2. 2
Distribución Binomial
• P es la probabilidad de que cualquier evento
ocurra en un solo ensayo (probabilidad de
éxito)
• Q = 1 – P: probabilidad de que no ocurra en un
solo ensayo (probabilidad de fracaso)
• Probabilidad de que el evento ocurra
exactamente X veces en N ensayos (x éxitos
y n – x fracasos)
• P (x) = N! px qn-x
x! (n – x)!
3. Cómo reconocer si se trata de uan
Distibución Binomial
1. Se realizan “n” pruebas y todas son
independientes
2. “p” es la probabilidad de éxito en cada
prueba que ocurra un suceso
3. El experimento es con repetición
4. Se da el valor de la variable aleatoria
X = nº de éxitos. Varía desde 0 hasta n
3
4. 4
Ejemplo
• La probabilidad de obtener exactamente 2
caras en 6 lanzamientos de una moneda es?
N = 6 X = 2 p = q = 1 / 2
P ( X = 2 ) = 6 ! ( 1 / 2)2 ( 1 / 2 )6 – 2
2! 4!
= 15/64
5. 5
• La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6
lanzamientos de una moneda es?
P ( x >= 4) = 6 ! ( 1 / 2)4 (1 / 2)2 + 6 ! ( 1/ 2 )5 ( 1 / 2) + 6! (1 / 2)6
4! 2! 5! 6!
= 15/64 + 6/ 64 + 1/64
= 11/32
6. 6
Propiedades de la Distribución Binomial
• Media μ = Np
Varianza σ2 = Npq
Desviación σ = (Npq)½
7. 7
Ejemplo
• En 100 lanzamientos de una moneda, la media
de caras es? Y la desviación estándar?
μ = Np
= 100 ( 1 / 2) = 50
Es el número esperado de caras en 100
lanzamientos.
σ = (Npq)½ = (100 x 1/ 2 x 1 /2)1/2
= 5
8. 8
Calcular la probabilidad de que en 5
lanzamientos de un dado se obtenga un 3
a) Ninguna vez b) una vez c) 5 veces
Probabilidad de obtener 3 en un lanzamiento
p = 1/6
Probabilidad de no obtener un 3:
q = 1 – p = 5/6
9. 9
a) P (3 ocurre 0 veces) = 5! (1/6)0 (5/6)5
5!
= 1 (1) (5/6)5 = 3125/7776
b) P (3 ocurre 1 vez) = 5! (1/6)1 (5/6)4
4!
= 5 (1/6) (5/6)4 = 3125/7776
c) P (3 ocurre 5 veces) = 5! (1/6)5 (5/6)0 =1 / 7776
5!
10. 10
Si 20% de las tuercas producidas por una máquina
son defectuosas, determinar la probabilidad de 4
tuercas tomadas al azar:
a) 1
b) 0
c) a lo sumo 2 sean defectuosas.
a) P (1 defectuosa) = 4! (0.2)1 (0.8)3 = 0.4096
3!
b) P (0 defectuosa) = 4! (0.2)0 (0.8)4 = 0.4096
4!
c) P (2 defectuosas) = 4! (0.2)2 (0.8)2 = 0.1536
2! 2!
11. 11
• Entonces:
P (a lo sumo 2 defectuosos) =
= P (ninguno) + P (1) + P (2)
= 0.4096 + 0.4056 + 0.1536
= 0.9728
12. Ejercicios
1. La probabilidad de que un estudiante
obtenga su título es de 0.4. Calcular para
un grupo de 5 estudiantes, la probabilidad
de que:
a) Ninguna obtenga el título
b) Dos obtengan el título
d) Al menos dos obtengan el título
e) Los 5 obtengan el título
12
13. 2. Un fabricante de focos prepara lotes de 20
focos y los envía a sus clientes. Suponer que
cada pieza está defectuosa o no lo está, y
que la probabilidad de que cualquiera de ellas
esté defectuosa es de 0.05
a) Cuál es el número esperado de focos
defectuosos
b) Cuál es la probabilidad de que
determinado lote no contengan focos
defectuosos?
13
14. 3. El tratamiento de la gripe con vitamina C
produce un efecto curativo en 75% de los
casos. Se seleccionan 6 pacientes al azar.
