Funciones cuadraticas

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Funciones cuadraticas

  1. 1. Funciones Cuadráticas Décimo GradoPor: Prof. Edison Burgos Prof. José Torres
  2. 2. Objetivos: 2 1. Definir una función cuadrática. 2. Expresar una función cuadrática en su forma estándar o canónica. 3. Encontrar el vértice de una parábola dada la ecuación. 4. Encontrar el eje de simetría de una parábola. 5. Encontrar la ecuación de una parábola usando la gráfica o puntos.
  3. 3. 3 Definición: Una función de la forma donde a , b , c son números reales y se llama función cuadrática. cbxaxxf 2 )( 0a
  4. 4. Ejemplos de funciones cuadráticas: 4 2 2 2 2 2 1. ( ) 4 2. ( ) 3 4 2 3. ( ) 4 4. ( ) 5 5. ( ) 2 4 6 f x x g x x x h x x x j x x k x x x
  5. 5. 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Vértice Eje de simetría (h , k) 2 b x a
  6. 6. Observaciones: 6 1. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. 2. La parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo del coeficiente principal, a. a. Si a es negativo abre hacia abajo. b. Si a es positivo abre hacia arriba. 3. El vértice de la parábola está determinado por la traslación horizontal y por la traslación vertical de la función cuadrática básica.
  7. 7. 7 4. El dominio es en conjunto de todos los números reales, R . 5. El alcance de la función depende del vértice y del valor de a; a. Si a es negativo abre hacia abajo y a. Si a es positivo abre hacia arriba y 2 4 , 4 ac b A a 2 4 , 4 ac b A a
  8. 8. Ilustración: 8 La parábola abre hacia arriba si , “es positivo’’.0a cbxaxxf 2 )( -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
  9. 9. 9 La parábola abrirá hacia abajo si , “es negativo’’.0a cbxaxxf 2 )( -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
  10. 10. Ejemplos: Determine hacia dónde abre la gráfica de cada función. 10 2 1. ( ) 2 3f x x x 2aqueObserve abreparábolaLa arriba.hacia -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
  11. 11. 11 2 2. ( ) 5 2f x x x queObserve abreparábolaLa abajo.hacia 1a -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
  12. 12. 12 21 3. ( ) 4 2 f x x queObserve 2 1 a abreparábolaLa arriba.hacia -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
  13. 13. 13 Expresa las siguientes funciones en forma estándar o canónica , encuentra el vértice, el eje de simetría, determina si el vértice es un máximo o un mínimo y traza la gráfica. Ejemplos: Recordar: Para expresar una función cuadrática en forma estándar usamos la técnica de completar el cuadrado.
  14. 14. 14 1263 2 xxy 1263 2 xxy 1223 2 xxy 2 2 2 1 1 1 312123 2 xxy 9113 xxy 913 2 xy 1. Escribe la función en la forma estandar, encuentra el vértice y traza la gráfica.
  15. 15. 1, 9 1x 15 -30 -20 -10 10 20 30 -30 -20 -10 10 20 30 -30 -20 -10 10 20 30 -30 -20 -10 10 20 30 (2,-12)(0,-12) 913 2 xy Vértice Eje de simetría Dominio D R , 9A Alcance
  16. 16. 16 2 2. 6 7y x x 2 26 9 9 9 23 2 xy 762 xxy
  17. 17. 17 Tenemos que 1.a El vértice es 3, 2 y es un punto mínimo absoluto. 23 2 xy El eje de simetría es 3 .x
  18. 18. 18 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 23 2 xy a. Traslación horizontal de tres unidades hacia la derecha. b. Traslación vertical de dos unidades hacia la abajo. Vértice 3, 2 Eje de simetría Dominio D R 2,A 3x Alcance
  19. 19. 19 2 3. ( ) 2 3f x x x 2 1 2 3 2 f x x x 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 16 1 1 1 16 16 2 1 1 1 2 3 2 16 8 f x x x 2 1 ( ) 2 3 2 f x x x
  20. 20. 20 2 1 1 1 2 3 2 16 8 f x x x 2 1 25 2 4 8 f x x Tenemos que 2.a 1 25 El vértice es , y es un punto mínimo 4 8 absoluto. 1 El eje de simetría es . 4 x
  21. 21. 21 a. Estiramiento vertical de dos unidades. b. Traslación horizontal de un cuarto de unidades hacia la derecha. c. Traslación vertical de veinticinco octavos de unidades hacia la abajo. 2 1 25 2 4 8 f x x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6Vértice 1 25 , 4 8 Eje de simetría 28 , 8 A 1 4 x Alcance
