Introduction
Techniques de résolution
Conclusion
Couplage Plani cation/Ordonnancement : une
approche par décomposition et génération de coupes
O. Guyon
1.2
, N. Brahimi2 , E. Pinson1 , D. Rivreau1
1 Institut de Mathématiques Appliquées (UCO)
2 Ecole des Mines de Nantes
21 février 2007
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction
Techniques de résolution
Conclusion
Sommaire
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
domaine d'exécution Dj = [rj , dj ]
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
domaine d'exécution Dj = [rj , dj ]
préemptif
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
domaine d'exécution Dj = [rj , dj ]
préemptif
requiert un opérateur pour chaque unité de temps d'exécution
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
domaine d'exécution Dj = [rj , dj ]
préemptif
requiert un opérateur pour chaque unité de temps d'exécution
O (m opérateurs)
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
domaine d'exécution Dj = [rj , dj ]
préemptif
requiert un opérateur pour chaque unité de temps d'exécution
O (m opérateurs)
o
ensemble de roulements aectables Ωo (de coût ηω )
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Présentation du problème
Données
J (n jobs) :
durée pj
domaine d'exécution Dj = [rj , dj ]
préemptif
requiert un opérateur pour chaque unité de temps d'exécution
O (m opérateurs)
o
ensemble de roulements aectables Ωo (de coût ηω )
Objectif
Déterminer un ordonnancement (sur un horizon temporel H) de
l'ensemble des jobs en aectant à chaque opérateur un roulement,
en satisfaisant au moindre coût les besoins en eectif
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
Séparation entre activités des opérateurs et exécution des jobs
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
Séparation entre activités des opérateurs et exécution des jobs
Danniels and Mazzola
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
Séparation entre activités des opérateurs et exécution des jobs
Danniels and Mazzola
Durée des jobs variant selon le mode de fabrication
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
Séparation entre activités des opérateurs et exécution des jobs
Danniels and Mazzola
Durée des jobs variant selon le mode de fabrication
Bailey et al.
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
Séparation entre activités des opérateurs et exécution des jobs
Danniels and Mazzola
Durée des jobs variant selon le mode de fabrication
Bailey et al.
Trouver un compromis entre le coût des opérateurs et la durée
globale du projet
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Références bibliographiques
Artigues Gendreau Rousseau
Etat de l'art sur le problème
Séparation entre activités des opérateurs et exécution des jobs
Danniels and Mazzola
Durée des jobs variant selon le mode de fabrication
Bailey et al.
Trouver un compromis entre le coût des opérateurs et la durée
globale du projet
...
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Variables de décision
Plani cation (aectation des roulements aux opérateurs)
o 1 si pro l ω aecté à opérateur o
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo , yω =
0 sinon
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Variables de décision
Plani cation (aectation des roulements aux opérateurs)
o 1 si pro l ω aecté à opérateur o
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo , yω =
0 sinon
Ordonnancement (aectation des jobs aux unités de temps)
1 si une unité du job j est exécutée à t
∀j ∈ J , ∀t ∈ H , xjt =
0 sinon
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Programme linéaire
[P ] : Min o o
ηω yω (1)
o ∈O ω∈Ω o
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Programme linéaire
[P ] : Min o o
ηω yω (1)
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O yω
o =1 (2)
ω∈Ωo
(3)
(4)
(5)
(6)
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Programme linéaire
[P ] : Min o o
ηω yω (1)
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O yω
o =1 (2)
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj (3)
t ∈D j
(4)
(5)
(6)
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Programme linéaire
[P ] : Min o o
ηω yω (1)
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O yω
o =1 (2)
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj (3)
t ∈D j
∀t ∈ H xjt ≤ t o
σω yω (4)
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
(5)
