11       Estat´             ıstica Descritiva.1 Identifique cada uma das vari´veis seguintes como quantitativa, qualitativa...
1      2     4    4      7          1 7         7     6   1               3      3     2    4      5          2 6         ...
Considere os seguintes intervalos para as realiza¸˜es da vari´vel Altura                                                  ...
a) Estudo marginal da vari´vel Cintura: considere os seguintes                                      a         intervalos p...
b) Verifique a instabilidade da mediana neste caso supondo a entrada          ao grupo de mais uma pessoa nas duas situa¸oe...
2    Probabilidade1 Uma moeda e um dado s˜o lan¸ados. Dˆ um espa¸o amostral do experi-                         a      c   ...
v) pelo menos dois deles ocorrem;      vi) exatamente um deles ocorre;     vii) exatamente dois deles ocorrem;     viii) n...
9 Um dado equilibrado ´ lan¸ado duas vezes. Descreva o espa¸o amostral                       e     c                      ...
3    Probabilidade Condicional, Independˆncia                                        e     e Teorema de Bayes1 Uma pessoa ...
f) apresente formalmente as distribui¸oes de sexo, sexo/S , sexo/C ,                                            c˜        ...
6 Verifique cuidadosamente as demonstra¸oes dos 3 resultados seguintes e                                        c˜     obse...
7 30% dos usu´rios de uma biblioteca universit´ria s˜o alunos da gradua¸˜o,              a                               a...
a) Ache uma f´rmula para a probabilidade da seq¨ˆncia (cara, coroa,                    o                                 u...
e) probabilidade de um fumante ser homem.15 30% dos empregados de uma empresa s˜o mulheres e o restante homens;           ...
19 Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refei¸oes: sala-                                                 ...
4    Vari´veis aleat´rias discretas         a          o1 A seguir aparece um estudo sobre o n´mero de filhos dos 20 funcio...
4 Seja X uma vari´vel discreta assumindo um n´mero finito de valores e                  a                           u     h...
Calcule a fun¸ao de probabilidade da vari´vel cuja f.d.a. ´ F (·). Cal-                  c˜                          a    ...
5    Distribui¸˜o Binomial              ca1 Joga-se uma moeda 3 vezes e observa-se a sequˆncia de caras e coroas          ...
a) Qual ´ a distribui¸ao da vari´vel ‘nota’ nestas condi¸oes? Veja                e           c˜         a                ...
7 Um comerciante deseja comprar um lote de 200 mesas a uma f´brica. O                                                     ...
6    Modelos discretos1 Discuta a validade do modelo Uniforme Discreto nos seguintes casos:     a)A escolha de um aluno qu...
b)Pelo menos dois n˜o serem curados?.                        a     c)Ao menos 10 ficarem livres da doen¸a?.                ...
a probabilidade de:     a)Encontrarmos pelo menos 1 defeito.     b)No m´ximo 2 defeitos serem encontrados.            a   ...
d) a urna tem 48V e 72B, extra¸˜o sem reposi¸ao (resposta: 934360/2646917                                   ca            ...
20 Entre as 14:00 e 17:00 horas de um dia util passam por um ped´gio em                                          ´        ...
7    Modelos cont´                 ınuos1 Seja X a v.a. cont´                    ınua cuja densidade de probabilidade ´   ...
5 Seja X uma v.a. cuja fun¸˜o de distribui¸ao acumulada ´ dada por:                          ca              c˜           ...
(Dica: chame de F a fun¸ao de dist. acumulada de X e de                       `    c˜                                     ...
213 Seja X ⇠ N ormal(µ,       ). Calcule as probabilidades dos seguintes inter-     valos:     {µ    < X < µ + }, {µ      ...
8    Aproxima¸˜o Binomial-Normal e               ca     Intervalos de Confian¸a para propor¸˜es                         c  ...
PN (p⇤  1.5/19), PN (p⇤  2/19), PN (p⇤  2.5/19). Qual destes valores     representa melhor o verdadeiro valor P (p⇤  2...
9    Teste de hip´teses para propor¸oes                 o                 c˜1 Os dados correspondem a uma distribui¸ao Bin...
5 Numa amostra aleat´ria de visitantes de um museu, 22 de 100 fam´                     o                                  ...
10     Estima¸˜o por Intervalo             ca       para popula¸˜es Normais                  co1 Considere a seguinte amos...
11     Teste de hip´teses                   o       para popula¸˜es Normais                   co1 Denotemos por µ a verdad...
pe¸as observando-se uma m´dia amostral de 41.3 com um desvio            c                        e          padr˜o amostra...
µA necess´rio para atingir o grau de brilho desejado e suponhamos que              a     m ´ a m´dia de uma popula¸˜o norm...
10 Um experimento para comparar a resistˆncia de coes˜o ` tens˜o do                                               e       ...
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  1. 1. 11 Estat´ ıstica Descritiva.1 Identifique cada uma das vari´veis seguintes como quantitativa, qualitativa a e como cont´ınua, discreta, nominal, ordinal. a) A concentra¸ao de impurezas em uma amostra de leite, em mg c˜ por litro. b) A procedˆncia de cada candidato ao vestibular da Unicamp em e certo ano. c) O tempo de rea¸ao de um indiv´ c˜ ıduo ap´s submetido a certo est´ o ımulo. d) A resposta de um indiv´ a ´ ıduo a quest˜o:“E natural que pessoas de ` uma determinada ra¸a queiram viver longe de pessoas de outras c ra¸as.” c i concordo plenamente ii concordo iii indeciso iv discordo v discordo plenamente e) O n´mero de moradores em cada residˆncia de uma cidade. u e f) A temperatura de certa regi˜o, em determinada ´poca do ano. a e g) A produ¸ao por hectare de determinado tipo de gr˜o. c˜ a2 Em um estudo sobre contus˜es causadas durante a pr´tica de esportes, 25 o a escolas de um estado brasileiro foram selecionadas, ao acaso, e entrevis- tadas. Foram coletados os dados abaixo, sobre o n´mero de contus˜es u o classificadas como graves em atletas do sexo masculino para duas mo- dalidades de esporte. 1 Lista de exerc´ ıcios sele¸˜o feita pela profa. Ver´nica Gonz´lez-L´pez, com a ca o a ocontribui¸˜o do prof. Mario Gneri, M´rcio Lanfredi Viola e Diego Bernardini - ca aIMECC Unicamp . 1
  2. 2. 1 2 4 4 7 1 7 7 6 1 3 3 2 4 5 2 6 1 7 2 Basquete: 2 4 3 5 3 Futebol: 1 3 2 7 5 2 4 3 6 5 6 1 7 4 1 5 6 4 6 5 5 7 6 3 2 a) Construa uma distribui¸ao de frequˆncias para as 50 observa¸oes. c˜ e c˜ b) Construa uma distribui¸ao de frequˆncias para cada modalidade. c˜ e c) Represente graficamente cada uma das distribui¸˜es. co d) Comente os resultados.3 Os dados abaixo referem-se a dureza de 30 pe¸as de alum´ c ınio 53.0 70.2 84.3 69.5 77.8 87.5 53.4 82.5 67.3 54.1 70.5 71.4 95.4 51.1 74.4 55.7 63.5 85.8 53.5 64.3 82.7 78.5 55.7 69.1 72.3 59.5 55.3 73.0 52.4 50.7 a) Fa¸a uma tabela de distribui¸ao de frequˆncias. c c˜ e b) Fa¸a uma representa¸˜o gr´fica para a distribui¸ao de frequˆncias. c ca a c˜ e c) Calcule m´dia, mediana e desv´ padr˜o. e ıo a d) Apresente um histograma dos dados. e) Fa¸a um ramo-e-folhas, um esquema de cinco n´meros, um box c u plot. f) Comente os resultados.4 Considere a altura (em polegadas) de 20 indiv´ ıduos Indiv´ ıduo 1 2 3 4 5 Altura 67.75 72.25 66.25 72.25 71.25 Indiv´ ıduo 6 7 8 9 10 Altura 74.75 69.75 72.5 74 73.5 Indiv´ ıduo 11 12 13 14 15 Altura 74.5 76 69.5 71.25 69.5 Indiv´ ıduo 16 17 18 19 20 Altura 66 71 71 67.75 73.5 2
