Introduction
Branch and Bound 0-1
Conclusion
R´solution d’un probl`me de Job-Shop int´grant
e e e
des contraintes de Ressources Humaines
ROADEF’09, 10 - 12 f´vrier 2009, Nancy (France)
e
´
O. Guyon1.2 , P. Lemaire2 , E. Pinson1 et D. Rivreau1
1 LISA - Institut de Math´matiques Appliqu´es
e e
2 ´
IRCCyN, CNRS; Ecole des Mines de Nantes
10 f´vrier 2009
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Branch and Bound 0-1
Conclusion
Sommaire
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (1/3)
e e
(1) Minimiser JOB-SHOP
le makespan
EMPLOYEE TIMETABLING Minimiser
les coˆts (2)
u
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
dur´e pji
e
→ on notera ρjk la dur´e d’ex´cution de j sur la machine k
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
dur´e pji
e
→ on notera ρjk la dur´e d’ex´cution de j sur la machine k
e e
non interruptible
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
dur´e pji
e
→ on notera ρjk la dur´e d’ex´cution de j sur la machine k
e e
non interruptible
requiert un employ´ qualifi´ pour l’utilisation de mji
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
dur´e pji
e
→ on notera ρjk la dur´e d’ex´cution de j sur la machine k
e e
non interruptible
requiert un employ´ qualifi´ pour l’utilisation de mji
e e
Planification d’emploi du temps d’un ensemble E de µ employ´s
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
dur´e pji
e
→ on notera ρjk la dur´e d’ex´cution de j sur la machine k
e e
non interruptible
requiert un employ´ qualifi´ pour l’utilisation de mji
e e
Planification d’emploi du temps d’un ensemble E de µ employ´s
e
Ae Ensemble des machines que e maˆ ıtrise
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (2/3)
e e
Job-Shop : Produire un ensemble J de n jobs sur m machines
∀j ∈ J {Oji }i=1..m s´quence d’op´rations du job j
e e
machine mji ∈ {1 . . . m}
dur´e pji
e
→ on notera ρjk la dur´e d’ex´cution de j sur la machine k
e e
non interruptible
requiert un employ´ qualifi´ pour l’utilisation de mji
e e
Planification d’emploi du temps d’un ensemble E de µ employ´s
e
Ae Ensemble des machines que e maˆ ıtrise
Te Ensemble de tranches horaires (shifts) o` e est disponible
u
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
Horizon de planification H = δ ∗ π avec :
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
Horizon de planification H = δ ∗ π avec :
δ Nombre de tranches horaires (shift s)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
Horizon de planification H = δ ∗ π avec :
δ Nombre de tranches horaires (shift s)
π dur´e d’un shift
e
Nb : Formalisation permet la mod´lisation de travail en 3*8
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
Horizon de planification H = δ ∗ π avec :
δ Nombre de tranches horaires (shift s)
π dur´e d’un shift
e
Nb : Formalisation permet la mod´lisation de travail en 3*8
e
Objectif
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
Horizon de planification H = δ ∗ π avec :
δ Nombre de tranches horaires (shift s)
π dur´e d’un shift
e
Nb : Formalisation permet la mod´lisation de travail en 3*8
e
Objectif
1 Minimiser le makespan Cmax du Job-Shop
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Pr´sentation du probl`me (3/3)
e e
Temps
Horizon de planification H = δ ∗ π avec :
δ Nombre de tranches horaires (shift s)
π dur´e d’un shift
e
Nb : Formalisation permet la mod´lisation de travail en 3*8
e
Objectif
1 Minimiser le makespan Cmax du Job-Shop
2 Affecter au moindre coˆt un employ´ sur chaque couple
u e
(machine, shift) afin de couvrir les ressources du Job-Shop
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Exemple (6 jobs - 4 machines - 15 employ´s)
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (1/3) : Prolongement d’un travail
Prolongement d’un travail
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (1/3) : Prolongement d’un travail
Prolongement d’un travail
Guyon, Lemaire, Pinson et Rivreau.
European Journal of Operational Research (` paraˆ
a ıtre)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (1/3) : Prolongement d’un travail
Prolongement d’un travail
Guyon, Lemaire, Pinson et Rivreau.
