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CLEITON DE OLIVEIRA MENDES A GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL NAESCOLA EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA EM            CANSANÇÃO/...
Dedico especialmente este trabalho           aos meus queridos pais, Roque e Amenaide,aos meus estimados irmãos, Maria, Ja...
AGRADECIMENTOS                                     A Deus por me conceder o prazer de viver                             co...
A Geometriafaz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar,              e esse hábito pode ser empregado, então,    ...
RESUMOA Educação desempenha um papel muito importante em nossa sociedade e oensino da Matemática tem proporcionado grande ...
SUMÁRIOLISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS ................................................ 07INTRODUÇÃO ...................
LISTAS DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS1. FIGURAS     Figura 1: Escrita egípcia – hieróglifa ..................................
Gráfico 5: Conteúdos de Geometria trabalhos pelos professores de Matemática      nas         séries          finais       ...
INTRODUÇÃO       A educação exerce grande contribuição para formação do ser humano, haja vista queatravés dela, o homem co...
Ao desenvolvermos nosso trabalho, procuramos dividi-lo capítulos. No primeiro,enfatizamos os aspectos históricos da Geomet...
CAPÍTULO 1. A GEOMETRIA NA HISTÓRIA DO HOMEM1. 1 A GEOMETRIA NO PERÍODO PRÉ-HISTÓRICO       A história sobre o conheciment...
da escrita, da roda, e dos metais”. As primeira civilizações que passaram a utilizar a escrita,de acordo com os registros ...
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Com a criação da escrita cuneiforme, os povos mesopotâmicos passaram a adquirirmaior conhecimento e, com isso, criaram lei...
FIGURA 3: Tábula de Plimpton 322                          Fonte: www.math.edu.pl/images/anegdoty/plimpton.jpg       É impo...
1.3 O EGITO ANTIGO       A civilização egípcia se originou as margens do rio Nilo, localizada no nordeste daÁfrica. A sua ...
Egito, daquela época, criou a Geometria quando em seus rituais religiosos estudavam osconhecimentos geométricos pelo puro ...
O primeiro, é o mais extenso rolo de papiro com 0,3 m de altura e 5 m comprimento, está emBritsh Murium. Ele foi escrito p...
Fonte: www.ime.usp.br/.../imagens/ht_moscou.gif       As informações sobre o conhecimento matemático dos povos egípcios na...
milênio a.C. e foram encontrados na ilha de Creta. Quanto à origem de seu povo, Souza(1991) afirma que os gregos julgavam-...
Período     Helênico   grego   (c.   800–336   a.C.)   testemunhou   realizações   intelectuaisextraordinárias, pois nos g...
que existia até aquele momento e serviu de base para os estudos que datam de mais de doismil anos. A respeito desta obra, ...
qualquer ciência, enquanto postulados são coisas a ser requerida sem demonstração, ou seja,são princípios implícitos ou ex...
quatro, e em 1829 publicara o artigo On the Principles of Geometry, o qual marcaoficialmente o nascimento da Geometria não...
geometria de n dimensão. Segundo Boyer, destaque maior existe nas obras de NicolasBourbaki, na netade do século XX. Trata-...
CAPÍTULO 2: O ENSINO DE MATEMÁTICA NO AMBIENTEESCOLAR2.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA       Estudiosos consideram o ensino da Ma...
Após a Segunda Guerra Mundial, no período da Guerra Fria1, o ensino da Matemáticapassa por reformulação no seu currículo. ...
GEEM, liderado por Oswaldo Sangiorgi, que apresentou para o ensino primário, váriosmanuais escolares, dando ênfase aos axi...
práticas diretas. Enquanto a Educação Matemática em contraposição ao primeiro movimento,está centrada numa perspectiva mai...
A partir dessa análise, alguns estados apresentaram propostas para o ensino daMatemática. Dentre eles, podemos destacar os...
nova Lei de Diretrizes e Bases para a Educação Nacional – LBD. No entanto, esta proposta sófoi instituída em 20 de dezembr...
No que se referem às propostas apresentadas nos PCN da área de Matemática, elasindicam que os conhecimentos matemáticos de...
Diante do exposto, nota-se que o desenvolvimento do ensino da Matemática vemsofrendo algumas mudanças nos seus métodos de ...
aprendizagem, pois é através de estudo e análise desses comportamentos, que podemosdesenvolver uma prática docente mais ad...
3.2 AS PRINCIPAIS CORRENTES TEÓRICAS DA PSICOLOGIA DO SÉCULO XX       De acordo com Bock et al (1994), o Funcionalismo, o ...
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De maneira geral, nota-se que nesta fase, a criança passa a adquirir uma compreensão melhordo mundo em que vive.       No ...
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Dessa forma, Vigotski procura denominar esta relação professor/aluno como Zona deDesenvolvimento Proximal/Nível de Desenvo...
retenção, ou seja, a pessoa aprende sem nenhuma conexão com os conhecimentos anteriores.Aprende, por exemplo, com um texto...
atividades, incentivando o discente à investigação, pois para ele, é através da pesquisa, daexperimentação, da dúvida, das...
CAPÍTULO 4: OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO PNLD       Após a promulgação da Constituição Federal de 1988, houve a necessida...
fim de contemplar os conteúdos a serem inseridos nas bases curriculares comuns da EducaçãoBásica do Brasil.        Para is...
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maneira geral, seguindo esta vertente, nota-se que o campo Geométrico deve ocupar mais de25% da totalidade dos conteúdos d...
facilitem o processo de ensino-aprendizagem, onde devem se levar em conta osconhecimentos prévios dos discentes – pontos d...
como no de expressar as imagens mentais por meio de representações, gráficas ou não”. Parao Programa, a visualização despe...
Diante das análises feitas acerca dos aspectos históricos da Geometria, do ensino daMatemática nos Sistemas de Ensino naci...
CAPÍTULO          5:    A    PESQUISA             NO       EDUCANDÁRIO                   SENHORASANTANA       A Geometria ...
Ao enfocarmos uma abordagem qualitativa, concordamos com Fiorentini e Lorenzato(2006, p. 110) que isto “não significa aban...
Fonte: http://www.derba.ba.gov.br/db_map_senhordobonfim.htm       Conforme dados fornecidos pela Secretaria Municipal de E...
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Na explicitação e análise dos questionários e planas de aulas, manteremos os nomesdos entrevistados no anonimato, pois o p...
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Monografia Cleiton Matemática 2007
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  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO - CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIA COM HABILITAÇÃO EM MATEMÁTICA A GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL NAESCOLA EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA EM CANSANÇÃO/BA. CLEITON DE OLIVEIRA MENDES Senhor do Bonfim, 2007
  2. 2. CLEITON DE OLIVEIRA MENDES A GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL NAESCOLA EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA EM CANSANÇÃO/BA. PROFA. MIRIAN BRITO DE SANTANA orientadora Monografia apresentada ao Departamento de Educação da Universidade do Estado da Bahia – UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para conclusão do Curso de Licenciatura em Ciência com Habilitação em Matemática. SENHOR DO BONFIM, 2007
  3. 3. Dedico especialmente este trabalho aos meus queridos pais, Roque e Amenaide,aos meus estimados irmãos, Maria, Jaqueline e Rômulo, a minha esposa amada Joziane, e, a minha adorável filha Lara Laissy. A vocês o meu maior carinho.
  4. 4. AGRADECIMENTOS A Deus por me conceder o prazer de viver com saúde, alcançando meus objetivos diante das adversidades existentes. A toda minha família, em especial aos meus pais, Roque e Amenaide,sempre presente em minha vida, me apoiando em tudo que faço e ensinando-me que a melhor virtude de um homem é a honestidade. A minha orientadora Mirian Brito, pelo incentivo, paciência e humildade. A minha professora primária Dacilda Rios de Oliveira (in memória) por ensinar-me os primeiros passos na Matemática; Ao professor Francisco de Assis Alves dos Santos por me contagiar com seu amor pela Matemática; Aos meus amigos Rogério Santana, Jocelma Silva e Joelma Silva pela grande contribuição neste trabalho; À UNEB por proporcionar com o ensino que oferece o crescimento da nossa região; A todas as pessoas, que direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste sonho.
  5. 5. A Geometriafaz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, ajudar- na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida. Jacques Bernoulli (1654-1705)
  6. 6. RESUMOA Educação desempenha um papel muito importante em nossa sociedade e oensino da Matemática tem proporcionado grande contribuição neste processo.Dessa maneira, acreditamos também que a Geometria, como um dos campos daMatemática, vem contribuindo significativamente para o desenvolvimento social,cultural e econômico de nossa sociedade. Neste sentido, realizamos uma pesquisaqualitativa, buscando analisar a importância atribuída para os conteúdos deGeometria no ensino de Matemática, no terceiro e quarto ciclos das séries finais doEnsino Fundamental, da Escola Educandário Senhora Santana, no município deCansanção/BA. Para tanto, buscamos dados necessários em fontes bibliográficas,sobre os aspectos históricos da Geometria, o ensino da Matemática, a contribuiçãoda psicologia para a educação e a importância da Geometria no ensino daMatemática, que nos garantissem a veracidade daquilo que julgamos essencial – apresença da Geometria na vida do homem. Diante destes argumentos teóricos,aplicamos um questionário contendo perguntas objetivas e semi-objetivas, ecolhemos os planos de aula relativos ao primeiro semestre deste ano, dos oitoprofessores pertencentes a estes séries nesta Escola. Como resultado da pesquisa,podemos destacar que, o ensino de Geometria na Escola pesquisada, bem como emmuitas outras, não atender as reais necessidades ou as propostas do MEC naquantidade de conteúdos destinados as séries em questão, e que o atual livrodidático adotado não corresponde as recomendações do MEC. Entretanto,constatamos uma preocupação por maioria dos docentes pesquisados, com a suaformação, e ainda, em incluir conteúdos geométricos em suas aulas de Matemáticanas séries finais do Ensino de Matemática, embora de modo isolado e tímido.Palavras-chave: Geometria, Ensino de Matemática, Ensino Fundamental, Guias doLivro Didático, Psicologia da Educação
  7. 7. SUMÁRIOLISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS ................................................ 07INTRODUÇÃO ................................................................................................... 09CAPÍTULO I: A GEOMETRIA NA HISTÓRIA DO HOMEM ............................. 11 1.1 A Geometria no Período Pré-Histórico .............................................. 11 1.2 A Geometria na Mesopotâmia .......................................................... 13 1.3 O Egito Antigo.................................................................................... 16 1.4 A Influência Grega ............................................................................. 20 1.5 Euclides e Os Elementos .................................................................. 22 1.6 As Geometrias Não-Euclidianas ....................................................... 23CAPÍTULO 2: O ENSINO DE MATEMÁTICA NO AMBIENTEESCOLAR ...........................................................................................................27 2.1 O Ensino da Matemática ......................................................................27CAPÍTULO 3: A PSICOLOGIA E O ÂMBITO ESCOLAR ...................................35 3.1 A Psicologia .........................................................................................35 3.2 As Principais Correntes Teóricas da Psicologia do Século XX .................................................................................................36 3.3 A Psicologia do Desenvolvimento Humano – Piaget ...........................37 3.4 A Teoria Interacionista – Vigotski ........................................................39 3.5 A Teoria da Aprendizagem – David Ausubel .......................................41 3.6 Bruner e a Contribuição para o Ensino ................................................42CAPÍTULO: 4. OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO PNLD .......................45 4.1 Aspectos Metodológicos Dos Livros Didáticos No PNLD ................... 50 4.2 A Geometria no Ensino da Matemática para O PNLD ........................51CAPÍTULO: 5. A PESQUISA NO EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA ......54 5.1 Descrevendo a Pesquisa .....................................................................57CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 66REFERÊNCIAS.................................................................................................. 68APÊNDICE ........................................................................................................ 71