  3. 3. Considere os seguintes intervalos para as realiza¸˜es da vari´vel Altura co a Intervalo 1 2 3 4 5 [66,68) [68,70) [70,72) [72,74) [74,76] a) Fa¸a uma tabela de distribui¸ao de frequˆncias. c c˜ e b) Fa¸a uma representa¸˜o gr´fica para a distribui¸ao de frequˆncias. c ca a c˜ e c) Calcule m´dia, variˆncia, desv´ padr˜o e desv´ m´dio. e a ıo a ıo e d) Apresente um histograma dos dados. e) Fa¸a um ramo-e-folhas, um esquema de cinco n´meros, um box c u plot. f) Comente os resultados.5 As medidas de peso (em libras) e de cintura dos mesmos indiv´ ıduos do problema anterior s˜o registradas a Indiv´ ıduo 1 2 3 4 5 Peso 154.25 173.25 154 184.75 184.25 Cintura 94.5 98.7 99.2 101.2 101.9 Indiv´ ıduo 6 7 8 9 10 Peso 210.25 181 176 191 198.25 Cintura 107.8 100.3 97.1 99.9 104.1 Indiv´ ıduo 11 12 13 14 15 Peso 186.25 216 180.5 205.25 187.75 Cintura 98.2 107.7 103.9 108.6 100.1 Indiv´ ıduo 16 17 18 19 20 Peso 162.75 195.75 209.25 183.75 211.75 Cintura 99.2 105.2 107 102.4 109 3
  4. 4. a) Estudo marginal da vari´vel Cintura: considere os seguintes a intervalos para as realiza¸oes da vari´vel Cintura c˜ a 1 2 3 4 [94,96) [96,98) [98,100) [100,102) 5 6 7 8 [102,104) [104,106) [106,108) [108,110) i) Fa¸a uma tabela de distribui¸ao de frequˆncias. c c˜ e ii) Calcule m´dia, variˆncia, desv´ padr˜o e desv´ m´dio. e a ıo a ıo e iii) Apresente um histograma dos dados. iv) Fa¸a um esquema de cinco n´meros e um box plot. c u b) Estudo Conjunto: i) Calcule a Correla¸˜o existente entre os seguintes pares de ca vari´veis: a Peso e Altura Peso e Cintura Altura e Cintura ii) Se seu interesse for estudar a vari´vel Peso, qual das outras a duas vari´veis (Altura e Cintura) poderia “explicar” melhor a a vari´vel Peso?. Justifique. a iii) Fa¸a um diagrama de dispers˜o de Cintura vs Peso. c a6 a) Esboce um histograma onde m´dia, mediana e moda coincidam; e b) Esboce um histograma onde m´dia e mediana coincidam, mas n˜o e a a moda; c) Esboce os histogramas de duas vari´veis X e Y com as mesmas a m´dias mas com variˆncias diferentes. e a7 Os pesos em kg de um conjunto de 10 pessoas, j´ ordenados de menor a a maior, s˜o: a 21.3; 22.1; 22.8; 23.5; 24.6; 65.4; 67.2; 71.7; 76.3; 84.5 a) Calcule a mediana e questione a sua representatividade neste con- texto; 4
  5. 5. b) Verifique a instabilidade da mediana neste caso supondo a entrada ao grupo de mais uma pessoa nas duas situa¸oes seguintes: c˜ i) a pessoa pesa 24 kg; ii) a pessoa pesa 75 kg. (Dica: tem 2 grupos; exerc´ p/aula e n˜o p/prova). ıcio a ´8 E feito um teste de velocidade para um grupo de 15 pessoas. Os tempos em segundos gastos em completar uma pista de 400 m s˜o os seguintes: a 28.7; 49.2; 49.8; 50.0; 50.1; 50.6; 71.9; 72.1; 74.1; 74.3; 74.8; 75.1; 190.8; 192.5; 196.1 Analise estes dados. (Dica: v´rios clusters; este ´ exerc´ p/ ser trabalhado em aula, n˜o a e ıcio a para prova) 5
  6. 6. 2 Probabilidade1 Uma moeda e um dado s˜o lan¸ados. Dˆ um espa¸o amostral do experi- a c e c mento e depois represente-o como produto cartesiano dos dois espa¸os c amostrais, correspondentes aos experimentos considerados individual- mente.2 Defina um espa¸o amostral para cada um dos seguintes experimentos c aleat´rios. o i) Lan¸amento de dois dados e uma moeda, anota-se a configura¸ao c c˜ obtida. ii) Numa linha de produ¸˜o conta-se o n´mero de pe¸as defeituosas ca u c num intervalo de uma hora. iii) Investigam-se fam´ ılias com 4 crian¸as, anotando-se a configura¸ao c c˜ segundo o sexo. iv) Numa entrevista telefˆnica com 250 assinantes, pergunta-se se o o propriet´rio tem ou n˜o m´quina de secar roupa. a a a v) Um fich´rio de 10 nomes cont´m 3 nomes de mulheres. Seleciona- a e se ficha ap´s ficha, at´ o ultimo nome de mulher ser selecionado, o e ´ e anota-se o n´mero de fichas selecionadas. u vi) Um rel´gio mecˆnico pode parar a qualquer momento por falha o a t´cnica. Mede-se o ˆngulo em graus que o ponteiro dos segundos e a forma com o eixo imagin´rio orientado do centro ao n´mero 12. a u vii) De cada fam´ entrevistada numa pesquisa, anotam-se a classe ılia social a que pertence {A, B, C, D} e o estado civil do chefe da fam´ılia.3 Sejam A, B e C eventos associados a um experimento aleat´rio. Expresse o em nota¸˜o de conjuntos e fa¸a os diagramas de Venn dos seguintes ca c eventos: i) somente A ocorre; ii) A e B ocorrem, mas C n˜o; a iii) todos os trˆs ocorrem; e iv) pelo menos um deles ocorre; 6
  7. 7. v) pelo menos dois deles ocorrem; vi) exatamente um deles ocorre; vii) exatamente dois deles ocorrem; viii) nenhum deles ocorre; ix) n˜o mais que dois deles ocorrem; a x) no m´ximo 3 deles ocorrem. a4 Calcule as probabilidades dos eventos do exerc´ 3 supondo que ıcio P (A) = 0, 35; P (B) = 0, 40; P (C) = 0, 15; P (AB) = 0, 10; BC = AC = ;.5 Sejam A, B e C eventos associados a um experimento aleat´rio. Demonstre o e interprete: P (A[B[C) = P (A)+P (B)+P (C) P (AB) P (AC) P (BC)+P (ABC).6 Sejam A e B eventos associados a um experimento aleat´rio. Demonstre o que: P (A [ B)  P (A) + P (B).7 Sejam A1 e A2 eventos associados a um experimento aleat´rio. Demonstre o que: a) seP (A1 ) = P (A2 ) = 0 ) P (A1 [ A2 ) = 0; b) seP (A1 ) = P (A2 ) = 1 ) P (A1 A2 ) = 1.8 Uma moeda equilibrada ´ lan¸ada 3 vezes. Descreva o espa¸o amostral e e c c use a defini¸ao cl´ssica para calcular as probabilidades dos seguintes c˜ a eventos: i) duas caras ocorrem; ii) o resultado do segundo lan¸amento ´ cara; c e iii) o resultado do primeiro lan¸amento ´ igual ao do terceiro; c e iv) o n´mero de caras ´ igual ao de coroas. u e 7
  8. 8. 9 Um dado equilibrado ´ lan¸ado duas vezes. Descreva o espa¸o amostral e c c e use a defini¸˜o cl´ssica para calcular as probabilidades dos seguintes ca a eventos: i) a soma dos pontos ´ par; e ii) a soma ´ ´ e ımpar; iii) primeiro lan¸amento menor que o segundo; c iv) soma igual a 7; v) soma diferente de dois; vi) soma  4 ou soma>2; vii) primeiro lan¸amento menor que o segundo lan¸amento e soma par; c c viii) soma ´ ımpar e igual resultado em ambos lan¸amentos. c10 Consideremos o conjunto {a, b, c, d} a)Calcular o n´mero de amostras ordenadas com reposi¸˜o. u ca b)Calcular o n´mero de amostras ordenadas sem reposi¸˜o. u ca11 O prefixo telefˆnico de uma universidade ´ 452. o e a)Quantos n´meros telefˆnicos de sete d´ u o ıgitos podem-se formar? b)Quantos n´meros telefˆnicos de sete d´ u o ıgitos diferentes podem-se for- mar? Qual a probabilidade de, obtido um n´mero ao acaso, este apre- u sentar os sete d´ ıgitos diferentes.?12 Temos num plano 10 pontos n˜o alinhados (n˜o tem trˆs pontos na mesma a a e linha). Quantos triˆngulos, com v´rtices em ditos pontos ficam deter- a e minados? 8
  9. 9. 3 Probabilidade Condicional, Independˆncia e e Teorema de Bayes1 Uma pessoa ´ submetida a uma cirurgia e morre a causa de uma rea¸ao e c˜ al´rgica a anestesia. Os familiares e o cirurgi˜o entram numa dis- e ` a puta quanto a escolha da anestesia. O cirurgi˜o afirma que tinha duas ` a op¸oes: anestesia tipo 1 (AT1) e anestesia tipo 2 (AT2). Ele afirma c˜ ter escolhido a AT1 pois as estat´ ısticas mostram que apenas 1 pessoa em 10000 apresenta rea¸˜o al´rgica ` AT1, salientando que n˜o existem ca e a a testes pr´vios v´lidos. O cirurgi˜o acrescenta que a AT2 ´ de elimina¸˜o e a a e ca lenta, o que dificultaria a recupera¸˜o p´s-operat´ria. ca o o Os familiares alegam que o m´dico fez a escolha errada, pois o paciente e era hemof´ılico e que as estat´ ısticas mostram que 20% dos hemof´ ılicos reagem mal ` AT1 e que portanto o cirurgi˜o deveria ter utilizado a a a AT2. Se ambas as informa¸oes atribu´ c˜ ıdas as estat´ ` ısticas forem verdadeiras, quem tem raz˜o? Quem utiliza argumento falacioso? Em que consiste a a fal´cia? Utilize a nota¸˜o probabil´ a ca ıstica usual na sua argumenta¸ao. c˜2 400 pessoas s˜o classificadas segundo sexo e estado civil, obtendo-se a a seguinte tabela: Solteiro(S) Casado(C) Desquitado(D) Outros(O) Feminino(F) 150 40 10 20 Maculino(M) 50 60 40 30 a) Calcule P(S/F) , P(C/F) , P(D/F) e P(O/F) . Verifique que: P (S/F ) + P (C/F ) + P (D/F ) + P (O/F ) = 1; b) repita substituindo F por M ; c) Calcule P(F/S) e P(M/S). Verifique que: P (F/S) + P (M/S) = 1; d) repita substituindo S por C, D e O ; e) apresente formalmente as distribui¸oes de estado civil, estado ci- c˜ vil/F e estado civil/M ; 9
