Introduction
D´composition de Benders
e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Conclusion
Couplage Planification / Ordonnancement :
une approche par d´composition et g´n´ration de
e e e
coupes
MOSIM’08, 31 mars - 2 avril 2008, Paris (France)
´
O. Guyon1.2 , P. Lemaire2 , E. Pinson1 et D. Rivreau1
1 Institut de Math´matiques Appliqu´es d’Angers (UCO)
e e
´
2 Ecole des Mines de Nantes
2 avril 2008
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Conclusion
Sommaire
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
pr´emptif
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
pr´emptif
e
requiert un op´rateur maˆ
e ıtrisant la comp´tence cj ∈ C `
e a
chaque instant d’ex´cution
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
pr´emptif
e
requiert un op´rateur maˆ
e ıtrisant la comp´tence cj ∈ C `
e a
chaque instant d’ex´cution
e
O (m op´rateurs)
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
pr´emptif
e
requiert un op´rateur maˆ
e ıtrisant la comp´tence cj ∈ C `
e a
chaque instant d’ex´cution
e
O (m op´rateurs)
e
u o
ensemble de roulements affectables Ωo ⊆ Ω (de coˆt ηω )
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
pr´emptif
e
requiert un op´rateur maˆ
e ıtrisant la comp´tence cj ∈ C `
e a
chaque instant d’ex´cution
e
O (m op´rateurs)
e
u o
ensemble de roulements affectables Ωo ⊆ Ω (de coˆt ηω )
ensemble de comp´tences maˆ ees Co ⊆ C
e ıtris´
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Pr´sentation du probl`me
e e
Donn´es
e
J (n jobs)
dur´e pj , domaine d’ex´cution Dj = [rj , dj ] ⊆ H
e e
pr´emptif
e
requiert un op´rateur maˆ
e ıtrisant la comp´tence cj ∈ C `
e a
chaque instant d’ex´cution
e
O (m op´rateurs)
e
u o
ensemble de roulements affectables Ωo ⊆ Ω (de coˆt ηω )
ensemble de comp´tences maˆ ees Co ⊆ C
e ıtris´
Objectif
Ordonnancer au moindre coˆt les n jobs en affectant ` chaque
u a
op´rateur un roulement, tout en satisfaisant les besoins en main
e
d’oeuvre (effectif et comp´tences)
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
M´thode hybride (RO/PPC) de r´solution
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
M´thode hybride (RO/PPC) de r´solution
e e
Danniels R.L. et Mazzola J.B. (1994)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
M´thode hybride (RO/PPC) de r´solution
e e
Danniels R.L. et Mazzola J.B. (1994)
Dur´e des jobs variant selon le mode de fabrication
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
M´thode hybride (RO/PPC) de r´solution
e e
Danniels R.L. et Mazzola J.B. (1994)
Dur´e des jobs variant selon le mode de fabrication
e
Alfares H. et Bailey J. (1997)
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
M´thode hybride (RO/PPC) de r´solution
e e
Danniels R.L. et Mazzola J.B. (1994)
Dur´e des jobs variant selon le mode de fabrication
e
Alfares H. et Bailey J. (1997)
Trouver un compromis entre le coˆt des op´rateurs et la dur´e
u e e
globale du projet
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
R´f´rences bibliographiques sur le probl`me
ee e
Artigues C., Gendreau M. et Rousseau L.-M. (2006)
Etat de l’art sur le probl`me
e
M´thode hybride (RO/PPC) de r´solution
e e
Danniels R.L. et Mazzola J.B. (1994)
Dur´e des jobs variant selon le mode de fabrication
e
Alfares H. et Bailey J. (1997)
Trouver un compromis entre le coˆt des op´rateurs et la dur´e
u e e
globale du projet
...
