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Antologia matematicas geo analitica
 

Antologia matematicas geo analitica

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    Antologia matematicas geo analitica Antologia matematicas geo analitica Document Transcript

    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica Actividades guiadas para el desarrollo del pensamiento geométrico El siguiente material didáctico se desarrolla considerando la propuesta dePierre M. Van Heile respecto a cómo enseñar geometría a los estudiantes de preparatoria. Autor: J. Refugio Sánchez Barrón Prof. CECyTEA Jesús María Julio 2012
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica Tema: Ecuaciones de primer grado una incógnita Intensión didáctica Identificar los elementos que intervienen en ellas y la relación que guardan con las gráficas de las líneas.InformaciónCuandovamos a comprar algo nos preguntamos cuánto cuesta para saber si podemos comprarlo osimplemente saber cuánto nos deberán regresar de cambio. De esta manera si compramos 3piezas de pan, digamos 3 cuernitos rellenos de chocolate, nos interesa saber cuánto cuesta cadauno. 6Orientación guiadaDe la compra anterior nos cobran 6 pesos. ¿Cómo saber el precio de cada uno?______________________________________________________________________________________________________________________________________¿Por qué estamos tan seguros de ese valor?________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿Podríamos saber cuánto pagaríamos si compramos 5 o 7 piezas de pan del mismo precio?_____________________________________________________________________________________________________________________________________¿Habría otra forma de saberlo?______________________________________________________________________________________________________________________________________ExplicitaciónPodríamos representar este caso en forma de ecuación y nos quedaría de la siguiente forma: Donde la letra “p” representa las piezas de pan. Ésta sería una ecuación de primer gradode una incógnita que es la “p”.Por tanto el precio de un solo pan seria es decir, 6 entre 3 resulta 2 pesos cada pieza depan.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaSi cada pieza de pan cuesta 2 pesos y compramos 4, entonces debemos pagar 8 pesos porque 4panes de 2 pesos cada uno resulta 4x2=8.Podemos utilizar otra manera de conocer el costo de la compra según los panes que compremos,esto se logra por medio de una tabla como esta. Cantidad de piezas Costo de 8 pesos Total a pagar de pan 1 2 2 2 2 4 3 2 6 4 2 8 5 2 10 6 2 12 7 2 14Como pues ver basta con multiplicar por 2 la cantidad de panes.Lo anterior se puede representar de manera gráfica y encontrar el costo en función de las piezasde pan que compremos. Observa que la línearecta nos ayuda a identificar en susintersecciones los valores que buscamos. Porejemplo si compramos 2 piezas de pan lagráfica nos indica que el costo es de 4 pesos. Costo a pagar Cantidad de piezas de panOrientación libreEs posible identificar las ecuaciones de primer grado y lo que representan, de igual manerapodemos representarlas en una gráfica. Todas las ecuaciones de primer grado se puedenrepresentar en una gráfica.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaDe lasiguiente tabla relaciona las compras con su ecuacióne identifica su correspondiente gráficauniéndolas con una línea. Tres tamales cuestan Un vaso de atole Cinco refrescos Cinco jugos cuestan nueve pesos cuesta cuatro pesos cuestan nueve pesos veinte pesos. 1a=4 3t=9 5j=20 5r=9IntegraciónSi luego de caminar por toda la feria de Jesús María junto con tus amigas y amigos te compraras 6vasos de nieve todos del mismo precio y te cobraran 72 pesos, ¿Cuál sería el precio por cada vasode nieve? ¿Cómo lo representarías de forma gráfica? y ¿Cuál sería la ecuación que describe lacompra?Muy bien. Luego de saber cuánto cuesta cada vaso de nieve, como saber cuánto cuesta la bolsade papas si compran 4 y en total les cobran 100 pesos.La ecuación ahora quedaría así recuerda que “n” representa las nieves y “b”representa las bolsas de papas. Ahora tenemos una ecuación de primer grado con dos incógnitas como ya sabes el valor de una de esas incógnitas podrás saber el valor de la otra.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica Tema: Exponentes Intensión didáctica Identificar los elementos de una relación de exponentes y la manera de resolverloInformaciónSi multiplicaras tres veces el 2 obtendrías el valor de 8 pues esto significa 2x2x2. De igualmanera si multiplicaras 5 veces el 3 obtendrías 243 pues implica 3x3x3x3x3. A este proceso lepodemos llamar “potencia de un número” en esto ejemplos seria “la potencia de 2 a la 3 es 8” o“la potencia de 3 a la 5 es 243”La potencia relaciona al número y al exponente de ese número. Es decir. 