  10. 10. f) apresente formalmente as distribui¸oes de sexo, sexo/S , sexo/C , c˜ sexo/D e sexo/O ; g) repita todo o exerc´ substituindo a tabela acima por uma ta- ıcio bela equivalente onde constem apenas probabilidades em vez de freq¨ˆncias absolutas. ue3 Prove que: a) se P(A).P(B) 6= 0 , ent˜o: P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) ; a b) se P(A).P(B) 6= 0 , ent˜o: P(B/A) = P(A/B).P(B)/P(A) . a4 Uma urna cont´m duas bolas brancas (B) e trˆs vermelhas (V). Duas bolas e e s˜o extra´ a ıdas ao acaso, uma ap´s a outra, sendo registrada a seq¨ˆncia o ue a a a a das cores. Calcule P (2 B/1 V ), P (2 V /1 V ) e as probabilidades de cada uma das 4 seq¨ˆncias poss´ ue ıveis de cores nas seguintes situa¸oes: c˜ a) as bolas s˜o extra´ a ıdas com reposi¸ao; c˜ b) as bolas s˜o extra´ a ıdas sem reposi¸ao. c˜5 Uma f´brica tem 3 m´quinas M1 , M2 e M3 que produzem a mesma pe¸a, a a c sendo que as mesmas respondem por 20%, 50% e 30% da produ¸˜o ca total, respectivamente. Tamb´m ´ conhecida a propor¸ao de pe¸as e e c˜ c defeituosas produzidas por cada uma delas: 15% na M1 , 2% na M2 e 20% na M3 . a) Calcule a percentagem global de pe¸as defeituosas; c b) Se uma pe¸a for defeituosa, qual ´ a probabilidade de que tenha c e sido produzida pela M1 , M2 ou M3 ? c) Calcule 3 X 3 X P (def eituosa/Mj ) e P (Mj /def eituosa). j=1 j=1 Uma soma vale 1 e a outra n˜o. Explique o motivo; a d) Quanto vale 3 X P (Mj /boa)? j=1 Argumente sem fazer a conta. 10
  11. 11. 6 Verifique cuidadosamente as demonstra¸oes dos 3 resultados seguintes e c˜ observe onde ´ utilizada cada uma das hip´teses. e o Proposi¸ao A c˜ H) ⌦ espa¸o amostral; B, A1 , A2 , ..., An eventos tais que {A1 , A2 , ..., An } c ´ parti¸ao de ⌦. e c˜ T) n X P (B) = P (B Aj ). j=1 Demonstra¸ao: a tese decorre dos seguintes fatos: c˜ n [ B= (B Aj ) j=1 e se i 6= j, vale que (B Ai ) (B Aj ) = ;. Proposi¸ao B c˜ H) ⌦ espa¸o amostral; B, A1 , A2 , ..., An eventos tais que {A1 , A2 , ..., An } c ´ parti¸ao de ⌦ e al´m disso, P (Aj ) > 0 se 1  j  n. e c˜ e T) F´rmula da Probabilidade Total: o n X P (B) = P (B/Aj )P (Aj ). j=1 Demonstra¸ao: substitua na tese do resultado anterior P (B Aj ) por c˜ P (B/Aj )P (Aj ). Proposi¸ao C c˜ H) ⌦ espa¸o amostral; B, A1 , A2 , ..., An eventos tais que {A1 , A2 , ..., An } c ´ parti¸ao de ⌦ e al´m disso, P (Aj ) > 0 se 1  j  n, e P (B) > 0. e c˜ e T) Para todo k tal que 1  k  n, vale que: (F´rmula de Bayes) o P (B/Ak )P (Ak ) P (Ak /B) = Pn . j=1 P (B/Aj )P (Aj ) Demonstra¸ao: observe que P (Ak /B)P (B) = P (B/Ak )P (Ak ), e depois c˜ isole P (Ak /B) e use a f´rmula da probabilidade total. o 11
  12. 12. 7 30% dos usu´rios de uma biblioteca universit´ria s˜o alunos da gradua¸˜o, a a a ca 38% s˜o alunos da p´s e 32% professores. A consulta a livros estran- a o geiros ´ de 25%, 50% e 80% nas trˆs categorias de usu´rios, respecti- e e a vamente. a) Qual ´ a probabilidade de que um usu´rio qualquer utilize um e a livro em portuguˆs? e b) Se um usu´rio retirou um livro em portuguˆs, calcule a probabili- a e dade de que seja aluno da gradua¸˜o, da p´s ou que seja professor. ca o8 Sejam A e B eventos de ⌦ tais que P (B) > 0. Nestas condi¸oes, mostre c˜ que s˜o equivalentes: a a) A e B s˜o independentes; a b) P(A/B) = P(A).9 Sejam A e B eventos de ⌦. Mostre que as seguintes afirma¸oes s˜o todas c˜ a equivalentes: a) A e B s˜o independentes; a b) A e B c s˜o independentes; a c) Ac e B c s˜o independentes; a d) Ac e B s˜o independentes. a10 Mostre que: a) Se P (A) = 0 e B ´ um evento qualquer, ent˜o A e B s˜o indepen- e a a dentes ; b) Se P (A) = 1 e B ´ um evento qualquer, ent˜o A e B s˜o indepen- e a a dentes ; c) Os eventos D e Dc s˜o independentes se e somente se P (D) = 0 a ou P (D) = 1; d) Ache uma condi¸˜o para que um evento E seja independente dele ca mesmo.11 Uma moeda ´ jogada 3 vezes. e 12
  13. 13. a) Ache uma f´rmula para a probabilidade da seq¨ˆncia (cara, coroa, o ue cara); b) Repita a) no caso em que P ({cara}) = p, a mesma em todas as jogadas assumindo que os resultados de jogadas diferentes s˜o a independentes.12 Uma urna cont´m duas bolas brancas (B) e trˆs vermelhas (V). Duas e e bolas s˜o extra´ a ıdas ao acaso, uma ap´s a outra, sendo registrada a o sequˆncia das cores. Considere cada uma das perguntas nas duas si- e tua¸oes seguintes: c˜ a) as bolas s˜o extra´ a ıdas com reposi¸ao; c˜ b) as bolas s˜o extra´ a ıdas sem reposi¸ao. c˜ Perguntas: 1) Calcule P (1a B/2a V ) e P (1a V /2a V ); 2) Os eventos {2a V } e {1a B} s˜o independentes? a13 30% dos empregados de uma empresa s˜o mulheres e o restante homens; a 9% das pessoas s˜o mulheres e fumantes, 59% das pessoas s˜o homens a a e n˜o fumantes. Calcule: a a) P ({mulher e f umante}); b) P ({homem e f umante}); c) probabilidade de um homem ser fumante; d) probabilidade de um homem ser n˜o fumante; a e) probabilidade de um fumante ser homem.14 30% dos empregados de uma empresa s˜o mulheres e o restante homens; a 3/10 das mulheres s˜o fumantes, 11/70 dos homens s˜o fumantes. Cal- a a cule: a) P ({mulher e f umante}); b) P ({homem e f umante}); c) probabilidade de um homem ser fumante; d) probabilidade de um homem ser n˜o fumante; a 13
  14. 14. e) probabilidade de um fumante ser homem.15 30% dos empregados de uma empresa s˜o mulheres e o restante homens; a 9% das pessoas s˜o mulheres e fumantes, 11/70 dos homens s˜o fuman- a a tes. Perguntas: a) P ({mulher e f umante}); b) P ({homem e f umante}); c) probabilidade de um homem ser fumante; d) probabilidade de um homem ser n˜o fumante; a e) probabilidade de um fumante ser homem.16 Suponha que a probabilidade de viver 70 ou mais anos ´ 0.6 e que a e probabilidade de viver 80 ou mais anos ´ 0.2. Se uma pessoa faz 70 e anos, qual ´ a probabilidade de que comemore o aniversario n´mero e u 80?.17 Considere uma urna com 3 bolas brancas e 7 bolas vermelhas. Duas bolas s˜o retiradas da urna uma depois da outra sem repor a primeira delas a na urna antes da retirada da segunda. Assuma a seguinte nota¸˜o: B1 V2 representando que foi retirada uma ca bola branca na primeira retirada e uma bola vermelha na segunda. Calcule as seguintes probabilidades P (B1 B2 ), P (V1 B2 ), P (B1 V2 ), P (V1 V2 ). Considere que se faz mais uma extra¸˜o de bolas da urna, recolocando ca na urna a segunda bola extra´ anteriormente e calcule P (B1 V2 B3 ), ıda onde B1 V2 B3 representa que foi extra´ branca na primeira, vermelha ıda na sengunda e branca na terceira. Compute ainda, P (B1 B2 B3 ), P (B1 B2 V3 ), P (V1 B2 B3 ).18 Suponha que se testam os chips para um circuito integrado e que a pro- babilidade de que sejam declarados com falhas quando efectivamente as tem ´ 0.95, sendo que a probabilidade de que sejam declarados em e bom estado se efectivamente est˜o em bom estado ´ 0.97. Se 0.5% dos a e chips apresentam falhas, qual ´ a probabilidade de que um chip que foi e declarado com falhas seja bom? 14
  15. 15. 19 Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refei¸oes: sala- c˜ da completa ou um prato a base de carne. 20% dos fregueses do sexo ` masculino preferem salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses s˜o homens. Considere os seguintes eventos: a H: freguˆs ´ homen, M: freguˆs ´ mulher, e e e e A: freguˆs prefere salada, B: freguˆs prefere carne. e e Calcular: P (A|H), P (B|M ), P (M |A).20 Na tabela seguinte, os n´meros que aparecem s˜o probabilidades relaci- u a onadas com a ocorrˆncia de A, B, A B, etc. Assim e P (A) = 0.10, enquanto que P (A B) = 0.04. Verifique se A e B s˜oa independentes. B Bc A 0.04 0.06 0.10 Ac 0.08 0.82 0.90 0.12 0.88 1.0021 Reconsidere o problema 6, e usando as id´ias do exerc´ 7 verifique se e ıcio a escolha do prato depende do sexo do freguˆs. e 15