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Variables de d´cision
e
Affectation des roulements aux op´rateurs
e
o 1 si roulement ω affect´ ` op´rateur o
ea e
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo , yω =
0 sinon
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Variables de d´cision
e
Affectation des roulements aux op´rateurs
e
o 1 si roulement ω affect´ ` op´rateur o
ea e
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo , yω =
0 sinon
Affectation des jobs aux unit´s de temps
e
1 si une unit´ du job j est ex´cut´e ` t
e e e a
∀j ∈ J, ∀t ∈ H, xjt =
0 sinon
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Variables de d´cision
e
Affectation des roulements aux op´rateurs
e
o 1 si roulement ω affect´ ` op´rateur o
ea e
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo , yω =
0 sinon
Affectation des jobs aux unit´s de temps
e
1 si une unit´ du job j est ex´cut´e ` t
e e e a
∀j ∈ J, ∀t ∈ H, xjt =
0 sinon
Affectation des comp´tences aux unit´s de temps
e e
1 si l’op´rateur o utilise c ` t
e a
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H, zoct =
0 sinon
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
o o
[Q] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
o o
[Q] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
o o
[Q] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj
t∈Dj
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
o o
[Q] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj
t∈Dj
∀t ∈ H, ∀c ∈ C xjt = zoct
j∈J/cj =c o∈O/c∈Co
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
o o
[Q] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj
t∈Dj
∀t ∈ H, ∀c ∈ C xjt = zoct
j∈J/cj =c o∈O/c∈Co
t o
∀t ∈ H, ∀o ∈ O zoct ≤ σ ω · yω
c∈Co ω∈Ωo
t
avec : ∀ω ∈ Ω, ∀t ∈ H, σω = 1 ssi ω couvre t
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
o o
[Q] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
∀j ∈ J xjt = pj
t∈Dj
∀t ∈ H, ∀c ∈ C xjt = zoct
j∈J/cj =c o∈O/c∈Co
t o
∀t ∈ H, ∀o ∈ O zoct ≤ σ ω · yω
c∈Co ω∈Ωo
o
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo yω ∈ {0, 1}
∀j ∈ J, ∀t ∈ H xjt ∈ {0, 1}
∀o ∈ O, ∀c ∈ Co , ∀t ∈ H zoct ∈ {0, 1}
t
avec : ∀ω ∈ Ω, ∀t ∈ H, σω = 1 ssi ω couvre t
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Intervalles de temps
Constat
Tous les instants de temps n’influent pas sur la solution
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Intervalles de temps
Constat
Tous les instants de temps n’influent pas sur la solution
Illustration
j3
j2
j1
ω2
ω1
I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Intervalles de temps
Constat
Tous les instants de temps n’influent pas sur la solution
Illustration
j3
j2
j1
ω2
ω1
I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12
Nouvelles variables de d´cision
e
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ∈ [0, min(pj , lk )] o` lk = longueur de Ik
u
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
Cons´quence
e
Inutile de diff´rencier op´rateurs ayant les mˆmes comp´tences
e e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
Cons´quence
e
Inutile de diff´rencier op´rateurs ayant les mˆmes comp´tences
e e e e
Nouvelles variables de d´cision
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
Cons´quence
e
Inutile de diff´rencier op´rateurs ayant les mˆmes comp´tences
e e e e
Nouvelles variables de d´cision
e
Cr´ation de profils de comp´tence Θ ⊆ P(C )
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
Cons´quence
e
Inutile de diff´rencier op´rateurs ayant les mˆmes comp´tences
e e e e
Nouvelles variables de d´cision
e
Cr´ation de profils de comp´tence Θ ⊆ P(C )
e e
∀o ∈ O → un unique profil θo ∈ Θ
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
Cons´quence
e
Inutile de diff´rencier op´rateurs ayant les mˆmes comp´tences
e e e e
Nouvelles variables de d´cision
e
Cr´ation de profils de comp´tence Θ ⊆ P(C )
e e
∀o ∈ O → un unique profil θo ∈ Θ
θo1 = θo2 ⇔ Co1 = Co2
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Formalisation compacte - Profils de comp´tence
e
Constat
∀o ∈ O, ∀c ∈ C , ∀t ∈ H zoct ∈ fonction objectif de [Q]
/
Cons´quence
e
Inutile de diff´rencier op´rateurs ayant les mˆmes comp´tences
e e e e
Nouvelles variables de d´cision
e
Cr´ation de profils de comp´tence Θ ⊆ P(C )
e e
∀o ∈ O → un unique profil θo ∈ Θ
θo1 = θo2 ⇔ Co1 = Co2
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ∈ [0, lk · |{o ∈ O/θo =θ }|]
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
X X X o
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck ≤ lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Programme lin´aire
