GUIA ESTADISTICAMEDELLíN
GUIA DE ESTADISTICA BASICAADRIANA GUERRERO PEÑAMARIA VICTORIA BUITRAGOMA. DE LOS ÁNGELES CURIESES PAULETE
INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOEstablecimiento Público de Educación SuperiorAdscrito a la Alcaldía de Medellín. La ser...
Ma. de los Ángeles Curieses PauletteAdriana Guerrero peñaMa- Victoria Buitrago
PRESENTACIÓNCon esta guía se pretende que el estudiante aprenda a manejar através del uso de procedimientos estadísticos h...
TABLA DE CONTENIDOCAPITULO 11. CONCEPTO DE SUMATORIA 1.1 Definición 1.2 Propiedades 1.3 Actividad 1.4 EjerciciosCAPITULO 2...
2.6.3 Histograma2.6.4 Polígono de frecuencias2.6.5 Actividad2.7 Ejercicios - Métodos gráficos2.8 Ejercicios     Tablas de ...
CAPITULO 33. MÉTODOS NUMÉRICOS 3.1 Medidas de tendencia Central 3.1.1 Media Aritmética 3.1.1.1 Actividad 3.1.2 Mediana 3.1...
4. PROBABILIDADES 4.1 Conceptos básicos de probabilidad 4.1.1 Actividad 4.2 Modelos de probabilidad 4.2.1 Modelo clásico 4...
4.5.1.1 Sucesos mutuamente excluyentes 4.5.1.2 Actividad 4.5.2 Probabilidad Condicional 4.5.3 Regla de la multiplicación 4...
6.1 Distribución Binomial6.1.1 Función de Probabilidad de la Distribución Binomial6.1.2 Parámetros de la Distribución Bino...
CAPITULO 77. DISTRIBUCION DE PROBABILDAD CONTINUA7.1 Distribución Normal.7.1.1 Representación Gráfica de la Función de Den...
INTRODUCCIONLa materia estadística e introducción a la probabilidad se adapta alas necesidades del curso semestral de las ...
1CAPITULO 1En esta capitulo se presentan los principales conceptos básicos quepermiten la comprensión de los métodos emple...
1.2 PROPIEDADESDe la definición de se derivan las siguientes propiedades.niix11. Si (constante) entonces cxinccccccxninii....
1.4 EJERCICIOS1. Suponga que se tienen dos sucesiones X y Y, apareadas de lamanera siguienteX: 1 2 3 4 5Y: 2 4 6 8 10Halla...
5. Si ; calculara. b.c. d.6. Calcular; utilizando propiedadesa. b. c.7. Pruebe si las expresiones A y B son iguales:si,541...
HISTORIA DE LA ESTADÍSTICADesarrollo histórico de la estadísticaEl término estadística se empleó para referirse a los dato...
2CAPITULO 2COMPETENCIADescribir y analizar gráficamente diferentes tipos de informaciónEJE TEMATICOConcepto de Estadística...
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: Se dedica a la descripción,organización, síntesis y análisis de la información de interés; perosi...
2. POBLACION INFINITA: Cuando es imposible enumerarfísicamente TODOS los elementos que pertenecen a lapoblación.MUESTRA: E...
La variable cuantitativa puede ser:a) VARIABLE CUALITATIVA DISCRETA: Cuando losvalores que toma la variable son enteros qu...
2.3 EJERCICIOS - CONCEPTOS ESTADISTICOS.1. Utilizando la información suministrada en la situación siguienteidentifica los ...
: ___________________________________________________
Situación 2.Comer juntos: sigue siendo importante.A continuación se presentan los resultados obtenidos en unaencuesta real...
Situación 3.Un fabricante de medicamentos está interesado en la proporción depersonas que padecen hipertensión (presión ar...
de Medellín, los cuales en su mayoría dieron una aceptación de 7puntos.Con la información identifique:a. ¿Cuál es la pobla...
3. Resolver las siguientes preguntas:a. Describa en sus propias palabras cómo puede utilizarse laestadística para solucion...
4. Determine si las siguientes variables son discretas ocontinuas:a. Número de cursos que los estudiantes de Costos y Pres...
2.4 METODOS GRAFICOS PARA DESCRIBIR INFORMACIONUn análisis estadístico comienza generalmente, con un estudiografico de los...
2.5.1 TABLA DE ENTRADA DE DATOS: Es aquella en lacual solo aparecen los datos que se obtuvieron en la recolección dadatos....
PROCESO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DEFRECUENCIA SIMPLE:Utilizaremos el siguiente proceso para la elaboración de la t...
y así sucesivamente=1La tabla para datos simples quedaría:Tabla 1: Tabla de distribución de frecuencias datos sinagrupar11...
nX nf nFnfhnn nhhh.21 100nh 2.5.3.2 TABLA DE FRECUENCIA PARA DATOS AGRUPADOSSe utiliza para variables continuas y discreta...
PROCESO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DEFRECUENCIA PARA DATOS AGRUPADOS:1. Calculamos el número de intervalos de clase ...
5. Se busca la marca de clase que denotamos por la nueva , yes:(5)6. La segunda columna de la tabla, para datos agrupados,...
nnLSLI
2.6 METODOS GRAFICOSLa presentación de la información mediante gráficos es algo que seanaliza a diario y en forma casi nat...
2.6.2 DIAGRAMA DE BARRAS:Se utiliza para frecuencias absolutas o relativas, acumuladas o no,de una VARIABLE DISCRETA. En e...
intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de lasabscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a...
2.7 EJERCICIOS- DESCRIPCION DE LA INFORMACION PORMETODOS GRAFICOS1. Utilizando la siguiente información cree tabla de cate...
EstudiantesMATERIAMatemáticasCTSLenguaMaternaTOTALAprobaron1005070220Noaprobaron40202080Desertaron1530550TOTAL155100953504...
EL LACER FUNCIONA HACIENDO CONVERGER ONDAS DE SONIDOLASER0 NOSE1 VERDADERO2 FALSO16,00%13,60%70,40%5. En un curso de bachi...
En consecuencia, se hizo una campaña para que los estudiantesequilibraran su alimentación y subieran un poco de peso. Para...
c. Los estudiantes que tienen 15 años pueden pesar entre 50 y 60kilos.6. Del siguiente grafico saque la tabla de distribuc...
2.8 EJERCICIOS   DESCRIPCION DE LA INFORMACION PORTABLAS1. El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos porfami...
345203212322314232433221Se   pide:a)   ¿Cuál es la población objeto de estudio?b)   ¿Qué variable estamos estudiando?c)   ...
h) Realice el grafico2. Las siguientes son las dimensiones en milímetros, de tornilloselaborados por una máquina en la emp...
174170167159162169168156188168187188168185184174170159178169173186184178176186174163156160
a. Elabore una tabla de frecuencia y defina la variable y lafrecuencia absoluta.b. Grafique el diagrama de frecuencia simp...
c. Que Porcentaje de individuos esta muy satisfecho con el trabajoque realiza?d. Construya un grafico que represente la in...
101
a. Termina de construir la tabla de frecuencias, y defina variablesb. Cuantas plantas tienen como mínimo 6 hojas atacadas?...
737575767778798081828486878990919293 9699102103104106107107110112114116
117119123125129a. Defina objetivo y variable Realice un análisis para datosagrupados utilice 5 intervalos de clase interpr...
j. que porcentaje de trabajadores laboran mas de 130 horas7. Los datos siguientes son una muestra aleatoria de los ingreso...
18019840222344019854603966347618437640248945372954654266396622489641737646178855190568209125036441743746262056634069325827...
CLASE iLIiLSiXifiFihiHi152681537820
4155560
a. Cuantos trabajadores laboraron 88 horas o másb. Que porcentaje de trabajadores laboraron entre 68 y menos de108c. Que p...
añosb. Que porcentaje de trabajadores laboran entre 10 y menos de 19añosc. Que porcentaje de trabajadores laboran 15 o mas...
3CAPITULO 3COMPETENCIADescribir y analizar información cuantitativa utilizando métodosnuméricos.EJES TEMATICOSMétodos numé...
Las características más importantes de la distribución de unavariable son las medidas de tendencia central y de dispersión...
3.1.1 MEDIA ARITMETICA:Se define como el promedio de los valores de la distribución dedatos y es el estadístico más comúnm...
a) Cuando el numero de datos es impar (n impar) , la mediana esel valor que se encuentra en la posición .21n21nexmb) Cuand...
a : amplitud del intervalo.3.1.3 MODAEs el valor más común de la distribución de datos. Igual a lamediana se calcula para ...
3.2 MEDIDAS DE POSICIONLas medidas de posición mas utilizadas son los cuartiles, deciles ypercentiles Como su nombre lo in...
3.2.3 LOS PERCENTILESSon 100 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada deforma creciente o decreciente, en cien ...
Calculo de la Varianza:i= 1,2, ..,N Varianza Poblacionali= 1,2, .,n Varianza Muestral3.3.1.1 ACTIVIDADDemuestre utilizando...
el 20%, la distribución de datos es homogénea y si es mayor del20% la distribución de datos es heterogénea, osera pueden e...
3.4 EJERCICIOS SOBRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL,POSICION Y VARIACION.1. Hallar la media, mediana y la desviación de los ...
a.   Calcular la dimensión promedio de los 25 tornillos?b.   Cual es la dimensión en mm que mas se repite?c.   Calcular el...
3. Tenemos información correspondiente al número de horas diariastrabajadas por una persona contratada durante doce días e...
curso de geometría.c. Calcular el 75% de la información.d. Cual es el número de hermanos que mas tienen losestudiantes del...
de hojas que han sido atacadas después de haber tratado la plantacon el nuevo producto. Los resultados son:Hojasatacadas06...
d. Cual es el común de horas extras que mas laboran lostrabajadores?e. Calcular los cuartiles de la información?
7. Una empresa de Transporte internacional quiere estudiar losdías que transcurren hasta hacer la entrega de los encargos ...
INTERVALOSCI <95CI = o > 951000 - 300075193000 - 500035265000 - 700020257000 - 900030309000 - 11000255411000 -119991546a) ...
c. Interprete los datos de la fila 3.d. Cual es la distancia de frenado que mas se repite.e. Calcular el 50% de la distanc...
f. Encontrar el 25%, 60% y 75% de las distancias de frenado de losautomóviles?g. Interpretar las respuestash. Calcular cua...
0,1200,1070,1230,1090,1280,1170,1110,1120,1010,1120,1110,1190,1030,1000,0940,1080,1200,0990,1020,1290,1150,1210,1300,1340,...
c) Hallar los mismos datos que se hallaron para en a) pero ahorapara los datos agrupados
11. Las edades de una muestra aleatoria de 10 estudiantes delprograma diurno y nocturno del postgrado en administración de...
iF118   1270,075127 1360,200136     1450,425145     1540,700154     1630,850163     1720,900172     1811a) Hallar la media...
c) Encontrar la desviación estándar y el coeficiente de variación.d) Interprete resultado.13. Un número de cheques cobrado...
4CAPITULO 4COMPETENCIAConocer el concepto de probabilidad, su terminología y elCálculo de probabilidades simplesEJES TEMAT...
El propósito de esta unidad es ilustrar las formas en las cualespuede medirse la posibilidad o probabilidad de ocurrencia ...
4.1.1 ACTIVIDAD.Según las definiciones anteriores, construye un ejemplo querepresente estas definiciones.4.2 MODELOS DE PR...
4.2.3 MODELO DE PROBABILIDAD EMPIRICO, A -POSTERIORIEl modelo de frecuencia relativa llamado también modelo aposteriori ut...
determinar la probabilidad de un suceso si se conocen lasprobabilidades de otros sucesos relacionados con él. Las másimpor...
La probabilidad de que un evento B ocurra, cuando se sabe que yaocurrió algún evento A , se llama probabilidad condicional...
Se lee como la probabilidad de B dado A y es igual: ò)(APBAABP Si,BPABBAP0,BPAP4.5.3. REGLA DE LA MULTIPLICACIONLa fórmula...
4.5.3.2 ACTIVIDAD:1. Identifica la diferencia entre eventos mutuamente excluyentes yeventos independientes.2. Investiga so...
4.6.1 TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓNSi hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otracosa, hay m x n formas da ...
Numero Total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 484.6.2 TÉCNICA DE LA PERMUTACIÓNComo vimos anteriormente la técnica de la mult...
Donde:nPr es el número de permutaciones posiblen es el número total de objetosr es el número de objetos utilizados en un m...
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, esdecir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo...
4.6.3 TÉCNICA DE LA COMBINACIÓNEn una permutación, el orden de los objetos de cada posibleresultado es diferente. Si el or...
Usando la fórmula de combinaciones:n C r =n!=7!=7!= 35r! (n     r )!3! ( 7     3 )!3! 4!El tomar tres colores de 7 posible...
4.5 EJERCICIOS     PROBABILIDAD1. ¿Cuál modelo de probabilidad es apropiado para cada uno de losexperimentos enumerados a ...
5. Un experimento consiste en señalar 3 piezas en un procesomanufacturero y observar si son defectuosos D o no defectuosos...