European Journal of Operational Research (` paraˆ
a ıtre)
Couplage d’un probl`me de planification d’agents et
e
d’ordonnancement de production
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (1/3) : Prolongement d’un travail
Prolongement d’un travail
Guyon, Lemaire, Pinson et Rivreau.
European Journal of Operational Research (` paraˆ
a ıtre)
Couplage d’un probl`me de planification d’agents et
e
d’ordonnancement de production
M´thode de r´solution :
e e
→ Technique de d´composition et de g´n´ration de coupes
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (1/3) : Prolongement d’un travail
Prolongement d’un travail
Guyon, Lemaire, Pinson et Rivreau.
European Journal of Operational Research (` paraˆ
a ıtre)
Couplage d’un probl`me de planification d’agents et
e
d’ordonnancement de production
M´thode de r´solution :
e e
→ Technique de d´composition et de g´n´ration de coupes
e e e
Probl`me d’ordonnancement trait´ simple
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (1/3) : Prolongement d’un travail
Prolongement d’un travail
Guyon, Lemaire, Pinson et Rivreau.
European Journal of Operational Research (` paraˆ
a ıtre)
Couplage d’un probl`me de planification d’agents et
e
d’ordonnancement de production
M´thode de r´solution :
e e
→ Technique de d´composition et de g´n´ration de coupes
e e e
Probl`me d’ordonnancement trait´ simple
e e
Motivation :
→ La d´composition et g´n´ration de coupes est-elle aussi
e e e
efficace avec un probl`me d’ordonnancement + complexe
e
(Job-Shop) ?
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (2/3) : Confrontation ` un cas industriel
a
Fabrication de tubes en zirconium
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (2/3) : Confrontation ` un cas industriel
a
Fabrication de tubes en zirconium
Diff´rents tubes passent, selon un ordre d´termin´, sur
e e e
diff´rentes machines (Job-Shop) . . .
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (2/3) : Confrontation ` un cas industriel
a
Fabrication de tubes en zirconium
Diff´rents tubes passent, selon un ordre d´termin´, sur
e e e
diff´rentes machines (Job-Shop) . . .
e
. . . devant l’oeil expert d’un employ´ capable de d´tecter une
e e
anomalie (Planification d’agents)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (2/3) : Confrontation ` un cas industriel
a
Fabrication de tubes en zirconium
Diff´rents tubes passent, selon un ordre d´termin´, sur
e e e
diff´rentes machines (Job-Shop) . . .
e
. . . devant l’oeil expert d’un employ´ capable de d´tecter une
e e
anomalie (Planification d’agents)
→ Processus qualit´ de requalification des employ´s
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (3/3) : Confrontation ` la litt´rature existante
a e
Etude d’un cas trait´ dans la litt´rature
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (3/3) : Confrontation ` la litt´rature existante
a e
Etude d’un cas trait´ dans la litt´rature
e e
Artigues, Gendreau, Rousseau et Vergnaud.
Computers and Operations Research (2008)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (3/3) : Confrontation ` la litt´rature existante
a e
Etude d’un cas trait´ dans la litt´rature
e e
Artigues, Gendreau, Rousseau et Vergnaud.
Computers and Operations Research (2008)
Motivation : Tester m´thode hybride RO-PPC sur des
e
probl`mes couplant job-shop - planification d’agents
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (3/3) : Confrontation ` la litt´rature existante
a e
Etude d’un cas trait´ dans la litt´rature
e e
Artigues, Gendreau, Rousseau et Vergnaud.
Computers and Operations Research (2008)
Motivation : Tester m´thode hybride RO-PPC sur des
e
probl`mes couplant job-shop - planification d’agents
e
M´thode de r´solution :
e e
→ R´solution via un solveur de PPC avec une contrainte
e
globale additive correspondant ` la relaxation continue du
a
probl`me de planification d’agents
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Motivations (3/3) : Confrontation ` la litt´rature existante
a e
Etude d’un cas trait´ dans la litt´rature
e e
Artigues, Gendreau, Rousseau et Vergnaud.