  8. 8. LISTAS DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS1. FIGURAS Figura 1: Escrita egípcia – hieróglifa ..............................................................12 Figura 2: Escrita mesopotâmica cuneiforme ..................................................13 Figura 3: Tábula de Plimpton 322 ...................................................................15 Figura 4: Pirâmide de Gizé .............................................................................17 Figura 5: Papiro de Rhind (1650 a.C.) ............................................................19 Figura 6: Papiro de Moscou (1890 a.C.) ........................................................19 Figura 7: Mapa da Região de Senhor do Bonfim/BA .....................................562. GRÁFICOS Gráfico 1: Valores Percentuais Referentes a Reprovação do Livro Didático no Parecer Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008 ................................48 Gráfico 2: Nível de escolaridade dos docentes de Matemática das séries finais do Ensino Fundamental da Escola Educandário Senhora Santana (%) ........59 Gráfico 3: Quantitativo de docentes que atuaram na escolha dos livros didático de Matemática (%) ............................................................................60 Gráfico 4: Quantitativo de professores de Matemática que tiveram acesso ao Guia de Livros Didáticos PNLD na Escola Educandário Senhora Santana (%) ...................................................................................................61
  9. 9. Gráfico 5: Conteúdos de Geometria trabalhos pelos professores de Matemática nas séries finais da Escola Educandário Senhora Santana (%) ..................................................................................................................623. TABELASTabela 1: Valores Referentes a Aprovação ou Reprovação do Livro Didático no ParecerAvaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008 ...........................................47Tabela 2: Valores Percentuais Referentes ao Conteúdo Matemático Desejável no LivroDidático de Acordo Com o Parecer Avaliativo do MEC para 2008 ..................49
  10. 10. INTRODUÇÃO A educação exerce grande contribuição para formação do ser humano, haja vista queatravés dela, o homem consegue desenvolver habilidades essenciais para atuar ativa ecooperativamente na construção de uma sociedade melhor. No livro Introdução aos PCN 5.ª a8.ª séries (BRASIL, 1998, p. 6) enfatiza-se que: O papel fundamental da educação no desenvolvimento das pessoas e das sociedades amplia-se ainda mais no despertar do novo milênio e aponta para a necessidade de construir uma escola voltada para a formação de cidadãos. Vivemos numa era marcada pela competição e pela excelência, em que progressos científicos e avanços tecnológicos definem exigências novas para os jovens que ingressarão no mundo do trabalho. Tal demanda impõe uma revisão dos currículos, que orientam o trabalho cotidianamente realizado pelos professores e especialistas em educação do nosso país. Deste modo, percebe-se que a escola tem um papel muito importante nesse processo.Nesta perspectiva, procuramos desenvolver uma pesquisa qualitativa, buscando uma análiseacerca da importância que os conteúdos geométricos apresentam no ensino de Matemática,nas séries finais do Ensino Fundamental, na Escola Educandário Senhora Santana, nomunicípio de Cansanção/BA. Essa preocupação com a Geometria ocorre por algumas razões. Dentre elas, podemosdestacar que a consideramos como um dos campos da Matemática mais presentes em nossasvidas. Pois de acordo com Rosa Neto (2002), a Geometria é uma das culturas humanas maisutilizadas em nosso cotidiano, visto que estamos cercados de situações que envolvem retas,plano, figura, etc. Outra preocupação decorre de nossa experiência enquanto docente da redepública há mais de 10 anos. Esta vivência nos remete ao confrontamento sobre onde estamose o que podemos fazer para melhor a situação do ensino que nos é tão próximo.
  11. 11. Ao desenvolvermos nosso trabalho, procuramos dividi-lo capítulos. No primeiro,enfatizamos os aspectos históricos da Geometria, resgatando suas influências e contribuiçõespara as civilizações antigas, tais como a egípcia, babilônica, grega e outras. No segundocapítulo, verificamos como o ensino da Matemática passou a ser universalizado no mundo etambém no Brasil, e quais as suas mudanças e influências nos setores sociais, culturais eeconômicos. Já no terceiro capítulo, desenvolvemos uma análise sobre a influência que asteorias da psicologia proporcionaram à educação, enfatizando as suas contribuições para oprocesso ensino-aprendizagem. No quarto capítulo, analisamos as propostas educacionaisbrasileiras com o Plano Decenal de Educação, através dos Guias do Livro Didático, ondeprocuramos evidenciar como a Geometria deve se fazer presente no ensino da Matemática. Oúltimo capítulo trás os procedimentos adotados para a realização da pesquisa, os resultadosencontrados e uma análise crítica destes resultados. Por fim, acrescemos neste trabalho asreferências utilizadas para sustentar teoricamente o que discutimos durante todo o texto, asconsiderações que achamos pertinentes com os resultados obtidos e, o questionário aplicadocomo apêndice.
  12. 12. CAPÍTULO 1. A GEOMETRIA NA HISTÓRIA DO HOMEM1. 1 A GEOMETRIA NO PERÍODO PRÉ-HISTÓRICO A história sobre o conhecimento geométrico, é possivelmente tão antigo quanto àorigem do homem em nosso planeta, pois o ser humano desde a sua infância até a sua faseadulta, de certa forma, já passa a utilizar alguns conceitos geométricos, quando ele observa eutiliza o espaço em que vive. (SCHMITZ, 1994). O nosso período pré-histórico é caracterizado pelos vestígios deixados pelos nossosancestrais, como ruínas de edificações, utensílios de barro, rabiscos feitos em cavernas,esqueletos, etc. No entanto, não há documento que expresse as vivências de nossos ancestraisnesse período longínquo. (SCHIDT, 2002). Os historiadores ocidentais classificaram a Idade da Pedra em três períodos. Oprimeiro é o Paleolítico (c. 5000 000–10 000 a.C.) onde os hominídeos evoluíram e setransformaram em Homo sapiens, vivendo da caça/pesca e morando em cavernas. No segundoperíodo denominado de Mesolítico (c.10000–7000 a.C.), houve algumas mudanças climáticas,gerando-se desertos e reduzindo-se a caça e pesca, com isso, o homem passou a procurar oslugares próximos dos vales e rios perenes à procura de alimentos. Já o último período, oNeolítico (c.7000–3000 a.C.), a Idade da Pedra começou a declinar dando lugar às Idades doBronze e do Ferro. O homem também passou a utilizar a escrita, a desenvolver novas técnicaspara agricultura e a domesticar animais. (EVES, 2004; SOUZA, 1991). A respeito dessas mudanças neste último período, Boyer (1974, p. 18) afirma que “oquarto milênio antes da nossa era foi um período de notável progresso cultural, trazendo o uso
  13. 13. da escrita, da roda, e dos metais”. As primeira civilizações que passaram a utilizar a escrita,de acordo com os registros históricos, foram a mesopotâmica e a egípcia. (EVES, 2004). Na Mesopotâmia, região situada entre os rios Tigre e Eufrates, os povos sumérios,passaram a fazer suas representações em placas de barros, utilizando a escrita cuneiforme –escrita feita em barro com instrumento afiado na ponta ou cunha. Estima-se que no mesmoperíodo, os povos egípcios passaram a utilizar dois tipos de escritas nas paredes das pirâmidese em folhas de papiros, um tipo de ancestral do nosso papel, denominadas demótica (simples)e hieróglifa (mais complexa, usando símbolos e figuras). (BOYER, 1974). As figuras (1 e 2) a seguir mostram estas escritas feitas por egípcios e mesopotâmicos. FIGURA 1: Escrita egípcia – hieróglifa Fonte: www.cyberantes.com.br FIGURA 2: Escrita mesopotâmica cuneiforme
  14. 14. Fonte: www.cyberartes.com.br/edicoes/78/aprenda08.gif É importante ressaltar que há alguns indícios afirmando que as civilizações indiana echinesa apresentavam alguns avanços nessa época, embora de acordo com Eves (2004), nãohaja qualquer registro confiável, até o momento, que garanta tal existência. Os registrosencontrados, desses povos demonstram claramente as suas contribuições para oconhecimento matemático e demais áreas do conhecimento humano. Por isso, é interessanteviajar no tempo e conhecer um pouco mais, sobre essas civilizações antigas.1.2 A GEOMETRIA NA MESOPOTÂMIA A região situada entre os rios Tigre e Eufrates denominada de Mesopotâmia, é hojeconhecida como o Iraque. Atribui-se a essa região, o surgimento das primeiras civilizaçõescomo cidades e o uso da escrita. Durante muito tempo, a Mesopotâmia foi o centro do mundoantigo, onde sempre esteve exposta a infiltrações de estrangeiros. Sua história é marcada pelasucessão de guerras, invasões, massacres e dominações de povos diferentes. Dentre essespovos, destacam-se os sumérios, acádios, amoritas, cassitas, assírios e caldeus (SCHIMIDT,2002; SOUZA, 1991).
  15. 15. Com a criação da escrita cuneiforme, os povos mesopotâmicos passaram a adquirirmaior conhecimento e, com isso, criaram leis, registros de impostos, histórias, lições deescola, cartas pessoais etc. Esses fatores contribuiram para o surgimento de alguns impériosna antiguidade, sendo o mais famoso o reinado de Hamurabi (c. 1730–1685 a.C.). Nele, oimperador fortificou a capital Babilônia, criando muralhas, grandes obras públicas e o Códigode Leis mais antigo que a história registra, cuja idéia principal era “olho por olho, dente pordente”. (SCHIMIDT, 2002; SOUZA, 1991). As maiores informações sobre essa civilização, estão em suas escritas nas tábulas deargila, onde os arqueólogos vem trabalhando sistematicamente desde meados do século XIX,com a descoberta de mais de meio milhão de tabulas. Dentre elas, apenas 400 sãoconsideradas como estritamente matemática, contendo listas de problemas referentes a estaárea do conhecimento. (BOYER, 1974). O conhecimento geométrico encontrados nestas tábulas de argila, chama a atenção porseu grau de conhecimento da Geometria plana (área) e espacial (volume), pois dentre osnumerosos exemplos concretos do período (c. 2000 a.C.–1600 a.C.) eles já demonstravambastante familiaridade com as regras gerais para os cálculos de áreas de figuras geométricasplanas, tais como: retângulo, triângulo retângulo e isósceles, trapézio retangular, círculo comπ equivalente a três unidades de medida. Demonstravam também familiaridade com o volumede alguns sólidos, a exemplo do paralelepípedo retangular, prisma reto de base trapezoidal ecilindro reto. (EVES, 2004). Dentre as tábulas de matemática descobertas pelos arqueológicos, destaca-sePimpton 322, escrita no reinado de Hamurabi. Esta tábula apresenta exemplos de triânguloretângulo, sendo assim comparada com a tripla pitagórica. De acordo com Milles (1994) eEves (2004), todas as triplas na Tábula Plimpton 322, podem ser facilmente convertida numatripla pitagórica de números inteiros. Abaixo temos uma imagem desta tábula.
  16. 16. FIGURA 3: Tábula de Plimpton 322 Fonte: www.math.edu.pl/images/anegdoty/plimpton.jpg É importante ressaltar que esses documentos babilônicos são mais resistentes ao tempodo que os de outras civilizações e, segundo Boyer (1974), talvez por isso, dispõe-se hoje, demuito mais informações sobre a matemática da Mesopotâmia do que a do Egito e de outrascivilizações que supostamente deixaram suas contribuições para essa área. Diante dessas informações, percebemos que os povos mesopotâmicos deram grandecontribuição para o desenvolvimento da matemática, assim como às demais áreas doconhecimento humano. A respeito do conhecimento matemático, deixado por essa civilizaçãoneste período, Eves (2004, p. 63) afirma que é possível “concluir, em suma, que os babilônioseram infatigáveis construtores de tábulas, calculistas extremamente hábeis e certamente maisfortes em álgebra do que em geometria”. E ainda, que merece destaque “a profundidade e adiversidade dos problemas considerados por eles”.