40210Gobierno () 3A40070TOTAL200
Llene la tabla de contingencia y calcule1. La tabla de probabilidad conjunta2. Si saca una persona al azar cual es la prob...
13. En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tengatelevisor es 0.80; una maquina lavadora es 0.50 y de que ...
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Sor Alicia apruebe el examenfinal de Estadística?b. Dado que Sor Alicia aprobó el exame...
22 Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos,pero solo tiene 6 lugares en la mesa.a) ¿De cuantas manera...
i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sent...
e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y unaniña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar p...
5CAPITULO 5COMPETENCIAComprender el concepto de variable aleatoria asociada a unadistribución de probabilidadEJES TEMATICO...
los valores de probabilidad individuales mediante el símbolo f(x), locual implica que hay implícita una función matemática...
5.1.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LAS VARIABLESALEATORIAS DISCRETASPara una variable discreta, la distribución de prob...
5.1.1.1 PROPIEDADES DE LAS v.a DISCRETAS f(x)Tiene siete propiedades importantes para que sea función dedistribución de pr...
EJEMPLO Si se lanzan 2 dados de distinto color al aire y sedenomina X la suma obtenida, hallar la distribución deprobabili...
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76/3621/3685/3626/3694/3630/36103/3633/36112/3635/36121/3636/3615.1.3 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORÍADISCRETA.Con...
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6CAPITULO 6COMPETENCIAReconocer el modelo Binomial, Hipergeométrico y Poisson comounas de las distribuciones de probabilid...
.En cada prueba del experimento sólo son posibles dosresultados: el suceso A (éxito) y su contrario A .(fracaso)..El resul...
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tediosose han construido tablas para algunos valores de n y p ...
Ejemplo 2La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72.Calcula la probabilidad de a que una vez administrada ...
6.2 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICALos experimentos que tienen este tipo de distribución tienen lassiguientes características...
6.2.1 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓNHIPERGEOMETRICAEjemplos:1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero hacolo...
otra forma de resolver;p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1   p(deque entre las tabletas seleccionad...
Solución:a) N = 10 proyectiles en totalk= 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proy...
n = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones quepertenecen a personas men...
Su distribución de probabilidad está dada por:P(X=x) =Donde:!),(kekfk.e es la base del logaritmo natural= (e = 2.71828...)...
6.4 EJERCICIOS - MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETAS.1. Un estudio determinó que 40% de los alumnos de unauniversidad se des...
4. Si una moneda ordinaria se lanza ocho veces consecutivas,calcule la probabilidad de que resulten:a. Todas águilas.b. Qu...
8. Una compañía fabricante sabe que la posibilidad de que unartículo salga defectuoso es de un 15%. Dicha compañía utiliza...
11. El número de llamadas que llegan al PBX de la universidad esde 4.5 por minuto. Determine la probabilidad de:a. Ocurran...
14. Una caja de vino tiene 12 botellas, tres de las cuales contienenvino descompuesto. De la caja se elige al azar una mue...
7CAPITULO 7COMPETENCIAReconocer el modelo Normal como una de las distribuciones deprobabilidad mas aplicadas a variables a...
Su Función de densidad es simétrica y con forma de campana, loque favorece su aplicación como modelo a gran número devaria...
determinados será en general difícil de calcular (hay que usar laintegral de la función de probabilidad). Para ello, exist...
Ejemplo. Supongamos que Z = 0.43, luegoSe busca en la tabla de la siguiente manera:6664.0)43.0(zpZ0,000,010,020,030,040,05...
0.6293-0.4325=0.1968El 19.68% de las lavadoras tienen una vida útil entre 2.9 y 3.5 añosEl 4% de las lavadoras durarán men...
Solución: sea X la variable de interés que significa la resistencia ala tracción (kilogramos/centímetros cuadrados).Paráme...
Buscando en la tabla de adentro hacia fuera, ya que 0.025 es laprobabilidad, hallamos el valor de Z y despejamos el valor ...
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  1. 1. GUIA ESTADISTICAMEDELLíN
  2. 2. GUIA DE ESTADISTICA BASICAADRIANA GUERRERO PEÑAMARIA VICTORIA BUITRAGOMA. DE LOS ÁNGELES CURIESES PAULETE
  3. 3. INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOEstablecimiento Público de Educación SuperiorAdscrito a la Alcaldía de Medellín. La serieDocumentos ITM recoge la práctica institucional,Como referente para la acción, la toma de decisiones,La evaluación y la construcción histórica del Instituto.Aspira con ellos a que la comunidad tengainformación básica de su desarrollo.Autora:
  4. 4. Ma. de los Ángeles Curieses PauletteAdriana Guerrero peñaMa- Victoria Buitrago
  5. 5. PRESENTACIÓNCon esta guía se pretende que el estudiante aprenda a manejar através del uso de procedimientos estadísticos herramientas quepodrá utilizar en el mejoramiento de su desempeño laboral y enmuchos otros aspectos de la vida diaria. En esta guía desarrollaremos los conceptos básicos, que permitanla comprensión de los métodos empleados en la estadísticadescriptiva para la solución de casos relacionados con el análisis deinformación.Por otro lado, estudiaremos la solución de problemas sobreprobabilidades que requieren una cabal comprensión de algunasreglas fundamentales de probabilidad.Trataremos con este trabajo de introducir al estudiante en el mundode la estadística, desarrollando competencias que lo ayuden amejorar su desempeño laboral y muchos aspectos de su vidadiaria, para que este en capacidad de tomar decisiones ysolucionar problemas a través de la aplicación de procedimientosestadísticos.ADRIANA GUERREROMARIA VICTORIA BUITRAGOMA. DE LOS ÁNGELES CURIESES PAULETE
  6. 6. TABLA DE CONTENIDOCAPITULO 11. CONCEPTO DE SUMATORIA 1.1 Definición 1.2 Propiedades 1.3 Actividad 1.4 EjerciciosCAPITULO 22. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 2.1 Definiciones de Términos Estadísticos 2.2 Conceptos Estadísticos 2.3 Ejercicios - Conceptos Estadísticos 2.4 Métodos Gráficos Para Describir Información 2.5 Tablas de Datos 2.5.1 Tabla De Entrada De Datos 2.5.2 Tabla De Contingencia 2.5.3 Tabla De Frecuencias 2.5.3.1 Tabla de frecuencia simple 2.5.3.2 Tabla de frecuencia para datos agrupados 2.6 Métodos Gráficos 2.6.1 Gráfico de Pastel o Circular 2.6.2 Diagrama De Barras
  7. 7. 2.6.3 Histograma2.6.4 Polígono de frecuencias2.6.5 Actividad2.7 Ejercicios - Métodos gráficos2.8 Ejercicios Tablas de datos
  8. 8. CAPITULO 33. MÉTODOS NUMÉRICOS 3.1 Medidas de tendencia Central 3.1.1 Media Aritmética 3.1.1.1 Actividad 3.1.2 Mediana 3.1.2.1 Mediana para datos Sin Agrupar 3.1.2.2 Mediana para datos agrupados 3.1.3 Moda 3.1.3.1 Moda para datos Sin Agrupar 3.1.3.2 Moda para datos agrupados 3.2 Medidas de posición 3.2.1 Cuartiles 3.2.2 Deciles 3.2.3 Percentiles 3.2.4 Actividad 3.3 Medidas de dispersión 3.3.1 Varianza 3.3.1.1 Actividad 3.3.2 Desviación Estándar 3.3.3 Coeficiente de Variación 3.3.4 Regla Empírica 3.4 Ejercidos - Medidas de tendencia central, posición yDispersión.CAPITULO 4
  9. 9. 4. PROBABILIDADES 4.1 Conceptos básicos de probabilidad 4.1.1 Actividad 4.2 Modelos de probabilidad 4.2.1 Modelo clásico 4.2.2 Modelo Subjetivo 4.2.3 Modelo Empírico 4.3 Complemento de un evento 4.4 Actividad 4.5 Reglas de Probabilidad 4.5.1 Regla de la Adicción.
  10. 10. 4.5.1.1 Sucesos mutuamente excluyentes 4.5.1.2 Actividad 4.5.2 Probabilidad Condicional 4.5.3 Regla de la multiplicación 4.5.3.1 Eventos independientes 4.5.3.2 Actividad 4.5.4 Teorema de Bayes 4.6 Análisis Combinatorio 4.6.1 Técnica de multiplicación 4.6.2 Técnica de permutación 4.6.3 Técnica de la combinación 4.7 Ejercicios de probabilidadCAPITULO 55. VARIABLES ALEATORIAS 5.1 Variables Aleatorias Directas 5.1.1 Distribución de probabilidad de las Variables Aleatorias Discretas. 5.1.1.1 Propiedades de las v.a Discretas f(x) 5.1.2 Distribución de Probabilidad Acumulada f(x) 5.1.3 Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta.CAPITULO 66. DISTRIBUCION DE PROBABILDAD DISCRETA
  11. 11. 6.1 Distribución Binomial6.1.1 Función de Probabilidad de la Distribución Binomial6.1.2 Parámetros de la Distribución Binomial6.1.3 Función de Distribución Acumulada de la v.a.Binomial.6.2 Distribución Hipergeométrica6.2.1 Parámetros de la Distribución Hipergeometrica6.3 Distribución de Poisson6.3.1 Parámetros de la Distribución Poisson6.4 Ejercicios - Modelos de Probabilidad Discretas.
  12. 12. CAPITULO 77. DISTRIBUCION DE PROBABILDAD CONTINUA7.1 Distribución Normal.7.1.1 Representación Gráfica de la Función de Densidad7.1.2 Distribución Normal Estándar.7.2 Aproximaciones7.2.1 Aproximación de la Binomial mediante la distribuciónPoisson.7.2.2 Aproximación Normal a la Distribución de ProbabilidadBinomial7.3 Ejercicios - Modelos de Probabilidad Continua y Aproximaciones.CAPITULO 88. TABLAS 8.1 Tabla de la Distribución de Poisson8.2 Tabla de la Distribución Binomial8.3 Tabla de la Distribución Normal
  13. 13. INTRODUCCIONLa materia estadística e introducción a la probabilidad se adapta alas necesidades del curso semestral de las tecnologías eingenierías, en las que se estudian los fundamentos de laestadística.Con esta guía lo que se pretende es llevar al alumno al mundo de laestadística mostrándole, el manejo de la información como recursoadquiere una nueva dimensión dejando de ser una simple colecciónde hechos para convertirse en una fuente de alimentación delproceso de toma de decisiones, mostrándole como resolverproblemas ante la incertidumbre, situación que todos enfrentamostanto en el mundo de los negocios como en la vida cotidiana.El orden que guarda este material en los capítulos siguientes es elenfoque pedagógico que tiene el instituto en los microcurriculos delos diferentes programas.Cada Capitulo contiene una serie de ejercicios y aplicaciones queayudaran a los estudiantes a desarrollar su habilidad de aplicar unrazonamiento estadístico para resolver situaciones problemas einterpretación de resultados.
  14. 14. 1CAPITULO 1En esta capitulo se presentan los principales conceptos básicos quepermiten la comprensión de los métodos empleados en estadísticadescriptiva para la solución de casos relacionados con el análisis deinformación.COMPETENCIAConceptualizar y reconocer la terminología básica en EstadísticaEJE TEMÁTICORazones, proporciones y porcentajes Sumatoria y sus propiedadesHistoria de la estadística1. CONCEPTOS PREVIOS1.1 DEFINICION. DE SUMATORIA Si son números, la suma de estos númerosse expresa simbólicamente mediante la escritura,esto es,nxxxx...,,,,321nnxxxx...321n321n1iixxxxx...Así, por ejemplo, si entonces,3ixi225543213333351351iiiix
  15. 15. 1.2 PROPIEDADESDe la definición de se derivan las siguientes propiedades.niix11. Si (constante) entonces cxinccccccxninii...11Así, por ejemplo, 204*544444451i2. Si es una constante que multiplica a cada una de lasobservaciones entonces la suma de losproductos es igual a multiplicada por la suma de lasobservaciones, esto es,cnxxxx,...,,,321nniiniixccx113. Si e son sucesiones de númerosentoncesnxxxx,...,,,321nyyyy,...,,,321niniiiniiiyxyx1114. Si y son dos sucesiones denúmeros entoncesniniiiniiiyxyx1111.3 ACTIVIDAD 1. Suponga que son las unidades producidas en una pequeñaempresa en cada una de las primeras cinco horas de un día cualquiera detrabajo, suponga además que los costos de producción de las unidadesproducidas están dados por:9,7,5,3,1XYXY232. Calcule los costos de producir 1, 3, 5, 7, 9 unidades.Si y son sucesiones de números yademás , siendo y constantes entoncesUtilizando propiedades de sumatoria, Justifica la propiedad anterior.iibxayabxbay
  16. 16. 1.4 EJERCICIOS1. Suponga que se tienen dos sucesiones X y Y, apareadas de lamanera siguienteX: 1 2 3 4 5Y: 2 4 6 8 10Hallar el valor de cada una de las siguientes expresiones:a.b.c.d.YX22XXYXXYYX2. Utilizar el símbolo para representar las expresionessiguientes:a.b.c.d.3. Escriba con notación24232221xxxx543215432xaxaxaxaxanxcxcxcxcn....32132125242322215544332211xxxxxa. 4 + 8 + 12 + 16 + 20b. nrrrr.321c. 3 + 9 + 27 + 814. Hallar el valor de cada una de las expresiones siguientes:a. b. c.d. e.81ii5123ii4122kk31272iii4124iii
  17. 17. 5. Si ; calculara. b.c. d.6. Calcular; utilizando propiedadesa. b. c.7. Pruebe si las expresiones A y B son iguales:si,541441241iiiixyx412iix412iix4122iix13232iixx4122iiii3721123136iii21nimjijxbxAxnmbB1nimjijxx11
  18. 18. HISTORIA DE LA ESTADÍSTICADesarrollo histórico de la estadísticaEl término estadística se empleó para referirse a los datos delestado. En la Europa Medieval se utilizó la estadística para llevardatos sobre la población de un estado, los diezmos y los impuestosHay algunos personajes fundamentales en el desarrollo de laestadísticaAdolph Quetelet(1796-1874Fue el primero en aplicar métodos modernos a un conjunto de datosy es considerado el padre de la estadísticaFrancis Galton(1822-1911)Creó la teoría de regresión que posteriormente refinó su discípuloKarl Pearson (1857-1936)Ronald Fisher(1890-1962)Es la figura más prominente hasta el presente y creó la teoríamoderna de la estimación.