Computers and Operations Research (2008)
Motivation : Tester m´thode hybride RO-PPC sur des
e
probl`mes couplant job-shop - planification d’agents
e
M´thode de r´solution :
e e
→ R´solution via un solveur de PPC avec une contrainte
e
globale additive correspondant ` la relaxation continue du
a
probl`me de planification d’agents
e
Notre ´tude : cas sp´cifique de mapping activit´s - machines
e e e
→ 8 instances de comparaison
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Variables de d´cision
e
Job-Shop : Affectation des jobs aux couples (machine, unit´ de temps)
e

1 si j d´bute sur k en t
e
∀j = 1 . . . n, k = 1 . . . m, t = 0 . . . H, yjkt =
0 sinon
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Variables de d´cision
e
Job-Shop : Affectation des jobs aux couples (machine, unit´ de temps)
e

1 si j d´bute sur k en t
e
∀j = 1 . . . n, k = 1 . . . m, t = 0 . . . H, yjkt =
0 sinon
Planification d’agents : Affectation des employ´s aux couples (machine, shift)
e

1 si e travaille sur k durant s
∀e = 1 . . . µ, k = 1 . . . m, s = 1 . . . δ, xeks =
0 sinon
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
Pn Pt Pµ
i=1 u=t−ρik +1 yiku ≤ min(1, e=1 xeks ) k = 1, .., m t = 0, .., H s = t/π
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
Pn Pt
yiku ≤ min(1, µ xeks )
P
i=1 u=t−ρik +1 e=1 k = 1, .., m t = 0, .., H s = t/π
P Pσ
k ∈Ae
/ s=0 xeks = 0 e = 1, .., µ
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
Pn Pt
yiku ≤ min(1, µ xeks )
P
i=1 u=t−ρik +1 e=1 k = 1, .., m t = 0, .., H s = t/π
P Pσ
k ∈Ae
/ s=0 xeks = 0 e = 1, .., µ
P P
k∈Ae s ∈Te xeks = 0
/ e = 1, .., µ
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
Pn Pt
yiku ≤ min(1, µ xeks )
P
i=1 u=t−ρik +1 e=1 k = 1, .., m t = 0, .., H s = t/π
P Pσ
k ∈Ae
/ s=0 xeks = 0 e = 1, .., µ
P P
k∈Ae s ∈Te xeks = 0
/ e = 1, .., µ
P
k∈Ae (xeks + xek(s+1) + xek(s+2) ) ≤ 1 e = 1, .., µ s = 0, .., σ − 2
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
Pn Pt
yiku ≤ min(1, µ xeks )
P
i=1 u=t−ρik +1 e=1 k = 1, .., m t = 0, .., H s = t/π
P Pσ
k ∈Ae
/ s=0 xeks = 0 e = 1, .., µ
P P
k∈Ae s ∈Te xeks = 0
/ e = 1, .., µ
P
k∈Ae (xeks + xek(s+1) + xek(s+2) ) ≤ 1 e = 1, .., µ s = 0, .., σ − 2
yjkt ∈ {0, 1} j = 1, .., n k = 1, .., m t = 0, .., H
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Programme Lin´aire
e
µ
!
XX X
min Lex Cmax , ceks · xeks
e=1 k∈Ae s∈Te
PH
t=0 t · yikt + ρik ≤ Cmax i = 1, .., n k = mim
PH
t=0 yikt = 1 i = 1, .., n k = 1, .., m
Pt Pt−ρ
u=ρik yilu − u=0 ik yiku ≤ 0 i = 1, .., n j = 1, .., m − 1
k = mij l = mi(j+1)
t = ρik , .., H − ρil
Pn Pt
yiku ≤ min(1, µ xeks )
P
i=1 u=t−ρik +1 e=1 k = 1, .., m t = 0, .., H s = t/π
P Pσ
k ∈Ae
/ s=0 xeks = 0 e = 1, .., µ
P P
k∈Ae s ∈Te xeks = 0
/ e = 1, .., µ
P
k∈Ae (xeks + xek(s+1) + xek(s+2) ) ≤ 1 e = 1, .., µ s = 0, .., σ − 2
yjkt ∈ {0, 1} j = 1, .., n k = 1, .., m t = 0, .., H
xeks ∈ {0, 1} e = 1, .., µ k = 1, .., m s = 0, .., δ
´
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Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (1/2)
e
Minimisation du makespan Cmax
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (1/2)
e
Minimisation du makespan Cmax
Observation - sur les instances test´es - :
e
Cmax sans ressources = Cmax avec ressources
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (1/2)
e
Minimisation du makespan Cmax
Observation - sur les instances test´es - :
e
Cmax sans ressources = Cmax avec ressources
→ Concentration sur le probl`me de minimisation des coˆts
e u
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (1/2)
e
Minimisation du makespan Cmax
Observation - sur les instances test´es - :
e
Cmax sans ressources = Cmax avec ressources
→ Concentration sur le probl`me de minimisation des coˆts
e u
`
A noter : Probl`me lexicographique peut se r´soudre par
e e
recherche dichotomique sur Cmax
´
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Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (2/2)