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
X X X o
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck ≤ lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
o
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo yω ∈ {0, 1}
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ∈ [0, min(pj , lk )]
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ∈ [0, lk · |{o ∈ O/θo =θ }|]
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Techniques de r´solution
e
M´thodes exactes
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Techniques de r´solution
e
M´thodes exactes
e
MIP
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Techniques de r´solution
e
M´thodes exactes
e
MIP
D´composition de Benders
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
Probl`me
e
D´composition de Benders
e
Formalisation intuitive
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Formalisation compacte
Conclusion
Techniques de r´solution
e
M´thodes exactes
e
MIP
D´composition de Benders
e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral
e e
[P] min cx + fy
Dx + Fy = d
x, y ≥ 0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral
e e
[P] min cx + fy
Dx + Fy = d contraintes couplantes
x, y ≥ 0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral
e e
[P] min cx + fy
Dx + Fy = d contraintes couplantes y ∈Y →y
¯
x, y ≥ 0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral
e e
[SPy ]
¯ min cx+fy
Dx = d − F y contraintes couplantes
¯ y ∈Y →y
¯
x, y ≥ 0
¯
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (2)
e e
[SPy ]
¯ min cx
Dx = d − F y
¯
x ≥0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (2)
e e
[SPy ]
¯ min cx Dual
Dx = d − F y
¯ ⇒
x ≥0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (2)
e e
[SPy ]
¯ min cx Dual [DSPy ]
¯ max v (d − F y )
¯
Dx = d − F y
¯ ⇒ vD ≥ c
x ≥0 v 0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (2)
e e
[SPy ]
¯ min cx Dual [DSPy ]
¯ max v (d − F y )
¯
Dx = d − F y
¯ ⇒ vD ≥ c
x ≥0 v 0
Dualit´ forte : Optimum([SPy ]) = Optimum([DSPy ])
e ¯ ¯
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (2)
e e
[SPy ]
¯ min cx Dual [DSPy ]
¯ max v (d − F y )
¯
Dx = d − F y
¯ ⇒ vD ≥ c
x ≥0 v 0
Dualit´ forte : Optimum([SPy ]) = Optimum([DSPy ])
e ¯ ¯
Particularit´s de [DSPy ]
e ¯
contraintes ind´pendantes de y
e ¯
optimum atteint sur un des points extrˆmes v 1 , v 2 , . . . , v q
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (3)
e e
R´´criture de [P]
ee
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (3)
e e
R´´criture de [P]
ee
P : min {cx + fy }
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (3)
e e
R´´criture de [P]
ee
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum([SPy ])}
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (3)
e e
R´´criture de [P]
ee
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum([SPy ])}
P : miny ∈Y {fy + optimum([DSPy ])}
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (3)
e e
R´´criture de [P]
ee
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum([SPy ])}
P : miny ∈Y {fy + optimum([DSPy ])}
P : miny ∈Y {fy + maxi=1...q (v q (d − Fy ))}
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (3)
e e
R´´criture de [P]
ee
P : min {cx + fy }
P : miny ∈Y {fy + optimum([SPy ])}
P : miny ∈Y {fy + optimum([DSPy ])}
P : miny ∈Y {fy + maxi=1...q (v q (d − Fy ))}
[P] : min z
fy + v 1 (d − Fy ) ≤ z
fy + v 2 (d − Fy ) ≤ z
..............
fy + v q (d − Fy ) ≤ z
y ∈Y
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (4)
e e
D´finition de l’ensemble des coupes
e
J = 1...q Cut ← fy + v j (d − Fy ) ≤ z, j ∈ J
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (4)
e e
D´finition de l’ensemble des coupes
e
J = 1...q Cut ← fy + v j (d − Fy ) ≤ z, j ∈ J
[P] : min z
Cut
y ∈Y
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (4)
e e
D´finition de l’ensemble des coupes
e
J = 1...q Cut ← fy + v j (d − Fy ) ≤ z, j ∈ J
[P] : min z
Cut
y ∈Y
R´solution de [P]
e
R´solution it´rative en ajoutant les coupes l’une apr`s l’autre
e e e
Condition d’arrˆt : Optimum([P]) = fy + Optimum([DSPy ])
e ¯ ¯
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (5)
e e
Avertissement
Dans les explications pr´c´dentes, [SPy ] doit toujours admettre au
e e ¯
moins une solution r´alisable born´e.
e e
Sinon, d’autres coupes (rayons extrˆmaux) sont n´cessaires.
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders dans le cas g´n´ral (5)
e e
Avertissement
Dans les explications pr´c´dentes, [SPy ] doit toujours admettre au
e e ¯
moins une solution r´alisable born´e.
e e
Sinon, d’autres coupes (rayons extrˆmaux) sont n´cessaires.