  19. 19. 2CAPITULO 2COMPETENCIADescribir y analizar gráficamente diferentes tipos de informaciónEJE TEMATICOConcepto de Estadística como cienciaTérminos básicosMétodos gráficos para describir información. CualitativaGrafico de barras y circularesMétodos Gráficos para variables cuantitativasHistogramas de frecuencia para datos no agrupadosHistograma de frecuencia para datos agrupados2. ESTADISTICA DESCRIPTIVA2.1 DEFINICIONES DE TERMINOS ESTADISTICOSESTADISTICA: Es la ciencia de las matemáticas que seencarga de la selección, recolección, tabulación, presentación yanálisis de la información que se utiliza en la toma de decisionesorganizacionales.La estadística se divide en dos grandes ramas, a saber:
  20. 20. ESTADISTICA DESCRIPTIVA: Se dedica a la descripción,organización, síntesis y análisis de la información de interés; perosin llegar a conclusiones fuertes o profundas, sobre la misma.ESTADISTICA INFERENCIAL: Busca obtener conclusionessólidas y mas profundas, basado en el trabajo con muestras y suposterior generalización de resultados para la toma de decisiones yconclusiones sólidas.La estadística inferencial nos permite inducir conclusiones desituaciones, sucesos o fenómenos previamente estudiados.2.2. CONCEPTOS ESTADISTICOSPara comprender mejor la parte de estadística descriptiva,definiremos algunos términos muy utilizados, que nos servirán deguía para el desarrollo de los ejercicios.POBLACION: Se concibe como un conjunto total deelementos, datos, personas, atributos, medidas, acontecimientos uobjetos, que poseen una o mas características comunes y cuyaspropiedades serán analizadas.La población puede ser :1. POBLACION FINITA: Cuando es posible enumerarfísicamente, TODOS los elementos que pertenecen a lapoblación.
  21. 21. 2. POBLACION INFINITA: Cuando es imposible enumerarfísicamente TODOS los elementos que pertenecen a lapoblación.MUESTRA: Es un subconjunto de la población, que seselecciona siguiendo ciertos procedimientos estadísticos, que sellama teoría de muestreo.PARAMETRO: Valor numérico que resume todos los datos deuna población completa. Para determinar su valor es necesarioutilizar la información poblacional completa.ESTADISTICO: Es un valor numérico que resume todos losdatos de una muestra y sirve como estimación del parámetro de lapoblación.VARIABLE: Es una característica, atributo o medida que se estaanalizando en un estudio estadístico.La variable pude ser:1- VARIABLE CUALITATIVA: Clasifica, o describe un atributoo cualidad de los elementos de la población o muestra.(Atributos)2- VARIABLE CUANTITATIVA: Los datos recolectadoscuantifican un elemento de la población o muestra.
  22. 22. La variable cuantitativa puede ser:a) VARIABLE CUALITATIVA DISCRETA: Cuando losvalores que toma la variable son enteros que no se puedenpartir.b) VARIABLE CUALITATIVA CONTINUA: Cuando losvalores que toma la variable se pueden partir.DATOS: Conjunto de valores recolectados para la variable.DATO: Valor de la variable asociado a un elemento de unapoblación muestra.EXPERIMENTO: Actividad planeada, cuyos resultadosproducen un conjunto de datos.VARIABLE ALEATORIA: Una Variable aleatoria (v.a) es unafunción que asigna a cada elemento de un espacio muestral unnumero real. o sea una variable es aleatoria si toma diferentesvalores como resultado de un experimento aleatorio.
  23. 23. 2.3 EJERCICIOS - CONCEPTOS ESTADISTICOS.1. Utilizando la información suministrada en la situación siguienteidentifica los Conceptos básicos de la estadística tales como:Población, muestra, variable, dato, datos, experimento, parámetroSituación 1.Un estudiante de estadística está interesado en determinar algosobre el promedio del valor en pesos de los automóviles quepertenecen al cuerpo docente del Instituto TecnológicoMetropolitano.La siguiente es la lista de información con la que el estudiantecuenta..Automóviles que pertenecen a los profesores del departamentoIdiomas:____________________________________________________.Colección de todos los automóviles que pertenecen a todos losmiembros del cuerpo docente:____________________________________________________.Valor en pesos de cada automóvil individual: ________________.Los valores de los autos de cada uno de los docentes deIdiomas:____________________________________________________.Le pregunto a cada docente de idiomas el valor de su auto:____________________________________________________.El valor promedio de todos los automóviles de los docentes delInstituto es de $1.700.830 dólares:__________________________________________.El automóvil del profesora Sánchez está valuado en $14.594.000
  24. 24. : ___________________________________________________
  25. 25. Situación 2.Comer juntos: sigue siendo importante.A continuación se presentan los resultados obtenidos en unaencuesta realizada respecto a la importancia de que una familiacoma junta.Con la información suministrada, responda las siguientes preguntas¿Qué tan importante es para usted cenar con su familia ?No20%Si.80%Algo28%Mucho 74%¿La mayor parte de su familia cenó junta ayer ?No mucho (4%)En los últimos siete días, ¿Cuántas veces cenó junta la mayor partede su familia?0 1 2 3 4 5 6 77 7 8 8 13 3 8 46Nº.díasPorcentajeCuando su familia cena junta ¿Cuánto tiempo dura la cena?Duración ½ hora 45 min más de 1 h. < ½ h 1 hora lo ignoraPorcentaje 48% 21% 2% 20% 8% 1%a. Mencione las cuatro variables.b. ¿Qué tipo de variable es cada una?
  26. 26. Situación 3.Un fabricante de medicamentos está interesado en la proporción depersonas que padecen hipertensión (presión arterial elevada) cuyacondición pueda ser controlada por un nuevo producto desarrolladopor la empresa. Se condujo un estudio en el que participaron 5000personas que padecen de hipertensión, y se encontró que 80% delas personas pueden controlar su hipertensión con el medicamento.Suponiendo que las cinco mil personas son representativas delgrupo con hipertensión, conteste las siguientes preguntas:a. ¿Cuál es la población?b. ¿Cuál es la muestra?c. Identifique el parámetro de interésd. Identifique la estadística y proporcione su valore. ¿Se conoce el valor del parámetro?Situación 4.La fábrica de gaseosas la Sed proyecta lanzar al mercado un nuevosabor. SeRealiza un test de aceptación de dicho sabor a 20 niños, utilizandouna escala de 10 puntos, para medir el grado de aceptación. Unode los niños (Pedro) acepto el nuevo sabor con 7 puntos. Lospuntos obtenidos en los 19 niños restantes son los siguientes.2,6,7,4,5,5,9,8,7,5,1,8,4,7,7,7,6,5,4.La muestra estuvo compuesta por igual número de niños de ambossexos, de 6 a 12 años, pertenecientes a una Escuela de la Ciudad
  27. 27. de Medellín, los cuales en su mayoría dieron una aceptación de 7puntos.Con la información identifique:a. ¿Cuál es la población?:______________b. ¿Cuál es la muestra?: _______________c. ¿Cuál es la variable? : ______________d. ¿Es la variable cualitativa o cuantitativa?: _________________e. ¿Cuál es el experimento? : _______________________f. ¿Cuál es un dato?: _____________________________g. ¿Cuales son los datos? : ________________________h. ¿Cuál es el estadístico? : ________________________i. ¿Cuál es el parámetro?: _________________________2. EJERCICIOIdentifique las siguientes expresiones como ejemplos de variablescualitativas o cuantitativas.a. Una encuesta de electores registrados según el candidato queapoyen.b. El tipo de cuentas que se pueden registrar en una contabilidad._c. Códigos utilizados para marcar productos en un supermercadod. El tiempo mínimo necesario para una persona ejecute una tareaespecífica.e. El número de páginas por trabajo que salen de la impresora deuna computadora.f. Registro por estratos de los habitantes de Medellín.
  28. 28. 3. Resolver las siguientes preguntas:a. Describa en sus propias palabras cómo puede utilizarse laestadística para solucionar en varias disciplinas y ocupaciones.b. Describa en sus propios términos la diferencia entre población ymuestra; entre parámetro y un estadístico.c. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y unavariable cualitativa? Dé ejemplos.d. Diferencie entre una variable continua y una variable discreta. Déejemplo de cada una.e. Una revista reciente reveló que los japoneses pronto controlaránhasta un 35% de las ventas de autos en los Estados Unidos;comparando con el 28% de finales de los años 80 está apenas un8% por encima de lo ocurrido en 1970. ¿Esta información contieneestadística descriptiva, inferencias, o ambas? Explique.f ¿Cuál es la diferencia entre la estadística descriptiva y laestadística inferencias? ¿Cuál cree usted constituye una forma máselevada de análisis estadístico y por que?g. Seleccione una población cualquiera que sea de su interés.Identifique variables cuantitativas y cualitativas de esa poblaciónque puedan seleccionarse para ser estudiadas.h. Si los estadísticos están interesados realmente en poblaciones,¿por qué realmente trabajan con muestras?
  29. 29. 4. Determine si las siguientes variables son discretas ocontinuas:a. Número de cursos que los estudiantes de Costos y Presupuestoscursan en este semestre.b. Número de pases atrapados por el beisbolista Tim Brown,receptor de los La Raiders.c. Peso de los compañeros de equipo de Tim Brown.d. Peso del contenido de las cajas de cereale. Número de libros que usted leyó el año pasado.5. El presidente de una fraternidad en el campus desea tomar unamuestra de las opiniones de 112 miembros respecto a lasactividades urgentes para el otoño:a. ¿Cuál es la población?c. ¿Cuál es la muestra?
  30. 30. 2.4 METODOS GRAFICOS PARA DESCRIBIR INFORMACIONUn análisis estadístico comienza generalmente, con un estudiografico de los datos disponibles en una tabla.Cuando se tiene información considerable, acerca de una variable,es difícil hacer una interpretación rápida del comportamiento deesta. Organizando estos datos en una tabla y a partir de elaboraralgunas graficas, se puede observar en forma clara e inmediata lavariable.2.5 TABLAS DE DE DATOS:TABLA: Es un cuadro que consiste en la disposiciónordenada de los datos.Las tablas sistematizan los resultados y ofrecen una visión.Numérica, sintética y global del fenómeno observado..TIPO DE TABLASTABLASTABLA DE ENTRADADE DATOSTABLA DECONTINGENCIATABLA DE FRECUENCIATABLA DE FRECUENCIAPARA DATOS SIMPLES.TABLA DEFRECUENCIA PARADATOS AGRUPADOS
  31. 31. 2.5.1 TABLA DE ENTRADA DE DATOS: Es aquella en lacual solo aparecen los datos que se obtuvieron en la recolección dadatos. Es la tabla mas sencilla y se utiliza para registro de datos.2.5.2 TABLA DE CONTINGENCIA: Llamada también tabla dedoble entrada. Es aquella tabla que contiene los datos de dosvariables y esta formada de la siguiente manera: En la cabeza delas filas por los valores de una variable y las de las columnas por laotra, y en las casillas de la tabla, por las frecuencias o numero deelementos que reúne a la vez los valores de las dos variables quese cruzan en cada casilla.2.5.3 TABLA DE FRECUENCIAS: La tabla de frecuenciasesta formada por los valores de una variable cuantitativa susfrecuencias correspondientes.Definiremos que es frecuencia;FRECUENCIA: La frecuencia se refiere al número derepeticiones de una clase o de un valor de la variable.2.5.3.1 TABLA DE FRECUENCIA SIMPLE:Esta formada por los valores de una variable cuantitativa y susfrecuencias correspondiente. Generalmente se usa para un númerode observaciones menores de 30 datos.