3 exponente Número 2 = 8 potencia 5 exponente Número 3 = 243 potenciaSobre el nacimiento del ajedrez hay muchas versiones; una de ellas, la más aceptada,dice que el juego de ajedrez fue inventado en la India alrededor del siglo VI dC. Se leconocía como "el juego del ejército" o "Chaturanga" y podía jugarse con dos o concuatro jugadores. Gracias a los viajes de los mercaderes y los comerciantes el juegollegó primero a Persia y después fue conocido en toda Asia. Más adelante los árabesestudiaron a profundidad el juego y se dieron cuenta que estaba muy relacionado conlas matemáticas, escribieron varios tratados sobre él y aparentemente fueron losprimeros en formalizarlo y en escribir sus reglas.Sobre este juego existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es lasiguiente:"Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en unabatalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba connadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaranuna posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, elajedrez. El rey no sólo volvió a sonreir sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedótan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven quehabía creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero,dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y asísucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muytranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo quedebían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gransorpresa:Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"Orientación guiada¿Cuantos granos habrá en el noveno cuadro del tablero de ajedrez?______________________________________________________________________________.Para calcular los granos que habrá en el séptimo cuadro, pensemos en la potencia de 2 a la7. Sabemos que 2 es el número base y 7 es el exponente por lo que 2x2x2x2x2x2x2 nosda como resultado 128 granos.Las potencias de 2 se utilizan en muchas áreas, una de ellas es en la computación, pues lacapacidad del procesador, la capacidad de la memoria ram, entre otras tiene valores queson potencia de esto número. Como ejemplo, la capacidad de la memoria ram las hay de128, 256, 512 etc.Casos importantes:La potencia de un número elevado al exponente 1 siempre dará el mismo número. 1 exponente Número 4 = 4 potenciaEs decir 4 elevado a la 1 es 4, así cualquier número que se eleve a la 1 siempre será elmismo. Para representar cualquier número lo podemos hacer con una letra como porejemplo “a” 1 exponente Número a = a potenciaLa potencia de un número elevado al exponente 0 siempre dará el valor de 1. 0 exponente Número 2 = 1 potenciaEs decir 2 elevado a la 0 es 1, siempre que eleves a la 0, no importa que número base seael resultado será 1. Esto se puede representar 0 exponente Número a = 1 potenciaProf. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaCompleta la expresión de la potencia. 3 exponente Número __ = 27 potencia _ exponente Número 4 =64 potenciaExplicitaciónEl concepto de potencia implica realizar multiplicaciones sucesivas de un mismo número.Además el concepto del exponente se puede utilizar en operaciones y cada una de ellas seresuelve tomando en cuenta algunas reglas.Potencia de mismo número base y diferente exponente. En una multiplicación: se deja el mismo número base y se suman los exponentes. 4 5 4+5 9 2 x 2 =2 = 2 En la división: se deja el mismo número base y se le cambia el signo al exponente de debajo de manera que queda 5 -3 6 2 6-3 3 _____ =2 =2 3 2Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaPotencias de número base distinto y exponentes diferentes. En una multiplicación: se calcula la potencia de cada uno y se realiza la multiplicación. En la división: se calcula la potencia a cada uno y se realiza la división, sin embargo se recomienda expresarlo en forma de quebrado si el resultado no fuera entero.Orientación libreRegresando al tablero de ajedrez, ¿cuál sería la cantidad de granos en el cuadro 9?_______________________________________________________________________________ ¿En cuál de los cuadros de ajedrez la cantidad de granos pasa de 1000?_______________________________________________________________________________ ¿En cuál de los cuadros del ajedrez la cantidad de granos pasa de 1000 000?