e
Minimisation des coˆts salariaux
u
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (2/2)
e
Minimisation des coˆts salariaux
u
MIP
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (2/2)
e
Minimisation des coˆts salariaux
u
MIP
D´composition et g´n´ration de coupes de r´alisabilit´
e e e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (2/2)
e
Minimisation des coˆts salariaux
u
MIP
D´composition et g´n´ration de coupes de r´alisabilit´
e e e e e
Branch and Bound sur le nombre minimal de shifts travaill´s
e
par machine
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Probl`me
e
Branch and Bound 0-1 Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Conclusion Techniques de r´solution
e
Techniques de r´solution (2/2)
e
Minimisation des coˆts salariaux
u
MIP
D´composition et g´n´ration de coupes de r´alisabilit´
e e e e e
Branch and Bound sur le nombre minimal de shifts travaill´s
e
par machine
Branch and Bound 0-1 sur le travail (ou non) en chaque
couple (machine, shift)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
Tester (` diff´rents niveaux) sa r´alisabilit´ sur
a e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
Tester (` diff´rents niveaux) sa r´alisabilit´ sur
a e e e
[Job − Shop] via un solveur d´di´ efficace
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
Tester (` diff´rents niveaux) sa r´alisabilit´ sur
a e e e
[Job − Shop] via un solveur d´di´ efficace
e e
[Employe] via un solveur de PLNE
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
Tester (` diff´rents niveaux) sa r´alisabilit´ sur
a e e e
[Job − Shop] via un solveur d´di´ efficace
e e
[Employe] via un solveur de PLNE
Pour ´viter exploration exhaustive :
e
→ Branch and Bound 0-1, avec g´n´ration de coupes
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
Tester (` diff´rents niveaux) sa r´alisabilit´ sur
a e e e
[Job − Shop] via un solveur d´di´ efficace
e e
[Employe] via un solveur de PLNE
Pour ´viter exploration exhaustive :
e
→ Branch and Bound 0-1, avec g´n´ration de coupes
e e
initiales
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Principe
Id´es directrices
e
D´composition de [P] (en relaxant les contraintes couplantes)
e
[Job − Shop] (contraintes li´es aux variables yjkt )
e
[Employe] (contraintes li´es aux variables xeks )
e
Fixer une distribution de couples (machine, shift) travaill´s
e
et, par sym´trie non travaill´s
e e
Tester (` diff´rents niveaux) sa r´alisabilit´ sur
a e e e
[Job − Shop] via un solveur d´di´ efficace
e e
[Employe] via un solveur de PLNE
Pour ´viter exploration exhaustive :
e
→ Branch and Bound 0-1, avec g´n´ration de coupes
e e
initiales
de r´alisabilit´ (en cours d’exploration)
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
Si [Job-Shop] non r´alisable (⇔ ne respecte pas Cmax ∗ ) :
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
Si [Job-Shop] non r´alisable (⇔ ne respecte pas Cmax ∗ ) :
e
jf (→ absence de ressource sur (k, s)) non ordonnan¸able
c
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
Si [Job-Shop] non r´alisable (⇔ ne respecte pas Cmax ∗ ) :
e
jf (→ absence de ressource sur (k, s)) non ordonnan¸able
c
Un employ´ travaillera sur (k, s) dans toute solution optimale
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
Si [Job-Shop] non r´alisable (⇔ ne respecte pas Cmax ∗ ) :
e
jf (→ absence de ressource sur (k, s)) non ordonnan¸able
c
Un employ´ travaillera sur (k, s) dans toute solution optimale
e
R´sultat
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
Si [Job-Shop] non r´alisable (⇔ ne respecte pas Cmax ∗ ) :
e
jf (→ absence de ressource sur (k, s)) non ordonnan¸able
c
Un employ´ travaillera sur (k, s) dans toute solution optimale
e
R´sultat
e
Sous-ensembe de couples (k, s) d´j` arbitr´s
ea e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de probing
Coupes de probing
Tester obligation de travail pour tout couple (machine k, shift s)
Comment ?