  32. 32. PROCESO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DEFRECUENCIA SIMPLE:Utilizaremos el siguiente proceso para la elaboración de la tabla:- Primera Columna: Se organizan los datos de la variable enformas ascendente, sin repetir y a esta columna la llamamos. ix- Segunda Columna: Se cuenta el numero de veces que serepite el valor, y se coloca al frente de cada , a estafrecuencia la llamamos frecuencia absoluta y larepresentamos por o . ifin- Tercera Columna: Se denomina Frecuencia AbsolutaAcumulada, Esta representada por o . se calculasumando la frecuencia absoluta o en cada valor así:iFiNy así sucesivamente11fF212ffF3213fffFniiifF1- Cuarta columna: Frecuencia Relativa, se representa por , Secalcula dividiendo cada frecuencia absoluta por el numerototal de observaciones n. así:ihnfhii- Quinta Columna: Frecuencia Relativa acumulada,representada por , correspondiente a cada valor de . Secalcula sumando la frecuencia relativa en cada valor , Así:iH
  33. 33. y así sucesivamente=1La tabla para datos simples quedaría:Tabla 1: Tabla de distribución de frecuencias datos sinagrupar11hH212hhH3213hhhHniiihH1 iX if iF ih iH% *ih 1X 1f 1Fnfh11 1h 1001h 2X 2f 2Fnfh22 21hh 1002h . .
  34. 34. nX nf nFnfhnn nhhh.21 100nh 2.5.3.2 TABLA DE FRECUENCIA PARA DATOS AGRUPADOSSe utiliza para variables continuas y discretas cuando el número deobservaciones es mayor de 30 datos y se agrupan por intervalos ogrupos.
  35. 35. PROCESO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DEFRECUENCIA PARA DATOS AGRUPADOS:1. Calculamos el número de intervalos de clase representado por m.m: Es el numero de subgrupos en el cual se subdivide la variable.Se puede calcular:(1)2. Calculo el rango R: Que es la diferencia entre el valor mayor y elmenor valor que toma la variable.(2): Valor máximo que toma la variable.: Valor mínimo que toma la variable.3. Calculo de la amplitud de los intervalos, se denota por la letra: a(3)4. Intervalos de clase: Esta es la primera columna de la tabla,comienza con el valor mínimo que toma la variable como el limiteinferior de la primera clase, se le suma la amplitud como el calculodel limite superior de la primera clase y este a su vez será el limiteinferior , de la segunda clase luego se le vuelve a sumar laamplitud para el limite superior de la segunda clase y asísucesivamente hasta llegar al ultimo intervalo.: Limite inferior del intervalo o clase: Limite superior del intervalo o clase.(4)nmlog3.31nmminmaxXXRmaxXminXmRa1LIiLSaLILSii
  36. 36. 5. Se busca la marca de clase que denotamos por la nueva , yes:(5)6. La segunda columna de la tabla, para datos agrupados, es elfrecuencia absoluta ( ): Es el número de observaciones que caenen el intervalo sin incluir el límite superior, es decir numero de datosmayores o iguales a , pero menores que o sea que elintervalo es cerrado hacia la izquierda y abierto a la derecha.Intervalo.Es importante anotar que el último intervalo de clase es cerradoa ambos lados, para no dejar información fuera del rango.7. Se buscan las otras columnas, con las frecuencias , , ,siguiendo el mismo procedimiento del de la tabla de frecuenciasimple.Tabla 2 : Tabla de distribución de frecuencias datos agrupadosiX2iiiLSLIXIntervalosiiLSLI% 11LSLI 22LSLI
  37. 37. nnLSLI
  38. 38. 2.6 METODOS GRAFICOSLa presentación de la información mediante gráficos es algo que seanaliza a diario y en forma casi natural por personas de diferentesprofesiones. Los gráficos estadísticos nos permiten usar nuestrahabilidad para visualmente procesar información de un grafico.Luego, un grafico es una de las mejores formas de conocer elmaterial disponible pues facilita una comprensión global delproblema en estudio. Los gráficos más usuales son:2.6.1 GRAFICO DE PASTEL O CIRCULAR:Llamado también el grafico de sectores: Es un grafico en forma decirculo donde las categorías, se basa en una proporcionalidadentre la frecuencia y el ángulo central de una circunferencia, de talmanera que a la frecuencia total le corresponde el ángulo central de360°. Para construir se aplica la siguiente formula:X = frecuencia relativa * 360°/S frecuencia relativaTambién lo podemos representar el forma porcentual, se dividetantas partes como categorías tenga de manera que el total delcirculo sea el 100% y las cantidades se expresan en porcentaje.Si la variable es cualitativa (rubio, moreno, alto bajo, etc.) se sueleutilizar más este tipo de grafico.
  39. 39. 2.6.2 DIAGRAMA DE BARRAS:Se utiliza para frecuencias absolutas o relativas, acumuladas o no,de una VARIABLE DISCRETA. En el eje de abscisas, situaremoslos diferentes valores de la variable. En el eje de ordenadas lafrecuencia. Levantaremos barras o columnas SEPARADAS dealtura correspondiente a la frecuencia adecuada.01234567x1x2x3x4x5 HISTOGRAMA:Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Estaformado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la basecoinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada
  40. 40. intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de lasabscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a lafrecuencia del intervalo respectivo.Es para variables CONTINUAS. Si la amplitud del intervalo es lamisma, elevaremos columnas UNIDAS, a altura la frecuenciacorrespondiente. Si la amplitud del intervalo es diferente, el área delrectángulo columna será proporcional a la frecuencia representada.Frecuencia AcumuladaVariable2.6.4 POLÍGONO DE FRECUENCIAS:Es la recta que une los extremos de las variables de unadistribución, un ejemplo clásico es el de la evolución de latemperatura de un paciente0510152025x1x2x3x4x52.6.5 ACTIVIDADEl estudiante consultara el grafico de Tallo y Hoja y el diagrama deparetox15x24x36x42x54
  41. 41. 2.7 EJERCICIOS- DESCRIPCION DE LA INFORMACION PORMETODOS GRAFICOS1. Utilizando la siguiente información cree tabla de categorías consus respectivos porcentajes, grafique e interpreteEn el ITM el ingreso de estudiantes para este semestre fue de1000 de los cuales 200 ingresaron a tecnología deElectromecánica, 150 a tecnología de Electrónica, 250 atecnología de Costos y Presupuestos, 200 a tecnología de MEB ,y 200 a otras tecnologías2. Utilizando la siguiente información genere una tabla decontingencia (tabla de doble entrada) realice gráficos de barras ycirculares para cada variable e interprete. De los 200 empleadosde una empresa 180 almuerzan en esta. Existen 150 hombresque en esta compañía trabajan, de los cuales 138 almuerzan enla compañía.3. De la siguiente tabla de contingencia realice un grafico de barrasy de pastel (o circular) para cada variable e interprete.De una muestra de 350 estudiantes de primer semestre del 2005se obtuvo la siguiente tabla.
  42. 42. EstudiantesMATERIAMatemáticasCTSLenguaMaternaTOTALAprobaron1005070220Noaprobaron40202080Desertaron1530550TOTAL155100953504. De la siguientes graficas realice una interpretación de la variable
  43. 43. EL LACER FUNCIONA HACIENDO CONVERGER ONDAS DE SONIDOLASER0 NOSE1 VERDADERO2 FALSO16,00%13,60%70,40%5. En un curso de bachillerato de un colegio masculino se hizo unaencuesta nutricional realizando un censo de edad y midiendo elpeso de cada uno de los estudiantes del curso. El peso promediofue 52 kilos, cuando el esperado según las edades era 58.EL LASER FUNCIONA HACIENDO CONVERGER ONDAS DE SONIDOPORCENTAJE0204060800 NOSE1 VERDADERO2 F
  44. 44. En consecuencia, se hizo una campaña para que los estudiantesequilibraran su alimentación y subieran un poco de peso. Paramedir la efectividad de la campaña, tres meses después se hizo unnuevo control, cuyos resultados se pueden apreciar en lassiguientes graficas:1- De acuerdo con los datos registrados debe concluirse que lacampaña fue:a. Efectiva, porque 3/5 de los estudiantes del curso supero elpromedio inicial de peso.b. inefectiva, porqué el promedio de peso posterior a la campañafue de 50,5 kilos que es el menor al inicial.c. efectiva, porque el promedio posterior a la campaña fue de 54kilos que es mayor que el inicial.2. Teniendo en cuenta las graficas, al hacer una comparación entreedades y pesos de los estudiantes, es correcto deducir que:a. Los estudiantes de 10 años pesan 45 kilos.b. El promedio de edad es superado por menos estudiantes que losque superan el promedio de peso.Histograma peso por estudiante0102030405060704550556065pesoNor deestudiantes
  45. 45. c. Los estudiantes que tienen 15 años pueden pesar entre 50 y 60kilos.6. Del siguiente grafico saque la tabla de distribución defrecuencias:No. DE ALUMNOS QUE DESERTAN POR AÑO DEL ITM9391205128915651469Año 2000Año 2001Año 2002Año 2
  46. 46. 2.8 EJERCICIOS DESCRIPCION DE LA INFORMACION PORTABLAS1. El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos porfamilia ha descendido respecto de la década anterior. Para ello haencuestado a 50 familias respecto al número de hijos, y ha obtenidolos siguientes datos:24231242302223262322323343
  47. 47. 345203212322314232433221Se pide:a) ¿Cuál es la población objeto de estudio?b) ¿Qué variable estamos estudiando?c) ¿Qué tipo de variable es?d) Construir la tabla de frecuencias?e) ¿Cuál es el número de familias que tiene como máximo 2 hijos?f) ¿Cuántas familias tienen más de 1 hijo, pero como máximo 3?g) ¿Qué porcentaje de familias tiene más de 3 hijos?
  48. 48. h) Realice el grafico2. Las siguientes son las dimensiones en milímetros, de tornilloselaborados por una máquina en la empresa z
  49. 49. 174170167159162169168156188168187188168185184174170159178169173186184178176186174163156160
  50. 50. a. Elabore una tabla de frecuencia y defina la variable y lafrecuencia absoluta.b. Grafique el diagrama de frecuencia simple e interprételoc. Grafique el diagrama de frecuencia acumulada.d. Que porcentaje de tornillos tienen una dimensión entre 159mmy 170 mme. Que porcentaje de tornillos tienen una dimensión de mas de168mm?3.- La siguiente tabla muestra la clasificación de 901 individuossegún la satisfacción en el trabajo iX ifMuyinsatisfecho62Moderadamenteinsatisfecho108Moderadamentesatisfecho319Muy satisfecho412Total901a. ¿Cuantos individuos están moderadamente satisfechos?b. ¿Que porcentaje representan Los individuos que estánmoderadamente insatisfechos?
  51. 51. c. Que Porcentaje de individuos esta muy satisfecho con el trabajoque realiza?d. Construya un grafico que represente la información.4. En una muestra de 30 secretarias del municipio se registró elnúmero de errores que cometen por página así:5, 6,7,8,9,10,5,6,7,8,8,9,9,5,7,8,8,8,8,9,7,7,7,6,6,10,10,9,5,6a. Elabore una tabla de frecuencia para datos no agrupados ydefina variablesb. Grafique el histograma de frecuencia simple e interprételoc. Grafique el histograma de frecuencia acumuladad. Cuantas secretarias cometen 7 errores o menose. Cuantas secretarias cometen entre 8 y 10 erroresf. Que porcentaje de secretarias cometen mas de 9 errores5. Se quiere estudiar la eficacia de un nuevo insecticida paraplantas de interior. Se seleccionan 50 plantas y se cuenta el númerode hojas que han sido atacadas después de haber tratado la plantacon el nuevo producto. Los resultados son:Hojasatacadas if061102123845546381
  52. 52. 101
  53. 53. a. Termina de construir la tabla de frecuencias, y defina variablesb. Cuantas plantas tienen como mínimo 6 hojas atacadas?c. Cuantas plantas tienen entre 3 y 6, inclusive, atacadas?d. Que porcentaje de plantas tienen 8 hojas atacadas.e. Que porcentaje de plantas tienen mas de 4 hojas atacadas?6. Los datos que a continuación se presentan corresponden a lashoras extras laboradas por un grupo de trabajadores de la empresaANICA.2930333839404245474850505152535758616465686970 7273
  54. 54. 737575767778798081828486878990919293 9699102103104106107107110112114116
  55. 55. 117119123125129a. Defina objetivo y variable Realice un análisis para datosagrupados utilice 5 intervalos de clase interprete la tablaanalizando la tercera filab. Un Histograma y un Polígono de frecuenciac. cuantos trabajadores laboran 86 horas o menosd. que porcentaje de trabajadores laboran exactamente 72 horase. Cual es el ingreso promedio de los trabajadores de XXXX.f. que porcentaje de trabajadores laboran mas de 114 horasg. a cuantas horas corresponde el 35% acumuladoh. cuantos trabajadores laboran mas de 50 horas pero menos de107i. que porcentaje de trabajadores laboran 99 horas
  56. 56. j. que porcentaje de trabajadores laboran mas de 130 horas7. Los datos siguientes son una muestra aleatoria de los ingresosen $ obtenidos por copagos en el Centro Medico Santa Maria, enlos meses de mayo y junio112143304091425465493934570686117322309244430124495527573919140004314086433319499346596062145570330258435774504772614128153640354757437977507980620631
  57. 57. 180198402223440198546039663476184376402489453729546542663966224896417376461788551905682091250364417437462620566340693258278180420434487794566940724349Utilice una amplitud de 87458 intervalos para describir lainformación en una tabla de frecuencia para datos agrupados.a. Describa la información obtenida interpretando toda la fila 3b. Grafiqué e interprete los histogramas de frecuencia (los dos)c. Que porcentaje de copagos fue mayor $417437.8. Los datos que a continuación se presentan corresponden a lashoras extras laboradas por una muestra de trabajadores de EEPP.