_______________________________________________________________________________Realiza las operaciones necesarias para encontrar la respuesta.IntegraciónSerá fácil encontrar ahora el valor de las potencias de las siguientes cantidades.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica Tema: Operaciones con quebrados Intensión didáctica Identificar los elementos que representan un quebrado e interpretar las operaciones en una ecuación.InformaciónSi quisiéramos que solo 1/2 del grupo resolviera el ejercicio cuantos alumnos serian si el grupo esde 32. Pues seguramente diremos que 16 porque la mitad de 32 es 16. Es decir, que 1/2 indicala mitad. De igual manera si sabemos que un litro de leche tiene 1000 ml entonces 1/2 de litrode leche serian 500 ml. Es muy sencillo saber que 1/2 representa la mitad de algo. Pero tambiénexisten otras cantidades como por ejemplo 4/5, 13/7 que podemos resolver. Lo importante essaber lo siguiente: numerador 1 -------- = 0.5 Cociente denominador 2Para calcular 1/2 de 32 lo que se hace es multiplicar el numerador por 32 y luego se divide con eldenominador. De esta manera (1)(32)/2= 16En el caso de querer calcular 4/5 de 32 se realiza de la misma forma, es decir (4)(32) resulta 128 yluego esto se divide entre 5 y quedaría 128/5=25.6Orientación guiadaPero cuántos alumnos serian 2/8 del grupo. Pues esto implica multiplicar por 2 la cantidad delgrupo (2*32) y dividir entre 8 y nos daría 8. Es decir, (2)(32) que resulta 64 y luego dividir entre 8que resulta 8.Cuantos alumnos serian 1/4 del grupo. Pues si lo resuelves quedaría (1)(32)/4=8.¿Te fijas que el resultado de 2/8 y el de 1/4 tienen algo en común?¿Por qué nos resulta lo mismo 2/8 y 1/4 al calcularlo de 32?ExplicitaciónExiste el concepto de equivalentes, es decir, dos o más expresiones se escriben distintas perotienen el mismo valor. En este caso la cantidad de 2/8 es equivalente a 1/4 porque se reduce lacantidad a su mínima expresión. Ejemplo si tememos 16/64 podríamos encontrar sus equivalentes reduciendo esta cantidad.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica 16 8 4 2 1 ----- = ----- = ----- = ----- = ---- 64 32 16 8 4Por tanto 8/32 y 2/8 es lo mismo. Para reducir una expresión debemos dividir tanto numerador ydenominador entre el mismo número, por ejemplo se dividió entre 2 de manera que 16 entre2 da 8 y 64 entre 2 da 32 de esta manera queda . las divisiones se realizan hasta cuando ya nosea posible dividir tanto numerador como denominador.Ejemplo 18 9 ----- = ----- 4 2En este caso se realizaron divisiones entre 2 pero solo fue posible una vez ya que el 9 no se puededividir entre 2. 25 5 ----- = ----- 15 3En este caso las divisiones se realizaron entre 5 y solo fue posible una vez pues el 3 ya no sepuede dividir otra vez.Orientación libreComo calcularías el total de manteca que doña Pancha consume para elaborar tamales si elprimer día utiliza 3 kilos, el segundo día utiliza 3/4 de lo que uso el primer día.¿Cuánta manteca uso el primer día? __________¿Cuánta manteca uso el segundo día? _________ ¿Cómo calcular este dato?Si la respuesta es 5 kilos y de kilo. Comenta con tus compañeros el resultado y como es que sellega a el.¿Cuánto seria el total de manteca si en un tercer día consume de lo que utilizo el primer día?Bien primero es importante saber que este día equivale a 11 kilos.La razón de esto es que si el primer día fueron 3kilos y el tercer día fueron de este, entoncesimplica que (3)(11) /3 =11kilos.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaIntegraciónPedro sabe que su calificación es de la calificación de Juana más 2 puntos adicionales. Si Juanaobtuvo un 8 de calificación. ____________________________________________Celia pide a su Madre dinero para comprarse ropa, ella le da dos billetes de 200 pesos y cuatrobilletes de 100 pesos más 75 pesos en monedas, pero le dice que solo podrá gastar del dineroque le dio. El resto será para comprarlo de pescado para comer. Si el kilo de pescado cuesta 95pesos ______________________________________________________________¿Cuántos kilos de pescado le traerá a su Mamá? ___________________________¿Cuánto se pudo gastar en ropa? _______________________________________Si en casa de Celia consumen 850grs de pescado al día, ¿para cuantos días alcanzara el pescadoque compró? ________________________________________________________Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica Tema: Teorema de Pitágoras Intensión didáctica Interpretar el teorema de Pitágoras y resolver diversos ejercicios.InformaciónUna área se entiende que es la superficie