(6)
t
avec : ∀ω ∈ Ω, ∀t ∈ H , σω = 1 ssi ω couvre t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Programme linéaire
[P ] : Min o o
ηω yω (1)
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O yω
o =1 (2)
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj (3)
t ∈D j
∀t ∈ H xjt ≤ t o
σω yω (4)
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo o
yω ∈ {0, 1} (5)
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ {0, 1} (6)
t
avec : ∀ω ∈ Ω, ∀t ∈ H , σω = 1 ssi ω couvre t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Approches de résolution
Borne inférieure : Relaxation lagrangienne
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Approches de résolution
Borne inférieure : Relaxation lagrangienne
Solution exacte :
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Approches de résolution
Borne inférieure : Relaxation lagrangienne
Solution exacte :
Décomposition de Benders
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Problème
Techniques de résolution Formalisation
Conclusion
Approches de résolution
Borne inférieure : Relaxation lagrangienne
Solution exacte :
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Relaxation lagrangienne
[P ] Min
o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
o
y =1 ∀o
ω
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D j
xjt ≤ t o
σω yω ∀t
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
o
y ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Relaxation lagrangienne
[P ] Min
o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
o
y =1 ∀o
ω
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D j
xjt ≤ t o
σω yω contraintes couplantes ∀t
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
y
o ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Relaxation lagrangienne
[P ] Min
o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
o
y =1 ∀o
ω
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D j
xjt ≤ t o
σω yω πt ≥ 0 ∀t
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
y
o ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Relaxation lagrangienne
[SP (π)] Min
o o
ηω yω + πt xjt − t o
σω yω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J o ∈O ω∈Ω o
o
y =1 ∀o
ω
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D j
xjt ≤ t o
σω yω πt ≥ 0 ∀t
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
o
y ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Borne inférieure de Lagrange
Fonction duale L(π)
L(π) = o o
ηω yω + πt xjt − t o
σω yω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J o ∈O ω∈Ω o
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Borne inférieure de Lagrange
Fonction duale L(π)
L(π) = o o
ηω yω + πt xjt − t o
σω yω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J o ∈O ω∈Ω o
Borne inférieure de Lagrange
max[L(π)]
π
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Sous-problème [SP(π )] avec π xé
Min o o
ηω yω + πt xjt − t o
σ ω yω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J o ∈O ω∈Ω o
yo = 1 ω ∀o
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D
o
j
yω ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Sous-problème [SP(π )] avec π xé
Min o o
ηω yω + πt xjt − t o
σ ω yω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J o ∈O ω∈Ω o
yo = 1ω ∀o
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D
o
j
yω ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Sous-problème [SP(π )] avec π xé
Min o
ηω − t o
π t σ ω yω + πt xjt
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J t ∈ H
yo = 1
ω ∀o
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D
o
j
yω ∈ { 0 , 1 } ∀o , ∀ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Sous-problème [SP(π )] avec π xé
Min o
ηω − t o
π t σ ω yω + πt xjt
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J t ∈H
yo = 1
ω ∀o
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D
o
j
yω ∈ { 0 , 1 } ∀o , ∀ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Sous-problème [SP(π )] avec π xé
Min o
ηω − t o
π t σ ω yω + πt xjt
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J t ∈ H
yo = 1
ω ∀o
ω∈Ωo
xjt = pj ∀j
t ∈D
o
j
yω ∈ {0, 1} ∀o , ∀ω
xjt ∈ {0, 1} ∀j , ∀t
SP (π) : SPy (π) SPx (π)
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Résolution de [SPy (π)] - Aectation ω → o
[SPy (π)] : Min o
ηω − t o
πt σω yω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H
∀o ∈ O o =1
yω
ω∈Ωo
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo o