  58. 58. CLASE iLIiLSiXifiFihiHi152681537820
  59. 59. 4155560
  60. 60. a. Cuantos trabajadores laboraron 88 horas o másb. Que porcentaje de trabajadores laboraron entre 68 y menos de108c. Que porcentaje de trabajadores laboro menos de 50 horasd. El 20% de trabajadores, máximo cuantas horas trabaja.e. Interpreta los datos de la fila 3.9. Los 97 empleados de una fábrica textil, se clasificaron deacuerdo al tiempo laborado para la empresa, con la siguientedistribución:ClaseTiempo trabajado(años)Número detrabajadores10 < 51025 < 1028310 < 1527415 <2014520 < 256625 <=3012a. Cuantos trabajadores han laborado entre 10 y menos de 24
  61. 61. añosb. Que porcentaje de trabajadores laboran entre 10 y menos de 19añosc. Que porcentaje de trabajadores laboran 15 o mas añosd. Calcule la media e interprete.e. Que porcentaje de trabajadores tienen 15 años o mas detiempo laborado en la empresa.
  62. 62. 3CAPITULO 3COMPETENCIADescribir y analizar información cuantitativa utilizando métodosnuméricos.EJES TEMATICOSMétodos numéricos para describir informaciónMedidas de tendencia centralMedia aritméticaMedianaModa.Medidas de Dispersión:Desviación estándarCoeficiente de variaciónRegla empírica3. METODOS NUMERICOS PARA DESCRIBIRINFORMACIONPara realizar comparaciones cuantitativas, se requierendescripciones de datos más concisas, que las obtenidas por mediode un histograma.
  63. 63. Las características más importantes de la distribución de unavariable son las medidas de tendencia central y de dispersión ovariación.METODOS NUMERICOS3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALSon aquellas que se encuentran localizadas hacia el centro de lainformación. Estas medidas se buscan tanto para datos simplescomo para datos agrupados.OrganigramaMEDIAARITMETICAMEDIDAS DEVARIACIONVARIANZAMEDIDAS DETENDENCIACENTRALMETODOSNUMERICOSMEDIANAMODADESVIACIONSTANDARCOEFICIENTEDE VARIACION
  64. 64. 3.1.1 MEDIA ARITMETICA:Se define como el promedio de los valores de la distribución dedatos y es el estadístico más comúnmente usado para medir latendencia central dada su simplicidad.Se denota por , cuando hablamos de muestras,i=1,2, .,nXniiinfxX13.1.1.1 ACTIVIDAD:Investigue:a. Cual es; y a que es igual la media poblacional?b. ¿Será igual la media aritmética para datos simples yagrupados?3.1.2 MEDIANA:La mediana corresponde al valor situado en el centro de lasobservaciones, cuando estas son agrupadas en orden de magnitud;es decir la mediana parte a la distribución de datos en dos partesiguales, por ser también una medida de localización no es afectadapor valores extremos.3.1.2.1 CALCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS SINAGRUPAR: Para el cálculo de la mediana se deben tener los datosorganizados en orden ascendente y se debe considerar cuando elnúmero de datos es impar o par.
  65. 65. a) Cuando el numero de datos es impar (n impar) , la mediana esel valor que se encuentra en la posición .21n21nexmb) Cuando el numero de datos es par ( n par) la mediana es lasuma de los dos valores centrales dividida por dos .3.1.2.2 CALCULO DE LA MEDIANA PARA DATOSAGRUPADOS:Para calcular la mediana cuando se tiene la información agrupadaen intervalos, procedemos de la siguiente forma:1. Calcular n/2.2. Encontrar la en la tabla que contenga inmediatamente a n/2.3. Calcular la mediana con la siguiente ecuación.Nomenclatura de la tabla de datos agrupados.: limite inferior del intervalo i que corresponde a .: Frecuencia absoluta acumulada del que corresponde al intervalode la mediana.2122nnexxmif112iiiieFFFnaLImiLIiFiF Frecuencia absoluta acumulada, que corresponde al intervaloanterior al de la mediana.1iF
  66. 66. a : amplitud del intervalo.3.1.3 MODAEs el valor más común de la distribución de datos. Igual a lamediana se calcula para datos agrupados y sin agrupar.3.1.3.1 MODA PARA DATOS SIN AGRUPAR.La moda es el valor ( ), que mas se repite; es decir el valor de lavariable que mayor frecuencia absoluta tiene.(Correspondiente al mayor)ixxoxmif3.1.3.2 MODA PARA DATOS AGRUPADOS.Para calcular la moda cuando la información es agrupada porintervalos utilizamos la siguiente ecuación.+: limite inferior del intervalo i que corresponde aa : amplitud del intervalo.: Frecuencia absoluta del intervalo en que esta la moda.: Frecuencia absoluta posterior al intervalo que se encuentra lamoda.: Frecuencia absoluta anterior al intervalo donde se encuentra lamoda.ioLIm)2()(111iiiiifffffaifif1if1if
  67. 67. 3.2 MEDIDAS DE POSICIONLas medidas de posición mas utilizadas son los cuartiles, deciles ypercentiles Como su nombre lo indica, muestran la posición de ladistribución de datos:3.2.1 LOS CUARTILESSon 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de formacreciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cadauno de ellos concentra el 25% de los resultados.Calcular (posición del Cuartil) encontrar la frecuencia Absolutaacumulada que inmediatamente contenga a y aplicarDonde, K=1,2, , n4KniF4Kn114iiiikFFFknaLIq3.2.2. LOS DECILES:Son 10 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de formacreciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cadauno de ellos concentra el 10% de los resultados.Donde es la posición del decil1110iiiikFFFknaLId10kn
  68. 68. 3.2.3 LOS PERCENTILESSon 100 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada deforma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los quecada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.3.2.4 ACTIVIDADInvestiga como se buscan los deciles y los percentiles para datossin agrupar y datos agrupados..3.3 MEDIDAS DE DISPERSIONLas medidas de dispersión pueden ser usadas para estimar laconfiabilidad de un promedio o para compara cual de dosmuestras es mas homogénea. Una dispersión baja indica que elpromedio es representativo y confiable, si la dispersión es alta elpromedio tiene poca utilidad practica.Las Medidas de dispersión mas utilizadas son:- El Rango- La desviación media- La varianza- La desviación Típica o Estándar- El coeficiente de variación.3.3.1 LA VARIANZASe conoce también como el error cuadrático y mide la variación enunidades cuadráticas de los datos con respecto a la media.
  69. 69. Calculo de la Varianza:i= 1,2, ..,N Varianza Poblacionali= 1,2, .,n Varianza Muestral3.3.1.1 ACTIVIDADDemuestre utilizando propiedades de sumatorias que, la varianzatambién puede ser igual a:=3.3.2 DESVIACION ESTÁNDARIndica el grado de dispersión o alejamiento de los datos conrespecto a su promedio. Se calcula como la raíz cuadrada de lavarianza.Calculo de la desviación Típica o estándar:i= 1,2,3, .,n3.3.3 COEFICIENTE DE VARIACIONNfXiiNi212niiinfXXS1221niiinfXXS1221niiinXnfX1221122nXnfXSiiEs el porcentaje de variación de la distribución de datos. Se puededefinir en forma empírico, que si el valor del coeficiente no excede
  70. 70. el 20%, la distribución de datos es homogénea y si es mayor del20% la distribución de datos es heterogénea, osera pueden existirvalores extremos que se deben analizar.Calculo del coeficiente de variación:Coeficiente de variación muestral3.3.4 REGLA EMPIRICACuando tenemos datos que tiene aproximadamente una distribuciónnormal (simétricos, unimodales, en forma de campana),observaremos aproximadamente: el 68% de los datos a unadesviación estándar o menos de la media, el 95% a una distanciade dos o menos desviaciones estándar de la media y el 99% a unadistancia de tres o menos desviaciones estándar de la media.De donde = 68%Representación gráfica de esta función de densidad100*XSCVSX%952SX%7,993SX
  71. 71. 3.4 EJERCICIOS SOBRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL,POSICION Y VARIACION.1. Hallar la media, mediana y la desviación de los siguientesconjuntos de números:a) {5, 4, 8, 3, 7, 2, 9}b) {18,3; 20,6; 19,3; 22,4; 20,2; 18,8; 19,7; 20,0}c) {121, 441, 930, 587, 788, 49, 749, 786, 581}2. En la siguiente tabla encontramos las dimensiones en milímetros,de tornillos elaborados por una máquina en la empresa z . iX if1562159216221684170317441783184218621881
  72. 72. a. Calcular la dimensión promedio de los 25 tornillos?b. Cual es la dimensión en mm que mas se repite?c. Calcular el 50% de la dimensión de los 25 tornillos?d. Calcular el 25%, 75% , 30% de la información?e. Interpretar Resultadosf. Interpretar la fila 7.g. Calcule el error cuadrático de la información
  73. 73. 3. Tenemos información correspondiente al número de horas diariastrabajadas por una persona contratada durante doce días en unadeterminada empresa: 8, 8, 7, 8, 7, 9, 9, 5, 6, 7, 8, 8.a. Calcular la media Aritméticab. Calcular la mediana y la moda.c. Interpretar resultadosd. Calcular cual es el 30% de la información?e. Calcular la desviación Típica y el coeficiente de variación.4. La siguiente tabla nos muestra el número de hermanos quetienen los estudiantes del curso de geometría del programa detelecomunicaciones del ITM.xifihiFi2100,2534150,3753050,25a. Completar la tabla. Definir la variable y la frecuencia absoluta.b. Calcular el promedio de hermanos de los estudiantes del
  74. 74. curso de geometría.c. Calcular el 75% de la información.d. Cual es el número de hermanos que mas tienen losestudiantes del curso de geometría del ITM.e. Calcular la mediana de la información e interpretar resultados.5. Se quiere estudiar la eficacia de un nuevo insecticida paraplantas de interior. Se seleccionan 50 plantas y se cuenta el número
  75. 75. de hojas que han sido atacadas después de haber tratado la plantacon el nuevo producto. Los resultados son:Hojasatacadas061102123845546381101a. Calcular el promedio de hojas atacadas?b. Calcular la mediana de la información e interpretar resultados.c. Calcular el 20%, el 60 y el 75% de ld. Cual es el número de hojas atacadas que más se repiten.6. Con la información del ejercicio 5 del taller No. 4 Responda lassiguientes preguntas:a. Que promedio de horas extras trabajan los trabajadores deAnica?b. Cuantas horas extras trabajan el 75% de los trabajadores?c. Cual es el 50% o menos de las horas extras que trabajan lostrabajadores de la empresa?
  76. 76. d. Cual es el común de horas extras que mas laboran lostrabajadores?e. Calcular los cuartiles de la información?
  77. 77. 7. Una empresa de Transporte internacional quiere estudiar losdías que transcurren hasta hacer la entrega de los encargos (X). Lainformación se encuentra en el computador central de la empresa,el cual ha resumido esta en la siguiente tabla de frecuencias. IntervalosiiLSLI0 2252 - 4204 - 6156 - 8178 - 1013a. Defina la variable y la frecuencia absolutab. Cual es el promedio de encargos en los días transcurridos.c. Cual es el 50% o mas de de los encargos en los 90 díastranscurridos?d. Cual es el común de encargos en los 90 días?e. Calcular el 25% y 75% de los encargos en los 90 días?f. Interpretar resultados.8. Un estudio realizado entre un conjunto de personas con el fin deobservar la relación entre la inteligencia y el nivel socioeconómico(medio por el salario mensual familiar) arroja los siguientes datos,discriminando dos grupos según el cociente intelectual.
  78. 78. INTERVALOSCI <95CI = o > 951000 - 300075193000 - 500035265000 - 700020257000 - 900030309000 - 11000255411000 -119991546a) Hallar media, mediana, moda, los cuartiles y el decil 2 y elpercentil 37 para cada grupo y para todo el conjunto.b) Encontrar el Coeficiente de Variación y afirmar si la muestra eshomogénea o heterogénea.9. Los datos a continuación muestran la distancia de frenado para35 automóviles que circulan cada uno sobre una superficie húmedade 30 millas por hora.63 67 90 85 86 63 8574 72 85 71 95 85 6285 84 70 63 72 70 10094 91 66 69 70 64 73103 104 90 71 75 62 85a. Definir las variablesb. Encontrar el promedio de distancia de frenado de los 35automóviles
  79. 79. c. Interprete los datos de la fila 3.d. Cual es la distancia de frenado que mas se repite.e. Calcular el 50% de la distancia de frenado de los 35 automóviles?