Cr´er un job fictif jf de dur´e π s’ex´cutant sur k durant s
e e e
R´soudre [Job-Shop], via un solveur de Job-Shop d´di´
e e e
Si [Job-Shop] non r´alisable (⇔ ne respecte pas Cmax ∗ ) :
e
jf (→ absence de ressource sur (k, s)) non ordonnan¸able
c
Un employ´ travaillera sur (k, s) dans toute solution optimale
e
R´sultat
e
Sous-ensembe de couples (k, s) d´j` arbitr´s
ea e
µ
Coupes sur [Employe] ⇒ e=1 xeks = 1 ∀ (k, s) arbitr´
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de capacit´
e
Coupes de capacit´ sur machine k
e
D´terminer un nombre minimal de shifts bk travaill´s sur k
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de capacit´
e
Coupes de capacit´ sur machine k
e
D´terminer un nombre minimal de shifts bk travaill´s sur k
e e
Comment ?
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de capacit´
e
Coupes de capacit´ sur machine k
e
D´terminer un nombre minimal de shifts bk travaill´s sur k
e e
Comment ?
1 Somme des couples (k, s) arbitr´s par probing sur k
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de capacit´
e
Coupes de capacit´ sur machine k
e
D´terminer un nombre minimal de shifts bk travaill´s sur k
e e
Comment ?
1 Somme des couples (k, s) arbitr´s par probing sur k
e
Pn
j=1 ρjk
2
π
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de capacit´
e
Coupes de capacit´ sur machine k
e
D´terminer un nombre minimal de shifts bk travaill´s sur k
e e
Comment ?
1 Somme des couples (k, s) arbitr´s par probing sur k
e
Pn
j=1 ρjk
2
π
3 Test (par probing) du nombre maximal valide de jobs fictifs
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Coupes initiales de capacit´
e
Coupes de capacit´ sur machine k
e
D´terminer un nombre minimal de shifts bk travaill´s sur k
e e
Comment ?
1 Somme des couples (k, s) arbitr´s par probing sur k
e
Pn
j=1 ρjk
2
π
3 Test (par probing) du nombre maximal valide de jobs fictifs
R´sultat
e
µ
Coupes sur [Employe] ⇒ e=1 s∈Te xeks ≥ bk , k = 1, .., m
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
Fils gauche : couple(machine k, shift s) non travaill´
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
Fils gauche : couple(machine k, shift s) non travaill´
e
Fils droit : couple(machine k, shift s) travaill´
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
Fils gauche : couple(machine k, shift s) non travaill´
e
Fils droit : couple(machine k, shift s) travaill´
e
Strat´gie d’exploration
e
Profondeur d’abord
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
Fils gauche : couple(machine k, shift s) non travaill´
e
Fils droit : couple(machine k, shift s) travaill´
e
Strat´gie d’exploration
e
Profondeur d’abord
Choix de la variable de branchement
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
Fils gauche : couple(machine k, shift s) non travaill´
e
Fils droit : couple(machine k, shift s) travaill´
e
Strat´gie d’exploration
e
Profondeur d’abord
Choix de la variable de branchement
¯
k : Machine dont l’´cart entre le nombre de shifts impos´s au
e e
travail et le nombre minimal de shifts ` travailler est minimal
a
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (1/4)
e
Sch´ma de s´paration binaire
e e
Fils gauche : couple(machine k, shift s) non travaill´
e
Fils droit : couple(machine k, shift s) travaill´
e
Strat´gie d’exploration
e
Profondeur d’abord
Choix de la variable de branchement
¯
k : Machine dont l’´cart entre le nombre de shifts impos´s au
e e
travail et le nombre minimal de shifts ` travailler est minimal
a
¯:1
s ¯ s
er shift depuis δ ∗ tel que (k, ¯) est non arbitr´
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (2/4)
e
D´finitions
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (2/4)
e
D´finitions
e
Distribution relax´e (moins contraignante)
e