yω ∈ { 0 , 1 }
Polynômial
Pour chaque opérateur, prendre le roulement de moindre coût
régularisé
o o
∀o ∈ O , yω = 1 ⇒ ω = arg min (ηω − t
πt σω )
ω∈Ωo
t ∈H
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Résolution de [SPx (π)] - Aectation j → t
[SPx (π)] : Min πt xjt
j ∈J t ∈H
∀j ∈ J xjt = pj
t ∈D j
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ {0, 1}
Polynômial
Pour chaque job, xer les pj premiers plus petits coûts réduits de
Dj (πt /t ∈ Dj )
Tri : ∀j ∈ J , ∀t ∈ Dj , on change les indices : π1 ≤ π2 ≤ ... ≤ πD j
∀j ∈ J , ∀πt ∈ [π1 ..πp ], xjt = 1
j
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général
[P ] Min cx + fy
Dx + Fy = d
x, y ≥ 0
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général
[P ] Min cx + fy
Dx + Fy = d contraintes couplantes
x, y ≥ 0
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général
[P ] Min cx + fy
Dx + Fy = d contraintes couplantes y ∈Y →y
¯
x, y ≥ 0
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général
[SPy ] Min
¯ cx +fy
Dx = d − F y contraintes couplantes
¯ y ∈Y →y
¯
x, y ≥ 0
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (2)
[SPy ] Min
¯ cx
Dx = d − F y
¯
x ≥0
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (2)
[SPy ] Min
¯ cx Dual
Dx = d − F y
¯ ⇒
x ≥0
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (2)
[SPy ] Min
¯ cx Dual [DSPy ] Maxv (d − F y )
¯ ¯
Dx = d − F y
¯ ⇒ vD ≥ c
x ≥0 v 0
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (2)
[SPy ] Min
¯ cx Dual [DSPy ] Maxv (d − F y )
¯ ¯
Dx = d − F y
¯ ⇒ vD ≥ c
x ≥0 v 0
Dualité forte : Optimum[SPy ] = Optimum[DSPy ]
¯ ¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (2)
[SPy ] Min
¯ cx Dual [DSPy ] Maxv (d − F y )
¯ ¯
Dx = d − F y
¯ ⇒ vD ≥ c
x ≥0 v 0
Dualité forte : Optimum[SPy ] = Optimum[DSPy ]
¯ ¯
Particularités de [DSPy ]
¯
contraintes indépendantes de y
¯
optimum atteint sur un des points extrêmes v 1 , v 2 , . . . , v q
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (3)
Réécriture de [P]
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (3)
Réécriture de [P]
P : min {cx + fy }
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (3)
Réécriture de [P]
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum(SPy )}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (3)
Réécriture de [P]
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum(SPy )}
P : miny ∈Y {fy + optimum(DSPy )}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (3)
Réécriture de [P]
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum(SPy )}
P : miny ∈Y {fy + optimum(DSPy )}
P : miny ∈Y {fy + maxi =1...q (v q (d − Fy ))}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (3)
Réécriture de [P]
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum(SPy )}
P : miny ∈Y {fy + optimum(DSPy )}
P : miny ∈Y {fy + maxi =1...q (v q (d − Fy ))}
[P ] : Min z
z ≥ fy + v 1 (d − Fy )
z ≥ fy + v 2 (d − Fy )
..............
z ≥ fy + v q (d − Fy )
y ∈Y
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (4)
Dé nition de l'ensemble des coupes
J = 1 . . . q Cut ← z ≥ fy + v j (d − Fy ), j ∈ J
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (4)
Dé nition de l'ensemble des coupes
J = 1 . . . q Cut ← z ≥ fy + v j (d − Fy ), j ∈ J
[P ] : Min z
Cut
y ∈Y
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (4)
Dé nition de l'ensemble des coupes
J = 1 . . . q Cut ← z ≥ fy + v j (d − Fy ), j ∈ J
[P ] : Min z
Cut
y ∈Y
Résolution de [P]
Résolution itérative en ajoutant une coupe l'une après l'autre
Condition d'arrêt : Optimum([P ]) = Optimum([DSPy ])
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (5)
Avertissement
Dans les explications précédentes, [SPy ] doit toujours admettre au
¯
moins une solution réalisable.
Sinon, d'autres coupes (rayons extrêmaux) sont nécessaires.
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans le cas général (5)
Avertissement
Dans les explications précédentes, [SPy ] doit toujours admettre au
¯
moins une solution réalisable.
Sinon, d'autres coupes (rayons extrêmaux) sont nécessaires.
Coupes supplémentaires : Théorême de Farkas-Minkowski
SPy a une solution x ≥ 0 ssi
¯
u (d − F y ) ≤ 0 pour tout u véri ant uD ≤ 0
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application - [P]
[P ] : Min z
∀o o
yω =1
ω∈Ωo
Cut
o
∀o , ∀ω yω ∈ {0, 1}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application (2) - [SPy ]
¯
[SPy ] : Min 0
¯