  80. 80. f. Encontrar el 25%, 60% y 75% de las distancias de frenado de losautomóviles?g. Interpretar las respuestash. Calcular cual es el 50% de la distancia de frenado.i. Calcular la desviación de las observaciones alrededor de lamedia.10. A continuación se dan los resultados obtenidos en una muestrade 50 individuos donde se deja constancia del tiempo de reacción,en segundos, a un estímulo auditivo.0,1130,1100,1260,1120,1170,1130,1350,1070,1220,1180,1130,0980,1220,1050,1030,1190,1000,1170,1130,1060,1240,1180,1320,1080,115
  81. 81. 0,1200,1070,1230,1090,1280,1170,1110,1120,1010,1120,1110,1190,1030,1000,0940,1080,1200,0990,1020,1290,1150,1210,1300,1340,114a) Hallar la media, la mediana, la moda, los cuartiles y el decil 4 y elpercentil 85, la varianza y el coeficiente de variación.b) Reagrupar los datos en un cuadro donde la variable tomeintervalos:0 0,100; 0,100 0,110; 0,110 0,120; 0,120 0,130; 0,1300,140
  82. 82. c) Hallar los mismos datos que se hallaron para en a) pero ahorapara los datos agrupados
  83. 83. 11. Las edades de una muestra aleatoria de 10 estudiantes delprograma diurno y nocturno del postgrado en administración de unauniversidad son:Diurno24302823252226272825Nocturno26332928272933342728Si la homogeneidad del grupo es un factor positivo de aprendizaje,aplicar una medida de variabilidad relativa para indicar a cual grupoes más fácil enseñarle.12. Un registro del peso (medido en libras) de un conjunto de 40personas arrojó la siguiente distribución de frecuencias relativasacumuladasPeso
  84. 84. iF118 1270,075127 1360,200136 1450,425145 1540,700154 1630,850163 1720,900172 1811a) Hallar la media, la mediana, la moda.b) Encontrar los cuartiles y el decil 10.
  85. 85. c) Encontrar la desviación estándar y el coeficiente de variación.d) Interprete resultado.13. Un número de cheques cobrados diariamente en 5 sucursalesde un banco durante un mes tuvo la siguiente distribución defrecuencias.NUMERO DECHEQUESFRECUENCIA0 20010200 40013400 - 60017600 80042800-100018El director de operaciones del banco, sabe que una desviaciónestándar en el cobro de los cheques de más de 200 cheques diarioscrea problemas de organización y dotación de personal en lassucursales, debido a una carga de trabajo no uniforme. Que sepuede concluir?
  86. 86. 4CAPITULO 4COMPETENCIAConocer el concepto de probabilidad, su terminología y elCálculo de probabilidades simplesEJES TEMATICOSIntroducción a la probabilidadModelo clásico de probabilidadAnálisis combinatorioReglas de la probabilidadTeorema de Bayes4 PROBABILIDADESLa estadística consta de herramientas y métodos que nos permiteevaluar la confiabilidad de conclusiones obtenidas a partir de datosmuéstrales. De todas las herramientas que utiliza la estadística elconcepto de probabilidad es el más importante.Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso detoma de decisiones incrementará enormemente la probabilidad deque tomen decisiones más inteligentes y bien informadas.
  87. 87. El propósito de esta unidad es ilustrar las formas en las cualespuede medirse la posibilidad o probabilidad de ocurrencia deeventos futuros. Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia deeventos futuros, se puede minimizar el riesgo y la especulaciónarriesgada relacionadas con el proceso de toma de decisiones.A continuación estudiaremos unos conceptos básicos deprobabilidad4.1 CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD:EXPERIMENTO: es cualquier proceso al azar que produce unresultado.RESULTADO: Efectos obtenidos del experimentoESPACIO MUESTRAL: es el conjunto de todos los posiblesresultados de un experimento estadístico, tiene relación con elconjunto universal de la teoría de conjuntos. Se representa con laletra mayúscula SEVENTO: Es un subconjunto del espacio muestral que puede tener1 o más elementos se denotan con letras mayúsculas similar a lossubconjuntos de la teoría de conjuntos.PUNTOS MUESTRALES Es el numero de posibles resultados quehay en un espacio muestral.
  88. 88. 4.1.1 ACTIVIDAD.Según las definiciones anteriores, construye un ejemplo querepresente estas definiciones.4.2 MODELOS DE PROBABILIDADExisten tres modelos principales de probabilidad, a saber:4.2.1 MODELO CLASICO - A - PRIORI (O sea Antes del Hecho)La probabilidad clásica de un evento E se determina:resultadosposiblesdetotalnumeroeventoelocurrirpuedequeenformasdeNumeroEPrPara asignar probabilidades a los diversos puntos muéstrales se haconvenido dos reglas principales:1. La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1, osea, 10EPr2. La suma de las probabilidades de todos los puntos muéstralesdebe ser iguales a uno (1).4.2.2 MODELO SUBJETIVO:Cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca haocurrido, y por tanto no se tienen datos pasados disponibles.Esta probabilidad se establece con base en la mejor evidenciadisponible.
  89. 89. 4.2.3 MODELO DE PROBABILIDAD EMPIRICO, A -POSTERIORIEl modelo de frecuencia relativa llamado también modelo aposteriori utiliza datos que se han observado empíricamente,registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en elpasado y estima la probabilidad de que el evento ocurranuevamente con base en estos datos históricos.La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuenciarelativa se determina mediante:nesobservaciodetotalnumeropasadoeleneventoelocurridohaqueevecesdnumeroEP4.3 COMPLEMENTO DE UN EVENTO.Conjunto de todos los eventos muestrales que no pertenecen alconjunto A. Denotado por ò , entonces, AA1APAP4.4 ACTIVIDADAntes de entrar a las reglas de probabilidades, repasa operacionescon conjuntos (Intersección, unión y complemento)4.5 REGLAS DE POBABILIDAD-La solución de muchos problemas sobre probabilidades requiereuna cabal comprensión de algunas reglas fundamentales que rigenel manejo de ellas. En general estas reglas nos permiten
  90. 90. determinar la probabilidad de un suceso si se conocen lasprobabilidades de otros sucesos relacionados con él. Las másimportantes de estas reglas son: Regla de la adición, Regla de lamultiplicación y Regla de Bayes.4.5.1 REGLA DE LA ADICIONExpresa que la probabilidad de que ocurra un evento A o B o amboses igual a la probabilidad del evento A mas la probabilidad delevento B, menos la probabilidad que ocurran ambos. BAPBPAPBAP4.5.1.1 POBABILIDAD DE EVENTOS MUTUAMENTEEXCLUYENTE: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, sino puedenocurrir simultáneamente, o sea 0BAPEntonces si dos eventos son mutuamente excluyentes la regla de laadición viene dada por: . BPAPBAP4.5.1.2 ACTIVIDADInvestigue un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes4.5.2 PROBABILIDAD CONDICIONAL:
  91. 91. La probabilidad de que un evento B ocurra, cuando se sabe que yaocurrió algún evento A , se llama probabilidad condicional y sedenota por:ABP
  92. 92. Se lee como la probabilidad de B dado A y es igual: ò)(APBAABP Si,BPABBAP0,BPAP4.5.3. REGLA DE LA MULTIPLICACIONLa fórmula para la probabilidad condicional puede manipularsealgebraicamente de forma tal que la probabilidad conjuntapueda determinarse a partir de la probabilidad condicional de unevento. De la siguiente forma:BAP Donde, ABPAPBAP Probabilidad conjunta de los eventos A y B :BAP Probabilidad marginal del evento A. :AP Probabilidad condicional del evento B dado el evento A.ABP4.5.3.1 EVENTOS INDEPENDIENTESDos eventos A y B son independientes cuando la ocurrencia deuno, no influye sobre la probabilidad de la ocurrencia del otro. Estoquiere decir, que independiente de que el evento A haya ocurrido ono, la probabilidad asignada al evento B es siempre la misma, Osea BPABPEntonces la regla de la multiplicación para sucesos independientesesta dada por: BPAPBAP*
  93. 93. 4.5.3.2 ACTIVIDAD:1. Identifica la diferencia entre eventos mutuamente excluyentes yeventos independientes.2. Investiga sobre el diagrama del árbol.4.5.4 TEOREMA DE BAYES:Sean un sistema completo de sucesos, tales que laprobabilidad de cada uno de ellos es distinta a cero, y sea B unsuceso cualquiera del que se conocen las probabilidadescondicionales , entonces la probabilidad de , vienedada por la expresión:NAAA,,,21.iABPBAPi Para i= 1,2, ,n nJJJIIiAPABPAPABPBAP014.6 ANÁLISIS COMBINATORIOEs una herramienta matemática muy útil para saber el total deresultados posibles en un experimento estadístico o espaciomuestral. Son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar
  94. 94. 4.6.1 TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓNSi hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otracosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.Numero Total de arreglos = m x nEsto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos,m, n, y o:Numero Total de arreglos = m x n x oEjemplo:Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas lasdiferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivoso estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puedeofrecer el vendedor?Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de lamultiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número detipos de rin).Numero Total de arreglos = 3 x 2No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos demodelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo,que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seistipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas lasposibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmenterealizamos el cálculo:
  95. 95. Numero Total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 484.6.2 TÉCNICA DE LA PERMUTACIÓNComo vimos anteriormente la técnica de la multiplicación esaplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos omás grupos. La técnica de la permutación es aplicada paraencontrar el número posible de arreglos donde hay solo o grupo deobjetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema:Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y undiodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Loscomponentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿Decuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los trescomponentes?Las diferentes maneras de ensamblar los componentes sonllamadas permutaciones, y son las siguientes:T D CD T CC D TT C DD C TC T DPERMUTACION: Todos los arreglos de r objetos seleccionados den objetos posibles, importando el orden de escogencia.La fórmula empleada para contar el número total de diferentespermutaciones es:n P r =n!(n r )!
  96. 96. Donde:nPr es el número de permutaciones posiblen es el número total de objetosr es el número de objetos utilizados en un mismo momenton P r =n!=3!=3 x 2= 6(n r )!( 3 3 )!1Ejemplo:Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tresespacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras.¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8máquinas en los tres espacios disponibles?n P r =n!=8!=8!= 336(n r )!( 8 3 )!5!
  97. 97. En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, esdecir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo decomputadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmulade permutaciones es la siguiente: n Pr = nrPara ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letrasse pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición?Las permutaciones son las siguientes:AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CCUsando la fórmula:n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
  98. 98. 4.6.3 TÉCNICA DE LA COMBINACIÓNEn una permutación, el orden de los objetos de cada posibleresultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante,cada uno de estos resultados se denomina combinación. Porejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en elequipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden,los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipono hay funciones definidas, entonces no importa el orden y losresultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casosson los siguientes:Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CBCombinaciones: AB, AC, BCCOMBINACIONES: Es el numero de seleccionar r objetos de ungrupo de n objetos sin importar el orden.La fórmula de combinaciones es:n C r =n!r! (n r )!Ejemplo:En una compañía se quiere establecer un código de colores paraidentificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quieremarcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de talsuerte que cada una tenga una combinación de 3 coloresdiferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificarlas 42 partes del producto?
  99. 99. Usando la fórmula de combinaciones:n C r =n!=7!=7!= 35r! (n r )!3! ( 7 3 )!3! 4!El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificarlas 42 partes del producto.