  17. 17. 1.3 O EGITO ANTIGO A civilização egípcia se originou as margens do rio Nilo, localizada no nordeste daÁfrica. A sua formação vem de povos que habitavam próximo ao mediterrâneo, que depois semisturaram com líbios, semitas e elementos negróides. Devido ao clima seco, ao deserto à suavolta e a escassez de chuva na região, toda população se concentrava às margens do rio Nilo,em busca de terras férteis, pois durante as cheias, o rio Nilo transbordava, deixando nas suasmargens um solo rico e cultivável. (SOUZA 1991; SCHIMIDT, 2002). No aspecto político, o antigo Egito, não sofreu tanto com as invasões de estrangeiroscomo os mesopotâmicos, pois o clima quente e os desertos serviam de escudo. Por isso,manteve-se em isolamento, protegido naturalmente de invasões estrangeiras, sendo governadopacificamente por uma sucessão de dinastia. (EVES 2004; SOUZA 1991). Com o surgimento dos impérios, os faraós passaram a cobrar impostos sobre as terrascultivadas às margens dos rios, o que gerou a necessidade de medi-las. A partir daí, os faraósmandavam pessoas “especializadas” a fim de medir as terras e cobrar os impostosproporcionais a utilização. Esses “especialistas” eram chamados de estiradores de cordas ouagrimensores, pois mediam as terras usando cordas com nós. Heródoto (484–425 a.C.)historiador grego, afirma que se o rio arrastasse uma parte da propriedade de um agricultor,este por sua vez, poderia reivindicar ao faraó uma nova demarcação de suas terras e, com isso,só pagaria o imposto da terra que restasse. A partir daí, afirma o historiador, a Geometria veioa ser conhecida pela primeira vez no Egito e dali passou à Grécia. (EVES, 2004; SOUZA,1991). No entanto, há outra versão para o surgimento da Geometria citada por Aristóteles(384–322 a.C). Segundo Boyer (1974), Aristóteles acreditava que a classe sacerdotal do
  18. 18. Egito, daquela época, criou a Geometria quando em seus rituais religiosos estudavam osconhecimentos geométricos pelo puro prazer. Para termos uma idéia melhor sobre conhecimento matemático desta civilizaçãoantiga, basta lembrar que durante o Império Antigo (c. 3200 a.C.–2300 a.C.) os faraós daquarta dinastia, Quéops, Quérfen e Miquerinos, construíram as grandes pirâmides de Gizé.Pirâmides estas, que atualmente são consideradas como uma das sete maravilhas do mundoantigo. (SOUZA, 1991). A figura abaixo mostra as referidas pirâmides. FIGURA 4: Pirâmide de Gizé Fonte: www.rosaleonor.blogspot.com De acordo com Souza (1991) e Eves (2004), nestas pirâmides estão dois milhões deblocos de pedra pesando em média 2,5 toneladas cada um, ajustados entre si. Estes blocosainda segundo estes autores, teriam vindos do outro lado do Nilo. Nas pirâmides, os tetos decertas câmaras eram construídos em blocos de 54 toneladas; o erro relativo da base quadrada éde 1/14000 e o erro relativo dos ângulos dos vértices da base não excede 1/27000. Outro fatoque importante é que ela foi construída por cem mil trabalhadores em um período de 30 anos. Além desses monumentos históricos, há dois papiros, entre vários que resistiram aotempo, que tratam de temas de matemática, que merecem destaques, são eles: o Papiro deRhind ou Ahmes e o Papiro de Moscou ou Golonishev. Segundo Boyer (1974) e Eves (2004).
  19. 19. O primeiro, é o mais extenso rolo de papiro com 0,3 m de altura e 5 m comprimento, está emBritsh Murium. Ele foi escrito pelo escriba Ahmes por volta de 1650 a.C. e comprado em1858 por Henry Rhind, proprietário de um antiquário escocês. Neste Papiro há métodos demultiplicação e divisão, uso de frações, soluções de problemas de área de círculo e muitosproblemas de matemática. Enquanto que o segundo, pouco menor que o primeiro, foi escritopor volta de 1890 a.C. na décima dinastia por um escriba desconhecido. Neste último Papiroestá a fórmula correta do volume de um tronco de pirâmide de base quadrada. Esta preciosainformação, ainda de acordo com os autores citados, é única, pois, não há outro registro nooriente antigo além deste encontrado no Papiro de Moscou. Essa fórmula é considerada poralguns historiadores como a maior pirâmide do Egito. Observemos a seguir as figuras quemostram esses dois papiros. FIGURA 5: Papiro de Rhind (1650 a.C.) Fonte: www.ime.usp.br/.../imagens/ht_prhind.jpg FIGURA 6: Papiro de Moscou (1890 a.C.)
  20. 20. Fonte: www.ime.usp.br/.../imagens/ht_moscou.gif As informações sobre o conhecimento matemático dos povos egípcios na antiguidadesão impressionantes, embora não haja registro de generalização sintetizada dos conteúdos dematemáticas, pois seus exemplos escritos em papiro são citados como textos de matemáticaque envolvem problemas práticos da vida cotidiana desses povos há milênios antes de Cristo.Nesse período, os egípcios ainda não dominavam a demonstração rigorosa e sistematizada damatemática. E, isso só veio acontecer mais tarde numa cidade do Egito fundada por gregos epor pessoas que falam grego, denominada de Alexandria. (MILLES, 1999; BOYER, 1974;EVES, 2004).1.4 A INFLUÊNCIA GREGA A Grécia é um país situado na Europa Oriental, entre os mares Jônio, Egeu eMediterrâneo, onde apresenta várias montanhas e ilhas à sua volta. Segundo Milles (1999), osprimeiros vestígios dessa civilização denominada egéia ou pré-helênica, remonta do terceiro
  21. 21. milênio a.C. e foram encontrados na ilha de Creta. Quanto à origem de seu povo, Souza(1991) afirma que os gregos julgavam-se descendentes de Heleno, filho do Deucalião e Pirra,que povoaram o mundo após o dilúvio. No entanto, o próprio autor considera que elespertenciam aos grupos nórdicos e alpinos que chegaram à Grécia por volta de 2000 a.C. e semisturaram com povos do mediterrâneo, como aqueus, eólios, jônios e dórios. Devido a sua localização geográfica, os povos gregos entraram em contato com outrospovos vizinhos, tais como egípcios, babilônios e fenícios, onde absorveram conhecimentossobre a escrita e a matemática e em pouco tempo despontava como uma grande civilização.Para Eves (2004) a revolução agrícola vinda do Egito e do Oriente Médio chegou à Grécia porvolta de 2000 a.C. e dentro de 300 anos ela já se apresentava como uma civilização avançada,dominando a escrita e leitura. Segundo Boyer (1974, p.19), “os gregos não hesitavam nada emabsorver elementos de outras culturas, de outra maneira não teriam aprendido tão depressacomo passar à frente de seus predecessores, mas tudo o que tocavam davam mais vida”. De acordo com Eves (2004), essa hegemonia grega teve maior apogeu no período1700 a 1200 a.C,, pois durante 1200 à 1150 a.C. essa civilização foi destruída pela invasõesdos dórios-povos bárbaros da Ásia – que provocaram grande retrocesso para a cultura grega.Só por volta de aproximadamente 800–336 a.C., período chamado Helênico, é que elessurgem novamente, apresentando um processo intelectual e científico surpreendente. Nesteperíodo, afirma Eves (2004, p. 91), a “Grécia Helênica era um mosaico de cidade–Estado e depequenas fazendas dispersas”. Ainda sobre esse período, acrescenta Boyer (1974, p. 19),“colônias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar Negro e Mediterrâneoe foi nessas regiões afastada que um novo impulso se manifestou na matemática”. Os gregostravaram lutas internas e externas, provocando assim várias turbulência em determinados anose ao mesmo tempo, promovendo os fundamentos básicos para a sociedade ocidental, taiscomo no campo filosófico, artístico, matemático e outros. Eves (2004) considera que o
  22. 22. Período Helênico grego (c. 800–336 a.C.) testemunhou realizações intelectuaisextraordinárias, pois nos grandes centros comerciais da Grécia, principalmente em Atenas, osfilósofos lançaram novas idéias para seus discípulos baseadas na racionalidade, dentre elesmerecem destaques: Sócrates (c. 469-399 a.C.), Platão (c. 427-347 a.C.) e Aristóteles (c. 384-322 a.C.). As histórias reais passaram a ser escritas, destacando-se Heródoto (c.484-424 a.C.)e Tucídides (c.460-400 a.C.). A matemática passara também ao emprego do raciocíniodedutivo, destacando-se Tales de Mileto (c. 640-564 a.C.) e Pitágoras (c. 586-500 a.C.) dentreoutros.1.5 EUCLIDES E OS ELEMENTOS As informações sobre a vida de Euclides são poucas. Supõe-se que ele estudara naAcademia platônica em Atenas, onde adquiriu grande conhecimentos matemáticos e por voltado ano 300 a.C., à convite de Ptolomeu I, viajou para a cidade de Alexandria no Egito, ondelecionou na Universidade de Alexandria e provavelmente fundou a Escola de Matemática deAlexandria. (EVES, 2004). Euclides empreendeu inúmeros estudos na área de matemática naquela época, atravésde várias obras. Muitas se perderam no tempo, restando apenas cinco. Entre elas, destacaBoyer (1974), estão Os Elementos, Os Dados, Divisão de Figuras, Os Fenômenos e Óptica. Os Elementos é a obra mais famosa de Euclides, pois segundo Eves (2004, p. 167):“não há outro trabalho, exceto a Bíblia, tão largamente usado ou estudado e, provavelmentenenhum exerceu influência maior no pensamento científico”. A primeira publicação impressadestra obra foi feita em 1482 na cidade de Veneza com a tradução de Campanus. A partir daí,já foram impressas mais de mil edições, destaca Milles (1999). De acordo com Eves (2004) aobra Os Elementos, refere-se a uma genial compilação de todo conhecimento geométrico,destacando também alguns aspectos aritméticos e algébricos elementar, que superou tudo o
  23. 23. que existia até aquele momento e serviu de base para os estudos que datam de mais de doismil anos. A respeito desta obra, Boyer (1974), relata que ela é composta de 465 proposições,contendo treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre a Geometria plana eelementar, os três seguintes sobre o Teorema dos números, o Livro X sobre osincomensuráveis e os três últimos falam principalmente sobre a Geometria no espaço.Segundo Milles (1999), Euclides utilizou um modelo lógico protagonizado por Aristóteles,usando com distinção axiomas e postulados. Muitos destes postulados utilizados por Euclides, em sua obra Os Elementos, foidurante muito tempo aceito. No entanto, o quinto postulado do Livro I, o Postulado dasParalelas, comumente conhecido, gerou muitas controvérsias e por isso, vários matemáticosposteriores a Euclides tentaram demonstrar que não era possível tal proposição. Com isso, elaserviu de base para as novas geometrias. (Milles, 1999).1.6 AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS A Geometria apresentada por Euclides em sua obra Os Elementos (c. 300 a.C.) foiconsiderada como a única Geometria possível e inquestionável por mais de dois milênios apósa sua publicação. (COUTINHO, 2001). Nesta obra, Euclides conseguiu reunir todoconhecimento matemático elementar até então existente. Nela havia 465 proposições, cujateoria baseava-se em cinco axiomas e cinco postulados. De acordo com Milles (1999),Euclides distinguia os axiomas dos postulados, adotando assim, o modelo estabelecido porAristóteles (384–322 a.C), onde axiomas são noções comuns ou verdades válidas para