∀j ∈ J xjt = pj
t ∈D j
∀t ∈ H xjt ≤ t ¯o
σ ω yω
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ≤1
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ +
∀t ∈ H zt ∈ +
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application (2) - [SPy ]
¯
[SPy ] : Min 0 +
¯ M .zt
t ∈H
∀j ∈ J xjt = pj
t ∈D j
∀t ∈ H xjt − zt ≤ t ¯o
σ ω yω
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ≤1
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ +
∀t ∈ H zt ∈ +
zt réalisabilité de SPy
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application (2) - [SPy ]
¯
[SPy ] : Min 0 +
¯ M .zt
t ∈H
∀j ∈ J xjt = pj
t ∈D j
∀t ∈ H xjt − zt ≤ t ¯o
σ ω yω
j ∈J o ∈O ω∈Ω o
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ≤1
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ +
∀t ∈ H zt ∈ +
zt réalisabilité de SPy
¯ xjt ∈ + véri er dualité forte
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application (3) - [DSPy ]
¯
[DSPy ] : Max uj pj + vt t ¯o
σ ω yω + wjt
¯
j ∈J t ∈H o ∈O ω∈Ω j ∈J t ∈H
αj uj + vt + wjt ≤ 0
t
o
∀j ∈ J , ∀t ∈ H
∀t ∈ H −vt ≤ M
∀j ∈ J uj 0
∀t ∈ H , vt ≤ 0
∀j ∈ J , ∀t ∈ H wjt ≤ 0
avec : ∀j ∈ J , ∀t ∈ H , αjt = 1ssi t ∈ Dj
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application (3) - Coupe
o o
ηω yω + ∗
uj pj + ∗
vt
t o
σω yω + t∗ ≤ z
wj
o ∈O ω∈Ω o j ∈J t ∈H o ∈O ω∈Ω o j ∈J t ∈H
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Benders dans notre application (3) - Coupe
o o
ηω yω + ∗
uj pj + vt
∗ t o
σω yω + t∗ ≤ z
wj
o ∈O ω∈Ω o j ∈J t ∈H o ∈O ω∈Ω o j ∈J t ∈H
soit :
o ηo +
yω
∗
vt
t
σω + ∗
uj pj + wj
t∗ ≤z
ω
o ∈O ω∈Ω o t ∈H j ∈J t ∈H
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Etapes
Décomposition de [P] → [PR] et [SP]
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Etapes
Décomposition de [P] → [PR] et [SP]
Résolution de [PR] : y , roulement → opérateur
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Etapes
Décomposition de [P] → [PR] et [SP]
Résolution de [PR] : y , roulement → opérateur
¯
Résolution de [SP(y )] : job → unités de temps
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Etapes
Décomposition de [P] → [PR] et [SP]
Résolution de [PR] : y , roulement → opérateur
¯
Résolution de [SP(y )] : job → unités de temps
¯
Si on arrive à plani er tous les jobs : OPTIMUM
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Etapes
Décomposition de [P] → [PR] et [SP]
Résolution de [PR] : y , roulement → opérateur
¯
Résolution de [SP(y )] : job → unités de temps
¯
Si on arrive à plani er tous les jobs : OPTIMUM
Sinon : Génération d'une coupe invalidant y dans [PR] et
¯
réitération
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Résolution de [PR]
[PR ] : Min o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O o
yω = 1
ω∈Ωo
Cut
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo o
yω ∈ { 0 , 1 }
Résolution de [PR]
Aectation optimale des roulements aux opérateurs y
¯
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Courbe de disponibilité des opérateurs
Courbe de disponibilité des opérateurs
∀t ∈ H , bt = t ¯o
σ ω yω
o ∈O ω∈Ω o
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Résolution de [SP(y )]
¯
[SP (¯ )] : Max
y z= xjt
j ∈J t ∈D j
∀t ∈ H xjt ≤ bt
j ∈J
∀j ∈ J xjt ≤ pj
t ∈D j
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ {0, 1}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Résolution de [SP(y )]
¯
[SP (¯ )] : Max
y z= xjt
j ∈J t ∈D j
∀t ∈ H xjt ≤ bt
j ∈J
∀j ∈ J xjt ≤ pj
t ∈D j
∀j ∈ J , ∀t ∈ H xjt ∈ {0, 1}
Résolution de [SP(y )]
¯
Flot maximal sur un graphe biparti (J, T, U)
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (1)
@ABC
GFED (0,1)
@ABC
GFED
j1 jj t1 V
ÖÖ
jjj jjjj VV
ÖÖ VV
jjjj
(0,p ) ÖÖ GFEDjjjj
@ABC @ABC
GFED
Ö j VV
(0,b )
j
Ö j2 r t2 uu VVV t
ÖÖ ttt
Ö t
rr
rr vv
v uu VV
vv uu V
ÖÖ ttt rr uu VV
?>=<u
89:; 89:;
?>=<
Ö
Öttt rr vvv uu
. rrvv .
s Vu .
. vrr
vv rr .
. t
VVuuu vv ss
VV uuu vv
rr
rr ssÖÖÖ
s Ö
s
VV @ABCv
GFED @ABC
GFED
v rr ss
VV uu vv ss ÖÖÖ
VV j3 „„„„„ j t3 ÖÖ
VV „„„„ jjjjjj ÖÖ
jj
„„ ÖÖ
VV jjjj „„„„„„
@ABC
GFEDj „GFED
@ABC
jjjj ÖÖ
j4 t4
(j ,t )∈G ssi t ∈D j
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (2)
@ABC
GFED (0,1)
@ABC
GFED
j1 j t1 V
ÖÖ jjjjjjj VV
ÖÖ jjjj VV
(0,p ) ÖÖ @ABCjjjjGFED @ABC
GFED
Ö jj VV
(0,b )
`V ÖÖ t j2 rr
`V Ö
j
t2 uu VVV t
RRÖÖ tttt rr vv uu VV
HD
ÖHttt rr vv uu V
vv uu VV
?>=<u 11
89:; 89:;
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Öt 5 5 rr vvv uu
s Vu .
