Ecuaciones Diferenciales Un Método Numérico

ECUACIONES DIFERENCIALES
Un Método Numérico
INTEGRANTES:
TUTOR:
Byron Fernando Ochoa
Fabián Yuquilema
Ing. Germania Rodríguez
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Introducción:
En las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma dy/dx=f(x,y), se establecen como una fuente de información; es decir, que se desarrollan varios procedimientos para llegar a soluciones tanto explícitas e implícitas, por lo que, ecuaciones de este tipo pueden tener soluciones, que analíticamente, no se pueden establecer. Es así que para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales lo hacemos de forma numérica; es decir, que dicha ecuación se la utiliza para aproximar una solución desconocida.
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Dentro de este método numérico se establecen dos pasos fundamentales a seguir, para llegar a la solución de aproximación de una ecuación diferencial. Esto es:

Uso de la Recta Tangente.
Método de Euler.

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MÉTODO DE EULER
La idea que tiene el método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Por ejemplo si tenemos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
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Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado .
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Así, calculamos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto . Como sabemos la ecuación de la recta es:
Donde mes la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :
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Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a , y por lo tanto estará dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
de aquí se obtiene la formula de aproximación, que es:
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer un error al aplicar dicha fórmula.
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Ahora se sabe que:
Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituimos los datos de una forma adecuada, se obtiene:
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general para el método de Euler, está dada por:
Esta es la conocida fórmula de Euler que se utiliza para aproximar el valor de aplicándola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h.
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Ejemplo:
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:
Aproximar .
Como se puede observar esta ecuación se puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones posibles.
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Solución Analítica
Sustituyendo la condición inicial:
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Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada por:
Y por lo tanto, el valor real que se pide aquí es:
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Solución Numérica
Aquí se aplica el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de y por lo tanto se obtiene la aproximación deseada en cinco pasos.
De esta forma, tenemos los siguientes datos:
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Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:
Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:
Y así sucesivamente hasta obtener .
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Para ello resumimos en la siguiente tabla los resultados que se deben obtener, tanto para así como para hasta que n
sea igual a 5.
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De acuerdo a los datos obtenidos en la tabla, la gráfica correspondiente a la ecuación quedaría de la siguiente manera:
Valor aproximado
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Y así se concluye que el valor aproximado, utilizando el método de Euler es:
En este caso ya se conoce el valor verdadero, el cual se lo puede utilizar para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la fórmula de Euler. Para ello aplicamos la formula que dice:
| (valor real - aproximación/valor real ) * 100% | . Reemplazando los valores en la fórmula tenemos:
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FUENTES
Libro:
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición, Dennis G. Zill
Web:
http://www.mitecnologico.com/Main/MetodosDeEuler
http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidadse/Euler
/euler.htm
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node14.html
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