  24. 24. qualquer ciência, enquanto postulados são coisas a ser requerida sem demonstração, ou seja,são princípios implícitos ou explícitos, porém não demonstrados. O quinto postulado, destaca Eves (2004), despertou grande curiosidade de muitosgeômetras por mais de 2000 anos, onde várias tentativas foram feitas na perspectiva de prová-lo a partir dos nove axiomas e postulados anteriores. Dentre as várias tentativas, faz-senecessário destacar a de Girolamo Saccheri (1667–1733). Para Eves (2004), Saccheri foiquem passou a utilizar pela primeira vez uma investigação científica acerca do quintopostulado de Euclides. Ainda para Eves (2004, p. 540), se Saccheri não estivesse “tão ávidode exibir uma contradição e, em vez disso, tivesse admitido sua incapacidade de alcançá-lo”provavelmente “os méritos da descoberta da geometria não-euclidiana caberiam a ele”.Segundo Boyer (1974), outras publicações referentes ao Postulados da Paralelas, foramregistrados na história. E dentre elas, merecem destaque Die Theorie der Parallelli e Elementsde Geomètrie do suíço Johann Heinrich Labert (1728–1777) – similar a de Saccheri – e dofrancês Andrien-Marie Legendre (1752–1833). Essas publicações deram muita contribuiçãopara a divulgação do quinto postula de Euclides. No entanto, segundo Boyer (1974),percebeu-se que o Postulado das Paralelas era independente dos demais e, por isso, nãopoderia ser demonstrado em função dos outros. De acordo com Eves (2004), a história considera que os primeiros a suspeitarem dessefato, foram o alemão Carl Friedrich Gauss (1777–1855), o russo Nicolai IvanovitchLobachevsky (1793–1856) e o húngaro Janos Bolyai (1802–1860). No entanto, o próprioautor ressalta que, embora Gauss houvesse dito que era possível existir outra Geometriadiferente da euclidiana, nada consta publicado a esse respeito. Segundo Boyer (1974) e Eves (2004), o russo Lobachevsky estudara na Universidadede Kazan, onde passou a ser professor e posteriormente administrador. Durante 1826 e 1829,percebeu que o quinto postulado de Euclides não poderia ser provado com base nos outros
  25. 25. quatro, e em 1829 publicara o artigo On the Principles of Geometry, o qual marcaoficialmente o nascimento da Geometria não-euclidiana. Para Eves (2004, p. 543): Essa memória mereceu muita pouca atenção na Rússia e, por ter sido escrita em russo, praticamente nenhuma em outros lugares. Lobachevsy deu continuidade a seus esforços iniciais com outras exposições. Por exemplo, na expectativa de alcançar um grupo mais amplo de leitores, ele publicou, em 1840, um pequeno livro escrito em alemão intitulado Geometrische Untersuchungen Zur Theorie der Parallellinien (Investigações Geométricas sobre a Teoria das Paralelas), e mais tarde, em 1855, um ano antes de sua morte e algum tempo depois de ficar cego, uma abordagem final, mais condensada, em francês, com o título de Pangéométrie (Pangeometria). Com relação ao húngaro Janos Bolyai, de acordo com Eves (2004), ele sempre foiinfluenciado pelo seu pai para demonstrar o Postulado das Paralelas. No entanto, em 1829,aproximadamente, ele escreve para seu pai e afirma que não é possível demonstrar o quintopostulado de Euclides. Com isso, resolve criar a “Ciência Absoluta do Espaço”, onde partiuda hipótese que por fora de uma reta, podem ser traçadas infinitas retas num plano e, emseguida enviou para seu pai, que só publicou no ano de 1832, em um apêndice de seu livro.Segundo Boyer (1974), embora a data de publicação de Bolyai seja depois da obra deLobachevsk, considera-se que não haja plágio, pois naquela época as informações eramtardias. Após às descobertas de Lobachevsky e Bolyai, a Geometria não-euclidiana ficou decerta forma esquecida durante algumas décadas até que Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826–1866) passou a tratá-la de maneira geral, cujo objetivo não deveria ser tratado apenasde pontos, ou de retas, ou de espaço de maneira ordinária, mas como uma coleção de n-uplas.(BOYER, 1974). Além disso, Riemann deu grande contribuição para o conceito deintegralidade para o século XX, a qual chamamos atualmente de Integral de Reiman. (EVES,2004). Na segunda década do século XX, houve uma grande revolução nos métodostopológicos da álgebra que se estendeu na análise e consequentemente na formulação da
  26. 26. geometria de n dimensão. Segundo Boyer, destaque maior existe nas obras de NicolasBourbaki, na netade do século XX. Trata-se de um grupo de matemáticos que usam este nomecomo pseudônimo. De acordo com Eves (2004), desde 1939 essas obras matemáticas vemaparecendo na França cujo objetivo reflete nas tendências que a matemática deveria assumirpara o século XX. A composição do grupo, é variável, tendo chegado até 20 matemáticos. Aúnica norma é que não há norma, exceto o jubilamento dos membros com mais de cinqüentaanos. Estima-se que alguns nomes não oficiais sejam C. Chevalley, J. Dieudonné e A. Weil,comenta Eves (2004). Diante de tantas informações sobre as mudanças da Geometria no seu processohistórico, vale ressaltar que: A criação das geometrias não-euclidianas, puncionando uma crença tradicional e rompendo com o hábito do pensamento secular, desferiu um golpe duro no ponto de vista da verdade absoluta em matemática. Nas palavras de Georg Cantor: ´A essência da matemática está em sua liberdade´. (EVES, 2004, p. 545). Com o registro destes aspectos históricos da Geometria é possível observar aimportância dos seus fundamentos para com a civilização de um modo geral. Assim, diante detão valiosa contribuição deixada por estes povos, esperava-se que o sistema de ensinoatribuísse semelhante valorização a sua integração nos currículos escolares. Entretanto, dautilização da Geometria para a composição dos conteúdos escolares muito ainda se tem porfazer.
  27. 27. CAPÍTULO 2: O ENSINO DE MATEMÁTICA NO AMBIENTEESCOLAR2.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA Estudiosos consideram o ensino da Matemática tão antigo quanto o ensino da línguavernácula. No entanto, o ensino da Matemática só passou a ser inserido na escola a partir daRevolução Industrial ocorrida no século XVIII. Antes a matemática somente era acessível aosfilósofos ou a grupos restritos. Com o surgimento das indústrias, as atividades ligadas ao setorprimário e aos produtos manufaturados começaram a reduzir, dando lugar às novas atividades,tais como: operação de máquinas, relações de sistemas bancários, gerenciamento de empresas,etc. Contudo, essas atividades exigiam “mão de obra qualificada”, onde a maioria das pessoasdeveria ter um conhecimento técnico suficiente para se adaptar à nova realidade. Por isso, osgovernantes, pressionados pelos industriais, resolveram investir na universalização daeducação. (FALZETTA, 2002; SCHIMIDT, 2002). Diante da necessidade apresentada na nova conjuntura social e econômica, aMatemática inseriu-se no contexto escolar, onde os currículos e os livros didáticos sãobaseados no raciocínio dedutivo do grego Euclides. No entanto, como a linguagemmatemática utilizada nos livros era complexa, dificultava a compreensão de estudantes doensino básico. Apesar dessas dificuldades, a Matemática consegue se desenvolver e ganhauma importância maior nas escolas até o início do século XX. (FALZETTA, 2002)
  28. 28. Após a Segunda Guerra Mundial, no período da Guerra Fria1, o ensino da Matemáticapassa por reformulação no seu currículo. A corrida espacial, protagonizada pelos EstadosUnidos da América (EUA) e a antiga União das Repúblicas Socialistas Soviéticas (ex-URSS)e os congressos internacionais promovidos na Europa e nos Estados Unidos contribuíram paraessas mudanças no ensino da Matemática. No início da década de 50, os franceses JeanDieudonné, Gustavo Choquet e outros, juntaram-se a filósofos suíços, visando novasperspectivas para o ensino da Matemática. Com isso, vários países europeus, como Bélgica,Iugoslávia e Inglaterra também passaram a aderir ao movimento dessas mudanças. E em1959, a Organização Européia de Cooperação Econômica, promove o Colóquio deRoyaumont na França, cuja proposta era a reformulação dos currículos em vigor. NesseColóquio Choquet apresentou uma proposta para o ensino primário e o secundário daMatemática. (PIRES, 2000). Com as propostas apresentadas no Rayaumont na França e na convenção deDubrovinik na Iugoslávia, em 1960, deu-se início ou marco ao movimento da MatemáticaModerna. Esta reforma baseava-se na teoria dos conjuntos, dando-se ênfase aos aspectosalgébricos e aritméticos respeitando as estruturas lineares, e conseqüente negação dosaspectos geométricos. Esse movimento ganha maior projeção na década de 60 na Europa comDieudonné, pelo grupo Bourbaki e Choquet na França, por Flether na Grã-Bretanha, porMadame Krygowska na Polônia. Na América do Norte, passou a ser influenciada por Dienesno Canadá e por vários grupos de pesquisa nos Estados Unidos, destacando-se o SchoolMathematcs Study – SMSG, National Council of Teachers of Mathematics – NCTM e outrosapoiados às universidades de Illinios, Miryland e Boston Callege. (PIRES, 2000). No Brasil, esse movimento ganha adepto especialmente em dois estados, São Paulo eBahia. No estado de São Paulo foi criado o Grupo de Estudo de Educação Matemática –1 A Guerra Fria foi uma designação dada para o período compreendido entre 1945 a 1989, onde EUAe a ex-URSS, protagonizaram a disputa de mercado entre o “capitalismo” e o “socialismo”, criandoassim, um clima de Guerra que nunca aconteceu.