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vv rr ssÖÖ
V uu vv
v rr ss
ss ÖÖ
VV @ABCv
GFED @ABC
GFED
 VVV uuu rr
vv r ss ÖÖ
ÒÖ
ÒÖ t3
s
ÖÖ
VV j3 „„„„„ jjjj ÖÖ
VV „„„„ jjj
jj
„„ ÖÖ
VV jjjj „„„„„„ ÖÖ
@ABC
GFEDjj „GFED
@ABC
jjj Ö
j4 t4
Solution réalisable ⇔ Flot max = j ∈ J pj
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (3)
@ABC
GFED 1|1
@ABC
GFED
j1 jj t1 V
Ö
Ö jjjj VV
ÖÖ
Ö
ÖÖ
Ö jjjj VV
Ö Ö @ABCr
ÖÖ GFEDjjjj @ABC
GFED
Ö 0|1 jjjj VV
1|1 ÖÖ
t2 uu VVV
1|4
Ö t j2
ÖÖ ttt
Ö t
ÖÖ t rr 1|1
vvvv
v uu VV
ÖÖ tt t 0|1 rrrr
ÖÖ tttt vvv
vv
uu V
uu VV
?>=<u
89:; 89:;
?>=<
ÖÖ
Ötttt 1|1
ÖÖtt rr vvvvvv
v 2|3 uu
t . rvvv .
s Vu .
. vvrrrr
v
vv r .
. 1|1 sssÖÖ t
VVuuu2|3
1|1 vv
vvv
vv rr ss
ssÖÖ
VV uuu
vvv
v rr sss Ö
s
s ÖÖ
VV @ABCv GFED @ABC
GFEDs ÖÖ Ö
VV uu vvv
v rr sss ÖÖ
v 1|1 sss ÖÖÖ
s Ö
VV j3 „„„„„ 0|1
„„„„ jjjjj jj t3 ÖÖ1|1
1|2
VV ÖÖ
ÖÖ
VV 0|1 jjjjjj„„„ „„ ÖÖ
ÖÖ
@ABCjj
GFED @ABC
GFED
jjj „„„„ ÖÖ ÖÖ
j4 t4
1|1
j ∈ J pj = 7 Flot max = 5
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (4)
@ABC
GFED 1|1
@ABC
GFED
j1 jj t1 V
Ö
Ö jjjj VV
ÖÖ
Ö
ÖÖ
Ö jjjj VV
Ö Ö @ABCr
ÖÖ GFEDjjjj @ABC
GFED
Ö 0|1 jjjj VV
1|1 ÖÖ 1|4
Ö t j2 t2 uu VVV
ÖÖ ttt
Ö t
ÖÖ t rr 1|1
vvvv
v uu VV
ÖÖ tt t 0|1 rrrr
ÖÖ tttt vvv
vv
uu V
uu VV
?>=<u
89:; 89:;
?>=<
ÖÖ
Ötttt 1|1
ÖÖtt rr vvvvvv
v 2|3 uu
t . rvvv
rr .
s Vu . vvrr .
VVuuu2|3 . vv
vvv
vv
v r
rr
. 1|1 sssÖÖ t ss
1|1 vv ssÖÖ
VV uuu
vvv
v rr sss Ö
s
s ÖÖ
VV @ABCv GFED @ABC
GFEDs ÖÖ Ö
VV uu vvv
v rr sss ÖÖ
v 1|1 sss ÖÖÖ
s Ö
VV j3 „„„„„ 0|1
„„„ jjjjj jj t3 ÖÖ1|1
1|2
VV ÖÖ
ÖÖ
VV 0|1 jjj„jj„„„j„„ ÖÖ
ÖÖ
@ABCjj
GFED @ABC
GFED
jjj „„„„ ÖÖ ÖÖ
j4 t4
1|1
Il faut modi er les bt
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (5)
@ABC
GFED 1|1
@ABC
GFED
j1
kk t1 V
ÖÖ kkkk VV
ÖÖ
ÖÖ
Ö
Ö
0|1 kkkk
kkkk VV
1|1 ÖÖ Ö @ABCkkk
Ö GFED k @ABC
GFED
Ö VV
ˆ ‡ ‡Ö‡ÖÖ t j2 r t2 u
VV |4
1
ÖÖ ‡t‡ † † rrr0|1 1|1
Ö tt
vvv
v uu VV
ÖÖ tt
ÖÖ ttt † † rr vvv
v
v uu VV
uu V
ÖÖ ttt
ÖÖ ttt 1|1
?>=<t
89:; 89:;
?>=<
ÖÖt
Öttt
rr vvv
rr vv„ v
v
„ „vv„v 2|3
uu V
u
t . vrr „ ƒ ƒ .
rv
s
VVtt .