medida en unidades cuadradas, ya sean metroscuadrados, centímetros cuadrados, pulgadas cuadradas etc. Y se miden así porque cualquiersuperficie la podríamos dividir en pequeños cuadros de cierta medida, por ejemplo el área de laexplanada de la prepa la podemos calcular sabiendo sus medidas, en este caso tiene 35 m delargo por 15 de ancho por lo tanto su área es de 525 m2Si observas estas figuras toda su área está dividida en pequeños cuadros, algunos son másgrandes que otros lo que podríamos decir que unos están divididos en metros cuadrados y otrosen centímetros cuadrados.Dependiendo de la figura el área se calcula con distintas fórmulas, investiga cuales formulas senecesitan para estas figuras.Orientación guiadaAhora dibuja o recorta tres cuadrados, el primero de 5*5cm, el segundo de 4*4cm y el tercero de3*3cm. ¿Cuál será el área de cada uno?Toma cada cuadrado y coloca uno de sus lados de manera que formes un triángulo recto conellos.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica¿Qué observas de esta figura?¿Notas alguna relación entre las áreas de los cuadrados y el teorema de Pitágoras?ExplicitaciónBien, seguramente te quedo una figura como la anterior. Anteriormente calculaste el área decada cuadrado por separado y los valores sin duda fueron 5*5= 25cm2 4*4=16cm2 3*3=9cm2.Ahora si recordamos la ecuación del teorema de Pitágoras tenemos:Donde: “c” representa el cuadrado de 5*5 “a” representa el cuadrado de 4*4 “b” representa el cuadrado de 3*3De manera que si colocamos los valores en la ecuación quedaría Ecuación de Pitágoras c2= a2 + b2 Valores de las áreas de los cuadrados 25=16+9Esto permite comprobar el teorema de Pitágoras.Orientación libre¿Qué pasaría con la figura del triángulo recto si el cuadrado “c” fuera de 6*6cm?.¿Cuál sería el valor de “c” de la ecuación c2= a2 + b2 si a=4*4cm y b=2*2cm?Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica¿Podrías formar un triángulo recto con estos recuadros?IntegraciónCalcula el lado faltante del triángulo. 7 ___ 3 4 ___ 5 6 6 ___ 2 ___ 8.48Prof. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría Analítica Tema: Perímetros Intensión didáctica Identificar el concepto y aplicar el proceso de solución.InformaciónEl perímetro de las figuras es la línea que da forma a esas figuras. Por lo tanto podemos medir esalínea como una longitud.En este caso el perímetro de estas figuras implica sumar las longitudes de sus lados, en el caso dela figura del circulo se obtiene mediante un formula. Para las figuras geométricas es sencillodeterminar el perímetro.Si observas la figura podrías determinar el valor del perímetro con solo sumar el valor de suslados, 3+7+7+5 = 22 3 7 7 5Orientación guiadaProf. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaJuanito y Anita se encuentran una llanta de bicicleta y se ponen a jugar haciendo que la llantaruede lo más lejos posible. Alex hermano de Anita regresa de clases y se pregunta si puedecalcular el perímetro de la llanta en función de las vueltas que da y la distancia que recorre. A BAlex se imagina el recorrido que hace la llanta desde un punto inicial hasta el punto donde sedetiene. Ahora se pone a observar cuando Anita lanza la llanta y cuanta las veces que completauna vuelta fijándose en la válvula que tiene.Al observar cuenta que la llanta alcanza a dar 3 vueltas y recorre aproximadamente 5 metros.¿Cómo puede ayudar esto para saber el perímetro de la llanta? Metros de perímetro. Luego de calcular esto, toma una cinta y mide directamente en lallanta su perímetro y comprueba que tiene razón.ExplicitaciónEn el caso de la llanta Alex piensa que si cortara la llanta y la extendiera de forma lineal podríasaber su perímetro. Entonces lo que hace es dividir la distancia que recorrió entre las vueltas quedio. A BProf. J. Refugio Sánchez Barrón
    • MATEMÁTICAS: Geometría AnalíticaOrientación librePodría Alex determinar el perímetro de una llanta de carro que al recorrer 8 metros completa 6vueltas? _______________________________________________________Que tal si sabemos que el perímetro de una rueda de carreta mide 3metros, podríamosdeterminar que distancia recorre con 17 vueltas. _________________________Si Juanito recorre con su llanta toda la cuadra de la calle y lo hace completando 46 vueltas,¿Cuánto mide el largo de la calle? ______________________________________IntegraciónAhora Alex se pregunta si puede determinar el diámetro de esa llanta. Que podremos hacer paraconocer este dato. Investiga la relación entre perímetro y diámetro para lograr saber su valor.Prof. J. Refugio Sánchez Barrón