e e
Coupes suppl´mentaires : Th´orˆme de Farkas-Minkowski
e e e
SPy a une solution x ≥ 0 ssi
¯
u(d − F y ) ≤ 0 pour tout u v´rifiant uD ≤ 0
¯ e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders pour notre probl`me - [P]
e
X X o o
[P] : min ηω · yω
o∈O ω∈Ωo
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
X X X o
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck ≤ lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
o
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo yω ∈ {0, 1}
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ∈ [0, min(pj , lk )]
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ∈ [0, lk · |{o ∈ O/θo =θ }|]
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders pour notre probl`me - [P]
e
X X o o
XX
[P ] : min ηω · yω +M · skθ
o∈O ω∈Ωo k∈K θ∈Θ
X o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
X X X o
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck − skθ ≤ lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
o
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo yω ∈ {0, 1}
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ∈ [0, min(pj , lk )]
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ∈ [0, lk · |{o ∈ O/θo =θ }|]
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ skθ ≥ 0
skθ assurent r´alisabilit´ born´e de [P ]
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders pour notre probl`me (2) - [SPy ]
e ¯
XX
[SPy ] :
¯ M · min skθ
k∈K θ∈Θ
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
X X X
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck − skθ ≤ ¯o
lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ≤ min(pj , lk )
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ≤ lk · |{o ∈ O/θo =θ }|
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ≥0
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ≥0
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ skθ ≥0
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders pour notre probl`me (2) - [SPy ]
e ¯
XX
[SPy ] :
¯ M · min skθ
k∈K θ∈Θ
X
∀j ∈ J xjk = pj
k∈K /Ik ⊆Dj
X X
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
X X X
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck − skθ ≤ ¯o
lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ≤ min(pj , lk )
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ≤ lk · |{o ∈ O/θo =θ }|
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ≥0
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ≥0
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ skθ ≥0
+ +
xjk ∈ , zθck ∈ v´rifier dualit´ forte
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders pour notre probl`me (3) - [DSPy ]
e ¯
X XX X X
[DSPy ] :
¯ max gy (a, b, c, d, e) =
¯ aj · pj + ckθ ¯o
lk · yω +
j∈J k∈K θ∈Θ o∈O/ ω∈Ωo /
θo =θ Ik ⊆ω
XX XXX
min(pj , lk ) · djk + lk · |{o ∈ O/θo =θ }| · eθck
j∈J k∈K θ∈Θ c∈θ k∈K
∀j ∈ J, ∀k ∈ K αjk aj + bkcj + djk ≤0 (1)
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K −bkc + ckθ + eθck ≤0 (2)
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ −ckθ ≤1 (3)
∀j ∈ J aj 0 (4)
∀k ∈ K , ∀c ∈ θ bkc ≤0 (5)
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ ckθ ≤0 (6)
∀j ∈ J, ∀k ∈ K djk ≤0 (7)
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K eθck ≤0 (8)
avec : ∀j ∈ J, ∀k ∈ K , αjk = 1 ⇔ Ik ⊆ Dj
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e dans le cas g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e pour notre probl`me
e
Conclusion
Benders pour notre probl`me (4) - Coupe
e
ηω · yω + M · gy (a∗ , b∗ , c ∗ , d ∗ , e ∗ ) ≤ z
o o
o∈O ω∈Ωo
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
→ Optimum
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

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D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
→ Optimum
Sinon : G´n´ration d’une coupe invalidant y dans [MP]
e e ¯
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

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e e
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e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
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D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
→ Optimum
Sinon : G´n´ration d’une coupe invalidant y dans [MP]
e e ¯
It´rer jusqu’` :
e a
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

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D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
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D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
→ Optimum
Sinon : G´n´ration d’une coupe invalidant y dans [MP]
e e ¯
It´rer jusqu’` :
e a
Optimum (nombre fini de solutions pour [MP])
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

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e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
→ Optimum
Sinon : G´n´ration d’une coupe invalidant y dans [MP]