  100. 100. 4.5 EJERCICIOS PROBABILIDAD1. ¿Cuál modelo de probabilidad es apropiado para cada uno de losexperimentos enumerados a continuación? Explique el porque desu respuesta.a. El índice Dow Jones del precio de las acciones hoy será altob. Una unidad de producción será defectuosac. Sacar un 6 con un dadod. El sol será nova2. Cite 3 ejemplos para cada uno de los tres modelos deprobabilidad3. Durante el año anterior, las ventas semanales en unsupermercado de la ciudad han sido bajas durante 16 semanas, considerables durante 27 semanas y altas el resto de lassemanas. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de estasemana sean:a. Considerablesb. Bajasc. Altasd. Por lo menos considerables4. Se lanza un par de dadosa. Encuentre los elementos del espacio muestral Sb. Encuentre los elementos contenidos en el suceso de que la sumade los puntajes sea 9c. Encuentre los elementos contenidos en el suceso y que la sumasea 4 o 5
  101. 101. 5. Un experimento consiste en señalar 3 piezas en un procesomanufacturero y observar si son defectuosos D o no defectuosos Na. Encuentre todos los elementos del espacio muestral Sb. Enumere los elementos contenidos en el suceso de que elnúmero de piezas defectuosas sea 0c. ¿Cómo puede definir el suceso A = .DDN, DND, NDD .?6. Consulte como se define y como se representa en un diagramade Venna. Complemento de un evento Ab. Intersección de dos eventos A y Bc. La unión de dos eventos A y Bd. ¿Cuándo dos eventos A y B son mutuamente excluyentes odisjuntos?7. Usted recolectó datos sobre 500 economistas en la academia, laindustria privada, y el gobierno respecto a sus opiniones sobre si laeconomía podría ser estable, podría expandirse o podría entrar enun periodo de contracción en el futuro próximo. Sin embargo, partede la información se perdió, resultando la siguiente tabla decontingencia parcial. Con base en los datos restantes cree una tablade probabilidades.EconomistasEstable() 1EExpansión() 2EContracción 3ETOTALAcademia( )1A100110IndustriaPrivada () 2A
  102. 102. 40210Gobierno () 3A40070TOTAL200
  103. 103. Llene la tabla de contingencia y calcule1. La tabla de probabilidad conjunta2. Si saca una persona al azar cual es la probabilidad dea. Que sea economista de la academia.b. Que sea economista de la industrial y que su opinión no seaestablec. Que sea economista del gobierno o que su opinión sea deexpansión.8. Sean A y B dos sucesos independientes con probabilidadesrespectivas 0,5 y 0,2 ; Cual es la probabilidad de AB?9. Se lanza un dado no cargado. ¿Cuál es la probabilidad deobtenera. un número imparb. un número mayor que 3c.10. La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es o.10; de quetruene es 0.05 y de que llueva y truene es 0.03. ¿Cuál es laprobabilidad de que llueva o truene en ese día?11. En una caja que contiene tres bolas, una roja, una azul y unablanca, se extraen 2 bolas cual es la probabilidad de extraer unabola roja y una azul?12. Supóngase que se toma una carta de una baraja de 52 cartasdetermine cual es la probabilidad que sea espada o roja.
  104. 104. 13. En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tengatelevisor es 0.80; una maquina lavadora es 0.50 y de que tengoambas es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tengatelevisor o maquina lavadora o ambas.14. De los estudiantes de una universidad, el 40% son varones y el4% son varones que estudian Arte. Si se elige un estudiante al azary éste resulta ser un varón, ¿cuál es la probabilidad de que estudieArte?15. Una urna contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas.a. Si se sacan dos bolitas sin restitución, ¿cuál es la probabilidad deque las dos sean blancas?b. Si se sacan dos bolitas con restitución, ¿cuál es la probabilidadde que las dos sean blancas?16. Se lanza un dado tres veces. Cuál es la probabilidad de:a. No obtener tres seis consecutivosb. Que aparezca la misma cara tres veces.17. Un lote de 100 fusibles contiene dos fusibles defectuosos. Si seprueban los fusibles uno por uno, ¿cuál es la probabilidad de que elúltimo fusible defectuoso sea detectado en la tercera prueba?18. La probabilidad de que Sor Alicia estudie para un examen finalde Estadística es 0.20. Si estudia la probabilidad de que apruebe elexamen es de 0.80 en tanto que si no estudia la probabilidad es desólo 0.50
  105. 105. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Sor Alicia apruebe el examenfinal de Estadística?b. Dado que Sor Alicia aprobó el examen, ¿cuál es la probabilidadde que ella halla estudiado?19. Si se toman 2 cartas con reemplazo de un monte de 52 cartas.Determine la probabilidad que la primera sea reina y la segunda seafigura?20. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la urna Bcontiene 2 blancas y 5 rojas . Se lanza un dado, si resulta 1 o 2 sesacan 2 bolitas sin sustitución de la urna A; si resulta 3,4,5,6, sesacan dos bolitas sin restitución de la urna B.a. ¿Cual es la probabilidad de que las dos bolitas resulten serblancas?b. Dado de que las dos bolitas son blancas, ¿Cual es laprobabilidad que se haya elegido la urna A?21. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%,respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica.Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas sondel 3%, 4% y 5%.a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad deque sea defectuosa.b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calculala probabilidad de haber sido producida por la máquina B.c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producidola citada pieza defectuosa?.
  106. 106. 22 Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos,pero solo tiene 6 lugares en la mesa.a) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no leimporta como queden acomodados.b) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importacomo queden acomodados.c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidiósentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puedesentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodadoslos demás.d) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importacomo queden acomodados los demás.e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentarjuntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a lamesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.f) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importacomo queden acomodados los demás.g) Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanitaquiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿Decuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importacomo queden acomodados.h) ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de quedensentados a la mesa puros hombres?
  107. 107. i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sentadosintercalados hombres y mujeres?23.- En la escuela primaria Netzahualcoyotl imparte clase lamaestra Bety. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, queestá compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety propone a los niñosformar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. Lamesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, untesorero, y dos vocales.a) ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no leimporta como queden asignados los puestos.b) Betty piensa que como hay más niñas que niños la mesadirectiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantasmaneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa comoqueden asignados los puestos.c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puestode presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean paraniños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, sino le importa como queden asignados los otros puestos.d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos lospuestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puestode secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede formar lamesa directiva?, si le importa como queden asignados los otrospuestos.
  108. 108. e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y unaniña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar partede la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede formar lamesa directiva?, si no le importa como queden asignados lospuestos.f) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva alazar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quedeintegrada por puras niñas? Sin importar como queden asignadoslos puestos.g) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva alazar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quedeintegrada por puros niños? Sin importar como queden asignadoslos puestos.h) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva alazar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, elpresidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocalesniñas? Sin importar como queden asignados los puestos.
  109. 109. 5CAPITULO 5COMPETENCIAComprender el concepto de variable aleatoria asociada a unadistribución de probabilidadEJES TEMATICOSVariables aleatorias discretas empíricas y su distribución deprobabilidadValor esperado de las variables DiscretasVariables aleatorias continuas y su distribución de probabilidadValor esperado de las variables continúas5 VARIABLES ALEATORIASUna variable aleatoria (v.a) es un evento numérico cuyo valor sedetermina mediante un proceso al azar. Cuando se asignan valoresde probabilidad a todos los datos numéricos posibles de unavariable aleatoria X, ya sea mediante un listado o a través de unafunción matemática, se obtiene como resultado una distribución deprobabilidad. La suma de las probabilidades para todos losresultados numéricos posibles debe ser Igual a 1. Pueden denotarse
  110. 110. los valores de probabilidad individuales mediante el símbolo f(x), locual implica que hay implícita una función matemática; medianteP(X = x), lo cual implica que la variable aleatoria puede asumirdiversos valores específicos, o simplemente mediante P(X).Una variable aleatoria es una función que asigna a cadaelemento de un espacio muestral un numero realUna variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultadode un experimento aleatorio. Esta variable aleatoria puede serdiscreta o continua. Si puede tomar sólo un número limitado devalores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otroextremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado,entonces se trata de una variable aleatoria continua.5.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASSe pueden enumerar todos los valores numéricos posibles de lavariable en una tabla con las probabilidades correspondientes.Existen diversas distribuciones estándar de probabilidad que puedenutilizarse como modelos para una amplia gama de variablesaleatorias discretas en aplicaciones de negocios.EJEMPLO: Si se lanzan dos monedas al aire, sea x la v.a queindica el número de caras obtenido. X Puede tomar los valores (X=0,1,2) y a cada valor está asociada una probabilidad.
  111. 111. 5.1.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LAS VARIABLESALEATORIAS DISCRETASPara una variable discreta, la distribución de probabilidades es unatabla que asocia una probabilidad, a cada valor que puede tomar lavariable aleatoria.Para el ejemplo del número de caras en dos lanzamientos de unamoneda, la distribución de probabilidades seria:S=ss,cs,sc,ccGRAFICAMENTEsscs,sccc012SX1/42/41/4f(x)=P(X=x)P(X=0)=1/4P(X=1)= 2/4P(X=2)= 1/4S=ss,cs,sc,ccS=ss,cs,sc,ccGRAFICAMENTEsscs,sccc012SX1/42/41P(X=0)=1/4P(X=1)= 2/4P(X=2)= 1/4f (x) se llama función de probabilidades de la v.a.xEs importante observar como S f( X ) = 1. Algunos autoresdefinen como función PUNTUAL DE PROBABILIDAD o FUNCIONDE CUANTIA a una función que cumpla la condiciónXf (X )0 1 21/4 2/4 1/4Xf (X )0 1 21/4 2/4 1/4
  112. 112. 5.1.1.1 PROPIEDADES DE LAS v.a DISCRETAS f(x)Tiene siete propiedades importantes para que sea función dedistribución de probabilidad son:5.1.2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA F(x)Se define como la probabilidad acumulada de la variable aleatoria X:Es la suma de las probabilidades hasta el valor que se desee tomarasi:Ejemplo: F(3)?xxxfxxPxF0)()()()1()()(.7)1()( .6)1(1)( .5)(1)( .41)( .3)()( .21)(0 .1kXPkXPkXPkXPkXPkXPkXPkXPkXPxfxXPxfxf30)3()2()1()0()()3()3(XffffXfXPF
  113. 113. EJEMPLO Si se lanzan 2 dados de distinto color al aire y sedenomina X la suma obtenida, hallar la distribución deprobabilidades.El espacio muestral para este experimento es:Como puede observarse, la v.a puede tomar los valoresX= 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, y sus probabilidades se pueden hallarcon la definición clásica . Numero de casos favorables / numero decasos posibles asi,: para que la suma sea cinco los casos favorablesson: (1,4 ), (2,3) , (3,2) , (4,1) cuatro elementos y los casosposibles son 36.Así la distribución de probabilidad de la v.a. de la suma dellanzamiento de dos dados seria364)5()5(XPf(6,6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2) (6,1),(5,6) (5,5), (5,4), (5,3), (5,2), (5,1),(4,6) (4,5), (4,4), , (4,3) , (4,2) (4,1),(3,6) , (3,5) ), (3,4 , (3,3) , (3,2) (3,1),(2,6) (2,5), (2,4), , (2,3), (2,2) (2,1),(1,6), (1,5), (1,4) , (1,3) , (1,2) (1,1),SXf(x)F(x)21/361/3632/363/3643/366/3654/3610/3665/36
  114. 114. 15/36
  115. 115. 76/3621/3685/3626/3694/3630/36103/3633/36112/3635/36121/3636/3615.1.3 VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORÍADISCRETA.Conociendo la distribución de probabilidades, se calcula el valoresperado de una v.a discreta como:La esperanza matemáticas también se denomina media de la v.aEn el ejemplo anterior la esperanza seria:
  116. 116. )()(1iniiXfXXE36112......36233612)(XE
  117. 117. 6CAPITULO 6COMPETENCIAReconocer el modelo Binomial, Hipergeométrico y Poisson comounas de las distribuciones de probabilidad más aplicadas variablesa aleatorias discretasEJES TEMATICOSDistribución BinomialDistribución HipergeométricaDistribución Poisson6. DISTRIBUCIONES DE DE PROBABILIDADDISCRETAEn la distribución de probabilidad discreta la variable pude tomarsólo un número limitado de valores. Las distribuciones deprobabilidad discretas que veremos a taves del curso son laBinomial, La hipergeometrica y la Poisson.6.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIALSupongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientescaracterísticas:
  118. 118. .En cada prueba del experimento sólo son posibles dosresultados: el suceso A (éxito) y su contrario A .(fracaso)..El resultado obtenido en cada prueba es independiente de losresultados obtenidos anteriormente..La probabilidad del suceso A es constante, la representamospor p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de Aes 1- p y la representamos por q ..El experimento consta de un número n de pruebas.Todo experimento que tenga estas características diremos quesigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X queexpresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba delexperimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puedetomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se hanrealizado n pruebas. Como hay que considerar todas las manerasposibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcularéstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo ny p los parámetros de dicha distribución.6.1.1 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA V.A. BINOMIALFunción de probabilidad de la distribución Binomial o tambiéndenominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1).Probabilidad de obtener k-exitos en la muestra.knkqpknkXp)(
  119. 119. Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tediosose han construido tablas para algunos valores de n y p que nosfacilitan el trabajo.6.1.2 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL6.1.3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA V.A. BINOMIALSiendo k el mayor número entero menor o igual a xi.Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi,la probabilidad de que la variable X tome valores menores o igualesque xi.Ejemplo 1Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produceun 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de queal examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.Solución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0.007) ydebemos calcular la probabilidad p(X=1).MedianpVarianzanpq2típicaDesv.npq
  120. 120. Ejemplo 2La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72.Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15pacientes:a) Ninguno sufra la enfermedadb) Todos sufran la enfermedadc) Dos de ellos contraigan la enfermedadSolución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0.72)Ejemplo 3La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábricadefectuoso es del 4 por 100. Hallar:a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de1000b) La varianza y la desviación típica.Solución:
  121. 121. 6.2 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICALos experimentos que tienen este tipo de distribución tienen lassiguientes características:a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, seesperan dos tipos de resultados.b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados noson constantes.c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independientede los demás.d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribuciónde probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, k y n cuyafunción de probabilidad es:Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hayelementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener unnúmero de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra detamaño n, de un total de N objetos, de los cuales k son del tiporequerido.nNxnkNxkxxP00)(
  122. 122. 6.2.1 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓNHIPERGEOMETRICAEjemplos:1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero hacolocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficialde la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente paraanalizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero seaarrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es laprobabilidad de que no sea arrestado por posesión denarcóticos?.Solución:a) N = 9+6 =15 total de tabletask= 6 tabletas de narcóticon = 3 tabletas seleccionadasx = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica elnúmero de tabletas de narcótico que se puede encontrar alseleccionar las 3 tabletasp(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de queentre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas denarcótico)))((Nkn)1)()(()1()(2NkNknNnN
  123. 123. otra forma de resolver;p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 p(deque entre las tabletas seleccionadas no haya una sola denarcótico)3150936315192631529163321CC*CCC*CCC*C)n;tabletasó,x(p81538045537145520135216455120455915455366.))(())(())((31539061301CC*C)n;x(p815385018461504558411..))((b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)2. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y sedisparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que noexplotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?,b) al menos 2 no exploten?315390630CC*C)n;x(p1846150455841.))((
  124. 124. Solución:a) N = 10 proyectiles en totalk= 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nosdefine el número de proyectiles que explotan entre la muestraque se disparab) N = 10 proyectiles en totalk = 3 proyectiles que no explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotanp(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) =3. a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servirbebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verificaaleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de loscuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidadde que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan amenores de edad?Solución:a) N = 9 total de estudiantes16667021035210135444100347.))((CC*C)n;x(p)4;3,,2(noxp3333330210702107632107121341017332723.))(())((CC*CC*Ck = 4 estudiantes menores de edad
  125. 125. n = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones quepertenecen a personas menores de edadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edadb) N = 9 total de estudiantesk = 4 estudiantes menores de edadn = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones quepertenecen a personas menores de edadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad6.3 DISTRIBUCIÓN DE POISSONLa distribución de Poisson es una distribución de probabilidaddiscreta. Expresa la probabilidad de un número de eventosocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasamedia conocida, y son independientes del tiempo desde el últimoevento.238095012610352593524.))((CC*C)n,x(p1261065411521059352445145504))(())(())((CC*CC*CC*C)n;,,x(p)5;2,1,0(nxp6428601268112660201.