Distribution de couples (k, s) tels que chaque (k, s) arbitr´
e
(par arborescence ou probing) est fix´ ` sa valeur et tous les
ea
autres sont libres
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (2/4)
e
D´finitions
e
Distribution relax´e (moins contraignante)
e
Distribution de couples (k, s) tels que chaque (k, s) arbitr´
e
(par arborescence ou probing) est fix´ ` sa valeur et tous les
ea
autres sont libres
Distribution stricte (plus contraignante)
Distribution de couples (k, s) tels que chaque (k, s) arbitr´
e
(par arborescence ou probing) est fix´ ` sa valeur et tous les
ea
autres sont fix´s ` 0
e a
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (2/4)
e
D´finitions
e
Distribution relax´e (moins contraignante)
e
Distribution de couples (k, s) tels que chaque (k, s) arbitr´
e
(par arborescence ou probing) est fix´ ` sa valeur et tous les
ea
autres sont libres
Distribution stricte (plus contraignante)
Distribution de couples (k, s) tels que chaque (k, s) arbitr´
e
(par arborescence ou probing) est fix´ ` sa valeur et tous les
ea
autres sont fix´s ` 0
e a
Evaluation
Coˆt engendr´ dans [Employe] par la distribution relax´e
u e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (3/4)
e
Implications
e ¯ s
Si d´cision : (k, ¯) = 0, probing sur chaque couple (k, s) non arbitr´
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (3/4)
e
Implications
e ¯ s
Si d´cision : (k, ¯) = 0, probing sur chaque couple (k, s) non arbitr´
e
R`gles d’´limination
e e
On peut pruner le noeud en cours si l’une des 2 conditions
suivantes est v´rifi´e :
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (3/4)
e
Implications
e ¯ s
Si d´cision : (k, ¯) = 0, probing sur chaque couple (k, s) non arbitr´
e
R`gles d’´limination
e e
On peut pruner le noeud en cours si l’une des 2 conditions
suivantes est v´rifi´e :
e e
1 [Employe] avec distribution relax´e trop cher ou non r´alisable
e e
(´valuation)
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (3/4)
e
Implications
e ¯ s
Si d´cision : (k, ¯) = 0, probing sur chaque couple (k, s) non arbitr´
e
R`gles d’´limination
e e
On peut pruner le noeud en cours si l’une des 2 conditions
suivantes est v´rifi´e :
e e
1 [Employe] avec distribution relax´e trop cher ou non r´alisable
e e
(´valuation)
e
2 Distribution relax´e irr´alisable pour [Job − Shop]
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Calcul de (¯ ¯
x
´
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Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
Si distribution stricte valide, UB = z ∗
¯
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
Si distribution stricte valide, UB = z ∗
¯
G´n´ration d’une coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
Si distribution stricte valide, UB = z ∗
¯
G´n´ration d’une coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e e e
Coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
Si distribution stricte valide, UB = z ∗
¯
G´n´ration d’une coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e e e
Coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e
Interdire les solutions ´quivalentes ` x ∗
e a¯
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
Si distribution stricte valide, UB = z ∗
¯
G´n´ration d’une coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e e e
Coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e
Interdire les solutions ´quivalentes ` x ∗
e a¯
Forcer le travail sur un couple (k, s) non travaill´ pour
e
distribution stricte
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction Principe
Branch and Bound 0-1 Coupes initiales
Conclusion Arborescence
Caract´ristiques (4/4)
e
En cas de non ´limination d’un noeud
e
Calcul de (¯ ¯
x ∗ , z ∗ ) pour [Employe] respectant distribution stricte