  29. 29. GEEM, liderado por Oswaldo Sangiorgi, que apresentou para o ensino primário, váriosmanuais escolares, dando ênfase aos axiomas e as estruturas algébricas. No estado da Bahia,esse movimento passou a ser contemplado por um grupo de professores, que liderado porOmar Catunda, apresentaram alguns livros para o ensino primário e secundário. (SANTANA,2000). Após uma década do movimento da Matemática Moderna, as críticas começaram aaparecer, gerando assim, uma decadência na proposta. Com isso, surge o Movimento deEducação Matemática, onde há a participação de professores de vários países e de grupos depesquisa, inclusive os próprios defensores da Matemática Moderna. Nesse novo movimento,as críticas se sobrepõem aos aspectos dos conteúdos valorizados pelo movimento daMatemática Moderna, visto que a nova proposta aponta como foco principal centralização osmétodos de ensino, o uso de novas tecnologias (como a calculadoras e outras), a relação daMatemática com a vida, valorizando também os aspectos sociais, lingüísticos e psicológicosdo indivíduo em seu meio. (FALZETTA, 2002). Para o matemático holandês Freudenthal (1979, apud Pires, 2000, p. 15), o erroprincipal da Matemática Moderna estava na sua falsa perspectiva. Até agora considerava-se, tradicionalmente, que o ensino da Matemática, em qualquer nível, era determinado pelos conhecimentos adquiridos na etapa seguinte, e que se tratava de um processo gradual e seletivo, devendo culminar em nobres investigações matemáticas. Ora, a idéia inovadora proposta pelos defensores da Matemática Moderna, consistia em efetuar certo “encurtamento”: os conceitos mais adiantados deviam ser na escola infantil – mesmo por professores que não possuía a menor idéia do seu significado nem das suas verdadeiras aplicações no plano matemático. Assim, certos sistemas colocados a serviço das abstrações matemáticas, desligados do seu sentido e do seu contexto matemáticos, considerados temas de estudo, concretizados de maneiras inadequadas, eram ensinadas a crianças de qualquer idade. Para Pires (2000), os dois movimentos apresentam características distintas. Omovimento da Matemática Moderna, apresentou um compromisso com os avanços técnicos, àluz da ciência e da tecnologia, buscando como meta de ensino a abstração e aplicações
  30. 30. práticas diretas. Enquanto a Educação Matemática em contraposição ao primeiro movimento,está centrada numa perspectiva mais ampla, cujo objetivo é valorizar os métodos adequadospara cada etapa do processo de ensino/aprendizagem, utilizando a resolução de problemasmatemáticos que tenham relação com as demais disciplinas e se possível estejacontextualizado com a vida cotidiana do discente. Além disso, ressalta-se também aimportância de valores sociais, culturais e psicológicos do ser humano. Na década de 80, muitos países passaram a mudar o seu currículo de ensino. Noentanto, essas reformas não foram uniformes, pois cada um seguia as tendências apresentadasnos congressos internacionais, adaptando-se às necessidades do país e às condiçõeseconômicas disponíveis. (PIRES, 2000). Em uma publicação da revista Nova Escola, o escritor Ricardo Falzetta (2002, p.18-19), afirma que: Há pelo menos duas décadas, educadores de todo mundo, organizados no movimento chamado Movimento de Educação Matemática, criam estratégias, propõem currículos com enfoques diferentes para os conteúdos, pedem a reintegração da geometria ao programa e, sobretudo, a adoção de uma abordagem ligada ao cotidiano e vinculada às demais áreas do conhecimento. No Brasil as reformas educacionais estavam ligadas às propostas das SecretariasEstaduais e Municipais de Educação, que por sua vez, apresentavam características comuns,pois elas se baseavam nas tendências mundiais, mas seguindo como referência os diversosencontros nacionais e regionais, promovidos por grupos de pesquisa em EducaçãoMatemática. Essas reformas aconteciam através de reflexões feitas nos Guias Curricularesanteriores a 1971, pois, detectavam-se os problemas do ensino da Matemática, visando assim,apresentar alguma proposta nova na perspectiva de melhorar o papel deste ensino nocurrículo. (PIRES, 2000).
  31. 31. A partir dessa análise, alguns estados apresentaram propostas para o ensino daMatemática. Dentre eles, podemos destacar os estados de São Paulo, Pernambuco e Bahia. Noano 1985, o Estado de São Paulo apresentou para rede pública estadual, propostas curricularespara o ensino de 1.º e 2.º graus, denominado atualmente de Ensino Fundamental. Sobre elas,Pires (2000, p. 50-51) destaca: Nessa proposta foi conferida à Matemática uma dupla função no currículo, defendendo-se que “ela é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade, como as que lidam com grandezas, contagem, medidas, técnicas de cálculos” e que “ela desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, transcender o que é imediatamente sensível”. Uma das preocupações explicitadas, era a de apresentar o conteúdo, em diferentes níveis de abordagem, em que se procura respeitar a integração dos temas serem apresentados, bem como seu desenvolvimento “em espiral”, conforme preconizava Jerome Bruner. No estado de Pernambuco, foi apresentado em 1992, o documento Subsídios para aOrganização da Prática Pedagógica nas Escolas – Matemática, onde se fazia críticas aosmodelos curriculares dessa disciplina apresentado ao longo dos últimos anos. Com isso,falava-se que os conteúdos de Matemática estavam inseridos de forma fragmentada,desarticulada e fora do cotidiano dos discentes. Por isso, apresentaram uma proposta ondeprotagonizava que aprendizagem da Matemática deveria ocorrer do particular para o geral, dosimples para o complexo, cujos conteúdos deveriam ser classificados em número, geometria egrandeza, seguindo, a exemplo de São Paulo, a espiralidade como base. Enquanto que naBahia, a proposta visava chamar a atenção dos educadores, para reverem o papel daMatemática na escola, uma vez que o seu papel discriminatório e exclusivo era preocupante.Com isso, procuraram dinamizar o papel da Educação Matemática, dando-lhe ingredientesnovos, como ênfase aos aspectos pedagógicos sociointeracionista, construtismo einterdisciplinar, embora seguindo a lista de conteúdos tradicionais. (PIRES, 2000). Antes deste período, no final da década de 1980, após a promulgação da Constituiçãode 1988, emerge a necessidade de proposta para um Plano Decenal de Educação, visando uma
  32. 32. nova Lei de Diretrizes e Bases para a Educação Nacional – LBD. No entanto, esta proposta sófoi instituída em 20 de dezembro de 1996, com a Lei n.º 9.394, que passou a determinar osnovos rumos da educação brasileira. No ano de 1998, à luz da nova LDB, surge os ParâmetrosCurriculares Nacionais – PCN, os quais foram elaborados pela coordenação da Secretaria daEducação do Ensino Fundamental do Ministério da Educação e do Desporto – MEC. Os PCNcontaram, quando da sua elaboração, com a participação de docentes de várias instituições deensino, especialista em educação e de outras áreas, instituições governamentais e não-governamentais. (PIRES, 2000; BRASIL, 1998). As propostas apresentadas nos PCN estão centradas numa perspectiva educacional deum ensino de qualidade que atenda às necessidades básicas da nova conjuntura social, políticae econômica na qual estamos vivenciando nos últimos anos. Por isso, o Ministério daEducação e do Desporto propôs em acordo com a união, os estados e os municípios, para queas três esferas criassem uma base curricular nacional, onde todas as disciplinas nela contida,deviam estar em consonância em todo território nacional. (BRASIL, 1998). Para garantir tal referência na base curricular, o MEC lançou programas visando dásustentação ao ensino público e/ou privado. Um deles é a proposta para o Programa Nacionaldo Livro Didático – PNLD, o qual determina como e quais conteúdos devem ser inseridos emcada disciplina nos diferentes níveis da educação básica. Para a escolha dos livros, ainstituição de ensino ou a Secretaria Municipal ou Estadual, em parceria com os docentes,podem escolher através do Guia do Livro Didático os livros aprovados pela PNLD que maisse adapta à realidade de sua escola ou região. Além disso, nos PCN, estão diversos temas que tratam de questões sociais, tais comoos Temas Transversais: Meio Ambiente, Saúde, Ética, Pluralidade Cultural, OrientaçãoSexual, Trabalho e Consumo, pois estes são considerados mundialmente como temas sociaisurgentes e essenciais para uma vida harmoniosa em nossa sociedade.
  33. 33. No que se referem às propostas apresentadas nos PCN da área de Matemática, elasindicam que os conhecimentos matemáticos devem ser desenvolvidos com o intuito deproporcionar ao discente a sua participação no mundo do trabalho em perfeita interação comas relação socioculturais. Por isso, deve-se levar em conta o conhecimento adquirido pelosdiscentes em seu meio cultural e, com isso incentivá-los a aplicar seus conhecimentos demaneira a desenvolver com segurança, habilidades: de calcular, quantificar, localizar objetosno espaço, fazer leitura de gráficos e mapas, fazer previsões e resolver problemas. Alémdisso, os PCN ressaltam também que o ensino de Matemática deve apresentar “tópicos” queresgatem o aspecto histórico do conhecimento matemático e que os recursos de novastecnologias de comunicações sejam inseridos nas escolas. (BRASIL, 1998). No campo geométrico, os PCN, destacam que para a sua proposta deve-se “enfatizar aexploração do espaço e das representações e as articulações entre a geometria plana eespacial” (BRASIL, 1998, p. 60). No entanto, percebe-se que não há uma efetiva preocupaçãocom temas referentes a Geometria, e por isso, muitas vezes esses temas não são abordados demaneira adequada. Para Santana (2000), a Geometria deveria ser incluída na LDB 9.394/96 comodisciplina curricular e não ser apresentada em Matemática apenas como “tópicos”geométricos, pois seus conteúdos requerem uma atenção especial. Desta forma, percebe-seque assuntos de suma importância estão sendo esquecidos e/ou omissos. De acordo com Pires (2000), os PCN, referentes à área de Matemática apresentamduas faces de uma mesma moeda, onde de um lado mostra uma Matemática essencial paradesenvolver o raciocínio lógico e despertar o senso crítico do cidadão, dando-lhe aoportunidade de avançar junto com a necessidade da sociedade a sua volta. De outro lado,percebe-se através de dados estatísticos e pelo censo comum, uma matemática utilizada pormuitas pessoas, porém articulação do conhecimento escolar.
  34. 34. Diante do exposto, nota-se que o desenvolvimento do ensino da Matemática vemsofrendo algumas mudanças nos seus métodos de ensino ao longo do seu processo histórico,principalmente no século XX, com os movimentos da Matemática Moderna e o da EducaçãoMatemática. Esta última sendo influenciada por diversas áreas, como por exemplo, aPsicologia. Portanto, é essencial que, enquanto educador, estejamos atentos às novasdescobertas que contribuem para a prática docente.CAPÍTULO 3: A PSICOLOGIA E O ÂMBITO ESCOLAR3.1 A PSICOLOGIA A Psicologia de acordo com Izidoro (2003, p. 1): “é uma ciência que estuda oscomportamentos e processos mentais, partindo da sua descrição para a explicitação dessescomportamentos de modo a poder prever e controlar as respostas comportamentais”. ParaBock et al (1994), a Psicologia apresenta-se como uma área do conhecimento humano quevisa estudar o homem, desde o seu nascimento até sua vida adulta. Para tanto, são analisadosvários aspectos. Dentre eles, destacam-se o físico-motor, o intelectual, o afetivo-emocional eo social. Com relação à importância de estudar o desenvolvimento humano, Bock et al (1994,p. 81), destacam que isto significa “conhecer as características comuns de uma faixa etária,permitindo-nos reconhecer as individualidades, o que nos torna mais aptos para observação einterpretação dos comportamentos”. Portanto, faz-se necessário, enquanto educador, quecompreendamos seus fundamentos teóricos e suas contribuições acerca do processo ensino-
  35. 35. aprendizagem, pois é através de estudo e análise desses comportamentos, que podemosdesenvolver uma prática docente mais adequada à realidade do educando. O surgimento da Psicologia para Bock et al (1994), está ligado ao campo filosófico,pois desde a Grécia Antiga, filósofos como Sócrates (469-339 a.C.), Platão (427-347 a.C.) eAristóteles (384-322 a.C.) especulavam sobre a origem do homem e da sua relação com omundo e consigo mesmo. Mas, somente em meados do século XIX da nossa era, é que ela sedesvincula da Filosofia, para então emergir como ciência autônoma. A partir daí, sãoelaborados vários estudo e pesquisas em diversas regiões do planeta. Com isso, surgem váriascorrentes teóricas buscando entender os fenômenos psicológicos do ser humano. Para Bock etal (1994), a Psicologia emerge de fato na Alemanha, no entanto, é nos Estados Unidos daAmérica, que ela entra em ascensão, pois o grande avanço econômico daquele país, no séculoXIX, contribuiu significativamente para o surgimento das três primeiras escolas: oFuncionalismo de William James (1842-1910), o Estruturalismo de Edward Titchner (1867-1927) e o Associacionismo de Edward L. Thorndike (1874-1949). Para a escola Funcionalista, interessava a inter-relação do corpo e mente, sendo aconsciência considerada como um fenômeno pessoal, integral e processual. Com isso,buscava-se, naquela época, uma explicação prática para responder questões do tipo: “o quefazem os homens” e “por que às fazem”. Sendo assim, W. James evidência a consciência parabuscar a compreensão de seu funcionamento ao passo que o homem a usa para se adaptar aomeio. Já o Estruturalismo, visava compreender os elementos que formariam a estrutura daconsciência, como as imagens, os pensamentos e os sentimentos. Deste modo, Titchnerenfatiza os aspectos estruturais do sistema nervoso central, enquanto o Associacionismo deThorndik preocupa-se em analisar o processo de aprendizagem humana. Nesta concepção,acredita-se que a aprendizagem ocorre através das associações das idéias, isto é, de uma idéiasimples pode se chegar a outra mais complexa..