Cuál es la probabilidad de que:
a) Ninguno esté curado?
b) Todos están curados
c) Al menos 4 están curados
14
15. 4. Suponer que la máquina A produce el doble
de artículos que la máquina B. Se sabe que
el 6% de los artículos que produce la
máquina A son defectuosos, mientras que el
3% de los artículos producidos por la
máquina B son defectuosos. Suponer que se
junta la producción diaria de estas
máquinas y se toma una muestra aleatoria
de 10 artículos. Calcular la probabilidad de
obtener 3 artículos defectuosos.
15
17. Distribución de Poisson
• Obtener las probabilidades de aquellas
situaciones gerenciales que ocurren de
forma impredecible y ocasional.
• Identificar las propiedades de una
distribución de Poisson
• Determinar el promedio, varianza y
desviación estándar utilizando las variables
de la distribución.
17
18. Utilidad
• Se utiliza donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En
otras palabras no se sabe el total de
posibles resultados.
• Se utiliza cuando la probabilidad del evento
que interesa se distribuye dentro de un
segmento n dado como por ejemplo;
distancia, área, volumen o tiempo definido.
18
19. 19
Distribución de Poisson
Es una distribución muy usada en medicina y
biología.
Debe cumplir las siguientes condiciones:
La ocurrencia de los eventos son independientes.
El numero promedio de veces () que ocurre un
éxito por cada unidad de tiempo o de espacio es
constante.
La probabilidad de un suceso es una unidad de
tiempo o de espacio muy pequeña.
20. 20
Es una distribución de probabilidad discreta.
Se aplica la siguiente función:
( )
!
x
x
e
P
x
P(x) probabilidad de tener exactamente x
presentaciones.
e base de logaritmo natural 2.71828
es el promedio de presentaciones. = Np
x numero de ocurrencias de un evento
DISTRIBUCION DE POISSON
22. • La distribución de Poisson puede ser vista
como un caso limitante de la distribución
binomial.
• Es decir, que una distribución binomial en la
que n tiende al ∞ y la probabilidad se
puede aproximar a 0.
22
23. Aplicación
• La distribución de Poisson, se aplica a
varios fenómenos discretos de la
naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que
ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un
periodo definido de tiempo o en una área
determinada)
• Cuando la probabilidad de ocurrencia del
fenómeno es constante en el tiempo o el
espacio.
23
24. 24
Ejemplo:
Suponer que se esta investigando la seguridad de una
peligrosa intersección de calles, los registros policiacos
indican una media de 5 accidentes mensuales en esta
intersección. El numero de accidentes esta distribuido de
acuerdo con una distribución de Poisson y el
departamento de seguridad vial desea que se calcule la
probabilidad de que en cualquier mes ocurra exactamente
3 accidentes.
X = 3 acc/mes
= 5 acc/mes
3 5
( 3)
5 2.7183
0.14042 14.04%
3!
xP
DISTRIBUCION DE POISSON
( )
!
x
x
e
P
x
25. Ejercicio
• Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin
fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades
de que reciba:
a) cuatro cheques sin fondo en un día dado,
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos
días consecutivos?
25
26. a)
x = variable que define número de cheques sin
fondo que llegan al banco en un día
cualquiera = 0, 1, 2, 3, .....
= 6 cheques sin fondo por día
= 2.718
P (x = 4) = 64 (2.718)-6
4!
= 0.13392
26
27. b)
= 6 x 2 cheques sin fondo por día
P (x = 10) = 1210 (2.718)-12
10!
= 0.104953
27
28. Ejemplo
• Si 2% de los libros encuadernados en cierto
taller tiene encuadernación defectuosa,
obtener la probabilidad de que 5 de 400
libros encuadernados en este taller tengan
encuadernaciones defectuosas.
28
30. • A una garita de peaje llegan aleatoriamente
300 autos por hora. Calcular la probabilidad
de que:
a) Un auto llegue durante un período de 1
minuto
b) Por lo menos dos autos lleguen durante un
período dado de un minuto.
30
31. • Se produce defectos en forma aleatoria en
cierto tipo de tejidos de lana con un
promedio de un defecto cada 100 m2. Cuál es
la probabilidad de que una pieza de 50 por 10
metros
a) no tenga defectos
b) de que presente un defecto como máximo
31
32. • Una Universidad procesa 100,000
calificaciones en determinado semestre. En
ocasiones anteriores se ha descubierto que
0.1% de todas las calificaciones estaban
equivocadas. Suponer que una persona
estudia cinco materias en esta Universidad
en un semestre. Cuál es la probabilidad de
que todas las calificaciones estén correctas?
32