. vvv r
v r .
. s t
tt2|3
VV t 1|1vvv vvv
vv rr ƒ ƒ ‚ ‚ 1|1ssssÖÖ ss
sÖ ÖÖ
v rr ‚ sss ÖÖ
VV ttt vvv ss‚ Ö
ss
V GFED„„
@ABC @ABC ÖÖ Ö
GFED
vvv rr s ÖÖ
VV t vv 1|1 sss ÖÖց  
s
1|2 VV
j3
„„„„0|1 kkkk
t3
ÖÖ
VV „„„„kkkk ÖÖ 1|1
ÖÖ
VV 0|1 kkkk
kk„„„„ ÖÖ
ÖÖ
@ABC
GFEDkk @ABC
GFED
kk „„„„ ÖÖ ÖÖ
j4 t4
1|1
Coupe minimale {s , j3 , j4 , t3 , t4 } ∪ {j1 , j2 , t1 , t2 , t }
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (6)
o• • • •1 @ABC 1 GFED 1 @ABC • • • •/ −
GFED 1
1• • • 1 1• • • 1
1|1
−
J
1 Ö 1 1
j
kk t1 WW 1 T
Ö
Ö Ö kk kkkk 1 WW
Ö
ÖÖ
1 0|1 kkkk
1 kk 1 1W
1|1 ÖÖ Ö 1 @ABCkkkk
Ö GFED 1
1 v@ABCuu1 WW
GFED
ÖÖ 1 1 WWW1|4
ÖÖ s
ˆ ˆ ‡Ö‡ 1 j2 1
Ö • t2
ÖÖ ss † rr
ÖÖ ‡ss‡ • † • rr0|1 1|1
‡ vvv • • uuuu WWW
•
v
ÖÖ ssss
ÖÖ ssss † †rr r vvv
vv
?>=<u
89:; 89:;
?>=<
Ös rr „ vvv u WW
Össs 1|1
ÖÖ
v 2|3 uuu
Öss
s . rvvv„v „
vv „ .
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vv .
. vvv rrrr ƒ ƒ ƒ .ƒ ƒ 1|1 sssÕÕ
s
VVuu
VV uuu|3 1• • 1|1 vvvv v
v ssst
sÕ ÕÕ
2
• 1 vvv rr ‚ ‚ sssÕ Õ
VV uuu ‚s
s
V 1 @ABC„„ GFED 1 1 GFED 1 ÕÕ Õ
@ABC
rr
VV 1 u vvvv
vv1 v 1•r • ssss ‚ÕÕÕ 
s• 1 ss ÕՁ
s Õ
1|1
Õ 
1|2 VV
t3
kkkk
j3
„„„„0|1
„„„„kkkk 1 1 Õ Õ 1|1
Õ
V1 V 1
kk„„„„ 1 ÕÕ
ÕÕ
1 VV 0|1 kkkk ÕÕ 1
ÕÕ
+ o• • • •1 @ABCk 1 GFED k 1 @ABC • • • •/ +
GFED 1
1 k „„„„ Õ
Õ
k
J j4 t4 T
1 1 1|1 1 1
• • • • • •
F− = u∈ω+ (T − ) φu = j ∈J − pj + card {(i , j )|i ∈ J ∧ j ∈ T }
+ −
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (7)
o• • • •1 @ABC 1 GFED 1 @ABC • • • •/ −
GFED 1
1• • • 1 1• • • 1
1|1
−
J
1 Ö 1 1
j
kk t1 WW 1 T
Ö
Ö Ö kk kkkk 1 WW
Ö
ÖÖ
1 0|1 kkkk
1 kk 1 1W
1|1 ÖÖ Ö 1 @ABCkkkk
Ö GFED 1
1 v@ABCuu1 WW
GFED
ÖÖ 1 1 WWW1|4
ÖÖ s
ˆ ˆ ‡Ö‡ 1 j2 1
Ö • t2
ÖÖ ss † rr
ÖÖ ‡ss‡ • † • rr0|1 1|1
‡ vvv • • uuuu WWW
•
v
ÖÖ ssss
ÖÖ ssss † †rr r vvv
vv
?>=<u
89:; 89:;
?>=<
Ös rr „ vvv u WW
Össs 1|1
ÖÖ
v 2|3 uuu
Öss
s . rvvv„v „
vv „ .
. vrr
vv .