  36. 36. 3.2 AS PRINCIPAIS CORRENTES TEÓRICAS DA PSICOLOGIA DO SÉCULO XX De acordo com Bock et al (1994), o Funcionalismo, o Estruturalismo e oAssociacionismo, influenciaram no surgimento de novas tendências teóricas do século XX,sendo que as concepções a esse respeito, oscilam muito entre autores. Dentre as váriasconcepções, são destacadas para o campo educacional as teorias do DesenvolvimentoHumano de Jean Piaget e Vigotski, da Aprendizagem de David Ausubel e a teoria do Ensinode Jerome Bruner.3.3 A PSICOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO HUMANO – PIAGET De acordo com La Taille et al (1992), a teoria desenvolvida pelo psicólogo e biólogosuíço Jean Piaget (1896-1980) postula que o desenvolvimento humano, depende dasinterações dos fatores inatos e das experiências vividas pelo indivíduo durante sua vida. Nestaconcepção, os autores destacam que, Piaget procura enfatizar o aspecto intelectual, e paraisso, considera que o desenvolvimento humano está dividido em quatro períodos: sensório-motor, pré-operatório, operações concretas e operações formais. Assim, o período sensório-motor, refere-se ao recém-nascido e o lactante (0 a 2 anosde idade), onde a criança é caracterizada inicialmente pela herança genética dos aparelhosreflexos que traz. A sucção, por exemplo, que ela faz quando mama no peito da mãe. A partirde alguns dias, ela começa a melhorar seus movimentos e com isso, vão surgindo outrosmovimentos mais complexos como os movimentos das mãos para agarrar determinados
  37. 37. objetos. Chegando à fase final deste período, a criança já dispõe de movimentos maiscoordenados e consegue deslocar sozinha, à procura de objetos mais distantes. No segundo período, o pré-operatório (2 a 7 anos de idade), a criança passa a adquirirmelhor desenvolvimento da linguagem, permitindo assim, a formação de conceitossimbólicos. Nesta fase, ela tende a desenvolver seu pensamento, inicialmente, através dejogos, brincadeiras e símbolos – parte lúdica – onde a brincadeira se mistura com fantasias.Posteriormente, a criança passa a utilizar esses símbolos como referências para explicar omundo real, isto é, através de determinados jogos, ela passa a entender melhor as regras deconduta, como os conceitos morais, sem que seja necessário impor diretamente. Já na fasefinal deste período, a criança consegue compreender melhor a existências das coisas reais e,com isso, passa a utilizar conceitos como o porquê disso ou daquilo. Segundo Bock et al(1994), é importante ressaltar neste período que a criança já adquiriu a maturaçãoneurofisiológica completa, isto é, a maturidade para determinado padrão de comportamento,permitindo com isso, o desenvolvimento de novas habilidades, como a coordenação motoramais lapidada. Desta maneira, consegue realizar algumas operações simples como somar esubtrair, embora não consiga perceber a inversão nas operações. Além disso, ela passa a usarcorretamente o lápis, fazendo movimentos bem mais coordenados para a escrita. O terceiro período, o das operações concretas (7 a 12 anos de idade), enfatiza que acriança já está preparada para iniciar o seu processo de aprendizagem sistemática. É nesteperíodo, que ocorre as grandes conquistas intelectuais. As ações físicas, agora passam aocorrer com mais segurança, pois a criança já consegue praticar atividades que exige maiorrigor físico que as anteriores; as operações aritméticas passam a ser compreendidas maisfacilmente, porque já consegue perceber que as operações de adição e subtração,multiplicação e divisão são operações inversas; a linguagem passa a ser mais sociabilizada.
  38. 38. De maneira geral, nota-se que nesta fase, a criança passa a adquirir uma compreensão melhordo mundo em que vive. No quarto e último período, o das operações formais (12 anos em diante), a criançapassa do pensamento concreto para o pensamento formal e abstrato, ou seja, ela já conseguerealizar diversas operações matemáticas, sem a necessidade de utilizar como referência, oselementos concretos. Percebe-se também neste período, melhor adaptação a novos temas,como liberdade, justiça, causas sociais e outras, pois ela começa a entrar na adolescência ecom isso, as relações sociais vão aumentando. Por conseguinte, percebe-se uma ampliação nacapacidade de criticar, discutir, propor inovações, admitir suposições e hipóteses. Nesse contexto, percebe-se que os estudos e as pesquisas desenvolvidas por Piaget,são de suma importância para a educação, visto que, praticamente, todas as fases acimamencionadas são vivenciadas no âmbito escolar.3.4 A TEORIA INTERACIONISTA – VIGOTSKI Lev Semonvich Vigotski (1896-1930), constrói a sua teoria, enfatizando o aspectosocial. De acordo com La Taille et al (1992, p. 24): Falar da perspectiva de Vygotsky é falar da dimensão social do desenvolvimento humano. Interessado fundamentalmente no que chamamos de funções psicológicas superiores, e tendo produzido seus trabalhos dentro das concepções materialistas predominantes na União Soviética pós-revolução 1917, Vygotsky tem como um dos seus pressupostos básicos a idéia de que o ser humano constitui-se enquanto tal na sua relação com o outro social. Nesse contexto, Vigotski considera que o homem é um ser ativo capaz de agir diantedas situações vivencias no seu quotidiano. No entanto, para que isso ocorra, é necessário que
  39. 39. ele seja influenciado pelas relações sociais desde sua infância, onde a comunicação com oadulto é essencial para o seu desenvolvimento. Neste sentido, Vigotski considera que odesenvolvimento infantil, de acordo com Bock et al (1994), deve ser analisado sob trêsaspectos essenciais: o instrumental, o cultural e o histórico. O primeiro, faz referência à inter-relação das funções psicológicas complexas, onde os estímulos recebidos, inicialmente pelacriança, devem ser transformados e usados futuramente como instrumentos do nossocomportamento, como por exemplo, a linguagem. No segundo aspecto, o cultural, ele creditaque a forma estruturada da sociedade pode determinar as ações gerais do indivíduo, desde queelas sejam infiltradas como instrumentos mentais e físicos na criança. Um desses instrumentoscitados por Vigotski é a linguagem, que este considera como instrumento básico em nossasociedade e, por isso, a enfatiza em todo processo. No último aspecto, o histórico, Vigotskiadmite que haja uma junção entre os elementos culturais e históricos, onde os instrumentosestão inseridos, pois para dominar o seu ambiente natural, o homem se utiliza decomportamentos que foram desenvolvidos por seus ancestrais durante o processo histórico. Os instrumentos culturais então, segundo Bock et al (1994, p. 92), [...] expandiram os poderes do homem e estruturaram seu pensamento, de maneira que, se não tivéssemos desenvolvido a linguagem escrita e aritmética, por exemplo, não possuiríamos hoje a organização dos processos superiores que possuímos. Ainda de acordo com os autores, Vigotski considera que o homem, enquanto sujeitode conhecimento, não tem acesso direto aos objetos, mas que é através do acesso mediadopelos sistemas simbólicos que ele consegue desenvolver seu conhecimento. No campo educacional, Vigotski destaca que a interação social desenvolvida noâmbito escolar, tem uma diferenciação da vida cotidiana, pois o relacionamentoprofessor/aluno assume um caráter de desenvolvimento intelectual e cultural maior. Nesteaspecto, espera-se que o docente seja um orientador incentivador no processo ensino-aprendizagem. (BOCK ET AL, 1994).
  40. 40. Dessa forma, Vigotski procura denominar esta relação professor/aluno como Zona deDesenvolvimento Proximal/Nível de Desenvolvimento Real e Potencial. Em outras palavras,pode-se dizer que o conhecimento trazido pela criança em seu universo familiar, escolar, oudo seu mundo particular é chamado de Desenvolvimento Real, enquanto a capacidade que acriança tem em aprender determinados conteúdos sob orientação docente é chamada deDesenvolvimento Proximal. A distância entre esses dois extremos é denominada por Vigotskide Zona de Desenvolvimento Proximal.3.5 A TEORIA DA APRENDIZAGEM – DAVID AUSUBEL A teoria desenvolvida por David Ausubel, considera que o processo de aprendizagemé originado através da inter-relação do sujeito com o mundo. Segundo Baraldi (1999, p. 38): A aprendizagem significativa é o conceito mais importante na teoria de David Ausubel, cuja idéia central é a de que o mais importante é aquilo que o aprendiz já sabe. Para ele, a aprendizagem significativa ocorre quando o indivíduo estabelece significados entre novas idéias e as suas já existente. Ao abordar essa teoria, Ausubel preocupa-se em analisar os processos decompreensão, transformação, armazenamento e a utilização das novas informações no campocognitivo. A cognição, de acordo com Bock et al (1994, p. 102), “é o processo através do qualo mundo de significados tem origem. À medida que o ser se situa no mundo, estabelecerelações de significação, isto é, atribui significado à realidade em que se encontra”. Ao postular sua teoria, Ausubel considera a existência de duas formas deaprendizagem: a mecânica e a significativa. A primeira refere-se a uma aprendizagem de
  41. 41. retenção, ou seja, a pessoa aprende sem nenhuma conexão com os conhecimentos anteriores.Aprende, por exemplo, com um texto poético pela simples repetição das palavras, isto é,decorando. Na aprendizagem significativa, no entanto, as estruturas ou referências adquiridasanteriormente servem como ponto de partida para a compreensão de novas idéias (pontos deancoragens). Quando por exemplo, passeamos com uma criança pelas ruas de uma cidade e,mostramos a ela casas residenciais e comerciais, escolas, hospitais, bancos e outros, estamoscriando um referencial que, possivelmente servirá de ponto de partida para novosconhecimentos, tais como organização social e econômica, entre outros. (BOCK ET AL,1994).3.6 BRUNER E A CONTRIBUIÇÃO PARA O ENSINO As concepções apresentadas acerca da aprendizagem, como a teoria de Ausubel,contribuíram para o surgimento de correntes teóricas ligadas ao ensino. Elas buscam discutiratravés de estudos e análises, as condições necessárias para que o processo deensino/aprendizagem seja mais interessante e proveitoso. Dentre várias, é importante destacara teoria do ensino desenvolvida por Jerome Bruner. Segundo Zacharias (2007), na teoria deBruner: [...] o aprendizado é um processo ativo, no qual aprendizes constroem novas idéias, ou conceitos, baseados em seus conhecimentos passados e atuais. O aprendiz seleciona e transforma a informação, constrói hipóteses e toma decisões, contando, para isto, com uma estrutura cognitiva. Ainda para a autora (2007), Bruner postula que o processo de aprendizagem dar-se-ámais proveitosamente, quando o docente tem um bom domínio do assunto e desenvolve
  42. 42. atividades, incentivando o discente à investigação, pois para ele, é através da pesquisa, daexperimentação, da dúvida, das perguntas, dos erros e acertos que o aprendiz consegue maiorcompreensão sobre os temas abordados. Sendo assim, defende que a aprendizagem dependeda cognição e que esta ocorre mediante processo ativo, gerado da associação e construção dasidéias. De acordo com Bock et al (1994), Bruner defende que toda disciplina deve seguir umaseqüência lógica dos conteúdos de tal maneira que, parta do conceito geral para o particular.Desta maneira, propõe um currículo em forma de espiral. Diante dessa perspectiva, Zacharias(2007), ressalta que para Bruner uma criança pode aprender qualquer assuntoindependentemente da fase em que ela se encontra, mas para isso, é necessário que o docenteuse uma metodologia adequada à sua fase de desenvolvimento. Nesta perspectiva, entendemos assim como Bock et al (1994), que essas teorias podemauxiliar o docente em suas tarefas de planejamento, organização e prática do ensino. Todavia,acreditamos que ao mesmo tempo, é essencial para o educador conhecer a realidade doeducando, pois analisar as características sociais, econômicas e culturais do discente é tãoimportante quanto o conhecimento teórico. Diante do exposto, podemos observar que essas tendências teóricas apontam sugestõespertinentes ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, cabe ao docente analisar a situaçãoreal do seu educando e a partir daí, buscar alternativas metodológicas semelhantes àsmencionadas, que possam atender às suas necessidade dentro da sala de aula.