e e ¯
It´rer jusqu’` :
e a
Optimum (nombre fini de solutions pour [MP])
limite de temps d´pass´e (borne inf´rieure)
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
´
Etapes
D´composition de [P] → [MP] et [SP]
e
R´solution de [MP] → y : roulement → op´rateur
e ¯ e
R´solution de [SP(¯ )] : y est r´alisable ?
e y ¯ e
Jobs j ex´cutables sur leur fenˆtre d’ex´cution [rj , dj ] ?
e e e
Affectation r´alisable de comp´tences aux op´rateurs ?
e e e
Si [SP(¯ )] parvient ` planifier tous les jobs :
y a
y ⇒ affectation de moindre coˆt permettant de planifier
¯ u
l’ensemble des jobs
→ Optimum
Sinon : G´n´ration d’une coupe invalidant y dans [MP]
e e ¯
It´rer jusqu’` :
e a
Optimum (nombre fini de solutions pour [MP])
limite de temps d´pass´e (borne inf´rieure)
e e e
autre condition d’arrˆt
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Probl`me maˆ [MP]
e ıtre
o o
[MP] : min ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω = 1
ω∈Ωo
Cut
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo o
yω ∈ {0, 1}
R´solution de [MP]
e
Affectation des roulements aux op´rateurs
e y
¯
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Courbe de disponibilit´ des op´rateurs - comp´tences
e e e
Courbe de disponibilit´ des op´rateurs - comp´tences
e e e
∀θ ∈ Θ, ∀k ∈ K γθk = ¯o
lkb · yω
b∈ΘK + o∈O/ ω∈Ωo /
θo =θb Ikb ⊆ω
γθk
11
00
00
11
00
11
00
11
11
00
00 11
00 11
00
11
00 00
11 11
00
11
00
11 00
11 11
00
11
00
11
00 11
0011
00 00
11 11
00
11
00 11
0000
11 11
00
00 11
00
00
11 11
0000
11 11
00 11
00
00
11 11
0000
11 11
00
11 11
00 11
00
11
00 11
0011
00
00 11
00 11
00 11
00
11
00 11
0011
00 00
11 11
00 11
00
00
11 11
0011
00
11 00
11 11
00 11
00
11
00
11
0011
00
00 11
0000
11 00
11 11
0011
00 11
0011
00
11
0011
11
00
11
00
11
0011
00 00
11 11
0011
00 11
0011
00
11
0011
00 11
0000
11 11
00 11
0011
00
11
00 11
0011
00
11
00
11
0000
11 11
0000
11 00
11 11
00
11
0011
00 11
0011
00
11
00
11
0000
11 11
0000
11 00
11
00 11
0011
00 11
0011
00
11
0000
11 11
0000
11 11
00
11 11
0011
00 11
0011
00
11
0011
00 11
0011
00
00 11
00 11
0011
00 11
0011
00
11 11
00
I0 I1 I2 I3 I4
111
000 1 111
000 2
111
000
111
000
θ 111
000
111
000
θ
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Sous-probl`me [SP(¯ )]
e y
[SP(¯ )] :
y max fy =
¯ xjk
j∈J k∈K /Ik ⊆Dj
∀j ∈ J xjk ≤ pj
k∈K /Ik ⊆Dj
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck ≤ ¯o
lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ∈ [0, min(pj , lk )]
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ∈ [0, lk · |{o ∈ O/θo =θ }|]
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Sous-probl`me [SP(¯ )]
e y
[SP(¯ )] :
y max fy =
¯ xjk
j∈J k∈K /Ik ⊆Dj
∀j ∈ J xjk ≤ pj
k∈K /Ik ⊆Dj
∀k ∈ K , ∀c ∈ C xjk = zθck
j∈J/cj =c θ∈Θ/c∈θ
∀k ∈ K , ∀θ ∈ Θ zθck ≤ ¯o
lk · yω
c∈θ o∈O/θo =θ ω∈Ωo /Ik ⊆ω
∀j ∈ J, ∀k ∈ K xjk ∈ [0, min(pj , lk )]
∀θ ∈ Θ, ∀c ∈ θ, ∀k ∈ K zθck ∈ [0, lk · |{o ∈ O/θo =θ }|]
R´solution de [SP(¯ )]
e y
Flot maximal sur un graphe Gy = (X , U) d´composable en niveaux
¯ e
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
D´finition du graphe de flot Gy
e ¯
(j, kc) ∈ U (k1 c, θk2 ) ∈ U
⇔ ⇔
(Ik ⊆ Dj ) (Ik1 = Ik2 )
∧ ∧
(cj = c) (c ∈ θ)
k0 c0 θ0 k0
j0
k0 c1 θ0 k1
j1
s t
k1 c0 θ1 k0
jj
k1 c1 θ1 k1
X X o
pj min(pj , lk ) lk · |{o ∈ O/θo =θ }| γθk = yω · lk
¯
o∈O/ ω∈Ωo /
θo =θ Ik ⊆ω
J KC ΘK
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupe minimale sur Gy
¯
J− KC − ΘK −
s t
J+ KC + ΘK +
Arcs satur´s
e Arcs de flot nul
X X X X X X
F− = flot(ubt ) = pj + min(pj , lka )+ lkb ·|{o ∈ O/θo =θb }|
b∈ΘK − j∈J − j∈J + a∈KC − a∈KC + b∈ΘK −
N´cessairement, F + =
e b∈ΘK + flot(ubt ) ≥ j∈J pj − F −
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
G´n´ration de coupes
e e
Expression de la coupe
F+ ≥ pj − F −
j∈J
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
G´n´ration de coupes
e e
Expression de la coupe
F+ ≥ pj − F −
j∈J
⇔ o
yω · lkb ≥ pj − F −
b∈ΘK + o∈O/ ω∈Ωo / j∈J
θo =θb Ikb ⊆ω
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
G´n´ration de coupes
e e
Expression de la coupe
F+ ≥ pj − F −
j∈J
o
⇔ yω · lkb ≥ ν
b∈ΘK + o∈O/ ω∈Ωo /
θo =θb Ikb ⊆ω
avec
ν= pj − min(pj , lka ) − lkb · |{o ∈ O/θo =θb }|
j∈J + j∈J + a∈KC − a∈KC + b∈ΘK −
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
[MP r ] → [MP] avec r coupes
[MP r ] : min o o
ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
o
∀i ∈ Qr yω · lkb ≥ νi
b∈ΘKi+ o∈O/ ω∈Ωo /
θo =θb Ikb ⊆ω
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo o
yω ∈ {0, 1}
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
[MP r ] → [MP] avec r coupes
[MP r ] : min o o
ηω yω
o∈O ω∈Ωo
o
∀o ∈ O yω =1
ω∈Ωo
o
∀i ∈ Qr yω · lkb ≥ νi
b∈ΘKi+ o∈O/ ω∈Ωo /
θo =θb Ikb ⊆ω
∀o ∈ O, ∀ω ∈ Ωo o
yω ∈ {0, 1}
Caract´risation de [MP r ]
e
Sac ` Dos Multichoix Multidimensionnel
a
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Acc´l´rer la vitesse de convergence du processus ?