  16. 16. 4 Vari´veis aleat´rias discretas a o1 A seguir aparece um estudo sobre o n´mero de filhos dos 20 funcion´rios u a de uma empresa. H´ 1 funcion´rio sem filhos, 5 com 1 filho, 9 com 2, 4 a a com 3 e 1 com 5. Calcule a m´dia e variˆncia destes dados e compare e a com a defini¸ao formal de m´dia e variˆncia de uma vari´vel aleat´ria c˜ e a a o discreta.2 Um alvo ´ feito com uma t´bua quadrada pintada de branco, com exce¸ao e a c˜ de um c´ ırculo no seu centro que ´ pintado de preto. As regras de uma e prova s˜o definidas da seguinte forma: o atirador que acertar no centro a preto ganha 18 pontos, se acertar na parte branca da t´bua ganha 8 a pontos e se n˜o acertar na t´bua perde 2 pontos. a a a) Um atirador atira no alvo: defina formalmente o espa¸o dos resul- c tados deste experimento e a vari´vel aleat´ria n´mero de pontos; a o u b) O desempenho do atirador pode ser assim resumido: P {acertar no centro} = 0, 2 e P {acertar na parte branca} = 0, 7; calcule m´dia e variˆncia do n´mero de pontos para o atirador. e a u3 Seja X uma v.a. tal que: P ({X = 1}) = 0.2; P ({X = 0}) = 0, 1 e P ({X = 6}) = 0, 7. a) Ache as fun¸˜es de probabilidade das v.a.s: Y = 3X + 2, Z = co ( 2)X + 1, U = X 2 e V = X 3 ; b) Verifique que E(3X + 2) = 3E(X) + 2 e que E(( 2)X + 1) = ( 2)E(X) + 1; c) Verifique que V ar(3X + 2) = 9V ar(X) e que V ar(( 2)X + 1) = 4V ar(X); d) Generalize as observa¸oes dos items b) e c) para X qualquer v.a. c˜ discreta que assume um n´mero finito de valores e para qualquer u fun¸ao do tipo W = a + bX; c˜ e) Seja S uma v.a. tal que: P ({S = 1}) = P ({S = 7}) = 0.3 e P ({S = 0}) = P ({S = 1}) = 0.2; ache a fun¸ao de probabilidade c˜ de S 2 . 16
  17. 17. 4 Seja X uma vari´vel discreta assumindo um n´mero finito de valores e a u h : R ! R uma fun¸ao qualquer. Utilize a experiˆncia dos itens c˜ e a) e e) do exerc´ anterior para dizer como construiria a fun¸ao de ıcio c˜ probabilidade de Y = h(X).5 X ´ uma vari´vel aleat´ria cuja fun¸˜o de distribui¸ao acumulada F ´ dada e a o ca c˜ e por: F (x) = 0 se x < 3; F (x) = 0, 2 se 3  x < 4; F (x) = 0, 9 se 4  x < 8 e F (x) = 1 se x 8. a) Use F para calcular as probabilidades dos seguintes conjuntos: {3 < X  7}; {3  X  7}; {3  X < 7}; {3 < X < 7}; { 3 < X  5}; { 3  X  5}; { 3  X < 5}; {3 < X < 5}; {X  6}; {X < 6}; {X  4}; {X < 4}; {X > 3}; {X 3}; {X > 4}; {X 4}; {X > 10}; {X 10}; {X > 5}; {X 5}; {X < 11}, {X 20}; b) Ache a fun¸ao de probabilidade de X e com ela responda as per- c˜ ` guntas do item a). c) Calcule E(X) e Variˆncia(X). a6 Seja X uma vari´vel aleat´ria discreta com P (X = 0) = 0.25, P (X = a o 1) = 0.125, P (X = 2) = 0.125, P (X = 3) = 0.5. Graficar a fun¸aoc˜ de probabilidade e a fun¸ao de distribui¸ao acumulada. Calcular o c˜ c˜ valor esperado, a moda e a mediana de X. Calcular a variˆncia de X. a Determine as seguintes probabilidades: P (0 < X < 1), P (X  2), P (X > 3), P (X > 2.5).7 Dada a fun¸˜o de distribui¸˜o acumulada ca ca 8 > > 0 se x<1 > > > > 0.1 se 1x<2 > > < 0.3 se 2x<3 F (x) = . > > > 0.7 se 3x<4 > > > > > 0.8 se 4x<5 : 1 se 5x 17
  18. 18. Calcule a fun¸ao de probabilidade da vari´vel cuja f.d.a. ´ F (·). Cal- c˜ a e cule ainda o valor esperado, a moda, a mediana e a variˆncia de X. a Determine as seguintes probabilidades: P (1  X < 2), P (X = 4), P (X > 3), P (X  4).8 Com dados do ultimo censo, a assistente social de um centro de sa´de ´ u constatou que para as fam´ ılias da regi˜o, 20% n˜o tˆm filhos, 30% tˆm a a e e um filho, 35% tˆm dois e as restantes se dividem igualmente entre trˆs, e e quatro ou cinco filhos. Determine a fun¸˜o de distribui¸ao acumulada ca c˜ da vari´vel N : n´mero de filhos, e responda: se uma fam´ ´ escolhida a u ılia e aleat´riamente nessa regi˜o qual a probabilidade de que o n´mero de o a u filhos nessa fam´ seja maior o igual a 2?. Calcule o valor esperado e ılia a variˆncia da vari´vel N. a a9 Um sinal consite em uma s´rie de vibra¸oes de magnitude X, tendo os e c˜ valores 1,0,-1, cada um com probabilidade 1/3. Um ruido consiste em uma s´rie de vibra¸oes de magnitude Y, tendo os valores 2,0,-2 com e c˜ probabilidades 1/6,2/3,1/6, respectivamente. Se ru´ ıdos e sinais s˜o a combinados, a soma consiste em vibra¸oes de magnitude Z = X + Y. c˜ a)Construir e graficar a fun¸˜o de probabilidade para Z, calcular sua ca m´dia e variˆncia, admitindo a independˆncia entre ru´ e sinal. e a e ıdo b)Construir e graficar a fun¸˜o de distribui¸ao acumulada para Z, FZ , ca c˜ calcular FZ (1), FZ ( 1.5). Achar um valor z tal que FZ (z) = 11/18, calcular o menor valor z tal que FZ (z) = 11/18. c)Um amplificador de vibra¸˜es permite a capta¸ao da magnitude 2Z, co c˜ determine a fun¸˜o de probabilidade, a acumulada, o valor esperado e ca a variˆncia desta nova vari´vel. a a 18
  19. 19. 5 Distribui¸˜o Binomial ca1 Joga-se uma moeda 3 vezes e observa-se a sequˆncia de caras e coroas e obtida. a) Construa ⌦={espa¸o dos resultados associado ao experimento}; c b) Calcule a probabilidade de cada ! 2 ⌦ sob as seguintes hip´teses: o I) p = probabilidade de {cara} ´ a mesma em todas as jogadas; e II) eventos associados a conjuntos disjuntos de jogadas s˜o inde- a pendentes. c) defina explicitamente a vari´vel aleat´ria X = ‘n´mero de caras a o u obtido nas 3 jogadas’, e observe que a probabilidade definida em ⌦ no item anterior induz uma probabilidade em R atrav´s de X. e2 Uma moeda cuja probabilidade de cara ´ 0, 4 ´ jogada 5 vezes, sendo e e satisfeitas as condi¸oes I) e II) enunciadas no Exerc´ 1. Compare os c˜ ıcio seguintes eventos e calcule suas probabilidades: a) a seq¨ˆncia {(CKCCK)}, onde C denota cara e K coroa; ue b) {s˜o obtidas exatamente 3 caras nas 5 jogadas}. a3 Sejam ⌦ o espa¸o de resultados de um experimento E e A um evento fixo c de ⌦. O experimento E ´ repetido n vezes e supomos verdadeiras as e seguintes hip´teses: o I) p = probabilidade de A ´ a mesma em todas as repeti¸oes; e c˜ II) eventos associados a conjuntos disjuntos de repeti¸oes s˜o inde- c˜ a pendentes. Seja X a vari´vel aleat´ria ‘n´mero de ocorrˆncias de A nas n re- a o u e peti¸oes’. Calcule P robabilidade({X = j}) para todo inteiro j tal c˜ que 0  j  n. Calcule E(X) e Var(X).4 Uma prova consiste em 25 perguntas de tipo m´ltipla escolha. Cada u quest˜o tem 5 respostas, sendo que apenas uma delas ´ verdadeira. a e A nota X ´ igual ao n´mero de respostas corretas. Uma pessoa lan¸a e u c um dado equilibrado e indica a resposta cujo n´mero aparece na face u de cima do dado (se sair {6} o lance ´ desconsiderado). e 19
  20. 20. a) Qual ´ a distribui¸ao da vari´vel ‘nota’ nestas condi¸oes? Veja e c˜ a c˜ se no contexto do problema s˜o v´lidos os supostos nos quais o a a modelo utilizado se baseia; b) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos utilizando o mo- delo escolhido em a): {2  X < 4}, {3  X < 6}, {4  X < 8}, {1 < X < 4}, {14  X < 22}, {X 6}, {X 10}, {X  1}, {X < 1}, {X  20}, {X < 20}, {X 1}, {X > 4}, {X 23}; c) Quais das hip´teses do modelo deixariam de ser satisfeitas se a o pessoa respondesse seriamente em vez de usar o esquema acima descrito?5 Uma companhia de seguros vendeu ap´lices a 20 pessoas da mesma idade e o condi¸oes de sa´de. De acordo com as t´buas atuariais, a probabilidade c˜ u a de que uma pessoa nas condi¸˜es dos assegurados sobreviva 10 anos a co ` data dos contratos ´ de 0,9. Calcule as probabilidades dos seguintes e eventos: a) todas as pessoas sobrevivem; b) nenhuma sobrevive; c) sobrevivem ao menos 5 pessoas; d) sobrevivem ao menos 15 pessoas; e) morrem exatamente 3 pessoas; f) morrem no m´ximo 2 pessoas; a g) morrem no m´ ınimo 5 pessoas. Calcule o n´mero m´dio de sobreviventes e n´mero m´dio de mortos u e u e e tamb´m as variˆncias do n´mero de mortos e do n´mero de sobrevi- e a u u ventes aos 10 anos do contrato.6 Uma urna cont´m 50 bolas, sendo 20 brancas e 30 vermelhas. S˜o extra´ e a ıdas 10 bolas, uma ap´s outra, com reposi¸ao. Calcule as probabilidades dos o c˜ seguintes eventos: a) o n´mero de bolas vermelhas extra´ u ıdas ´ igual a 4; e b) o n´mero de bolas brancas extra´ u ıdas ´ igual a 1; e c) pelo menos duas bolas vermelhas s˜o extra´ a ıdas; d) no m´ximo 3 bolas vermelhas s˜o extra´ a a ıdas. Qual ´ o n´mero m´dio de bolas brancas (vermelhas) extra´ e u e ıdo? Quais s˜o as variˆncias do n´mero de bolas brancas e vermelhas extra´ a a u ıdo? Analise a aderˆncia as hip´teses do modelo utilizado para responder as e ` o perguntas acima caso as extra¸oes sejam sem reposi¸˜o. c˜ ca 20