  22. 22. 1. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene como vértice al punto (-2, 3) y pasa por el punto (1,5). 22 Solución: khxay 2 :queTenemos 2h 3k 2 2 3y a x Ejemplos:
  23. 23. 23 2 2 3y a x porpasaparábolalaComo el punto 1, 5 ,sustituyendo tenemos, 2 5 1 2 3a 2 5 3 3a 5 9 3a 2 9a
  24. 24. 24 32 2 xayComo 32 9 2 2 xy 2 9 a
  25. 25. 2. Encuentra la ecuación de la siguiente parábola. 25 Forma estándar: khxay 2 2 3 4y a x 2 1 0 3 4a 1 9 4a 3 9a -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 (0, -9) 4,3 0, 1
  26. 26. 26 3 1 9 3 a 3 9a 21 3 4 3 y x 43 2 xayComo
  27. 27. 27 3. Usa la forma alterna (dividiendo por a ) para escribir la función en la forma estandar, encuentra el vértice y traza la gráfica. 2 ( ) 3 6 12f x x x 1263 2 xxy 3 12 3 6 3 3 3 2 xx y 42 3 2 xx y
  28. 28. 28 42 3 2 xx y 2 2 2 1 xx y 24 3 2 xx y 24 3 2 1 1 113 3 xx y
  29. 29. 29 113 3 xx y 2 13 3 x y 31 3 2 x y
  30. 30. 30 31 3 2 x y 3313 2 xy 913 2 xy :queTenemos 3a :esVértice 9,1 Punto Máximo Absoluto simetríadeejeeles1x
  31. 31. 31 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14-24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 (0, -9) (0, -12) (1 -12) 913 2 xy
  32. 32. 4. Encuentra el vértice, los ceros, los interceptos, el dominio y el campo de valores de la función. 32 6)( 2 xxxf 62 xxy 4 1 4 1 4 25 2 1 2 xy Vértice 4 25 , 2 1 AbsolutoMínimo Dominio R Alcance , 4 25
  33. 33. 33 :Ceros 6)( 2 xxxf 062 xx 023 xx 23 xyx :enIntercepto y 600 2 y 6y 6,0 Intercepto en :x 0,2,0,3
  34. 34. 34 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 (-2, 0) (3, 0) (0, -6)
  35. 35. 35 Ejercicios: 1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. 2 1. ( ) 6f x x x Solución 2 2. ( ) 2 15f x x x 2 3. ( ) 2 6 2f x x x 2 4. ( ) 6f x x x Solución Solución Solución
  36. 36. 36 El vértice 4 25 , 2 1 Campo de Valores 25 , 4 6)( 2 xxxf 1 1 2 2 2 b x a Dominio R 2 1 1 1 6 2 2 2 f 1 25 2 4 f 1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. Traza la gráfica. Ejercicios
  37. 37. 37 6)( 2 xxxf 062 xx 023 xx 23 xyx :enIntercepto y 600 2 y 6y 6,0 Ejercicios Ceros de la función
  38. 38. 38 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y Vértice 4 25 , 2 1 3, 2 Ceros Intercepto en y 6,0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 6)( 2 xxxf Ejercicios
  39. 39. 39 El vértice : 1, 16 Campo de Valores 16, 2 1 2 2 b x a Dominio R 2 1 1 2 1 15f 1 16f 2. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. 2 ( ) 2 15f x x x Ejercicios
  40. 40. 40 2 ( ) 2 15f x x x 2 2 15 0x x 5 3 0x x 5 3x y x :enIntercepto y 2 0 2 0 15y 15y 0, 15 Ejercicios Ceros de la función
  41. 41. 41 El vértice : 1, 16 5, 3 Ceros Intercepto en y 0, 15 -30 -20 -10 10 20 30 -30 -20 -10 10 20 30 x y 2 ( ) 2 15f x x x Ejercicios
  42. 42. 42 El vértice 3 , 6.5 2 Campo de Valores ,6.5 6 3 2 2 2 2 b x a Dominio R 2 3 3 3 2 6 2 2 2 2 f 3 13 6.5 2 2 f 3. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. Traza la gráfica. 2 ( ) 2 6 2f x x x
  43. 43. 43 2 2 6 2 0x x 2 2 3 1 0x x 3 13 3 13 2 2 x y x :enIntercepto y 2 2 0 6 0 2y 2y 0, 2 Ejercicios Ceros de la función 2 ( ) 2 6 2f x x x
  44. 44. 44 El vértice : 3 13 3 13 , 2 2 Ceros Intercepto en y 0, 2 3 , 6.5 2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ( ) 2 6 2f x x x Ejercicios
  45. 45. 45 El vértice 1 , 5.75 2 Campo de Valores , 5.75 1 1 2 2 1 2 b x a Dominio R 2 1 1 1 6 2 2 2 f 1 23 5.75 2 4 f 4. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. Traza la gráfica. 2 ( ) 6f x x x Ejercicios
  46. 46. 46 2 6 0x x 2 6 0x x 1 23 2 i x :enIntercepto y 2 0 0 6y 6y 0, 6 Ejercicios Ceros de la función 2 ( ) 6f x x x
  47. 47. 47 El vértice : No tiene ceros reales Ceros Intercepto en y 1 , 5.75 2 0, 6 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 Ejercicios

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