  43. 43. CAPÍTULO 4: OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO PNLD Após a promulgação da Constituição Federal de 1988, houve a necessidade da criaçãode um Plano Decenal de Educação que atendesse aos interesses sociais e econômicos de nossopaís diante da nova conjuntura mundial. Deste modo, em 20 de dezembro de 1996, aprovou-sea Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB, Lei n.º 9394/96, a qual passou adeterminar os novos rumos da educação brasileira. A explicitação do Plano Decenal ficaevidente no Artigo 87, da Lei 9394/96, quando institui a “Década da Educação”. Com isso, deacordo com a atual LDB: A União, no prazo de um ano a partir da publicação desta Lei, encaminhará, ao Congresso Nacional, o Plano Nacional de Educação, com diretrizes e metas para os dez anos seguintes, em sintonia com a Declaração Mundial sobre Educação para Todos. Nesta LDB, ficou estabelecido como dever da União, em parceria com os Estados,Distrito Federal e Municípios, nortear as diretrizes visando currículos e conteúdos mínimosque atendam a formação básica comum em todo território brasileiro. Procurando atender as exigências da LDB, o Ministério da Educação, Cultura eDesporto – MEC, apresenta os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, com propósito deorientar docentes e instituições de ensino a melhorar o ensino público e privado do nosso país.Na Introdução aos PCN de 5.ª a 8.ª séries (BRASIL, 1998, p. 6), os PCN enfatizam que: [...] foram elaborados procurando, de um lado respeitar diversidades regionais, culturais, políticas existentes no país e, do outro, considerar a necessidade de construir referências nacionais comuns ao processo educativo em todas as regiões brasileiras. Visando garantir as propostas estabelecidas na LDB e nos PCN, o Ministério daEducação, Cultura e Desporto, desenvolve nova proposta para o Programa Nacional do LivroDidático – PNLD, o qual estabelece as normas gerais que devem ser seguidas pela editoras a
  44. 44. fim de contemplar os conteúdos a serem inseridos nas bases curriculares comuns da EducaçãoBásica do Brasil. Para isso, o MEC passou a distribuir a partir de 1998, o Guia de Livros Didáticos paratoda escola pública do país. Nestes Guias estão as obras que atenderam às exigências doPNLD, com suas respectivas resenhas feitas pelos pareceristas seguindo critériosestabelecidos pelo MEC. A escolha dos livros didáticos pode ser feita mediante análise doGuia de Livros Didáticos e/ou através das obras apresentadas pelas editoras nas escolas. Paraque isso ocorra, porém, o PNLD salienta que a escolha deve ser feita preferencialmente poráreas específicas, onde professores, coordenadores, diretores e/ou SecretariasEstaduais/Municipais de Educação observem quais obras estejam mais adequadas à realidadede sua região. Os livros didáticos escolhidos pelas escolas podem ser usados durante três anosconsecutivos, sendo que para o ano seguinte, uma nova escolha deve ser realizada peranteconsulta ao Guia fornecidos pelo MEC. Depois da LDB 9394/96, já aconteceram quatro escolhas de livros didáticos para asséries finais do Ensino Fundamental em 1999, 2002, 2005 e 2008. No presente ano, as escolaspúblicas brasileiras tiveram como data limite para escolha de livros para os próximos anos, odia 13 de julho. Contudo, se uma escola deixou de realizar tal escolha, o MEC envia as obrasmais solicitadas na região. (BRASIL, 2007). Em relação à escolha dos livros didáticos de Matemática para o terceiro e quarto ciclosdo Ensino Fundamental, antiga 5.ª a 8.ª séries, é importante ressaltar alguns dados geraissobre as coleções aprovadas ou reprovadas pelo PNLD, conforme tabela abaixo.
  45. 45. TABELA 1: Valores Referentes a Aprovação ou Reprovação do Livro Didático no Parecer Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008 NÚMEROS DE OBRAS INSCRITAS NO PNLD POR ANO SITUAÇÃO 1999 2002 2005 2008 AVALIADOS 72 68 116 112 APROVADOS 38 52 92 64 NÃO APROVADOS 34 16 24 48 Fonte: Guia de Livros Didáticos 2008 – PNLD Nota-se nesta tabela, um grande número de obras reprovadas pelo PNLD referentes aprimeira e a última das avaliações realizadas – 1999 e 2008 – e uma maior aceitação dasobras nos anos de 2002 e 2005. No gráfico seguinte, podemos verificar melhor os percentuais de rejeição das obrasapresentadas em relação ao número total por ano. GRÁFICO 1: Valores Percentuais Referentes a Reprovação do Livro Didático no Parecer Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008
  46. 46. 50 47,2% 42,8% 45 40 35 30 23,7% 25 20,6% 20 15 10 5 0 1999 2002 2005 2008 Fonte: Guia de Livros Didáticos 2008 – PNLD De acordo com o Guia de Livros Didáticos 2008 (BRASIL, 2007), a queda ocorrida de1999 a 2005 foi revertida de 2005 para 2008. Essa mudança ocorreu em virtude de umapreocupação maior na qualidade das obras, pois o PNLD vem procurando melhoria naestrutura dos conteúdos e nas metodologias adotadas. Nesta perspectiva, o PNLD 2008,destaca que a classificação dos conteúdos deve estar em consonância com as propostascurriculares vigentes. Por isso, o programa contempla os conteúdos de Matemática visandoum equilíbrio entre os cinco campos: Números e Operações, Álgebra, Geometria, Grandezas eMedidas e Tratamento da Informação. Para tanto, o PNLD passou a determinar os tópicosmatemáticos mais adequados para cada série do 3.º e 4.º ciclos do Ensino Fundamental. Noentanto, o próprio Guia destaca que nem sempre há unanimidade na escolha dos tópicos, porparte dos parecetistas, pois as Grandezas – comprimento, área, volume e a medida de ângulo –foram incluídos no campo das Grandezas e Medidas e não no campo da Geométrica. Diante desta perspectiva, o PNLD de 2008 (BRASIL, 2007) procurou traçar um perfildos campos matemáticos de forma quantitativa, onde este segue as tendências apresentadas
  47. 47. nas edições anteriores do Guia e que também estiveram em razoável sintonia com as propostados currículos vigentes e discutidos pelo movimento de Educação Matemática. TABELA 2: Valores Percentuais Referentes ao Conteúdo Matemático Desejável no Livro Didático de Acordo Com o Parecer Avaliativo do MEC para 2008 PERFIL DESEJÁVEL DE SELEÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS (%) SÉRIES 5ª 6ª 7ª 8ª Números e Operações 40% 30% 20% 15% Álgebra 10 % 20% 30% 30% Geometria 20 % 20% 25% 30% Grandezas e Medidas 20% 20% 15% 15% Tratamento da Informação 10% 10% 10% 10% Fonte: Guia de Livros Didáticos 2008 – PNLD De acordo com a tabela, o PNLD enfatiza que os Números e Operações devem serreduzidos gradativamente, enquanto os campos referentes a Álgebra e a Geometria devemaumentar paulatinamente nas séries seguintes. Já os dados referentes ao Tratamento deInformação devem permanecer estáveis em todas as séries. Se analisarmos detalhadamente perceberemos que os conteúdos referentes asGrandezas (comprimento, áreas, volume e medida de ângulos) estão inclusos em Geometria.Isto significa que teremos uma percentual maior que 25% de conteúdos geométricos no 3.ºciclo (5.ª e 6.ª séries) e uma percentual superior a 30% para o 4.º ciclo (7.ª e 8.ª séries). De
  48. 48. maneira geral, seguindo esta vertente, nota-se que o campo Geométrico deve ocupar mais de25% da totalidade dos conteúdos das séries finais do Ensino Fundamental. Isto significa que aGeometria é apresentada, nesta proposta, como um dos campos mais importantes daMatemática, pois deve assumir praticamente um dos maiores percentuais durante as sériesfinais do Ensino Fundamental.4.1 ASPECTOS METODOLÓGICOS DOS LIVROS DIDÁTICOS NO PNDL Além desse perfil apresentado anteriormente, para os conteúdos de Matemática de 5.ªa 8.ª séries, o PNLD destaca também no Guia de Livros Didáticos de 2005 (BRASIL, 2004)que as obras, nele selecionadas, seguem várias tendências metodológicas e, por isso, cabe aodocente e ao demais responsáveis pela escolha, encontrar a que mais se identifica com aspropostas metodológicas de seu projeto escolar e/ou a realidade de seus alunos. Diante dessa perspectiva, o MEC enfatiza que nesse período escolar o educando tendea apresentar maior cristalização e ampliação dos conhecimentos adquiridos nas séries iniciaisdo Ensino Fundamental – 1.º e 2.º ciclos. Este desenvolvimento faz com que o discenteadquira uma maturação mais consistente de situações-problemas mais complexas. De acordocom o próprio Guia de Livros Didático de 2005 (BRASIL, 2004, p. 199), “é nesse períodoque começa, para o aluno, a explicitação da estruturação da Matemática”. Portanto, verifica-sea existência de uma correlação entre a perspectiva apresentada pelo MEC e as fases dasoperações concretas e formais apresentadas na teoria de Jean Piaget. Ao passo que essas relações vão se desenvolvendo, o PNLD destaca que asmetodologias aplicadas nas obras devem, também, proporcionar ao educando alternativas que
  49. 49. facilitem o processo de ensino-aprendizagem, onde devem se levar em conta osconhecimentos prévios dos discentes – pontos de ancoragem. Com isso, o MEC estabeleceque as obras devem criar estratégias que mobilizem várias competências cognitivas para como educando, tais como: saber observar, compreender, argumentar logicamente, organizar,analisar, sistematizar, comunicar, planejar, etc. É importante ressaltar também, que o PNLDexige que as obras devem contribuir para o desenvolvimento social, político e econômico doeducando, onde os valores éticos e morais devem ser promovidos possibilitando um convíviosocial mais harmonioso.4.2 A GEOMETRIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA PARA O PNLD Na Introdução aos PCN de Matemática de 5.ª a 8.ª séries (BRASIL, 1998), considera-se que a Matemática é uma área do conhecimento humano que está sempre presente emnossas vidas e, que esta foi desenvolvida para satisfazer determinadas necessidades dediferentes grupos sociais, em tempos históricos diferentes e, por isso, deve ser levado emconta a sua importância dentro da nova conjuntura social, política e econômica do mundocontemporâneo. Para o PNLD de 2008 o campo geométrico, tem finalidade de despertar no educando acapacidade de saber reconhecer os objetos no espaço de tal maneira que ele seja capaz de seorientar no ambiente onde vive. Por isso, o programa propõe que os temas, devem incentivar acuriosidade visual do educando. Essa proposta torna-se mais evidente quando, no Guia deLivros Didáticos de 2008 (BRASIL, 2007, p. 44) é enfatizado que a “capacidade de visualizaré fundamental na geometria, tanto no sentido de captar e interpretar as informações visuais,
  50. 50. como no de expressar as imagens mentais por meio de representações, gráficas ou não”. Parao Programa, a visualização desperta no discente uma importância tanto no sentido de captar einterpretar as informações visuais, quanto no desenvolvimento do conhecimento cognitivo deexpressar as imagens através de representações gráficas ou através da abstração. Para RosaNeto (2002, p. 136), De toda a cultura humana, talvez as duas áreas mais utilizadas no cotidiano sejam a linguagem e a geometria. Não passamos um dia sem elas e, desse modo, estamos muito acostumados com relações geométricas como paralelismo, perpendicularidade, concordância, simetrias, retângulos [...]. Nesse contexto, o PNLD espera que as atividades referentes a Geometria devem sercentrada numa perspectiva que estimule os desenhos onde são utilizados instrumentos e/ouconstruções de objetos geométricos, tais como: maquetes, recortes, planificações, dobraduras,etc. Deste modo, acreditamos assim como o Programa, que o discente seja capaz de observaros objetos do mundo físico que o cerca e ao mesmo tempo será capaz de compreender novosconceitos referentes às propriedades e classificações pertinentes aos conhecimentosmatemáticos. No entanto, o Guia de Livros Didáticos de 2008 (BRASIL, 2007, p. 45) enfatiza que: Na maioria das obras ainda persiste uma atenção exagerada às classificações e à nomenclatura. Essa limitação se revela, de forma clara, no estudo dos ângulos formados por uma transversal, em que se despende tempo excessivo em atribuir inutilmente nomes aos vários tipos de ângulos. Nota-se também, que em uma das edições anteriores, os pareceristas dos Guias deLivros Didáticos já faziam críticas a esse respeito. No Guia de Livros Didáticos de 2002(BRASIL, 2001, p. 149) afirmam que: O tratamento da Geometria tem sido estereotipado, privilegiando nomenclatura e a apresentação de formas canônicas. As sistematizações são inadequadas, pois partem dos conceitos de ponto, reta e plano, sem se preocupar com a exploração de conceitos e de propriedades geométricas.