  21. 21. 7 Um comerciante deseja comprar um lote de 200 mesas a uma f´brica. O a lote oferecido tem 10 mesas defeituosas (mas o comerciante desconhece este fato). O comerciante adota a seguinte regra de decis˜o: ele obser- a var´ uma amostra de 20 mesas escolhida por sorteio e aceitar´ o lote a a se ele tiver at´ 2 mesas defeituosas. Qual ´ a probabilidade do comer- e e ciante aceitar o lote nas condi¸oes acima detalhadas? c˜ Observa¸˜o: nas situa¸oes reais a amostragem ´ feita sem reposi¸ao, ca c˜ e c˜ mas para encarar este problema precisaremos estudar a distribui¸ao c˜ hipergeom´trica. Por enquanto ficamos devendo. e8 Sabe-se que quando a distribui¸˜o ´ perfeitamente sim´trica a m´dia e ca e e e a mediana coincidem e s˜o ambas iguais ao centro de simetria. E o a ´ que acontece com a binomial(n,1/2) para qualquer n natural. Mais ainda, neste caso podemos observar que tamb´m a moda coincide com e o centro de simetria. Dˆ um exemplo de uma distribui¸ao discreta e c˜ sim´trica onde a moda seja diferente da m´dia e da mediana (Dica: e e considere uma distribui¸˜o discreta sim´trica que assuma 3 valores). ca e Dˆ um exemplo de uma distribui¸ao discreta em que m´dia, mediana e c˜ e e moda sejam todas diferentes.9 Considere os gr´ficos da distribui¸˜o binomial(n,1/10) para n igual a 5, a ca 10, 20, 30, 60 e 100. Observe que para n=5 a distribui¸˜o ´ totalmente ca e assim´trica e que a medida que n cresce a assimetria diminui, sendo que e para n=100 ela ´ quase inexistente. Justifique a afirma¸ao da simetria e c˜ da binomial(100,1/10), mesmo levando em conta a longu´ ıssima cauda a direita (isto ´, explique porque ´ poss´ desconsiderar tal cauda). e e ıvel10 Sejam X e Y vari´veis aleat´rias com distribui¸oes binomial(n, p) e a o c˜ binomial(n, 1 p), respectivamente. Prove que: para todo inteiro j, 0  j  n, vale que P ({Y = j}) = P ({X = n j}). Verifique este fato nos gr´ficos, comparando a binomial(20,p) com a a binomial(20,1-p), para p igual a 0,2; 0,3 e 0,4. Prove tamb´m que e E(X) + E(Y ) = n e que V ar(X) = V ar(Y ). 21
  22. 22. 6 Modelos discretos1 Discuta a validade do modelo Uniforme Discreto nos seguintes casos: a)A escolha de um aluno que vai representar a classe junto a dire¸ao c˜ da escola. b)O dia da semana em que ocorrem mais acidentes de trabalho numa ind´stria. u c)O mˆs do ano com maior n´mero de enchentes na cidade de S˜o e u a Paulo.2 Sendo X uma vari´vel aleat´ria seguindo o modelo Uniforme Discreto, a o com valores no conjunto {1, 2, · · · , 10}, pergunta-se: a)P (7  X) b)P (3 < X  7) c)P (X < 2 ou 8  X) d)P (5  X ou 8 < X) e)P (X > 3 e X < 6) f)P (X  9|6  X)3 Discuta a validade do modelo Binomial nos seguintes casos: a)Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos 5 e contamos quantos se declaram usu´rios de drogas. a b)Escolhemos 20 lˆmpadas ao acaso na prateleira de um supermercado, a sendo 10 de uma f´brica e 10 de outra. Contamos o n´mero total de a u defeituosas. c)Quinze autom´veis 0 km de uma mesma marca e tipo s˜o submetidos o a a um teste anti-polui¸ao e contamos o n´mero deles que passaram no c˜ u teste. d)Um motorista ´ submetido a um teste em que deve estacionar seu e ve´ ıculo num pequeno espa¸o (isto ´ popularmente chamado de fazer c e baliza). Em 10 tentativas, contamos o n´mero de vezes em que o mo- u torista estacionou corretamente.4 Uma certa doen¸a pode ser curada atrav´s de procedimento cir´rgico em c e u 80% dos casos. Dentre os que tem essa doen¸a, sorteamos 15 pacientes c que ser˜o submetidos a cirurgia. Fazendo alguma suposi¸ao adicional a c˜ que julgar necess´ria, responda qual ´ a probabilidade de: a e a)Todos serem curados?. 22
  23. 23. b)Pelo menos dois n˜o serem curados?. a c)Ao menos 10 ficarem livres da doen¸a?. c5 Bact´rias de certa classe aparecem na ´gua a raz˜o de 0,8 por cm3 . Qual e a a ´ a probabilidade de que em 5 cm3 de ´gua tenhamos: e a a) no m´ ınimo duas bact´rias; e b) pelo menos 13 bact´rias; e c) nenhuma; d) no m´ximo sete. a6 Um digitador comete 0.5 erros por folha em m´dia ao transcrever um texto. e Qual ´ a probabilidade de que num texto de 15 p´ginas cometa 8 ou e a mais erros?7 A taxa de suic´ ıdios num certo pa´ ´ de 1 para cada 250.000 habitantes ıs e por semana. Considere uma cidade de 500.000 habitantes: a) calcule a probabilidade de ter 6 ou mais suic´ ıdios numa semana? b) utilizaria o mesmo modelo se em vez de suic´ ıdios se tratasse de dengue? Justifique.8 Os trabalhadores de certa f´brica sofrem em m´dia dois acidentes por mˆs. a e e Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: a) ocorrem 5 acidentes ou menos num per´ ıodo de um mˆs (2 meses, 3 e meses); b) ocorrem 8 ou mais acidentes num per´ ıodo de um mˆs (2 meses, e 3meses); c) 2  n´mero de acidentes < 5 no mˆs de abril e tamb´m em junho. u e e9 A vari´vel aleat´ria Y tem densidade Poisson com parametro a o = 2. Ob- tenha: a)P (Y < 2) b)P (2  Y < 4) c)P (Y > 0) d)P (Y = 1|Y < 3)10 A aplica¸˜o de fundo anti-corrosivo em chapas de a¸o de 1 m2 ´ feita ca c e mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma vari´vel aleat´ria Poisson de parˆmetro = 1 por a o a 2 m . Uma chapa ´ sorteada ao acaso para ser inspecionada, pergunta-se e 23
  24. 24. a probabilidade de: a)Encontrarmos pelo menos 1 defeito. b)No m´ximo 2 defeitos serem encontrados. a c)Encontrar de 2 a 4 defeitos. d)N˜o mais de um defeito ser encontrado. a11 Um banco de sangue necessita sangue do tipo 0-Rh negativo. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ter este tipo de sangue seja 0.10. Doadores permanentes chegam ao hemocentro para fazer sua doa¸ao c˜ rotineira. Calcule as probabilidades de que o primeiro doador com sangue do tipo 0-Rh negativo seja: a) o primeiro a chegar; b) o segundo; c) o quarto; d) o s´timo. e12 No contexto do exerc´ anterior, calcule: ıcio a) probabilidade de que o primeiro doador com sangue no grupo 0-Rh negativo apare¸a a partir do quarto doador; c b) probabilidade de que o primeiro doador com sangue no grupo 0-Rh negativo apare¸a no m´ximo em 5 tentativas. c a13 Um supermercado vende uma caixa com 20 lˆmpadas, das quais 4 s˜o a a in´teis e as restantes boas. Um comprador decide testar 5 das lˆmpadas u a (obviamente sem reposi¸ao) escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso c˜ haja no m´ximo duas defeituosas entre as lˆmpadas testadas. Qual ´ a a a e probabilidade de comprar a caixa? Ache a distribui¸ao do n´mero de c˜ u itens defeituosos.14 Uma urna cont´m bolas vermelhas (V) e brancas (B). S˜o extra´ e a ıdas 5 bolas da urna. Calcule as probabilidades de extrair 2 vermelhas e 3 brancas nas se- guintes condi¸oes: c˜ a) a urna tem 4V e 6B, extra¸ao sem reposi¸ao (resposta: 10/21 ⇡ c˜ c˜ 0,47619); b) a urna tem 8V e 12B, extra¸˜o sem reposi¸ao (resposta: 385/969 ⇡ ca c˜ 0,39732); c) a urna tem 16V e 24B, extra¸˜o sem reposi¸ao (resposta: 10120/27417 ca c˜ ⇡ 0,3691); 24