. vvv rrrr ƒ ƒ ƒ .ƒ ƒ 1|1 sssÕÕ
s
VVuu
VV uuu|3 1• • 1|1 vvvv v
v ssst
sÕ ÕÕ
2
• 1 vvv rr ‚ ‚ sssÕ Õ
VV uuu ‚s
s
V 1 @ABC„„ GFED 1 1 GFED 1 ÕÕ Õ
@ABC
rr
VV 1 u vvvv
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s Õ
1|1
Õ 
1|2 VV
t3
kkkk
j3
„„„„0|1
„„„„kkkk 1 1 Õ Õ 1|1
Õ
V1 V 1
kk„„„„ 1 ÕÕ
ÕÕ
1 VV 0|1 kkkk ÕÕ 1
ÕÕ
+ o• • • •1 @ABCk 1 GFED k 1 @ABC • • • •/ +
GFED 1
1 k „„„„ Õ
Õ
k
J j4 t4 T
1 1 1|1 1 1
• • • • • •
Nécessairement, F + = u∈ω+ (T + ) φu ≥ j ∈J pj − F
−
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Dé nition du graphe de ot (8)
o• • • •1 @ABC 1 GFED 1 @ABC • • • •/ −
GFED 1
1• • • 1 1• • • 1
1|1
−
J
1 Ö 1 1
j
kk t1 WW 1 T
Ö
Ö Ö kk kkkk 1 WW
Ö
ÖÖ
1 0|1 kkkk
1 kk 1 1W
1|1 ÖÖ Ö 1 @ABCkkkk
Ö GFED 1
1 v@ABCuu1 WW
GFED
ÖÖ 1 1 WWW1|4
ÖÖ s
ˆ ˆ ‡Ö‡ 1 j2 1
Ö • t2
ÖÖ ss † rr
ÖÖ ‡ss‡ • † • rr0|1 1|1
‡ vvv • • uuuu WWW
•
v
ÖÖ ssss
ÖÖ ssss † †rr r vvv
vv
?>=<u
89:; 89:;
?>=<
Ös rr „ vvv u WW
Össs 1|1
ÖÖ
v 2|3 uuu
Öss
s . rvvv„v „
vv „ .
. vrr
vv .
. vvv rrrr ƒ ƒ ƒ .ƒ ƒ 1|1 sssÕÕ
s
VVuu
VV uuu|3 1• • 1|1 vvvv v
v ssst
sÕ ÕÕ
2
• 1 vvv rr ‚ ‚ sssÕ Õ
VV uuu ‚s
s
V 1 @ABC„„ GFED 1 1 GFED 1 ÕÕ Õ
@ABC
rr
VV 1 u vvvv
vv1 v 1•r • ssss ‚ÕÕÕ 
s• 1 ss ÕՁ
s Õ
1|1
Õ 
1|2 VV
t3
kkkk
j3
„„„„0|1
„„„„kkkk 1 1 Õ Õ 1|1
Õ
V1 V 1
kk„„„„ 1 ÕÕ
ÕÕ
1 VV 0|1 kkkk ÕÕ 1
ÕÕ
+ o• • • •1 @ABCk 1 GFED k 1 @ABC • • • •/ +
GFED 1
1 k „„„„ Õ
Õ
k
J j4 t4 T
1 1 1|1 1 1
• • • • • •
F+ = t ∈T + bt
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Génération de coupes
Expression de la coupe
F+ ≥ pj − F −
j ∈J
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Génération de coupes
Expression de la coupe
F+ ≥ pj − F −
j ∈J
 
⇔ bt ≥ pj −  pj + card (i , j ) /i ∈ J + ∧ j ∈ T − 
t ∈T + j ∈J j ∈J −
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
Génération de coupes
Expression de la coupe
F+ ≥ pj − F −
j ∈J
 
⇔ bt ≥ pj −  pj + card (i , j ) /i ∈ J + ∧ j ∈ T − 
t ∈T + j ∈J j ∈J −
⇔ t o
σω yω ≥ pj − card (i , j ) /i ∈ J + ∧ j ∈ T −
t ∈T + o ∈O ω∈Ω o j ∈J +
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Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
[PR] avec coupes
[PR ] : Min o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O o
yω =1
ω∈Ωo
∀i ∈ [1 . . . p ] t o
σ ω yω ≥ pj − βi
t ∈T o ∈O ω∈Ω
i
+ o j ∈J +
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo y o ∈ {0, 1}
ω
avec βi = card {(i , j ) /i ∈ J + ∧ j ∈ T − }
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Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
[PR] avec coupes
[PR ] : Min o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O o
yω =1
ω∈Ωo
∀i ∈ [1 . . . p ] t o
σ ω yω ≥ pj − βi
t ∈T o ∈O ω∈Ω
i
+ o j ∈J +
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo y o ∈ { 0, 1}
ω
avec βi = card {(i , j ) /i ∈ J + ∧ j ∈ T − }
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Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
[PR] avec coupes
[PR ] : Min o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O o
yω =1
ω∈Ωo
∀i ∈ [1 . . . p ] (αi )o yω
ω
o ≥ pj − βi
o ∈O ω∈Ω o j ∈J +
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo y o ∈ { 0, 1}
ω
avec βi = card {(i , j ) /i ∈ J+ ∧ j ∈ T − } et (αi )o = t
σω
ω
t ∈T +
i
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Introduction Relaxation lagrangienne
Techniques de résolution Décomposition de Benders
Conclusion Décomposition et génération de coupes
[PR] avec coupes
[PR ] : Min o o
ηω yω
o ∈O ω∈Ω o
∀o ∈ O o
yω =1
ω∈Ωo
∀i ∈ [1 . . . p ] (αi )o yω
ω
o ≥ pj − βi
o ∈O ω∈Ω o j ∈J +
∀o ∈ O , ∀ω ∈ Ωo y o ∈ { 0, 1}
ω
avec βi = card {(i , j ) /i ∈ J+ ∧ j ∈ T − } et (αi )o = t