ee
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Acc´l´rer la vitesse de convergence du processus ?
ee
Id´e : Initialiser l’ensemble Cut de [MP]
e
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Acc´l´rer la vitesse de convergence du processus ?
ee
Id´e : Initialiser l’ensemble Cut de [MP]
e
Action : Utiliser le raisonnement ´nerg´tique
e e
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Acc´l´rer la vitesse de convergence du processus ?
ee
Id´e : Initialiser l’ensemble Cut de [MP]
e
Action : Utiliser le raisonnement ´nerg´tique
e e
R´f´rences bibliographiques sur le raisonnement ´nerg´tique
ee e e
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Acc´l´rer la vitesse de convergence du processus ?
ee
Id´e : Initialiser l’ensemble Cut de [MP]
e
Action : Utiliser le raisonnement ´nerg´tique
e e
R´f´rences bibliographiques sur le raisonnement ´nerg´tique
ee e e
Lopez P., Erschler J. et Esquirol P. (1992)
Ordonnancement de tˆches sous contraintes
a
´
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D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Acc´l´rer la vitesse de convergence du processus ?
ee
Id´e : Initialiser l’ensemble Cut de [MP]
e
Action : Utiliser le raisonnement ´nerg´tique
e e
R´f´rences bibliographiques sur le raisonnement ´nerg´tique
ee e e
Lopez P., Erschler J. et Esquirol P. (1992)
Ordonnancement de tˆches sous contraintes
a
Baptiste P., Pape C.L. et Nujiten W. (1999)
Probl`me d’ordonnancement cumulatif
e
(ressources peuvent ex´cuter plusieurs tˆches en mˆme temps)
e a e
´
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Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Raisonnement ´nerg´tique
e e
Vision ´nerg´tique du probl`me
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Raisonnement ´nerg´tique
e e
Vision ´nerg´tique du probl`me
e e e
comp´tences → ressources consommables
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Raisonnement ´nerg´tique
e e
Vision ´nerg´tique du probl`me
e e e
comp´tences → ressources consommables
e
op´rateurs → fournisseurs de ressources
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Raisonnement ´nerg´tique
e e
Vision ´nerg´tique du probl`me
e e e
comp´tences → ressources consommables
e
op´rateurs → fournisseurs de ressources
e
jobs → consommateurs de ressources
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Raisonnement ´nerg´tique
e e
Vision ´nerg´tique du probl`me
e e e
comp´tences → ressources consommables
e
op´rateurs → fournisseurs de ressources
e
jobs → consommateurs de ressources
Principe
D´finir des p´riodes de temps [δb , δe ] o` il existe une
e e u
consommation minimale obligatoire pour un sous-ensemble de
comp´tences C ⊆ C
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Illustration : coupe initiale sur [1, 7] pour C ?
j1 pj1 = 9 cj1 ∈ C
j2 pj2 = 2 cj2 ∈ C
0 1 2 7 8 10
r1 δb r2 δe d2 d1
Job j1 : 5 unit´s effectuables en dehors de [1, 7]
e
⇒ 9 − 5 = 4 unit´s ` ex´cuter sur [1, 7]
e a e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Illustration : coupe initiale sur [1, 7] pour C ?
j1 pj1 = 9 cj1 ∈ C
j2 pj2 = 2 cj2 ∈ C
0 1 2 7 8 10
r1 δb r2 δe d2 d1
Job j1 : 5 unit´s effectuables en dehors de [1, 7]
e
⇒ 9 − 5 = 4 unit´s ` ex´cuter sur [1, 7]
e a e
Job j2 : 1 unit´ effectuable en dehors de [1, 7]
e
⇒ 2 − 1 = 1 unit´ ` ex´cuter sur [1, 7]
ea e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Illustration : coupe initiale sur [1, 7] pour C ?