  25. 25. d) a urna tem 48V e 72B, extra¸˜o sem reposi¸ao (resposta: 934360/2646917 ca c˜ ⇡ 0,3530); e) a urna tem 40% das bolas V e 60% B, extra¸ao com reposi¸˜o (res- c˜ ca posta: 0,3456).15 A vari´vel H segue o modelo Hipergeom´trico com parˆmetros N = a e a 10, n = 5 e r = 4. Determine: a)P (H = 2) b)P (H  1) c)P (H > 0)16 Por engano 3 pe¸as defeituosas foram misturadas com boas formando c um lote com 12 pe¸as no total. Escolhendo ao acaso 4 dessas pe¸as, c c determine a probabilidade de encontrar: a)Pelo menos 2 defeituosas. b)No m´ximo uma defeituosa. a c)No m´ınimo 1 boa.17 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma m´quina a seja defeituoso ´ de 0.2. Se 10 itens produzidos por esta m´quina s˜o e a a selecionados ao acaso, qual ´ a probabilidade de que n˜o mais do que e a um defeituoso seja encontrado?. Use a Binomial e a Poisson e compare os resultados.18 Numa central telefˆnica, o n´mero de chamadas chega segundo uma dis- o u tribui¸ao de Poisson, com media de 8 chamadas por minuto. Determi- c nar qual ´ a probabilidade de que num minuto se tenha: e a)10 ou mais chamadas; b)menos do que 9 chamadas; c)entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive).19 Numa f´brica de pregos sabe-se que a propor¸ao de itens defeituosos a c˜ ´ igual a 0.1. A produ¸ao mensal ´ de 100.000 artigos/mˆs. Qual ´ a e c˜ e e e probabilidade de que uma amostra de tamanho 4 dos artigos produzidos num mˆs contenha: e a) nenhum defeituoso; b) exatamente um defeituoso; c) exatamente dois defeituosos; d) n˜o mais do que 2 defeituosos; a Calcule a esperan¸a e variˆncia do n´mero de defeituosos na amostra. c a u 25
  26. 26. 20 Entre as 14:00 e 17:00 horas de um dia util passam por um ped´gio em ´ a m´dia 150 carros por hora. Calcule: e a) probabilidade de que passem at´ 4 carros entre 15.30 e 15.32; e b) probabilidade de que passem at´ 4 carros entre 16.48 e 16.50; e c) probabilidade de que passem exatamente 3 carros entre 14.16 e 14.17; d) probabilidade de que passem at´ 4 carros entre 16.00 e 16.01; e e) probabilidade de que passem 7 ou mais carros entre 13.15 e 13.18. 26
  27. 27. 7 Modelos cont´ ınuos1 Seja X a v.a. cont´ ınua cuja densidade de probabilidade ´ e f (x) = 2x, 0x1 a)Calcule a distribui¸ao acumulada F (x) o valor esperado E(X), a c˜ variˆncia V ar(X) e o desv´ padr˜o (X). a ıo a b)Calcule P (0 < X < 1/2), P (1/3 < X  1). c)Grafique F (x) e determine o valor de x0 tal que F (x0 ) = 0.95. Calcule P (x0 < X  1). Interprete.2 Seja X a v.a. cont´ ınua cuja densidade de probabilidade ´ e ( kx2 se 0  x  1 f (x) = . 0 caso contrario a)Determinar o valor k. b)Calcular E(X), V ar(X). c)Determine a f.d.a. de X.3 O comprimento do lado de um quadrado aleat´rio ´ uma v.a. uniforme o e em [0,5]. Calcular a area esperada do quadrado. ´4 Seja X uma v.a. com distribui¸˜o uniforme em [-1,1] (Nota¸ao X ⇠ ca c˜ U [ 1, 1]). Isto significa que X tem fun¸ao de densidade f e fun¸ao c˜ c˜ de distribui¸ao acumulada F dadas pelas f´rmulas abaixo. c˜ o f (x) = 1/2 se 1  x  1; f (x) = 0 caso contr´rio. a F (x) = 0 se x < 1; F (x) = (x+1)/2 se 1  x  1; F (x) = 1 se x > 1. Calcule as probabilidades dos seguintes conjuntos usando f e F: {X < 2}, {X  0}, {X < 0}, { 1 < X < 0, 8}, { 3  X  0, 8}, {0, 2 < X < 1, 5}, { 4 < X < 3} [ {0, 2  X  2}, {0, 2  X < 1}, {X > 2}, {X > 0}, {X 1, 2}, {X 4}, { 1/2  X < 1/2} [ {8  X < 24}, {X = 0}, {X = 4}. 27
  28. 28. 5 Seja X uma v.a. cuja fun¸˜o de distribui¸ao acumulada ´ dada por: ca c˜ e F (x) = 0 se x < 1; F (x) = (x + 1)/4 se 1  x < 1; x2 F (x) = 2x 1 se 1  x < 2; F (x) = 1 se x 2. 2 c˜ ´ a)Calcule a fun¸ao de densidade de X. E poss´ e/ou importante cal- ıvel cular o valor da densidade em -1, 1 e 2? Veja os gr´ficos da densidade a e da acumulada: por que motivo X ´ considerada uma v.a. cont´ e ınua? b) Calcule E(X), E(X 2 ), Var(X), Mediana(X) e Moda(X); c) Calcule as probabilidades dos seguintes conjuntos: {X = 2}, {X = 1}, {X = 0}, {X = 1/2}, {X = 1}, {X = 2}, {X = 8}, {X < 2}, {X  0}, {X < 1, 5}, {X < 4}, {X 0}, {X > 1, 5}, {X > 4}, {0 < X < 1, 5}, { 2 < X < 0}, {0  X < 1, 2}, {1, 1  X  3}, { 2  X < 9}, { 2  X < 1, 5}, {3  X < 6}.6 0 tempo de vida em horas X de um transistor ´ uma v.a. com fun¸˜o de e ca densidade: f (x) = 0 se x < 0; f (x) = 500 1 e x/500 se x 0; Calcule a fun¸˜o de distribui¸˜o acumulada, a m´dia, variˆncia, medi- ca ca e a ana e moda de X. Calcule P ({X > x}) para todo x real.7 Assuma que o tempo de dura¸ao X de uma consulta m´dica tenha distri- c˜ e bui¸ao exponencial com m´dia de 10 minutos. Calcule a probabilidade c˜ e dos seguintes eventos: a) uma consulta demora 20 minutos no m´ximo; a b) uma consulta demora mais de 20 minutos; c) uma consulta demora mais que o tempo m´dio. e Calcule a probabilidade do evento {X > E(X)} para X ⇠ Exp(↵), para todo ↵ > 0.8 Seja X ⇠ N ormal(µ, 2 ). a) Prove que Z = (X µ)/ tem distribui¸ao Normal(0,1). c˜ 28
  29. 29. (Dica: chame de F a fun¸ao de dist. acumulada de X e de ` c˜ a de Z, e ` verifique que (t) = F (µ + t) e portanto que a rela¸ao entre as densidades de X e 0 de Z ´ c˜ e 0 (t) = (µ + t). b) Verifique tamb´m as rela¸oes inversas entre as acumuladas e densi- e c˜ dades de X e Z: 1 F (x) = ((x µ)/ ) e (x) = 0 ((x µ)/ ).9 Suponha que a dura¸ao de uma componente eletrˆnica possui distribui¸ao c˜ o c˜ exponencial de parˆmetro = 1, calcule: a a)A probabilidade de que a dura¸˜o seja menor a 10. ca b)A probabilidade de que a dura¸˜o esteja entre 5 e 15. ca c)O valor t tal que a probabilidade de que a dura¸ao seja maior a t c˜ assuma o valor 0.01.10 A longitude do lado de um cubo aleat´rio ´ uma v.a. cont´ o e ınua Exp(3). Calcule o volume esperado do cubo.11 Seja T a v.a. cont´ ınua de distribui¸ao exponencial de parˆmetro 2 e seja c˜ a X a v.a. discreta definida como 8 > 0 se 0  T < 1 < X = 1 se 1  T < 2 . > : 2 se 2  T Determine a fun¸˜o de probabilidades de X. ca12 Assumindo que X possui distribui¸˜o N (µ, 2 ), calcule: ca a)P (X  µ + 2 ) b)P (|X µ|  ) c)o n´mero a tal que P (µ a  X  µ + a ) = 0.99 u d)o n´mero a tal que P (X > a) = 0.90. u p Por simplicidade assuma primeiramente que µ = 1 e = 2. Logo, determine as quantidades requeridas para µ e geral. 29
  30. 30. 213 Seja X ⇠ N ormal(µ, ). Calcule as probabilidades dos seguintes inter- valos: {µ < X < µ + }, {µ 2 < X < µ + 2 }, {µ 3 < X < µ + 3 }, { 1 < X < µ}, {µ < X < 1}; {µ < X < µ}, {µ < X < µ + }, {µ < X < µ + 2 }, {µ 2 < X < µ + }.14 Considere o peso de um puma macho adulto como uma vari´vel aleat´ria a o com distribui¸˜o N ormal(µ, 2 ). Sabe-se que 33,0 % destes animais ca tem peso inferior a 82.8 kg e tamb´m que 0,4% tem peso superior a e 98,25 kg. Calcule µ e . 30
  31. 31. 8 Aproxima¸˜o Binomial-Normal e ca Intervalos de Confian¸a para propor¸˜es c co1 Seja Y uma vari´vel aleat´ria com distribui¸ao binomial de parˆmetros a o c˜ a n = 10 e p = 0.4. a)Determine o valor exato e a aproxima¸˜o Normal para P (7  Y ). ca Calcule pela aproxima¸ao Normal o valor P (6.5  Y ) e conclua qual c˜ dos dois valores dados pela aproxima¸˜o representa melhor o verdadeiro ca valor de P (7  Y ), onde Y ´ Binomial. e b)Determine o valor exato e a aproxima¸ao Normal para P (Y < 5). c˜ Calcule pela aproxima¸ao Normal o valor P (Y  4.5) e conclua qual c˜ dos dois valores dados pela aproxima¸˜o representa melhor o verdadeiro ca valor de P (Y < 5), onde Y ´ Binomial. e2 De um lote de produtos manufaturados, extra´ ımos 100 itens ao acaso. Se 10% dos itens s˜o defeituosos, calcular a probabilidade de 12 itens a dentre os selecionados serem defeituosos. Use a aproxima¸˜o Normal. ca3 Seja p a propor¸ao de indiv´ c˜ ıduos com glaucoma na cidade de Campinas. Se o Minist´rio da Sa´de informa que a propor¸ao atual ´ igual a 0.1 e u c˜ e e temos uma amostra de 19 indiv´ıduos selecionados ao acaso desta po- pula¸ao, responda: c˜ a)Qual ´ a probabilidade de que a propor¸˜o amostral e ca o p⇤ = n de portadores na amostra 19 seja maior ou igual a 5/19 ? Calcule a probabilidade exata. b)Resolva o item a) utilizando a aproxima¸˜o Normal dada pelo Teo- ca rema Central do Limite. c)Compare o valor exato de P (5/19  p⇤ ) calculado em a) com os valo- res calculados por aproxima¸ao Normal: PN (5/19  p⇤ ) (do item b)), c˜ PN (4.5/19  p⇤ ), PN (5.5/19  p⇤ ), estes ultimos calculados utilizando ´ a aproxima¸ao Normal. c˜ Determine qual deles representa melhor o verdadeiro valor dado no item a). d)Calcule a probabilidade exata P (p⇤  2/19) e compare o resultado com as aproxima¸oes pela Normal: c˜ 31