  126. 126. Su distribución de probabilidad está dada por:P(X=x) =Donde:!),(kekfk.e es la base del logaritmo natural= (e = 2.71828...),.k! es el factorial de k,.es un número real positivo, equivalente al número esperadode ocurrencias durante un intervalo dado.EJEMPLOSi 2% de los libros encuadernados en cierto taller tieneencuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de400 libros encuadernados en este taller tenganencuadernaciones defectuosas.6.3.1 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON!k = 5, lambda = 400(0.02) = 8!P(5;8)= frac{8^5e^{-8}}{5!}=0.0922
  127. 127. 6.4 EJERCICIOS - MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETAS.1. Un estudio determinó que 40% de los alumnos de unauniversidad se desayunan en alguna de las cafeterías del campus.Si una tarde se escogen al azar ocho estudiantes de dicho campus,determine la probabilidad de que hayan tomado su desayuno enalguna cafetería del campus:a. Exactamente dos de ellos.b. Por lo Menos dos de ellosc. Ninguno de ellos2. Según datos de la Secretaría de Protección y Vialidad, 25% delos operadores de microbuses urbanos manejan con imprudencia.Calcule la probabilidad de que cuatro de los próximos 10microbuses que pasen por un crucero sean conducidos conimprudencia.3. Un individuo afirma que es capaz de distinguir a simple vistaentre una perla auténtica y una falsa 75% de las veces. Paracomprobar si lo que afirma es cierto, se le muestra una por una seisperlas diferente escogidas al azar y se aceptará lo que afirma silogra establecer la autenticidad (o falsedad) en por lo menos cincode las perlas.a. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo pase la prueba, sisólo está adivinando?b. ¿Cual es la probabilidad de que no logre pasar la prueba?
  128. 128. 4. Si una moneda ordinaria se lanza ocho veces consecutivas,calcule la probabilidad de que resulten:a. Todas águilas.b. Que le salgan 4 águilas y 4 soles5. Pueden crecer corporaciones en nuevas áreas y mejorar surentabilidad adquiriendo otras empresas? Supóngase que laprobabilidad de que tenga éxito la adquisición de una corporaciónes de 0.1 y que se selecciona al azar 10 corporaciones involucradasen la adquisición de otra compañía.a. Cual es la probabilidad de que las 10 adquisiciones seanfracasos?b. Cual es la probabilidad de que exactamente 2 de lasadquisiciones sean exitosas?6. Al probar una cierta clase de neumáticos para camión en unterreno escabroso se encontró que 25% de los camionesterminaban la prueba con los neumáticos dañados. De lossiguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que:a. De 3 a 6 tengan pinchaduras.b. Menos de 4 tengan pinchaduras7. Si el 20% de los cerrojos producidos por una maquina sondefectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 cerrojosseleccionados al azar:a. 1 Sea defectuoso.b. A lo mas 2 cerrojos sean defectuosos.
  129. 129. 8. Una compañía fabricante sabe que la posibilidad de que unartículo salga defectuoso es de un 15%. Dicha compañía utiliza unesquema de aceptación de producción de artículos antes de que seembarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas deartículos para su embarque y se prueba una muestra de tres enbusca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda lacaja se devuelve para verificar el 100%. Si no se encuentrandefectuosos, la caja se embarca. ¿Cual es la probabilidad de queuna caja se embarque?9. Una cooperativa agrícola asegura que el 40% de las sandíasembarcadas están maduras y listas para comerse. Determine lasprobabilidades de que entre 10 sandías embarcadas.a. Las 10 estén maduras y listas para comerse.b. Cuando más 4 estén maduras y listas para comersec. Siete no estén maduras y listas para comerse.10. Según el último estudio sobre favorabilidad del actualgobernante, este tiene a su favor el 50% de todos los habitantesmayores de edad. Si de esta población se seleccionan al azar 5personas:a. Cuál es la probabilidad de que exactamente tres personas esténa favor del mandatario?b. 4 personas estén a favor?c. Cuál es el valor esperado y su desviación?
  130. 130. 11. El número de llamadas que llegan al PBX de la universidad esde 4.5 por minuto. Determine la probabilidad de:a. Ocurran por lo menos cuatro llamadas?b. En un minuto determinado ocurran mínimo tres?c. A lo sumo 5 llamadasd. Recalcule las probabilidades anteriores si el inérvalo de tiempofuera de 30 segundos. Analice los cambios.12. Un centro médico tiene un promedio de 12 usuarios todas lasmañanas entre las 10:00 y las 11:00, Calcule la probabilidad deque:a. Lleguen máximo 12 usuarios a esa hora ¿b. Lleguen entre 8 y 12 usuarios inclusive?c. Lleguen menos de 10 usuarios a esta hora?d. Lleguen exactamente 12 usuarios?13. El número promedio de accidentes de tránsito que ocurren enun tramo de una carretera es de dos por semana.a. Obtenga la probabilidad de que ningún accidente ocurra en esetramo carretera durante una semana.b. Encuentre la probabilidad de que a lo mas ocurran tresaccidentes en ese tramo de carretera durante dos semana?c. Obtenga la probabilidad de que pasen a lo sumo 4 accidentes enuna semana?d. Obtenga la probabilidad que ocurran más de 5 accidentes en unasemana?
  131. 131. 14. Una caja de vino tiene 12 botellas, tres de las cuales contienenvino descompuesto. De la caja se elige al azar una muestra de 4botellas:a. Cuál es la probabilidad de que 2 salgan descompuestas?b. Cuál es la probabilidad que más de tres estén descompuestas?15. Un producto industrial particular se envía en lotes de 20. Elanálisis para determinar si un artículo tiene defectos es costoso porlo tanto, el fabricante emplea una muestra para no tener queinspeccionar el 100%. El plan de muestreo consiste en sacar 5artículos de cada lote y rechazarlo si se observa más de un articulodefectuoso (si el lote se rechaza se prueba cada uno de losartículos) si en un lote hay 4 artículos defectuosos. Cuál es laprobabilidad que sea aceptado?
  132. 132. 7CAPITULO 7COMPETENCIAReconocer el modelo Normal como una de las distribuciones deprobabilidad mas aplicadas a variables aleatorias ContinuasEJES TEMATICOSDistribución NormalAproximaciones de la Binomial a la PoissonAproximaciones de la Binomial a la Normal7. DISTRIBUCIONES DE DE PROBABILIDADCONTINUASComo vimos anteriormente las distribuciones continuas son las quepueden tomar cualquier valor en un intervalo. La distribucióncontinua más importante es la Normal.7.1 DISTRIBUCION NORMAL La Distribución Normal, también llamada Distribución de Gausso Distribución Gaussiana, es la Distribución continua deprobabilidad que con más frecuencia aparece en estadística yteoría de probabilidad. Esto se debe a dos razonesfundamentalmente:
  133. 133. Su Función de densidad es simétrica y con forma de campana, loque favorece su aplicación como modelo a gran número devariables estadísticas.Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionadacon multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidadesgracias a sus propiedades matemáticas.La Función de Densidad de la Distribución Normal:Donde:µ : Media s : Desviación Estándar s2 : varianza7.1.1 REPRESENTACION GRAFICA7.1.2 DISTRIBICION NORMAL ESTANDAR.La probabilidad de que nuestra variable aleatoria (que sigueuna distribución normal) se encuentre entre dos valores
  134. 134. determinados será en general difícil de calcular (hay que usar laintegral de la función de probabilidad). Para ello, existen tablas quenos dan estos valores directamente; y Dado que la variable deinterés X, puede tomar valores , tipificamos la variable deinterés para así poder trabajar con la tabla, quedando la distribuciónnormal, como una distribución Normal tipificada con µ = 0 y s = 1.1. Planteamos la pregunta matemáticamente.2. Dado que las tablas son Acumulativas, llevamos la pregunta amenor. Así:Si ya esta expresada en menorSiSi3. Tipificamos cada valor de X utilizando la fórmula:. Debe de quedar con dos decimales.4. Para buscar en la tabla, el signo, el entero y el primer decimal, lobuscamos en la primera columna. El segundo decimal lo buscamosen la primera fila. La intersección entre la fila y la columna, es larespectiva probabilidad.X)(axp)(1)(axpaxp)()()(axpbxpbxapxZ
  135. 135. Ejemplo. Supongamos que Z = 0.43, luegoSe busca en la tabla de la siguiente manera:6664.0)43.0(zpZ0,000,010,020,030,040,050,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,10,53980,54380,54780,5517Ejercicio 1La vida útil de cierto tipo de lavadora automática tiene unadistribución aproximadamente normal con una vida promedio de3.1 años y una desviación estándar de 1.2 años.a. Cuál es la probabilidad de que una lavadora dure entre 2.9 y 3.5años?b. Si este tipo de lavadora tiene garantía de un año, que fracción dela cantidad vendida originalmente, necesitará ser reemplazada?Solución: sea X la variable de interés que significa el número deaños de duración de cierto tipo de lavadora.Parámetros: tiempo de vida promedioDesviación estándara.
  136. 136. 0.6293-0.4325=0.1968El 19.68% de las lavadoras tienen una vida útil entre 2.9 y 3.5 añosEl 4% de las lavadoras durarán menos del año de garantía.Ejercicio 2La resistencia a la tracción de cierto componente de metal sedistribuye normalmente con una media de 10.000 kilogramos porcentímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramospor centímetro cuadrado.Que proporción de estos componentes excede 10.150 kilogramospor centímetro cuadrado de resistencia a la tracción?a. Si las especificaciones requieren que todos loscomponentes tengan resistencia a la tracción entre 9.800 y10.200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, queproporción de piezas esperaría que se descartaran?b. Que resistencia máxima cubre el 2.5% de loscomponentes?
  137. 137. Solución: sea X la variable de interés que significa la resistencia ala tracción (kilogramos/centímetros cuadrados).Parámetros: resistencia promedioDesviación estándara.El 6.68% de los componentes de metal, excede en 10.150kilogramos/centímetros cuadrados a la resistencia a la tracciónb. Se descartan todas las piezas que están por fuera delas especificaciones.O seaEl 4.56% de las piezas se descartarán; ya que no cumplen con lasespecificaciones.c.
  138. 138. Buscando en la tabla de adentro hacia fuera, ya que 0.025 es laprobabilidad, hallamos el valor de Z y despejamos el valor de x.7.2 APROXIMACIONES7.2.1 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL MEDIANTE LADISTRIBUCIÓN POISSONCuando el valor n de la distribución binomial es muy grande y el dep es muy pequeño, los términos de la binomial, tienden a losvalores de la distribución de Poisson y se considera una buenaaproximación a la distribución binomial, en el caso que:np < 5 y p < 0.1 ó n > 100 y p < 0.05En ese caso µ = np. El interés por sustituir la distribución Binomialpor una distribución de Poisson se debe a que esta ultima dependeúnicamente de un solo parámetro, µ , y la binomial de dos, n y p.Veamos un ejemplo:Se tiene un proceso en el cual se sabe que uno de cada 25elementos producidos es defectuoso. Si se seleccionan 75 cuál esla probabilidad que se tenga 3 o menos artículos defectuosos.

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