j1 pj1 = 9 cj1 ∈ C
j2 pj2 = 2 cj2 ∈ C
0 1 2 7 8 10
r1 δb r2 δe d2 d1
Job j1 : 5 unit´s effectuables en dehors de [1, 7]
e
⇒ 9 − 5 = 4 unit´s ` ex´cuter sur [1, 7]
e a e
Job j2 : 1 unit´ effectuable en dehors de [1, 7]
e
⇒ 2 − 1 = 1 unit´ ` ex´cuter sur [1, 7]
ea e
→ ∃ consommation obligatoire en comp´tences de C sur [1, 7]
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
Caract´risation d’une coupe initiale ´nerg´tique sur une
e e e
p´riode [δb , δe ] et un sous-ensemble de comp´tences C
e e
Coupe initiale ´nerg´tique pour C sur [δb , δe ]
e e
t o +
σω yω ≥ pj − (δb − rj )+ − (dj − δe )+
t∈δ o∈O/ ω∈Ωo c∈C j∈J/
{Co ∩C=∅} cj =c
avec (a)+ = max(a, 0) ∀a ∈
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection exp´rimentale des coupes initiales
e e
Pr´cautions d’usage ⇒ S´lection des coupes initiales obligatoire
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection exp´rimentale des coupes initiales
e e
Pr´cautions d’usage ⇒ S´lection des coupes initiales obligatoire
e e
2|C | sous-ensembles de comp´tences
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection exp´rimentale des coupes initiales
e e
Pr´cautions d’usage ⇒ S´lection des coupes initiales obligatoire
e e
2|C | sous-ensembles de comp´tences
e
∃ grand nb de p´riodes de temps (non forc´ment connexes)
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection exp´rimentale des coupes initiales
e e
Pr´cautions d’usage ⇒ S´lection des coupes initiales obligatoire
e e
2|C | sous-ensembles de comp´tences
e
∃ grand nb de p´riodes de temps (non forc´ment connexes)
e e
Ensembles de comp´tences consid´r´s
e ee
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection exp´rimentale des coupes initiales
e e
Pr´cautions d’usage ⇒ S´lection des coupes initiales obligatoire
e e
2|C | sous-ensembles de comp´tences
e
∃ grand nb de p´riodes de temps (non forc´ment connexes)
e e
Ensembles de comp´tences consid´r´s
e ee
Ensemble Θ des profils de comp´tences
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection exp´rimentale des coupes initiales
e e
Pr´cautions d’usage ⇒ S´lection des coupes initiales obligatoire
e e
2|C | sous-ensembles de comp´tences
e
∃ grand nb de p´riodes de temps (non forc´ment connexes)
e e
Ensembles de comp´tences consid´r´s
e ee
Ensemble Θ des profils de comp´tences
e
Singletons (une seule comp´tence)
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
P´riodes de temps consid´r´es
e ee
∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5
0 3 5 9 12 15
ω1b ω2b ω1e ω2e ω3b ω3e
Partitionnement de H selon les bornes de pr´sence des roulements
e
→ p´riodes de temps ∆i
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
P´riodes de temps consid´r´es
e ee
∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5
0 3 5 9 12 15
ω1b ω2b ω1e ω2e ω3b ω3e
S´lection tour ` tour des couples de p´riodes de temps (∆i , ∆k )
e a e
Ici : ∆1 et ∆5
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
P´riodes de temps consid´r´es
e ee
∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5
0 3 5 9 12 15
ω1b ω2b ω1e ω2e ω3b ω3e
∆1 Ik ∆5
I1 I2 I10 I11
0 1 3 12 14 15
Consid´ration des intervalles Ik inclus dans ∆1 et ∆5
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
P´riodes de temps consid´r´es
e ee
∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5
0 3 5 9 12 15
ω1b ω2b ω1e ω2e ω3b ω3e
∆1 Ik ∆5
I1 I2 I10 I11
0 1 3 12 14 15
´
Etude des = p´riodes de temps δ = [δb , δe ] avec :
e
δb borne d’un intervalle Ik ⊆ ∆1
δe borne d’un intervalle Ik ⊆ ∆5
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
P´riodes de temps consid´r´es
e ee
∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5
0 3 5 9 12 15
ω1b ω2b ω1e ω2e ω3b ω3e
∆1 Ik ∆5
I1 I2 I10 I11
0 1 3 12 14 15
S´lection de la p´riode de temps δ la plus restrictive
e e
→ celle ayant la consommation obligatoire relative la plus ´lev´e
e e
→ Coupe initiale ´nerg´tique
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection intensive des coupes initiales
e
Filtrage par dominance
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection intensive des coupes initiales
e
Filtrage par dominance
Ajout de toutes les coupes g´n´r´es ` l’ensemble Cut de [MP]
e ee a
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection intensive des coupes initiales
e
Filtrage par dominance
Ajout de toutes les coupes g´n´r´es ` l’ensemble Cut de [MP]
e ee a
R´solution de la relaxation continue de [MP]
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection intensive des coupes initiales
e
Filtrage par dominance
Ajout de toutes les coupes g´n´r´es ` l’ensemble Cut de [MP]
e ee a
R´solution de la relaxation continue de [MP]
e
Tri des coupes selon leur slack ` l’optimum
a
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Processus g´n´ral
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
Conclusion
S´lection intensive des coupes initiales
e
Filtrage par dominance
Ajout de toutes les coupes g´n´r´es ` l’ensemble Cut de [MP]
e ee a
R´solution de la relaxation continue de [MP]
e
Tri des coupes selon leur slack ` l’optimum
a
S´lection empirique des 15 premiers %
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
G´n´rateur de donn´es
e e e
Moduler le taux de travail sur l’horizon
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
G´n´rateur de donn´es
e e e
Moduler le taux de travail sur l’horizon
Dispersion des fenˆtres d’ex´cution des jobs
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
G´n´rateur de donn´es
e e e
Moduler le taux de travail sur l’horizon
Dispersion des fenˆtres d’ex´cution des jobs
e e
Moduler le nombre de roulements et de comp´tences
e
affectables ` chaque op´rateur
a e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
G´n´rateur de donn´es
e e e
Moduler le taux de travail sur l’horizon
Dispersion des fenˆtres d’ex´cution des jobs
e e
Moduler le nombre de roulements et de comp´tences
e
affectables ` chaque op´rateur
a e
Moduler le coˆt d’affectation d’un roulement ` un op´rateur
u a e
selon les heures travaill´es, l’exp´rience . . .