  32. 32. PN (p⇤  1.5/19), PN (p⇤  2/19), PN (p⇤  2.5/19). Qual destes valores representa melhor o verdadeiro valor P (p⇤  2/19)?4 Uma amostra aleat´ria de 625 donas-de-casa revela que 70% delas prefe- o rem a marca X de detergente. Construir o intervalo de confian¸a de c 90% (intervalo por estimativa pontual e intervalo conservador) para p = propor¸˜o das donas-de-casa que preferem X. ca5 Antes de uma elei¸ao, um determinado partido est´ interessado em estimar c˜ a a propor¸ao p de eleitores favor´veis a seu candidato. Uma amostra c˜ a piloto de tamanho 100 revelou que 60% dos eleitores eram favor´veis a ao candidato em quest˜o. a (a) Determine o tamanho da amostra necess´rio para que o erro co- a metido na estima¸ao seja no m´ximo 0.01 com probabilidade de c˜ a 80%. (b) Se na amostra fina (com tamanho dado por (a)) observou-se que 55% dos eleitores eram favor´veis ao candidato em quest˜o, cons- a a trua um intervalo de confian¸a (95%) para a propor¸˜o p. c ca6 Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de con- sumidores de um certo produto. Se uma amostra de tamanho 300 forneceu 100 indiv´ ıduos que consomem o dado produto, determine: (a) O intervalo de confian¸a para p, com coeficiente de confian¸a 95%. c c (b) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa n˜o exceda a 0.02 unidades com probabilidade de 95%.7 Um pedido de aux´ ılio, feito pelo correio, teve 412 respostas a 5000 car- tas enviadas, e outro pedido, mais dispendioso, teve 312 respostas a 3000 cartas enviadas. Obtenha o intervalo de confian¸a de 90% para a c diferen¸a de propor¸˜es entre os dois pedidos. c co 32
  33. 33. 9 Teste de hip´teses para propor¸oes o c˜1 Os dados correspondem a uma distribui¸ao Bin(n, p). Conduzir o seguinte c˜ teste H0 : p = 0.75 vs H1 : p < 0.75. Assuma n = 150. a)Se p⇤ = 0.72 for uma estimativa pontual de p. Determine a for¸a da c evidˆncia contida nos dados (⇡-value). e b)Verifique se a entimativa p⇤ apresenta evidˆncia suficiente para rejei- e tar H0 ao n´ ↵ = 0.01. ıvel2 Suspeita-se da honestidade de um dado de 6 faces. Procurando suporte para tal afirma¸˜o considera-se o n´mero de vezes que a face 2 ´ obtida ca u e numa sequˆncia de n lan¸amentos independentes. e c a)Determine a hip´tese nula H0 e a alternativa H1 . o b)Em n = 20 lan¸amentos independentes obtem-se 2 vezes a face 2. c Calcule a for¸a da evidˆncia contida nos dados e responda: Para que c e n´ ıveis de significˆncia ↵, a hip´tese H0 ´ rejeitada?. Interprete. a o e Calcule o ⇡-value utilizando a aproxima¸ao normal e responda: Para c˜ que n´ıveis de significˆncia ↵, a hip´tese H0 ´ rejeitada?. Compare. a o e c)Em n = 20 lan¸amentos independentes obtem-se 6 vezes a face 2. c Calcule a for¸a da evidˆncia contida nos dados e determine se os dados c e resultam significantes ao n´ ↵ = 0.10. ıvel3 Membros de uma associa¸˜o profissional desejam provar que menos da ca metade dos eleitores apoiam as medidas tomadas pela equipe econˆmica o do governo para enfrentar a crise financeira internacional. Seja p a propor¸ao de eleitores que apoiam as medidas. c˜ a)Determine a hip´tese nula e a alternativa de um teste que permita o avaliar a situa¸ao. c˜ b)Se uma pesquisa com 500 eleitores selecionados ao acaso revela que 228 apoiam as medidas econˆmicas, podemos dizer que os dados s˜o o a significantes ao n´ ↵ = 0.05?. ıvel4 Dois grupos, A e B, s˜o formados por pessoas distintas que possuem a a ´ mesma enfermidade. E ministrado um soro ao grupo A mas n˜o aoa grupo B. Das 100 pessoas que formaram o grupo A, 75 se curaram e, das 100 pessoas que formaram o grupo B, 65 obtiveram a cura. Verifique se o soro ´ eficiente na cura da enfermidade. e 33
  34. 34. 5 Numa amostra aleat´ria de visitantes de um museu, 22 de 100 fam´ o ılias pro- venientes da regi˜o Sul e 33 de 120 fam´ a ılias provenientes de S˜o Paulo a compraram alguma coisa nas lojas do museu. Podemos considerar que a propor¸˜o de pessoas, provenientes da regi˜o Sul e de S˜o Paulo, que ca a a compraram alguma coisa nas lojas do museu, s˜o iguais? a6 Um m´todo de borrifar nuvens (para provocar chuva) obteve sucesso em e 54 dentre 150 tentativas, enquanto que o outro m´todo obteve sucesso e em 33 dentre 100 tentativas. Pode-se concluir que o primeiro m´todo e ´ superior ao segundo? e7 Sendo X o n´mero de sucessos em n = 10 provas de Bernoulli, queremos u testar H0 : p = 0, 6. Se o teste for unilateral e rejeitarmos H0 para valores pequenos de X, detemine o p-valor se o valor observado de X for 3. Conclua sobre a rejei¸ao ou n˜o de Ho . c˜ a8 Membros de uma associa¸ao patronal desejam demonstrar que mais de c˜ 60% dos seus associados apoiam a pol´ ıtica de privatiza¸ao do governo. c˜ Determine a regi˜o cr´ a ıtica do teste de hip´tese para essa situa¸ao, para o c˜ um n´ de significˆncia ↵ = 0.05, supondo que os dados s˜o colhidos ıvel a a de uma amostra com 80 associados selecionados ao acaso. 34
  35. 35. 10 Estima¸˜o por Intervalo ca para popula¸˜es Normais co1 Considere a seguinte amostra aleat´ria de tamanho 20 proveniente de uma o distribui¸ao Normal de m´dia desconhecida µ e variˆncia 2 : 13.736, c˜ e a 14.579, 14.025, 13.542, 14.294, 13.815, 13.615, 13.633, 13.893, 14.105, 14.129, 15.029, 13.814, 14.516, 13.982, 14.174, 13.900, 14.319, 13.822, 13.728 a) Calcule o 100 % I.C. para µ sabendo que 2 = 0.36, para os n´ ıveis de confian¸a = 0.9, 0.95, 0.99. Calcule o comprimento de c cada intervalo de confian¸a. Que evidˆncia h´ na rela¸ao entre o c e a c˜ comprimento do intervalo e o n´ de confian¸a? ıvel c 2 b) Calcule o 100 % I.C. para µ supondo desconhecido, para os n´ ıveis de confian¸a = 0.9, 0.95, 0.99. c2 Considere a seguinte amostra aleat´ria de tamanho 15 proveniente de uma o distribui¸ao Normal de m´dia µ e variˆncia desconhecida 2 : 5.055, c˜ e a 6.916, 5.812, 5.044, 4.914, 5.665, 4.772, 5.502, 3.841, 5.782, 4.579, 5.477, 7.158, 5.254, 5.276 a) Calcule o 100 % I.C. para sabendo que µ = 5, para os n´ ıveis de confian¸a = 0.9, 0.95, 0.99. Calcule o comprimento de cada c intervalo de confian¸a. c b) Calcule o 100 % I.C. para supondo µ desconhecido, para os n´ ıveis de confian¸a = 0.9, 0.95, 0.99. Calcule o comprimento de c cada intervalo de confian¸a. c3 Considere a m´dia amostral de uma a.a. de uma popula¸˜o com m´dia e ca e µ e variˆncia igual 10. Encontre o valor de n para que o intervalo a ¯ ¯ aleat´rio(X 0, 5; X + 0, 5) tenha probabilidade aproximada de 0,954 o de conter µ.4 Sejam X1 , ..., Xn a.a. tendo distribui¸˜o N (µ, 2 ). A margem de erro de ca ıvel q ¯ um IC de n´ 100(1 ↵)% para µ utilizando-se X, se conhecido, ´ e 2 dado por e = z↵/2 n . Considerando = 4, qual ´ o tamanho amostral e de modo a ter 90% de certeza de que o erro de estima¸ao n˜o exceda c˜ a 0,8? 35
