento de Estatística. 2003 - Universidade Federal do Paraná. Disponívelem:<http://dgp.cnpq.br/buscaoperacional/detalhegrupo.jsp?grupo=0103102UPIZYFH> Acesso em Set 2009.HASHIMOTO, Ronaldo Fumio. Exercício-programa – (MAC 115) – Introdução àComputação para Ciências Exatas e Tecnologia – IAG – Departamento deCiência da Computação – IME-USP. 2004. Disponível em<http://www.ime.usp.br/~ronaldo/mac115/ig98/eps/ep2/ep2.html.> Acesso em Ago2009.MATHIASI Chrispim, Eduardo. Análise da operação ferroviária do porto do Riode Janeiro utilizando simulação de eventos discretos. 2007. folhas Monografia(Graduação em Engenharia de Produção) Universidade Federal de Juiz de Fora.Disponível em:<http://www.ufjf.br/ep/files/2009/06/tcc_jan2007_eduardochrispim.pdf.> Acesso emAgo 2009.34
  • 35MONTGOMERY, Douglas. C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada eprobabilidade para engenheiros; tradução Verônica Calado. – 2 reimpr. – Rio deJaneiro: LTC, 2008.PORTNOI, Marcos. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Distribuição deProbabilidades e Geração Aleatória: Conceitos sob a ótica de Avaliação deDesempenho de Sistemas. Edição: 25.4. 2007. Universidade de Salvador –UNIFACS Disponível em:<http://www.reocities.com/ResearchTriangle/4480/classroom/support_materia/probabilidade -va-geracao_aleatoria.pdf> Acesso em Jun 2009.ROSA, Fernando Henrique F. Pereira de; et all. Métodos de Monte Carlo eAproximações de π. MAP-131 Laboratório de Matemática Aplicada. 2002.Disponível em: <http://ferraz.ne/fillees/lista/montecarlopi.pdf.> Acesso em Jun 2009.SEVERINO, Antônio Joaquim. Metodologia do trabalho científico. 22 ed. – SãoPaulo: Cortez, 2008.STEWART, James. Cálculo: Volume I. 5. Ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.VICENTE, Amarildo de; RIZZI, Rogério Luiz. Geração de pontos aleatórios no Rn.Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas. 2003 – Universidade Estadual doOeste do Paraná. Disponível em:<http://periodicos.uem.br/ojs/index.php/ActaSciTechnol/article/viewFile/2215/ 1334.>Acesso em Ago 2009.WIKIPÉDIA. Disponível em:<http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Monte_Carlo> Acesso em Abr 2009.35