  51. 51. Diante das análises feitas acerca dos aspectos históricos da Geometria, do ensino daMatemática nos Sistemas de Ensino nacional e mundial, das tendências psicológicascontemporâneas e das propostas apresentas no Plano Decenal de Educação para o país,especificamente, para o ensino da Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, ondeos conteúdos e os processos de ensino-aprendizagem de Matemática ficam estabelecidos noPNLD, resolvemos desenvolver nosso trabalho monográfico a fim de verificar, através deestudo de pesquisa e dados, como uma escola pública municipal de nossa região estáacompanhando as novas propostas estabelecidas para o ensino da Matemática no terceiro equarto ciclos do Ensino Fundamental diante da proposta apresentada para o Plano Nacional deEducação. Para isso, procuramos analisar no município de Cansanção/BA, cuja localizaçãogeográfica encontra-se no nordeste do estado, a Escola Educandário Senhora Santana.
  52. 52. CAPÍTULO 5: A PESQUISA NO EDUCANDÁRIO SENHORASANTANA A Geometria é uma das áreas do conhecimento humano, mais utilizadas em nossocotidiano. Conforme gráficos e discussões apresentados nos Guias de Livros Didáticos PNLD(BRASIL, 1998, 2001, 2004 e 2007), a Geometria é um dos campos da Matemática queapresenta os maiores percentuais de conteúdos para o terceiro e quarto ciclos do EnsinoFundamental. Entretanto, a realidade encontrada nas escolas é bastante diferente destaapresentada pelos Guias. Esta divergência nos fez refletir acerca do que acontece no interiordas escolas e/ou no planejamento dos professores, e nos impulsiona a realizar esta pesquisa.Neste sentido, procuramos, numa abordagem qualitativa dentro de um estudo de caso, analisara importância que é dada para os conteúdos de Geometria nas séries finais do EnsinoFundamental na Escola Educandário Senhora Santana. Para Baraldi (1999, p. 17), a pesquisa educacional representa “uma ocasiãoprivilegiada que reúne pensamento e ação na elaboração dos conhecimentos sobre os aspectosda realidade. Essa pesquisa pode ser abordada de forma analítica (empírica ou quantitativa) oude forma qualitativa”. Assim, de acordo com Bogdan e Biklen (apud LUDKE, 1986, p.13), “apesquisa qualitativa ou naturalista envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contatodireto do pesquisador com a situação, enfatiza mais o processo do que o produto e sepreocupa em retratar a perspectiva dos participantes”. Já o estudo de caso, em conformidade com Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 110), [...] busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível, enfatizando a interpretação ou a análise do objeto, no contexto em que ele se encontra, mas não permite a manipulação das variáveis e não favorece a generalização. Por isso, o estudo de caso tende a seguir uma abordagem qualitativa.
  53. 53. Ao enfocarmos uma abordagem qualitativa, concordamos com Fiorentini e Lorenzato(2006, p. 110) que isto “não significa abandonar algumas quantificações necessárias”, porquede certo modo estas “podem ajudar a quantificar melhor uma análise”. Para a realização da pesquisa, escolhemos no município de Cansanção, onde resido etrabalho, uma escola pública de Ensino Fundamental municipalizada. O município de Cansanção, conforme mapa abaixo, localiza-se na região nordeste doestado da Bahia e tem uma área total de 1.317 km², densidade demográfica de 24,2 hab/km² ealtitude 400 m. A sede do município dista de Salvador, capital do estado, aproximadamente350 km e esta ainda, a 110 km do município de Senhor do Bonfim, onde se localiza o CampusVII da Universidade do Estado da Bahia – UNEB, ao qual pertenço na qualidade de estudantede graduação em Licenciatura em Ciências com Habilitação em Matemática. O municípiopossui uma população estimada em 32 mil habitantes, sendo que aproximadamente 10 milhabitantes estão presentes na zona urbana. (BAHIA, 2007). FIGURA 7: Mapa da Região de Senhor do Bonfim/BA
  54. 54. Fonte: http://www.derba.ba.gov.br/db_map_senhordobonfim.htm Conforme dados fornecidos pela Secretaria Municipal de Educação de Cansanção/BA– SEMEC), a cidade conta neste ano, com 97 escolas municipais, 3 escolas estaduais e 2escolas particulares. Das 97 escolas municipais, distribuídas na sede e distritos, apenas 9funcionam com o Ensino Fundamental (1.ª à 8.ª séries). Destas nove escolas pertencentes aomunicípio escolhemos a maior delas em questões de matrícula, para nossos estudos – a EscolaEducandário Senhora Santana. A Escola Educandário Senhora Santana, é uma instituição pública situada na AvenidaMonte Santo, n.º 109, no centro da cidade. Esta unidade escolar dispõe de uma estrutura físicaconsiderável, pois apresenta uma área de aproximadamente 5 mil metros quadrados, ondepodemos encontrar vinte e uma salas de aula bem arejadas, sala de TV e vídeo, biblioteca,quatorze banheiros, almoxarifado, guarita, sala exclusiva para planejamento de aulas, quadrapoliesportiva, sala para secretaria e outra para diretoria. Além disso, dispõe ainda de uma áreainterna espaçosa com plantas ao redor. O funcionamento da Escola ocorre durante os trêsperíodos, sendo que neste ano, o turno matutino ocupa 21 salas de aula, o turno vespertino 14
  55. 55. e o período noturno, apenas 4 salas. O corpo administrativo é representado por uma diretora,um vice-diretor, uma secretária, 10 auxiliares de secretaria, 15 faxineiras, 8 merendeiras, 6vigilantes e 38 docentes, sendo que destes oito trabalham com matemática nas séries finais doEnsino Fundamental. O número de alunos matriculados no corrente ano é de 1.092, sendo quedestes, 691 estão matriculados nas séries finais do Ensino Fundamental, ou seja, nas 5.ª a 8.ªséries. De acordo com a direção, a Escola apresenta um Projeto Político Pedagógico emformação. Quanto aos recursos didáticos pedagógicos, a Escola dispõe de TV, DVD, retro-projetor, mimeógrafo, livros didáticos, biblioteca com acervo razoável e quadro de giz emtodas as salas. Tomamos então, como objeto de estudos os professores da Escola EducandárioSenhora Santana que trabalham com o ensino de Matemática no terceiro e quarto ciclos doEnsino Fundamental. Para tanto, utilizamos além de fonte bibliográfica, questionários comperguntas objetivas e semi-objetivas e os respectivos planos de aulas destes professores.5.1 DESCREVENDO A PESQUISA A pesquisa foi realizada no mês de agosto do presente ano e contou com a participaçãode todos os oito professores de Matemática das séries finais do Ensino Fundamental da EscolaEducandário Senhora Santana. Deste modo, aplicamos um questionário contendo setequestões, sendo cinco objetivas e duas semi-objetivas, o qual foi respondido integralmente portodos os professores. Além do questionário, pudemos contar também com o plano de aularelativo ao primeiro semestre destes professores, o que corresponde a I e II unidades do atualano letivo.
  56. 56. Na explicitação e análise dos questionários e planas de aulas, manteremos os nomesdos entrevistados no anonimato, pois o pesquisador, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.199), “ao relatar os resultados de sua pesquisa, precisa também preservar a integridade física ea imagem dos informantes”. No questionário, levantamos questões que levam em consideração algumas variáveisque consideramos de importantes para o nosso tema. Dentre elas, destacam-se o nível deescolaridade dos docentes; a quantidade de tempo que lecionam e especificamente aquantidade de tempo que lecionam conteúdos de Matemática de 5.ª a 8.ª séries; a participaçãoou não, na escolha dos livros didáticos da Escola; o acesso ou não, ao Guia de LivrosDidáticos oferecido pelo MEC; a inclusão ou não, de tópicos de Geometria em seusplanejamentos de aula e a respectivo justificativa para tal opção; e finalmente, se estesprofessores observam ou não, a utilidade dos conhecimentos da Geometria em nossas vidas. Os resultados desses dados estão descritos nos parágrafos seguintes, acompanhadosem muitos deles de informações gráficas para uma melhor visualização e/ou compreensão. Com relação ao nível de escolaridade, dos docentes de Matemática das séries finais doEnsino Fundamental, constatamos que cinco professores têm nível superior incompleto, sendoquatro graduandos de Licenciatura em Matemática e um de Letras Vernáculas. Constatamostambém que dois professores têm somente o nível médio. E finalmente, constatamos queapenas um professor tem o ensino superior completo de Licenciatura em Matemática. Essesdados estão representados em percentuais no gráfico de coluna a seguir.GRÁFICO 2: Nível de escolaridade dos docentes de Matemática das séries finais doEnsino Fundamental da Escola Educandário Senhora Santana (%)
  57. 57. 70 62,5% 60 50 40 25% 30 20 12,5% 10 0 médio superior superior incompleto Nota-se que a maioria dos docentes de Matemática, desta Escola, estão preocupadosem atender às exigências da LDB Lei n.º 9.394/96, quando em seu Artigo 87, Parágrafo 4.º,enfatiza sobre a necessidade da formação do docente. Quanto a análise da variável referente ao tempo de ensino de cada professor, observa-se que o professor com menos experiência no ensino de Matemática tem 6 anos de docência,enquanto que o mais experiente possui 14 anos de regência. Ao mesmo tempo verificamosque no ensino da Matemática, especificamente, há uma redução, pois o que apresenta maistempo de sala de aula tem 12 anos e o que tem menos tempo possui apenas 2 anos deregência. Em outra variável, a da participação do professor na escolha do livro didático,constata-se que dentre os 8 profissionais: um nunca participou desta escolha, doisparticiparam nos anos de 2002 e 2005, um participou da escolha nos anos de 1999, 2002 e2005, um participou de todas e, a maioria – cinco – participaram apenas da escolha do livrodidático que será odotado para o ano de 2008. No gráfico a seguir, podemos verificar opercentual de participação dos docentes nesta escolha.

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