σω
ω
t ∈T +
i
Caractérisation de [PR]
Peut être mis sous forme d'un
Sac à Dos Multichoix Multidimensionnel
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Générateur de données
Moduler le taux de travail sur l'horizon
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Générateur de données
Moduler le taux de travail sur l'horizon
Dispersion des fenêtres d'exécution des jobs
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Générateur de données
Moduler le taux de travail sur l'horizon
Dispersion des fenêtres d'exécution des jobs
Moduler le nombre de roulements aectables à chaque
opérateur
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
n ∈ {50, 75}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
n ∈ {50, 75}
m ∈ {10, 20, 30}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
n ∈ {50, 75}
m ∈ {10, 20, 30}
cardΩ ∈ {10, 20}
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
n ∈ {50, 75}
m ∈ {10, 20, 30}
cardΩ ∈ {10, 20}
264 chiers tests
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
n ∈ {50, 75}
m ∈ {10, 20, 30}
cardΩ ∈ {10, 20}
264 chiers tests
Solveur PL : cplex ; Processeur : Pentium D 3.00 GHz
O. Guyon, N. Brahimi, E. Pinson, D. Rivreau Couplage Plani cation/Ordonnancement

Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (1)
conditions
processus arrêté au bout de 60s
n ∈ {50, 75}
m ∈ {10, 20, 30}
cardΩ ∈ {10, 20}
264 chiers tests
Solveur PL : cplex ; Processeur : Pentium D 3.00 GHz
n MIP Benders Coupe
50 74.07% 5.56% 86.11%
75 66.67% 2.08% 85.42%
TOTAL 78.79% 7.20% 84.09%
Pourcentage d'instances résolues en moins de 60s
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Résultats préliminaires (2)
(n,m) MIP Benders Coupe
tps tps nb coupes tps nb coupes
(50,10) 14.53s X X 3.14s 2.60
(50,20) 2.62s 3.81s 6.83 1.49s 2.53
(50,30) 2.23s X X 5.56s 2.82
50 JOBS 4.60s 3.81s 6.83 2.59s 2.48
(75,10) X X X X X
(75,20) 4.50s 18.69s 10 2.06s 2.02
(75,30) X X X X X
75 JOBS 4.50s 18.69s 10 2.06s 2.02
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Plan
1 Introduction
Problème
Formalisation
2 Techniques de résolution
Relaxation lagrangienne
Décomposition de Benders
Décomposition et génération de coupes
3 Conclusion
Expérimentations numériques
Bilan
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Bilan
Approche par décomposition et génération de coupes
compétitive
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Bilan
Approche par décomposition et génération de coupes
compétitive
Dans la décomposition et génération de coupes
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Bilan
Approche par décomposition et génération de coupes
compétitive
Dans la décomposition et génération de coupes
P est un ot maximum Polynômial
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Bilan
Approche par décomposition et génération de coupes
compétitive
Dans la décomposition et génération de coupes
P est un ot maximum Polynômial
SP y
¯est un Sac à Dos Multichoix Multidimensionnel
Heuristiques puissantes connues (Ackbar et al., . . .)
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Introduction Expérimentations numériques
Techniques de résolution Bilan
Conclusion
Bilan
Approche par décomposition et génération de coupes
compétitive
Dans la décomposition et génération de coupes
P est un ot maximum Polynômial
SP y
¯est un Sac à Dos Multichoix Multidimensionnel
Heuristiques puissantes connues (Ackbar et al., . . .)
Donc : on peut (sans solveur de PL) obtenir des résultats
approchés de qualité
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