Si ∃¯x ∗ , Test distribution stricte pour [Job − Shop]
Si distribution stricte valide, UB = z ∗
¯
G´n´ration d’une coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e e e
Coupe d’irr´alisabilit´ dans [Employe]
e e
Interdire les solutions ´quivalentes ` x ∗
e a¯
Forcer le travail sur un couple (k, s) non travaill´ pour
e
distribution stricte
µ
xeks ≥ 1
(k,s)non arbitr´ e=1
e
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
Outils
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
Solveur PLNE pour [Employe] : Ilog Cplex 9.1
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
Solveur PLNE pour [Employe] : Ilog Cplex 9.1
Solveur de Job-Shop d´di´ : Branch and Bound
e e
(Carlier, P´ridy, Pinson, Rivreau)
e
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
Solveur PLNE pour [Employe] : Ilog Cplex 9.1
Solveur de Job-Shop d´di´ : Branch and Bound
e e
(Carlier, P´ridy, Pinson, Rivreau)
e
Processeur Intel Core 2 Quad Q6600 @ 2,40 GHz - 3 GB RAM
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Donn´es
e
8 instances d’Artigues
Instance n m µ µextra δ π
ejs 6 4 25 10 8 8
ejs8 ∗ 8 8 8 40 20 8 8
ejs10 ∗ 10 10 10 50 20 10 10
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
Solveur PLNE pour [Employe] : Ilog Cplex 9.1
Solveur de Job-Shop d´di´ : Branch and Bound
e e
(Carlier, P´ridy, Pinson, Rivreau)
e
Processeur Intel Core 2 Quad Q6600 @ 2,40 GHz - 3 GB RAM
Temps de r´solution : 600 secondes
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
R´sultats : de l’int´rˆt des coupes initiales . . .
e ee
MIP MIP avec coupes initiales
Coˆt∗
u Coˆt
u Tps(#noeuds) Coˆt
u Tps(#noeuds)
ejs4 23 23 1.0(0) 23 0.3(0)
ejs9 24 24 32.8(1360) 24 2.8(48)
ejs10 23 23 1.4(0) 23 0.5(0)
ejs8 ∗ 81 78 X TL(2675) 87 TL(8971)
ejs8 ∗ 82 96 X TL(1798) 96 42.8(5448)
ejs8 ∗ 83 83 106 TL(2724) 83 221.4(3503)
ejs10 ∗ 101 124 X TL(146) 130 TL(497)
ejs10 ∗ 103 95 X TL(99) X TL(213)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
R´sultats : de l’int´rˆt du Branch and Bound . . .
e ee
MIP avec coupes initiales Branch and Bound
Coˆt∗
u Coˆt
u Tps(#noeuds) Coˆt Tps(#noeuds)
u
ejs4 23 23 0.3(0) 23 0.0(3)
ejs9 24 24 2.8(48) 24 1.2(89)
ejs10 23 23 0.5(0) 23 0.1(13)
ejs8 ∗ 81 78 87 TL(8971) 78 52.9(103)
ejs8 ∗ 82 96 96 42.8(5448) 96 41.9(211)
ejs8 ∗ 83 83 83 221.4(3503) 83 3.2(33)
ejs10 ∗ 101 124 130 TL(497) 124 30.0(21)
ejs10 ∗ 103 95 X TL(213) 96 TL(209)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation MIP index´e sur le temps
e
Techniques de r´solution
e
2 Branch and Bound 0-1
Principe
Coupes initiales
Arborescence
3 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Bilan
Probing performant
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Bilan
Probing performant
Technique de d´composition int´ressante
e e
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Bilan
Probing performant
Technique de d´composition int´ressante
e e
Approche par Branch and Bound tr`s comp´titive
e e
´
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Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
Je vous remercie de votre attention
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines

Introduction
Exp´rimentations num´riques
e e
Branch and Bound 0-1
Bilan
Conclusion
R´sultats : Comparaison ` Artigues et al.
e a
Artigues et al. Branch and Bound
Coˆt∗
u Coˆt Temps
u Coˆt
u Temps
ejs4 23 23 0.8 23 0.0
ejs9 24 24 50.4 24 1.2
ejs10 23 23 2.6 23 0.1
ejs8 ∗ 81 78 87 81.2 78 52.9
ejs8 ∗ 82 96 96 103 96 41.9
ejs8 ∗ 83 83 83 29 83 3.2
ejs10 ∗ 101 124 130 926 124 30.0
ejs10 ∗ 103 95 150 TL 96 TL
Attention
Calculs ex´cut´s sur des machines diff´rentes !
e e e
Cas particulier des probl`mes r´solus par Artigues et al.
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Job-Shop / Ressources Humaines