  36. 36. 11 Teste de hip´teses o para popula¸˜es Normais co1 Denotemos por µ a verdadeira m´dia de n´ de radioatividade (picocuries e ıvel por litro). O valor 5 pCi/L ´ considerado como linha divisoria entre e agua segura e n˜o segura. Qual dos seguintes testes recomenda condu- ´ a zir? H0 : µ = 5 vs H1 : µ > 5 H0 : µ = 5 vs H1 : µ < 5 Explique seu racioc´ ınio em termos dos erros tipo I e II.2 Para cada situa¸˜o apresentada a seguir, verifique se os dados apresentam ca evidˆncia suficiente para rejeitar a hip´tese nula sendo que s denota o e q o 1 Pn ¯ desvio padr˜o amostral s = n 1 i=1 (Xi X)2 . a a) Popula¸ao normal, n = 15, X = 83.9, s = 18.2, ↵ = 10%, para o c˜ teste H0 : µ = 85 vs H1 : µ < 85. b) Popula¸ao normal, n = 15, X = 79.1, s = 11.8, ↵ = 10%, para o c˜ teste H0 : µ = 76 vs H1 : µ 6= 76.3 Sabendo que a resistˆncia ` tens˜o, de uma pe¸a de algod˜o possui distri- e a a c a bui¸ao normal. c˜ a) A resistˆncia ´ medida em 15 pe¸as selecionadas ao acaso, ob- e e c servando-se uma m´dia amostral igual a 39.3 e um desvio padr˜o e a amostral igual a 2.6. Verifique se os dados s˜o significantes ao a n´ ↵ = 10%, para o teste H0 : µ = 40 vs H1 : µ 6= 40. ıvel b) Determine a regi˜o cr´ a ıtica dos teste enunciado em a) para ↵ = 10%. c) A resistˆncia ´ medida em 54 pe¸as selecionadas ao acaso, ob- e e c servando-se uma m´dia amostral igual a 42.4 e um desvio padr˜o e a amostral igual a 3.1. Calcule a for¸a da evidˆncia contida nos c e dados e determine para quais n´ ıveis de significˆncia H0 ´ rejeitada. a e d) Melhorias implementadas no tratamento da fibra de algod˜o per- a mitem suspeitar que a resistˆncia tem aumentado. Perante esta e afirma¸ao reformule o teste. Se essa resistˆncia foi medida em 15 c˜ e 36
  37. 37. pe¸as observando-se uma m´dia amostral de 41.3 com um desvio c e padr˜o amostral igual a 2.6. Verifique se os dados s˜o significan- a a tes ao n´ ıvel ↵ = 0.05. Determine a regi˜o cr´ a ıtica do teste para ↵ = 0.05.4 A demanda biol´gica de oxigˆnio (DBO) ´ um ´ o e e ındice de polui¸ao con- c˜ trolado nas ind´strias de papel e celulose (para preservar o equilibrio u ambiental toda ind´stria de papel deve consumir uma quantidade de u oxigˆnio que n˜o supere um “valor limite”). Em 43 medidas coletadas e a numa ind´stria, no pe´ u ıodo: Setembro 1999-Fevereiro 1999, a m´dia e o e desvio padr˜o dos dados observados foram 3242 ppd e 757 ppd, respec- a tivamente. Aquela empresa tinha estabelecido como valor limite 3000 ppd para o DBO m´dio. Julgaria que os dados amostrais suportam que e a meta foi atingida ao n´ ↵ = 5%? ıvel5 Uma empresa mineira acredita que a explora¸ao de urˆnio ´ poss´ numa c˜ a e ıvel certa regi˜o, isto ´, na regi˜o a concentra¸˜o m´dia de urˆnio ´ superior a e a ca e a e a 10. Admitindo-se que a distribui¸˜o desta concentra¸˜o ´ normal e ca ca e que as medi¸oes em 13 pontos selecionados ao acaso na regi˜o s˜o 7.92, c˜ a a 10.29, 19.89, 17.73, 10.36, 13.50, 8.81, 6.18, 7.02, 11.71, 8.33, 9.32, 14.61 a) Verifique se h´ evidˆncia suficiente contra a hip´tese de abandono a e o da ´rea . a b) Qual seria a regi˜o cr´ a ıtica do teste ao n´ de significˆncia ↵ = ıvel a 2%?6 Em 18 condena¸˜es por “posse de drogas” num tribunal norte-americano co as condena¸oes atribu´ c˜ ıdas tiveram m´dia de 38 meses e desvio padr˜o e a amostral de 4 meses. Considerando que as condena¸oes s˜o normal- c˜ a mente distribu´ ıdas, verifique se os dados suportam ao n´ de signi- ıvel ficˆncia ↵ = 5% a suspeita de que nesse tribunal as condena¸oes por a c˜ “posse de drogas” ´ em m´dia maior do que 36 meses. Fa¸a o mesmo e e c teste considerando ↵ = 1%. Interprete.7 Um fabricante de aparelhos de TV afirma que s˜o necess´rios no m´ximo a a a 250 microamperes ( µA) para atingir um certo grau de brilho num tipo de TV. De uma amostra de 20 aparelhos obtivemos uma m´dia e amostral de X = 257.3 µA. Denotemos por m a verdadeira m´dia de e 37
  38. 38. µA necess´rio para atingir o grau de brilho desejado e suponhamos que a m ´ a m´dia de uma popula¸˜o normal com conhecido e igual a 15. e e ca a) Calcule a for¸a da evidˆncia contida nos dados para o n´ ↵ = c e ıvel 0.05 conduzindo o teste cuja hip´tese nula especifica que m ´ no o e m´ximo 250 µA. a b) Calcule a regi˜o cr´ a ıtica do teste para o n´ ↵ = 0.05. ıvel c) Se m = 260, Qual ´ a probabilidade de cometer um erro tipo II? e d) Para qual valor de n (tamanho amostral) a probabilidade de co- meter o erro tipo II resulta igual a 0.01.8 O ponto de desvanecimento de cada uma de 16 amostras de uma certa marca de vegetais hidrogenados foi determinado, resultando numa m´dia e amostral X = 94.32. Considerando que o ponto de desvanecimento pos- sui distribui¸ao normal de desvio conhecido = 1.20. c˜ a) Verifique se a amostra apresenta evidˆncia suficiente para rejeitar e H0 ao n´ ↵ = 0.01, calculando o ⇡-value onde H0 : µ = 95 vs ıvel H1 : µ 6= 95. b) Se ↵ = 0.01 e µ0 = 94. Qual ´ a probabilidade de cometer erro e tipo II? c) Se ↵ = 0.01. Que valor de n (tamanho amostral) ´ necess´rio para e a obter uma probabilidade de cometer erro tipo II, com µ0 = 94 igual a 0.1?9 O ponto m´dio desejado de SiO2 em certo tipo de cimento aluminoso ´ de e e 5.5. Para provar se o verdadeiro ponto m´dio da porcentagem numa e planta de produ¸˜o em particular ´ 5.5, foram coletadas 16 amostras. ca e Supondo que a porcentagem de SiO2 numa amostra est´ normalmente a distribu´ com desvio conhecido e igual a = 0.3 e sabendo que na ıda amostra selecionada obteve-se X = 5.25, responda: a) Os dados indicam de forma conclusiva que o verdadeiro ponto m´dio de porcentagem n˜o ´ µ = 5.5?. e a e b) Se ↵ = 0.01, qual o valor de n (tamanho amostral) ´ necess´rio e a 0 para obter uma probabilidade de cometer erro tipo II, com µ = 5.6 igual a 0.01? 38
  39. 39. 10 Um experimento para comparar a resistˆncia de coes˜o ` tens˜o do e a a a morteiro modificado de l´tex de pol´ a ımeros, com a resistˆncia do mor- e teiro n˜o modificado, supondo que os dados tem distribui¸ao Normal; a c˜ 2 resultou em X = 18.12 kf g/cm para o morteiro modificado e em Y = 16.87 kf g/cm2 para o morteiro n˜o modificado. Sejam µ1 e µ2 as a verdadeiras resitˆncias de coes˜o ` tens˜o para os morteiros modificado e a a a e n˜o modificado respectivamente. Verifique se os dados suportam a a rejei¸ao de H0 . Onde H0 : µ1 µ2 = 0 vs H1 : µ1 µ2 > 0 com n´ c˜ ıvel de significˆncia ↵ = 0.01, nas seguintes situa¸˜es: a co a) Se para o morteiro modificado foi utilizada uma amostra de ta- manho m = 40 e para o n˜o modificado foi utilizada uma amostra a de tamanho n = 32. Os valores dos desvios s˜o conhecidos 1 e a 2 (associados respectivamente ao morteiro modificado e ao n˜o a modificado), 1 = 1.6 e 2 = 1.4. Proponha uma estat´ ıstica para conduzir o teste e verifique se os dados indicam a rejei¸ao de H0 . c˜ b) Se para o morteiro modificado foi utilizada uma amostra de ta- manho m = 40 e para o n˜o modificado foi utilizada uma amostra a de tamanho n = 32. Os valores dos desvios s˜o conhecidos 1 e 2 a (associados respectivamente ao morteiro modificado e ao n˜o mo- a dificado), 1 = 2 = 1.6. Proponha uma estat´ ıstica para conduzir o teste e verifique se os dados indicam a rejei¸˜o de H0 . ca c) Sabendo que m X n X m = 30, (Xi X)2 = 40.1, n = 22, (Yj Y )2 = 53.22. i 1 j=1 Assumindo que os desvios 1 e 2 s˜o desconhecidos e iguais, pro- a ponha uma estat´ ıstica para o teste e determine se os dados indicam a rejei¸ao de H0 . c˜11 Os estudantes universit´rios homens entediam-se mais facilmente que as a estudantes mulheres?. Esta pergunta foi examinada pelo artigo “Bore- dom in Young Adults Gender and Cultural Comparisons”(J. of Cross Cultural Psych. pp. 209-223). Os autores aplicaram uma escala de- nominada Escala Proneness de tedio a 97 estudantes homens e a 148 estudantes mulheres, todos eles de universidades norteamericanas. As- sumindo que a classifica¸ao fornecida pela escala Proneness possui dis- c˜ tribui¸ao normal verifique se a seguinte informa¸ao apoia a hip´tese da c˜ c˜ o 39

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