e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Conditions
540 instances - (6 par jeu de param`tres) -
e
Param`tre
e min max pas
|O| 15 25 10
|J| 4 · |O| 6 · |O| |O|
margemax 30 90 30
|C | 1 5 1
pmax 30
|H| 480
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Conditions
540 instances - (6 par jeu de param`tres) -
e
Param`tre
e min max pas
|O| 15 25 10
|J| 4 · |O| 6 · |O| |O|
margemax 30 90 30
|C | 1 5 1
pmax 30
|H| 480
Outils
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Conditions
540 instances - (6 par jeu de param`tres) -
e
Param`tre
e min max pas
|O| 15 25 10
|J| 4 · |O| 6 · |O| |O|
margemax 30 90 30
|C | 1 5 1
pmax 30
|H| 480
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Conditions
540 instances - (6 par jeu de param`tres) -
e
Param`tre
e min max pas
|O| 15 25 10
|J| 4 · |O| 6 · |O| |O|
margemax 30 90 30
|C | 1 5 1
pmax 30
|H| 480
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
Solveur PLNE : Ilog Cplex 9.1
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Conditions
540 instances - (6 par jeu de param`tres) -
e
Param`tre
e min max pas
|O| 15 25 10
|J| 4 · |O| 6 · |O| |O|
margemax 30 90 30
|C | 1 5 1
pmax 30
|H| 480
Outils
Langage de d´veloppement : Java
e
Solveur PLNE : Ilog Cplex 9.1
Processeur Intel Pentium D 930 ; 3 GHz ; 2 GB RAM
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
R´sultats : de l’int´rˆt de la formalisation . . .
e ee
Instances r´solues en moins de 5 minutes
e
(MIP) → [Q] (MIP) → [P]
% d’instances 26.9% 59.4%
Temps moyen (134 inst.) 125.6s 13.2s
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
R´sultats : de l’int´rˆt des coupes initiales ´nerg´tiques . . .
e ee e e
Instances r´solues en moins de 5 minutes
e
(Coupe) sans coupes init. (Coupe)
% d’instances 50.2% 71.5%
Temps moyen (270 inst.) 41.9s 8.1s
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
R´sultats : de l’int´rˆt des techniques de r´solution . . .
e ee e
Instances r´solues en moins de 5 minutes
e
(MIP) (Benders) (Coupe)
% d’instances 59.4% 20.56% 71.48%
Temps moyen (98 inst.) 28.6s 58.1s 1.8s
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
R´sultats : de l’int´rˆt de la g´n´ration de coupes . . .
e ee e e
Instances r´solues en moins de 5 minutes (301 inst.)
e
(MIP) (Coupe)
tps moyen tps moyen # coupes de flot # coupes init.
45.9s 10.3s 12.3 144.8
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Plan
1 Introduction
Probl`me
e
Formalisation intuitive
Formalisation compacte
2 D´composition de Benders
e
dans le cas g´n´ral
e e
pour notre probl`me
e
3 D´composition et g´n´ration de coupes
e e e
Processus g´n´ral
e e
Coupes initiales ´nerg´tiques
e e
4 Conclusion
Exp´rimentations num´riques
e e
Bilan
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Bilan
Formalisation compacte performante
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Bilan
Formalisation compacte performante
Coupes initiales ´nerg´tiques int´ressantes
e e e
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement

Introduction
D´composition de Benders
e Exp´rimentations num´riques
e e
D´composition et g´n´ration de coupes
e e e Bilan
Conclusion
Bilan
Formalisation compacte performante
Coupes initiales ´nerg´tiques int´ressantes
e e e
Approche par d´composition et g´n´ration de coupes tr`s
e e e e
avantageuse
´
O. Guyon, P. Lemaire, E. Pinson et D. Rivreau Couplage Planification / Ordonnancement